Statistics 教育統計─目 錄 CH1 概 論 ......................................................
1－1
1-1 統計學分類 .................................................................... 1－3 1-2 次數分配與圖示法 ........................................................ 1－12
CH2 常態分配特性 ...........................................
2－1
2-1 集中量數 ........................................................................ 2－3 2-2 算術平均數 .................................................................... 2－4 2-3 中位數 ............................................................................ 2－7 2-4 眾數 ............................................................................. 2－9 2-5 幾何平均數 .................................................................... 2－11 2-6 調和平均數 .................................................................... 2－12 2-7 變異量數 ........................................................................ 2－14 2-8 全距 ............................................................................. 2－15 2-9 四分位差 ........................................................................ 2－15 2-10 平均差 .......................................................................... 2－19 2-11 變異數與標準差 .......................................................... 2－20 2-12 相對變異量數 .............................................................. 2－26 2-13 偏態與峰態 .................................................................. 2－28
CH3 相對地位量數 ...........................................
3－1
3-1 百分位數與百分等級 .................................................... 3－3 3-2 標準分數 ........................................................................ 3－7
CH4 機率概論 ...................................................
4－1
4-1 集合 ............................................................................. 4－3
Contents〈1〉
4-2 機率 ............................................................................. 4－4 4-3 期望值 ............................................................................ 4－8 4-4 機率分配 ........................................................................ 4－10
CH5 簡單相關與迴歸 ........................................
5－1
5-1 相關係數 ........................................................................ 5－3 5-2 積差相關 ......................................................................... 5－7 5-3 簡單迴歸分析 ................................................................. 5－16 5-4 迴歸方程式 ..................................................................... 5－20 5-5 離均差平方和 ................................................................. 5－21 5-6 決定係數 ......................................................................... 5－23 5-7 估計標準誤 ..................................................................... 5－25
CH6 抽樣理論與抽樣分配.................................
6－1
6-1 抽樣方法 ........................................................................ 6－3 6-2 抽樣分配 ........................................................................ 6－16 6-3 常用抽樣分配 ................................................................ 6－24
CH7 區間估計與假設考驗.................................
7－1
7-1 區間估計 ........................................................................ 7－3 7-2 假設考驗基本概述 ........................................................ 7－9 7-3 區間估計與假設考驗類型架構圖................................. 7－20 7-4 變異數區間估計與假設考驗......................................... 7－43 7-5 百分比區間估計與假設考驗......................................... 7－45 7-6 積差相關係數的假設考驗............................................. 7－52 7-7 樣本大小 n 推估 ............................................................ 7－56
CH8 卡方考驗 ...................................................
8－1
8-1 卡方分配 ........................................................................ 8－3 8-2 適合度考驗 .................................................................... 8－5
Contents〈2〉
8-3 百分比同質性考驗 ........................................................ 8－8 8-4 獨立性檢定（關聯性考驗）......................................... 8－12 8-5 改變的顯著性檢定 ........................................................ 8－16 8-6 2 考驗應用限制 ........................................................... 8－19
CH9 變異數分析 ...............................................
9－1
9-1 單因子變異數分析 ........................................................ 9－4 9-2 獨立樣本單因子變異數分析......................................... 9－9 9-3 單因子相依樣本變異數分析......................................... 9－16 9-4 變異數分析基本假設 .................................................... 9－19 9-5 多重比較 ........................................................................ 9－21 9-6 雙因子變異分析 ............................................................ 9－33 9-7 趨向分析與共變項分析 ................................................ 9－47
CH10 其他相關統計法 ......................................
10－1
10-1 相關與列聯相關 ...................................................... 10－4 10-2 二系列相關、點二系列相關與四分相關................... 10－8 10-3 等級相關 ...................................................................... 10－11 10-4 相關比 .......................................................................... 10－16 10-5 淨相關、部分相關 ...................................................... 10－17
CH11 高等統計 .................................................
11－1
11-1 複迴歸分析 .................................................................. 11－3 11-2 多變項相關分析 .......................................................... 11－10
附錄一 解釋名詞 ...............................................
12－1
附錄二 統計機率分配表 ....................................
13－1
表 A 常態分配表 .............................................................. 13－2 表 B 常態分配表 .............................................................. 13－5
Contents〈3〉
表 C 常態分配表 .............................................................. 13－6 表 D 積差相關係數（r）顯著性臨界值 ............................. 13－7 表 E 亂數表 .......................................................................... 13－8 表 F t 分配表（左表） ........................................................ 13－9 表 G t 分配表（右表） ........................................................ 13－10 表 H 2 分配表 ..................................................................... 13－11 表 I F 分配表 .................................................................... 13－12 表 J F 分配表 .................................................................... 13－13 表 K F 分配表 ................................................................... 13－14 表 L q 分配的臨界值 ........................................................... 13－15 表 M Fmax 的臨界值（哈特萊變異數同質性考驗）........... 13－16 表 N Dunnett 多重比較的 tD 分配 ........................................ 13－17 表 O Pearson r 與 Fisher Z（Zr）直線轉換 ........................ 13－18
Contents〈4〉
第一章 概 論 1－3
教育統計─歷屆試題分析 傳 統 教 育 敘述統計與推論統計、四大變項（測量量尺）、莖葉圖與盒鬚 統 計 考 題 圖、次數分配圖種類意義、間斷變項與連續變項 最 新 教 育 圖示法易犯的錯誤與注意事項、母數統計學與無母數統計學（ 統 計 考 題 種類）、中介變項與干擾變項、雷達圖、資料分析適用變項
教育統計學（Statistics for Education）是一門應用統計學，主要在探 討如何利用它來解決實際教育與心理工作所面臨的問題。統計學定義為蒐 集、整理、分析、解釋統計資料，並依樣本資料去推論母體特性，使能在 不確定情況下作出適切決策。 統計分析目前在社會科學應用日益廣泛與重要。例如：臺灣高等教育 供需為何？教育與學習效果的研究與衡量？瞭解學生人格特質與發展？教 育品質是否有所改善？……等等都可以利用統計方法來解決。
1-1 統計學分類 一、統計學分類 教育統計學依其內容約可區分敘述統計學（Descriptive Statistics）、推 論統計學（Inferential Statistics）與實驗設計（Experimental Design）三 大類。就時間發展次序而言，敘述統計學與推論統計學發展較早，而實 驗設計則為近代產物。 敘述統計學（Descriptive Statistics）： 只探討母體與樣本的個別特性，對研究資料之處理主要在蒐集、整理 劃記、描述與表現結果，即將一群資料加以整理、摘要、組織與簡化 ，使讀者容易明瞭其中意義與傳遞訊息。內容包括集中趨勢、變異趨 勢、圖形表示、相對地位量數等。 ：只求算出樣本平均數。若全校 1000 名女學生，欲推算全校女學 生的體重，抽樣 100 名學生得到樣本平均體重 X 44。 推論統計學（Inferential Statistics）： 又稱歸納統計學（Inductive Statistics），係探討母體與樣本之間的關
1－4 教育統計
係，根據樣本的資料推論未知母體性質（非樣本性質）。當研究者欲 瞭解母體某些特性，但母體群過於龐大，無法將母群體全部蒐集，最 好辦法為經由隨機（ Random）方式，自群體抽取若干具有代表性（
Representative）個體為樣本，再依機率原理，經由假設、估計、考驗 步驟，使用樣本統計量從事估計與考驗母體母數的方法。內容包括機 率分配、抽樣方法、估計、考驗、2 分配、相關與迴歸。 ：依上例由 X 44 推算全校女同學平均體重（）。 實驗設計（Design of Experiments）： 製造一種情況用以驗證假設是否存在，如自變項與依變項的因果關係 ；研究者透過實驗操弄自變項，然後觀察依變項造成影響。實驗研究 前，研究者必須有詳細完整計畫，包括操弄自變項內容、觀察依變項 內容、干擾變項、抽取樣本大小、測量誤差範圍、採用統計方法、考 量成本時間……等均需事先決定。 ：研究者想瞭解不同教學方法（電腦輔助教學法、啟發教學法、編 序教學法）對國民小學學生學習成績的影響。 二、教育統計學架構
抽樣 樣本
母體 推論
資料的性質與蒐集（第一章） 集中量數 單峰分配四大量數 變異量數 敘述統計學 峰態 （第二章） 偏態 相對地位量數（第三章）
第一章 概 論 1－5
資料的性質與蒐集（第一章） 機率理論 抽樣與抽樣分配（第六章） 迴歸分析與相關分析（第五章） 其他相關分析（第十章） 推論統計學 區間估計與假設考驗（第七章） 卡方檢定（第八章） 變異數分析（第九章） 實驗設計 共變項分析（第九章）
※母數統計學與無母數統計學之比較： 推論統計學中因母群體特性與條件不同，又分成母數統計學（
Parametric Statistics）與無母數統計學（Non Parametric Statistics）二 類，二者間差異比較如下： 母
數
統
計
學無
母體分配呈常態分配 大樣本資料 母群變異數同質性 適用等距變項與比率變項的研究 資料 統計考驗方法：t、Z、F 發展時間較早 常使用統計附表 統計考驗力（1 ）較高
母
數
統
計
學
母體分配不呈常態分配 小樣本資料 母群變異數異質性 適用名義變項與次序變項的研究 資料 統計考驗方法：2 發展時間方法較晚 不常使用統計附表 統計考驗力（1 ）較低
三、概念、構念與變項 研究在探求「事實的真相」，在研究過程必須具有思考基本元素和單位 （Units）而概念、構念和變項即為思考元素，分述如下： 概念（Concept）： 概念（ Concept）用來表示某事物、對象、狀況的共同特徵或想法， 當大家約定成俗以文字表達時，即為概念。一般用來表達概念方式分
1－6 教育統計
為：客觀實體可觀察事物，如「桌子」、「電腦」、「教學媒體」 ……等；抽象不可觀察的事物，非具體存在，如「個性」、「動機 」……等，也即為「假設性構念」（Hypothetical Construct）。 構念（Construct）： 本質上構念與概念相同，但構念是基於研究者學術研究需要，所假設 性創造的抽象概念，其目的在建立理論基礎。構念多由一組簡單的概 念組合而成，而且無法直接測量。假設性構念產生為研究者依據現有 理論為基礎，發揮學術洞察與創意成果，亦為研究者建構理論基準， 有其存在的價值。假設性構念可由三方面間接推論：原因推論； 結果推論；表現推論。 變項（Variable）： 變項是一個概念或特性，如指人或事物的特徵，這些特徵在質或量可 以變動的概念或屬性，因此具有不同數值，即為變項；而變數則為研 究者賦予數值符號。常見變項分類包括四大變項、自變項與依變項。 四、測量尺度種類 研究者在研究過程中，蒐集到資料數據中，應以何種特性或量測準則？ 因不同測量尺度其資料計算與進行統計推論方式均不同，因此對於「變 項」的基本概念與區辨方式，是初學者進入「教育統計學」領域必備概 念。而最常見測量尺度區分方式是以 1951 年 S. S. Stevens 將測量尺度 區分為四大類： 類別變項（名目變項、名義變項）（Nominal Variable）： 係為標示事物與事物間不同特質或類別而指定的數字，無法比較二者 間大小和形式，亦即二變項間具有互斥性（Mutually Exclusive）與完 整性（Exhaustive Categories），僅眾數有意義。如：身分證號碼、血 型、性別、郵遞區號。 次序變項（順序變項）（Ordinal Variable）： 不僅能標示事物與事物間不同特質或類別而指定的數字，亦能指出大 小次序（等級順序）、多寡、優劣、高低，但無法衡量其距離差異大 小值，僅中位數有意義。如：考試名次、作文成績甲等乙等、百分等 級、教育程度、社經地位、大學教授層級。
第一章 概 論 1－7
等距變項（區間變項）（Interval Variable）： 不僅能標示事物與事物間不同特質或類別而指定的數字，亦能指出大 小次序（等級順序）、多寡、優劣、高低，尚可以數值方式表示二事 物差別之大小的變項。平均數、標準差都有意義，尚有溫度、明暗度 、音量、智商、成績分數。等距變項具有一基本特性「相等單位」， 但無絕對零點、無倍數關係。 比率變項（Ratio Variable）： 不僅能標示事物與事物間不同特質或類別而指定的數字，亦能指出大 小次序（等級順序）、多寡、優劣、高低，尚可以數值方式表示二事 物差別之大小的變項，還可以表示相對比例大小。比率變項最重要條 件是具有絕對零點（Absolute Zero；為具備任何測量變項屬性，絕對 零點的 0 即表「空」或「無」）與有倍數關係，具備四則運算中加、 減、乘、除運算。如：身高、年齡、體重、薪資皆為此一變項。為變 項中最高階量尺。 表 變項種類彙總表 名義（目）變項 順 測量尺度 類 別 尺 度 序
特
簡
序 列
變 尺
項區 度等
間 距
變 尺
項比 率 變 項 度比例（尺度）
Nominal Scale Ordinal Scale Interval Scale Ratio Scale 標示目的物而 分辨類別 分辨類別 分辨類別 指定的數字 只能指出等級 只能指出等級 只能指出等級 分辨類別 順序 順序 順序 性 比較大小、高 比較大小、高 比較大小、高 低、長短、優劣 低、長短、優劣 低、長短、優劣 算出差距 算出差距 算出比率（例） 性別、宗教、血 選美、考試名次 溫 度 、 IQ 、 測 身高、體重、長 型、國籍、籍貫 、等第、中位數 驗成績、音量、 度、年齡、面積 、准考證號碼、 、百分等級、積 明暗度、智商、 、體積、薪水、 例 寢室號碼、月份 差相關、四分位 平均數、標準差 暴風半徑、老鼠 、校別、身分證 差、難度、教授 、標準分數、全 跑迷津、時間、 字號、價值觀、 層級、李克特五 距、T 分數、標 速度 眾數 等量表 準九
1－8 教育統計 不能四則運算 （）
不能四則運算 （）
能做
能做四則運算 （） 無 有 絕對零點 提供訊息 少多 轉 化 連續變項可轉化為間斷變項，但間斷變項不能轉化為連續變項 數理特性
五、其他變項分類 連續變項與間斷變項： 連續變項（計量變項）（Continuous Variable）：觀察或測量的統 計資料中，任何二數量間均可無窮細分，可以有小數或分數連續不 間斷的數據，且每個數值均有意義，連續變項是一個數列中一段距 離而非一個點，可使用「介於什麼之間」表示。連續變項測量數值 皆代表強度意義，又稱為量化變項（Quantitative Variable）。如身 高、時間、體重、分數……等。 間斷變項（離散變項）（Discrete Variable）：某一特定範圍內一些 分數點相互分開，且各點之間有一段明確距離，同時此種變項大多 使用整數表示；其數值間不可無限細分，無法找到更小單位數值， 其值由點計而得，而非一段距離，不可以有小數或分數，又稱為質 化變項（Qualtitative Variable）。如：性別、骰子點數、家庭孩子 數、二十張椅子是一精確數。 自變項與依變項： 自變項（Independent Variable）與依變項（Dependent Variable）： 自變項屬於刺激變項，為研究者所操弄的因素，藉由操弄此因素觀 察它對另一變項所產生影響，按照字面翻譯，自變項又稱為「獨立 變項」；而依變項則為反應變項，隨自變項影響而改變。從預測作 用角度，自變項預測依變項，自變項則屬於「預測變項」；依變項 則屬於「效標變項」、「結果變項」，以發生時間為基準，發生在 前變項可為因，視為自變項；發生在後為果，視為依變項，而此種 關係如「投入─產出」，則自變項稱為「投入變項」，依變項稱為 「產出變項」。 ：Y f(X) X：自變項 Y：依變項
第一章 概 論 1－9
X：教學法（演講法、編序教學法、啟發式教學法） Y：學習成績 控制變項（Controlled Variable）： 瞭解干擾變項或無關變項的存在，而將其加以控制，那些干擾變 項就成了控制變項。 控制變項的控制與自變項的控制是不同的，前者的控制目的是使 所控制變項對依變項不影響，而後者的控制則希望自變項對依變 項有影響，即控制變項的控制旨在排除干擾變項；控制自變項目 的，則在於探知依變項之變化，係單純因自變項而引起。 六、母體與樣本統計量數 母體（Population）： 母體係指欲研究問題中，相關的觀察測量值之總集合體稱之；係由具 有共同特性之個體或元素（Element）所組成之群體，是研究者想要 觀察的對象全體集合。母體又分為標的母群體與可接近母群體。 樣本（Sample）： 是由母體中抽出部分個體所組成的小群體，依抽樣方法可分為隨機樣 本與非隨機樣本，能夠代表母體特性的樣本稱代表性樣本。而抽取樣 本過程叫抽樣，所採用方法叫抽樣方法。 母數或參數（Parameter）： 由母體中所求算出的表徵數，用來描述母體資料的特性，大都以希臘 字母代表，如平均數、變異數 2、相關係數……。因為母體較 為龐大，大都無法知道母體母數特性，必須透過隨機抽樣由樣本統計 量推論母體母數特性。 統計量（Statistics）： 由樣本所求算出之表徵數，用來描述樣本資料特性的測量數，一般以 英文符號表示，如變異數 S2、相關係數 r、平均數 X ……。 表
徵
數母
算術平均數
數統
計
變異數
X 、M Sˆ2 、S2
比率（例）
P
pˆ
2
量
1－10 教育統計 迴歸係數 相關係數
b r
主要資料（一手資料）（Firsthand Data）： 事件發生時，實際觀察者或參與者提出報告，由研究者個人直接調查 獲得資料。 次級資料（二手資料）（Secondary Data）： 經由他人蒐集整理分析的統計資料，而非研究者個人調查獲得。如來 自國內外政府機關、公民營學術機構、企業組織、一般書刊雜誌均為 次級資料的來源。 七、實驗研究法特徵 隨機化（Randomization）： 由於研究情境相當複雜，且不同組別受試者具有許多特質差異，欲完 全控制這些因素，研究者常採用隨機化原則排除無法直接適當控制因 素。隨機化為消除傳統偏見及減弱無關變項影響力最有效因素，最常 用隨機化步驟有二個：一是隨機抽樣、二為隨機分派。 隨機抽樣（Random Sampling）：為使樣本具有代表性，每一樣本 均有相等機會被抽取為研究對象，且樣本間出現彼此互不影響，亦 即實驗結果有推論到母體可能，因此實驗設計中要盡量做到隨機抽 樣，確保實驗結果具有外在效度。 隨機分派（Random Assignment）：每個被抽取受試者均有相同機 會接受任何一種實驗處理，且樣本間出現彼此互不影響，當實驗研 究二組受試者完全相同下，觀察依變項在實驗後變化可以歸因於研 究者對自變項操弄，因此實驗設計中盡量做到隨機分派，確保實驗 結果具有內在效度。 控制變項： 依據「大小控原理」（Max-min-con Principle），實驗研究必須經由 適當實驗設計，盡量增大實驗變異量強度，使有實驗處理與無實驗處
第一章 概 論 1－11
理的差異明顯，且須控制無關變異量與混淆變項，並減小實驗結果誤 差變異量，才能使實驗效果更客觀正確。 使實驗變異量（研究問題相關變項之變異量）最大：實驗者必須使 幾個實驗處理間有很大差異，以提昇研究統計考驗力。 減低誤差變異量（個別差異變異量）最小：任何實驗研究均會有誤 差存在，只是程度上不同，這些誤差會造成實驗效果顯著性，實驗 者必須妥善控制實驗情境與提高測量工具信度，設法減低誤差變異 量到最小限度。誤差變異量主要來自個別差異變異量與測量誤差。 排除無關變異量（Extraneous Variance）：研究者必須設法控制實 驗變項以外的無關變項或混淆變項，使它們對實驗效果影響降至最 低程度，以免混淆實驗結果，造成解釋困難。 八、研究效度 內在效度意義（Internal Validity）： 郭生玉（民 88）指出「內在效度」為實驗者所操縱實驗變項對依變 項所造成影響真正程度，亦即實驗處理是否確實造成有意義差異。而 內在效度高低，則視研究者是否控制無關變項程度，控制愈好，則實 驗差異愈能解釋是由實驗處理造成，即內在效度高，亦為一致性高。 如何提高「內在效度」： 學者 Campbell 與 Stanley 於西元 1963 年認為八項因素是影響內在效 度無關變項，研究者必須加以控制，使研究結果做正確解釋，八項因 素包括同時事件（臨時事件）、成熟、測驗、測量工具、統計迴歸、 選樣偏差、受試者流失、因素交互作用；提高方法包括隨機分派、設 計前測、增設一組控制組。 外在效度意義： 外在效度（ External Validity ）指實驗結果的概括性（ Generalizatility ）和代表性（Representativeness），亦即研究結果是否可以推論到其 他研究母體或研究情境，研究結果愈具普遍的應用性，其外在效度愈 高 。學者 Bracht 與 Glass 提 出二種 外 在效度： 母 群體效度 （
Population Validity）；生態效度（Ecological Validity）。 如何提高「外在效度」：
1－12 教育統計
影響外在效度因素包括測驗反作用與交互作用效果、霍桑效應、選樣 偏差與實驗變項交互作用效果、多重實驗處理的干擾；提高方法包括 隨機抽樣、使用延宕測驗、盡量不安排前測實驗設計。
1-2 次數分配與圖示法 當研究者蒐集大量數據，很難從未經整理資料中看出其意義與特性， 這些資料數據稱原始資料（Raw Data），從原始資料計算出的分數即為原 始分數（Raw Score）。為了將這些資料加以分類整理，讓讀者能更容易 瞭解資料內容趨勢，統計學者發明了統計表與統計圖二類方式。 一、次數分配表 次數分配（Frequency Distribution）： 將蒐集的資料經過整理，如依數量大小分成若干組，用來顯示資料中 分布情況，經常以次數圖或次數表來表示。自變項為數量大小，而依 變項則為各數量發生次數。 編製次數分配表假設： 均勻分配：假設資料在各組中是均勻分配。 集中分配：假設資料在各組中是集中在組中點。 編製次數分配表分類原則： 周延（Inclusion）：周延目的在使原始資料無一遺漏，即資料數據 必可歸納於某一類中。 互斥（Exclusion）：互斥目的在使原始資料無一重複，即資料數據 不可同時在二類中出現。 次數分配表功能：（王保進，民 95） 檢測與描述蒐集資料集中量數的趨勢。 檢測與描述蒐集資料變異量數的趨勢。 檢測資料分配狀況是否為常態分配。 檢查資料是否出現極端值（Outlier）。 編製次數分配表步驟：