ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ 4-11-2012 ΦΥΣ ΚΑΤ Γ ΛΥΚ by ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΠΑΡΜΠΑΣ

ΦΑ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛ

Φίλε μαθητή,

ΦΑ

Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών μας και ο στόχος της ύπαρξής του δεν είναι να υποκαταστήσει το σχολικό βιβλίο, αλλά να εξυπηρετήσει δύο σκοπούς :  να είναι ένα βιβλίο οργανωμένο και μεθοδευμένο έτσι ώστε να είναι ουσιαστικό, πρακτικό και φιλικό για το μαθητή, πλήρες σε θεωρία, μεθοδολογία, παρατηρήσεις αλλά και κατηγορίες ασκήσεων,  να είναι ένα πλήρες, λειτουργικό και χρήσιμο εργαλείο για τον καθηγητή του μαθήματος και να διευκολύνει την εκπαιδευτική του δραστηριότητα

Ελπίζοντας ότι το βιβλίο αυτό θα σε βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση και οργάνωση της διδακτέας ύλης και ουσιαστικότερη επαφή με τη γνώση και την εκπαίδευση, σου ευχόμαστε καλή πορεία στους δρόμους της γνώσης και καλή επιτυχία στους στόχους σου.

ΑΛ

Οι συγγραφείς - καθηγητές του Ομίλου

ΦΑ

ΑΛ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Μηχανικές Ταλαντώσεις ................................................................................9 Ασκήσεις στις Μηχανικές Ταλαντώσεις .......................................................23

ΦΑ

Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις ..............................................................................57 Ασκήσεις στις Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις .......................................................65 Φθίνουσες-Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις ..................................................81 Ασκήσεις στις Φθίνουσες-Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις...........................91 Σύνθεση Ταλαντώσεων ..............................................................................109 Ασκήσεις στη Σύνθεση Ταλαντώσεων....................................................... 115

ΚΥΜΑΤΑ

Εξίσωση Κύματος........................................................................................131 Ασκήσεις στην Εξίσωση Κύματος ..............................................................139

ΑΛ

Επιφανειακή Συμβολή Κυμάτων ................................................................161 Ασκήσεις στην Επιφανειακή Συμβολή Κυμάτων.......................................167 Στάσιμο Κύμα .............................................................................................181 Ασκήσεις στο Στάσιμο Κύμα.......................................................................187 Ηλεκτρομαγνητικό Κύμα ............................................................................201 Ασκήσεις στα Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα .................................................209

ΦΑ

ΑΛ

ΦΑ Κεφάλαιο

ΑΛ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΑ

ΑΛ

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠEPIOΔIKΑ ΦΑINOMENΑ Είναι τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται ακριβώς τα ίδια ανά τακτά χρονικά διαστήματα. Κάθε περιοδικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω φυσικά μεγέθη: την περίοδο Τ, τη συχνότητα f και τη γωνιακή συχνότητα ω.

ΦΑ

 Περίοδος (Τ) : Είναι ο χρόνος που απαιτείται για µία πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Μονάδα μέτρησης: 1s (S.I)  Συχνότητα ( f ) :

Είναι ο αριθμός Ν των επαναλήψεων του φαινομένου στη μονάδα του χρόνου και δίνεται από τη σχέση: f =

 t

Μονάδα μέτρησης: 1Ηz= 1s-1 (S.I) Σχέση περιόδου-συχνότητας:

Για χρόνο t= 1Τ έχουμε ένα περιοδικό φαινόμενο, δηλαδή Ν = 1, οπότε αντικαθιστώντας στη σχέση f=

 1 προκύπτει f = . t 

 γωνιακή συχνότητα(ω):

Συνδέεται µε τη συχνότητα f και την περίοδο Τ µε τις σχέσεις: ω = 2πf και ω=

2 

ΑΛ

Μονάδα μέτρησης: 1rαd/s (S.I)

TΑΛΑNTΩΣH

Είναι η περιοδική παλινδρομική κίνηση ενός σώματος μεταξύ δύο ακραίων θέσεων εκατέρωθεν ενός σταθερού σημείου, το οποίο ονομάζεται θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) ή κέντρο της ταλάντωσης. Ειδικά:  Γραµµική ταλάντωση:

Είναι η ταλάντωση που γίνεται πάνω σε ευθεία.

 Απλή αρµονική ταλάντωση(α.α.τ.):

Είναι η γραµµική ταλάντωση, στην οποία η απομάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας είναι αρµονική (ημιτονοειδής ή συνηµιτονοειδής) συνάρτηση του χρόνου.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-9-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

KINHMATIKH ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Όταν μελετάμε την κίνηση ενός σώματος, τρία φυσικά μεγέθη πρωταγωνιστούν και µας δίνουν παρά πολλές πληροφορίες για την τροχιά που έχουν καθορίσει να εκτελέσει το σώμα οι δυνάμεις που ασκούνται σ' αυτό. Αυτά τα φυσικά μεγέθη δεν είναι άλλα από την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση.

ΦΑ

 απομάκρυνση (x): Η απομάκρυνση είναι ίση µε την αλγεβρική τιμή της µμετατόπισης από τη θέση ισορροπίας.

Με απλά λόγια µας δείχνει πόσο απέχει το σώμα από τη θέση ισορροπίας και όχι πόση απόσταση έχει διανύσει το σώμα μέχρι να φτάσει σ' αυτή τη θέση.

Η απομάκρυνση δίνεται από τη σχέση:

x= Αημ(ωt + φο)

Μονάδα µμέτρησης: 1 m (S.I)

 πλάτος ταλάντωσης(Α):

Είναι η μέγιστη απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Το πλάτος είναι πάντοτε θετικό, γιατί είναι ίσο µε το μέτρο της μέγιστης τιμής της απομάκρυνσης. Μονάδα μέτρησης: 1 m (S.I)  φάση της ταλάντωσης(φ):

ΑΛ

Είναι η γωνία που έχει σχέση µε τη θέση του σώματος κάθε στιγμή και δίνεται από τη σχέση φ=ωt+φο . Η φυσική σημασία της φάσης θα γίνει πιο κατανοητή, όταν αναφερθούμε στο περιστρεφόμενο διάνυσμα. Μονάδα μέτρησης: 1 rad (S.I)

 αρχική φάση(φο):

Είναι η γωνία που έχει σχέση µε τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0.

Μονάδα μέτρησης: 1 rad (S.I)

Αρχική φάση δεν έχει η ταλάντωση ενός σώματος, όταν τη χρονική στιγμή t=0 έχουμε x=0 και υ>0.

Προσοχή : η αρχική φάση παίρνει τιμές από 0 έως 2π δηλ. ισχύει 0  φο< 2π rad

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-10-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

Γραφική παράσταση φάσης με το χρόνο (φ-t):

Από την κλίση του διαγράμματος υπολογίζουμε τη γωνιακή συχνότητα ω .



Γραφική παράσταση απομάκρυνσης – χρόνου( x – t):

t=0 t= T/4 t= T/2 t= 3T/4

x= + A x=0

x= - A x=0

ΑΛ

t= T

x=0

Προσοχή : Το σώμα σε χρόνο μιας περιόδου περνά από τη θέση ισορροπίας 2 φορές . ΤΑΧΥΤΗΤΑ (υ):

Η ταχύτητα είναι ίση µε την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της απομάκρυνσης του κινητού, δηλαδή υ =

dx και δίνεται από τη σχέση: dt

υ=ωΑ συν(ωt + φο) Μονάδα μέτρησης: 1 m/s (S.I)

 πλάτος ταχύτητας (υmax) : υmax = ωΑ

Είναι ίση µε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος, την οποία έχει το σώµα όταν διέρχεται από ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-11-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

τη θέση ισορροπίας. Η ταχύτητα μπορεί να πάρει θετική ή αρνητική τιμή ανάλογα µε τη φορά του διανύσματός της και ανεξάρτητα από τη θέση του σώματος. 

Γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου( υ – t): υ = + υ max

x=0

t= T/4

υ=0

x= + A

t= T/2

υ = - υ max

x=0

t= 3T/4

υ=0

x= - A

t= T

υ = + υ max

x=0

ΦΑ

t=0

ΑΛ

Προσοχή : Tο σώμα σε χρόνο μιας περιόδου έχει μέγιστη ταχύτητα δύο φορές που αλλάζει κατεύθυνση 2 φορές στις ακραίες θέσεις .

ΕΠΙΤΑXYNΣH (α):

Η επιτάχυνση είναι ίση με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας του σώματος, δηλαδή α =

du και δίνεται από τη σχέση: dt

α = - ω2 Αημ(ωt + φο) Μονάδα μέτρησης: 1 m/s2 (S.Ι)

• πλάτος επιτάχυνσης (αmaχ) : αmax = ω2Α

Είναι το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σώματος, την οποία έχει το σώμα όταν βρίσκεται στις δύο ακραίες θέσεις. Η επιτάχυνση μπορεί να πάρει θετική ή αρνητική τιμή ανάλογα με τη φορά του διανύσματός της και ανεξάρτητα από τη φορά της ταχύτητας του σώματος.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-12-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ



Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Σχέση επιτάχυνσης απομάκρυνσης : α = -ω

ΦΑ

Επειδή x = A ημ ωt και α = - ω2 Αημωt προκύπτει α = -ω2 x δηλαδή η επιτάχυνση είναι ανάλογη πάντα με την απομάκρυνση με αντίθετο πάντα πρόσημο.

Από την κλίση του διαγράμματος υπολογίζουμε το ω2 

Γραφική παράσταση επιτάχυνσης – χρόνου( α – t):

t=0 t= T/4 t= T/2 t= 3T/4

υ = + υ max

x=0

α = - αmax

υ=0

x= + A

α=0

υ = - υ max

x=0

α = + αmax

υ=0

x= - A

α=0

υ = + υ max

x=0

ΑΛ

t= T

α=0

Προσοχή : Tο σώμα σε χρόνο μιας περιόδου έχει μέγιστη επιτάχυνση δύο φορές που αλλάζει κατεύθυνση 2 φορές στη Θ.Ι.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-13-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαφορά φάσης Θεωρούμε ότι για t=0 η απομάκρυνση είναι ίση με μηδέν και η ταχύτητα είναι θετική. Άρα φο=0 και επομένως: x=Αημωt, υ=ωΑσυνωt, α=-ω 2 Αημωt

ΦΑ

Από τις παραπάνω σχέσεις παρατηρούμε ότι τα τρία μεγέθη x, υ και α την ίδια χρονική στιγμή έχουν διαφορετικές φάσεις. Αυτό σημαίνει ότι τα μεγέθη αυτά ούτε μηδενίζονται ούτε αποκτούν τη μέγιστη τιμή τους και τα τρία ταυτόχρονα. Συγκεκριμένα: 

Η φάση της ταχύτητας είναι μεγαλύτερη από τη φάση της απομάκρυνσης κατά π/2 rad.



Η φάση της επιτάχυνσης είναι μεγαλύτερη από τη φάση της ταχύτητας κατά π/2 rad.



Η φάση της επιτάχυνσης είναι μεγαλύτερη από τη φάση της απομάκρυνσης κατά π rad. Να γνωρίζω να αποδεικνύω τις σχέσεις :

υ =   2  x 2 και α =  umax 2  u 2

ΔYNAMIKΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣH Γνωρίζουμε ότι σε όλες τις κινήσεις, για να αλλάξει η ταχύτητα του σώματος, πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να είναι διάφορη του μηδενός. Η συνισταμένη δύναμη είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνση του σώματος και σύμφωνα µε το 2ο Νόμο του Νεύτωνα ισχύει η σχέση: ΣF= m α. Η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα μεταβάλλει την ταχύτητά του (μέτρο - κατεύθυνση), ενώ η μάζα, που είναι μέτρο της αδράνειας του σώματος, "αντιστέκεται" σε κάθε αλλαγή της ταχύτητας.

ΑΛ

Η συνισταμένη δύναμη ΣF στην α.α.τ. ονομάζεται δύναμη επαναφοράς ( Fεπ) και έχει πάντοτε φορά προς τη θέση ισορροπίας. Μονάδα μέτρησης: 1 Ν (S.I)



Γραφική παράσταση της δύναμης σε συνάρτηση µε το χρόνο.

Fεπ = mα= -mω2Αηµ(ωt+φο)=- F mαx ηµ(ωt+φο),

όπου Fmaχ= mω2Α το πλάτος της δύναμης, δηλαδή η μέγιστη τιμή της. Εάν φο = 0, τότε F = - Fmαχ ηµωt και η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-14-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ



Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Σχέση δύναμης - απομάκρυνσης :

F επ = -mω2Αηµ(ωt+φο) = - mω2x Το γινόμενο mω2 ονομάζεται σταθερά επαναφοράς D. Η σχέση

F επ = - Dx

αποτελεί την απαραίτητη συνθήκη για να εκτελέσει το σώμα απλή αρμονική



ΦΑ

ταλάντωση. Γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς σε συνάρτηση µε την απομάκρυνση

Από την κλίση του διαγράμματος παίρνουμε τη σταθερά D.

Η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, είναι πάντοτε 2 θετική και δίνεται από τη σχέση D=mω . Μονάδα μέτρησης: 1 N/m (S.Ι)

Προσοχή! Για σύστημα ελατήριο-σώµα (σε οριζόντιο, κατακόρυφο ή κεκλιμένο επίπεδο), η σταθερά D δεν εξαρτάται από τη μάζα του συστήματος, γιατί όταν αλλάζει η μάζα, αλλάζει και η γωνιακή συχνότητα, έτσι ώστε D=K. 

Σχέση περιόδου-σταθεράς D

ΑΛ

Από τη σχέση D=mω2 μπορούμε να υπολογίσουμε την περίοδο της ταλάντωσης.

2π 2  

D=mω2=m   Τ

Τ= 2π

m . D

Η περίοδος εξαρτάται από τη μάζα και τη σταθερά επαναφοράς D . Σχέση συχνότητας- σταθεράς D .

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

1 D . 2 m

-15-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ετ ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται µε την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε ταλάντωση. Η ενέργεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο:



1 D A2 2

ΦΑ

Ετ =

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια αυτή παραμένει σταθερή. Άρα:



Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της ταλάντωσης.



Στη διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια ταλάντωσης εμφανίζεται ως δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και ως κινητική ενέργεια. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις:

Απόδειξη της σχέσης : U =

1 D x2 2

ΑΛ



1 1 m υ2 και U = D x2 2 2

Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στη θέση ισορροπίας Ο (x= 0), για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση, πρέπει να του ασκηθεί εξωτερική δύναμη Fεξ .Κατά τη μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. Για να μετακινηθεί το σώμα σε θέση x χωρίς ταχύτητα, πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να μεταβάλλεται έτσι, ώστε η δύναμη αυτή να είναι συνεχώς αντίθετη µε τη δύναμη επαναφοράς. Δηλαδή πρέπει να ισχύει: Fεξ = - Fεπ= D x Συνεπώς η δύναμη Fεξ είναι μεταβλητού μέτρου, οπότε το έργο της υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης Fεξ = f ( x ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται µε το έργο της δύναμης Fεξ. Επομένως : WF εξ = Εμβ(ΟΚΒ) =

1 D x2 2

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-16-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

Το έργο της εξωτερικής δύναμης εκφράζει την ενέργεια που προσφέραμε στο σύστημα και η οποία αποθηκεύτηκε ως δυναμική ενέργεια (αφού το σώμα μετακινήθηκε χωρίς ταχύτητα).

Αν δεχτούμε ότι το σώμα δεν έχει δυναμική ενέργεια όταν βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, τότε στη θέση απομάκρυνσης x από τη Θ.Ι. η δυναμική ενέργεια υπολογίζεται από τον τύπο U = 

1 D x2. 2

Η ολική ενέργεια ταλάντωσης Ετ ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

παραμένει σταθερή και είναι κάθε στιγμή ίση µε το άθροισμα της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης και της κινητικής του ενέργειας. (Α.Δ.Ε.Τ) Δηλαδή: Κ + U = ET ή

1 1 m υ2 + D x2 = ET = σταθερή 2 2

Από την τελευταία σχέση διαπιστώνουμε τα ακόλουθα: 

Στη θέση ισορροπίας (x = 0) η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν, ενώ η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη και ίση µε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης.

1 m υ2max . 2

ΑΛ

Δηλαδή Ετ = Κmαx =



Στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης (x = ± Α) η κινητική ενέργεια είναι μηδέν, ενώ η δυναμική ενέργεια είναι μέγιστη και ίση µε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης. Συνεπώς έχουμε Ετ = Umαx =



1 D Α2 2

Σε οποιαδήποτε ενδιάμεση θέση (εκτός από τη Θ.Ι.) το σύστημα έχει και κινητική και δυναμική ενέργεια. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας µε την εξής μορφή:

1 1 1 1 m u12 + D x12 = ET = m υ22 + D x22 =σταθερή 2 2 2 2

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-17-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Χρονικές εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις της κινητικής και δυναμικής ενέργειας στην α.α.τ. Θεωρούμε ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του (x= 0) µε θετική ταχύτητα (υ > 0). Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι x=Αηµωt και υ = ωΑσυνωt. Επομένως έχουμε:

1 m υ2 ή 2

Κ=

1 D x2 ή 2

1 m ω2 Α2 συν2ωt ή 2

Κ = ΕΤσυν2ωt

1 2 2 DΑ ημ ωt 2

U = ΕΤημ2 ωt

ΦΑ

Εξισώσεις Κ= f (x) και U = f (x) , γραφικές παραστάσεις αυτών.

1 D x2 2

ΑΛ

Κ = Ετ -

Εξισώσεις Κ= f (υ) και U = f (υ) , γραφικές παραστάσεις αυτών.

1 m υ2 2

U = Ετ -

1 m υ2 2

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-18-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ



Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Η κινητική ενέργεια γίνεται ίση µε τη δυναμική ενέργεια 4 φορές στη διάρκεια μιας περιόδου της ταλάντωσης, όπως φαίνεται και από τα σημεία τομής των U = f(t) και Κ = f(t). Επομένως η δυναμική και η κινητική ενέργεια είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου, µε γωνιακή συχνότητα (ω΄) διπλάσια από τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης (ω).



Η κινητική ενέργεια γίνεται ίση µε τη δυναμική ενέργεια (Κ = U) κάθε φορά που το σώμα



u 2 Α 2 και η ταχύτητά του τότε είναι υ = ± mαx . 2 2

ΦΑ

διέρχεται από τις θέσεις : x= ±

ρυθμοί μεταβολής : στην απλή αρμονική ταλάντωση

dx =u dt du β) Ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας = επιτάχυνση =α dt dp γ) Ρυθμός μεταβολής της ορμής = συνισταμένη δύναμη =ΣF dt dK δ) Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας : = ΣF. u dt dK η μέγιστη τιμή του ρυθμού δίνεται = ΣF. u = - D . A ημωt . umax συνωt = dt D A u max ημ2ωt dK = - D . A . umax ημωt . συνωt = - D . A . umax , = όταν |ημ 2ωt|=1 2 dt (max) 2 α) Ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης = ταχύτητα

dU dK == - ΣF. u dt dt dU BA dWB στ) Ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας == - WB .u dt dt

ΑΛ

ε) Ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης

Πλαστική κρούση

Όταν δύο σώματα συγκρούονται και μετά την κρούση τους κινούνται μαζί (συσσωμάτωμα), τότε λέμε ότι η κρούση τους είναι πλαστική. Όταν οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση έχουν την ίδια διεύθυνση (µε ίδιες ή αντίθετες φορές), τότε η ταχύτητα του συσσωματώματος θα έχει την ίδια διεύθυνση µε τις ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση. Η αρχή διατήρησης της ορμής για το (μονωμένο) σύστημα κατά την πλαστική κρούση γράφεται:

  p oλ(πριν)  p oλ(μετα)  m1u1 - m2u2= (m1+ m2 ) u

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-19-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Στην πλαστική κρούση η κινητική ενέργεια του συστήµατος µειώνεται. Ένα µέρος της κινητικής ενέργειας που είχε το σύστηµα πριν την κρούση µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια . Εποµένως ισχύει : Κολ(αρχ) > Κολ(τελ) σε κάθε κρούση ισχύει η διατήρηση της ενέργειας Εαρχ = Ετελ δηλ. Κολ(αρχ) = Κολ(τελ)+ Q (θερμότητα)

Έκρηξη

ΦΑ

Όταν ένα σώµα σπάει σε δύο κοµµάτια και θεωρήσουµε το σύστηµα µονωµένο, τότε ισχύει και πάλι η αρχή διατήρησης της ορµής:

  p oλ(πριν)  p oλ(μετα)  mu = m1u1 – m2 u2.

Κατά την έκρηξη η τελική ενέργεια του συστήματος είναι μεγαλύτερη από την αρχική ενέργεια αυτού . Καρχ + Ε = Κτελ ( Ε = ενέργεια που εκλύεται κατά την έκρηξη)

Πλαστική κρούση και ταλάντωση ή έκρηξη και ταλάντωση.

Στα προβλήµατα ταλαντώσεων όπου εµφανίζεται το φαινόµενο της πλαστικής κρούσης ή της έκρηξης πρέπει να προσεχθεί ότι:  η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης δεν αλλάζει όταν το ελατήριο είναι οριζόντιο (είναι η θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος), η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης αλλάζει όταν το ελατήριο είναι κατακόρυφο ή σε κεκλιµένο επίπεδο.



Στα προβλήµατα ταλαντώσεων με κρούση χρησιμοποιούμε πάντα Α. Δ .Ο και Α. Δ. Ε που έγινε η κρούση.

ΑΛ



ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-20-

ταλ

στη θέση

ΦΑ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛ

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΜΑΔΑ Α.

1. Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι κίνηση α) ευθύγραμμη ομαλή. β) ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη. γ) ομαλή κυκλική. δ) ευθύγραμμη περιοδική.

ΦΑ

2. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του είναι α)ανάλογη του χρόνου. β) αρμονική συνάρτηση του χρόνου. γ) ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. δ) ομόρροπη με τη δύναμη επαναφοράς. 3. Η ταχύτητα υ σημειακού αντικειμένου το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση α) είναι μέγιστη κατά μέτρο στη θέση x = 0. β) έχει την ίδια φάση με την απομάκρυνση x. γ) είναι μέγιστη στις θέσεις x=  A . δ) έχει την ίδια φάση με τη δύναμη επαναφοράς.

4. Η επιτάχυνση α σημειακού αντικειμένου το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση α) είναι σταθερή. β) είναι ανάλογη και αντίθετη της απομάκρυνσης x. γ) έχει την ίδια φάση με την ταχύτητα. δ) γίνεται μέγιστη στη θέση x = 0.

ΑΛ

5. Η συνισταμένη δύναμη που ενεργεί σε σημειακό αντικείμενο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση α) είναι σταθερή. β) έχει την ίδια φάση με την απομάκρυνση x. γ) είναι ανάλογη και αντίθετη της απομάκρυνσης. δ) είναι ανάλογη της ταχύτητας υ. 6. Η φάση της απλής αρμoνικής ταλάντωσης α) αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο β) είναι σταθερή. γ) ελαττώνεται γραμμικά με το χρόνο δ) είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου.

7. Η διαφορά φάσης Δφ = φυ–φx μεταξύ ταχύτητας υ και απομάκρυνσης x στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι α) -π/2 β) π/2 γ) π δ) 0 8. Η διαφορά φάσης Δφ = φx–φα μεταξύ απομάκρυνσης x και επιτάχυνσης α στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι: α) -π/2 β) π/2 γ) π δ) -π 9. Η διαφορά φάσης Δφ = φα–φυ μεταξύ επιτάχυνσης α και ταχύτητας υ στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι: α) -π/2 β) π/2 γ) π δ) 0

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-23-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

10.Σύστημα μάζας - ελατηρίου εκτελεί ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι:

f  2

m k

γ)

f 

1 2

m k

β)

f  2

k m

δ)

f 

1 2

k m

ΦΑ

α)

11.Η περίοδος της ταλάντωσης απλού εκκρεμούς όταν η μέγιστη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφη είναι μικρή, α) εξαρτάται από τη μάζα του σφαιριδίου. β) είναι ανάλογη προς την πυκνότητα του υλικού του σφαιριδίου. γ) είναι ανάλογη του πλάτους ταλάντωσης. δ) διπλασιάζεται αν τετραπλασιαστεί το μήκος του νήματος. 12.Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η δυναμική του ενέργεια α) έχει τη μέγιστη τιμή της στη θέση ισορροπίας. β) είναι ίση με την ολική του ενέργεια στις θέσεις x=  A . γ) έχει πάντοτε μεγαλύτερη τιμή από την κινητική του ενέργεια. δ) έχει αρνητική τιμή στις θέσεις  A  x  0

13.Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση όταν η απομάκρυνση δίνεται από τη σχέση x=Αημωt, τότε: α) η δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση F=-mαmaxημωt β) η επιτάχυνση δίνεται από τη σχέση α= αmaxημωt γ)η απομάκρυνση παίρνει μέγιστη τιμή τη στιγμή t=0 δ) η ταχύτητα ελαττώνεται με το χρόνο

ΑΛ

14.Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η κινητική του ενέργεια α) στη θέση x = 0 είναι ίση με την ολική του ενέργεια. β) είναι πάντοτε μεγαλύτερη από τη δυναμική του ενέργεια. γ) εξαρτάται από την κατεύθυνση της κίvησης της μάζας m. δ) παίρνει μηδενική τιμή μια φορά στη διάρκεια μιας περιόδου. 15.Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η ολική του ενέργεια α) μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. β) είναι πάντοτε μικρότερη από τη δυναμική του ενέργεια. γ) είναι πάντοτε μεγαλύτερη από την κινητική του ενέργεια. δ) καθορίζει το πλάτος της ταλάντωσης Α και τη μέγιστη ταχύτητα υο.

16.Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή στη διάρκεια μιας περιόδου α) η δυναμική του ενέργεια παίρνει τη μέγιστη τιμή της μόνο μια φορά. β) η δυναμική του ενέργεια είναι ίση με την κινητική του μόνο μια φορά. γ) η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή. δ) η κινητική του ενέργεια παίρνει τη μέγιστη τιμή της μόνο μια φορά. 17.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και πραγματοποιεί 10 ταλαντώσεις σε χρόνο 5 s. Η συχνότητα ταλάντωσης του είναι: α) 0,5 H

β) 2 Hz

γ) 4π Hz

δ) 5 Hz

18.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και η συχνότητα με την οποία διέρχεται από τη θέση ισορροπίας είναι 0,5 Hz. Η ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-24-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

περίοδος της Α.Α.Τ. είναι ίση με: α). 1 s β) 2 s

γ) 0,5 s

δ) 4 s

19.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και μετά από τρεις πλήρεις ταλαντώσεις το συνολικό μήκος της διαδρομής είναι 6m. Η απόσταση μεταξύ των ακραίων θέσεων είναι: α) 1 m β) 2 m γ) 0,5 m δ) 6 m

ΦΑ

20.Η περίοδος του ωροδείκτη ενός ρολογιού είναι: α) 1 h β) 24 h γ) 12 h

δ) 2 h

21.Η περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της είναι: α) Περιοδική κίνηση β) Ταλάντωση γ) Περιοδικό φαινόμενο

δ) Γραμμική Ταλάντωση

22.6. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και ο χρόνος για να μεταβεί από τη Θέση Ισορροπίας σε μία ακραία θέση είναι 0,25 s. Η γωνιακή συχνότητα είναι: α) 2π rad/s β) 8π rad/s γ) 0,5π rad/s δ) π rad/s 23.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t=0 είναι στη θέση x=-A. Η επιτάχυνση του θα πάρει την τιμή α=+αmax μετά από χρόνο: α)Τ/4

β) Τα

γ) Τ/2

δ) 3Τ/4

24.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με α<0 και επιβραδύνεται. Το σώμα κινείται: α) Από τη θέση x=0 στη θέση x=-A β) Από τη θέση x=0 στη θέση x=+A γ) Από τη θέση x=+A στη θέση x=0

ΑΛ

δ) Από τη θέση x=-A στη θέση x=0

25.Ποια από τις παρακάτω σχέσεις μας δίνει το πλάτος της ταχύτητας σε μία Α.Α.Τ. α) umax = ω2 Α β) umax = 2πΤΑ γ) umax = 2πΑ δ) umax = 2πfΑ

26.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο 4s. Όταν το σώμα διέρχεται από τη Θέση Ισορροπίας η ταχύτητά του είναι 1 m/s. Οι ακραίες θέσεις απέχουν απόσταση που είναι ίση με: α) 2/π m β) π m γ) 4/π m δ) π/4 m 27.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και κινείται από τη Θέση Ισορροπίας σε μία από τις ακραίες θέσεις με θετική ταχύτητα. Η επιτάχυνση του σώματος είναι: α) α>0 β) α<0 γ) α=0 δ) α=+αmax 28.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και διέρχεται από μία θέση της τροχιάς του στην οποία η ταχύτητα είναι μέγιστη. Η δύναμη επαναφοράς σε αυτή τη θέση είναι: α) F=Fmax β) F=0 γ) F=-Fmax δ) F<0 29.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Το διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης είναι ίση με: α) 2π m/s β) π m/s γ) 5 m/s δ) 0,2 m/s ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-25-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

30.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Το διάγραμμα επιτάχυνσης-χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τη χρονική στιγμή t1: 2

α(m/s )

ΦΑ

t(s)

α) x=0

β) υ=-υmax

γ) F=-Fmax

δ) x=-A

31.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι: u (m/s)

t (sec)

8π

-2

α) 2 m

β) 4 m

γ) 8π m

δ) 8 m

32.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς του D υπολογίζεται από τη σχέση: α) D = mω β) D = f / m γ) D = m2πf δ) D = m 4 π2/Τ2

ΑΛ

33.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα δύναμης επαναφοράςαπομάκρυνσης. Η σταθερά επαναφοράς D του συστήματος είναι ίση με: F(N) +5

-0,2

+0,2

-5

α) 5 N/m

β) 1 N/m

γ) 25 N/m

δ) 2 N/m

34.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η μάζα του σώματος είναι m=4kg και η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι D=100 N/m.Το σώμα για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση χρειάζεσαι χρόνο ίσο με: α) 0,5π s β) 0,4π s γ) 2π s δ) 0,25π s 35.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος Α της ταλάντωσης τότε η συχνότητά του f θα: α) παραμείνει σταθερή β) Διπλασιαστεί γ) Υποδιπλασιαστεί δ) υποτετραπλασιαστεί ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-26-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

36.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής x = Α ημωt. Ποιά από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή; α) α = ω x

β) α = - ω2 x

γ) α = - ω x2

δ) α = - ωx

37.Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι: α) διαρκώς ομόρροπη με την ταχύτητα. β) ομόρροπη με τη δύναμη επαναφοράς. δ) αρμονική συνάρτηση του χρόνου

ΦΑ

γ) γραμμική συνάρτηση του χρόνου

38.Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση συνισταμένης δύναμης F. Αν x είναι η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, για τη δύναμη F ισχύει ότι: α) F = - 50.x

β) F= 20. x

γ) F = 10.x2

δ) F = 10 – 50.x

39. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και γωνιακής συχνότητας ω. Επιλέξτε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις. α) Σε κάθε περίοδο το σώμα διανύει διάστημα 4Α

ሬሬሬሬ⃗ είναι διαρκώς αντίρροπες β) Η ταχύτητα ‫ݑ‬ ሬ ⃗ και η δύναμη επαναφοράς ΣF

γ) Η φάση της ταχύτητας είναι μεγαλύτερη της φάσης της απομάκρυνσης κατά π rad

δ) Η απομάκρυνση χ από τη Θέση Ισορροπίας του και η επιτάχυνση του α συνδέονται με τη σχέση: α=ω2x

ε) Το διάνυσμα της απομάκρυνσης έχει διαρκώς φορά προς τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης

40.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με ενέργεια ταλάντωσης Ε=8J. Αν τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα βρίσκεται στη Θέση Ισορροπίας μετά από χρόνο t=Τ/4 η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με: α) 2 J β) 4 J γ) 0 J δ) 8 J

ΑΛ

41.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η ενέργεια ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: α) Ε = 1/2 m u2 β) Ε = 1/2 m 4 π2 f2 A2 γ) Ε = 1/2 mf2 A2 δ) Ε = 1/2 m ω2 Α

42.Ποιά από τις παρακάτω σχέσεις εκφράζει τη χρονική μεταβολή της κινητικής ενέργειας; α) Κ = m.ω2. Α2 συν2 ω.t β) Κ = Ε.συνω. t . 2 . γ) Κ = Ε ημ ω t δ) Κ = Ε. συν2 ω.t 43.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο. Η συχνότητα ταλάντωσης είναι ίση με:

α) 5 Hz

β) 0,4 Hz

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

γ) 0,2 Hz -27-

δ) 2,5 Hz

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

44.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με ενέργεια ταλάντωσης Ε = 10 J. Αν την χρονική στιγμή t η κινητική ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης, τότε η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι: α) 10 J β) 2,5 J γ) 30 J δ)7,5J 45.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης x = Α ημωt. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής με τα στοιχεία της δεξιάς στήλης. α. x=0 3Ε i. K=

ΦΑ

β. x = + A

ii. U=0

γ. x = -A

iii. K=0

δ. x= +

iv. α = - αmax

Α 2

46.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση x = -A α) Η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι β) Μετά από χρόνο

3π 2

Τ η κινητική ενέργεια θα είναι μέγιστη 2

γ) Μετά από δύο πλήρεις ταλαντώσεις η ενέργεια ταλάντωσης θα έχει υποδιπλασιαστεί δ) Μετά από χρόνο

Τ η δυναμική ενέργεια θα είναι 0 4

47.Σύστημα ελατηρίου-σώματος εκτελεί Α.Α.Τ. α) Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι η σταθερά του ελατηρίου β) Η δύναμη επαναφοράς και η δύναμη του ελατηρίου δεν είναι πάντα ίσες

ΑΛ

γ) Η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από την μάζα του ταλαντούμενου σώματος

δ) Η περίοδος της ταλάντωσης είναι διαφορετική αν το ελατήριο είναι οριζόντιο ή κατακόρυφο 48.Στη θέση ισορροπίας ενός σώματος, που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση: α) η επιτάχυνση μεγιστοποιείται. β) η δύναμη επαναφοράς μηδενίζεται. γ) η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης μεγιστοποιείται. δ) η κινητική ενέργεια μηδενίζεται.

49.Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Στην ακραία αρνητική του θέση: α) η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μέγιστη. β) το μέτρο της δύναμης επαναφοράς είναι μηδέν γ) το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μέγιστο

δ) η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μηδέν

Σωστό – Λάθος

50.Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι ευθύγραμμη κίνηση, ομαλά μεταβαλλόμενη. 51.Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του και η επιτάχυνσή του α συνδέονται με την εξίσωση α = -ω2x. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-28-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

52.Στην απλή αρμονική ταλάντωση η δύναμη F και η απομάκρυνση x είναι μεγέθη συμφασικά. 53.Στην απλή αρμονική ταλάντωση η φάση της ταχύτητας υ προηγείται της φάσης της επιτάχυνσης α κατά π/2 54.Όταν σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, ισχύει η συνθήκη : ΣFx = -Dx. 55.Η τιμή της σταθεράς επαναφοράς D σχετίζεται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που ταλαντώνεται. 56.Η σταθερά επαναφoράς δεν επηρεάζει την περίοδο του ταλαντευόμενου συστήματος. 57.Στην απλή αρμονική ταλάντωση το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο στη θέση x = 0. 58.Στην απλή αρμονική ταλάντωση το μέτρο της επιτάχυνσης είναι ελάχιστο στις θέσεις x=±A. 59.Στην απλή αρμονική ταλάντωση τα διανύσματα υ και α είναι πάντα αντίρροπα. 60.Στην απλή αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη F και η επιτάχυνση α είναι διανύσματα συγγραμμικά και ομόρροπα. 61.Η περίοδος του απλού εκκρεμούς εξαρτάται από τη μάζα του σφαιριδίου. 62.Η ολική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή καθορίζει τη μέγιστη ταχύτητα υmax και το πλάτος της ταλάντωσης Α 63.Η ολική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι ίση με την κινητική του ενέργεια στη θέση x= 0. 64.Η ολική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι ίση με τη δυναμική του ενέργεια στις θέσεις x==±A. 65.Η ολική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. 66.Στη διάρκεια μιας περιόδου η δυναμική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή γίνεται ίση με την κινητική του ενέργεια μόνο μια φoρά. 67.Στη διάρκεια μιας περιόδου η δυναμική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι συνεχώς μικρότερη από την ολική του ενέργεια. 68.Στη διάρκεια μιας περιόδου η ολική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι συνεχώς μεγαλύτερη από την κινητική του ενέργεια. 69.Στον απλό αρμονικό ταλαντωτή, έχουμε περιοδική μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντιστρόφως. 70.Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και κάποια χρονική στιγμή βρίσκεται στη θέση x= + A. Μετά από χρόνο Τ/2: α) Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας θα είναι μηδέν

ΑΛ

β) Η δύναμη επαναφοράς θα είναι μέγιστη κατά απόλυτη τιμή γ) Η ταχύτητα του σώματος θα είναι μηδέν δ) Η απομάκρυνση θα είναι μηδέν

71.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης θα μεταβληθούν: α) H σταθερά επαναφοράς β) H γωνιακή συχνότητα γ) Tο πλάτος της ταχύτητας δ) Tο πλάτος της δύναμης επαναφοράς 72.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου

α) Η χρονική στιγμή t1 αντιστοιχεί σε απομάκρυνση όπου η ταχύτητα του σώματος είναι μηδενική ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-29-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

β) Η χρονική στιγμή t2 αντιστοιχεί στη Θέση Ισορροπίας γ) Η χρονική στιγμή t3 αντιστοιχεί σε θέση όπου ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι μηδέν δ) Η χρονικές στιγμές t1 και t2 διαφέρουν χρονικά Τ/2

ΦΑ

73.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Διατηρώντας σταθερή τη μάζα του σώματος τετραπλασιάζουμε τη σταθερά επαναφοράς του D. Το πλάτος της ταλάντωσης Α παραμένει σταθερό. α) Η συχνότητα ταλάντωσης υποδιπλασιάζεται β) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις τετραπλασιάζεται γ) Το πλάτος της ταχύτητας υποδιπλασιάζεται δ) Το πλάτος της επιτάχυνσης διπλασιάζεται

74.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. α) Η σχέση F=-Dx είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελέσει α.α.τ β) Η δύναμη επαναφοράς είναι μέγιστη στο κέντρο της τροχιάς γ) Η σταθερά D εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης

δ) Η σταθερά D εξαρτάται από μεγέθη χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου συστήματος

ΟΜΑΔΑ Β.

ΑΛ

75.Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

α) Το μέτρο της ταχύτητας έχει τη μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές 0 sec, 4 sec, 8sec β) Το μέτρο της επιτάχυνσης έχει τη μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές 2sec και 6sec γ) Τη χρονική στιγμή t = 4 sec το μέτρο της επιτάχυνσης είναι α = αmax . δ) Τη χρονική στιγμή 7sec το μέτρο της ταχύτητας είναι μικρότερο από το μέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγμή 2sec. 76. Το σύστημα μάζας - ελατηρίου του σχήματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A. Τη χρονική στιγμή t = 0 η μάζα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη προς την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση x της μάζας από τη θέση ισορροπίας της είναι ημΙτονική συνάρτηση του χρόνου. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

α) Τη χρονική στιγμή t=T/8 η επιτάχυνση έχει αλγεβρική τιμή   β) Η ταχύτητα της μάζας καθορίζεται από τη σχέση: υ=υmaxσυνωt ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-30-

 max 2

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

γ) Τη χρονική στιγμή t=3T/8 η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι ίση με την κινητική του

ΦΑ

77.Απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α. Αν το πλάτος ταλάντωσης διπλασιαστεί, τότε α) η περίοδος ταλάντωσης διπλασιάζεται. β) το μέτρο της μέγιστης δύναμης επαναφοράς διπλασιάζεται. γ) η ολική ενέργεια του συστήματος τετραπλασιάζεται. δ) το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας τετραπλασιάζεται. Με ποιο ή ποια από τα παραπάνω συμφωνείτε και γιατί;

78.Στους δύο απλούς αρμονικούς ταλαντωτές (Α) και (Β) δίνουμε την ίδια ολική ενέργεια. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

α) Οι ταλαντωτές εκτελούν αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους. β) Το μέτρο της μέγιστης δύναμης επαναφοράς στον ταλαντωτή (Α) είναι διπλάσιο του μέτρου της μέγιστης δύναμης επαναφοράς στον ταλαντωτή (Β). γ) Οι ταλαντωτές ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα. δ) Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας υΟΒ του ταλαντωτή (Β) είναι της μέγιστης ταχύτητας υΟΑ του ταλαντωτή (Α).

2 φορές μεγαλύτερο από το μέτρο

ΑΛ

79.Απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους A. Διατηρούμε σταθερό το πλάτος ταλάντωσης και διπλασιάζουμε τη μάζα του σώματος. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α) Η περίοδος της ταλάντωσης διπλασιάζεται. β) Η ολική ενέργεια του συστήματος διπλασιάζεται. γ) Το μέτρο υmax της μέγιστης ταχύτητας του σώματος γίνεται ίσο με  

 max 2

δ) Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σώματος υποδιπλασιάζεται. 80.Ένα σώμα m=1Kgr εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με απομάκρυνση που δίνεται από τη σχέση: x=3συν4t (SI) α) Να γράψετε τις συναρτήσεις U=f(x), EΜΗΧ=f(x), Κ=f(x) της ταλάντωσης. β)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις U=f(x), EΜΗΧ=f(x), Κ=f(x) σε κοινό σύστημα ορθογωνίων αξόνων ποσοτικά (να φαίνονται οι τιμές των μεγεθών) 81.Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α, σε συνάρτηση με το χρόνο.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-31-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Τη χρονική στιγμή t1=3 s το σημειακό αντικείμενο βρίσκεται στη θέση: α) x1=0 β) x1=+Α γ) x1=-Α Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΦΑ

82. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική φάση μηδέν. Η γραφική παράσταση δείχνει τις μεταβολές της κινητικής Κ, της δυναμικής U και της ολικής ενέργειας Ε, σε συνάρτηση με το χρόνο. Η κινητική του ενέργεια Κ εξισώνεται με τη δυναμική του ενέργεια U, 120 φορές ανά λεπτό.

Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι: α) 30 Hz β) 2 Ηz

γ) 0,5 Hz.

Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

83.Σύστημα ελατηρίου σταθεράς k - μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ και συχνότητας f. Αντικαθιστούμε τη μάζα με άλλη m΄ = m/4 και διπλασιάζουμε το πλάτος της ταλάντωσης Α΄= 2Α. Α) Για τη συχνότητα ισχύει: α) f ΄= 2.f β) f ΄= f γ) f ΄= f/2 Β) Η ενέργεια της ταλάντωσης E′ α) παραμένει η ίδια.

β) διπλασιάζεται.

γ) τετραπλασιάζεται

Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις και να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.

ΑΛ

84.Δύο σημειακά σώματα, που έχουν ίσες μάζες (m1=m2=m), εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση .Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων ικανοποιούν τη σχέση f1 > f2 και τα πλάτη τη σχέση Α2 <Α1. Oι ενέργειες ταλάντωσης Ε1 και Ε2 των δύο σωμάτων 1 και 2 αντίστοιχα ικανοποιούν τη σχέση: α) E1 = E2 β) Ε1 > E2 γ) E2 > E1. Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 85.Σώμα εκτελεί αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α. Σε κάποια θέση της τροχιάς του, η κινητική ενέργεια είναι το 50% της ολικής του ενέργειας και η δύναμη επαναφοράς έχει θετική τιμή. Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, ισούται με: α) −

3 2

β)

2 2

γ) -

2 2

Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 86.Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα επιπλέον ενέργεια 3Ε. Τότε η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης: α) μένει σταθερή. β) διπλασιάζεται. γ) τετραπλασιάζεται. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-32-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

87.Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας Κ ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη Θέση ισορροπίας του.

Η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας U σε συνάρτηση με το τετράγωνο της απομάκρυνσης x2 είναι η:

Να επιλέξετε τις σωστή γραφική παράσταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΑΛ

88.Η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Τη χρονική στιγμή t1 η ταχύτητα του σώματος έχει θετικό πρόσημο. Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι η:

Να επιλέξετε τη σωστή γραφική παράσταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

89.Σώμα Α είναι δεμένο σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο στην οροφή. Εκτρέπουμε κατακόρυφα το σώμα Α από τη θέση ισορροπίας του κατά d, προσφέροντας ενέργεια Ε1 και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί από τη θέση εκτροπής, οπότε αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αντικαθιστούμε το σώμα Α με σώμα Β, που έχει μεγαλύτερη μάζα και εκτρέπουμε το σώμα Β από τη θέση ισορροπίας του κατά ίση απομάκρυνση d με τον ίδιο τρόπο. Η ενέργεια Ε2 που προσφέραμε για να εκτρέψουμε το σώμα Β είναι: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-33-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

α) ίση με την Ε1.

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

β) μικρότερη από την E1.

γ) μεγαλύτερη από την E1.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΦΑ

90.Σώμα Σ1 μάζας m είναι δεμένο σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς, που δέχεται στη διάρκεια της ταλάντωσης είναι Fmax και η μέγιστη επιτάχυνση αmax. Αντικαθιστούμε το Σ1 με άλλο σώμα Σ2, που έχει μεγαλύτερη μάζα m2 από το Σ1 και διεγείρουμε το σύστημα ώστε να εκτελέσει ταλάντωση ίδιου πλάτους Α. Τότε το σώμα Σ2 θα ταλαντώνεται με απλή αρμονική ταλάντωση και: Α) η μέγιστη δύναμη που θα δέχεται θα είναι : α) μικρότερη απ’ του Σ1.

β) ίση με του Σ1.

γ) μεγαλύτερη απ’ του Σ1.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Β) η μέγιστη επιτάχυνση του θα είναι: α) μικρότερη απ’ του Σ1.

β) ίση με του Σ1.

γ) μεγαλύτερη απ’ του Σ1.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

91.Δύο σώματα με μάζες m1 = 2m και m2= m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις για τις σταθερές επαναφοράς D1 και D2 αντίστοιχα των δύο συστημάτων είναι σωστή; α) D1 = D2/2 β) D1 = 2.D2 γ) D1 = D2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΑΛ

92.Στο παρακάτω διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις για δύο σώματα 1 και 2 τα οποία εκτελούν Α.Α.Τ.

Ποια από τις παρακάτω σχέσεις για τις μέγιστες επιταχύνσεις ταλάντωσης των δύο σωμάτων είναι σωστή;

α) αmax(1) = αmax(2)/2

β) αmax(1) = αmax(2)/4

γ). αmax(1) = 4 . αmax(2)

δ). αmax(1) = 2 . αmax(2)

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

93.Δύο σώματα 1 και 2 με ίσες μάζες εκτελούν Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα ταχύτητας-χρόνου για τα δύο σώματα.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-34-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Ο λόγος της μέγιστης δύναμης επαναφοράς του σώματος 1 προς τη μέγιστη δύναμη επαναφοράς του σώματος 2 είναι: α) 3 β) 9 γ) 1/3 δ. 1/9 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΦΑ

94.Σώμα μάζας m εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο Τ και πλάτος Α. Τετραπλασιάζουμε το πλάτος της ταλάντωσής του και διπλασιάζουμε τη μάζα του ενώ διατηρούμε αμετάβλητη τη σταθερά επαναφοράς D. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις θα: α) τετραπλασιαστεί β) παραμένει σταθερός γ) υποτετραπλασιαστεί δ) διπλασιαστεί Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

95.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο T = 4 s. Η συχνότητα μεγιστοποίησης του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι ίση με: α) 4 Hz β) 2 Hz γ. 0,5 Hz δ) 0,25 Hz Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

96.Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής ταλαντώνεται, με πλάτος ταχύτητας υmax , πλάτος επιτάχυνσης αmax και αρχική φάση φ0. Σε ένα τυχαίο σημείο της τροχιάς του έχει ταχύτητα μέτρου υ και επιτάχυνση μέτρου α. Η σχέση που συνδέει τη στιγμιαία ταχύτητα υ με τη στιγμιαία επιτάχυνση α, είναι η: α)

u2 α2 + =1 u 2max α 2max

β)

u2 α2  =1 u 2max α 2max

γ)

u max



α max

Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

97. Ένα σώμα συνδέεται στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα εκτελεί Α.Α.Τ. με πλάτος ταλάντωσης A1. Αντικαθιστούμε το σώμα με ένα άλλο τετραπλάσιας μάζας το οποίο εκτελεί επίσης Α.Α.Τ. αλλά με

ΑΛ

διπλάσιο πλάτος. Η σχέση που συνδέει την ενέργεια ταλάντωσης E1 του πρώτου σώματος με την αντίστοιχη ενέργεια ταλάντωσης E2 του δεύτερου σώματος είναι: α) E2= 4.E1

β) E2= 16.E1

γ) E2= E1/4

δ) E2= E1/16

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

98.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και στο παρακάτω σχήμα δίνεται το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου.

Η αρχική φάση ταλάντωσης είναι: α) 0 β. π/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

γ) π

δ) 3π/2

-35-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

99.Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x=+A/2 όπου A το πλάτος της ταλάντωσης και επιβραδύνεται. Η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι: α) π/3 β) 2π/3 γ) π/6 δ) 5π/6 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΦΑ

100. Δύο σώματα με μάζες m1 και m2 συνδέονται στο ελεύθερο κάτω άκρο δύο κατακόρυφων ελατηρίων των οποίων τα πάνω άκρα είναι σταθερά στερεωμένα. Για τις σταθερές των δύο ελατηρίων ισχύειK1= 4K2. Παρατηρούμε ότι το πρώτο ελατήριο, όταν ισορροπεί το σώμα, έχει επιμηκυνθεί κατά d1 , ενώ το δεύτερο κατά d2= 2d1 .

Ποια από τις παρακάτω σχέσεις ισχύει για τις συχνότητες ταλάντωσης των δύο σωμάτων (Θεωρούμε ότι και τα δύο σώματα εκτελούν Α.Α.Τ.). α) f1=

2 .f2

β) f1=

2. f2 2

γ) f1= 4.f2

δ) f1= 2.f2

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΑΛ

101. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγμή t η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι x= -A/2 όπου A το πλάτος της ταλάντωσης. Ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t είναι: α) 1/2 β)1/4 γ)3 δ) 1/3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 102. Μικρό σώμα μάζας m εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x= + A/2 και επιταχύνεται. Η αρχική του φάση είναι: α) π/6 β) 5π/6 γ) π/3 δ) 5π/3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 103. Να βρεθεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ενός σώματος το οποίο εκτελεί Α.Α.Τ. όταν η ταχύτητά του είναι η μισή της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωση

ΟΜΑΔΑ Γ.

104. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,2m και κυκλικής συχνότητας ω=20 rad/s. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση x του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου. Να γράψετε την εξίσωση σε συνάρτηση με το χρόνο για την απομάκρυνση x, αν δίνεται ότι για to = 0 είναι: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-36-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

α) x=0 και υ>Ο β) x=0 και υ<Ο Απ: α) x =0,2ημ20t (SI)

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

β) x= 0,2ημ(20t +π) (SΙ)

105. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάvτωση και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x=Αημ(ωt+φο). α) Να υπολογίσετε τις τιμές των μεγεθών Α, ω, φο αν γνωρίζετε ότι απόσταση των ακραίων θέσεων του

ΦΑ

υλικού σημείου είναι d=0,2m και για to=0 είναι x=0,05m και υ=- 3 m/s. β) Να βρείτε τη χρονική στιγμή to =0 την επιτάχυνση του υλικού σημείου. γ) Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο υλικό σημείο, αν η μάζα του είναι m=0,1kg. Απ: α) 0,1m, 20rad/s, 5π/6

β) -20m/s2

106. Υλικό σημείο μάζας m=0,01kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=0,2m και περιόδου Τ=π s. α) Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να μεταβεί το υλικό σημείο από τη θέση x1 = 0,1 m στη θέση x2= -0,1 m, αν δίνεται ότι το υλικό σημείο περνάει από τη θέση x1 κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. β) Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του υλικού σημείου όταν αυτό περνάει από τις θέσεις x1 και x2; Απ: α) π/2 sec β) -4.10-3 Ν, 4.10-3 Ν 107. Αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί 20 πλήρεις ταλαντώσεις σε χρονική διάρκεια 4s και τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα μέτρου 5π m/s. α) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του ταλαντωτή από τη θέση ισορροπίας του. β) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του ταλαντωτή τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση x1=0,15m. γ) Να βρείτε πότε ο ταλαντωτής σταματά στιγμιαία για δεύτερη φορά. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: α) x=0,5ημ(10πt) (S.I) β) -150m/s2 γ) 0,15s

ΑΛ

108. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,4 m και συχνότητας f =4Hz .Τη χρονική στιγμή t = 0 τ ο σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. β) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος και να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις σε βαθμολογημένους άξονες. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: α) 8πr/s β) x=0,4ημ(8πt)(S.I), υ=3,2πσυν(8πt)(S.I), α=-256ημ(8πt)(S.I) 109. Η απόσταση των δύο ακραίων θέσεων μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι 30 cm και ο χρόνος που απαιτείται για τη μετάβαση του σώματος από τη μια ακραία θέση στην άλλη είναι 0,25 s. Να βρεθούν το πλάτος, η συχνότητα και η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης. Απ: 0,15 m, 2 Hz, 0,6π m/s

110. Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και κάθε δευτερόλεπτο διέρχεται 20 φορές από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα μέτρου 8π m/s. α) Να βρεθούν το πλάτος και η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης. β) Να βρεθεί πόσο χρόνο χρειάζεται το σώμα για να μεταβεί από τη θέση ισορροπίας του μέχρι την ακραία θέση της ταλάντωσής του. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: α) 0,4 m, 1600 m/s2, β) 25∙10-3sec 111. Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = 0,4ημ(20πt) (S.I.). ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-37-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

α) Να βρεθεί η συχνότητα και η περίοδος της ταλάντωσης. β) Να γραφούν οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου. γ) Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή το σώμα θα έχει για τρίτη φορά απομάκρυνση ίση με 0,2 m και ποια ταχύτητα θα έχει τότε. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: α) 10 Hz, 0,1s β) υ = 8πσυν(20πt)(S.I) , α =-1600ημ(20πt) (S.I.) γ) 13/120 s, 4π√૜ m/s

ΦΑ

112. Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης α σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα, να υπολογίσετε.

α) την απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t=π/3s β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τις χρονικές στιγμές που η επιτάχυνση του ισούται με -16√3 m/s2 . Απ: α)0,25√3 m β) 2m/s

ΑΛ

113. Υλικό σημείο εκτελεί αρμονική ταλάντωση με απομάκρυνση που δίνεται από την εξίσωση x = 0,1ημ(10πt + π/6) (S.I.). α) Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης και της ταχύτητάς του συναρτήσει του χρόνου. γ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που το σώμα θα φθάσει για πρώτη φορά στη μέγιστη απομάκρυνση του. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: α) υ = π συν(10πt+ π/6) (S.I), α = -100ημ(10πt + π/6) (S.I), γ) 1/30 s 114. Υλικό σημείο εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση του μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου. β) Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πέμπτη φορά. Απ: α) x=0,4ημ(20πt+7π/6) (S.I) , υ=8πσυν(20πt+7π/6) (S,I) β) 29/120s 115. Στο σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της φάσης ενός σώματος που εκτελεί αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης είναι αmax = 625 m/s2, να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης και να γραφούν οι εξισώσεις x = x(t) και υ = υ(t). Δίνεται: π2=10

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-38-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

ΑΛΦΑ

Απ: 0,1m, x = 0,1ημ(25πt+ π/2) (S.I), υ = 2,5πσυν(25πt + π/2) (S.I).

116. Υλικό σημείο εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και έχει ταχύτητα υ1 = 6 m/s όταν η απομάκρυνση του είναι x1=0,8m και ταχύτητα υ2=8m/s όταν η απομάκρυνσή του είναι x2 =0,6m. Να βρεθεί η κυκλική συχνότητα και το πλάτος της ταλάντωσης. Απ. 10 r/s, 1 m 117. Ένα σωματίδιο εκτελεί αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα ω = 2π r/s και πλάτος Α=0,4 m. Τη χρονική στιγμή t=0 είναι x = 0,2√2 m και η ταχύτητα του σώματος είναι αρνητική. α)Να γραφούν οι εξισώσεις x = x(t) και υ = υ(t). β) Πόσο διάστημα έχει διατρέξει το σώμα μέχρι τη στιγμή t = 2,25 s; Απ: α) x = 0,4ημ(2πt + 3π/4) (S.I), υ = 0,8πσυν(2πt + 3π/4) (S.I.), β) 3,76 m

118. Ένα σωματίδιο εκτελεί αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα ω = π/3 r/s. Τη χρονική στιγμή t=0 έχει απομάκρυνση 0,3 m με θετική ταχύτητα και 1 sec μετά φθάνει για πρώτη φορά στην ακραία θετική θέση της ταλάντωσής του. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσής του και της ταχύτητάς του συναρτήσει του χρόνου. Απ: x= 0,6ημ(πt/3 + π/6) (S.I), υ = 0,2πσυν(πt/3 + π/6) (S.I.)

ΑΛ

119. Ένα σωματίδιο εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t1=π/30s η ταχύτητά του γίνεται για πρώτη φορά μέγιστη ίση με 2 m/s και τη χρονική στιγμή t2 = π/12 s η ταχύτητά του μηδενίζεται για πρώτη φορά. α) Να βρεθεί το πλάτος και η συχνότητα της ταλάντωσης. β) Να γραφούν οι εξισώσεις x = x(t) και υ = υ(t). Aπ:α) 0,2 m, 5/π Hz, β) x = 0,2ημ(10t + 5π/3) (S.I) , υ = 2συν(10t + 5π/3) (S.I.) 120. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνσή του x από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x=0,2 2 ημ(20πt + φο) α)Για ποιες τιμές της απομάκρυνσης x η δυναμική του U είναι ίση με το 50% της ολικής του ενέργειας Εολ ; 3 β) Να βρείτε την τιμή της αρχικής φάσης φο, αν δίνεται ότι για το to=0είναι Κ= Εολ με x >0 και υ<ο. 4 Απ: α) - 0,2m, 0,2m β)5π/6 121. Μικρό σώμα μάζας m=2Kg εκτελεί α.α.τ πλάτους Α=0,2m και ολοκληρώνει δύο ταλαντώσεις σε χρονική διάρκεια 0,4s. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση x=0,1√2 m με θετική ταχύτητα (υ>0).Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: U=40ημ2(10πt+π/4)(S.I) K=40συν2(10πt+π/4)(S.I) 122. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. μεταξύ δύο θέσεων που απέχουν d=1m.Τη χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από ένα σημείο Κ της τροχιάς του το πηλίκο της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του είναι Κ/U=3.Αν για την ταλάντωση του σώματος γνωρίζεται ότι φ0=0, να υπολογίσετε: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-39-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

α) Την απόσταση του σημείου Κ από την Θ.Ι β) Το πηλίκο Κ/U τη χρονική στιγμή t=3T/8, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης. Απ: α) 0,25m β) 1

ΦΑ

123. Μικρό σώμα εκτελεί α.α.τ πλάτους Α=0,5m και την t=0 που η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με μηδέν, ο ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του έχει αρνητική φορά και μέτρο 4m/s. Να υπολογίσετε: α) Το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων της κινητικής ενέργειας του σώματος. β) Τη χρονική στιγμή που διέρχεται από τη θέση x=0,25m για δεύτερη φορά. Απ: α) π/8s β) 11π/48s 124. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από Θ.Ι. για ένα σώμα μάζας m = 2 kg το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Να υπολογίσετε για τις χρονικές στιγμές που το σώμα διέρχεται από τη θέση x= 0,15√3 m: α)Το μέτρο της ταχύτητάς του. β)Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του. γ)Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της κινητικής του ενέργειας. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: α) 3m/s β) 120√૜ N γ) 360√૜ J/s

ΑΛ

125. Υλικό σημείο μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του είναι η x = 0,4ημ20t (S.I.). Τις χρονικές στιγμές που το υλικό σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του η κινητική του ενέργεια ισούται με 16 J. α) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης. β) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις σε συστήματα βαθμολογημένων αξόνων. γ) Να βρείτε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του υλικού σημείου τις χρονικές στιγμές που η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με το 1/4 της μέγιστης τιμής της. Απ: α) 200N/m β) υ=8συν20t(S.I), α=-160ημ20t (S.I) γ) 40N 126. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις U= f(x) και υ=f(t) για την ταλάντωσή του.

α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1 που η ταχύτητα του υλικού σημείου γίνεται μέγιστη θετική για δεύτερη φορά μετά την t = 0. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης και τη χρονική εξίσωση της κινητικής ενέργειας του υλικού σημείου.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-40-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

γ) Να σχεδιάσετε σε κοινό σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων που γράψατε στο ερώτημα (β) και στη συνέχεια να βρείτε τη χρονική στιγμή t2 που οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή t = 0. δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του υλικού σημείου τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ισούται με - 40 Ν και το υλικό σημείο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. Απ: α) 0,125πs β) U=16ημ2(20t+3π/2)(S.I), Κ=16συν2(20t+3π/2)(S.I) γ)3π/80s δ) 160√૜ J/s

ΦΑ

127. Ένα σώμα μάζας m = 5 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=Αημ(ωt+π/3). Τη χρονική στιγμή t1 = 1,5 s η φάση της ταλάντωσης του σώματος ισούται με 10π/3 rad και η ταχύτητά του ισούται με -50π cm/s. α) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της φάσης της ταλάντωσης. β) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεών του. γ) Να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια κίνησης του σώματος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσής του. δ) Να γράψετε τις εξισώσεις U = f ( x ) , K = f ( x ) και Ε τ = f (x) και να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις σε κοινό σύστημα βαθμολογημένων αξόνων. Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10. Απ: α) 2π r/s β) υ=πσυν(2πt+π/3)(S.I), α=-20ημ(2πt+π/3)(S.I) γ)0,5s δ) U=100x2, K=25-100x2, Ετ=25J

128. Ένα σώμα μάζας m=2kg εκτελεί αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση μιας συνισταμένης δύναμης που μεταβάλλεται συμφωνά με την εξίσωση F=-800x (S.I.), όπου x είναι η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι 10 cm, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι το 25% της ολικής ενέργειας. α) Να βρεθεί η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης. β) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος όταν η απομάκρυνση είναι 10 cm. Aπ: α) 0,1π s, 0,2 m β) 12 J

ΑΛ

129. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε οριζόντιο άξονα xx'. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα έχει θετική απομάκρυνση x1 και πλησιάζει προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Στην θέση με απομάκρυνση x1 η κινητική ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του σώματος. Το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή t= π/60s με ταχύτητα μέτρου 5m/s. α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Να υπολογίσετε την μάζα του σώματος, αν τη χρονική στιγμή, που μηδενίζεται η ταχύτητα του, ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του έχει μέτρο 50 kg∙m/s2. γ) Να βρείτε τη δεύτερη φορά κατά τη διάρκεια της πρώτης ταλάντωσης όπου η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με την κινητική. δ) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που το σώμα απέχει 0,1m από μια ακραία του θέση. Απ: α) x = 0,5ημ(10t+ 5π/6) (S.I.), β) 1kg, γ) 11π/120s, δ)3m/s

130. Τα σώματα Α και Β εκτελούν α.α.τ δεμένα στα ελεύθερα άκρα δύο οριζόντιων ελατηρίων. Το σώμα Α έχει διπλάσια μάζα και τη μισή περίοδο από το σώμα Β. α) Αν οι δύο ταλαντωτές έχουν ίδιο πλάτος, ποιος ο λόγος των ενεργειών τους ΕΑ/ΕΒ; β)Αν οι δύο ταλαντωτές έχουν ίδια ενέργεια, ποιος ο λόγος των πλατών τους ΑΑ/ΑΒ; γ) Πόσο % πρέπει να μεταβάλλουμε τη μάζα του Α ώστε να αποκτήσει ίδια περίοδο με το Β; Απ: α)8 β)√૛/4 γ) 300%

131. Υλικό σημείο μάζας m=10-2kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=0,2m. Τη χρoνική στιγμή to=0 περνάει από τη θέση x=0,1m κινούμενο κατά τη θετική κατεύθυνση, ενώ τη χρονική στιγμή ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-41-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

t1 =2/3 sec περνά από την ίδια θέση κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση x του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτoνική συνάρτηση του χρόνου. α) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. β) Να γράψετε για την ταλάντωση που εκτελεί το υλικό σημείο τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο της απομάκρυνσης x. ,της ταχύτητας υ. και της επιτάχυνσης α. γ) Κατά το χρονικό διάστημα της κίνησης από to=0 μέχρι t=1/3sec, να βρείτε για τη συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στο υλικό σημείο το έργο(π2=10). (β) x = 0,2ημ(πt + π/6) ,υ =0,2πσυν(πt + π/6) ,α=-2ημ(πt + π/6) (SI)

γ) -15.10-4 J

ΦΑ

Απ: α) 2 s .

132. Υλικό σημείο μάζας m=0,1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A=O,1m με περίοδο Τ=2s. Τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο περνάει από τη θέση x = 5 3 cm κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση. α)Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο. β)Τη χρονική στιγμή t = Τ/4 να βρείτε για το υλικό σημείο (π2=10):τη δυναμική του ενέργεια την κινητική του ενέργεια και το ρυθμό μεταβολής της ορμής του. Απ: α)x=0,1ημ(πt+2π/3)(SI)

β) 1,25.1O-3J , 3,7S.1O-3J , 5.10-2 Ν

133. Υλικό σημείο μάζας m=0,01kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η ολική του ενέργεια είναι Eολ= 32.10-4 J. Η απομάκρυνση x του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου και η επιτάχυνσή του α συνδέεται με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του με τη σχέση α =-16x (στο SI). α)Να βρείτε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. β)Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο, αν για to=0 το υλικό σημείο έχει U=K και κινείται κατά τη θετική κατεύθυνση. Απ: α) π/2 s, 0,2m β) x=0,2ημ(4t + π/4) (SI) , x=0,2ημ(4t + 7π/4) (SI) 134. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και περνάει από δύο σημεία της τροχιάς του Α και

ΑΛ

Β που απέχουν απόσταση d=20 2 cm, με την ίδια ταχύτητα. Για τη μετάβαση από το σημείο Α στο Β απαιτείται χρονικό διάστημα t1=4 s. Μετά το πέρασμά του από το Β το υλικό σημείο χρειάζεται χρονικό διάστημα t2 = 4 s για να περάσει πάλι από το σημείο Β κινούμενο με αντίθετη φορά. Να βρείτε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Απ: 16 s , 20 cm 135. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν η απομάκρυνσή του έχει τιμές x1, x2 η ταχύτητά του έχει αντίστοιχες τιμές υ1 και υ2. Να βρείτε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Απ. T  2π

x 2  x1 υ1  υ2

A 

υ1 x 2  υ2 x1 υ1  υ2

136. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάvτωση κατά μήκος του άξονα x’x. Τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=4cm και η συχνότητα f=2ΗΖ. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση x του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου. α)Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο. β)Να προσδιορίσετε τη μέγιστη ταχύτητα (κατά μέτρο) του υλικού σημείου και τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία αυτό θα αποκτήσει αυτήν την ταχύτητα για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή to=0. γ)Να προσδιορίσετε τη μέγιστη επιτάχυνση (κατά μέτρο) του υλικού σημείου και τη χρονική στιγμή t2 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-42-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

κατά την οποία την αποκτά για πρώτη φορά μετά τη στιγμή to = Ο. δ)Να υπολογίσετε τη συνολική απόσταση που διάνυσε το υλικό σημείο από τη στιγμή to=0 ως τη στιγμή t = 1,25 s.. Απ: α)x=4.10-2ημ4πt (S.I.)

β)0,16πm/s, 0,25s

γ) 0,64π2 m/s2 ,1/8sec

δ)0,4m

ΦΑ

137. Στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=200N/m δένουμε σώμα μάζας m = 0,5 kg, ενώ το άλλο άκρο του στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και αρχικά ισορροπεί ακίνητο. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του μετακινώντας το οριζόντια κατά 20 cm και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. α) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της. β) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης. Απ: α) 0,1πs β) 4J

138. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα σώμα μάζας m = 4 kg το οποίο είναι δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k=100N/m και ισορροπεί σε λείο δάπεδο. Εκτοξεύουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα μέτρου υεκτ. = 2m/s στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου.

α) Να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια που θα χρειαστεί το σώμα μετά την εκτόξευση του για να ξαναπεράσει από το σημείο εκτόξευσης για πρώτη φορά μετά την εκτόξευση του. β) Να βρείτε την απόσταση του πιο μακρινού σημείου Γ που θα φτάσει το σώμα από τη θέση ισορροπίας του. γ) Να διερευνήσετε αν θα άλλαζε η απάντησή σας στα δύο παραπάνω ερωτήματα στην περίπτωση που η ταχύτητα εκτόξευσης είχε μέτρο 4 m/s. Απ: α)0,2πs β)0,4m

ΑΛ

139. Ένα σώμα είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα, το οποίο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, είναι δεμένο σε νήμα και αρχικά ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο να βρίσκεται σε επιμήκυνση Δl, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,3 m και συχνότητας f=5/π Hz. Να υπολογίσετε:

α) Το μέτρο της δύναμης Τ που δέχεται αρχικά το σώμα από το νήμα, β) Τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου όταν η ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο 2 m/s. Απ: α)120Ν β)10J 140. Το οριζόντιο ελατήριο του σχήματος έχει σταθεράk=400N/m και το ένα άκρο του είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο ένα σώμα μάζας m= 1kg, το οποίο μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά d= 0 , l m και τη χρονική στιγμή t =0 το εκτοξεύουμε από τη θέση όπου το εκτρέψαμε με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 2√3m/s και με φορά η οποία θεωρείται θετική και φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα στη συνέχεια εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-43-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. Απ: α)0,2m β)Fεπ=-80ημ(20t+π/6) (S.I) 141. Ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=40 N/m είναι εξαρτημένο από το ανώτερο άκρο του σε οροφή και στο κατώτερο άκρο του είναι δεμένο και ισορροπεί σώμα μάζας m = 0,1 kg. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 5 cm και τη στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο. Θεωρώντας θετική φορά του κατακόρυφου άξονα προς τα κάτω: α) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδο της. β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας συναρτήσει του χρόνου. γ) Να γράψετε την εξίσωση της αλγεβρικής τιμής της δύναμης του ελατηρίου πάνω στο σώμα συναρτήσει του χρόνου και να την παραστήσετε γραφικά. δ) Για πόσο χρονικό διάστημα κάθε περίοδο το ελατήριο είναι συσπειρωμένο; Απ: α) 0,1πs β) x = 0,05ημ(20t + π/2) (S.I.) γ) Fελ = - 1 - 2ημ(20t+ π/2) (S.I.) δ) 0,1π/3 s

ΑΛ

142. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=800N/m ισορροπεί ακίνητο ένα μικρό σώμα μάζας m=8kg, το οποίο είναι δεμένο στο ελατήριο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Μετακινούμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα πάνω μέχρι να φτάσει στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί από τη θέση αυτή χωρίς αρχική ταχύτητα. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά προς τα πάνω. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2. Απ: x=0,1ημ(10t+π/2) (S.I) 143. Ένα σώμα μάζας m=2 kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο δάπεδο γωνίας φ = 30° δεμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=200N/m του οποίου το πάνω άκρο είναι δεμένο σε σταθερό σημείο. Τραβάμε αργά το σώμα προς τα κάτω ξοδεύοντας ενέργεια 1 J και τη στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο.

α) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί η περίοδος της. β) Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που αφήσαμε το σώμα το ελατήριο θα αποκτήσει για πρώτη φορά το ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-44-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

φυσικό του μήκος; Με τι ρυθμό θα μεταβάλλεται εκείνη τη στιγμή η κινητική ενέργεια του σώματος; Απ: α) 0,2πs β)0,2π/3 s, - 5 √૜ J/s

ΦΑ

144. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μάζας m που ακουμπά σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ = 300 ισορροπεί δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k=300 N/m, το οποίο είναι συσπειρωμένο κατά Δl 1 = 0,2 m. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σώμα με ταχύτητα μέτρου 2 m/s που έχει τη διεύθυνση του ελατηρίου και φορά προς τα κάτω, οπότε το σώμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης, β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της επιτάχυνσης του σώματος, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα πάνω. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2. Απ: α) 5r/s β)α=-10ημ(5t+π) (S.I)

ΑΛ

145. Στο παρακάτω σχήμα τα δύο ελατήρια με σταθερές k1= 400N/m και k2=800 N/m βρίσκονται στην κατάσταση φυσικού τους μήκους, ενώ το σώμα μάζας m = 3 kg είναι ακίνητο στο λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο με τα δύο ελατήρια. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του μετατοπίζοντάς το οριζόντια κατά d=0,4 m και τη χρονική στιγμή t= 0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα από τη θέση όπου το εκτρέψαμε.

α) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης ,θεωρώντας ως θετική τη φορά της αρχικής εκτροπής. Απ: β)U=96ημ2(20t+π/2) (S.I), Κ=96συν2(20t+π/2) (S.I) 146. Ακίνητο σώμα μάζας Μ = 1,5 kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Δεύτερο σώμα μάζας m = 0,5 kg κινείται οριζόντια στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα μέτρου 6 m/s και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας Μ. Αν η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρηθεί αμελητέα, να υπολογίσετε:

α) την κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα αμέσως μετά την κρούση β) το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα. Απ: α) 1,5m/s β) 0,15m

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-45-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

147. Το σώμα (1) μάζας m1=3kg του παρακάτω σχήματος ισορροπεί στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Σώμα (2) μάζας m2 = 1 kg κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το σώμα (1) έχοντας ακριβώς πριν την κρούση ταχύτητα μέτρου √5m/s. Να υπολογίσετε:

α) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση β) το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2. Θεωρήστε αμελητέα τη χρονική διάρκεια της κρούσης. Απ: α) 0,25√૞m/s β) 0,15m 148. Σώμα μάζας Μ = 0,8 kg εκτελεί αρμονική ταλάντωση πλάτους 40 cm πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ = 20 N/m. Τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του κινούμενο κατά τη θετική φορά του άξονα συντεταγμένων συγκρούεται πλαστικά με αντίθετα κινούμενο σώμα μάζας m = 0,2 kg που έχει ταχύτητα μέτρου 3 m/s. α) Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος β) Τι πλάτος θα είχε η νέα ταλάντωση αν το m κινούμενο με ταχύτητα μέτρου 3√5m/s συγκρουόταν με το Μ στην ακραία θέση της αρχικής ταλάντωσης; Απ: α) 0,1√૞m β) 0,5m

ΑΛ

149. Ένα σώμα μάζας Μ=2kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Δεύτερο σώμα μάζας m = 6 kg κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω και τη χρονική στιγμή t=0 συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το σώμα μάζας Μ, έχοντας ακριβώς πριν την κρούση ταχύτητα μέτρου 2√3/3 m/s. α) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Να βρείτε την απόσταση της θέσης ισορροπίας του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του σώματος μάζας Μ. γ) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του συσσωματώματος, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα πάνω. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2. Θεωρήστε αμελητέα τη χρονική διάρκεια της κρούσης καθώς και τις πάσης φύσεως τριβές κατά τη διάρκεια της κίνησης των σωμάτων. Απ: α) 3J β) 0,3m γ)12J δ) U=12ημ2(5t+2π/3)(S.I) 150. Ένα σώμα μάζας Μ=3 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Αρχικά το σώμα μάζας Μ ισορροπεί ακίνητο σε απόσταση h =0,6 m από το έδαφος. Δεύτερο μικρό σώμα μάζας m = 1 kg εκτοξεύεται από το έδαφος με ταχύτητα μέτρου 4 m/s κατακόρυφα προς τα πάνω και τη χρονική στιγμή t= 0 συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας Μ.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-46-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

ΑΛΦΑ

α) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Να βρείτε την ενέργεια της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ορμής και της επιτάχυνσης του συσσωματώματος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα πάνω. Δίνεται g= 10m/s2. Θεωρήστε αμελητέα τη χρονική διάρκεια της κρούσης καθώς και τις πάσης φύσεως τριβές κατά την κίνηση των σωμάτων. Απ: α) 0,5J β) 1J γ) x=0,1√૛ημ(5t+π/4)(S.I) p=2√૛συν(5t+π/4)(S.I) α=-2,5√૛ημ(5t+π/4)(S.I)

151. Ένα σώμα Σ1 μάζας m=2kg ισορροπεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ = 200 N/m. Σε απόσταση 20 cm από το σώμα Σ1 κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου βρίσκεται ακίνητο δεύτερο σώμα Σ2 ίδιας μάζας. Συμπιέζουμε το ελατήριο κατά 40 cm και τη χρονική στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο. α) Σε πόσο χρόνο και με τι ταχύτητα το Σ1 θα συγκρουστεί με το Σ2; β) Αν η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική, ποιο θα είναι το πλάτος και η περίοδος της νέας ταλάντωσης; Απ: α) 2π/30s, 2√૜m/s β) 0,1√૚૙ m, 0,2√૛π s

ΑΛ

152. Τα ελατήρια του σχήματος έχουν σταθερές Κ1 = 300 N/m και Κ2 = 500 N/m και τα μικρά σώματα που είναι δεμένα στα άκρα των ελατηρίων έχουν μάζες m1 = 3 kg και m2 = 1 kg. Το σημείο Ο είναι η θέση ισορροπίας και των δύο σωμάτων. Εκτρέπουμε από τη θέση ισορροπίας του το σώμα m1 κατά 40 cm συμπιέζοντας το ελατήριο K1 και τη στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο.

α) Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την πλαστική κρούση των δύο σωμάτων β) Να βρεθεί το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση. Απ: α) 0,15√૛m β) 25% 153. Το σημείο Ο του παρακάτω σχήματος είναι η θέση ισορροπίας του σώματος μάζας m2=800g που είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ = 80 N/m του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Συμπιέζουμε το ελατήριο με το σώμα m2 κατά d = 20 cm και τη στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο. Ταυτόχρονα από κάποιο ύψος h πάνω από το σημείο Ο αφήνουμε ελεύθερο δεύτερο σώμα μάζαςm1. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά στο σημείο Ο. Αν το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι κατά 20% μικρότερο από το πλάτος της ταλάντωσης του m2, να βρεθούν:

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-47-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

ΑΛΦΑ

α) Η μάζα του σώματος m1. β) Το ύψος h. γ) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων πριν από τη σύγκρουσή τους. Δίνεται: g=10m/s2 και π2=10 Απ: α) 0,45Κg β) 0,125m γ)2m/s, 0,5πm/s

ΑΛ

154. Ένα σώμα μάζας Μ = 3kg είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ = 100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Αρχικά, το σώμα ισορροπεί ακίνητο. Ανεβάζουμε το σώμα μέχρι τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και το αφήνουμε ελεύθερο. Όταν το σώμα φτάνει στη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά, συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας m= 1kg που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υβ Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται αμέσως μετά την κρούση, έχει ταχύτητα μέτρου V = √3/2 m/s και κινείται προς τα κάτω.

α) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες του σώματος μάζας Μ και του βλήματος λίγο πριν την κρούση. β) Να υπολογίσετε την απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την πλαστική κρούση. γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται εξαιτίας της κρούσης, θεωρώντας ως θετική φορά κίνησης προς τα επάνω και αρχή μέτρησης των χρόνων (t = 0) τη χρονική στιγμή της κρούσης δ) Να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια της κίνησης του συσσωματώματος από τη στιγμή που δημιουργήθηκε, ως τη στιγμή που ακινητοποιήθηκε στιγμιαία για πρώτη φορά. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας, g = 10 m/s2. Απ: α) √૜ m/s, √૜ m/s β) 4,5J γ) x=0,2ημ(5t+5π/6) (S.I) , ) υ=συν(5t+5π/6) (S.I) δ) 2π/15 s 155. Ένα σώμα μάζας m = 2 kg ηρεμεί πάνω σε λείο κεκλιμένο δάπεδο γωνίας φ = 30° δεμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 50 N/m που το κατώτερο άκρο του είναι ακλόνητο. Από ένα σημείο που βρίσκεται στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου αφήνουμε χωρίς αρχική ταχύτητα να ολισθήσει ένα δεύτερο σώμα ίδιας μάζας m. Το δεύτερο σώμα συγκρούεται πλαστικά με το πρώτο.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-48-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

ΑΛΦΑ

α) Να βρεθεί το πλάτος της αρμονικής ταλάντωσης του συσσωματώματος, β) Να γραφεί η ημιτονοειδής εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω. γ) Ποια θα είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη δυναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης του ελατηρίου; Απ: α) 0,2√૛ m β) x=0,2√૛ημ(2,5√૛ t+3π/4) (S.I) γ) 11,6J , 0,4J

156. Σώμα Σ1 μάζας m=1kg ισορροπεί συνδεδεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε οροφή. Βλήμα Σ2 ίσης μάζας με το Σ1

ΑΛ

κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου υο= 6 m/s, μετωπικά και πλαστικά με το σώμα Σ1, τη χρονική στιγμή to=0.

α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β) Μετά πόσο χρόνο από τη στιγμή της κρούσης to=0, η ταχύτητα του συσσωματώματος θα μηδενιστεί για πρώτη φορά; γ) Να βρείτε για το χρονικό διάστημα του ερωτήματος (β), το έργο της δύναμης του ελατηρίου. δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος , όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της κίνησής του. Απ: α) 0,2 m

β)

π 2 30

sec

γ)0,5 J

δ) -20Ν, 20Ν

157. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ = 30ο εξαρτάται ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 Ν/m και στο κάτω ελεύθερο άκρο του συνδέεται σώμα μάζας m1=2 kg. Το σύστημα ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας m2=2kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ=2m/s και συγκρούεται ακαριαία, μετωπικά και πλαστικά με το σώμα μάζας m1. Το συσσωμάτωμα δεν αναπηδά.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-49-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β) Θεωρούμε αρχή μέτρησης του χρόνου to=0 τη στιγμή της κρούσης και άξονα x'x με την κατεύθυνση που φαίνεται στο σχήμα. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του. γ) Μετά πόσο χρόνο από τη στιγμή to=0, η ταχύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για πρώτη φορά; δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος κατά τη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου αμέσως μετά την κρούση και όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της κίνησής του (g=10m/s2). Απ: α) 0,2 m

β) x=0,2ημ(5t+π/6) (SI)

γ) π/15 sec

δ) -10 Ν, -20 Ν, 20 Ν

158. Το σώμα Σ1 του σχήματος μάζας m1=1kg μπορεί να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο και τα ελατήρια ιδανικά με σταθερές k1=150N/m και k2=50N/m. Εκτρέπουμε το σώμα Σ1 από τη θέση ισορροπίας του στη θέση xο=+0,24m και τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο. Ταυτόχρονα από ύψος h πάνω από τη θέση ισορροπίας αφήνεται να πέσει ελεύθερα σώμα Σ2 μάζας m2=0,44kg.

ΑΛ

α) Να βρείτε το ύψος h ώστε το σώμα Σ2 να συναντήσει το Σ1 όταν διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. β) Αν τα σώματα Σι και Σ2 συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά στη θέση Ο, να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. (g=1Om/s2, π2=10). Απ: α) 1/16m β) 0,2 m 159. Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m είναι στερεωμένο σε οροφή. Στο άλλο άκρο του είναι συνδεδεμένο σώμα Σ1 μάζας m=0,2kg το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=0,2m. Κάποια στιγμή που θεωρούμε ως αρχή του χρόνου to=0, ενώ το σώμα βρίσκεται στο μισό του πλάτους κατερχόμενο προς τη θέση ισορροπίας του, συγκρούεται μετωπικά με σώμα Σ2 ίσης μάζας, που έχει αντίθετη ταχύτητα. Να βρείτε την εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σώματος Μ αν η κρούση είναι πλαστική.(g=10m/s2) . Απ: ψ=0,2ημ( 5 2t +

3 2

) (SI)

160. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30ο στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m2=3kg και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου κινείται προς τα πάνω σώμα μάζας m1=1kg και αρχικής ταχύτητας υο=5m/s που έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=0,9m και η σταθερά του ελατηρίου k=300N/m. Τα σώματα συγκρούονται μετωπικά και η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-50-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

συσσωματώματος όταν η κρούση είναι πλαστική; (g=10m/s2).

Απ: 7/60 m

ΦΑ

161. Τα σώματα του παρακάτω σχήματος έχουν μάζες m1 = 4kg και m2 = 5kg, είναι κολλημένα και αρχικά ισορροπούν ακίνητα με το σώμα μάζας m2 να απέχει από το έδαφος απόσταση h. Το ένα άκρο του ελατηρίου σταθεράς Κ = 100Ν/m είναι στερεωμένο στην οροφή, ενώ στο άλλο είναι δεμένο το σώμα μάζας m1. Τη χρονική στιγμή t = 0 τα σώματα αποκολλούνται. Τη στιγμή που το σώμα μάζας m2 φτάνει στο έδαφος, το σώμα μάζας m1 ξαναφθάνει για πρώτη φορά στη θέση που έγινε η αποκόλληση.

α) Να υπολογίσετε το ύψος h.

ΑΛ

β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος μάζας m1. γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος μάζας m1 από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρήστε θετική φορά κίνησης προς τα επάνω. δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m1, όταν διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. ε) Να υπολογίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας, g = 10m/s2 και π2 = 10. Απ: α) 8m, β) 2,5m/s, γ) x = 0,5ημ(5t + 3π/2) (S.I), δ) 1,5m/s ε) 40,5J, 0J

162. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα σώμα μάζας m=4kg, το οποίο είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m και ισορροπεί ακίνητο πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα, λόγω κάποιου εσωτερικού μηχανισμού, εκρήγνυται σε δύο κομμάτια (1) και (2) με μάζες m1και m2 αντίστοιχα που ικανοποιούν τη σχέση m2 = 3m1. Το κομμάτι (2) εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ2 = 2 m/s και με φορά προς τ' αριστερά, ενώ το κομμάτι (1) παραμένει

δεμένο στο άκρο του ελατηρίου. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-51-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το κομμάτι (1) μετά την έκρηξη. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της επιτάχυνσης ταλάντωσης του κομματιού (1), θεωρώντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας εκτόξευσης του κομματιού (2). Απ: α) 0,6m β) α=-60ημ(10t+π) (S.I)

ΦΑ

163. Σώμα μάζας Μ=4kg είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα δεμένο στην οροφή. Αρχικά το σώμα μάζας Μ ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο επιμηκυμένο κατά ΔΙ=0,4 m. Τη χρονική στιγμή t=0, λόγω κάποιας εσωτερικής διαδικασίας, το σώμα μάζας Μ εκρήγνυται ακαριαία σε δύο κομμάτια (1) και (2). Το κομμάτι (2) μάζας m2=1 kg έχει αμέσως μετά την έκρηξη κατακόρυφη ταχύτητα φοράς προς τα κάτω, όπως φαίνεται στο σχήμα, και μέτρου υ2=3 m/s, ενώ το κομμάτι (1) μάζας m1παραμένει δεμένο στο ελατήριο.

ΑΛ

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ1, του κομματιού (1) αμέσως μετά την έκρηξη καθώς και την ενέργεια που εκλύθηκε από την έκρηξη. β) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του κομματιού (1). γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του κομματιού (1) από τη θέση ισορροπίας του, θεωρώντας ως θετική τη φορά της ταχύτητάς του αμέσως μετά την έκρηξη. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2. Απ: α)1m/s, 6J β)0,2m γ) x=0,2ημ(10√૜/3 t+11π/6)(S.I) 164. Τα σώματα (1) και (2) του παρακάτω σχήματος έχουν μάζες m1=3 kg και m2=2kg αντίστοιχα και βρίσκονται σε επαφή εκτελώντας κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A =0,3m. Τη χρονική στιγμή που αρχίζουμε να μελετάμε την ταλάντωση το σύστημα των δύο σωμάτων διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του έχοντας ταχύτητα αλγεβρικής τιμής -1,5 m/s (θετική είναι η φορά προς τα πάνω).

α) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του συστήματος των δύο σωμάτων καθώς και τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του κάθε σώματος ξεχωριστά. β) Να εξετάσετε αν το σώμα (1) χάνει την επαφή του με το σώμα (2) κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Δίνεται g=10m/s2 Απ: α) 125N/m, 75N/m, 50N/m β) όχι

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-52-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

165. Το σώμα του παρακάτω σχήματος έχει μάζα m=1kg και βρίσκεται σε επαφή με δίσκο μάζας Μ=3kg, ο οποίος είναι συνδεδεμένος με το ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Αρχικά το σύστημα των δύο σωμάτων ισορροπεί ακίνητο. Απομακρύνουμε κατακόρυφα το σύστημα των δύο σωμάτων από τη θέση ισορροπίας τους συσπειρώνοντας επιπλέον το ελατήριο κατά x1= 0,2m και τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί από τη θέση που το εκτρέψαμε.

α) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του συστήματος και του κάθε σώματος ξεχωριστά. β) Να αποδείξετε ότι το σώμα μάζας m χάνει την επαφή του με το δίσκο όταν διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, γ) Να βρείτε τη δύναμη που δέχεται το σώμα μάζας m από το δίσκο, σε συνάρτηση με το χρόνο, για το χρονικό διάστημα που το σώμα είναι σε επαφή με το δίσκο, δ) Να υπολογίσετε το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα μάζας m πάνω από το σημείο που χάνεται η επαφή. Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας, g = 10 m/s2. Απ: α) 400N/m, 100N/m, 300N/m γ) Ν= 10-20ημ(10t +3 π/2) (S.I.) δ) 0,15m

ΑΛ

166. Τα δύο σώματα (1) και (2) που δείχνει το σχήμα είναι τοποθετημένα το ένα πάνω στο άλλο και εκτελούν κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=2 sec και πλάτος Α=0,25m. Το σώμα (1) έχει μάζα m=0,2 kg.

α) Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί το σώμα (2) στο σώμα (1) στις θέσεις ψ=0 , ψ=-0,25m , ψ =+0,25 m. β) Για ποια τιμή του πλάτους ταλάντωσης το σώμα (1) θα εγκαταλείψει το σώμα (2), όταν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=2 sec; γ) Ποια είναι η μέγιστη συχνότητα της ταλάντωσης για την οποία το σώμα (1) δε θα εγκαταλείψει το σώμα (2), όταν το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,25 m; Δίνονται g = lOm/s2 και π2 =10. Απ: α) -2 Ν , -2,5 Ν , -1,5 Ν β) 1 m γ) 1 ΗΖ 167. Στη διάταξη του σχήματος είναι Μ=1,5 kg, m=0,5 kg και Κ = 32 N/m. Ο συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι μ = 0,4 και το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο. Το σύστημα εκτελεί

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-53-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

οριζόντια αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 20 cm. α) Να βρεθεί η σταθερά επαναφοράς του συστήματος και του κάθε σώματος. β) Να γίνει γραφική παράσταση της δύναμης τριβής που δέχεται το m σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. γ) Να βρεθεί το μέγιστο πλάτος της αρμονικής ταλάντωσης που μπορεί να εκτελεί το σώμα m. Απ: α) 32 N/m, 8 N/m, 24 N/m, β)25 cm

ΦΑ

168. Ένα σώμα μάζας m=2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 200 N/m. Εξασκούμε στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=40Ν κατά τον άξονα του ελατηρίου και το επιμηκύνουμε. Τη χρονική στιγμή που το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα καταργούμε τη δύναμη F. Να θεωρήσετε t = 0 τη στιγμή κατάργησης της δύναμης και θετική τη φορά επιμήκυνσης του ελατηρίου α) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδο της. β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σώματος συναρτήσει του χρόνου. γ) Να βρείτε το έργο της δύναμης του ελατηρίου από τη στιγμή που εξασκήσαμε τη δύναμη μέχρι να μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του. Απ :α) 0,2π s β) x = 0,2√૛ ημ(10t + π/4)(S.I), υ = 2√૛ συν(10t + π/4)(S.I) γ)- 8 J 169. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα έχει μάζα m=0,1 kg και αρχικά ισορροπεί ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k =10N/m. Από κάποια στιγμή και μετά το σώμα αρχίζει να δέχεται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου οριζόντια δύναμη F μεταβλητού μέτρου σύμφωνα με τη σχέση F = 8 – 40x (S.I.), όπου x η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Η δύναμη αυτή καταργείται ακαριαία τη στιγμή που μηδενίζεται, οπότε από κει και μετά το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α.

ΑΛ

α) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος μετά την κατάργηση της δύναμης F. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, θεωρώντας ως t = 0 τη στιγμή που καταργείται η δύναμη και ως θετική τη φορά προς τα δεξιά. Απ: α) 0,8J β) x=0,4ημ(10t+π/6) (S.I)

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-54-

ΦΑ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛ

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΥΚΝΩΤΗΣ

ΦΑ

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη που αποτελείται από δύο παράλληλους μεταλλικούς οπλισμούς και αποθηκεύει ηλεκτρικό φορτίο Q στους οπλισμούς του. Ο πυκνωτής φορτίζεται αν έχει τάση στα άκρα του. Το σταθερό πηλίκο

Q Q ονομάζεται χωρητικότητα C του πυκνωτή με C= . V V

H χωρητικότητα δεν εξαρτάται από τα Q,V και επειδή Q = C. V προκύπτει Q,V μεγέθη ανάλογα. Για τον επίπεδο πυκνωτή ισχύει και C=ε.εο

C , τύπος που μας δείχνει από τι εξαρτάται η χωρητικότητα ενός L

πυκνωτή. Mονάδα χωρητικότητας στο S.I. είναι το 1 F (Farad).

Ενέργεια φορτισμένου πυκνωτή: Ένας πυκνωτής φορτισμένος υπό τάση VC διαθέτει ηλεκτρική ενέργεια η οποία δίνεται από τη σχέση :

1 q2 UE = 2 C

1 2

UE= CV 2

1 2

UE= qV .

ΠΗΝΙΟ

Όταν ένα πηνίο διαρρέεται από μεταβλητό ρεύμα τότε δημιουργεί στα άκρα του ΗΕΔ (τάση) από αυτεπαγωγή (φαινόμενο αυτεπαγωγής). Το μέτρο της Εαυτ δίνεται από τη σχέση: Εαυτ= L

+ Εαυτ -

Αν Δi >0 (αύξηση του ρεύματος ) τότε το πηνίο δημιουργεί στα άκρα του πολικότητα τέτοια ώστε να αντιτίθεται στην αύξηση του ρεύματος .

ΑΛ



| i | . t

B i



Αν Δi <0 (μείωση του ρεύματος ) τότε το πηνίο δημιουργεί στα άκρα του πολικότητα τέτοια ώστε να αντιτίθεται στην μείωση του ρεύματος . Όταν το πηνίο είναι ιδανικό (R=0) τότε η Εαυτ= VL στα άκρα του πηνίου. Η σταθερά L (παίζει το ρόλο της αδράνειας στα ηλεκτρικά κυκλώματα) είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου που εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του(L=μμο

N2 A

Έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1Η (Ηenry) Ενέργεια μαγνητικού πεδίου σε πηνίο :

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

1 2

UB= Li 2

-57-

Δi >0 - Εαυτ +

B i

Δi <0

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΥΚΛΩΜΑ L C

ΦΑ

Στο κύκλωμα του Σχήματος 1 ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q. Όταν κλείσουμε το διακόπτη δ, το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα και ο πυκνωτής εκφορτίζεται (Σχήμα 2). Ταυτόχρονα το πηνίο, λόγω του φαινομένου της αυτεπαγωγής, συμπεριφέρεται σαν πηγή ΗΕΔ. Έτσι, όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν (Σχήμα 3), το φαινόμενο εξελίσσεται και ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται αντίθετα (Σχήμα 4) μέχρι να αποκτήσει φορτίο –Q (Σχήμα 5). Στη συνέχεια το φαινόμενο εξελίσσεται ακριβώς αντίστροφα με αποτέλεσμα το κύκλωμα να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. Το φαινόμενο είναι περιοδικό και ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση. Συνέπεια του φαινομένου αυτού είναι η περιοδική μεταβολή φυσικών ποσοτήτων όπως το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή, η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος i, η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου UE του πυκνωτή και η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου UB του πηνίου. Σε ένα κύκλωμα πηνίου – πυκνωτή (LC) χωρίς ωμική αντίσταση (ιδανικό κύκλωμα) μπορεί να δημιουργηθεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Το γεγονός ότι ο πυκνωτής δεν εκφορτίζεται αμέσως, όπως επίσης και το ότι το ρεύμα στο κύκλωμα δε γίνεται μέγιστο αμέσως, οφείλεται στο φαινόμενο της αυτεπαγωγής. Κάθε στιγμή, η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι ίση με την τάση στα άκρα του πηνίου (τάση από αυτεπαγωγή).

Χρονικές εξισώσεις q=f(t) και i=f(t) και γραφικές παραστάσεις. Την t=0 το φορτίο είναι μέγιστο q=+Q (υπολογίζεται από Q= C.V) και i=0. Τότε q= Q συνωt και i =-I ημωt. (όπου Q πλάτος φορτίου και Ι πλάτος της . έντασης του ρεύματος ή μέγιστη τιμή Ι=ω Q)

ΑΛ

Γραφική παράσταση q=f(t) Για q= Q συνωt t=0 q= +Q t= T/4 q= 0 t= T/2 q= - Q t= 3T/4 q= 0 t= T q= +Q

Προσοχή: Το φορτίο σε χρόνο μιας περιόδου γίνεται μηδέν και μέγιστο δύο φορές. Η πολικότητα του πυκνωτή αλλάζει δύο φορές την t= T/4 και την t= 3T/4 . Γραφική παράσταση i=f(t) Για i= -Iημωt t=0 i= 0 t= T/4 i =-I t= T/2 i = 0 t= 3T/4 i =+I t= T i = 0

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-58-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Προσοχή: H ένταση του ρεύματος σε χρόνο μιας περιόδου γίνεται μηδέν και μέγιστη δύο φορές. Το ρεύμα αλλάζει φορά σε χρόνο μιας περιόδου δύο φορές. Μια απλή σκέψη για το πότε συμβαίνει φόρτιση και εκφόρτιση. Φορτίο (πάνω) οπλισμού

ένταση ρεύματος

κατάσταση

εκφόρτιση

φόρτιση

εκφόρτιση

φόρτιση

ΦΑ

Προσοχή: Αν την t=0 ,q=0 και i=+I τότε από q= Q ημ(ωt + φο) βρίσκουμε την αρχική φάση όπως και στις μηχανικές ταλαντώσεις διότι το q  x και u  i. Τότε q=Q ημωt και i= I συνωt. 

Διαφορά φάσης μεταξύ φορτίου q και της έντασης ι του ρεύματος.

Επειδή q= Q συνωt= Q ημ(ωt+

π ) και i= -I ημωt = I ημ(ωt+π) προκύπτει ότι η διαφορά φάσης τους είναι 2

π/2 rad με την ένταση του ρεύματος να προηγείται κατά π/2.  περίοδος – γωνιακή συχνότητα σε κύκλωμα LC Η περίοδος στην ηλεκτρική ταλάντωση δίνεται από τη σχέση:

Τ=2π L C

οπότε f

2 L C

και ω

, παρατηρούμε

ότι τα μεγέθη (ω ,Τ, f ) εξαρτώνται

μόνο από τη χωρητικότητα του πυκνωτή και από το συντελεστή αυτεπαγωγής.

ΑΛ

 Ενεργειακή μελέτη του κυκλώματος L C Στον πυκνωτή αρχικά ( t=0 , q =+ Q και Ι =0) αποθηκεύεται ενέργεια με τη μορφή ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου που έχει τη μέγιστη τιμή της UE(max) =

1 Q2 και κατά την εκφόρτιση του πυκνωτή παίρνει 2 C

1 q2 τιμές UE = και μετά από Τ/4 γίνεται μηδέν. 2 C

Το πηνίο αρχικά ( t=0 ) δεν έχει ενέργεια ,κατά την εκφόρτιση του πυκνωτή η ενέργεια του πηνίου μεγαλώνει και την Τ/4 γίνεται μέγιστη

UB=

UΒ(max) =

1 2 LI 2

ενώ κάθε στιγμή δίνεται από τη σχέση

1 2 Li 2

Η ολική ενέργεια του κυκλώματος LC παραμένει κάθε χρονική στιγμή σταθερή και δίνεται από τη σχέση :

1 Q2 ή 2 C

1 2

Ε = LI 2

δηλ. Ε= UE(max)=UB(max)

από την Α.Δ.Ε ταλ. παίρνουμε : E =UE+UB Ε =

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

1 q2 1 2 + Li 2 C 2

-59-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ



Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

απόδειξη της σχέσης Ι = ω . Q

ω=

1 Q2 1 2 LC Ι=ω. Q Επειδή Ε= UE(max)=UB(max)  = LI  2 C 2

UE =

ΦΑ

 Xρονικές εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις της ηλεκτρικής και μαγνητικής ενέργειας στην ηλεκτρική ταλάντωση.

1 q2 1 Q 2  2 t ή UE = ή 2 C 2 C

UE= ΕΤσυν2ωt

UB =

1 2 1 Li ή UB = LI 2  2 t ή 2 2

UB = ΕΤημ2 ωt

Εξισώσεις UE= f (q) και UB = f (q) ,γραφικές παραστάσεις αυτών.

ΑΛ



1 q2 UE = 2 C

UB= Ετ -

1 q2 2 C

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-60-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρήσεις:

1. Η ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή γίνεται ίση µε τη μαγνητική ενέργεια του πηνίου 4 φορές στη διάρκεια µιας περιόδου της ταλάντωσης. Επομένως η ηλεκτρική και η μαγνητική ενέργεια είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου, µε συχνότητα (f΄ διπλάσια από τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης f). 2. Η ηλεκτρική ενέργεια γίνεται ίση µε τη μαγνητική ενέργεια (UE=UB) κάθε φορά που το φορτίο : q=

I 2 Q 2 και η ένταση του ρεύματος είναι i = ± . 2 2

ΦΑ

3. Να γνωρίζω να αποδεικνύω τις σχέσεις : α) i =  Q 2  q 2

β) q = ±

1 2 2 Ι -i ω

γ)

i 2 q2 + =1 I 2 Q2

4. Πού οφείλονται οι απώλειες ενέργειας σε πραγματικό κύκλωμα LC;

Οι δύο βασικοί λόγοι για τους οποίους η ενέργεια της ταλάντωσης ελαττώνεται σ' ένα πραγματικό κύκλωµα LC είναι: α) η θερμότητα που εκλύεται λόγω φαινομένου Joule από τις αντιστάσεις του κυκλώµατος, β) η ενέργεια που εκπέμπεται µε τη µορφή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας κατά τη λειτουργία του κυκλώµατος LC . 5. Ποιες είναι οι αντιστοιχίες µεγεθών µεταξύ του συστήµατος µάζα - ελατήριο (m-k) και του ιδανικού κυκλώµατος L - C ; ΚΥΚΛΩΜΑ LC

Αποµάκρυνση (x)

Φορτίο q

Ταχύτητα (υ)

Ένταση ρεύµατος ( ί )

ΑΛ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ - ΜΑΖΑ

Δυναµική ενέργεια ταλάντωσης U =

Kινητική ενέργεια του σώµατος Κ=

1 2 Κx 2

1 2 mu 2

Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου

1 q2 του πυκνωτή UE = 2 C Ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου

Σταθερά (k) του ελατηρίου

Μάζα (m) του σώματος

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

UB=

1 2 Li 2

Αντίστροφο της χωρητικότητας

1 C

Συντελεστής αυτεπαγωγής (L) του πηνίου

-61-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

6. ρυθμοί μεταβολής στην ηλεκτρική αμείωτη ταλάντωση

dq =i dt di E q β) Ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος ===- ω2q dt L LC q d  dVC  C  1 dq i γ) Ρυθμός μεταβολής της τάσης στα άκρα του πυκνωτή = = = dt dt C dt C dU E δ) Ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή ΡC = = VC . i . dt dU E η μέγιστη τιμή του ρυθμού δίνεται ΡC= = VC . i = Vmax συνωt (- I ημωt )= dt 2 Q ω ημ2ωt = -VmaxI συνωt ημωt = , C 2 Q2ω dU E

ΦΑ

α) Ρυθμός μεταβολής του φορτίο του πυκνωτή

max=

όταν |ημ 2ωt|=1

ε) Ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πηνίου

ΡL =

dU B dU E == -VC . i . dt dt

στ) Ρυθμός μεταβολής της έντασης

V d  d i  l  1 dV    dt dt l dt l C

του ηλεκτρικού πεδίου

ζ) Ρυθμός μεταβολής της έντασης

ΑΛ

του μαγνητικού πεδίου

N  d i  dB l   di      q dt dt l dt l

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-62-

ΦΑ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛ

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΜΑΔΑ Α.

ΦΑ

1. Όταν κλείσει ο διακόπτης σε ένα κύκλωμα το οποίο περιέχει φορτισμένο πυκνωτή και ιδανικό πηνίο τότε α) Το φορτίο του πυκνωτή περιγράφεται από τη σχέση q=Q.συνωt. β) Το φορτίο του πυκνωτή περιγράφεται από τη σχέση q=Q.ημωt. γ) Το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο περιγράφεται από τη σχέση i=I.συνωt δ) Ξεκινά περιοδική μετατροπή της ηλεκτρικής σε μηχανική ενέργεια. 2. Ένα ανοικτό ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα φορτισμένο πυκνωτή, ιδανικό πηνίο και διακόπτη. Αν τη στιγμή t=0 κλείσει ο διακόπτης, τότε α)Το φορτίο μεταβάλλεται με το χρόνο όπως το σχήμα α β) Το ρεύμα μεταβάλλεται με το χρόνο όπως το σχήμα β γ)Η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στο σχήμα γ δ) Η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στο σχήμα δ

3. Ένα ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις στις οποίες το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή είναι Q α) Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου σε συνάρτηση με το φορτίο q δίνεται από τη σχέση Uε=2q2/C. β) Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου σε συνάρτηση με το φορτίο q δίνεται από τη σχέση Uε= q/2C2. γ) Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου σε συνάρτηση με το ρεύμα δίνεται από τη σχέση UB=i2/2L. δ) Η ενέργεια της ταλάντωσης παραμένει σταθερή με το χρόνο.

ΑΛ

4. Ένα ανοικτό κύκλωμα L-C αποτελείται από φορτισμένο πυκνωτή, ιδανικό πηνίο και διακόπτη. Τη χρονική στιγμή t=0 που κλείνει ο διακόπτης α) το ρεύμα είναι μέγιστο. β) Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι μέγιστη. γ) Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι μέγιστη. δ) Το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν.

5. Ένα κύκλωμα L-C εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με μέγιστο φορτίο Q και μέγιστο ρεύμα I. Αν διπλασιαστεί το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή χωρίς να μεταβληθεί άλλο στοιχείο του κυκλώματος τότε το μέγιστο ρεύμα α) Θα διπλασιαστεί . β) Θα υποδιπλασιαστεί . γ) Θα παραμείνει το ίδιο. δ) Θα τετραπλασιαστεί. 6. Ένα κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ και ενέργεια Ε. Αν η αυτεπαγωγή του πηνίου τετραπλασιαστεί χωρίς να μεταβληθεί άλλο στοιχείο του κυκλώματος τότε α) Η περίοδος θα παραμείνει ίδια. β) Η περίοδος θα διπλασιαστεί. γ) Η μέγιστη ενέργεια του πηνίου θα υποτετραπλασιαστεί. δ) Η μέγιστη ενέργεια του πηνίου θα τετραπλασιαστεί. 7. Σε μια ηλεκτρική ταλάντωση συμβαίνει περιοδική μετατροπή α) Της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου σε δυναμική ενέργεια 4 φορές σε μια περίοδο ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-65-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

β) Της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου. γ) Της δυναμικής ενέργειας σε κινητική ενέργεια. δ) Του ηλεκτρικού φορτίου σε ηλεκτρικό ρεύμα.

ΦΑ

8. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και τη χρονική στιγμή t=0 το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο. Η εξίσωση της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο έχει τη μορφή: α) i = ω Q ημ ω t β) i = ω Q συν ω t γ) i = - ω Q ημ ω t δ i = - ω Q συν ω t 9. 2. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και τη χρονική στιγμή t=0 το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο. Ο πυκνωτής: α) φορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/4 β) εκφορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/4 γ) φορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/2 δ) εκφορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/2 10.3.Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τις στιγμές που το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν: α) η ένταση του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι μέγιστη β) ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου είναι μηδέν γ) η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου ισούται με μηδέν δ) η ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι μηδέν 11.Να επιλέξετε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη χρονική στιγμή t=0 το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο και το ρεύμα του κυκλώματος μηδέν. α) Το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος και το πλάτος Q του φορτίου του πυκνωτή ικανοποιούν τη σχέση: I=

୕

ଶπ√ ୐େ

ΑΛ

β) Θετική θεωρείται η φορά του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται προς τον οπλισμό του πυκνωτή ο οποίος τη χρονική στιγμή t = 0ήταν θετικά φορτισμένος γ) Για την ενέργεια UΕ του πυκνωτή και την ενέργεια UΒ του πηνίου ισχύει κάθε στιγμή η σχέση: ଵ

UE+ UB = LI2. ଶ δ) Η ενέργεια του πυκνωτή γίνεται ίση με την ενέργεια του πηνίου 4 φορές σε μία περίοδο ταλάντωσης του κυκλώματος. ε) Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι κάθε στιγμή ίση με το μισό της αρχικής ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-66-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

12.Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τα στοιχεία της δεύτερης στήλης. Στήλη ΙΙ

A. δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U

1. ένταση ρεύματος i

B. κινητική ενέργεια K

2. φορτίο q

ΦΑ

Στήλη Ι

Γ. απομάκρυνση x

3. χωρητικότητα C

Δ. ταχύτητα u

4. ρυθμός μεταβολής έντασης ρεύματος

Ε. επιτάχυνση α

5. ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή UE

ΣΤ. σταθερά ελατηρίου Κ

6. ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου UB

Ζ. μάζα m

7. αντίστροφο χωρητικότητας

ୢ୧

ୢ୲

ଵ

େ

8. συντελεστής αυτεπαγωγής L

ΟΜΑΔΑ Β.

13. Ιδανικό κύκλωμα L-C αποτελείται από φορτισμένο πυκνωτή, πηνίο και ανοικτό διακόπτη. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνει ο διακόπτης. Να γράψετε τη συνάρτηση που δείχνει πως μεταβάλλεται το φορτίο σε συνάρτηση με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε. Να εξηγήσετε τι δηλώνει κάθε σύμβολο που θα χρησιμοποιήσετε.

ΑΛ

14.Να γράψετε τον τύπο που δίνει την ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου ενός πυκνωτή C ο οποίος φέρνει φορτίο q. Αν διπλασιάσουμε το φορτίο του πυκνωτή πόσο μεταβάλλεται η ενέργεια του;

15.Να γράψετε τον τύπο που δίνει την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων σε συνάρτηση με τα στοιχεία του κυκλώματος. Αν θέλουμε να διπλασιάσουμε την περίοδο χωρίς να μεταβάλουμε τη χωρητικότητα τι μεταβολή πρέπει να προκαλέσουμε στο πηνίο; 16. Σε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση το φορτίο μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση q=Qσυνωt. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το πλάτος του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. Αν υποδιπλασιάσουμε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή πως θα μεταβληθεί το μέγιστο ρεύμα; 17. Ιδανικό κύκλωμα L-C αποτελείται από φορτισμένο πυκνωτή, πηνίο και ανοικτό διακόπτη. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνει ο διακόπτης. Να γράψετε τις συναρτήσεις που δείχνουν πώς μεταβάλλονται με το χρόνο η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου και η ενέργεια μαγνητικού πεδίου. 18.Ένα κύκλωμα L-C αποτελείται από φορτισμένο πυκνωτή, ιδανικό πηνίο και διακόπτη. Αν τη χρονική στιγμή t=0 κλείσει ο διακόπτης τότε: α) Τη χρονική στιγμή t=T/4, ισχύει q=Q. β) Τη χρονική στιγμή t=T/2, ισχύει i=-I. γ) Τη χρονική στιγμή t=3T/4,ισχύει UΕ=0. Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-67-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

19.Σε μια ηλεκτρική ταλάντωση το φορτίο μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στο σχήμα. Η συνάρτηση που περιγράφει

α) Το φορτίο με το χρόνο είναι q=2.συν2000 πt. (mCb). β) Το ρεύμα με το χρόνο είναι i=4π.ημ2000 πt. (SI). γ) Το φορτίο με το χρόνο είναι q=2.ημ2000 πt. (mCb). Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

20.Σε μια αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση η μέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι 10J. Όταν το φορτίο είναι 1mCb τότε η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι 3J. q(mCb)

UE(J)

UB(J)

Να συμπληρώσετε τα κενά στον παραπάνω πίνακα.

21.Σε μια αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση η μέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι 5J και το ηλεκτρικό φορτίο παίρνει μέγιστη τιμή 1mCb. α) Να γράψετε τη συνάρτηση που δείχνει πως μεταβάλλεται η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου σε συνάρτηση με το φορτίο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους ορθογώνιους άξονες. β)Να σχεδιάσετε τους ίδιους άξονες πως μεταβάλλεται η ενέργεια ταλάντωσης με το φορτίο.

ΑΛ

22.Σε μια αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση η μέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι 4J και το φορτίο μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση q=Q.συν50000πt. Να βρείτε και να σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες τις σχέσεις που δείχνουν πως μεταβάλλεται α) Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου με το χρόνο. β) Η ενέργεια της ταλάντωσης με το χρόνο. 23.Δύο κυκλώματα L-C με ίδιο πυκνωτή εκτελούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις των οποίων το φορτίο με το χρόνο μεταβάλλεται όπως στο σχήμα.

α) Για τα δύο πηνία ισχύει LA=2LB β) Για τα μέγιστα ρεύματα ισχύει IA=2IB γ) Για τις μέγιστες ενέργειες ηλεκτρικού πεδίου ισχύει UA(max)=UB(max) Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-68-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

24.Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο Τ. Τη χρονική στιγμή tο ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα με τη φορά που έχει σχεδιαστεί στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t = to +T/2, η ένταση του ρεύματος θα είναι:

α) μέγιστη με τη φορά του σχήματος β) μηδέν. γ) μέγιστη με φορά αντίθετη από αυτήν του σχήματος. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

25.Ένα ιδανικό κύκλωμα LC (1) έχει πυκνωτή με χωρητικότητα C και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L, ενώ ένα άλλο ιδανικό κύκλωμα LC (2) έχει τον ίδιο πυκνωτή, αλλά πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 4L. Φορτίζουμε τον πυκνωτή του κυκλώματος (1) με πηγή τάσης V και τον πυκνωτή του κυκλώματος (2) με πηγή τάσης 2V και τα διεγείρουμε ώστε να εκτελούν αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ο λόγος των πλατών των εντάσεων των ρευμάτων I1/I2 στα δύο κυκλώματα ισούται με: α) ½ β) 1 γ) 2 Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΑΛ

26.Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των χρονικών εξισώσεων φορτίου q - t , στη χρονική διάρκεια 0 έως to, για δύο ιδανικά κυκλώματα LC. Οι συντελεστές αυτεπαγωγής των πηνίων στα δύο κυκλώματα συνδέονται με τη σχέση L2=4L1. Η σχέση που συνδέει τις χωρητικότητες των δύο πυκνωτών είναι η:

α) C2 =C1/9 β) C2 =C1/4 γ) C2 =C1/3 Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

27.Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Αν κάποια χρονική στιγμή t μειώσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή τότε πώς θα μεταβληθούν τα παρακάτω μεγέθη; α) Ολική ενέργεια του κυκλώματος β) Συχνότητα της ταλάντωσης γ) Πλάτος του ρεύματος Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 28.Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο Τ. Τη χρονική στιγμή tο ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα με τη φορά που

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-69-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

έχει σχεδιαστεί στο σχήμα. Το φορτίο του οπλισμού Λ του πυκνωτή, τη χρονική στιγμή t2 = to + 3T/4, θα είναι: α) μέγιστο θετικό β) μηδέν. γ) μέγιστο αρνητικό. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΦΑ

29.Ένα ιδανικό κύκλωμα LC (1) έχει πυκνωτή με χωρητικότητα C και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L, ενώ ένα άλλο ιδανικό κύκλωμα LC (2) έχει τον ίδιο πυκνωτή, αλλά πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 4L. Φορτίζουμε τον πυκνωτή του κυκλώματος (1) με πηγή τάσης V και τον πυκνωτή του κυκλώματος (2) με πηγή τάσης 2V και τα διεγείρουμε ώστε να εκτελούν αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ο λόγος των ολικών ενεργειών E2/E1 στα δύο κυκλώματα ισούται με: α) 1 β) 2 γ) 4. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΟΜΑΔΑ Γ.

30.Ένα κύκλωμα L-C αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας 8.10-5F και ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=2.10-3 Η. Αφού ο πυκνωτής φορτιστεί σε τάση 2V κλείνει ο διακόπτης και ξεκινούν αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Αν θεωρήσουμε t=0 τη χρονική στιγμή που κλείνει ο διακόπτης να υπολογίσετε: α) Την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. β) Τη σχέση που περιγράφει πως μεταβάλλεται το φορτίο με το χρόνο. γ) Την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος τη χρονική στιγμή t=π.10-2s δ) Τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου με το χρόνο. Απ: α) 8π∙10-4s β) q=16∙10-5συν(2500t) (S.I) γ) 0,4A δ) UE=16∙10-5συν2(2500t) (S.I)

ΑΛ

31.Ένα κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις περιόδου π/250ms. Όταν το ηλεκτρικό ρεύμα που διαρρέει το πηνίο είναι μηδέν, τότε ο πυκνωτής έχει στα άκρα του τάση 2V και περικλείει ενέργεια 2mJ. Αν το ηλεκτρικό φορτίο μεταβάλλεται συνημιτονικά με το χρόνο, να υπολογίσετε α) Τη σχέση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου με το χρόνο. β) Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. γ) Τη σχέση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου με το φορτίο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες. Απ: α) UE=2∙10-3συν2(2500t) (S.I) β) 2∙10-3C γ) UB=2∙10-3 – q2/2∙10-3(S.I) ସ

32.Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα L-C με χωρητικότητα π.10-9 F και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 10-3H గ εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι 10-5 C τότε το πηνίο δε διαρρέεται από ρεύμα. Να υπολογίσετε α) Για ποιες τιμές του φορτίου η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι τα 7/16 της ενέργειας ταλάντωσης. β) Ποια χρονική στιγμή γίνεται για πρώτη φορά η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου. Απ: α) 75∙10-7C β) 5π∙10-7s 33.Ένας πυκνωτής χωρητικότητας 20μF φορτίζεται από πηγή με ηλεκτρεγερτική δύναμη 9V και συνδέεται με ιδανικό πηνίο που έχει συντελεστή αυτεπαγωγής 2mH. Αν θεωρήσουμε t=0 τη χρονική στιγμή που κλείνει ο διακόπτης να υπολογίσετε α) Ποια χρονική στιγμή το φορτίο του πυκνωτή γίνεται μηδέν για πρώτη φορά. β) Τη μέγιστη τιμή του ρεύματος. γ) Τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται το ηλεκτρικό ρεύμα με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες. δ) Το φορτίο του πυκνωτή όταν i=I/2. Απ: α) π∙10-4 s β) 0,9Α γ) i= - 0,9ημ(5000t) (S.I) δ) ±9√3 10-5C ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-70-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

34.Ένα ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις στις οποίες το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση q=4.10-6.συν104t (SI) τη χρονική στιγμή t=π/40000 η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι 10μJ. Να υπολογίσετε α) Τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ένταση του ρεύματος με το χρόνο. β) Τη χωρητικότητα του πυκνωτή. γ) Τη μέγιστη τάση που αναπτύσσεται στα άκρα του πηνίου κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων. Απ: α) i= - 0,04ημ(104t) (S.I) β) 4∙10-7C γ) 10V 35.Ένα ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις στις οποίες η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Uε=16.10-7.συν262500t (SI). Αν η μέγιστη τάση που αναπτύσσεται στα άκρα του πηνίου είναι V L=2V να υπολογίσετε α) Τη μέγιστη τάση που αναπτύσσεται στα άκρα του πυκνωτή. β) Τη χωρητικότητα του πυκνωτή. γ) Το μέγιστο φορτίο που αποθηκεύεται στον πυκνωτή. δ) Την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή t = π/187500 s. Απ: α) 2V β) 8∙10-7C γ) 16∙10-7C δ) – 0,05√3 Α 36.Ένα ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις στις οποίες το ρεύμα με το χρόνο μεταβάλλεται όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι 0,01Η.

ΑΛ

α) Να γράψετε τη συνάρτηση που δείχνει πως μεταβάλλεται το ρεύμα με το χρόνο. β) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση που δείχνει πως μεταβάλλεται το φορτίο με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες. γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τάση που αναπτύσσεται στα άκρα του πηνίου. δ) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση που δείχνει πως μεταβάλλεται η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου με το φορτίο. Απ: α) i= 10-3ημ(4∙104t) (S.I) β) q=-25∙10-9συν(4∙104t) (S.I) γ) 0,4V δ) UE=8∙106q2(S.I) 37.Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα L-C με χωρητικότητα C=

10 3

.10-8F εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις

των οποίων η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου με την ένταση του ρεύματος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Uε=15.10-4 - 0,3i2 (SI).Να υπολογίσετε: α) Τη κυκλική συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης. β) Το μέγιστο ρεύμα του κυκλώματος. γ) Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. δ) Τη σχέση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου με το ηλεκτρικό φορτίο και να γράψετε το πεδίο ορισμού της. Απ: α) 5√2∙103r/s β) 0,05√2A γ) 10-5C δ) UB=15∙10-4 -15∙106q2(S.I) 38. Ένα ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με μέγιστο φορτίο 20mC. Όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι 10 3 mC τότε το ηλεκτρικό ρεύμα έχει ένταση 5A. Να υπολογίσετε α) την κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης. β) Την συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται το ηλεκτρικό φορτίο με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες. Να θεωρήσετε ότι τη χρονική στιγμή t=0 το φορτίο είναι q=Q ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-71-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

γ) Τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια μαγνητικού πεδίου με το ηλεκτρικό ρεύμα αν C=4.10-6 F και να γίνει η γραφική της παράσταση. Απ: α) 500r/s β) q=0,02συν(500t) (S.I) γ) UB=0,5i2(S.I)

ΦΑ

39.Ένας πυκνωτής αφού φορτίστηκε από πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε συνδέεται με ιδανικό πηνίο οπότε ξεκινά απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος ρεύματος 10Α. Ο χρόνος που απαιτείται για να συμβεί η πλήρης μετατροπή της ενέργειας μαγνητικού πεδίου σε ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου είναι t=π μs Τη χρονική στιγμή που το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα έντασης 6Α ο πυκνωτής περιέχει ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου ίση με UΕ=0,64J Να υπολογίσετε α) Το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. β) Την ηλεκτρεγερτική δύναμη της πηγής στην οποία φορτίστηκε ο πυκνωτής. γ) Τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η ενέργεια μαγνητικού πεδίου με το φορτίο και να την σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες Απ: α) 0,02H β) 5∙104V γ) UB=1 - 25∙108q2(S.I) 40.Σε ένα κύκλωμα L-C που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις τη χρονική στιγμή t=0, ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος είναι μηδέν και η ένταση του ρεύματος είναι 10-3 Α. η περίοδος των ταλαντώσεων είναι π/1000s. Να υπολογίσετε α) Τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται το φορτίο με το χρόνο. β) Το ρυθμό αύξησης της ενέργειας του πυκνωτή τη στιγμή που η ενέργεια του πηνίου ελαττώνεται με το ρυθμό 3 J/s γ) Τη στιγμή που η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι 10-3 Α με κατάλληλο τρόπο τετραπλασιάζουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Να υπολογίσετε τη νέα τιμή του πλάτους Q' του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή και τη συνάρτηση που δείχνει πως μεταβάλλεται η ένταση του ρεύματος i' με το χρόνο. Απ: α) q=5∙10-7ημ(2000t) (S.I) β) 3J/s γ) 10-6C , i=10-3συν(1000t) (S.I)

ΑΛ

41.Στο κύκλωμα η πηγή έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη 20 V και εσωτερική αντίσταση 1Ω. Οι αντιστάσεις είναι R1=15Ω και R2=4 Ω . Ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα 32μF και το πηνίο αυτεπαγωγή 20mH. Ο διακόπτης Δ είναι αρχικά στη θέση (1) οπότε το πηνίο δεν διαρρέετε από ρεύμα. Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης περνά στη θέση (2) χωρίς να δημιουργηθεί ηλεκτρικός σπινθήρας.

α) Να υπολογίσετε σε ποια τάση είναι αρχικά φορτισμένος ο πυκνωτής; β) Να περιγράψετε το φαινόμενο που ξεκίνησε όταν ο διακόπτης πέρασε στη θέση (2). γ) Να υπολογίσετε το μέγιστο ρεύμα που θα διαρρέει το πηνίο. δ) Να γράψετε την εξίσωση του φορτίου q με το χρόνο και την εξίσωση του ρεύματος με το χρόνο που διαρρέει το πηνίο. Απ: α) 4V β) 0,16A γ) q=128∙10-6συν(1250t) (S.I) , i=- 0,16ημ(1250t) (S.I)

42.Στο κύκλωμα η πηγή έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη 18V και μηδενική αντίσταση. Ο αντιστάτης έχει αντίσταση R=6Ω και το πηνίο είναι ιδανικό με L=4mH Ο διακόπτης Δ βρίσκεται στη θέση 1, οπότε το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα i ενώ ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος. Τη χρονική στιγμή t=0 περνάμε ακαριαία το διακόπτη στη θέση (2) χωρίς να δημιουργηθεί ηλεκτρικός σπινθήρας. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-72-

ΦΑ

ΑΛ

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

46.Σε ιδανικό κύκλωμα LC το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,8 Η και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με το παρακάτω διάγραμμα.

α) Να υπολογίσετε το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή β) Να βρείτε την ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης, γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τις χρονικές στιγμές που η απόλυτη τιμή του φορτίου του πυκνωτή ισούται με 3 ∙ 10 -5 C. δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που αναπτύσσεται μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή αν η απόσταση μεταξύ των οπλισμών ισούται με l = 2 cm. Θεωρήστε γνωστό ότι ο πυκνωτής είναι επίπεδος και ο χώρος μεταξύ των οπλισμών του κενός. Απ: α) 5∙10-5C β) 10-3J γ) 4∙10-2A δ) Ε=2∙103συν(103t) (S.I)

ΑΛ

47.Πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=20mH και πυκνωτής χωρητικότητας C = 8 μF είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους δημιουργώντας ένα ιδανικό κύκλωμα LC που εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος ισούται με - 250 A/s και είναι μέγιστος κατ' απόλυτη τιμή. α) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t = 0. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα γ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο τη χρονική στιγμή που η ένταση του ρεύματος ισούται με -40 mA. δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ενέργεια του πυκνωτή ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής της για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή t = 0. Απ: α) 4∙10-5C β) i=-0,1ημ(2500t) (S.I) γ) -5∙103 V/s δ) 0,25 J/s 48.Ο μεταγωγός (μ) του παρακάτω κυκλώματος βρίσκεται στη θέση (1) και ο πυκνωτής χωρητικότητας C = 2 μ F είναι πλήρως φορτισμένος. Τη χρονική στιγμή t=0 μετακινούμε ακαριαία το μεταγωγό στη θέση (2), χωρίς να σχηματιστεί σπινθήρας, οπότε το ιδανικό κύκλωμα LC που σχηματίζεται εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με ενέργεια Ετ= 2,5∙10-3 J και συχνότητα f=103/π Hz.

α) Να υπολογίσετε την ΗΕΔ Ε της πηγής. β) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα LC. γ) Να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα LC τις χρονικές στιγμές που η απόλυτη τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή ισούται με το μισό της ΗΕΔ Ε της πηγής. Απ: α) 50V β)q=10-4συν(2∙103t) (S.I), i=-0,2ημ(2∙103t) (S.I) γ) 0,1√3 A ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-74-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

49.Στο παρακάτω κύκλωμα ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση (1) και το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο μεταγωγός μεταφέρεται ακαριαία στη θέση (2), οπότε το ιδανικό κύκλωμα LC που δημιουργείται αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση i=4συν(5∙102t)(S.I.). Η πηγή έχει ΗΕΔ E = 40 V και εσωτερική αντίσταση r = 2 Ω, ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,2 Η.

α) Να υπολογίσετε την αντίσταση R. β) Να βρείτε την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου ακριβώς πριν τη μεταφορά του μεταγωγού στη θέση (2). γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου κατά τη διάρκεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της χωρητικότητας που μπορεί να έχει ο πυκνωτής έτσι ώστε η τάση στα άκρα του κατά τη λειτουργία του κυκλώματος LC να μην υπερβαίνει την τιμή των 200 V. Απ: α) 8Ω β)1,6J γ) dUB/dt=-800ημ(103t) (S.I) δ) 8∙10-5 F

ΑΛ

50.Ένα κύκλωμα περιλαμβάνει ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 1 mH, πηγή με ΗΕΔ E=20V και εσωτερική αντίσταση r=1Ω, αντιστάτη αντίστασης R=9Ω και πυκνωτή χωρητικότητας C=10μF, συνδεδεμένα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός και το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα έχει σταθεροποιηθεί.

α) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή και να εξετάσετε αν ο πυκνωτής είναι φορτισμένος. β) Κάποια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε ως t= 0 ανοίγουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα LC αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. i) Να εξετάσετε ποιος οπλισμός του πυκνωτή φορτίζεται πρώτος με θετικό φορτίο. ii) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης του κυκλώματος LC. iii) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα LC κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής του ταλάντωσης, θεωρώντας ως θετική τη φορά του ρεύματος τη χρονική στιγμή t = 0. Απ: α) 2A , αφόρτιστος β) i) ο Α , ii) 2∙10-3J , iii) q=2∙10-4ημ(104t) (S.I), i=2συν(104t) (S.I) 51.Στο παρακάτω κύκλωμα τα δύο πηνία έχουν συντελεστές αυτεπαγωγής L1 = L και L2 = 2L. Αρχικά ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση (1) και το ιδανικό κύκλωμα L1C (κύκλωμα (1)) εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με το φορτίο του πυκνωτή να μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση గ q = 2∙104συν(2000t) (S.I.). Τη χρονική στιγμή t 1 = ∙ 1 0 - 3 s μετακινούμε ακαριαία το μεταγωγό στη θέση ଺

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-75-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

(II), με αποτέλεσμα ν' αρχίσει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις το ιδανικό κύκλωμα L2C (κύκλωμα (2)).Να υπολογίσετε:

α) το πηλίκο των συχνοτήτων f1/f2 των ηλεκτρικών ταλαντώσεων που εκτελούν τα δύο κυκλώματα, β) το πηλίκο των ενεργειών ταλάντωσης των δύο κυκλωμάτων E1/E2 γ) τη μέγιστη ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα (2) κατά τη διάρκεια των ηλεκτρικών του ταλαντώσεων. Απ: α) √2 β) 4 γ) 0,1√2A 52.Το πηνίο του επόμενου κυκλώματος έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 40 mH, ενώ οι πυκνωτές έχουν χωρητικότητα C1και C2 αντίστοιχα. Αρχικά ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση (1) και το ιδανικό κύκλωμα LC1 εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ1= 16π ∙10-4s και ενέργεια Ε1= 0,02 J.

ΑΛ

α) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τάση που αποκτά ο πυκνωτής C1 κατά τη διάρκεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος LC1. β) Κάποια στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή C 1 ισούται με + 4 ∙10-4 C μετακινούμε ακαριαία το μεταγωγό στη θέση (2), οπότε το ιδανικό κύκλωμα LC2 αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να βρείτε την ενέργεια ταλάντωσης του κυκλώματος LC2. γ) Μετά τη μετακίνηση του μεταγωγού στη θέση (2) συνδέουμε στα άκρα του πυκνωτή C 1 ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L 1 οπότε το ιδανικό κύκλωμα L1C1 που δημιουργείται εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή αυτεπαγωγής L 1 που πρέπει να έχει το πηνίο το οποίο συνδέσαμε, ώστε η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει να μην υπερβαίνει την τιμή των 2 Α. Απ: α) 50V β) 1,5∙10-2J γ) 0,25∙10-2H 53.Στο κύκλωμα του σχήματος είναι C=20μF , Ε=100 V, R=8 Ω, r =2Ω. Αρχικά ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση (1) και τη χρονική στιγμή t=0 μεταφέρεται στη θέση (2). Τη χρονική στιγμή t=π/750 s το φορτίο του πυκνωτή είναι για πρώτη φορά ίσο 0,8 mC.

α) Να βρεθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-76-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

β) Να γράφουν οι εξισώσεις του φορτίου και της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα ηλεκτρικής ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο. Απ: α) 0,8 Η β) q = 1,6∙10-3συν(250t) (S.I), i =- 0,4ημ(250t) (S.I)

της

ΦΑ

54.Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται: Ε1=400V, Ε2=300V, r=5Ω, L = 25mH, C=10μF, R1=45Ω.Αρχικά οι διακόπτες δ1 και δ3 είναι κλειστοί ενώ ο διακόπτης δ2 είναι ανοικτός.

Να υπολογίσετε: α) το φορτίο του πυκνωτή. β) την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. Κάποια χρονική στιγμή t1 ανοίγουμε τους διακόπτες δ1 και δ3 και συγχρόνως κλείνουμε τον δ2. γ) Να εξετάσετε αν η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή αυξάνεται ή μειώνεται αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t1. δ) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο που θα αποκτήσει ο πυκνωτής κατά τη διάρκεια ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος L - C. Απ: α) 3∙10-3C β) 8A γ) μειώνεται δ) 5∙10-3C

της

ΑΛ

55.Για το διπλανό κύκλωμα δίνονται: Ε=40V, r=1Ω, R=9Ω και L=10mH. Το πηνίο είναι ιδανικό και τα καλώδια σύνδεσης δεν έχουν ωμική αντίσταση. Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός και το ρεύμα στο κύκλωμα έχει σταθεροποιηθεί. Κάποια χρονική στιγμή ανοίγουμε το διακόπτη. Το φορτίο του πυκνωτή θ' αποκτήσει τη μέγιστη τιμή του για πρώτη φορά μετά από π∙10 -3s, από τη στιγμή που ανοίξαμε το διακόπτη.

α) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα του πυκνωτή. Επίσης, να σχεδιάσετε την πολικότητα της τάσης του πυκνωτή, τη στιγμή που το φορτίο του θ' αποκτήσει τη μέγιστη τιμή του για πρώτη φορά. β) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο που αποθηκεύεται στον πυκνωτή. γ) Να βρείτε την εξίσωση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο, σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή t = 0 που ανοίγουμε το διακόπτη, η φορά του ρεύματος η οποία διαρρέει το πηνίο, είναι θετική. δ) Ποια έπρεπε να είναι η τιμή της αντίστασης R, ώστε ο πυκνωτής να αποκτούσε διπλάσιο μέγιστο φορτίο; Απ: α) 4∙10-4F , θετικός ο Γ β) 8∙10-3C γ) i=4συν(500t) (S.I) δ) 4Ω

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-77-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛΦΑ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

-78-

ΦΑ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛ

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Α. Μηχανικές ταλαντώσεις

Όταν το πλάτος της ταλάντωσης, που εκτελεί ένα σώμα, συνεχώς μειώνεται, η ταλάντωση ονομάζεται φθίνουσα ή αποσβεννύμενη.

ΦΑ

Απόσβεση ονομάζεται η ελάττωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης και οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση και μετατρέπουν τη μηχανική ενέργεια σε θερμότητα .Αν η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση είναι της μορφής F΄=bu τότε το σύστημα εκτελεί φθίνουσα εκθετική ταλάντωση. Σταθερά απόσβεσης b είναι μια σταθερά που καθορίζει το ρυθμό μείωσης πλάτους και εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου, καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που ταλαντώνεται .Μονάδα μέτρησης στο SI: 1 Κg/s. Ιδιαίτερη σημασία έχουν εκείνες οι φθίνουσες ταλαντώσεις, στις οποίες η αντιτιθέμενη στην κίνηση δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας ταλάντωσης: F΄=- b u Δυνάμεις αυτής της μορφής παρατηρούνται κατά την κίνηση αντικειμένων μέσα στον αέρα ή σε υγρό. Ιδιότητες: α) Tο πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο: A= A0e-Λt

ΑΛ

Σταθερά Λ: εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b και από τη μάζα του σώματος. Μονάδα μέτρησης στο SI: 1 s-1.

β) Ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός: Αο Α ΑΝ Λt = 1 = ... = =e = Α1 Α2 Α Ν+1

ό.

γ) Ο ρυθμός μείωσης του πλάτους εξαρτάται από τη σταθερά b. Όταν η σταθερά b αυξάνεται, το πλάτος μειώνεται πιο γρήγορα. δ) Για ορισμένη τιμή της σταθεράς b, η περίοδος παραμένει σταθερή και ανεξάρτητη από το πλάτος. ε) Όταν η σταθερά b παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, η κίνηση γίνεται απεριοδική.

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-81-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

Γραφική παράσταση x-t στην ΑΑΤ:

Γραφική παράσταση x-t στη φθίνουσα ταλάντωση:

ΑΛ

Γραφική παράσταση x-t απεριοδικής κίνησης:

Β. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις

Οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις είναι πρακτικά φθίνουσες. Κύριος λόγος απόσβεσης είναι η εμφανιζόμενη ωμική αντίσταση του κυκλώματος, η οποία δεν μπορεί να μηδενιστεί .Σε τέτοιες φθίνουσες ηλεκτρικές

ταλαντώσεις, το πλάτος του φορτίου μειώνεται εκθετικά με το χρόνο: Q = QO e

-Λt

Σταθερά Λ: εξαρτάται από την ωμική αντίσταση R του κυκλώματος και από το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. Μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι το1 s-1. Ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών φορτίου διατηρείται σταθερός:

Q o Q1 Q = = ... = Ν = e Λt = . Q1 Q 2 QΝ+1

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-82-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

α) Ο ρυθμός μείωσης του πλάτους φορτίου εξαρτάται από την ωμική αντίσταση R. Όταν η R αυξάνεται, το πλάτος φορτίου μειώνεται πιο γρήγορα δηλ. ο ρυθμός μείωσης του πλάτους αυξάνεται. β) Για ορισμένη τιμή της R, η περίοδος παραμένει σταθερή και ανεξάρτητη από το πλάτος φορτίου. γ) Όταν η R παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, το φαινόμενο δεν είναι περιοδικό. Σύμβολο

Μονάδα Μέτρησης

αρχικό πλάτος φθίνουσας ταλάντωσης

πλάτος φθίνουσας ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις

σταθερά φθίνουσας ταλάντωσης

s-1

αρχική ενέργεια φθίνουσας ταλάντωσης

Εο

ενέργεια φθίνουσας ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις

ΕΝ

σταθερά απόσβεσης

kg/s

αρχικό φορτίο φθίνουσας ταλάντωσης κυκλώματος RLC

φορτίο φθίνουσας ταλάντωσης κυκλώματος RLC μετά από N QN ταλαντώσεις

ΦΑ

Τα φυσικά μεγέθη της φθίνουσας ταλάντωσης

Το τυπολόγιο της φθίνουσας ταλάντωσης

αντιτιθέμενη δύναμη

F΄=- b u

εκθετική μείωση πλάτους

A= A0e-Λt

Αο Α ΑΝ Λt = 1 = ... = =e = σταθ. Α1 Α2 Α Ν+1

ΑΛ

λόγος διαδοχικών πλατών προς την ίδια κατεύθυνση ενέργεια ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις

EN= D AN2=

εκθετική μείωση πλάτους φορτίου

Q = QO e-Λt

1 2

Ιδιότητες Λογαρίθμων

ln 1 =0

ln ex =x

ln e =1

elnx =x

ln (α.β) = lnα + lnβ

ln αx =x ln α

ln 

α = lnα - lnβ β

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

e-αlnx =

1 xα

-83-

1 D(A0e-Λt)2 =Eoe-2Λt 2

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α. Μηχανικές ταλαντώσεις

ΦΑ

Έστω ένα σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος το οποίο μπορεί να εκτελέσει ταλαντώσεις. Εκτρέπουμε κατακόρυφα το σώμα από τη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Το σύστημα θα εκτελέσει μια ταλάντωση η οποία θα είναι αμείωτη αν δεν υπάρχουν αντιστάσεις, δηλαδή Α.Α.Τ. με σταθερό πλάτος ταλάντωσης και ενέργεια ταλάντωσης. Στην πραγματικότητα όμως επειδή πάντα έχουμε αντιστάσεις, η ταλάντωση θα είναι φθίνουσα και θα έχουμε σταδιακά μείωση του πλάτους και της ενέργειας ταλάντωσης. Η ταλάντωση λοιπόν στην οποία δίνουμε μια φορά ενέργεια στο σύστημα και στη συνέχεια το

αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί ονομάζεται ελεύθερη ταλάντωση. Η ελεύθερη ταλάντωση μπορεί να είναι αμείωτη ή φθίνουσα και έχει σταθερή συχνότητα η οποία εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος. Η συχνότητα αυτή λέγεται ιδιοσυχνότητα(fo) της ταλάντωσης και υπολογίζεται από τη σχέση:

fo=

1 D 2π m

ΑΛ

Στην περίπτωση που έχουμε σύστημα ελατηρίου σώματος, είναι: fo=

1 k . Για να διατηρηθεί 2π m

σταθερό το πλάτος σε μια ταλάντωση, έτσι ώστε να είναι αμείωτη, πρέπει να παρέχουμε στο σύστημα την ενέργεια που χάνει σε κάθε περίοδο. Γι’ αυτό ασκούμε μια περιοδική δύναμη που ονομάζεται διεγείρουσα δύναμη. Η δύναμη αυτή αναπληρώνει, μέσω του έργου της, την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα λόγω των αντιστάσεων. Το σώμα που ασκεί την περιοδική δύναμη στο σύστημα ελατήριο – μάζα είναι ο διεγέρτης. Το σύστημα κάνει μια κίνηση που ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση, της οποίας η συχνότητα ταλάντωσης τελικά είναι ίση με τη συχνότητα του διεγέρτη (f).Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σύστημα ελατήριο – μάζα ταλαντώνεται με την f και όχι την fo. Δηλαδή ο διεγέρτης επιβάλλει τη συχνότητά του στην ταλάντωση. Παράδειγμα συστήματος που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-84-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Άλλα παραδείγματα εξαναγκασμένης ταλάντωσης: α) Κουρδιστό ρολόι. β) Γέφυρα που ταλαντώνεται υπό την επίδραση του αέρα. γ) Φίλαθλοι που χτυπάνε ρυθμικά τα πόδια τους σε ένα γήπεδο ποδοσφαίρου.

ΦΑ

Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα (f) του διεγέρτη και πιο συγκεκριμένα από τη διαφορά της συχνότητας αυτής από την ιδιοσυχνότητα(fo). Αν αλλάξει η (fo) αλλάζει και το πλάτος της ταλάντωσης. Στο διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης (Α) σε σχέση με τη συχνότητα του διεγέρτη (f) για ένα σύστημα που παρουσιάζει σταθερά απόσβεσης b. Παρατηρούμε ότι αν η f <fo και αυξήσουμε την f, αυξάνεται και το Α.

ΑΛ

 Όταν η f= fo , τότε το πλάτος παίρνει μια μέγιστη τιμή και στη συνέχεια αν αυξηθεί και άλλο, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται.  Όταν λοιπόν f=fo τότε το πλάτος της ταλάντωσης άρα και η ενέργεια της ταλάντωσης παίρνουν τις μέγιστες τιμές τους.  Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι έχουμε συντονισμό. Στην ιδανική περίπτωση όπου η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν (b=0), κάτι που είναι πρακτικά αδύνατο, στο συντονισμό το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται άπειρο όπως φαίνεται και στο διάγραμμα.

Το πλάτος της ταλάντωσης στο συντονισμό εξαρτάται από την σταθερά απόσβεσης b του συστήματος. Στο διάγραμμα φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερά απόσβεσης ενός ταλαντούμενου συστήματος τόσο μικρότερο είναι το πλάτος ταλάντωσης στο συντονισμό.

 Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σύστημα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη(f). Το πλάτος της ταλάντωσης, άρα και η ενέργεια της ταλάντωσης, εξαρτώνται από τη συχνότητα του διεγέρτη (f)και παίρνουν τις μέγιστες τιμές τους όταν f = fo δηλαδή στο συντονισμό. Άρα ο τρόπος με τον οποίο το σύστημα αποδέχεται την ενέργεια έχει να κάνει με τη συχνότητα υπό την οποία του προσφέρεται. Στο συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται με το βέλτιστο τρόπο και γι’ αυτό το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο.

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-85-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

Β. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις

ΦΑ

Αν ένα κύκλωμα LC που αποτελείται από ένα πηνίο και ένα πυκνωτή διεγερθεί με στιγμιαία επαφή των οπλισμών του πυκνωτή με τους πόλους μιας πηγής συνεχούς τάσης, τότε το ηλεκτρικό φορτίο στο κύκλωμα εκτελεί μια ηλεκτρική ταλάντωση η οποία θα είναι αμείωτη αν το κύκλωμα δεν παρουσιάζει αντίσταση, και το πλάτος του ρεύματος και η ολική ενέργεια του κυκλώματος θα είναι σταθερή. Αν

όμως το κύκλωμα παρουσιάζει αντίσταση, η ηλεκτρική ταλάντωση θα είναι φθίνουσα και θα μειώνεται το πλάτος του ρεύματος και η ολική ενέργεια του κυκλώματος. Αν λοιπόν δώσουμε μια φορά ενέργεια στο κύκλωμα τότε εκτελεί μια ελεύθερη ηλεκτρική ταλάντωση που είναι ή αμείωτη ή φθίνουσα και έχει σταθερή συχνότητα που ονομάζεται ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος. Η συχνότητα αυτή υπολογίζεται από τη σχέση:

fo=

1 2π LC

ΑΛ

Για να διατηρηθεί το πλάτος του ηλεκτρικού ρεύματος σταθερό, ώστε η ηλεκτρική ταλάντωση να είναι αμείωτη, συνδέουμε στο κύκλωμα μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης που έχει το ρόλο του διεγέρτη. Το κύκλωμα τότε διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα και εκτελεί εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση με συχνότητα f ίδια με τη συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης. Δηλαδή ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη. Το πλάτος του ρεύματος εξαρτάται από τη

συχνότητα f του διεγέρτη και μεταβάλλεται αν αλλάξει η συχνότητα του διεγέρτη. Αν η συχνότητα f του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα fo του κυκλώματος τότε έχουμε συντονισμό και το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο. Στο διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται το πλάτος του ρεύματος σε σχέση με τη συχνότητα του διεγέρτη για R=0 και R  0. Το πλάτος του ρεύματος στο συντονισμό εξαρτάται από την αντίσταση του κυκλώματος. Όσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση του κυκλώματος τόσο μικρότερο είναι το πλάτος του ρεύματος στο συντονισμό.

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-86-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

Τα παραδείγματα συντονισμού στην καθημερινή ζωή είναι πάρα πολλά. 1. Όταν το έλασμα ΑΒ κάνει ελεύθερη ταλάντωση, ταλαντώνεται με την fo. Αν εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση με f= fo τότε έχουμε συντονισμό και μέγιστο πλάτος. Ομοίως, ένα κτίριο υπό την επίδραση ενός σεισμού εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση της οποίας η συχνότητα μπορεί να είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος με αποτέλεσμα να έχουμε συντονισμό, μέγιστο πλάτος ταλάντωσης και κατάρρευση του κτιρίου. 2. Η χορδή είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της. Αν ασκήσουμε μια δύναμη στο μέσο Μ και την αφήσουμε, θα εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση με την ιδιοσυχνότητα της. Αν εξαναγκαστεί σε

ΑΛ

ταλάντωση με f= fo τότε έχουμε συντονισμό και μέγιστο πλάτος ταλάντωσης.Ομοίως μια γέφυρα πάνω στην οποία κινείται μια ομάδα ανθρώπων με βηματισμό, μπορεί να συντονιστεί και να καταρρεύσει στην περίπτωση που η συχνότητα f του βηματισμού γίνει ίση με τη φυσική συχνότητα fo ταλάντωσης της γέφυρας.

3. Κάθε ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Στην κεραία του ραδιοφώνου μας φτάνουν πολλά Η/Μ. κύματα διαφορετικής συχνότητας. Η επιλογή του σταθμού που θέλουμε να ακούσουμε βασίζεται στο φαινόμενο του συντονισμού. Η κεραία του ραδιοφώνου είναι ένα πηνίο το οποίο βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με ένα κύκλωμα LC. Το κύκλωμα LC περιέχει έναν

μεταβλητό πυκνωτή. Όταν γυρίζουμε το κουμπί του ραδιοφώνου για να επιλέξουμε σταθμό μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Τα Η/Μ. κύματα που φτάνουν στην κεραία αναγκάζουν τα ηλεκτρόνιά της σε εξαναγκασμένη ταλάντωση και η κίνηση των ηλεκτρονίων δημιουργεί ένα ασθενές μεταβαλλόμενο ρεύμα. Λόγω της επαγωγικής σύζευξης το κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση μικρού πλάτους. Το πλάτος του ρεύματος της ηλεκτρικής ταλάντωσης γίνεται μέγιστο στον συντονισμό. Μεταβάλλοντας τη χωρητικότητα του πυκνωτή μεταβάλλεται η ιδιοσυχνότητα του ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-87-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛ

ΦΑ

κυκλώματος LC. Όταν η ιδιοσυχνότητα γίνει ίση με κάποια από τις συχνότητες που ταλαντώνονται τα ηλεκτρόνια της κεραίας τότε το κύκλωμα συντονίζεται και διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα μέγιστου πλάτους. Αυτό το εναλλασσόμενο ρεύμα είναι ο φορέας του ηλεκτρικού σήματος το οποίο αφού ενισχυθεί από τους κατάλληλους ενισχυτές καταλήγει στο ηχείο του ραδιοφώνου. Ο σταθμός που ακούμε έχει συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC. Δηλαδή επιλέγουμε την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC ώστε να γίνει ίση με τη συχνότητα του σταθμού που θέλουμε να ακούσουμε.

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-88-

ΦΑ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛ

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΜΑΔΑ Α.

1. Σε αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F = -bυ. Όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης b, η περίοδος της ταλάντωσης α) αυξάνεται. β) ελαττώνεται. γ) μένει σταθερή. δ) αυξάνεται μέχρι να αποκτήσει ορισμένη τιμή και κατόπιν ελαττώνεται.

ΦΑ

2. Το πλάτος φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση A =Α0e-Λt Στην εξίσωση αυτή ο χρόνος t παίρνει α) οποιαδήποτε Θετική τιμή. β) τιμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου Τ. γ) μόνο τιμές που είναι άρτια πολλαπλάσια της περιόδου Τ. δ) μόνο τιμές που είναι περιττά πολλαπλάσια της περιόδου Τ. 3. Σε σύστημα μάζας-ελατηρίου εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργούν δύναμη αντίστασης F1=-bυ και περιοδική δύναμη F = Fοημωt με ω που μπορεί να μεταβάλλεται. Τότε α) το σύστημα ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητά του fο . β) το πλάτος ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο της κυκλικής συχνότητας ω. γ) η συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος είναι ίση με τη συχνότητα της περιοδικής δύναμης. δ) όταν αυξάνεται η συχνότητα της περιοδικής δύναμης, το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνει πάντοτε. 4. Η ιδιοσυχνότητά ενός ταλαντωτή εξαρτάται α) από το πλάτος της ταλάντωσης. β) από τη σταθερά απόσβεσης. γ) από την αρχική φάση. δ) από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος.

ΑΛ

5. Συντονισμό ονομάζουμε την κατάσταση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή, στην οποία α) η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με την κινητική. β) η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είναι διπλάσια από την ιδιοσυχνότητά του ταλαντωτή. γ) η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είναι περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητά του ταλαντωτή. δ) το πλάτος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο από τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης.

6. Σε ένα ταλαντούμενο σύστημα , εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς, ενεργεί και δύναμη αντίστασης F=-b υ. Η ολική ενέργεια του συστήματος: α) Παραμένει σταθερή β) Αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο γ) Μειώνεται εκθετικά με το χρόνο δ) Μειώνεται γραμμικά με το χρόνο 7. Όταν ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί ταλάντωση ιδιοσυχνότητα f0 της ταλάντωσης εξαρτάται: α) Από την αρχική φάση της ταλάντωσης β) Από το πλάτος της ταλάντωσης γ) Από την ολική ενέργεια της ταλάντωσης δ) Από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος

χωρίς

τριβές

και

αντιστάσεις , η

8. Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης ενός μηχανικού συστήματος είναι f0. Το σύστημα μπορεί να ταλαντώνεται με συχνότητα f>f0 , όταν εκτελεί: α) Ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-91-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

β) Ελεύθερη φθίνουσα ταλάντωση γ) Εξαναγκασμένη ταλάντωση δ) Οποιοδήποτε από τα παραπάνω

ΦΑ

9. Όταν ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού: α) Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος γίνεται μέγιστη β) Η ενέργεια του συστήματος γίνεται ελάχιστη γ) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος γίνεται μέγιστο δ) Η συχνότητα της εξωτερικής περιοδικής δύναμης γίνεται μέγιστη

10. Η ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς τριβή είναι 20Hz. Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι: α) 10 Hz β) 20 Hz γ) 30 Hz δ) 40 Hz . 11. Όταν ένα σύστημα ελατηρίου μάζας εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με την επίδραση δύναμης F=-bυ τότε: α) η περίοδος της ταλάντωσης αυξάνει με το χρόνο β) η περίοδος της ταλάντωσης αυξάνει με το b γ) η συχνότητα της ταλάντωσης παραμένει σταθερή όταν αυξάνεται το b δ) η συχνότητα της ταλάντωσης γίνεται άπειρη όταν το b γίνεται πολύ μεγάλο. 12. Δίνεται ότι το πλάτος μιας εξαναγκασμένης μηχανικής ταλάντωσης με απόσβεση υπό την επίδραση μίας εξωτερικής περιοδικής δύναμης είναι μέγιστο. Αν διπλασιάσουμε τη συχνότητα της δύναμης αυτής το πλάτος της ταλάντωσης θα: α) διπλασιασθεί β) μειωθεί γ) τετραπλασιασθεί δ) παραμείνει το ίδιο.

ΑΛ

13. Σε ένα κύκλωμα R-L-C που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα της ταλάντωσης μπορεί να μεταβληθεί αισθητά όταν α) Μεταβληθεί η χωρητικότητα του πυκνωτή. β) Μεταβληθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου. γ) Μεταβληθεί η αντίσταση R δ) Μεταβληθεί η συχνότητα του διεγέρτη. 14. Μια καμπύλη συντονισμού ενός κυκλώματος RLC μας δίνει την πληροφορία α) Πώς μεταβάλλεται το πλάτος Ι του ρεύματος με το χρόνο. β) Πώς μεταβάλλεται το πλάτος Ι του ρεύματος με την αντίσταση R του κυκλώματος. γ) Πώς μεταβάλλεται το πλάτος Ι του ρεύματος σε συνάρτηση με τη συχνότητα του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. δ) Πώς μεταβάλλεται η αντίσταση του κυκλώματος με το χρόνο. 15. Σε σύστημα ελατηρίου - σώματος, εκτός από τη δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F=-bu, όπου b η σταθερά απόσβεσης και u η ταχύτητα του σώματος. α) Το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται γραμμικά σε συνάρτηση με τον χρόνο β) Η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή γ) Ο ρυθμός ελάττωσης του πλάτους δεν εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b δ) Η περίοδος της ταλάντωσης παραμένει σταθερή, ανεξάρτητη από το πλάτος της ταλάντωσης. 16. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται από: α) την ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-92-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

β) την πυκνότητα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται γ) τις ιδιότητες του μέσου, το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται δ) τις ιδιότητες του μέσου, την πυκνότητα και τον όγκο του αντικειμένου που κινείται

ΦΑ

17. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση στην οποία ενεργεί δύναμη αντίστασης F=-bu, όπου b η σταθερά απόσβεσης και u η ταχύτητα, διαπιστώνουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=Α0e-Λt . α) Ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση αυξάνεται. β) Η σταθερά Λ εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b και το σχήμα του ταλαντούμενου σώματος γ) Όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο αργά. δ) Στις ακραίες περιπτώσεις στις οποίες η σταθερά απόσβεσης παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, το πλάτος γίνεται άπειρο. 18. Ποιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; α) Σε όλα τα συστήματα που ταλαντώνονται επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση της απόσβεσης. β) Σε όλα τα συστήματα που ταλαντώνονται επιδιώκεται η μεγάλη απόσβεση γ) Στο σύστημα ανάρτησης του αυτοκινήτου (αμορτισέρ) είναι επιθυμητή η μεγάλη απόσβεση. δ) Σε ένα εκκρεμές ρολόι επιδιώκεται η μεγιστοποίηση της απόσβεσης

19. Σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος που παρουσιάζει μικρή σταθερά απόσβεσης b εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι fο και η συχνότητα του διεγέρτη είναι f. Η συχνότητα ταλάντωσης είναι : α) Ελάχιστα μικρότερη της fο. β) Ίση με fο γ) Ίση με f δ) Ίση με τη διαφορά | f - fο|.

ΑΛ

20. 2.Σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με σταθερά απόσβεσης b. Στο συντονισμό το πλάτος της ταλάντωσης είναι: α) Μέγιστο β) Ελάχιστο γ) Μηδέν δ) Άπειρο

21. Σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Παρατηρείται ότι για δύο διαφορετικές συχνότητες f1 και f2 του διεγέρτη με f1< f2 το πλάτος της ταλάντωσης είναι το ίδιο. Για την ιδιοσυχνότητα f0 του συστήματος ισχύει: α) fo< f1 β) fo> f2 γ) f1< fo < f2 δ) f1= fο 22. Ένα κύκλωμα LC παρουσιάζει αντίσταση R και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση υπό την επίδραση μίας πηγής εναλλασσόμενης τάσης συχνότητας f. Αν η συχνότητα f γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC, τότε: α) Το ρεύμα μηδενίζεται β) Το ρεύμα σταδιακά μειώνεται μέχρι να μηδενιστεί γ) Το ρεύμα γίνεται μέγιστο δ) Μεγαλώνει η αντίσταση του κυκλώματος 23. Σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με σταθερά απόσβεσης b. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι f0 = 10 Hz. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι αρχικά f= 15 Hz και την μειώνουμε σταδιακά μέχρι την τιμή f=7Hz. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης: α) Αρχικά αυξάνεται, παίρνει μία μέγιστη τιμή και μετά μειώνεται β) Αυξάνεται συνεχώς γ) Μειώνεται συνεχώς δ) Είναι ανεξάρτητο της συχνότητας του διεγέρτη ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-93-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

24. Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Με κατάλληλη διάταξη μεταβάλλουμε την σταθερά απόσβεσης b του συστήματος. Αυξάνοντας τη σταθερά απόσβεσης b, παρατηρούμε στο συντονισμό: α) Αύξηση του πλάτους β) Μείωση του πλάτους γ) Το πλάτος γίνεται άπειρο δ) Το πλάτος στο συντονισμό δεν εξαρτάται από το b 25. Σύστημα ελατηρίου – μάζας εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα στο σύστημα, τότε η ιδιοσυχνότητά του: Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. α) γίνεται μέγιστη β) υποδιπλασιάζεται γ) διπλασιάζεται δ) υποτετραπλασιάζεται 26. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση κατά τον συντονισμό ισχύει:

α) Ο διεγέρτης προσφέρει ανά περίοδο στο σύστημα ενέργεια ίση με E0 =

1 D A2, όπου Α το πλάτος της 2

ταλάντωσης κατά τον συντονισμό β) Όταν η σταθερά απόσβεσης είναι b=0, το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται θεωρητικά ίσο με μηδέν. γ) Ελαχιστοποιούνται οι απώλειες ενέργειας λόγω τριβών, αντιστάσεων κτλ δ) Η ενέργεια μεταφέρεται από τον διεγέρτη στο ταλαντούμενο σύστημα κατά τον βέλτιστο τρόπο

ΑΛ

27. Αν θέλουμε να διατηρείται σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης ενός συστήματος, πρέπει να: α) ασκείται στο σύστημα συνεχώς μια σταθερή εξωτερική δύναμη β) ασκείται στο σύστημα μια περιοδική εξωτερική δύναμη γ) ασκείται στο σύστημα μια δύναμη που το μέτρο της να αυξάνεται με το χρόνο δ) ασκηθεί στο σύστημα στιγμιαία μια δύναμη μεγάλου μέτρου

ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ 28. Ελεύθερη ταλάντωση εκτελεί ένας ταλαντωτής όταν του δοθεί μια φορά ενέργεια και κατόπιν αφεθεί ελεύθερος. 29. Το πλάτος της ελεύθερης ταλάντωσης ενός ταλαντωτή διατηρείται πάντα σταθερό. 30. Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F = -bυ, το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται γραμμικά με το χρόνο. 31. Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F= -bυ, τότε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης διατηρείται σταθερή. 32. Αν στο αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F= -bυ, με μεγάλη σταθερά απόσβεσης, η κίνηση γίνεται απεριοδική. 33. Στη φθίνουσα αρμονική ταλάντωση ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται το πλάτος δεν εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης. 34. Στις κρεμαστές γέφυρες επιδιώκεται η απόσβεση των ταλαντώσεων να είναι ελάχιστη. 35. Το πλάτος φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση A =Αο e-Λt αν η δύναμη αντίστασης είναι της μορφής F= -bυ. 36. Στην εξίσωση A =Αο e-Λt , που δίνει τη μεταβολή του πλάτους φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης με το χρόνο, ο χρόνος t παίρνει οποιαδήποτε θετική τιμή. 37. Χρόνος ημίσειας ζωής μιας ποσότητας που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο ονομάζεται ο χρόνος

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-94-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

που απαιτείται για να ελαττωθεί η ποσότητα αυτή στο

1 της αρχικής της τιμής. 2

ΦΑ

38. Εξαναγκασμένη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εκτελεί ένας ταλαντωτής, όταν ενεργεί σ' αυτόν εκτός από τη δύναμη επαναφοράς και μια περιοδική δύναμη. 39. Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή είναι πάντα ίση με την ιδιοσυχνότητά του. 40. Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή είναι ίση με τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης. 41. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης αρμονικού ταλαντωτή δεν εξαρτάται από τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης. 42. Η ιδιοσυχνότητά του συστήματος μάζας - ελατηρίου είναι ίση με fo =

2π

ΑΛ

43. Η κατάσταση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή στην οποία η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είναι διπλάσια από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, ονομάζεται συντονισμός. 44. Η συχνότητα fεξ της διεγείρουσας δύναμης γύρω από την οποία παρουσιάζεται μεγιστοποίηση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης αρμονικού ταλαντωτή, διαφέρει λίγο από την ιδιοσυχνότητα του fo, αν η απόσβεση είναι μικρή. 45. Κατά το συντονισμό η απορρόφηση της ενέργειας που προσφέρεται από την εξωτερική διέγερση γίνεται μέγιστη. 46. Όταν η απόσβεση είναι πολύ μεγάλη, το φαινόμενο του συντονισμού δεν παρατηρείται ή γίνεται ελάχιστα αντιληπτό. 47. Για να διατηρείται σταθερό το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης πρέπει ο ρυθμός με τον οποίο το σύστημα απορροφάει ενέργεια να είναι διπλάσιος του ρυθμού με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σύστημα. 48. Κατά το συντονισμό όταν η σταθερά απόσβεσης είναι b=0, το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται θεωρητικά άπειρο. 49. Σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος με μικρή σταθερά απόσβεσης b εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη f είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα fo του συστήματος. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λανθασμένες; α) Το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό β) Το σύστημα αποδέχεται την ενέργεια με τον βέλτιστο τρόπο γ) Το πλάτος της ταλάντωσης απειρίζεται δ) Οι μονάδες της σταθεράς απόσβεσης b είναι Νm/s. 50. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση ισχύει: Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. α) Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι ίση με την συχνότητα του διεγέρτη β) Όταν αυξάνεται συνεχώς η συχνότητα του διεγέρτη, αυξάνεται συνεχώς και το πλάτος της ταλάντωσης γ) Το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο στην κατάσταση συντονισμού δ) Όταν η σταθερά απόσβεσης b αυξάνεται, το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται ε) Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο 51. Σε μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση ισχύει:Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. α) Ως διεγέρτης χρησιμοποιείται μια πηγή σταθερής τάσης β) Όταν αυξάνεται συνεχώς η συχνότητα της τάσης της πηγής - διεγέρτη, αυξάνεται συνεχώς και το πλάτος του ρεύματος γ) Το πλάτος του ρεύματος είναι μέγιστο στην κατάσταση συντονισμού δ) Το κύκλωμα διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα ε) Το πλάτος του ρεύματος αυξάνεται με το χρόνο ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-95-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

52. Η επιλογή ενός σταθμού στο ραδιόφωνο στηρίζεται στο φαινόμενο του συντονισμού. Το κύκλωμα επιλογής σταθμών στο ραδιόφωνο είναι ένα κύκλωμα LC που εξαναγκάζεται σε ηλεκτρική ταλάντωση από την κεραία. Στην περίπτωση αυτήν ισχύει:Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. α) Στην κεραία ενός ραδιοφώνου κάθε στιγμή φθάνουν πολλά ηλεκτρομαγνητικά κύματα ίδιας συχνότητας β) Όταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών, μεταβάλλουμε την χωρητικότητα ενός μεταβλητού πυκνωτή και ταυτόχρονα την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC του ραδιοφώνου γ) Το κύκλωμα LC του ραδιοφώνου βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με την κεραία του. δ) Η κίνηση των ηλεκτρονίων στην κεραία δημιουργεί σ’ αυτήν ένα πολύ ασθενές σταθερό ρεύμα ε) Όταν η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC του ραδιοφώνου συμπέσει με κάποια από τις συχνότητες των κυμάτων που εκπέμπουν οι ραδιοφωνικοί σταθμοί και φτάνουν στην κεραία, τότε το κύκλωμα διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα μέγιστου πλάτους

ΟΜΑΔΑ B.

ΑΛ

53. Στον αρμονικό ταλαντωτή του σχήματος εκτός από τη δύναμη επαναφοράς F=-Dx, ενεργεί και δύναμη αντίστασης -bυ όπου b η σταθερά απόσβεσης και υ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της μάζας m.

α) Για τον ταλαντωτή θα ισχύει η εξίσωση mα + Kx + bυ = 0. β) Το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται γραμμικά με το χρόνο. γ) Ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους δεν είναι σταθερός. δ) Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να μειωθεί μια ορισμένη τιμή του πλάτους (π.χ. η A0) στο μισό της μειώνεται. Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 54. Σε ταλαντούμενο σύστημα μάζας - ελατηρίου εκτός από τη δύναμη επαναφοράς F=-Kx, ενεργούν i) Μια δύναμη αντίστασης - bυ, όπου b η σταθερά απόσβεσης και υ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της μάζας m και ii) Περιοδική δύναμη F=Fοημωt σταθερού πλάτους και μεταβλητής συχνότητας. α) Για τον ταλαντωτή θα ισχύει η εξίσωση Fοημωt -Kx - bυ = mα. β) Αν η συχνότητα fεξ της περιοδικής δύναμης F είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα fo του ταλαντωτή και αρχίσει να αυξάνεται συνεχώς, το πλάτος της ταλάντωσης συνεχώς θα αυξάνεται. γ) Η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή είναι ίση με

fo =

2π

δ) Όταν είναι fεξ < fo το σύστημα ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητα του. Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-96-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

55. Ένα σύστημα με ιδιοσυχνότητα f0=20 Hz εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης συχνότητας f1=25Hz. Αν η συχνότητα της εξωτερικής δύναμης γίνει f2=30Hz , πως θα μεταβληθούν: α) η ιδιοσυχνότητα του συστήματος β) το πλάτος της ταλάντωσης και γ) η συχνότητα της ταλάντωσης Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ΦΑ

56. Ένας ταλαντωτής που αποτελείται από ελατήριο και μάζα, εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση σε ένα δοχείο με αντλία, όπου μεταβάλλοντας τη πίεση του αέρα μέσα σε αυτό, ρυθμίζουμε τη σταθερά απόσβεσης b. Για συγκεκριμένη τιμή της πίεσης του αέρα (σταθερό b) , ο ταλαντωτής εξαναγκάζεται από κάποιο περιοδικό εξωτερικό αίτιο σε ταλάντωση με συχνότητα fδ. Αν : α) fδ1=fο και β) fδ2=fο/2 να παραστήσετε γραφικά σε κοινό διάγραμμα τις σχέσεις x=φ(t) δηλαδή της απομάκρυνσης του ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις. 57. Ένα κύκλωμα L-C με αντίσταση R εκτελεί φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση. α) Να δείξετε, με διάγραμμα, τη μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης (μέγιστο συνάρτηση με το χρόνο, για διάφορες τιμές της αντίστασης β) Να εξηγήσετε πότε η ταλάντωση γίνεται απεριοδική;

ρεύμα), σε

58. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέγιστες απομακρύνσεις μιας μηχανικής ταλάντωσης για δύο χρονικές στιγμές. Χρόνος (s) 0 1 2 3 Μέγιστη απομάκρυνση(cm)

Αο=;

Α1=12

Α2=9

Α3=;

Αν γνωρίζουμε ότι η περίοδος της ταλάντωσης είναι 1s και η δύναμη αντίστασης είναι της μορφής F=-bu να συμπληρωθεί ο πίνακας.

ΑΛ

59. Ένα σύστημα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις με αρχική ενέργεια 100J και αρχικό πλάτος Αο. Το έργο της δύναμης αντίστασης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι 84J. Άρα το πλάτος ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι: α) Αο/4 β) Αο/16 γ) 4Ao/10 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

60. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Α=Α0e-Λt. Ο χρόνος που απαιτείται ώστε η ολική ενέργεια της ταλάντωσης να γίνει η μισή της αρχικής (Ε=Ε0/2) είναι: α) t= ln2/Λ β) t=ln2/2Λ γ) t= Λ/ln2 Ποιά είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 61. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Α=Αοe-Λt. Ο χρόνος που απαιτείται ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να γίνει το μισό του αρχικού (Α=Αο/2) είναι: α) t= ln2/Λ β) t= ln4/Λ γ) t= Λ/ln2. Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 62. Ένα σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f=15Ηz. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι 17 Ηz. Αν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει 16Ηz τότε το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης: α) θα γίνει μικρότερο από Α. β) θα γίνει μεγαλύτερο από Α. ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-97-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

γ) θα παραμείνει Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ΦΑ

63. Ένα σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση συχνότητας f=30Ηz και πλάτους Α. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι 25 Ηz. Αν αυξήσουμε τη σταθερά απόσβεσης b του συστήματος χωρίς να μεταβάλλουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, τότε: α) πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα μειωθεί. β) η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα γίνει λίγο μικρότερη από 30Ηz. γ) η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα γίνει λίγο μικρότερη από 25Ηz. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 64. Για ένα σύστημα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα f=10Ηz, βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού και έχει πλάτος ταλάντωσης Α=8cm, ισχύουν τα εξής: α) έχει σταθερά απόσβεσης b=0. β) έχει απώλειες ενέργειας ανά περίοδο λιγότερες, από αυτές που θα είχε αν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει 6 Ηz. γ) το πλάτος ταλάντωσης μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από αυτό που έχει, αρκεί να ελαττώσουμε τη σταθερά απόσβεσης. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 65. Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει στα 100MHz. Αν για τη λήψη αυτού του ηλεκτρομαγνητικού κύματος χρησιμοποιείται δέκτης με κύκλωμα LC, στο οποίο το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L= 2mH, η τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή για την οποία συντονίζεται ο δέκτης είναι: α)C = 125.10-6 F. β) C = 25.10-6 F. γ) C = 50.10-6 F. 2 Δίνεται π =10

ΟΜΑΔΑ Γ.

ΑΛ

66. Το πλάτος της ταλάντωσης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Αν τη χρονική στιγμή t=0 η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι Ε0 , μετά από πόσο χρόνο η ενέργειά του θα είναι Ε0/9; Δίνεται: Λ=0,055sec-1, ln3=1,1 Απ: 20s 67. Το πλάτος της ταλάντωσης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με το ℓ χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: Α = Α ο e - n4t . Αν σε χρόνο t=2Τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50% να βρείτε την περίοδο της φθίνουσας ταλάντωσης. Απ: 0,25s 68. Το πλάτος της ταλάντωσης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: A =Αο e-Λt. Όταν πραγματοποιούνται 40 πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος γίνεται ίσο με Αο/5. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης όταν πραγματοποιηθούν ακόμη 80 πλήρεις ταλαντώσεις. Απ: Αο/125 69. Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=0,2s και με πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=Α0e-Λt. Τη χρονική στιγμή t1=ln2s το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης έχει υποτετραπλασιαστεί. Να υπολογίσετε: α) τη σταθερά Λ, β) μετά από πόσο χρόνο από τη χρονική στιγμή t1 το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης θα ισούται με το μισό αυτού που είχε τη χρονική στιγμή t1, ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-98-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

γ) το έργο της δύναμης αντίστασης από την t=0 μέχρι την t1,αν δίνεται ότι η αρχική ενέργεια του σώματος ισούται με Ε0=0,16J. Απ: α) 2s-1 β) ln2/2 s γ) -0,15J

ΦΑ

70. Η φθίνουσα αρμονική ταλάντωση που εκτελεί ένα σώμα έχει περίοδο Τ=0,1s και το πλάτος της μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, σύμφωνα με τη σχέση Α=Α0e-4t(S.I). Να υπολογίσετε: α) το πηλίκο των πλατών στο τέλος της πρώτης και της δεύτερης περιόδου της ταλάντωσης του σώματος(Α1/Α2) β) το πλάτος στο τέλος της δέκατης ταλάντωσης, αν το πλάτος στο τέλος της ένατης ταλάντωσης ισούται με 0,03m, γ) τη χρονική διάρκεια από τη στιγμή που ξεκίνησε η φθίνουσα ταλάντωση μέχρι τη στιγμή που η ενέργειά της έχει μειωθεί στο μισό της αρχικής, δ) το ποσοστό επί τοις εκατό της μείωσης του αρχικού πλάτους τη χρονική στιγμή t1=0,5ln2 s. Δίνεται: e0,4=1,5 και ln2=0,7. Απ: α) 1,5 β) 0,02m γ) 0,7/8 s δ) 75% 71. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση το πλάτος της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=0,2e-(ln2)t(S.I). Η απώλεια ενέργειας κατά την πρώτη περίοδο της ταλάντωσης ισούται με το 50% της αρχικής ενέργειας. Να υπολογίσετε: α) την περίοδο της ταλάντωσης, β) το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t1=2s καθώς και τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων από τη χρονική στιγμή t=0 που ξεκίνησε η ταλάντωση μέχρι τη χρονική στιγμή t1, γ) μετά από πόσο χρόνο από τη χρονική στιγμή t1 το πλάτος της ταλάντωσης θα μειωθεί στο μισό της τιμής που είχε τη χρονική στιγμή t1. Απ: α) 0,5s β) 0,05m , 4 γ) 1 s

ΑΛ

72. Το πλάτος της ταλάντωσης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Αν τη χρονική στιγμή t=0 η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι Ε0 , μετά από πόσο χρόνο θα έχει χαθεί το 93,75% της Ε0 . Δίνεται: λ=ln8 Απ: 2/3 s

73. Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο Τ= 0,1 s και πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α =0,4e-(2ln2)t (S.I.). Να υπολογίσετε: α) το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t1=2s. β)Tη χρονική στιγμή t2 που το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης έχει υποδιπλασιαστεί σε σχέση με την τιμή που είχε τη χρονική στιγμή t1. γ) τον αριθμό των ταλαντώσεων που έχει εκτελέσει το σώμα από τη χρονική στιγμή t1 έως τη χρονική στιγμή t2. Απ: α) 0,025m β) 2,5s γ) 5 74. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης μικρής απόσβεσης που εκτελεί ένας ταλαντωτής μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τον τύπο Α =Α0e-Λt(Λ= σταθ.). Τη χρονική στιγμή t=0 το πλάτος της ταλάντωσης ισούται με 0,8 m, ενώ τη χρονική στιγμή t1=20s ισούται με 0,2 m. Στη χρονική διάρκεια 0 έως t1 ο ταλαντωτής έχει εκτελέσει 10 πλήρεις ταλαντώσεις. α) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση του πλάτους και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες. Στο σχήμα σας να φαίνεται και ο χρόνος ημιζωής του πλάτους β) Να υπολογίσετε το πλάτος τη χρονική στιγμή t2 που έχουν ολοκληρωθεί 15 ταλαντώσεις γ) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης αντίστασης στην κίνηση για τη χρονική διάρκεια 0 εως t 1, αν δίνεται ότι η σταθερά επαναφοράς του ταλαντωτή ισούται με D = 100 N/m. ೗೙మ

Απ: α) Α=0,8݁ି భబ ௧

(S.I)

β) 0,1m

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

γ) -30J

-99-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

75. Ένα σώμα ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση περιόδου Τ= 2s, έχοντας αρχική ενέργεια Ε0 και το πλάτος του μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=Α0e-Λt (Λ=θετική σταθερά). Στο τέλος των 100 πρώτων ταλαντώσεων η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος είναι το 1/4 της αρχικής και ισούται με 2 J, ενώ το πλάτος της ταλάντωσης ισούται με 0,2 m. α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t=0. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ενέργειας της ταλάντωσης του σώματος. γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της εξίσωσης που γράψατε στο ερώτημα (β) σε βαθμολογημένους άξονες. Στο σχήμα σας να φαίνεται και ο χρόνος ημίσειας ζωής της ενέργειας. ೗೙మ

β) E=8݁ି భబబ௧ (S.I)

γ) 100s

ΦΑ

Απ: α) 0,4m

76. Ο ταλαντωτής Α έχει διπλάσια σταθερά Λ από τον ταλαντωτή Β. Οι δύο ταλαντωτές αρχίζουν τη φθίνουσα ταλάντωσή τους από το ίδιο αρχικό πλάτος Αο=36 cm την ίδια χρονική στιγμή. α) Να σχεδιάσετε στο ίδιο διάγραμμα τη μεταβολή του πλάτους των δύο ταλαντωτών σε συνάρτηση με το χρόνο, β) Αν ο ταλαντωτής Α έχει χρόνο υποδιπλασιασμού 14s, να βρείτε το χρόνο υποδιπλασιασμού του Β και τις σταθερές Λ για το καθένα. (lη2 = 0,7) γ) Τι πλάτος ταλάντωσης θα έχει ο ταλαντωτής Α τη στιγμή που ο Β έχει πλάτος 12 cm; Απ: β) 28s , 0,05s-1 , 0,025s-1 γ) 4cm

ΑΛ

77. Στο σχήμα βλέπετε την απομάκρυνση μιας φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο. Από το διάγραμμα να υπολογίσετε:

α) Το πλάτος τη χρονική στιγμή t=12 s β) Τη σταθερά Λ γ) Το χρόνο υποδιπλασιασμού. (lη2 = 0,7 και ln10=2,3 ) Απ: α) 10,24cm β) 0,05s-1

γ) 14s

78. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση το πλάτος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Α=A0e-Λt, όπου Λ μια θετική σταθερά. Τη χρονική στιγμή t1 η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης είναι το 1/16 της αρχικής της τιμής Ε0. Να βρείτε: α) Το ποσοστό ελάττωσης του πλάτους στο χρονικό διάστημα από t=0 έως t=t1. β) Το χρόνο υποδιπλασιασμού Τ1/2 του πλάτους, αν t1= 4 s. γ) Να δείξετε ότι το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση ି

೟

Α=Α0·2 ೅భȀమ, όπου Τ1/2 ο χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους. Να παρασταθεί γραφικά η σχέση, αν Α0 = 256cm. δ) Μετά από πόσο χρόνο η ενέργεια της ταλάντωσης θα γίνει Ε0/256, όπου Ε0 η αρχική μηχανική ενέργεια. Απ: α) 75% β) 2s δ) 8s

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-100-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

79. Δυο αρμονικοί ταλαντωτές εκτελούν φθίνουσα ταλάντωση με πλάτη που μειώνονται εκθετικά με το χρόνο όπως στο παρακάτω διάγραμμα.

α) Να βρεθούν οι σταθερές Λ1και Λ2 των δύο ταλαντωτών. β) Ποια χρονική στιγμή ο ταλαντωτής (2) θα έχει διπλάσιο πλάτος από τον ταλαντωτή (1); (lη2=0,7, lη3=1,1) Απ: α) 0,055s-1 , 0,035s-1 β) 55s

80. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης που εκτελεί ένα μικρό σώμα μεταβάλλεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση Α= Α0e-0,1t (t σε s). Τη χρονική στιγμή t1η ταχύτητα του σώματος ισούται μευ1=2 m/s και το πλάτος της ταλάντωσης έχει μειωθεί κατά 50% σε σχέση με την αρχική του τιμή (Α0). Την ίδια χρονική στιγμή ο ρυθμός μείωσης της ενέργειας ταλάντωσης είναι ίσος με 0,08 J/s. α) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης αντίστασης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του σώματος. β) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1. γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό της μείωσης της μηχανικής ενέργειας της ταλάντωσης από τη χρονική στιγμή t0=0 έως τη χρονική στιγμή t1. Δίνεται για τις πράξεις: lη2 = 0,7. Απ: α) Fαντ.=-0,02υ (S.I) β) 7s γ) 75%

ΑΛ

81. Το κύκλωμα του παρακάτω σχήματος εκτελεί φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση και το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Q=2·106e(0,2ln2)t (S.I). Η χωρητικότητα του πυκνωτή ισούται με C=4 μF. Να υπολογίσετε:

α) το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1=5 s. β) τη θερμότητα Joule που εκλύθηκε από τον αντιστάτη του κυκλώματος από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή t1. Να θεωρήσετε ότι οι απώλειες ενέργειας εξαιτίας της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας είναι αμελητέες. Απ: α) 10-6C β)37,5∙10-8J 82. Στο παρακάτω κύκλωμα RLC ο αντιστάτης έχει αντίσταση R=0,04 Ω και το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,2 Η. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη (δ), οπότε το κύκλωμα εκτελεί φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση μικρής απόσβεσης και το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή ౎

μεταβάλλεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Q=12∙ 10-4eି మై୲ (Q σε C). Να υπολογίσετε:

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-101-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

α) το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1 =20ln2s, β) το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής ενέργειας του πυκνωτή που μετατράπηκε σε θερμότητα στον αντιστάτη R από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή t1. γ) τη χρονική στιγμή t2 που η ενέργεια της φθίνουσας ηλεκτρικής ταλάντωσης έχει υποτετραπλασιαστεί σε σχέση με την τιμή που είχε τη χρονική στιγμή t1. Θεωρήστε ότι η απώλεια ενέργειας του κυκλώματος εξαιτίας της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας είναι αμελητέα. Απ: α) 3∙10-4C β) 93,75% γ) 30ln2 s 83. Στο κύκλωμα του σχήματος ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q=2μC και οι διακόπτες δ1, δ2 ανοικτοί. Κλείνουμε το διακόπτη δ1 και μετά από χρόνο t=0,5π∙10-6s ο πυκνωτής εκφορτίζεται πλήρως για πρώτη φορά. Στη διάρκεια της ταλάντωσης, όταν η ένταση του ρεύματος γίνεται i=1Α, η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι 1,5J. Να υπολογίσετε:

ΑΛ

α) τη γωνιακή συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης και το πλάτος της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα. β) τη χωρητικότητα του πυκνωτή και το συντελεστή αυτεπαγωγής L1 του πηνίου. Κάποια χρονική στιγμή που, ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος, ανοίγουμε τον δ1 και κλείνουμε το διακόπτη δ2. Το αριστερό κύκλωμα RL2C εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση εξαιτίας της παρουσίας του αντιστάτη R. γ) Μετά από 10-3s ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος και έχει φορτίο Q'=1μC Να υπολογίσετε το ποσό της θερμότητας που απελευθερώθηκε στον αντιστάτη R λόγω φαινομένου joule. δ) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή 3∙ 10-3s μετά το κλείσιμο του διακόπτη δ2. Απ: α) 106r/s , 2A β) 10-12F , 1H γ) 1,5J δ) 25∙10-8C 84. Στο κύκλωμα του σχήματος η πηγή έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε=20 V με εσωτερική αντίσταση r=2 Ω και ο πυκνωτής χωρητικότητα C=9 μF. Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός και η πηγή διαρρέεται από ρεύμα έντασης I=8 Α. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε το διακόπτη και αρχίζει ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο Τ=12π ms.

α) Να υπολογίσετε την αντίσταση του πηνίου και το χρόνο υποδιπλασιασμού του πλάτους της ηλεκτρικής ταλάντωσης, β) Να γράψετε την εξίσωση που δίνει την ολική ενέργεια της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο.(Λ=R/2L και ln2=0,7) Απ: α) 0,5Ω , 11,2s β) E=128e-0,125t(S.I) ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-102-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

85. Ένα σώμα μάζας m=0,1 kg είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=40 N/m και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης με τη βοήθεια διεγέρτη που ασκεί στο σύστημα περιοδική δύναμη. Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι η x=0,3ημ22t(S.I). α) Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. β) Να εξετάσετε αν το ταλαντούμενο σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού. Απ: α) 10/π Hz β) Δεν είναι σε συντονισμό

ΦΑ

86. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα σύστημα σώμα - ελατήριο με μάζα m=4 kg και σταθερά ελατηρίου k=1600 N/m, το οποίο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης πλάτους 0,35 m. Το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού και η απόσταση του κέντρου Ο του τροχού από το σημείο Κ όπου είναι δεμένο το νήμα ισούται με 0,15 m. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα περιστροφής του τροχού σε βαθμολογημένους άξονες.

ΑΛ

87. Ένα σώμα μάζας m=2 kg είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης με τη βοήθεια της διάταξης του παρακάτω σχήματος. Ο τροχός ολοκληρώνει μία πλήρη περιστροφή σε χρονική διάρκεια 0,2π s και παρέχει ενέργεια στο σύστημα μάζα - ελατήριο με το βέλτιστο τρόπο. Να υπολογίσετε:

α) τη γωνιακή συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης, β) τη σταθερά του ελατηρίου. Απ: α) 10r/s β) 200N/m

88. Σύστημα μάζα - ελατήριο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητά του. Η μάζα του σώματος ισούται με m=1 kg και η σταθερά του ελατηρίου ισούται με k=100 N/m. Αυξάνοντας τη συχνότητα του διεγέρτη κατά 20%, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεταβάλλεται κατά 10% και αποκτά την τιμή Α1=0,45 m. Να υπολογίσετε: α) τη νέα συχνότητα του διεγέρτη. β) το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης όταν η συχνότητα του διεγέρτη ισούται με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Απ: α) 6/π Ηz β) 0,5m 89. Ένα σώμα μάζας m=1kg βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς Κ=2500N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-103-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

σώμα με τη δράση κατάλληλης περιοδικής δύναμης Fδ αρχίζει να εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2ημ40t (S.I). Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος ασκείται σε αυτό δύναμη απόσβεσης από τον αέρα της μορφής FA =- bυ με b = 2kg/s. α) Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος και την συχνότητα της περιοδικής δύναμης. β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης απόσβεσης καθώς και το χρονικό διάστημα που απαιτείται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς της. γ) Αν αυξηθεί η συχνότητα της περιοδικής δύναμης Fδ κατά 2/π Ηz, το πλάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει αμετάβλητο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Απ: α) 25/π Hz , 20/π Hz β) 16N , π/40 s γ) θα αυξηθεί 90. Μηχανικό σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης με συχνότητα f1 και πλάτος Α1=0,2 m. Μικραίνοντας τη συχνότητα του διεγέρτη παρατηρούμε αύξηση του πλάτους και στη συνέχεια μείωση αυτού μέχρι μια συχνότητα διεγέρτη f2 για την οποία το πλάτος ισούται ξανά με Α1. Κατά τη διάρκεια της μείωσης της συχνότητας η μεγαλύτερη διαφορά πλάτους που παρατηρήθηκε σε σχέση με το αρχικό πλάτος Α1 ισούται με 0,15 m. α) Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του συστήματος όταν αυτό βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού ισούται με: i) 0,45 m ii) 0,05 m iii) 0,35 m Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. β) Αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη από την τιμή f1, τότε το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης: i) θα παραμείνει σταθερό. ii) θα αυξηθεί. iii) θα μειωθεί. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΑΛ

91. Το παρακάτω σύστημα μάζα - ιδανικό ελατήριο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πολύ μικρής απόσβεσης, με τον τροχό να περιστρέφεται με συχνότητα f1 , χωρίς να βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού. Πειραματιζόμενοι με τη συχνότητα περιστροφής του τροχού παρατηρούμε ότι όσο αυξάνουμε τη συχνότητα αυτή, τόσο μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος. Αν θέλουμε να φέρουμε το σύστημα σε κατάσταση συντονισμού χωρίς όμως να μεταβάλλουμε τη συχνότητα του τροχού f1 , πρέπει να αντικαταστήσουμε:

α) το ελατήριο με άλλο μεγαλύτερης σταθεράς. β) το σώμα με άλλο μεγαλύτερης μάζας. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας 92. Το κύκλωμα (I) του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις συχνότητας f1=103/π Ηz, βρίσκεται στην κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της έντασης του ρεύματος που το διαρρέει ισούται με Ι0=4 Α.Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι ίσος με L= 50 mH. Αν αυξήσουμε την αντίσταση R, τότε το πλάτος της έντασης του ρεύματος μεταβάλλεται κατά 2 Α.

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-104-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΛΦΑ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΑ

α) Η χωρητικότητα του πυκνωτή ισούται με: i) 12 μF ii) 4 μF iii) 5 μF Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. β) Μετά την αύξηση της αντίστασης R το κύκλωμα (I): i) συνεχίζει να βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της έντασης του ρεύματος ισούται με 2 Α. ii)συνεχίζει να βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της έντασης του ρεύματος ισούται με 6 Α. iii) δε βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού και το πλάτος της έντασης του ρεύματος ισούται με 2 Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

93. Η επιλογή των σταθμών σ' ένα ραδιοφωνικό δέκτη γίνεται με τη βοήθεια ενός ιδανικού κυκλώματος LC, το οποίο περιλαμβάνει πυκνωτή μεταβλητής χωρητικότητας και ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=10 μΗ. Ένας ακροατής ακούει τον αγαπημένο του ραδιοσταθμό που εκπέμπει στα 100 MHz. α) Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC και τη χωρητικότητα του πυκνωτή. ଶ β) Αν η μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή είναι ίση με 10-9C, να υπολογίσετε τη గ μέγιστη τιμή της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Δίνεται: π2 = 10. Απ: α) 108 Ηz , 25∙10-14F β) 8∙10-7J

ΑΛ

94. Στο παρακάτω κύκλωμα το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=5∙ 10-3 Η, ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=12,5 μF και η συχνότητα της πηγής εναλλασσόμενης τάσης μπορεί να μεταβάλλεται χωρίς να αλλάζει το πλάτος της τάσης που δημιουργεί. Μεταβάλλοντας τη συχνότητα της πηγής εναλλασσόμενης τάσης παρατηρούμε ότι: ଵଽǡହ i)υπάρχουν δύο συχνότητες f1 και f2 της εναλλασσόμενης τάσης (με f2 > f1) που διαφέρουν κατά ∙102 గ Hz και για τις οποίες το πλάτος της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα είναι το ίδιο και ίσο με 0,3 Α ii) για να βρεθεί το κύκλωμα σε κατάσταση συντονισμού, πρέπει η συχνότητα της πηγής να ଵଶ μεταβληθεί από τη συχνότητα f2 κατά ∙102 Ηz, και iii) στην κατάσταση συντονισμού η μέγιστη గ ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο ισούται με 4∙10-4J.

α) Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος RLC. β) Να βρείτε τις συχνότητες f1 και f2. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα του πλάτους της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τη συχνότητα της πηγής σε βαθμολογημένους άξονες. Στο σχήμα σας να φαίνονται οι δύο συχνότητες f1 και f2, η ιδιοσυχνότητα f0 καθώς και τα αντίστοιχα πλάτη της έντασης του ρεύματος. Απ: α) 2/π∙103 Ηz β) 3,2/π∙103Ηz , 1,25/π∙103Ηz γ)Imax=0,4A

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-105-

Εκπαιδευτικός Όμιλος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛ

ΦΑ

ΑΛΦΑ

ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

-106-