18 εισαγωγή στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς με διαδικασίες

at Ξ Π

Σεμιvιiριο εξαμηvιαiαE δuiρκειαg μαθηματικrilν Διοργ6νωαη : Tpf μα μnη μ*'.*5, π*r"rr.οη μiου Αθηvιilν

Π Π Tωv: Bαοιλεiου Ξ. Κατωπ6δη Ιωιivη ΙΙ. Πλατ6ρου

Π Π Π

sgιφιπση μαθΨ9τo6 ειοαγωμ{E στΟυ6 ΓEΩMETΡΙκ,Y' METΑΣiκivιaiπMΟYΣ pε διαδικαoiεE επiλυοηg προβξματoE.

Eπιβλ6πων καθηγητι{6:

NΙΚoΣ ΚΔΑoYΔΑToΣ

ΑΘENΑ ΦEBΡoYΑPΙoΣ

2000

Γ. ΔYΙ(EΙΟY

;l

E

ΓΕ

{2

MΕ

TPΙΙζo

Ι

MΕ

Π

TΑΣXHMA TΙΣM oΙ

rΙ Π

rl

':

F

{t* s {ξΞ}

rIl

ιε5'Ι}

Π

r. Η{{r3}

\

Ι

Lι3,{

lξ;rl J

l

{3r4

----__r**_*."-κ(ο,..}

Π Π ]Π Π ]Π

r1Π Π

E :l

Ξ

EI Π

i.

Στο πιο 7τθΝω oχημα, οι συvτεταγμεvεζ καθεv6ζ απa τα σημεlοfμεvα σημεiα E,F,G,.....,P α}.λ,d, και oιoυδηποτε τυχ6ντοζ 6λλου Τ(:ι,ψ) ικαvoποιofv τηv

Για

κ*,θε €γα απ6 τα oημεiα E,F,G,....Ρ και T εφαρμ6ζω η';ξηζ δ'"δ,"-"t"Διπλαoι*,ζω ην τετ1"ημεvη (:f αφηvovταq οταθερη ην τεταγμεvη ( : ψ) Να βρεiτε π*vω oτο ο1ημα σαζ τα πρoκδπτοvτα ν6α or1μεiα E',F'G;,....-.e'μ. ην πρoηγoιiμεη διαδικαoiα κα1ση αυv61εια, vα εviοoετε με εvα β6λοq κ&θε παλι6 οημεiο με τo αvτtοτoι1o vθο.

Tι μεταβοξ μπορo6με vα ποtiμε 6τι υπ6oη o κυκλοg;

3. Πoια αξεβρΦ παkιi'qγγ'

σχεση ουνδ6ει τιg καιvοιiργιεζ συvτεταγμθvεq χ', Ψ'' με τιξ

Ψ

Χρηο'ιμοποιωvταq τιζ προηγoriμεvεg ο1€oει6, vα βρεiτε ηv εξiοωοη με τηγ οποiα αυνδ€ονταL τσ" x'> Ψ', λαμβανονταζ υπ' 6ψιν ην εξiοωαη με ηv orroiα ουνδfovται τα χ,Ψ. Πoio εiναι το εiδog ηg καμπυλ;r1ζ που προfκυψε απ6 τοv εφαρμοοθεvτα μετασχη ματιoμ6 ;

[ηΓnl il

I Ι

t r t r r t

+ t

t

r

ο Στo

παραπιλ,ω ο1ημα φαivεται η εφαρμογη του γvωοτοδ μεταομματιoμου Τ: ,,καθε οημεfo τoυ εππ€δου απεικoνiζεται

:

r t

oυμμετρικo τσυ

ω'c

προζ τo αξoνα

y11,''

μαζ στo

Ι

A) Nα γραψετε πc o1fοειq που αυνδ6ουv παΜιiq γψ.

τ1ζ καινοt5ργιεζ συvτεταγμεvεζ

χ', Ψ,με τιζ

Ι

Ση

αυvθxεια vα τ1ζ γραψετε υπ6 μoρφη αυoηματοζ κα1vα βρεiτε τov πivακα του μετααtrηματιoμoυ.

Ι <)

Ι Ι Ι Ι :

..t _ t-

Ψ'=

<)

[;]:Γ

] Γ;]

ril

t

I

T

B) Mε τηv fδια διαδικαοiα

να βρειτετουg πiνακεζ των μετασχηματιομiοv: ημεiο ni.,.ouι6.rn, ,o λ"1iμr.ρr*o τoυ ωζ πρoζ τοv 'ou'u",iΙε"ou;r:r"τ*ξ-θε ,

I

T

r r r :

r

I I

r t Ι

t *

l

* * {

χ'= Ψ'=

λ'; -?arJtftx]ξ

€>

Γ, ']:Γ LψJ L

1Γr]

1Lψ1

τoυ επrπ6δου απεtκοvιζεται τo αυμμετρικδ του α)ζ προg

ηv

αρ1η

t T

4

T3r"!ε κ&θε oημεiο τoυ επιπ€δου απεrκoviζεται το συμμετρκδ τOυ G)ζ προζ ευθεiα ψ:x (πρiυη δι1οτ6μο των αξ6vωv)''

I I : : :

I I

i i

Ι

t T

it

t t t t

xt=

Ψ':

€>

Ι'= Ψ'=

-Γi1:Γ

ΙΓΛ

ηv

I

I

. EΣTPOΦE

I : :

r

t :

t : :

r

I

t

I : : : : :

ff,fi'::TΗ,:**: Jir:ru',

τo oημεio M(xψ) οτρ6φεται κατα γωviα θ, με

Α) Nα εκφραoθοιiv οι συvτεταγμεvεg B) Να εκφραoθoιiv oι συr,τεταγμεvεi μψ αυvαρησεt των ρκαι φ. f 'ψ cυναρτησει τωv και

Γ) Nα εκφραoθοrlv o1χ.,Ψ.συναρΦoει τaJν Lψ'και Δ) Nα βρεθεf o πivακαg τoυ μετασfiματιoμoΦ.

ο

ρ

φ+θ.

θ.

Για τov τυ16vτα γραμμικ6 μεταo'1ηματιομο

Τ: Γ''l: Γα ρ1

Γ

ι1

Lψ'J Ly ε]LψΙ

ffiuu' ;λ::;?-ffi

τιg εικ6vε6 των oημεiωv Α(1,0) και B(0,1) των μovαδιαiωv διαvυoμ&τωv

ffiχ:i,fff#ffi

;'1φπdυοετε6ναvμημovικ6καγ6vαγ1ατουζ

B) Nα εφαρμ6οετε τον παραπ&vω καν6να

γ1α τον

πivακα

ηg

,'oτροφηg,,.

i

t

6

:

ΙrΡoΓpltlπtιπ'ιTΕMοΣ

:

Α. Ο ΚαθηγηΦq διαν6μει το φriλλο εργαoiαg (απ6 εvα οε κd,θε μαθηΦ) και απαντξoουν οι μαθητ6g οτο ερrilημα 1 το οποiο ουvιατ6 υr*ο'ομioη

T

B.

: : : Ι Ι

I I I I I Ι

rr$fr1r'r*r1{1ΙΗλ

; :

r

(1η

διδακτικι{ ιδρα}

(κυκlοg _ εξioωοη του).

ζητd,

vα

γvωοτο6

Αφοr5 βεβαιωθεi 6τι 6λοι οι μαθητ69 €1oυν απαντηoει (αναμεv6μεvοg 1r6vog απ&ιzηοηq 2 }\Ε1ττa' γρ&φει o'o, ,riro*o i,q οωοτθg απαντξοειq και ζητα vα προ1ωρηoει 6}η η τ&ξη οην διαπραγμd,τ.uoη ,ou 2. Στ;rελευ.αiο ,λo.ρωημα τoυ 2 δL"7εται 6λεq τιq εξωμαθηματικεq ορολογiiq απαvηοειg {π.Χ'. ,' τεVτδθηκε,,, για "τραβημηκε'', "επιμηκηθηκε'', ''€γινi οαv αη6;, ;,rroρoμoρφiDθηκε,,, ,,6γινε fλλειι1η,,) τιq οποiεg και γρd,φει oτoν tεiγακα. ο Eπιoημαiνει 6τι η τελευταiα πιθαvη απdνηoη xρηζει αποδεiξεωg. ο Mε ην "μαιευτικη μ€θoδο" θθτει ερωηοειg ω"'' ro απoο.παοθεi ο οριομ6q του μετασχηματιaμοιi ωg oυνd,ρηoη' - o κυκλοg εtvαι αδνoλο, - Τo νθo ο26ημα εiναι αδνoλο; - Κατ&, ηv διαδικαοiα κ&πoιo oημεio; - oλα τα αρμκ&. oημεiα1*,θηκε 61oυν αvτioτοι1ο; - 'Evα αρμκ6 oημεiο π6οα αvτioτo'χo E '; - Πωζ εivαι ηδη γvωσΦ η προηγοfμειη διαδικααια;

Γρ*φει oτοv πiνακ1τογ οριομ6 τΟυ γεωμετρικου μετασχηματ1ομοli,που βρ6θηκε με ηv βοηθεια τcδv μαsητιi:v.

Eπιδεικvδει το παρd,δειγμα με τo τ}"i:γμα οτο εδαφοg. (Διαφαvεια 1) Γ. ο Ζητα απ6 τουg μαθητθg ηv διαπραγματευoη ηζ 3. Γρ6φει τελικη απ&vηoη oτoν ην πiνακα (6λλεiγη) 6πω9 και ' εξtοωoη

ηv

ηζ.

r'=x

I ιοοδυvαμεi Δεi1vει το πιbg η o1θοη ,[ με zψ |ψ'=

x'= 1.x +0.Ψ ψ'= a.χ +2.ψ

<]

l

Γr'l:Γ'

Lψ'1

O1 Γ x1

[ο zJ LψJ

Ορiζει τιq *wοιεq ''1ραμμικδζ μετασχηματιoμ6g μετασχη ματιομοιi

: :

ToN Ι<ΑΘEΓΙΙTE

"

δεi1vονταq

ην

ι<rοδυvαμiα:

Γ,'l |α β1 z1 L''|-L, u ] L'Ι

,,, ,,

πiνακαq γραμμικοr)

Γ

Δ'

ην διαπραγμd,τευoη του 4* θfματοq τωv βαοικiον γεωμετρικiυv μετασχηματιομiοv οτo διαvεμηθεv φυλλαδιο. Ζητ6'

!1

I :

7

ο

Eπιδεικvδει τουζ μετασχηματ1ομοδg εv6ζ τετραγdονου πλαιotου πλεγματog μ6oω τηζ οπτικοποtηoηq ,του παρ61ουν τα διαvιiοματα + ΑΑ'6lων Α: αρxΦ θ6οη, και Α': τελικη θ6οη oημεioυ.(Διαφ6vεεq 2 και 3)

Ι

F F :

T Ι

:I Ι Ι Ι

t

Ι

: Ι

Ιl Η Ξ Ξ

Δηλαδη: Κ6θε μαtiρο λi1ψα tγει 25 οημεiα τα οποiα μθoω του διπλανoυ πiγακα ηζ γραμμl1cηq απεικ6vιoηq τηγαtνουv σε μια νθα θ6οη. Απ6 κd,θε αρμκ6 κα1 τελικδ qμεiο δημιoυργοΦνται 25 διαvr5οματα τα οποiα oπτικoποιoδν τo εiδog

ηq

μεταβοληg που δημιoυργεi o πivακαg οτο επtπεδo

.

t

I I

t

I

t

I T

t T

r Ι Ι

r I t ;

tt I

1. Η ΘEΩPΙA KATΑΣKEYΙ{Σ ΓNΩΣFΙΣ ( Kονoτρουκτιβιoμ6q) Η νεiοτερη θεωρiα που αφορ*, τιg μαθηοιακθg διαδικαοiεg και ειδικd, τo πrbqμαθαivει κιiποιοq <<1τioιgrο τηζ yγιδοηρ <<καταοκευri τηE η ην γrλoη6r. ΑυΦ, δεν πραγματiυνεταl, οιiτε με μεταφορ& γviυcrεωv, ουτε με μεταφoρ6 εμπειριdον, oιio **λαro., εvεργητικιi απ6 τov υποκεiμεvο οη μ&θηoη. Eπioηq iδια η η γviDση καθ' εαυη, δεv εππελεiται με ηv αvακ&λυψη τηg -α:lL'τoν γv6oη ωg προυπαρχουσα, αvεξfρηη *' *r6u. H γvdlαη πλελν νoεiται ωq διαδικαοiα προοαρμoγ{€ οτον κιioμt} τ{$γ εμπειριcδv κατd, παρ*,λληλο και αv.iο'oι1o τρδπο με ηv (κΟιvωνικοποiηο'η> η οπoiα νoεiται ωg διαδικαoiα προoαρμoγηq η του ατ6μου oηv κoιγωviα.

'Eτoη oπωg ακριβιilq Kοινωνιολογiα νoεi η ηv (κοινωvικοποiηoη) ωζ μια εvεργητικη διαδικαο'tα εv6q ατ6μoυ, 6μοια και ο Ι{oγσEρουΙ{τιβιομι6g εwοεi ην γviυση ωg ενεργητικιi

'E1ει vα κ6vει με

απακτοιiμεvη'

Ι{ατασκευαζ6μεη, και βεβαια ο μοv6δρoμoζ γι' αυη η διαδικαοiα εivαι η καταοκευη ηζ μd,θησηq μθoα απ6 διαδικαciεg επΙ}ωαηg πpοβiqματΘγ. Αν δε1θοιiμε τιζ προηγοιiμεvεg αρ1θg, εiναι φανερ6 6τι θκφραoη <<κατανo6l fwoια 7.γ'. τηq η απ6λυη9 τιμηφ 1&vει ηv απιi}.υη oημαοiα ηζ κα1το v6ημd τηq προοδιο ηv ρiζετiαι απ6 την"iδια ?Ιlγ χρ{αt τη6 fνvοιαξ μεοα oττ1v iδια την τιiξη, οlπΞ'tη,e iδια ηv'μαbητικι{ κοινιiτηταc ιl oπoiα Ι{αι τηγ ..γομιμσπoιεδ> μ6oω ηζ και αvταλλαγηq χρησηζ ηζ απ6ψεωv μεταξ6 ,λv-μαθηrων ηg επ'αυτηg.

F{ κovοτρoυκτιβιoτιrcη 6ρευvα, t1ε'ι' ετηρεασει κα1, ην διδακτικη πρακτικη και κατε{θυνoη ηζ μαθηματιΦq εκπαδευoη'g, αφοti μελετ&, τιζ γoητικ66 παpαοτιioειq π&νω οτι'q ην οποtεg ψiζoνται oι €woιεg η και τα <voητικ* αvτικεiμεγα> πoυ ,ιq ,roρ,o.oiir, Errioηξ αυτ65 μελετd, τo πιiιqαπι6 'τfrξηq" τιξ 6woιεg, βε aυνε2gεiq αφαιρfοειg, 26τiζονται αvιirτεpεg fwοιεg, αvιilτερηξ μπ διαδικαoiα περlγρd,φεται με τοv ορδ- αναaτο2gαoτικ{ αφαιρετικι{ διαδικαοiα (reflective 'εου abstractiοn).

Ωg παρ&δειγμα επi των πρoηγουμεvωv, αναφ6ρoυμε ηv fwoια <απ6οταoη} και ηv νοητικξ παρd'οταοη ηg θwοιαζ αυηζ, η οπoiα uo rioor'n.γ. μπoρεi μια εικ6vα εv5q ευθυγρd,μμου τμηματog (απ6οταoη μεταξri δriο οημεiων) η παρ&οταση - εικ6vα iuωγρ*μμoυ τμηματοg καθθτου οε ευθεiα (απ6oταoη oημεiου απ6 ευθεiα). Ωg νοητικd, αvτικεiμεvα ηζ προηγοδμειηg θwοιαg μπορεi να εivαιτα oυμβολα |/ (απ6λυη τιμη του γ αlτaoταση του αριdμοιi τo o) Ια-βΙ (: απ6ο.ταοη τωv αριθμiον α,β) η d(ιψ) (: γεvfκευo'η ηg θwoιαg απ6οταοη χ'cLΤLi μu xρη"η τωv ιδιοητωv ηζ μετρικηζ) η ακ6μα αι5vδεoη ηg fwοιαq με ην ενγδια ηg ν6ρμα<,oιrψ) llx-ψll) η ακ6μα olivδεοη και μετεξ6λιξη ηg θwοιαq <απ6oταοη> _ <νδρμαυ -<(εσcι}τερtκ6 γιν6μεvo> ατετραγωνικη '' μορφη) μ6oω τωv ταυτoτητωv (: νοητικ*, αντικεiμεvα)

:

d(x"ψ):llx-ψll,

lldFJrΘ,

T(χ):Β(x"x) 6πoυ η *wοια ααπ6oταoη>> i:γει θwοια ακ6μη κα1γ1α 1iορουq 6που δεv υπiρ1ει επoπτεiα (πχ Rn , n>3) οriτε εfvαι δυνατ6ν vα υπ&ρξει επαρκfg εποπτiκ6 μοvτfλο qr,.1. orroo',lo.ιζ 6ηv Yπερβoλικη Γεωμετρiα).

2.

H EΝEΡΓHTΙKH ΔΙΔΑΣKΑΛΙA Γεvικ&' η εvεργητικι{ διδαaκαλiα εοτι&,ζεται στιζ παρακaτω aftpγειεζ του καθηγηη 6πoυ η κ&θε μiα προδπoθfτει παραδομ[ αναΜγωv αντιλι{ψεωγ : 'Eτoι:

A) Η διδαακαλiα εκκινεt

με αουηθη πρoβληματα, 1ωρiq vα θwoιεq κα1 oι α\6ριθμοι.

626ουv

διδα1θεi πρlν

Ο1

απαραiτητεg

β

I

2

ο

t

πρoτfρα}γ <(απαραiητω>.

-' -ουγι{θωg B)Tο διδαrcτικ6 υλικ6 και η διδαοκoλin, ,rρooαρμ6ξοvταiμr ro περιβdλλοv ηg τoυ καθηγηη και τα εvδιαφ6ροyτα

t

ο

r

Γ)

ο

t

r

τ6ξεωq τιg γviοοειg τωv μαθητιiiv Αυτ6 οημαiνει oτι τα Μαθηματικα πptπειvα διδd,ακovται oε yvιilρ ιμα ιτ}"αiaια των μαθητiοv και να λαμβ&νoυν υπ' oΨιv τουζ ηv γλιilaοα τουζ, τα πoλιτιoμiκri του6 στοιχεiα και την

καθημεριv6ττγ&τoυq.

a

r r

Αυτ6 οημαivει, 6τι oι μαθητ69 μποροιiv γα λδοoυγ πρoβλ{ματξ σζ μηv μωρiζoυv τα θεωρoιiμεγα εκ των

F{ διδαακαλiα γivεται με πολλαπλε9εκ μ6ρουg του καθηγηη (εξατoμικευμεvη 9πιλογ69 διδαακαλiα , εργαο.iα αε ομd,δεg, oυξηη"η'μi οη η, ',iξη).

Aυτ6 ο'ημαiνει 6τι oι ατo;rικ6q διαφoρfg σ'τη μdηση απαιτo6γ διαφoρετικ{ oργιivωσtl τηg τιiξηs.

Δ) rΙ τeξη γiνεται"<μαθηματικη κoιν6ητα_υ και ο δαακαλοg των μαθηματικ ων ^1τiζεικαι αξιoλογεi π&νω oτιq μεθ6δουζ κα1λ;ι-loεη των ο Αυτ6 ο'ημαfvει 6τι οι εικαaiε5 που μαθητcbν. αγαπτιiσσο}ται, πρoωθοriv και ελiγ;goυγ την μιiθηoη, ο δε δαoκαλοq εivαι κ&θε oτιγμη δεκτικ69 οτιg πρoτιio*.{"*, μαθητιilν.

E) Η διδαακαΧiαγiνεται με εοτiαοη και τovιoμ6 τC,rv κεvτρικiυν μαθηματικιilv εwoιiον. ο Αυτ6 οημαtvει 6τι τυποπoημεvοι αξ6ριθμοι *ol, orojorωμεvεg περιoφtqτωv μαθηματικiοv δεv πρoο'φ6ροvτα1 γ1α παρουοiαο'η των σημαντικiον ιδεiοv Avτιθ6τωg, η'ri *ικι{ αvτi\ι|rη και αvτιμετiοπιοη των μαθηματικiον εivαι κεvτρικι{ επιλαμ{ τηq ειεαολ"λi"g.

Ι

Στ) Η xρtoη &τυπω1l μoρφiυv αξιολογηοηq, επιδρ& oτιg δδακτικ6q επλογ€g. Αυτ6 oημαivει ι6τι η ιiμεαη παρατι{ρηση τoυ δρ,fr"ηi o*εψηg το}v pαθητιirν ην aτιγμ{ πoιl εpγftζογται δivει 6λε9 τιg ευκαιρiεg'pinou ^oι, αvιiδραaη6 στoν καθηγηη γ1α ην βελτiωaη ι{ και α}J"αγfiτoυ τp6πoυ οργιftvωοηg τr1g διδαοκαλiαE.

Ι

Ζ) aι μαθητfq πp€πεινα

I

t t t

ο

'

μ6θηαη.

εvθαρρr}νoνται σε αναστοχαομ6 π&vω οτιq

δραοηρι6ητε9 και

ση

Aυτδ oημαivει 6τι o αγαοτο1αotrιιi.6 εiναι απαραiτητο εργαλεiο για γα γiνει αναθειilρηοη, καλλiτερη καταv6ηαη και διαοδγδεaη των μobηpo".*ιilγ εγγoιιirγ.

Η ειoαγωγη του κεφαλαiου των γεωμετρικioν μετασχηματιoμιbν με διαδικαοiεg επiλυoηq προβληματοq, αλλα και

κfrθε μαθηματoq μαοηματικλν γiνεται 6τoι iοοτε Ο MAΘETΙΙΣ: Kαλεiται vα διαβιiοει το πριδβλημα να κ6νει διευκριvιoτικ6g , ερωτιiσειs , vα α1εδι6cει και να αποτυπιba1Ψ που θα^του π-αραo1εθουv Tηρoφoρiεg [εοω Kαλεiται vα εργαοθεi μ6νοq "ru "ρoρηματοg. η καλriτερα καθ,ομ6δα9 Kαλεiται vα αυζηα{σει ηγ λ:ιlο'η του εικf,οεt, γα προσπαθηοει vα γεvικεr5oει και vα ,.να η αγαλδοει ηv πορεiα που 61ει ακολoυθηοει μθ1:ι rr'ri; :

.

Ι

T Π Π

I

Nα ενΘαρρυγθεi σ_ε 6υμμετoμ{ οτο μιiθηpα, μθο,α απ6 ην <<καταοκευτ[ τηg γγd)6ηξ> ακ6μα και 6ταν δεv θxει π}"Tιρη επα.οκΙ η μα'oηματικη υπoδομη. Ηδη παρατηρεiται το φαιν6μεvο ηq αξιοφμεiωηg ουμμετο1ηg <αδιivατωv> μαθητiov oε διαbικαoiεq

επiλυoηg πρoβξματoζ, oι oποfοι - εiναι β6βαιοv -_ιiα αδιαφoρo,joλv ε&v τo μ&θημα εi1ε ειoα1θεi με το παραδοοιακ6 μοvτ6λο διδαoκαλiαg ( π.x δαακαλοκειτριη διδαοκαλiα) Eξαλλου η

μ

I I

!

3

εισαγα}Tη βαoiζεται αυoηρd, οε απoκ}.ειaτικιi πιiγω oτι5 παλιfg.

_

T

T T

-

T

T

T

I

:

-

Δεv εivαι <μεταφορθαg γViοσηζ}, δεv παiζει - επιδεικvriει το <o6}ο) του εviυπιoν των μαθητiυv τoυ, αλλα διευθriγει με ηv μπαγκ6τα του, το προq κατ&κτηoη γvωoτικ6

-

Παρoυaιιiζει το πρ6βλημα οτηv τdξη , απαντα οε διαοαφητικ69 ερωα{οει6 καταν6ηοη6 και oργανiυvειτoυ6 μαθητθg.

Evθαρρδνει επιβραβευει πατοτριivει και καθοδηγεi διακριτικιi τουg μαθητ6g, ομtλεi οτοv ελαμoτο δυνατ6 βαθμ6 και εκμαιεr1ει τιg νθεg θwοιεg.

T

-

I

κd,τι που μπορεi vα γivει 7..χ. ψε το τ61vαομα ηζ διανομηq εv6g φιiλλου εργαοiαg ανd, δι1ο μαθητ69. Eivαι προφαvθg 6τι αυτ6 αυμβ&λ}ει οηv κoινωvικοποηoη του κ&θε προοcbπου και επiοr1q δρα ωg αvτiρροπog παρd,γovτεζ σην γεVικη τ*oη του'Eλ\νοg vα δρα κατd, μ6vαg, αφoti η εoωoτρθφεια και o εγωκεvτριομ6q μποροιiv να χαρακηριoθοriv ωq κεθvικ*. ελαττiυματυ.Παρd,λληλα η vθα γviοoη εvοωματriiνεται επiοημα G}6 yγd)d1 τηg μαθητικι{E κoιvι6τηταg.

ο'μ&τωv.

!

t t t

Να ενθαρρυνθεi oε oμαδικι{ εργαοiα,

o Ι(AΘΙΙΓETHΣ

-

I I

Ι{α εvΘαρρυνΘεi οτην δεξιιδτητα επiλυοηg πpοβ\μιiτων, αφοιi o με ilιγγιδδειg ρυθμοι1g αναπτυoo6μεvοζ κ6ομο6 μαζ, α?cαιτεi διαρκι{ προσαpμcγι{ του κ*,θε προ<riοπου μθοα απ6 διαδικαοiεg επiλυοηg προβξματοζ στo ευρriτερo και oτεv6τερo εργασ1.ακ6 του περιβd,λλov. Η δια β[ου εκπαiδεταη εivαι κ&τι 7Ξου oι παρoliοεg κοινωvικig αντrληψειg θεωροr5v πΜοv ωg φυοιολογικ6, πρ6πoν, ευκταiο και επιδιωκ6μεvο απ'6λου6, εvdυ ηδη oτιq αρ16q μ6λιq η6 δεκαετiαq του '80 η φρ&ση <δια βiου εκπαiδευοη> η1οfοε ωg υπφβoξ τωv- διαφορων φιλοo6φωv - μελλοντoλ6γωv ηq εκπαiδευσrιζ.

Eπωμiζεται με ηγ ευθ6η ηζ πρoσεκτικι{g ηgεδiασηq κατ(roτιioεωγ δρι1oη6, διατδπωσηζ, επtKoινrοviαg επικιiρωοηg ,απι6φαοηξ και εγ τ€λει θεoμοποiησ'lξ τηζ νfαg γvιilοηg. Σ' αυτ6 το o1εδιαομ6 τoυ Θα πpiπεινα λ&,βει πρ6νoια vα μηv περιπ6οεi o. o1ημo ατα τλ' " οπoiο η v6α Tvωση προκδπτει <φυoιολογικ&> και <αναμεv6μεvΦ η παρηεται'μθoω τε1vα-

T

I

πρoδπιiρχoυσεζ γviυοειg και η ν6α μdloη κτiζεται

-

αντικεiμεvο.

Evθαρρι5vει ηv αυζtηοη ι6λοlν τωγ ιδειbv πoυ αναπτιilσσοvται μεταξri τωv μαθητiοv Evεργο'ltoιεtταγvωoτικ&, ο1ηματα των μαθητιitν μ6οω γεvικri:v ειδικiον ευρετικiον, iοoτε vα η μποροriν vα αvαγvωρiζουν πρ6τυπα η μοντ6λα να διατυπιirγουγ εiκαοiε6, να τι9 αξιολογοδν, vα εiναloε θθοη vα κατ(rστριirvoυv 6vα o2g€διο και vα το εκτελοdν. Πρoκαλεi τροποποiηοη υπ&ρχοντοζ γεvικοrj ο1εδiου τoυ μαηη η τov βοηθd,ει vα δημιουργηοει ν6o. .

Καλεiται vα αντιμετωπiοει τα γVωστικ& η επιοημoλογικd, εμπ6δια πoυ ioωq παρoυοιαοθοfv oτην τ&,ξη απ6 τoυq μαθητ6q. Να υπoαηρiξει κ&θε προoπiθεια γεviκευαηg ταυ προβλr{ματαξ

Καλεiται να προβ6λλει στουζ μαθητ*q τoυ κ

Nα

ην

.

ιδθα 6τι τα μαθηματικd, εiναι μια ανθρiοπιvη

ηv μαθηματκη γv6οη εV τω γενd,oθαι και εv τω γiγvεοθαι στoυζ μαθητεq, και 6μ φιλτραριομειη αυνθετοποημεvη προεπεξεργαομfη, προταξινομημεvη, 6που μθοα παρουοιd,οει

ir

Ιl Ι

I I I I

r r

4

απ6 τ6τoια παρουοiα (οριoμ6q * θεωρημα -απ6δειξη) vα 1ιiνεται η διαδικαοiα δημιoυργiαg του6 καιη εφαρμογη τoυq.

Nα εθiοει τουq μαθητ6q oε εvεργητικig με06δoυq διδαοκαλiαg κ6vτρα στo παραδooιακ6 πρ6τυπο, το οποiο να εππρ6πει αvd,πτυξη φαιvομtvων παθητικ6ηταζ και αvtαq στουζ θεατfq-ακροατig μαθητ6q

.

Να μη δivει το *υροζ οη ν6α τvcbo'η ο iδιοq ο διδ*.o"κωv, αλλd, η tδια η Τvc,iση γα αποκτ*, υπι6οταoη κδρog και ιοχδ μtaα ατε6 την (καθοδηγο6μενη} ανακιiλυψι{ τηg απ6 ην μαθητικη κοιν6ητα'

o MΑΘHTΙΙΣ: Στην αpγfi καλεiται γα αγαlγ{υpiαει 1(αι γα αγακαΜοει αlτo ηv μvημη τoυ ηv εξiαωοη κliκλου ηv οποiα γvωρiζει απ6 B' Λυκεtου.'Eτσι η ν6α γvτilοη θα κτιoθεt οτα θεμ6λια τηξ παλαιιig.

Καλεiται οτηv αρμ{ γα κιiγει μι{νοq του μiα απξ γεωμετρ1κη διαδικααiα πoυ θα τoν ειofγει οηv v6α θwοια'H διαδικαοiα αυη oταΘμημεvη 6τoι eilοτε vα εfvαι δυναΦ απ6 το

:

αδγολο των μαθητiυv.

:

Καλε{ται vα ανακαλ.iψει προoδι6ριoε, με τιζ πα}νιt'g.

:

t : : : Ι

l t

t iI

η

σχ6ση που αυvδ6ει

τιζ vθεg

αυντεταγμεvεg που

ο

iδιoq

o

μαθηdq πoυ τ6λειωοε πρiοτog η 6oοι τελεiωoαν πρiοτol, ενθαρρδvογται να εunδεικvtioυv Ψν λυαη τουζ σε αδriνατουq μαθητθg oτo iδιο, εμπρ6q η πtoω θραviο, βoηθιilvταζ τουζ.

Kαλε{ται ελε6θερα να εκφριioει εικαaiεE για το τι εiδουq μεταβοξ υπ€οη ηq εργαοiαζ τoυ και να εικιiaει το εiδοg τoυ vfου aγfiμιτag.

ο κriκλοq μθo'ω

Καλεiται με τηγ μαιεττικι{ μ6θoδο γα αvακαλδψει τογ οριομ6 τoυ γραμμικοδ μετασχηματιομof ωq <απεικ6νιση}> μια fwoια την οποiα γvωρiζει αlro πpτν περιοριομ6vα.

Eτοι καλεiται γα διετρδvει τo αvτiοτoιχo γγωσrικιδ ομ{μα οliμφωνα με το οπoiο 6;ει κατα1ωρioει ηv €ιηrοια <απεικ6νιοη) κα1 <ουνd.ρηoη>. Tο tδιο ιομiει για τιζ προ0π&,ρ26ουoεq

fwοιεg

<<πtvακαq>,

<ποVομ6q πιv&κων> oε o1θοη με τηγ φηοιμ6ητ&. τουq

και τo πεδio εφαρμογiυν τoυg" Δηλ. εvαζ αγραμμικ6ζ μετασχηματιομ69> παριατ&νεται ιοοδυvαμα μθoω εν69 (γραμμικOιi αυοηματσζD το οποio με η oειρd, τoυ ιoοδυγαμεi με μiα ιo6ητα γιvομεvoυ πιvfrκων με κ&ποιο πiνακα' Ακ6μα 61ουμε oημαvτικη διεtρυνοη του γγΦστικo6 cμ{ματoq <αυvd,ρηση _6,ρτια-περπη αντiοτροφη ,oυμμετρtα ωζ προζ ευθεiα και οημεio> oε o1θοη με τoυζ γραμμικoδζ μετασχη ματιομo{g μθοω ηq οπτικοπoiησηζ με διαvυοματικη τεxyΦ πoυ θα παρσυσιαστεi oτοτ6λoq.

Mε τοv αγακαλυπτ6μεvο μημovικ6 καv5γα διευκολιlvεται σηv αν6κλτ1αι1 6λων τωγ πινd,κων τωv γραμμικiυv μεταo1η ματιoμiοv'

π

: : :

T

t :

T

I :

I

t :

t

I I ;

t t t

o Ι{ΑΘHΓΙΙTΙΙΣ:

_

Ομιλεi μ6νο για να διετΘriγει τo μfrθημα με φρd,οειg του τιiπου: <διαπραγματευτεtτε το 1o εριirημω>, <π6οοι τελειiυοατε>, <βoηθηoτε τουζ δπλανoιiq σαζ>, <βρηκατε 6λοι αυτ6>> , αδιαπραγματευτε{τε τo 2o ερrbημα> κ.τ.λ.

-

Eπιβραβευει λεκτικιi ιδiωg τoυq αδ6vατου€

-

Eκμαιεδει τoγ oριομ6 του γεα}μετρικo6 μετασχηματιομοιi. Aμ6οωq μετα δεiμει ηγ

που διαπραγματεliovται κ&πoιo ερωημα. H δυοκολiα των ερωτησεο]ν κα,ι η κλιμ&κωoη τoυq εγγυiονται, oτι oπωοδηποτε στιξ πρτirτε6 θα απανα{οουν 6λοι οι μαθητfq. 'Οοοv αφoρ&, οην εliρεοη τoυ πiνακα τωv γvωoτiov γραμμικιilν μετασχηματιoμiυν, αναμfvεται σμαλη απ6κριοη αΙt' τo οrjνολο ηq κd,θε τ&hg.

Aν υπ*,ρξει δυοκoλiα, θα αφορ& ηv ευρεoη του πρiοτoυ πiνακα του πρiοτου ση οειρ*, γραφικο6 μετασχη ματιομοδ. διαφ&vεια με το πλθγμα κα,ι τηv παραμ6ρφωΦ τoυ μετ*, τουζ σεισμΟtig , καθιοτdοvταq θτoι τov οριομ6 ιiμεοα εφαρp6αιμo oηv ζωι{ μαg σε {xα ατι6 τ.' 7tpαΥψ('τικ6 προβξματα του κι1opιoυ μαζ.

_ Σην

διδαoκαλiα τσυζ ηζ 2'lq εν6ητα9 (οτροφη) ioωq μιπορεi vα ενεργoπoιι{oει μια ειδικι{ ευρετικι{ στoυξ pαθητfg γLα τα A) και B) ερωηματα λ€γοvταg <θυpηθεiτε τρηωνομετρικ6 κl5κλo η αv*λυoη δυvd.μεωq οε δΦo αυγιοτωοεζ) για 6ooυq μαθητ69 δεv τo θ1ουv βρει .

BΙBΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1.ΙζΛΑΟΥΔATΟΣ ΝΙΚoΣ: (1996)ΣΗMEΙCΣEΕ MAΘΗMΑTOΣ

(ΔΙΔΑΚTΙΚΗ MΑΘΙ{MATΙΚΩΝ)

2.

3.J

PοLYA GΥORGΥ:

NATOΛYΣΩ> EKΔOΣEΣ ΚAΡΔAMHTΣΑ ΑΘΗNA.

(1991) (<ΙΙΓΣ

.M.}ΙEΑLΥ : <MYAΛΑΠOΥ ΚΙNΔΥNEΥOYN) EKΔOΣEΣ ΛΥ}a.ΙoΣ

4 . KΛΑoYΔAToΣ

NΙΚοΣ : (|997) EΙΣ}Γ}ΣΗ ΣEMΙNAPΙOΥ (ΠΡΑΓMΑTΙΚΑ ΠΡOBΛΗMATΑ ΚΑΙ ΝΔΑΣKΑΛΙΑ ΜΑΘΗMATΙΚΩN).

5. MΙX. Ι . ΚΑΣΣΩTΑKFΙ-ΓEΩP. Σ ΦΛoYΡΗ αMΑΘ}ΣΗ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣKΑΛΙΑ;).

6'ΘEoΔ.Γ.EΞΑΡxΑKoY(l 988) (ΔΙΔAΚΤΙΚΗ TΩN MΑΘΗMΑ'TΙΚΩN>> EΚΔoΣEΙΣ EΛΛΗΝΙΚΑ ΓPΑMMATA