49 το θεώρημα του μπάκινχαμ

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 1

Εργασία (Βόµβα & Αρνί)

Βόµβα

τροµοκρατικής οργάνωσης Μια τροµοκρατική οργάνωση έχει τοποθετήσει ένα σφαιρικού σχήµατος εκρηκτικό µηχάνηµα στον χώρο των αποσκευών ενός αεροπλάνου. Ο όγκος V του κρατήρα που θα προκληθεί κατά την έκρηξη στον αέρα είναι συνάρτηση των εξής µεγεθών: Της πυκνότητας ρ του χώρου αποσκευών, της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g της µάζας Γ γόµωσης, του βάθους h µέσα στον χώρο αποσκευών, πυκνότητας δ του εκρηκτικού, και της ειδικής ενέργειας Εs, δηλαδή ενέργειας ανά µονάδα µάζας της γόµωσης . Να βρεθεί ο όγκος V του κρατήρα που θα προκληθεί στον χώρο αποσκευών σε συνάρτηση των παραπάνω µεταβλητών. Απάντηση: Εκφράζουµε τα µεγέθη του προβλήµατος συναρτήσει των θεµελιωδών µεγεθών : Τ χρόνος, L µήκος , Μ µάζα: [V] = L3 [ρ] = ΜL-3 -2 [g] = LT [Γ ] = Μ [h] = L [∆δ] = ΜL-3

MLL ] 2 ενέργεια T = L2T-2 ]= Es = [ µάζα [M] [

Το γινόµενο των µεταβλητών αυτών θα είναι της µορφής : Va ρb gc Γd he δf Εsg και απαιτούµε να είναι αδιάστατο ως προς τα Τ, L, M, δηλ: Va ρb gc Γd he δf Εsg = T0 M0 L0 ⇔

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 2

(L ) (ML ) (LT ) 3 a

−3 b

−2 c

(

Md Le ML−3

Εργασία (Βόµβα & Αρνί)

) (L T ) f

2

−2 g

= T 0M0L0 ⇔

T −2c −2g Mb + d+ f L3a −3b+c + e−3 f + 2g = T 0M0L0 ⇔ 3a − 3b + c + e − 3f + 2g = 0 − 2c − 2g = 0   ⇔ b + d + f = 0 ⇔ b + d + f = 0 − 2c − 2g = 0 3a − 3b + c + e − 3f + 2g = 0   Έχουµε λοιπόν τον πίνακα Α του οποίου θα βρούµε την διάσταση rank(A)

3 − 3 1 0 1 − 3 2  3 − 3 1 0 1 − 3 2 1 L3 → L3 L1 →−L3 +L1 2 A = 0 1 0 1 0 1 0    → → 0 1 0 1 0 1 0  0 0 − 2 0 0 0 − 2 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 3 1 0 1 3 − 3 0 0 1 − 3 1 1 L1 → L3   0 1 0 1 0 1 0  L1 →3L2 +L1 3  → 0 1 0 1 0 1 0 →   0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1  1 0 0 1 0 1 0 1  0 0 1 0 

1 1 0 3 3 0 1 0  0 0 1 

Η τάξη του πίνακα Α είναι rank(A)=3. Οπότε ο χωρος λύσεων V έχει διάσταση dimV=7-3=4. Τότε , επιλέγω αυθαιρέτως 4 ελεύθερους αγνώστους (d, e, f, g )και το σύστηµα γράφεται:

1 1 1 1   a + d + 3 e + 3 g = 0 a = −d − 3 e − 3 g   ⇔ b = −d − f ⇔ b + d + f = 0 c + g = 0 c = −g     1 1 (a, b, c, d, e, f , g) = ( −d − e − g, − d − f , − g, d, e, f , g) 3 3

∆ηλαδή η λύση θα είναι υπόχωρος του Ñ7 ισόµορφος του Ñ4 που θα παράγεται από την τετράδα (d, e, f, g). Θα πάρουµε λοιπόν για (d, e, f, g) τα διανύσµατα (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 3

Εργασία (Βόµβα & Αρνί)

(0, 0, 1, 0) και (0, 0, 0, 1) και θα βρούµε αρχικά την αντίστοιχη λύση του συστήµατος και στην συνέχεια τα αδιάστατα γινόµενα. Θέτουµε κάθε φορά έναν ελεύθερο άγνωστο ίσο µε 1 και τους υπολοίπους ίσους µε 0 , οπότε θα πάρω 4 διανύσµατα, έναν για κάθε ελεύθερο άγνωστο, γραµµικώς ανεξάρτητα, όπως παρακάτω: (1, 0, 0, 0) -> (-1, -1, 0, 1, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 0) -> (-1/3, 0, 0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0) -> (0, -1, 0, 0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 1) -> (-1/3, 0, -1, 0, 0, 0, 1) , που αντιστοιχούν στα γινόµενα:

Π1=V-1ρ-1Γ , 1/3

Π2=V-1/3h , Π3=ρ-1δ , Π4=V-

1

Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Backingham υπάρχει συνάρτηση f : f(Π1, Π2, Π3, Π4)=0. Εφόσον αναζητούµε τύπο για τον όγκο V, θα λάβουµε µια φ(Π3) συναρτήσει των υπολοίπων αδιάστατων γινοµένων. Με δοκιµή ενδεχόµενων συνδυασµών για τα Π1, Π2, Π4 ως γινόµενο, ως πηλίκο δύο ανά το τρίτο κτλ , ο συνδυασµός που δίνει µια απλούστερη σχέση για το V, (επειδή απλοποιείται ο όρος V-1/3) είναι λ. χ . η

V −1ρ −1ΓV −1 / 3g −1 E s ΓE s Π1 Π 4 −1 ( ) V = φ( Π 3 ) ⇒ = φ ρ δ ⇒ = V −1 / 3 h Π2 ρghφ(ρ −1δ)

Πόση ώρα θέλει σούβλισµα το αρνί του Πάσχα;

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 4

Εργασία (Βόµβα & Αρνί)

Έστω t ο χρόνος που πρέπει να ψήσουµε το αρνί. Ο χρόνος t εξαρτάται από το πάχος (µέγεθος) του αρνιού. Το µέγεθος του αρνιού το µετράµε µε το µήκος του l. Επίσης εξαρτάται από την διαφορά θερµοκρασίας ∆θα του κρύου αρνιού από την θερµοκρασία που έχει η φωτιά και την διαφορά θερµοκρασίας ∆θψ του ψηµένου αρνιού από την θερµοκρασία της φωτιάς. Τέλος ενέργεια επιφάνεια x χρόνο εξαρτάται από µια σταθερά θερµικής αγωγιµότητας k = . θερµοκρασία µήκος Να εκφραστεί ο χρόνος ψησίµατος t, ως συνάρτηση των παραπάνω µεταβλητών, αν οι διαφορές θερµοκρασίας µετρούν ενέργεια/µονάδα όγκου. Απάντηση Εκφράζουµε τις µεταβλητές του προβλήµατος συναρτήσει των βασικών µεταβλητών, όπως και στο προηγούµενο : L µήκος, Τ χρόνος, και Μ µάζα. Ισχύει:

s υ s 0 1 −2 t [F]=[m γ]=[m ] = [m ] = [m 2 ] = M LT t t t

[E]=[F s]=(1) MLT-2L=M1 L2T-2 [θ]=M0 L0T0 Για την ∆θα και ∆θψ έχω:

(1)

(2) (3)

F.S m.γ.S ( 2) ML2T−2 Ε [∆θα ] = [∆θψ ] = [ ] = [ ] = [ ]= = M0L−1T−2 . (4) 3 V V V L E 2 −2 E.l ( 2 )( 3)( 4 ) ΜL T L S . t [κ] = [ ] = [ ]= = M 0 L1T − 3 2 Για το κ έχουµε: . (5) θ S.t.θ LT l Το γινόµενο των µεγεθών αυτών θα είναι της µορφής: tα lβ(∆θα)γ(∆θψ)δκε . Για να είναι αδιάστατο ως προς Τ, Μ, L , θα πρέπει να ισχύει: [tα lβ(∆θα)γ(∆θψ)δκε]=T0 M0 L0 ñ Tα Lβ (ΜL-1 T-2)γ (ΜL-1 T-2)δ (ΜL T-3)ε= T0 M0 L0ñ Τα-2γ-2δ-3ε Lβ-γ-δ+ε Μγ+δ+ε = T0 M0 L0 ñ

α − 2γ − 2δ − 3ε = 0  β − γ − δ + ε = 0 γ + δ + ε = 0  Έχω δηλαδή ένα γραµµικό οµογενές σύστηµα 3 εξισώσεων µε 5 αγνώστους. Βρίσκω την τάξη του πίνακος εκτελώντας τους διαδοχικούς ισοδύναµους µετασχηµατισµός µε «γραµµοπράξεις»

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 5

Εργασία (Βόµβα & Αρνί)

1 0 − 2 − 2 − 3 1 0 0 0 − 1 1 →Γ1 + 2 Γ3 2 → Γ2 + Γ3 → 0 1 − 1 − 1 1  Γ → A = 0 1 − 1 − 1 1  Γ     1 1  0 0 1 1 1  0 0 1 1 0 0 0 − 1 0 1 0 0 2  = B   0 0 1 1 1  Άρα rank(Α)=3 Ο χώρος λύσεων έχει διάσταση:(Αριθµός αγνώστων Συστήµατος)-rank(A) =5-3=2. Επιλέγω αυθαιρέτως δύο αγνώστους, (λ.χ. δ και ε ) και εκφράζω τους υπολοίπους συναρτήσει αυτών. Έτσι θα έχω:

a − ε = 0 α = ε   β + 2ε = 0 ⇔ β = −2ε γ + δ + ε = 0 γ = −δ − ε   Οπότε (α, β, γ, δ, ε)=(ε, -2ε, -δ-ε, δ, ε) µε ε,δ ελεύθερες µεταβλητές œÑ (6) Άρα στον Ñ5 οι λύσεις θα είναι υπόχωρος του Ñ5 της µορφής (δ, ε, 0, 0, 0), που είναι ισόµορφος µε τον υπόχωρο του Ñ2 που παράγεται από το ζεύγος (δ,ε). Για( δ=0 και ε=1) (δ=1 και ε=0) στην (6) προκύπτουν αντιστοίχως οι γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις που παράγουν τον χώρο (1, -2, -1, 0, 1) και (0, 0, -1, 1, 0) αντίστοιχα.(Βάση του χώρου λύσεων) Έτσι προκύπτoυν τα αδιάστατα γινόµενα: Π1=tl-2(∆θα)-1κ και Π2=(∆θα)-1(∆θψ)1 . Tότε από το θεώρηµα του Backingham θα υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε f(Π1, Π2)=0. Έστω ότι Π1=φ(Π2). Οπότε θα έχουµε: tl-2(∆θα)-1κ = φ((∆θα)-1(∆θψ)1 ) =>

l 2 ∆θ α ϕ ( ∆θ α ) −1 ( ∆θ ψ )1 . t= κ

(

)

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 6

Εργασία (Βόµβα & Αρνί)