21
H ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ e Για την απόδειξη της υπερβατικότητας του e, θα χρειασθούµε κάποιες βοηθητικές προτάσεις-λήµµατα τις οποίες παραθέτουµε: Λήµµα IV: • (i) Εάν p πρώτος και ν φυσικός µε ( p, v) ≠ 1 (: δεν είναι πρώτοι προς αλλήλους), τότε v = πολ p . • (ii) Εάν όµως v ≠ πολ p τότε ( p, v) = 1 . • (iii) Αν p πρώτος και p / α ⋅ β τότε ( p / α ή p / β ) • (iv) Αν ( p /| α και p /| β ) τότε p /| αβ • (v)
Αν ( p /| α1 , p /| α 2 ... p /| αv ) τότε p /| α1α 2 ...αv
• (vi) Αν p πρώτος και ν φυσικός µε p > v τότε p /| (v!) p • (vii) Αν το p διαιρεί τους όρους ενός αθροίσµατος πλην ενός, τότε δεν διαιρεί το άθροισµα. Απόδειξη: (i) Έστω ότι ( p, v) = δ > 1 . δ/ p⇒
Τότε
(επειδή p πρώτος)
(δ = 1 ή p ) ⇒ (δ ≠ 1) δ= p
(1)
δ / v ⇒ p / v ⇒ v = πολ p
Έτσι
(1)
(ii) Πρόκειται για την αντιθετοαντίστροφη πρόταση (i) άρα ισχύει. (iii) Για την απόδειξη αυτή, θα χρησιµοποιήσουµε ένα θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας αριθµών που είναι το εξής: “Αν (α, β ) = 1 , τότε ∃ x ∈ Ù και y ∈ Ù : αx + βy = 1 ”. Έτσι έχουµε: Αν ( p / αβ και p /| α ) ⇒ ( p / αβ και α ≠ πολ p ) ⇒
Λήµµα IV ( ii )
( p / αβ και ( p, α ) = 1)
(2)
Όµως, από το θεµελιώδες θεώρηµα της Θεωρίας Αριθµών, υπάρχει