Ἀμείωτες Ταλαντώσεις

1

Διαγώνισμα Φυσικῆς Κατευθύνσεως Γ΄ Λυκείου ᾿Αμείωτες Ταλαντώσεις www.epistimesonline.gr

᾿Ονοματεπώνυμο: ῾Ημερομηνία: Βαθμός:

Θέμα Α Νὰ ἐπιλέξετε τὴν σωστὴ ἀπάντησι.

1. Σὲ κύκλωμα LC, ποὺ ἐκτελεῖ ἀμείωτες ἠλεκτρικὲς ταλαντὠσεις, ἡ ὁλικὴ ἐνέργεια εἶναι: α) ἀνάλογη τοῦ φορτίου τοῦ πυκνωτοῦ, √ β) ἀνάλογη τοῦ ηµ2 ( LCt), γ) σταθερή, δ) ἀνάλογη τῆς ἐντάσεως τοῦ ῥεύματος, (μονάδες 5). Θέμα Πανελληνίων 2012.

2. Σὲ μία ἀπλὴ ἁρμονικὴ ταλάντωσι ἡ ἀπομάκρυνσις καὶ ἡ

2 ἐπιτάχυνσις τὴν ἴδια χρονικὴ στιγμή: α) ἔχουν πάντα ἀντίθετο πρόσημο, β) ἔχουν πάντα ἴδιο πρόσημο, γ) θὰ ἔχουν τὸ ἴδιο ἢ ἀντίθετο πρόσημο ἀναλόγως τῆς ἀρχικῆς φάσεως τῆς ἀπλῆς ἁρμονικῆς ταλαντώσεως, δ) μερικὲς φορὲς ἔχουν τὸ ἴδιο καὶ ἄλλες φορὲς ἀντίθετο πρόσημο, (μονάδες 5). Θέμα Πανελληνίων 2009.

3. Στὴν ἀπλὴ ἁρμονικὴ ταλάντωσι τὸ ταλαντούμενο σῶμα ἔχει μέγιστη ταχύτητα: α) στὶς ἀκραῖες θέσεις τῆς τροχιᾶς του, β) ὅταν ἡ ἐπιτάχυνσις εἶναι μεγίστη, γ) ὅταν ἡ δύναμις ἐπαναφορᾶς εἶναι μεγίστη, δ) ὅταν ἡ δυναμικὴ του ἐνέργεια εἶναι μηδενική, (μονάδες 5). Θέμα Πανελληνίων 2008.

4. ῾Η ἐξίσωσις τοῦ φορτίου τοῦ πυκνωτοῦ σὲ ἕνα κύκλωμα

3 ἠλεκτρικῶν ταλαντώσεων LC, τὸ ὁποίο ἐκτελεῖ ἀμείωτες ἠλεκτρικὲς ταλαντώσεις μεγίστου φορτίου Q καὶ γωνιακῆς συχνότητος ω, δίνεται ἀπὸ τὴν σχέσι q = Qσυνωt. ῾Η ἐξίσωσις τῆς ἐντάσεως τοῦ ῥεύματος στὸ κύκλωμα δίνεται ἀπὸ τὴν σχέσι: α) i = −Qωηµωt, β) i = − Q ηµωt, ω γ) i = Qωσυνωt, δ) i = Qωηµωt, (μονάδες 5). Θέμα Πανελληνίων 2007.

5. Νὰ σημειώσετε μὲ Σ τὶς σωστὲς καὶ μὲ Λ τὶς λάθος προτάσεις. α) ῾Η περίοδος καὶ ἡ συχνότητα ἑνὸς περιοδικοῦ φαινομένου εἶναι μεγέθη ἀντίστροφα. β) Στὶς ἠλεκτρικὲς ταλαντώσεις τὸ φορτίο τοῦ πυκνωτοῦ παραμένει σταθερό. γ) Σὲ μία ἀπλὴ ἁρμονικὴ ταλάντωσι αὐξάνεται τὸ μέτρο τῆς ταχύτητος τοῦ σώματος ποὺ ταλαντώνεται, καθὼς αὐξάνεται τὸ μέτρο τῆς δυνάμεως ἐπαναφορᾶς.

4 δ) Τὸ πηλίκο

F m

τῆς δυνάμεως ἐπαναφορᾶς πρὸς τὴν μάζα ἑνὸς

σώματος, ποὺ ἐκτελεῖ ἀπλὴ ἁρμονικὴ ταλάντωσι, μεταβάλλεται ἁρμονικὰ μὲ τὸν χρόνο. ε) ῎Αν σὲ ἕνα ἠλεκτρικὸ κύκλωμα LC, ποὺ ἐκτελεῖ ἀμείωτη ἠλεκτρικὴ ταλάντωσι, διπλασιάσουμε τὸ μέγιστο φορτίο τοῦ πυκνωτοῦ, τότε διπλασιάζεται καὶ ἡ συχνότητα τῆς ταλαντώσεως. (Μονάδες 5).

Θέμα Β 1. Σφαίρα μάζης m ἐκτελεῖ γραμμικὴ ἀπλὴ ἁρμονικὴ ταλάντωσι. ῾Η ἀπομάκρυνσις x τοῦ σώματος ἀπὸ τὴν θέσι ἰσορροπίας δίνεται ἀπὸ τὴν σχέσι x = Aηµωt, ὅπου Α τὸ πλάτος τῆς ταλαντώσεως καὶ ω ἡ γωνιακὴ συχνότητα. Νὰ ἀποδείξετε ὅτι ἡ συνολικὴ δύναμις ποὺ δέχεται τὸ σῶμα σὲ τυχαία θέσι τῆς τροχιᾶς του, δίνεται ἀπὸ τὴν σχέσι F = −mω 2 x, (μονάδες 6). Θέμα Πανελληνίων 2003.

2. Δύο σώματα Σ1 καὶ Σ2 μὲ ἴσες μάζες ἰσορροποῦν κρεμασμένα ἀπὸ κατακόρυφα ἐλατήρια μὲ σταθερὲς k1 καὶ k2 ἀντι-

5 στοίχως, ποὺ συνδέονται μὲ τὴν σχέσι k1 =

k2 .

2

᾿Απομακρύ-

νουμε τὰ σώματα Σ1 καὶ Σ2 ἀπὸ τὴν θέσι ἰσορροπίας τους κατακόρυφα πρὸς τὰ κάτω κατὰ x καὶ 2x ἀντιστοίχως καὶ τὰ ἀφήνουμε ἐλεύθερα τὴν ἴδια χρονικὴ στιγμή, ὁπότε ἐκτελοῦν ἀπλὴ ἁρμονικὴ ταλάντωσι. Τὰ σώματα διέρχονται γιὰ πρώτη φορὰ ἀπὸ τὴν θέσι ἰσορροπίας τους: α) ταυτόχρονα, β) σὲ διαφορετικὲς χρονικὲς στιγμὲς μὲ πρῶτο τὸ Σ1 , γ) σὲ διαφορετικὲς χρονικὲς στιγμὲς μὲ πρῶτο τὸ Σ2 , (μονάδες 2). Νὰ αἰτιολογήσετε τὴν ἀπάντησὶ σας, (μονάδες 4). Θέμα Πανελληνίων 2004.

3. Στὸ ἰδανικὸ κύκλωμα τοῦ σχήματος 1 ἔχουμε ἀρχικὰ τοὺς διακόπτες ∆1 καὶ ∆2 ἀνοικτούς. ῾Ο πυκνωτὴς χωρικότητος C1 ἔχει φορτιστεῖ μέσω πηγῆς συνεχοῦς τάσεως μὲ φορτίο Q1 . Τὴν χρονικὴ στιγμὴ t0 = 0 ὁ διακόπτης ∆1 κλεῖνει, ὁπότε στὸ κύκλωμα LC1 ἔχουμε ἀμείωτη ἠλεκτρικὴ ταλάντωσι. Τὴν χρονικὴ στιγμὴ t1 =

5T , 4

ὅπου Τ ἡ περίοδος ταλαντώσεως τοῦ

κυκλώματος LC1 , ὁ διακόπτης ∆1 ἀνοῖγει καὶ ταυτοχρόνως

6

Figure 1: Θέμα Β κλεῖνει ὁ ∆2 . Τὸ μέγιστο φορτίο Q2 , ποὺ θὰ ἔχει ἀποκτῆσει ὁ πυκνωτὴς χωρικότητος C2 , ὅπου C2 = 4C1 , κατὰ τὴν διάρκεια τῆς ἠλεκτρικῆς ταλαντώσεως τοῦ κυκλώματος LC2 , θὰ εἶναι ἴσο μέ: α) Q1 , β)

Q1 , 2

γ) 2Q1 , (μονάδες 2). Νὰ αἰτιολογήσετε τὴν ἀπάντησι σας, (μονάδες 4). Θέμα Πανελληνίων 2006.

4. Σὲ ἕνα ἰδανικὸ κύκλωμα ἠλεκτρικῶν ταλαντώσεων ἄν κάποια χρονικὴ στιγμὴ ἰσχύει q =

Q , 3

ὅπου q τὸ στιγμιαῖο ἠλεκτρικὸ

φορτίο καὶ Q ἡ μέγιστη τιμὴ τοῦ ἠλεκτρικοῦ φορτίου στὸν πυκνωτή, τότε ὁ λόγος τῆς ἐνέργειας τοῦ ἠλεκτρικοῦ πεδίου πρὸς τὴν ἐνέργεια τοῦ μαγνητικοῦ πεδίου

UE UB

εἶναι:

7 α) 18 , β) 13 , γ) 3, (μονάδες 2). Νὰ αἰτιολογήσετε την ἀπάντησὶ σας, (μονάδες 5). Θέμα Πανελληνίων 2008.

Θέμα Γ Τὸ ἠλεκτρικὸ κύκλωμα τοῦ σχήματος 2 ἀποτελεῖται ἀπὸ πυκνωτὴ χωρητικότητος 2·10−5 F , ἰδανικὸ πηνίο συντελεστοῦ αὐτεπαγωγῆς 0, 05H καὶ διακόπτη Δ ὁπως φαίνεται στὸ παρακάτω σχῆμα. ᾿Αρχικὰ ὁ διακόπτης Δ εἶναι ἀνοικτὸς καὶ ὁ πυκνωτὴς φορτισμένος μὲ ἠλεκτρικὸ φορτίο 5·10−7 C. Οἱ ἀγωγοὶ συνδέσεως ἔχουν ἀμελητέα ἀντίστασι. Τὴν χρονικὴ στιγμὴ t = 0 κλείνουμε τὸν διακόπτη Δ. Νὰ ὑπολογίσετε: 1. τὴν περίοδο τῆς ἠλεκτρικῆς ταλαντώσεως (μονάδες7), 2. τὸ πλάτος τῆς ἐντάσεως τοῦ ῥεύματος (μονάδες 8), 3. τὴν ἔντασι τοῦ ῥεύματος τὴν στιγμὴ ποὺ τὸ φορτίο τοῦ πυκνωτοῦ εἶναι 3 · 10−70 C (μονάδες 10).

8

Figure 2: Θέμα Γ Δίνεται π = 3, 14. Θέμα Πανελληνίων 2003.

Θέμα Δ Λεῖο κεκλιμένο ἐπίπεδο ἔχει γωνία κλίσεως φ = 30◦ (Σχήμα 3). Στὰ σημεῖα Α καὶ Β στερεώνουμε τὰ ἄκρα δύο ἰδανικῶν ἐλατηρίων μὲ σταθερὲς k1 = 60 N καὶ k2 = 140 N ἀντιστοίχως. m m Στὰ ἐλεύθερα ἄκρα τῶν ἐλατηρίων δένουμε σῶμα Σ1 μάζης m1 = 2kg καὶ τὸ κρατάμε στὴν θέσι ὅπου τὰ ἐλατήρια ἔχουν τὸ φυσικὸ τους μῆκος. Τὴν χρονικὴ στιγμὴ t0 = 0 ἀφήνουμε τὸ σῶμα Σ1 ἐλεύθερο. 1. Νὰ ἀποδείξετε ὅτι τὸ σῶμα Σ1 ἐκτελεῖ ἀπλὴ ἁρμονικὴ ταλαντωσι, (μονάδες 5 ).

2. Νὰ γράψετε τὴν σχέσι ποὺ δίνει τὴν ἀπομάκρυνσι τοῦ σώματος Σ1 ἀπὸ τὴν θέσι ἰσορροπίας του ἐν συναρτήσει μὲ τὸν

9

Figure 3: Θέμα Δ χρόνο. Νὰ θεωρήσετε θετικὴ τὴν φορὰ ἀπὸ τὸ Α πρὸς τὸ Β, (μονάδες 7). Κάποια χρονικὴ στιγμὴ ποὺ τὸ σῶμα Σ1 βρίσκεται στὴν ἀρχικὴ του θέσι, τοποθετοῦμε πάνω του (χωρὶς ἀρχικὴ ταχύτητα) ἕνα ἄλλο σῶμα Σ2 μικρῶν διαστάσεων μάζης m2 = 6kg. Τὸ σῶμα Σ2 δὲν ὀλισθαῖνει πάνω στὸ στὸ Σ1 λόγω τῆς τριβῆς ποὺ δέχεται ἀπὸ αὐτό. Τὸ σύστημα τῶν δύο σωμάτων ἐκτελεῖ ἀπλή ἁρμονικὴ ταλάντωσι.

3. Νὰ βρεῖτε τὴν σταθερὰ ἐπαναφορὰς τῆς ταλαντώσεως τοῦ σώματος Σ2 , (μονάδες 6).

4. Νὰ βρεῖτε τὸν ἐλάχιστο συντελεστὴ ὁριακῆς στατικῆς τριβῆς, ποὺ πρέπει νὰ ὑπάρχῃ μεταξῦ τῶν δύο σωμάτων, ὥστε τὸ Σ2

10 νὰ μὴ ὀλισθαῖνει σὲ σχέση μὲ τὸ Σ1 , (μονάδες 7). Δίνονται: ηµ30◦ = 12 , συν30◦ = Θέμα Πανελληνίων 2012.

√

3 ,g 2

= 10 sm2 .