ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α . Πότε μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α λϋμε ότι παρουςιϊζει ςτο x0 ολικό ελϊχιςτο ; ( 5 μονϊδεσ ) Β . Πότε μια ςυνϊρτηςη f λϋγεται γνηςύωσ φθύνουςα ςε ϋνα διϊςτημα Δ ; Γ. Πότε μια ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το Α λϋμε ότι εύναι 1-1 ;
( 5 μονϊδεσ ) ( 5 μονϊδεσ )
Δ. Να χαρακτηρύςετε ωσ Σωςτό (Σ) ό ωσ Λανθαςμϋνη (Λ) καθεμύα από τισ παρακϊτω προτϊςεισ : ( 10 μονϊδεσ ) α) Κϊθε ςυνϊρτηςη που εύναι 1-1 ςτο πεδύο οριςμού τησ, εύναι γνηςύωσ μονότονη β) Αν f , g εύναι δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού το ℝ και ορύζονται οι ςυνθϋςεισ fog , gof τότε αυτϋσ οι ςυνθϋςεισ εύναι υποχρεωτικϊ ύςεσ. γ) Αν μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ εύναι 1-1 , τότε για την αντύςτροφη ςυνϊρτηςη f −1 ιςχύει f −1 f(x) = x , ∀x ∈ A και f f −1 (y) = y , y ∈ f(A) δ) Μια ςυνϊρτηςη f :A→ ℝ εύναι 1-1 , αν και μόνο αν για κϊθε ςτοιχεύο y του ςυνόλου τιμών τησ η εξύςωςη f(x)=y ϋχει ακριβώσ μια λύςη ωσ προσ x . ε) Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ μονότονη ςε ϋνα διϊςτημα Δ , τότε εύναι και 1-1 ςτο διϊςτημα αυτό.
ΘΕΜΑ Β Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x) =
α x −1 x +1
, x ≠ −1 , όπου α ϋνασ πραγματικόσ αριθμόσ .
Β1) Αν η γραφικό παρϊςταςη τησ f διϋρχεται από το ςημεύο Κ(3 , 2) να δεύξετε ότι α = 3 . ( 5 μονϊδεσ ) Β2) Να αποδεύξετε ότι η f εύναι 1-1
( 6 μονϊδεσ )
Β3) Να αποδεύξετε ότι η αντύςτροφη ςυνϊρτηςη τησ f εύναι η f −1 (x) = Β4) Να βρεύτε τα κοινϊ ςημεύα των γραφικών παραςτϊςεων f και f −1
x +1 3–x
, x≠3
( 7 μονϊδεσ )
( 7 μονϊδεσ )
ΘΕΜΑ Γ Δύνεται η γνηςύωσ μονότονη ςυνϊρτηςη f ∶ ℝ ⟶ ℝ τησ οπούασ η γραφικό παρϊςταςη διϋρχεται από τα ςημεύα Α(2 , 11) και Β(3 , 3 ) . Γ1) Να βρεύτε το εύδοσ μονοτονύασ τησ f .
( 4 μονϊδεσ )
Γ2) Να δεύξετε ότι η f εύναι αντιςτρϋψιμη .
( 2 μονϊδεσ )
Γ3) Να λύςετε την ανύςωςη f ( f( x + 1) − x ) < f (11 − x)
( 5 μονϊδεσ )
Γ4) Θεωρούμε επύςησ τη ςυνϊρτηςη g ∶ ℝ ⟶ ℝ για την οπούα ιςχύει (gog)(x) = f(x 5 + 3) + 3g(x) και την ςυνϊρτηςη h ∶ ℝ ⟶ ℝ με h(x) = ex + x − 1 α) Να δεύξετε ότι η g εύναι 1-1 . ( 6 μονϊδεσ ) β) Να βρεύτε την μονοτονύα τησ h . ( 2 μονϊδεσ ) x 2 −x 2 γ) Να λύςετε την εξύςωςη g e + x − g 2 − (x − 1) = 0 ( 6 μονϊδεσ )
ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τισ ςυναρτόςεισ f ∶ ℝ ⟶ ℝ και g ∶ ℝ ⟶ ℝ τϋτοιεσ , ώςτε η ςυνϊρτηςη fog να εύναι 1-1 Δ1) Να δεύξετε ότι η g εύναι 1-1 .
( 4 μονϊδεσ )
Δ2) Να λύςετε την εξύςωςη g(f(x) + x 3 + x) = g(f(x) − lnx + 2)
( 8 μονϊδεσ )
Δ3) Αν g(ℝ) = (−∞ , 0) , να δεύξετε ότι η εξύςωςη 2eg(x) = 1 ϋχει μια τουλϊχιςτον πραγματικό λύςη.( 5 μονϊδεσ ) Δ4) Αν για κϊθε x > 0 ιςχύει g (f(lnx) + 1) = g(x + 2) να αποδεύξετε ότι f(x) = ex + 1 και ςτην ςυνϋχεια να βρεύτε την αντύςτροφη τησ f . ( 8 μονϊδεσ )
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ