2ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης Μαθηματικών Γ Λυκείου 2017

2ο ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩ΢Η΢ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΕΜΑ Α Α. Σι ονομάζουμε αρχική μιασ ςυνάρτηςησ f ςε ένα διάςτημα Δ Β. Να διατυπώςετε το Θεώρημα του Rolle

( 4 μονάδεσ )

( 4 μονάδεσ )

Γ. Αν μια ςυνάρτηςη f είναι παραγωγίςιμη ς’ ένα ςημείο x0 , τότε να αποδείξετε ότι η f είναι και ςυνεχήσ ςτο ςημείο αυτό ( 7 μονάδεσ ) Δ. Να χαρακτηρίςετε ωσ ΢ωςτή (΢) ή ωσ Λανθαςμένη (Λ) καθεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ : ( 10 μονάδεσ ) α) Αν μια ςυνάρτηςη f είναι 1-1 ςτο πεδίο οριςμού τησ , τότε υπάρχουν ςημεία τησ γραφικήσ παράςταςησ τησ f με την ίδια τεταγμένη . ςυν x − 1 β) Ιςχύει ότι : lim =1 x→0

x

γ) Αν lim f(x) = 0 και f(x) > 0 κοντά ςτο x0 , τότε lim x→x 0

1

x→x 0 f(x)

= +∞ .

δ) Έςτω η f είναι ςυνεχήσ ςυνάρτηςη ςε ένα διάςτημα Δ και παραγωγίςιμη ςε κάθε εςωτερικό ςημείο x του Δ . Αν η ςυνάρτηςη f είναι γνηςίωσ αύξουςα ςτο Δ τότε η παράγωγόσ τησ δεν είναι υποχρεωτικά θετική ςτο εςωτερικό του Δ. β ε) Σο ολοκλήρωμα α f(x)dx είναι ίςο με το άθροιςμα των εμβαδών των χωρίων που βρίςκονται πάνω από τον άξονα x’x μείον το άθροιςμα των εμβαδών των χωρίων που βρίςκονται κάτω από τον άξονα x’x

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f : ℝ → ℝ , για την οποία ιςχύει f 3 (x) + f(x) = x + 2 για κάθε x ∈ ℝ α) Να μελετήςετε την f ωσ την μονοτονία β) Να δείξετε ότι η f αντιςτρέφεται και να βρείτε την αντίςτροφη τησ . γ) Να βρείτε τα κοινά ςημεία των γραφικών παραςτάςεων τησ f και τησ f −1 δ) Να δείξετε ότι η Cf έχει ένα ακριβώσ ςημείο καμπήσ , το οποίο και να το προςδιορίςετε ε) Να υπολογίςετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράςταςη τησ f και τουσ άξονεσ x’x , y’y

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η ςυνάρτηςη f(x)=2lnx −

x2 2

+ αx και f(x) ≤ f(1) , για κάθε x > 0 .

α) Να δείξετε ότι α = −1 . β) Να μελετηθεί η f ωσ προσ την μονοτονία και τα ακρότατα .

1

x +2

3

γ) Να βρεθεί το πλήθοσ των ριζών τησ εξίςωςησ x x = e 4 − 2x δ) Να μελετήςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα. ε) Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ Cf ςτο ςημείο τησ με τετμημένη x0 = 2 ζ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράςταςη τησ f , την προηγούμενη εφαπτομένη και την ευθεία x=1.

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ιςχύουν : 1 f(1) = −1 , f ′ (x) + f(x) + 4ex−1 = lnx + x + 1 + για κάθε x > 0 x α) Να αποδείξετε ότι f(x) = lnx + x − 2ex−1 , x > 0 β) Να μελετήςετε την f ωσ προσ την μονοτονία , ακρότατα e 2 f ′ (lnt )

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη f ′ (x) = e dt έχει μια μόνο ρίζα t ςτο διάςτημα (1 , 2) δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράςταςη τησ 1 1 1 ςυνάρτηςησ h(x) = 2 f με x > 0 , τον άξονα x’x και τισ ευθείεσ x = , x=1 x x e ε) Δίνεται επιπλέον η ςυνάρτηςη g(x) = −f(x) , x > 0 . Αν η ευθεία x = λ , λ > 0 τέμνει τισ γραφικέσ παραςτάςεισ των f , g ςτα ςημεία Αλ , Βλ αντίςτοιχα , να βρείτε : ε1) την ελάχιςτη τιμή των αποςτάςεων (Αλ Βλ ) Ε(λ) Ε(λ) ε2) τα όρια lim 2 και lim+ 2 όπου Ε(λ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑλ Βλ λ→+∞ λ + 1

λ→0 λ + 1

ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ