3ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων Μαθηματικών Γ Λυκείου 2017

3ο ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩ΢Η΢ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΕΜΑ Α Α. Πότε μια ςυνάρτηςη f λέγεται ςυνεχήσ ςε ένα κλειςτό διάςτημα [α , β] ( 4 μονάδεσ ) Β. Πότε μια ςυνάρτηςη f με πεδίο οριςμού το Α παρουςιάζει ςτο x0 ∈ Α τοπικό μέγιςτο ( 4 μονάδεσ ) Γ. Έςτω f μια ςυνεχήσ ςυνάρτηςη ςε ένα διάςτημα [α , β]. Αν G είναι μια παράγουςα β τησ f ςτο [α , β] , να αποδείξετε ότι α f t)dt = G β) − G α) . ( 7 μονάδεσ ) Δ. Να χαρακτηρίςετε ωσ ΢ωςτή ΢) ή ωσ Λανθαςμένη Λ) καθεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ : 10 μονάδεσ ) α) Αν

lim f x) = +∞ ή − ∞ , τότε

x→x 0

lim

1

x→x 0 f(x)

=0 .

β) Αν μια ςυνάρτηςη f παρουςιάζει ολικό) μέγιςτο, τότε αυτό είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά τησ μέγιςτα. γ) Αν f είναι ςυνεχήσ ςε διάςτημα Δ και α , β , γ ∈ Δ β γ β τότε α f x)dx = α f x)dx + γ f x)dx δ) Έςτω η f είναι ςυνεχήσ ςυνάρτηςη ςε ένα διάςτημα Δ και παραγωγίςιμη ςε κάθε εςωτερικό ςημείο x του Δ. Αν η ςυνάρτηςη f είναι γνηςίωσ φθίνουςα ςτο Δ , τότε η παράγωγόσ τησ είναι υποχρεωτικά αρνητική ςτο εςωτερικό του Δ ε) Έςτω μια ςυνάρτηςη οριςμένη ς’ ένα ςύνολο τησ μορφήσ α , x0 ) ∪ x0 , β) . Ιςχύει η ιςοδυναμία : lim f x) = −∞ αν και μόνο αν lim+ f x) = lim− f x) = −∞ x→x 0

x→x 0

x→x 0

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η ςυνάρτηςη f x) = x +

2x x2+ 1

α) Να δείξετε ότι η f αντιςτρέφεται ( 5 μονάδεσ ) β) Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f ( 7 μονάδεσ ) γ) Να δείξετε ότι η πλάγια αςύμπτωτη τησ Cf είναι ο άξονασ ςυμμετρίασ των γραφικών παραςτάςεων f , f −1 ( 6 μονάδεσ ) δ) Να υπολογίςετε το όριο

lim

x 0

x→+∞

f t)dt x2

( 7 μονάδεσ )

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f : (1 , +∞) → ℝ τέτοια , ώςτε : f e) = 1 και x

′ 2 f x)

f x)

+4

f(x) f ′ x)

= 4x , x > 1 .

α. Να αποδείξετε ότι f x) = ln2 x , x > 1 ( 8 μονάδεσ ) β. Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ ε) τησ Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων . ( 6 μονάδεσ ) γ. Να μελετήςετε την f ωσ προσ την κυρτότητα και να βρείτε τα ςημεία καμπήσ ( 5 μονάδεσ ) δ. Να υπολογίςετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την Cf , την εφαπτόμενη ε) και τισ ευθείεσ x = e , x = e2 ( 6 μονάδεσ )

ΘΕΜΑ Δ Έςτω ςυνάρτηςη f δύο φορέσ παραγωγίςιμη ςτο (0 , +∞), για την οποία ιςχύουν: f ′′ x) =

1 x2

+1−

1 x

− f ′ x) , x > 0 με f 1) =

α. Να αποδείξετε ότι f ′ 1) = −

1 e

e +1 e

και e 1 − f(x)) ≤ x − 2 , x > 0 .

( 5 μονάδεσ )

β. Να αποδείξετε ότι f x) = −lnx + x + e−x , x > 0 ( 5 μονάδεσ ) γ. Να δείξετε ότι η f παρουςιάζει ολικό ελάχιςτο ςτο ςημείο x0 ∈ 0 , 2) για το οποίο ιςχύει f x0 ) > 1 ( 5 μονάδεσ ) δ. Να αποδείξετε ότι : δ1 . Τπάρχει μοναδικό x1 < x0 τέτοιο ώςτε f( x1) < f(2) ( 5 μονάδεσ ) δ2 . Τπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ ( x1 , 2) : f ξ) −f(2) = f ′ ξ) ( 5 μονάδεσ )

ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ