8ο ΤΕΣΤ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

8ο ΣΕ΢Σ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

1) Δίνεται η ςυνάρτηςη f παραγωγίςιμη

5) Δίνεται ςυνάρτηςη f: ℝ → ℝ , με ςυνεχή

ςτο [0 ,1] με f 1 = 1. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ 0 , 1 τέτοιο,

δεύτερη παράγωγο για την οποία ιςχύει : f ′(2)f(2) = f ′(4)f(4) . Να δείξετε ότι : α υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ 2 , 4

2 f ξ ξ

ώςτε f ′(ξ) = 3 −

τέτοιο ώςτε f ξ ∙ f ′′ ξ + f ′ ξ

2) Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f με πεδίο οριςμού το 0 , +∞ , έτςι ώςτε να ιςχύει : f 2 x + f x − 6x = 3lnx + 2011 , x > 1 Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα x’x ςε ένα το πολύ ςημείο .

22/1/2018

f(e)

ιςχύει : f 1 = + 1 . Να δείξετε ότι e υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ 1 , e τέτοιο, ώςτε η εφαπτομένη τησ Cf ςτο ςημείο A ξ , f ξ να διέρχεται από το ςημείο Β 0 , ξ

4) Δίνεται η ςυνάρτηςη f παραγωγίςιμη ςτο [1 ,2] με f 2 = [f(1)]2 , f x > 0 για κάθε x ∈ [1 ,2] . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ 1 , 2 τέτοιο, ώςτε

f′ ξ f ξ

=

ln f ξ ξ

=0

β η εξίςωςη x f(x) ∙ f ′′ x + 1 – x = 0 έχει τουλάχιςτον μια λύςη ςτο 0 ,4 .

3) Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f με πεδίο οριςμού το [1 , e] , έτςι ώςτε να

2

ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΧΙΑ ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢