9ο ΤΕΣΤ-ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

9ο ΣΕ΢Σ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕ΢Η΢ ΣΙΜΗ΢

1) Δίνεται παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f ∶ ℝ → ℝ ώςτε να ιςχύει f 19 = f 1 . Να αποδείξετε ότι : ∃ ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ 1 , 19 : 2f ′ ξ1 + 3f ′ ξ2 + 4f ′ ξ3 = 0 .

2) Να αποδείξετε ότι : 1+

x < 2 x+1

1+x<1+

x , x>0 2

3) Δίνεται παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f με πεδίο οριςμού το 0 , +∞ και η Cf τέμνει την διχοτόμο δ του πρώτου τεταρτημορίου ςε τρία διαφορετικά ςημεία. Να δείξετε ότι : α υπάρχουν δύο εφαπτόμενεσ τησ Cf παράλληλεσ ςτην δ β υπάρχουν δύο εφαπτόμενεσ τησ Cf που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

5) Δίνεται ςυνάρτηςη f ςυνεχήσ ςτο [0 , 5] με f(5) = 10 και ∀ x ∈ [0 , 5] ιςχύει 3 ≤ f ′ x ≤ 5 . Να δείξετε ότι : α −15 ≤ f 0 ≤ −5 β η Cf τέμνει ακριβώσ μια φορά τον άξονα x’x ςτο 0 , 5 γ ορίζεται η αντίςτροφη τησ f ςτο [0 , 5] δ αν Μ(2 , −2) ∈ Cf , να λυθεί η εξίςωςη : f 3 + f −1 x 2 − 3x = 10 , x ∈ [0 , 5]

6) Δίνεται ςυνάρτηςη f: ℝ → ℝ , δύο φορέσ παραγωγίςιμη τησ οποίασ η γραφική παράςταςη τέμνει τον άξονα y’y ςτο – 5 και για την οποία ιςχύουν : lim

x→2

lim

x→2

x∙f x − 2f(2)

= 7 και

x −2 2 x ∙f 2 − 4f(x) x −2

= −8 . Να δείξετε ότι :

α f ′ 2 = 3 και f 2 = 1 4) Δίνεται η ςυνάρτηςη f δύο φορέσ β υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ 0 , 2 παραγωγίςιμη ςτο [0 , e] . Αν η Cf διέρχεται τέτοιο, ώςτε f ′′ (ξ) = 0 . από την αρχή των αξόνων και 29/1/2018 f 1 + f e = 0 , f(1) ≠ f(e) , να δείξετε ότι : α η εξίςωςη f x = 0 έχει δύο τουλάχιςτον ΚΑΛΗ ΔΙΑ΢ΚΕΔΑ΢Η ρίζεσ ςτο [0 , e) β η εξίςωςη f ′(x) = 0 έχει μια τουλάχιςτον ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢ ρίζα ςτο 0 , e) γ αν f ′(e) > 0 , να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ 0 , e τέτοιο, ώςτε f ′′ (ξ) > 0 .