Γπαμάληση ζηημ Γρθεία
Πρπξλόγιξ 42 Θέμαηα Γμδξζςξλικώμ Γνεηάζετμ
Πρπξλόγιξ Γρθείαπ
1. Ορμηελεζηήπ Διεύθρμζηπ ερθείαπ - Ακ ς ε γςκία πμο ζπεμαηίδεη μηα εοζεία (ε) με ημκ άλμκα x’x, ηόηε ιε=εθς y −y - Γίκαη λε = x 2 − x 1 όπμο Α(x1 , y1 ) , Β x2 , y2 ζεμεία ηεξ εοζείαξ (ε) -
2
1
Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία
ε1 ∥ ε2 ⇔ λε 1 = λε 2 ε1 ⊥ ε2 ⇔ λε 1 ∙ λε 2 = −1 ε ∥ 𝑥′𝑥 ⇔ λε = 0 ε ⊥ 𝑥 ′ 𝑥 ⇔ λε = δεν ορίζεται
2. Γνίζτζη Γρθείαπ - Γίκαη ε: y − y0 = λ(x − x0 ) , όπμο Α(x0 , y0 ) ζεμείμ ηεξ εοζείαξ (ε) θαη ι μ ζοκηειεζηήξ δηεύζοκζήξ ηεξ. – Καηαθόνοθε Γοζεία: x = x0 - Ονηδόκηηα Γοζεία: y = y0 - Γοζεία πμο δηένπεηαη από ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ: y = λx - Δηπμηόμμξ ηεξ πνώηεξ θαη ηνίηεξ γςκίαξ ηςκ αλόκςκ: 𝑦 = 𝑥 - Δηπμηόμμξ ηεξ δεύηενεξ θαη ηέηανηεξ γςκίαξ ηςκ αλόκςκ: y = −x 3. Ε Γνίζτζη Αx+Βy+Γ=0 - πανηζηάκεη εοζεία ακ Α ≠ Ο ή Β ≠ Ο - έπεη ζοκηειεζηή δηεύζοκζεξ λ =
Α − Β
- είκαη πανάιιειε ζημ δηάκοζμα δ = Β, −Α - είκαη θάζεηε ζημ δηάκοζμα η = Α, Β 4. Απόζηαζη Οημείξρ από Γρθεία - Γίκαη d K, ε =
Αx 0 +Βy 0 +Γ Α 2 +Β 2
, όπμο Κ x0 , yo ζεμείμ θαη ε:Ax+By+Γ=0 εοζεία.
5. Γμβαδόμ Ποιγώμξρ - Γίκαη: ΑΒΓ =
1 2
det ΑΒ, ΑΓ
-
Ε Γρθεία
1. Δίκμκηαη ηα ζεμεία ημο επηπέδμο Α(1,3), Β(-2,-7) θαη Γ(4,-1). Να βνείηε: α. ηεκ ελίζςζε ημο ύρμοξ ΑΔ, θαζώξ θαη ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο Δ β. ηεκ ελίζςζε ηεξ δηαμέζμο ΑΜ γ. ηεκ μλεία γςκία ηςκ ΑΜ θαη ΑΔ δ. ημ εμβαδό ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (2ξ ΓΓΘ ΟΓΞΞΩΚ 2015) 2. Δίκεηαη ηνίγςκμ ΑΒΓ με Α(-1,0), Β(-3,4) θαη Γ(3,2). α. Να δείλεηε όηη ε γςκία Α είκαη μνζή β. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ημο ύρμοξ ΑΔ γ. Να βνείηε ημ εμβαδό ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (ΓΓΘ ΒΜΘΜΡ 2015) 3. Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(4,0) θαη Β(0,4) α. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ (ε) πμο δηένπεηαη από ηα Α θαη Β, θαζώξ θαη ηεκ γςκία πμο ζπεμαηίδεη ε εοζεία αοηή με ημκ άλμκα x’x β. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ (δ) πμο δηένπεηαη από ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ θαη είκαη θάζεηε ζηεκ (ε) γ. Να βνείηε ημ ζεμείμ ημμήξ Μ ηςκ εοζεηώκ (ε) θαη (δ) θαζώξ θαη ημ εμβαδό ημο ηνηγώκμο ΟΜΒ, όπμο Ο ε ανπή ηςκ αλόκςκ (ΓΓΘ ΒΜΘΜΟ 2015) 4. Δίκεηαη ηνίγςκμ ΑΒΓ με Α(2,-3), Β(6,6) α. Ακ ε ελίζςζε ημο ύρμοξ ΑΔ είκαη 2x+y=2, κα βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ ΒΓ β. Ακ ε ελίζςζε ηεξ δηαμέζμο ΑΜ είκαη x=3, κα βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο Γ γ. Να βνείηε ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (3ξ ΓΓΘ ΟΓΞΞΩΚ) 5. Δίκεηαη ε ελίζςζε 2x 2 − 2y 2 − 3xy + 10y − 8 = 0 (1) a. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη δύμ εοζείεξ ε1:-x+2y-2=0, ε2:-2x-y+4=0 β. Έζης Α ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ ε1 με ημκ άλμκα x’x θαη Β ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ ε2 με ημκ άλμκα x’x β1. Βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ηςκ Α, Β β2. Βνείηε ζεμείμ Δ ηεξ εοζείαξ ε1 ημο πνώημο ηεηανηεμμνίμο , ώζηε ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΔ κα είκαη ίζμ με 6 β3. Έζης (ε) ε εοζεία πμο είκαη θάζεηε ζημκ άλμκα x’x ζημ ζεμείμ Α. Να βνείηε ημκ γεςμεηνηθό ηόπμ ηςκ ζεμείςκ Μ ημο επηπέδμο γηα ηα μπμία ηζπύεη (ΜΒ)=d(Μ,ε) (ΓΗΝΑΖΔΓΡΠΕΞΖΑ ΔΜΡΗΑΟ 2015) 6. Δίκεηαη ηνίγςκμ ΑΒΓ με Α(1,3). Η ελίζςζε ημο ύρμοξ ΒΔ είκαη x+2y-13=0 θαη ε ελίζςζε ηεξ δηαμέζμο ΒΜ είκαη 4x-3y+3=0. α. Να βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο Β β. Ακ Β(3,5) κα βνείηε ηηξ εληζώζεηξ ηςκ εοζεηώκ ΑΒ θαη ΑΓ γ. Ακ ε ΑΓ έπεη ελίζςζε y=2x+1 κα βνείηε ημ Γ (ΓΗΝΑΖΔΓΡΠΕΞΖΑ ΔΜΡΗΑΟ 2015)
7. Δίκμκηαη μη εοζείεξ ε1:(ι-1)x-y+4=0, ε2 : (3-ι)x-y+ι=0 α. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ε1 δηένπμκηαη από ημ ζεμείμ Α(0,4) β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ε2 δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ, ημ μπμίμ κα βνείηε γ. Να βνεζεί ε ηημή ημο ι ώζηε μη εοζείεξ κα είκαη πανάιιειεξ δ. Γηα ηεκ ηημή ημο ι πμο βνήθαηε ζημ πνμεγμύμεκμ ενώηεμα, κα βνείηε: δ1. ηεκ απόζηαζε ηςκ παναιιήιςκ εοζεηώκ δ2. Σμ εμβαδόκ ημο ηεηναγώκμο πμο έπεη ηηξ δύμ απέκακηη πιεονέξ ημο, ηηξ εοζείεξ αοηέξ . (ΓΓΘ ΗΜΞΖΚΘΜΟ 2015) 8. Δίκμκηαη ηα ζεμεία ημο επηπέδμο Α(-3,2), Β(2,3) θαη Γ(4,1). α. Να δείλεηε όηη ηα ζεμεία αοηά δεκ είκαη ζοκεοζεηαθά β. Να δείλεηε όηη ε μεζμθάζεημξ (ε) ημο ημήμαημξ ΒΓ είκαη ε y=x-1 γ. Να βνείηε ημ ζομμεηνηθό ημο ζεμείμο Α ςξ πνμξ ηεκ (ε) (ΜΓΦΓ 2015) 9. Δίκεηαη ε ελίζςζε x 2 − y 2 − 4λy − 2λx − 3λ2 = 0 α. Να απμδείλεηε όηη ε ελίζςζε πανηζηάκεη δύμ θάζεηεξ εοζείεξ β. Να απμδείλεηε όηη ημ ζεμείμ ημμήξ Μ ηςκ παναπάκς εοζεηώκ βνίζθεηαη ζε μηα εοζεία πμο δηένπεηαη από ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ. γ. Ακ ι=1 θαη Α ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ ε1 : x-y-3=0 με ημκ άλμκα y’y θαη Β ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ ε2:x+y+1=0 με ημκ άλμκα x’x κα βνείηε ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΜ δ. Πμηα από ηηξ παναπάκς εοζείεξ απέπεη μεγαιύηενε απόζηαζε από ημ ζεμείμ Κ, ημ μπμίμ είκαη ημ ζεμείμ πμο δηένπμκηαη όιεξ μη εοζείεξ με ελίζςζε α2 + α + 2 x + α − 3 y − 3α2 + 5α = 0 . (ΜΞΜΟΕΙΜ ΝΓΖΞΑΖΑ 2015) 10. Δίκεηαη ε ελίζςζε ημ2 θ ∙ x + ςυν2 θ ∙ y − 1 = 0 . (1) α. Να απμδείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη γηα θάζε πναγμαηηθό ανηζμό ζ. β. Να δείλεηε όηη όιεξ μη εοζείεξ πμο μνίδμκηαη από ηεκ (1), δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ Α π γ. Γηα θ = 4 , κα βνεζεί ε ελίζςζε ηεξ εοζείαξ ε1 θαη μεηά ηα ζεμεία ημμήξ ηεξ με ημοξ άλμκεξ.
δ. Να βνεζεί ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο Α’ΒΓ όπμο Γ ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ ε1 με ημκ άλμκα x’x, Β ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ ε1 με ημκ άλμκα y’y θαη Α’ είκαη ημ ζομμεηνηθό ημο Α ςξ πνμξ ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ ε. Να βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο ζεμείμο πμο ακήθεη ζηεκ εοζεία x+y-2=0 θαη απέπεη από ημ ζεμείμ Δ(-1,2) ηεκ ειάπηζηε απόζηαζε. δ. Να βνεζεί μ γεςμεηνηθόξ ηόπμξ ηςκ ζεμείςκ Μ ώζηε κα ηζπύεη ΜΑ2 − ΜΒ 2 = ΜΓ ∙ ΟΑ (ΝΜΡΗΑΙΖΟΑΟ 2015) 11. Δίκεηαη ε ελίζςζε (ι-2)π+(ι2-5ι+6)y-ι+2=0 (1) α. Να βνείηε ηηξ ηημέξ ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι ώζηε ε (1) πανηζηάκεη εοζεία β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ, ημ μπμίμ κα βνείηε. γ. Να βνείηε ημ ι ώζηε ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο πμο ζπεμαηίδεη ε (1) με ημοξ άλμκεξ κα είκαη
1 2
δ. Γηα ι=4 ακ βνείηε ηεκ απόζηαζε ημο ζεμείμο Ο(0,0) από ηεκ εοζεία. (3ξ ΓΓΘ ΑΘΓΛ/ΘΕΟ 2014) 12. Δίκεηαη ε ελίζςζε 2x+y-2+ι(x-y+5)=0 (1) θαη ε εοζεία δ:2x-y+11=0 α. Να δείλεηε όηη γηα θάζε ηημή ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι, ε (1) πανηζηάκεη εοζεία β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ, ημ μπμίμ κα βνείηε. γ. Να βνείηε ηεκ εοζεία (ε) πμο μνίδεηαη από ηεκ (1) θαη είκαη πανάιιειε ζηεκ εοζεία δ. δ. Ακ ε: 2x-y+6=0 κα βνείηε ηεκ απόζηαζε ηςκ παναιιήιςκ ε θαη δ. (ΓΓΘ ΟΑΚΠΜΞΖΚΕΟ 2014)
13. Δίκμκηαη μη εληζώζεηξ x 2 − y 2 − 2x + 1 = 0 1 θαη 2λ2 − 3λ + 1 x + λ2 + 1 y − 3λ2 + 6λ − 1 = 0 (2) α. Να απμδείλεηε όηη ε ελίζςζε (1) πανηζηάκεη δύμ θάζεηεξ εοζείεξ ηςκ μπμίςκ κα βνείηε θαη ημ ζεμείμ ημμήξ ημοξ. β. Να δείλεηε όηη γηα θάζε ηημή ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι, ε (2) πανηζηάκεη εοζεία γ. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ηεξ (2) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ, ημ μπμίμ κα βνείηε (ΜΓΦΓ 2014) 14. Δίκεηαη ε ελίζςζε (ι+1)x+(ι-1)y+2ι=0 (1) α. Να δείλεηε όηη γηα θάζε ηημή ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι, ε (1) πανηζηάκεη εοζεία β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2014) 15. Δίκεηαη ε ελίζςζε λ2 + λ − 2 x + 𝜆 − 1 y + λ2 − 1 = 0 (1) α. Να δείλεηε όηη γηα θάζε ηημή ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι, ε (1) πανηζηάκεη εοζεία β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ Κ γ. Ακ ημ Κ είκαη θέκηνμ ηεηναγώκμο ημο μπμίμο ε μηα πιεονά βνίζθεηαη ζηεκ εοζεία 3x-4y+2=0, κα βνεζεί ημ εμβαδόκ ημο ηεηναγώκμο (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2014) 16. Δίκεηαη ε ελίζςζε α2 + 2α x − α2 + α + 1 y − α2 − 2 = 0 (1) α. Να δείλεηε όηη γηα θάζε ηημή ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι, ε (1) πανηζηάκεη εοζεία β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ γ. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ (1) πμο είκαη: γ1. Κάζεηε ζηεκ εοζεία ε:x-y+3=0 γ2. Πανάιιειε ζημκ άλμκα x’x (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2014) 17. Δίκμκηαη μη εοζείεξ ε1: -x+2y-5=0 θαη ε2: 3x+y-6=0 α. Να βνείηε ημ ζεμείμ ημμήξ Μ ηςκ δύμ εοζεηώκ β. Να βνείηε ηεκ απόζηαζε ημο ζεμείμο Μ από ηεκ εοζεία δ:4x-3y=1 γ. Να βνείηε εοζεία θάζεηε ζηεκ δ πμο κα δηένπεηαη από ημ Μ (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2013) 18. Δίκεηαη ε ελίζςζε x 2 − y 2 + 4x + 4 = 0 (1) α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη δύμ εοζείεξ ε1: x-y+2=0 θαη ε2: x+y+2=0 β. Να βνείηε ημ ζεμείμ ημμήξ ηςκ δύμ εοζεηώκ Μ θαζώξ θαη ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο πμο μνίδμοκ μη εοζείεξ με ημκ άλμκα y’y γ. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ πμο δηένπεηαη από ημ ζεμείμ ημμήξ Μ θαη απέπμοκ από ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ απόζηαζε ίζε με 2. (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2013) 19. Έζης ε1 ε εοζεία πμο δηένπεηαη από ημ ζεμείμ Ρ(-1,3) θαη ηέμκεη ημοξ άλμκεξ x’x , y’y ζηα ζεμεία Α,Β ακηίζημηπα, ώζηε ημ Ρ κα είκαη ημ μέζμ ημο ΑΒ. α. Να απμδείλεηε όηη είκαη ε1:y=3x+6 β. Θεςνμύμε ηα ζεμεία Γ(-5,1) θαη Δ(2α-7,5-4α) θαη ημ ζεμείμ Δ ακήθεη ζηεκ εοζεία ε1 β1. Να δείλεηε όηη α=2 θαη κα βνείηε ημ εμβαδό ημο ηνηγώκμο ΡΓΔ β2. Γηα α=2 κα βνείηε ηεκ μεζμθάζεηε ε2 ημο ημήμαημξ ΓΔ β3. Γηα α=2 κα βνείηε ηεκ μλεία γςκία ηςκ εοζεηώκ ε1, ε2 (ΝΓΖΞΑΙΑΠΖΗΜ ΓΓΘ ΕΞΑΗΘΓΖΜΡ 2013)
20. Δίκμκηαη ηα δηακύζμαηα α, β ≠ 0 θαη ε ελίζςζε 6αβx − 4 α β y − 2αβ = 0 (1) α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη εοζεία (ε) β. Ακ α ⊥ β κα δείλεηε όηη ε εοζεία ε είκαη μ άλμκαξ x’x γ. Ακ ε (ε) δηένπεηαη από ημ Β(3,2), ηόηε κα βνείηε ηεκ γςκία ηςκ α, β (4ξ ΓΓΘ ΙΡΠΖΘΕΚΕΟ 2013) 21. ε ηνίγςκμ ΑΒΓ είκαη Α(4,3),Β(2,5),Γ(2,-1). Να βνείηε α. ηεκ ελίζςζε ηεξ πιεονάξ ΑΒ β. ηεκ ελίζςζε ηεξ πιεονάξ ΒΓ γ. ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ δ. ημ ζομμεηνηθό ημο Γ ςξ πνμξ ηεκ εοζεία ΑΒ
(1ξ ΓΓΘ ΗΜΙΜΠΕΚΕΟ 2013)
22. Δίκεηαη ε ελίζςζε x 2 + 2xy + y 2 − 4 = 0 (1) α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη δύμ εοζείεξ ε1: x+y+2=0 θαη ε2: x+y-2=0 β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ είκαη πανάιιειεξ γ. Να βνεζεί ε απόζηαζε μεηαλύ ηςκ δύμ εοζεηώκ δ. Ακ Α(-1,-1) ζεμείμ ηεξ εοζείαξ ε1 θαη Β,Γ ηα ζεμεία ημμήξ ηεξ εοζείαξ ε2 με ημοξ άλμκεξ x’x,y’y ακηίζημηπα, κα βνεζεί ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (ΓΓΘ 2013) 23. Δίκεηαη ε ελίζςζε x+y-5+ι(2x+y-7)=0 (1) α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη εοζεία γηα θάζε ηημή ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι θαη όηη όιεξ μη εοζείεξ δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ ημο μπμίμο κα βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ β. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ ε1 πμο μνίδεηαη από ηεκ (1) θαη δηένπεηαη από ημ Α(4,1) γ. Να απμδείλεηε όηη ε εοζεία ε:-x+y+1=0 δεκ ακήθεη ζηεκ παναπάκς μηθμγέκεηα εοζεηώκ. δ. Να βνείηε ηεκ εοζεία ε2 πμο μνίδεηαη από ηεκ (1) θαη είκαη θάζεηε ζηεκ (ε) (ΓΓΘ ΑΖΔΕΣΜΡ 2013) 24. Δίκεηαη ε εοζεία ε:3x+y+α=0 θαη ηα ζεμεία Α(1,3) , Β(-2,2) α. Ακ ε απόζηαζε ημο ζεμείμο Α από ηεκ (ε) είκαη ίζε με ημ μήθμξ ημο ημήμαημξ ΑΒ, κα βνείηε ημ α β. Γηα α=4 κα βνείηε : β1. Σμ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ, όπμο Γ ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ (ε) με ημκ άλμκα y’y β2. Σμ ζεμείμ ηεξ (ε) πμο απέπεη ηεκ μηθνόηενε απόζηαζε από ημ Ο. (1ξ ΓΓΘ ΓΖΑΚΚΖΠΟΩΚ 2013) 25. Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(3,2),Β(5,α-1),Γ(4,1) α. Γηα πμηεξ ηημέξ ημο α είκαη θμνοθέξ ηνηγώκμο; β. Ακ ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ είκαη ίζμ με 2, κα βνείηε ηηξ ηημέξ ημο α γ. Γηα α=3, κα βνείηε ηηξ εληζώζεηξ ηςκ ΒΓ θαη ηεξ δηαμέζμο ΑΜ (2ξ ΓΓΘ ΗΜΔΑΚΕΟ) 26. Δίκεηαη ε ελίζςζε 2x+y-5+ι(x+y-3)=0 (1) α. Να δείλεηε όηη γηα θάζε ηημή ημο πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ι, ε (1) πανηζηάκεη εοζεία ε β. Να δείλεηε όηη μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ. γ. Να ελεηάζεηε ακ οπάνπεη ι γηα ημ μπμίμ ε ε κα ζπεμαηίδεη με ημκ άλμκα x’x γςκία 135° . (14ξ ΓΓΘ ΝΓΞΖΟΠΓΞΖΜΡ 2013) 27. Δίκεηαη ηνίγςκμ ΑΒΓ με Α(1,2),Β(3,-2), Γ(1,-1). Να βνείηε: α. ηηξ εληζώζεηξ ηςκ πιεονώκ ΑΒ θαη ΑΓ. β. ηεκ ελίζςζε ημο ύρμοξ ΑΔ γ. ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (14ξ ΓΓΘ ΝΓΞΖΟΠΓΞΖΜΡ 2012)
28. Δίκεηαη ε ελίζςζε α2 + α + 2 x + α − 3 y − 3α2 + 5α = 0 (1) α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη εοζεία γηα θάζε ηημή ημο α θαη όηη δεκ οπάνπεη εοζεία πμο κα είκαη πανάιιειε ζημκ άλμκα x’x. β. Να δείλεηε όηη όιεξ μη εοζείεξ δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ γ. Να βνείηε ηεκ εοζεία ε ηεξ (1) πμο είκαη θάζεηε ζηεκ ε:x+2y+5=0 (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2012) 29. Δίκεηαη ε εοζεία ε:y=2x-4 θαη ημ ζεμείμ Α(5,1) α. Να βνείηε εοζεία δ θάζεηε ζηεκ ε πμο κα δηένπεηαη από ημ Α β. Να βνείηε ηεκ απόζηαζε ημο Α από ηεκ εοζεία ε γ. Να βνείηε ημ ζεμείμ ημμήξ ηςκ ε θαη δ δ. Να βνείηε ημ ζομμεηνηθό ημο Α ςξ πνμξ ηεκ ε (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2012) 30. Δίκμκηαη μη εοζείεξ ε:αx-2y-4=0 θαη δ:x-2y+β=0 α. Να βνείηε ηα α, β ακ μη εοζείεξ είκαη πανάιιειεξ θαη ε απόζηαζε αοηώκ είκαη β. Να βνείηε ηεκ μεζμπανάιιειε ηςκ ε θαη δ
2 5
(ΓΓΘ ΝΜΘΖΚΖΠΜΡ 2011)
31. Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(3,8), Β(-7,2) α. Να βνεζεί ε ελίζςζε ηεξ εοζείαξ πμο δηένπεηαη από ημ μέζμ ημο ΑΒ θαη είκαη πανάιιειε ζηεκ εοζεία ε: 2x+y-2011=0 β. Να βνεζεί ε απόζηαζε ημο Ο από ηεκ ε (ΓΓΘ ΝΓΠΞΑΟ 2011) 32. Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(0,2), Β(8,-4). Η θάζεηε ζηεκ ΑΒ ζημ Α ηέμκεη ηεκ ε:y=2x-2 ζημ Γ. α. Να βνείηε ημ μήθμξ ημο ημήμαημξ ΑΒ β. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ ΑΓ γ. Να δείλεηε όηη Γ(6,10) δ. Να δείλεηε όηη ημ ηνίγςκμ ΑΒΓ είκαη ηζμζθειέξ ε. Να βνείηε ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (ΝΓΖΞΑΙΑΠΖΗΜ ΙΡΠΖΘΕΚΕΟ 2011) 33. Δίκεηαη ε ελίζςζε x-y+2+ι(2x-y+1)=0 (1) θαη ε εοζεία ε:2x+y=-4 α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη εοζεία γηα θάζε πναγμαηηθό ανηζμό ι β. Να δείλεηε όηη όιεξ μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ Μ γ. Ακ Κ είκαη ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ (ε) με ηεκ εοζεία πμο πνμθύπηεη από ηεκ (1) γηα ι=0 κα απμδείλεηε όηη ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΟΚΜ είκαη 3 η.μ. (ΓΓΘ ΝΑΙΦΖΘΖΩΚ 2011) 34. Θεςνμύμε ηνίγςκμ ΑΒΓ με ηεκ ελίζςζε ημο ύρμοξ από ημ Α είκαη x=2. Γπίζεξ γκςνίδμομε όηη ε ελίζςζε ηεξ πιεονάξ ΑΒ είκαη y=x+2 θαη Γ(6,-2) α. Να βνείηε ηα Α,Β θαζώξ θαη ηεκ ελίζςζε ηεξ πιεονάξ ΒΓ β. Να βνείηε ηεκ απόζηαζε ημο Γ από ηεκ εοζεία ΑΒ γ. Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ δηαμέζμο ΒΓ δ. Να βνείηε ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (2ξ ΓΓΘ ΗΑΞΔΖΠΟΑΟ 2011) 35. Δίκεηαη παναιιειόγναμμμ ΑΒΓΔ με θμνοθέξ Α(1,2),Β(2,-2) θαη θέκηνμ Ο(2,0) α. Να βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ηςκ Γ , Δ β. Να βνείηε ημ εμβαδόκ ημο ΑΒΓΔ γ. Να βνεζεί ε ελίζςζε ηεξ ΑΓ δ. Να βνείηε ηεκ πνμβμιή ημο ΑΒ ζημ ΑΔ (1ξ ΓΓΘ ΔΑΗΡΚΘΜΡ 2011)
36. Δίκεηαη ε ελίζςζε x 2 + y 2 + 4x + 4y + 2xy − 5 = 0 (1) α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη δύμ πανάιιειεξ εοζείεξ β. Να βνείηε ηεκ απόζηαζε μεηαλύ ηςκ δύμ παναιιήιςκ εοζεηώκ γ. Να βνείηε ηεκ μεζμπανάιιειε ηςκ δύμ εοζεηώκ (ΓΓΘ ΓΓΞΑΟ 2011) 37. Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(7,3),Β(-5,4) θαη Γ(ι+1,2ι-3) α. Να απμδείλεηε όηη ημ Γ θηκείηαη ζε εοζεία ηεξ μπμίαξ κα βνείηε ηεκ ελίζςζε β. Γηα ι=2 κα βνείηε: β1. Σεκ ελίζςζε ηεξ δηαμέζμο ΒΜ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ, όπμο Μ ημ μέζμ ηεξ πιεονάξ ΑΓ β2. Σεκ απόζηαζε ημο ζεμείμο Α από ηεκ ΒΓ β3. Σεκ πνμβμιή ημο δηακύζμαημξ ΒΜ πάκς ζημ ΒΓ (ΒΓΚΓΠΜΗΘΓΖΜ ΞΜΔΜΡ 2011) 38.Δίκμκηαη μη εοζείεξ ε1: x+y+1=0 θαη ε2:3x-4y+10=0 α. Να βνεζεί ημ ζεμείμ ημμήξ Κ ηςκ δύμ εοζεηώκ β. Να βνεζμύκ μη εληζώζεηξ ηςκ εοζεηώκ πμο δηένπμκηαη από ημ ζεμείμ Κ θαη απέπμοκ από ημ ζεμείμ Α(2,3) απόζηαζε ίζε με 4. (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2011) 39. Δίκεηαη ε ελίζςζε (θ+1)x+(θ-1)y+4θ-2=0 (1) α. Να δείλεηε όηη ε (1) πανηζηάκεη εοζεία γηα μπμηαδήπμηε ηημή ημο ανηζμμύ θ β. Να δείλεηε όηη όιεξ μη εοζείεξ ηεξ (1) δηένπμκηαη από ζηαζενό ζεμείμ γ. Γηα πμηα ηημή ημο θ ε εοζεία δηένπεηαη από ηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ δ. Γηα πμηα ηημή ημο θ ε εοζεία είκαη πανάιιειε ζημκ άλμκα x’x ε. Γηα πμηα ηημή ημο θ ε εοζεία είκαη πανάιιειε ζηεκ εοζεία δ:y=x+5 δ. Γηα πμηα ηημή ημο θ ε εοζεία δηένπεηαη από ημ Α(-2,0) (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2011) 40.Δίκμκηαη ηα ζεμεία Α(3,-2),Β(6,-4),Γ(1,5),Δ(-1,2). Να βνείηε: α. ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ ΑΒ β. ηεκ απόζηαζε ημο Γ από ηεκ ΑΒ γ. ηεκ γςκία πμο ζπεμαηίδμοκ ηα ΑΒ θαη ΓΔ δ. ηεκ ελίζςζε ηεξ εοζείαξ πμο δηένπεηαη από ημ μέζμ ημο ΓΔ θαη είκαη θάζεηε ζηεκ ΑΒ ε. ημ εμβαδόκ ημο ηνηγώκμο ΑΒΓ (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2010) 41. Δίκεηαη ηνίγςκμ ΑΒΓ με Α(-1,2). Η ελίζςζε ηεξ πιεονάξ ΒΓ είκαη x-2y+1=0 θαη ημο ύρμοξ ΒΔ είκαη x+2y+3=0. Να βνείηε: α. ηεκ θμνοθή Β β. ηεκ ελίζςζε ηεξ πιεονάξ ΑΓ γ. ημ μήθμξ ημο ΑΚ , ακ ΑΚ είκαη ύρμξ (ΓΓΘ ΞΓΘΡΙΚΜΡ 2009) 42. Δίκεηαη ε εοζεία ε:x-2y+3=0 α. Να βνεζεί ε εοζεία πμο είκαη θάζεηε ζηεκ ε θαη δηένπεηαη από ημ Α(-3,5) β. Να βνεζμύκ μη ζοκηεηαγμέκεξ ηεξ πνμβμιήξ ημο Α ζηεκ ε. γ. Να βνεζεί ημ ζομμεηνηθό ημο Α ςξ πνμξ ηεκ ε. (ΓΓΘ 2009)