Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Εξιςώςεισ

Αναλυτικό Θεωρύα 250 Αςκόςεισ Σαξινομημϋνεσ ανϊ Κατηγορύα

ΕΞΙ΢Ω΢ΕΙ΢

Εξιςώςεισ 1ου Βαθμού Η Εξύςωςη 𝛂𝐱 + 𝛃 = 𝟎 Θα δούμε πωσ με την βοόθεια των ιδιοτότων των πρϊξεων , επιλύουμε την εξύςωςη αx + β = 0 , οποιοιδόποτε και να εύναι οι αριθμού α , β . Έχουμε : αx + β = 0 ⇔ αx + β − β = −β ⇔ αx = −β Επειδό πρϋπει να διαιρϋςουμε με τον ςυντελεςτό του αγνώςτου , το α , διακρύνουμε περιπτώςεισ : β

1η Περύπτωςη : Αν α ≠ 0 τότε ϋχουμε αx = −β ⇔ x = − α Επομϋνωσ ςτην περύπτωςη αυτό η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη β την x = − α

Η λύςη τησ εξύςωςησ αx + β = 0 λϋγεται και ρύζα αυτόσ

2η Περύπτωςη : Αν α = 0 τότε ϋχουμε αx = −β ⇔ 0x = −β η οπούα : ∎ αν εύναι β ≠ 0 , η εξύςωςη δεν ϋχει λύςη και για αυτό θα λϋμε ότι εύναι αδύνατη . ∎ αν εύναι β = 0 , η εξύςωςη ϋχει την μορφό 0x = 0 και αληθεύει για κϊθε πραγματικό αριθμό x , δηλαδό εύναι ταυτότητα

Βαςικϋσ Εξιςώςεισ 1ου Βαθμού 1. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 4x − 3 = 2x + 5 2. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 5 − 4 2 − x) = 2(3 − x)

β) 9 − 7x = −2x + 34

γ) 11x − 3 − 8x = 7x + 5

β) 3 − 2 x + 1) = 7 − 4(x + 2)

3. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 5x − 3 3 − x) = −6 − 3(−x − 1) γ) 4 5 − x) − 2 x − 3) = x − 4 − 3(x + 2)

γ) 8 − 3 x + 3) − 5 + x) = −2

β) −2 −4 + x) + 3 = − 3 − x) − 2(1 + 2x) δ) 2 x + 2) − 8 x − 3) = 5 5 − x) − 2(3 − x)

4. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 5 x − 3) + 10 2 − 5x) + 10x = −(15 + 10x)

β) 9 8 − x) − 10 9 − x) − 4 x − 1) = 1 − 8x

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

2

5. Να βρεύτε την τιμό του α , ώςτε η εξύςωςη 2αx − 3 x − α) = x α − 1) να ϋχει ρύζα το −2

Εξιςώςεισ με Κλϊςματα 6. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 4x − 3 2x − 1) = 7x − 42 ΢χολικό / 1 / Α / ς.83 )

1 − 4x 5

β)

−

x +1 4

x –4 20

=

5 4

+

γ)

x 2

−

x 3

=

x 4

−

x 5

−

49 60

7. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x–4 3

=2

β)

x –2 5

=

x –3 3

γ) −

3+x 5

−3x – 1 10

=

2 3x + 4) 7

=

x +5 3

2x + 3 10

−

x –2 2

x − 4) =

8 5

x − 6) +

δ)

ε)

−3 x – 1 8

=−

x –3 2

8. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x 6

−

x –6 3

=1−

x –8 4

β) –

x +1 2

−

3x – 1 4

=1

γ)

=−

x –3 5

9. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 5 −

10x + 1 27

−

x 8

=

13x + 4 18

−

5 x–4 4

β)

3 4

β)

4x – 1 6

x − 1) −

5 3

5 12

10. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x − 5 −

x +1 2

x –1 3

=x−

+2

4

= − 3 −1 −

9x + 1 18

11. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

2 1 − 3x) 5

−

3 2

x − 1) = −x + 2

β) 1 −

3 2

x−

2x – 3 9

= −x + 1

12. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x –2 3 3 2− 4

=

1 2

β)

13. Αν η εξύςωςη

x−α 2

14. Δύνεται η εξύςωςη

−

3α−x 3

x + 3α 6

x+ 3−

1 2 1 4

2x + 3 6

=

= −x + α ϋχει ρύζα το −1 , να βρεύτε το α −x = 5+α− x –4

x 12

. Να βρεύτε τον αριθμό α , αν η εξύςωςη ϋχει λύςη το −6

3

15. Δύνονται οι εξιςώςεισ : 3 − 2 = 4 − 2 x − 1) και αριθμό α ώςτε οι εξιςώςεισ να ϋχουν κοινό λύςη .

4

16. Δύνονται οι εξιςώςεισ : 3 − εξιςώςεισ να ϋχουν κοινό λύςη .

x–7 2

=−

x +9 9

και

μ –x 2

2α − 6)x − 5 = 1 − α −4x − 2). Να βρεύτε τον

−

x –1 7

=

3x – μ 2

. Να βρεύτε τον αριθμό μ ώςτε οι δύο

17. Δύνονται οι πραγματικού αριθμού α , β για τουσ οπούουσ ιςχύει α2 + β2 + 25 = 2 3α + 4β) . α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β . β) Να λύςετε την εξύςωςη

12x + 1 α

15x + β α

−x=

1

− β 2 ∙x+1

Αδύνατη Εξύςωςη ό Σαυτότητα 18. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2 3x − 1) − 3 2x − 1) = 7x − 42

β) 2x −

5–x 3

=−

5 3

+

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

7x 3

΢χολικό / 2 / Α / ς.83 )

3

19. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 3 5 + 2x) − 2 3 + 2x) = 23 − 2(1 − x)

β) 3 x − 2) − 2 1 + 3x) = −2 x − 4) − x − 16

20. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

2x – 1 2

=

3x – 1 3

β)

x +2 6

−

5–x 2

=−

7 − 2x 6

+

x –3 3

Εξιςώςεισ που ανϊγονται ςε Εξιςώςεισ 1ου Βαθμού 21. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2x − 1) = 2x 2 − x + 3)

β) 4x 2 − 2x − 1) 2x + 1) = 3x + 1

22. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 3x = 0 β) x 3 − 4x = 0

γ) x x − 2) − x + 1) 2 − x) = 0

23. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 3x 2 − 4x = x 2 − 2x β) 4x 3 − 5x = 2x 3 + 3x 24. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 x − 4) + 2x x − 4) + x − 4) = 0 25. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x x 2 − 1) − x 3 + x 2 = 0

β) x − 2)2 − 2 − x) x + 4) = 0

΢χολικό / 9 / Α / ς.84 )

β) x 3 − 2x 2 − 2x − 1) x − 2) = 0 β) x 3 + 8 = x + 2)3 − 6x x + 2)

29. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : x 1 α) x – 1 = x 2 − x β)

x +1 x2 − 1

+

2 x 2 − 2x + 1

΢χολικό / 7 / Α / ς.84 )

΢χολικό / 8 / Α / ς.84 )

β) x 2 − 4) x − 1) = x 2 − 1) x − 2)

27. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0 28. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 3 + 4 = x 4x + 1)

γ) x + 1)2 − x − 3) x + 3) = 0

β) x + 1)2 + x 2 − 1 = 0

26. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x x − 2)2 = x 2 − 4x + 4

γ) 1 − x − 2)2 = 4x − x − 3) x + 3)

=0

΢χολικό / 10 / Α / ς.84 ) γ) x − 3)3 = x − 3

΢χολικό / 11 / Α / ς.84 )

30. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

1 x +1

+

1 x –1

=

2 –1

β)

x2

3 x +2

2 x

−

=

x −4 x 2 + 2x

γ)

1 x +2

=

x –4

δ)

x2

x2 – x x2 − 1

=

x x +1

΢χολικό / 12 / Α / ς.84 ) 31. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x2

1 +x

=

x x +1

β) 2 −

x 2 + 7x x2 − 1

=

2x – 1 x +1

+

3 1–x

γ)

x2 − 1 x2 – x

=1+

1 x

32. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x +4 x −3

=

2x + 5 2x

33. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : x +2 x − 10 x +2 α) 1 − x − 2 = x 2 − 2x – x 34. Να λύςετε την εξύςωςη

β)

15 x –2

β) 3 x x–1

−

1 x +5

4 x +2

−

−4=

=

5 x2 – 4

2x x 2 + 5x 4x x –1

−

=

γ)

1 25 − x 2

γ)

4 x +2

4 2 x –1

−1

−

3x 2–x

=

3x 2 – 8 x2 − 4

=2

2 x x–1

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

4

35. Για τουσ αριθμούσ α και β ιςχύει α2 − 6α + β2 − 4β + 13 = 0 α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β 4 3 5 β) Να λύςετε την εξύςωςη βx – α + αx − βx 2 = x 36. Δύνονται οι αριθμού α =

8 6− 2

+

24 6+ 2

και β =

3

3∙

3

4+ 7∙

3

4− 7

α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β β) Να λύςετε την εξύςωςη

αβ 2x + 4

+

x +2 2−x

=

x2 α − x2

Επύλυςη Σύπων 37. Να λύςετε τουσ παρακϊτω τύπουσ ωσ προσ την αναφερόμενη μεταβλητό : α) v = v0 + α ∙ t , α ≠ 0 ( ωσ προσ t ) 1 1 1 β) R = R + R , ωσ προσ R1 ) ΢χολικό / 6 / Α / ς.84 ) 1

2

38. Να λυθεύ ο τύποσ Δ = β2 − 4αγ ωσ προσ α .

39. Να λυθεύ ο τύποσ Ε =

β +Β 2

∙υ

ωσ προσ β .

1

40. Αν S = υ0 ∙ t + 2 ∙ a ∙ t 2 και υ = υ0 + a ∙ t να δεύξετε ότι S =

υ+ υ 0 2

∙t

.

Επύλυςη Παραμετρικών Εξιςώςεων 41. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ ∈ ℝ α) λ − 1)x = λ − 1 β) λ − 2)x = λ γ) λ λ − 1)x = λ − 1 ΢χολικό / 3 / Α / ς.83 )

δ) λ λ − 1)x = λ2 + λ

42. Να λύςετε την εξύςωςη λx = x + λ2 − 1 για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ ∈ ℝ

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

43. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ ∈ ℝ α) λ2 x − 4λ = 16x − λ2 β) 4 − λ λ − 2x) = −λ2 x 44. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ ∈ ℝ α) λ λx + 6) = λ2 − 9 −1 − x) β) 2(λ2 + 2x) − λ 4 + λx) = 0 45. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ ∈ ℝ α) λ2 λx − λ + 2) − λ x + 1) = 0 β) λ2 x − 2) λ − 2) + λx − λ − 1)2 = 2

Εύρεςη Παραμϋτρων 46. Δύνεται η εξύςωςη λ2 x + 4) − 5λ x + λ) = −25 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη εύναι : α) ταυτότητα β) αδύνατη 47. Δύνεται η εξύςωςη λ2 − 1)x = λ + 1) λ + 2) με λ ∈ ℝ α) Να λύςετε την εξύςωςη για λ = 1 και λ = −1 β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

5

48. Δύνεται η εξύςωςη α + 3)x = α2 − 9 με α ∈ ℝ α) Να λύςετε την εξύςωςη για α = 1 και α = −3 β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του α η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη και να την προςδιορύςετε

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

49. Δύνεται η εξύςωςη λ x + 2λ) − 3 λ2 − x − 3) = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει : α) λύςη το −3 β) μοναδικό λύςη το −3 50. Δύνεται η εξύςωςη λ λ − 1)x = 2 − 2λ . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει : α) λύςη το 2 β) μοναδικό λύςη το 2 51. Δύνεται η εξύςωςη λ x − 5) = −2 μ − x − 2). Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ των λ , μ η εξύςωςη εύναι : α) ταυτότητα β) αδύνατη 52. Δύνεται η εξύςωςη 3 λ + μ)x − 8 = x − 1) 2λ + 3μ). Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ των λ , μ η εξύςωςη εύναι : α) ταυτότητα β) αδύνατη 53. Δύνεται η εξύςωςη λ − 2)2 − 6 x + 1) = 2 − 2x) λ − 1) λ + 1) − 2λ . Αν η εξύςωςη αυτό εύναι ταυτότητα , να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη λ2 x + 1) = 2 x + λ) − 1 − 2x) εύναι αδύνατη .

54. Αν η εξύςωςη λ2 − 2λ)x = λ2 − 4 εύναι αδύνατη , να δεύξετε ότι η εξύςωςη λ + 3)x = λ2 ϋχει μοναδικό λύςη 55. Αν η εξύςωςη λ + 1)x = μ − 2 ϋχει τουλϊχιςτον δύο λύςεισ , να δεύξετε ότι η εξύςωςη μα2 − λ)x = λ − 1 ϋχει μοναδικό λύςη για κϊθε α∈ ℝ 3

56. Δύνεται η εξύςωςη λ x − 1) − 3 x − λ = 0 α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη για οποιαδόποτε τιμό τησ παραμϋτρου λ που ορύζεται . β) Για την τιμό του λ που η παραπϊνω εξύςωςη ϋχει τουλϊχιςτον δύο λύςεισ , να λύςετε την εξύςωςη μ x − λ + 2) − μ − 2)2 = λ − 1) x − 1) για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του μ .

57. Δύνονται οι εξιςώςεισ : λ − 1) λ + 1)x − μ = 3 x + 1) και μ − 1)2 x = λ − 2 1 − x 5 − μ) α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ , ώςτε οι εξιςώςεισ να εύναι αδύνατεσ . λ +μ 2 x −1 β) Να λυθεύ η εξύςωςη x 2 – μ + x 2 – μ – λ = x 2 + x 58. Δύνεται η εξύςωςη λ2017 − μ2016 + 2)x = λ2 + μ2 + 2 λ − μ) + 2 α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ , ώςτε η παραπϊνω εξύςωςη να εύναι ταυτότητα 4 x +5 2x β) Να λυθεύ η εξύςωςη x 2 – x + λ – μ + 2x + μ – λ = 3x – 6 59. Δύνονται οι εξιςώςεισ : λ2 x + 1) = 2 λ − 1)2 − 1 + 8x και μ x − 1) μ − 10) = 5μ 5 3μ + x) − 2 5x + 6μ) α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ , ώςτε η 1) να εύναι ταυτότητα και η 2) αδύνατη . β) Να λύςετε την εξύςωςη

3x + λ μ

−

λx – 1 10

+

μx – 2 3

λ2

=

x +1 4

Εξιςώςεισ με Απόλυτα 60. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 2x − 3 = 5 β) 5 − 3x = 1

γ) 5x − 1 − 4 = 0

δ) 3 2x − 5 − 21 = 0

61. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 2 x − 1) = x − 2

β)

x +1 –4 3

=2

γ)

2 5 − 3x – 1 9

=1

62. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α)

x +4 3

−

x +4 5

=

2 3

β)

2 x +1 3

−

x –1 2

=

1 2

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

΢χολικό / 15 / Α / ς.85 )

6

63. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 2x − 4 − 7 = 8 − x − 2

β) 5x − 20 − 3 = 12 − 3x + 11

γ) 10 − 5 − 5x = −20 + 4x − 4 + 6 − 6x

64. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 2 +

3x − 4 – 1 3

=3−

3x − 4 3

3 x −3 4

β)

3 −x 2

=2+

γ)

x −3 2

=

−x + 4 5

+

6 − 2x 3

=8−

3 −x 6

65. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

3 2x − 5 + 1 2

− 2x − 5 =

6 2x − 5 – 4 7

β)

x +4 3

−

2 3

Θϋματα Εξετϊςεων )

66. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 3 2x − 1 − 8 = 2x − 1

β)

67. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x − 4 = x + 1

−

2−x –1 2

β)

69. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x − 4 ∙ x + 3 = x − 2 ∙ x − 6

x+1 4

−

3x−2 6

γ)

β) x 2 − 6x + 9 − −x 2 − 3 = 12

β) 2x − 1 = x − 2

=

x −2 2

γ) 8 − 2x − x 2 − 1 = − 4x − x 2 − 4

γ) d x , 5) − 5 = −x γ) 1 − 3x − 3 = 2x

β) x 3 − x + x 2 + x = 0 x 2 − 2x + 1 = 3x − 5

δ) 7 − x = 7 − x

γ) x 2 − 9 + x 2 + 6x + 9 = 0 ΢χολικό / 8 / Β / ς.85 )

75. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 4x + 1 = 3 β) 4x 2 − 4x + 1 − x 2 − 10x + 25 = 0 76. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 6x + 9 = 1

2x − 1 3

΢χολικό / 14 / Α / ς.84 )

72. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x − 2 x + 2 − 4 = 0 β) x − d 2x , −6) = 4

74. Να λύςετε την εξύςωςη

Θϋματα Εξετϊςεων )

γ) x 2 − 3x + 2 = x 2 + 3x − 20

=0

71. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x − 3 − x = −1 β) d 3x , −1) = 3 + 5x

73. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 4x + x 2 − 16 = 0

= x−2

β) 2x − 3 = 3x − 2

68. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 3 2 − x − 2 x + 1 = 0

70. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x − 2 = 2x − 1

3 x −2 +1 4

γ) 5 + x 2 − 6x + 9 = 3x

β) 25x 2 − 10x + 1 − 3x − 5 = 0

77. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

2–x x +2

=3

β)

2x + 1 1 − 2x

=3

78. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

3–x x +3

=4

79. Να λύςετε την εξύςωςη 80. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x + 3 − 2 = 4

β) x − 1 ∙ x − 2 = x − 1 2∙ x −1 =3

΢χολικό / 16 / Α / ς.85 )

΢χολικό / 7 / Β / ς.85 )

β) 5 − 2x − 1 = 4

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

7

81. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x − 2 − x = 3

β) x − 2x − 6 = x − 8

82. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2 x + 1 − 5 − x = x

β) x − 1 − 2 x − 2 = 3 − x

83. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 6x + 9 + 2 x 2 + 2x + 1 = 4

β) d x , 1) + d 2 , x) = 2x + 1

84. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 2 x = 0 β) x 3 − 5x 2 = 0 85. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2 x − 2 + 4x − 8 = 1 − 2x − 4)2

γ) x 2 − 4 x + 4 = 0 β) 2x 2 − 2 = x + 1

δ) x 3 − 6x 2 + 9 x = 0 Θϋμα Εξετϊςεων )

86. Δύνονται οι πραγματικού αριθμού α και β για τουσ οπούουσ ιςχύει : α − 3 + 3α − 2β + 1 = 0 α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α , β β) Να λύςετε την εξύςωςη :

2 −x +4 α

−

αx − 6 – 1 αβ

3 5– 3

+

5 5+ 3

87. Δύνεται η παρϊςταςη Α =

α) Να δεύξετε ότι Α = 4 β) Να λύςετε την εξύςωςη x + Α = 1

=

x −2 –4 5

+2

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

88. Για τον πραγματικό αριθμό x ιςχύει : d 2x , 3) = 3 − 2x 3 α) Να δεύξετε ότι x ≤ 2 3

β) Αν x ≤ 2 , να αποδεύξετε ότι η παρϊςταςη Κ = 2x − 3 − 2 3 − x εύναι ανεξϊρτητη του x . Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 89. Δύνεται η εξύςωςη λ2 x + 1) − 2 λ − 1) λ + 1) = 2 λx − 1) . Αν η εξύςωςη εύναι ταυτότητα , τότε : α) να βρεύτε την τιμό του λ β) να λύςετε την εξύςωςη

x –λ x −1

90. Δύνεται η παρϊςταςη Α =

=λ

1 − x − 2x 2 + 4x – 2 x −1

α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α β) Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α γ) Να λύςετε την εξύςωςη Α = −1 91. Δύνεται η παρϊςταςη Α =

x2 − 9 x2

+ 3𝑥 + 3x + 9

α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α β) Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α γ) Να λύςετε την εξύςωςη Α = 1 92. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2 x − 3 − x − 5 − x + 1 . Αν 3 < x < 5 τότε : α) Να δεύξετε ότι A = 2x − 12 β) Να λύςετε την εξύςωςη Α = 4 ( 3ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗ΢ 2016 )

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

8

Η Εξύςωςη 𝐱 𝛎 = 𝛂

∎ Θεωρούμε την εξύςωςη x ν = α . Διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ : 1η) Αν ν ϊρτιοσ και α > 0 , τότε η εξύςωςη x ν = α ϋχει δύο λύςεισ : x ν = α ⇔ x = ± ν α 4 Για παρϊδειγμα : x 4 = 16 ⇔ x = ± 16 ⇔ x = ± 2 2η) Αν ν ϊρτιοσ και α < 0 , τότε η εξύςωςη x ν = α εύναι αδύνατη Για παρϊδειγμα : x 6 = −32 , αδύνατη 3η) Αν ν περιττόσ και α > 0 , τότε η εξύςωςη x ν = α ϋχει μια λύςη : x ν = α ⇔ x = 5 Για παρϊδειγμα : x 5 = 32 ⇔ x = 32 ⇔ x = 2

ν

4η) Αν ν περιττόσ και α < 0 , τότε η εξύςωςη x ν = α ϋχει μια λύςη : x ν = α ⇔ x = − 3 3 Για παρϊδειγμα : x 3 = −8 ⇔ x = − −8 ⇔ x = − 8 ⇔ x = −2

α ν

α

∎ Θεωρούμε την εξύςωςη x ν = αν . Διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ : 1η) Αν ν ϊρτιοσ , τότε η εξύςωςη ϋχει δύο λύςεισ : x ν = αν ⇔ x = ± α 2η) Αν ν περιττόσ , τότε η εξύςωςη ϋχει μια λύςη : x ν = αν ⇔ x = α Αςκόςεισ 1. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x 3 − 125 = 0 β) x 5 − 243 = 0

γ) x 7 − 1 = 0

΢χολικό / 1 / Α / ς.87 )

2. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x 3 + 125 = 0 β) x 5 + 243 = 0

γ) x 7 + 1 = 0

΢χολικό / 2 / Α / ς.87 )

3. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x 2 − 64 = 0 β) x 4 − 81 = 0

γ) x 6 − 64 = 0

΢χολικό / 3 / Α / ς.87 )

4. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπύπεδο ϋχει όγκο 81 m3 και διαςτϊςεισ x , x και 3x . Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του παραλληλεπιπϋδου . ΢χολικό / 5 / Α / ς.87 ) 5. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x 5 − 8x 2 = 0 β) x 4 + x = 0 6. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 2x 5 = 8x 3 β) 5x 6 + 4x 2 = 0 7. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x 3 + 27) x 4 − 54 ) = 0

γ) x 5 + 16x = 0 γ) x 4 − 8x = 0

β) x 6 = 81x 2

8. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x 5 + x 2 = 0 β) 81x 5 − 16x = 0

΢χολικό / 4 / Α / ς.87 )

δ) x 6 − 16x 2 = 0

ε) 2x 5 + 16x 2 = 0

γ) 3x10 − 331 ) 4x 9 − 220 ) = 0

δ) 27x 4 + x = 0

γ) x 5 + x 3 = 0

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

9

9. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x + 1)3 = 64 β) 1 + 125x 3 = 0

10. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 3x − 1)2 = 2 β) x + 1)3 + 27 = 0

γ) x − 1)4 − 27 x − 1) = 0

γ) x − 3)3 = 8

΢χολικό / 6 / Α / ς.87 )

δ) 3 − 2x)4 − 81 = 0

11. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x − 1 − 2)5 − 1 = 0

β) x − 3 − 1)4 − 81 = 0

γ) x − 2)6 − 32d x , 2) = 0

12. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x − 2 − 3)3 = 8

β) 3 − x − 5)4 − 16 = 0

γ) 2x − 1 − 6)3 + 27 = 0

13. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) 3x 4 − 46)3 = 8

β) 2x 2 − 10)4 − 212 = 0

γ) 2x + 1)5 = 81 2x + 1)

14. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : α) x 9 − 3x 5 + 2x 4 − 6 = 0

β) x 7 + 2x 3 = 8x 4 + 16

γ) x 8 − 27 = 27x 5 − x 3

15. Δύνεται η εξύςωςη 3x − 2 + 3 2 − 3x = 6x − 4 + 8 α) Να λυθεύ η παραπϊνω εξύςωςη β) Αν α η θετικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη x − α)3 + 1 = 0 γ) Αν β η αρνητικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη 81 x + β)4 − 16 = 0 16. Δύνονται οι πραγματικού αριθμού α και β ώςτε να ιςχύει α10 + β6 + 65 = 2 α5 − 8β3 ) α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β β) Να λύςετε την εξύςωςη βx + 3 − 4)4 = 16 17. Δύνεται η εξύςωςη 2x − 1 − x + 4 = 0 α) Να λυθεύ η παραπϊνω εξύςωςη β) Αν α η θετικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη x − α − 7 = 0 γ) Αν β η αρνητικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη 3x − 1 2017 − β4034 = 0 18. Δύνεται η εξύςωςη λ4 x − λ2 ) − 8x = 8 x − 4λ). Αν η εξύςωςη εύναι ταυτότητα , τότε : α) να βρεύτε την τιμό του πραγματικού αριθμού λ β) να λύςετε την εξύςωςη λ2 x 3 + 3) x 3 − 3) − λx 3 + 1)2 = −5

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

10

Εξιςώςεισ 2ου Βαθμού

Μια εξύςωςη λϋγεται 2ου βαθμού αν ϋχει την μορφό αx 2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

∎ Για να βρούμε τισ ρύζεσ μιασ εξύςωςησ 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 πρώτα υπολογύζουμε την αλγεβρικό παρϊςταςη Δ = β2 − 4αγ , από την τιμό τησ οπούασ εξαρτϊται το πλόθοσ των ριζών τησ εξύςωςησ . Η αλγεβρικό παρϊςταςη αυτό ονομϊζεται διακρύνουςα .

Δ= 𝛃𝟐 − 𝟒𝛂𝛄

Η εξύςωςη 𝛂𝐱 𝟐 + 𝛃𝐱 + 𝛄 = 𝟎 , 𝛂 ≠ 𝟎 Έχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ τισ

Δ >0

Έχει μια διπλό ρύζα την

Δ< 0

𝐱 𝟏 ,𝟐 = 𝐱=−

−𝛃± 𝚫 𝟐𝛂 𝛃 𝟐𝛂

Η εξύςωςη εύναι αδύνατη ςτο ℝ

Δ= 𝟎

Άθροιςμα και Γινόμενο Ριζών – Σύποι VIETA Έςτω ότι η εξύςωςη 𝛂𝐱 𝟐 + 𝛃𝐱 + 𝛄 = 𝟎 , 𝛂 ≠ 𝟎 ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ 𝐱𝟏 , 𝐱𝟐 . Αν ςυμβολύςουμε με 𝐒 = 𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 το ϊθροιςμα των ριζών και με 𝐏 = 𝐱𝟏 ∙ 𝐱𝟐 το γινόμενο των ριζών τότε :

𝐒=−

Α) Θα αποδεύξουμε ότι Πρϊγματι :

S=−

S = x1 + x2 =

𝛃 𝛂

𝐏=

𝛄 𝛂

β

α −β + Δ 2α

+

−β – Δ 2α

=

−β + Δ – β – Δ

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

2α

=

−2β 2α

=−

β α

11

Β) Θα αποδεύξουμε ότι Πρϊγματι :

=

P = x1 ∙ x2 =

β 2 − β 2 + 4αγ 4α 2

P=

=

4αγ 4α 2

γ α −β + Δ

=

2α

∙

−β – Δ 2α

−β + Δ ∙ −β – Δ

=

4α 2

−β)2 −

=

Δ

4α 2

2

β2− Δ

=

4α 2

=

γ α

Καταςκευό εξύςωςησ 2ου Βαθμού ∎ Μπορούμε να καταςκευϊςουμε μια εξύςωςη 2ου βαθμού , όταν γνωρύζουμε το ϊθροιςμα και το γινόμενο των ριζών τησ . Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ αx 2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 τότε :

αx 2 + βx + γ = 0 ⇔ x 2 +

β

α

x+

γ

α

x = 0 ⇔ x 2 − x1 + x2 )x + x1 ∙ x2 ) = 0 ⇔ x 2 − Sx + P = 0 .

Επύλυςη Εξύςωςησ 2ου Βαθμού 1. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x 2 − 5x + 3 = 0 β) x 2 − 6x + 9 = 0

γ) 3x 2 + 4x + 2 = 0

΢χολικό / 1 / Α / ς.93 )

2. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − x − 2 = 0

β) −2x 2 − 5x + 3 = 0

γ) 6x 2 + x − 1 = 0

3. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 4x + 4 = 0

β) x 2 − 10x + 25 = 0

γ) 9x 2 − 6x + 1 = 0

4. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x 2 − 3x + 6 = 0

β) x 2 + 5x + 7 = 0

γ) 3x 2 + 4x + 2 = 0

5. Δύνεται η εξύςωςη x 2 − λ − 1)x + 6 = 0 με λ∈ ℝ α) Αν η παραπϊνω εξύςωςη ϋχει λύςη το 1 , να βρεύτε το λ . β) Για λ = 2 , να λύςετε την εξύςωςη

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

6. α) Να λύςετε την εξύςωςη 2x − 1 = 3 β) Αν α , β με α < β εύναι οι ρύζεσ τησ παραπϊνω εξύςωςησ , να λύςετε την αx 2 + βx + γ = 0

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

7. α) Να λύςετε την εξύςωςη −2x 2 + 10x = 12 β) Να λύςετε την εξύςωςη

−2x 2 + 10x – 12 x −2

=0

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

8. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 25 = 0 β) 2x 2 − 32 = 0

γ) − 3x 2 + 48 = 0

δ) − 3x 2 − 27 = 0

9. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 + 2x = 0 β)5x 2 − 30x = 0

γ) 3x 2 + 9x = 0

δ) − 4x 2 − 16x = 0

10. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 5 + 3 x + 15 = 0

β) x 2 +

11. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 + 3 + 1 x + 3 = 0

β) 2x 2 + 2 − 3 x − 3 = 0

2−1 x− 2 =0

΢χολικό / 8 / Α / ς.94 )

12. Να λυθεύ η εξύςωςη x 2 − 3x + 2Δ = 0 , όπου Δ η διακρύνουςα τησ εξύςωςησ .

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

12

13. Να λυθεύ η εξύςωςη x 2 + Δ − 2)x +

Δ –5 x

= 0 , όπου Δ η διακρύνουςα τησ εξύςωςησ .

14. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 + 4x) x 2 − 7x + 6) = 0

β) 2x 2 − 32) −x 2 + x + 2) = 0

γ) x 2 + 5x − 6) 3x 2 − 5x + 4) = 0

15. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x x + 4) − 6 = x − 2

β) 3x − 1) 2x + 1) = 6

γ) x 3x + 10) = 3 x + 2)

16. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 4 x + 2) = 4 − x − 3) x + 3)

β) x − 1)2 = 4x − 5 2x + 1)

γ) x − 1)3 − x x + 2) x − 2) = 1

17. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

2x 3

−

10 − 3x 4

=

x2 6

β)

5 6

−

x + 1) x − 1) 2

18. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 5x + 5 = 1 β) x 2 + 3x − 5 = 2x 2 − 4x + 5

=

2–x 3

−

x − 4)2 6

γ) x − 3 = x 2 − x − 6

19. Να βρεύτε τα μόκη των πλευρών του παρακϊτω ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ

20. Αν το εμβαδό του παρακϊτω ορθογωνύου εύναι 24 τ.μ. , να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του .

Εξιςώςεισ που ανϊγονται ςε Εξιςώςεισ 2ου Βαθμού 21. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 − 7 x + 12 = 0 β) x 2 + 2 x − 35 = 0

γ) x 2 − 8 x + 12 = 0

22. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 + x − 2 = 0 β) x 2 − 4 = 3 x

γ) 2 x − 3) x + 3) + 9 x = 0

23. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 — −3x + 2 = 0 β) 3x 2 − 2 x 2 = 1

γ) x − 2)2 = 7 x + 1 − x x + 4)

24. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 4 + 6x 2 − 40 = 0 β) 4x 4 + 11x 2 − 3 = 0

γ) 2x 4 + 7x 2 + 3 = 0

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

΢χολικό / 11 / Α / ς.94 )

΢χολικό / 15 / Α / ς.94 )

13

25. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 3x 4 + x 2 − 4 = 0 β) x 6 + 7x 3 − 8 = 0

γ) 2x 4 − 2 2x 2 + 1 = 0

26. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 4 + 7x 2 + 10 = 0

β) − 8x 6 + 7x 3 + 1 = 0

γ) x 8 − 17x 4 + 16 = 0

27. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x − 6 x + 8 = 0

β) x − 4 x + 3 = 0

γ) x − x = 20

28. Η εξύςωςη x + 1)4 − α2 + 3α) x 2 + 2x + 1) + 2α2 − α + 3 = 0 ϋχει ρύζα το −2 . α) Να βρεύτε το α β) Να λύςετε την παραπϊνω εξύςωςη 29. Δύνεται η εξύςωςη x 4 − 6x 2 + λ2 + μ2 − 6λ + 4μ + 13)x − μλ = 0 . α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ ώςτε η παραπϊνω εξύςωςη να εύναι διτετρϊγωνη β) Να λύςετε την παραπϊνω εξύςωςη .

30. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x − 1)2 − 3 2x − 1) − 4 = 0

β) x 2 − 1)2 + 2 x 2 − 1) − 3 = 0

31. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : 2

x–3

x–3

−3∙

−18= 0

α) x − 4)2 − 3 4 − x) − 10 = 0

β)

32. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) x 2 + x − 1)2 − 6 x 2 + x − 1) + 5 = 0

β) x 2 − 4x)2 + 2 4x − x 2 ) − 15 = 0

x+

33. Να λύςετε την εξύςωςη

1 2 x

−5 x+

1

2

2

+6=0

x

΢χολικό / 13 / Α / ς.94 )

34. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : 6 2

α) x +

x

− 12 x +

6 x

= 35 = 0

β) 4

x +1 2 x −1

8x + 8

−

x −1

x − 1)2 + 4 x − 1 − 5 = 0

35. Να λύςετε την εξύςωςη

36. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x − 1)2 + 3 2x − 1 − 4 = 0

+3=0

΢χολικό / 12 / Α / ς.94 )

β) 5 − 2x − 1)2 = 4 1 − 2x

γ) x − 3)2 + x 2 − 6x + 9 = 6

37. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x x +1

+

x +1 x

=

13

β)

6

2 x

+

2x – 3 x −2

+

2 − x2 x 2 − 2x

=0

΢χολικό / 14 / Α / ς.94 )

38. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

4 x −5

=

3 x −6

−1

β)

4 x2

−1

=

x −1 x +1

−

1 x −1

39. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x +2 x −3

−

3−x x

=

x2 + 6 x2

β)

− 3x

4x x2

−x

=

4 x2

−

−1

x x +1

40. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

x x +2

−

5x − 20 x2

− 4x

=−

14 x2

+ 2x

β)

1 1

1 − x

+

4 x−

1 x

=

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

5 4

14

41. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α)

1+x 1−x

=

2 x2

β)

−x

2x 2 − 1 x2

−x

+

1 1−x

=0

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

42. Να λυθούν οι εξιςώςεισ : α) 2x 4 +

7 x4

=9

β) x 2 +

1 x2

+x+

1 x

=4

γ) x 2 + x − 6 +

8 x2

=0

+x

Σύποι Vieta 43. Να βρεύτε το ϊθροιςμα και το γινόμενο των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων : α) 2x 2 − 7x + 4 = 0 β) − 3x 2 + 12x + 15 = 0 γ) − 3 ∙ x 2 + 8 ∙ x + 12 = 0 44. Σο ϊθροιςμα των ριζών τησ εξύςωςησ αx 2 − 18x + 21 = 0 , α ≠ 0 εύναι 6 . Να βρεύτε : α) τον αριθμό α β) το γινόμενο των ριζών τησ παραπϊνω εξύςωςησ .

45. Σο γινόμενο των ριζών τησ εξύςωςησ αx 2 + 16x − 20 = 0 , α ≠ 0 εύναι 10 . Να βρεύτε : α) τον αριθμό α β) το ϊθροιςμα των ριζών τησ παραπϊνω εξύςωςησ .

46. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 3x + 1 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2

β) x1 ∙ x2

γ) x12 + x22

δ) x13 + x23

ε)

1

x1

+

1

ζ)

x2

x1 x2

+

x1 x2

47. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − x − 3 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x12 + x22 δ) x13 + x23 ε) x14 + x24 48. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 + 5x − 4 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2

β) x1 ∙ x2

γ) x12 + x22

δ) x13 x2 + x1 x23

ε)

1

x 21

+

1

ζ) x1 − x2 )2

x 22

49. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 5x + 3 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2 η) x14 + x24

β) x1 ∙ x2

γ) x12 + x22

θ) 2x13 − 3x12 x2 + 2x23 − 3x1 x22

δ) x13 + x23 ι)

2 1 + 3x 1

ε)

+

2

1

x1

+

1

x2

ζ)

x1 x2

+

x1 x2

1 + 3x 2

50. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ 2x 2 − x − 5 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1 − 1) ∙ x2 − 1) δ) x12 ∙ x2 + x1 ∙ x22 2 2 ε) 2x1 x2 − 3x1 + 1 + 2x1 x2 − 3x2 51. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ 2x 2 + 3x − 4 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x12 + x22 δ) x1 + 1) ∙ x2 + 1) 2 ε) 2x1 − 3) 2x2 − 3) ζ) x1 − x1 x2 ) x1 x2 − x22 ) 52. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 2x − 1 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x12 + x22 δ) x1 − x2 )2 ε) x1 − x2 2 2 ζ) x1 − x2 η) x1 − 1 ∙ x2 − 1

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

15

53. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 3x − 1 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2

β) x1 ∙ x2

γ)

3

x1

+

3

δ)

x2

x1 x2

+

x1

ε)

x2

x1 x 22

+

x2

ζ)

x 21

1

x1 − 2

+

1

x2 − 2

54. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ −x 2 + 7x − 9 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων : α) x1 + x2

γ) x12 + x22

β) x1 ∙ x2

x1

δ)

x2

+

x2

ε) x1 + x2

x1

ζ) x1 − x2

η) x1 + 2)2 + x2 + 2)2

Καταςκευό Εξύςωςησ 2ου Βαθμού 55. Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ :

α) −6 και 1

β) −4 και − 1

56. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 3x − 1 = 0 να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ : α) 2x1 και 2x2

β) x12 και x22

57. Δύνονται οι αριθμού Α=

1 3− 7

γ) και Β =

α) Να αποδεύξετε ότι Α + Β = 3 και Α ∙ Β =

1

1 x1

1 3+ 7

και

1

δ)

x2

x1 2

και

x2 2

.

2

β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ Α και Β .

58. Δύνονται οι αριθμού Α=

1 5+ 5

α) Να αποδεύξετε ότι Α + Β =

1 2

και Β =

και Α ∙ Β =

1 5− 5 1

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

.

20

β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ Α και Β .

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

59. α) Να λύςετε την εξύςωςη x − 2 = 3 β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τισ λύςεισ του ερωτόματοσ α) Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 60. Δύνεται ορθογώνιο με περύμετρο 20 cm και εμβαδόν 24 cm2 α) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τα μόκη των πλευρών αυτού του ορθογωνύου β) Να βρεύτε τα μόκη των πλευρών του ορθογωνύου Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 61. Έςτω α , β πραγματικού αριθμού για τουσ οπούουσ ιςχύουν α ∙ β = 4 και α2 β + αβ2 = 20 . α) Να αποδεύξετε ότι α + β = 5 β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τα α , β και να τουσ βρεύτε Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 62. Δύνεται το τριώνυμο 2x 2 + 5x − 1 α) Να αποδεύξετε ότι το τριώνυμο ϋχει δύο ϊνιςεσ πραγματικϋσ ρύζεσ x1 , x2 β) Να βρεύτε την τιμό των παραςτϊςεων x1 + x2 , x1 ∙ x2 ,

1

x1

+

1

x2

γ) Να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ :

1 x1

και

1 x2

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

63. Δύνεται το τριώνυμο x 2 − κx − 2 , με κ πραγματικό αριθμό . α) Να αποδεύξετε ότι Δ > 0 για οποιαδόποτε τιμό του πραγματικού κ β) Αν x1 , x2 εύναι οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 3x − 2 = 0 , να βρεύτε :

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

16

β1 ) το ϊθροιςμα x1 + x2 και το γινόμενο x1 ∙ x2 β2 )Να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ ∶ 2x1 , 2x2

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

64. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − x − 3 = 0 να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ : α) x1 + 2 και x2 + 2

β) x12 και x22

ε) x13 και x23

ζ)

x1 x2

και

γ)

x2

1 x1

και

1

δ) 2x1 και 2x2

x2

x1

65. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 2x − 5 = 0 να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ : α) x12 x2 , x1 x22

β) 2x1 − 3x2 , 2x2 − 3x1

γ)

x1

x 2 −1

,

x2

x 1 −1

66. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 4x − 2 = 0 να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ : α)

1 x 21

,

1 x 22

β)

x 21 x2

,

x 22

γ) x12 − x1 x2 , x22 − x1 x2

x1

δ)

3x 1 + 1 x1 − 3

,

3x 2 + 1 x2 − 3

67. Να βρεύτε δύο αριθμούσ , εφόςον υπϊρχουν , που να ϋχουν : α) ϊθροιςμα 2 και γινόμενο −15 β) ϊθροιςμα 9 και γινόμενο 10 ΢χολικό / 7 / Α / ς.94 )

Παραμετρικϋσ Εξιςώςεισ 68. Να δεύξετε ότι οι παρακϊτω εξιςώςεισ ϋχουν πραγματικϋσ ρύζεσ , τισ οπούεσ και να βρεύτε : α) x 2 − λ − 2)x − λ + 1 = 0 β) αx 2 − 1 − 2αβ)x − 2β = 0 69. Να δεύξετε ότι οι παρακϊτω εξιςώςεισ ϋχουν πραγματικϋσ ρύζεσ , τισ οπούεσ και να βρεύτε : α) x 2 − 2αx + α2 − β2 + 2β − 1 = 0 β) αx 2 − 3 α + β)x + 9β = 0 , με α ≠ 0 70. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του πραγματικού λ : α) x 2 − 2x + λ = 0 β) x 2 − x − λ + 1 = 0 71. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων α) x 2 + α − 2)x − α = 0

β)

1 2

x 2 + α + 1)x + α2 + α + 1 = 0

72. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του πραγματικού λ : α) x 2 − 2λ − 4)x − λ 3 − λ) = 0 β) λ − 3)x 2 + 2 λ − 1)x + λ + 3 = 0 73. Αν η εξύςωςη x 2 + αx + β = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα , να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x 2 + β + 1)x + ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ .

α2 4

=0

74. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x 2 − βx + Δ = 0 , όπου Δ η διακρύνουςϊ τησ , ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ .

75. Να δεύξετε ότι οι παρακϊτω εξιςώςεισ ϋχουν πραγματικϋσ ρύζεσ : α) λx 2 + 2x − λ − 2) = 0 , λ ≠ 0 β) αx 2 + α + β)x + β = 0 , α ≠ 0

΢χολικό / 3 / Α / ς.93 )

76. Αν α ≠ β να δεύξετε ότι εύναι αδύνατη ςτο ℝ η εξύςωςη α2 + β2 )x 2 + 2 α + β)x + 2 = 0 . Να εξετϊςετε την περύπτωςη που εύναι α = β ΢χολικό / 5 / Α / ς.94 )

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

17

Εύρεςη Παραμϋτρων

77. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού λ ώςτε οι παρακϊτω εξιςώςεισ να εύναι 2ου βαθμού : α) λ2 − 5λ + 6)x 2 + λx − 3 = 0 β) 4λ2 − 7λ + 5)x 2 + λ + 1)x − 1 = 0 78. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού λ ώςτε η εξύςωςη εξύςωςη 2ου βαθμού και να ϋχει ρύζα το 1 .

λ − 1)x 2 + λ x − λ = 0 να εύναι

79. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού μ για τισ οπούεσ η εξύςωςη μx 2 + 2x + μ = 0 , μ ≠ 0 ϋχει διπλό ρύζα . ΢χολικό / 4 / Α / ς.93 )

80. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού α για τισ οπούεσ η εξύςωςη 2x 2 + α − 9)x + α2 + 3α + 4 = 0 ϋχει διπλό ρύζα . ΢χολικό / 3 / Β / ς.95 ) 81. Η εξύςωςη x 2 + 2λ − 1)x + λ2 − 3 = 0 ϋχει ρύζα το −3 . Να βρεύτε : α) τον αριθμό λ β) την ϊλλη ρύζα τησ εξύςωςησ 82. Να βρεύτε το λ ώςτε η εξύςωςη x 2 + 2λ − 1)x + 1 − 2λ = 0 να ϋχει διπλό ρύζα και μετϊ να βρεύτε τη διπλό ρύζα 83. Η εξύςωςη x 2 + λ − 3)x − λ + 6 = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα . Να βρεύτε : α) τισ τιμϋσ του λ β) για κϊθε τιμό του λ που βρόκατε , τη διπλό ρύζα τησ εξύςωςησ .

84. Η εξύςωςη λ2 − 1)x 2 + λ − 1)x + 1 = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα . Να βρεύτε : α) τον αριθμό λ β) τη διπλό ρύζα τησ εξύςωςησ .

85. Να βρεύτε τουσ α , β ώςτε η εξύςωςη x 2 − 2 2α − β)x − α − 1 = 0 να ϋχει μια διπλό ρύζα .

86. Να βρεύτε τουσ λ , μ ώςτε η εξύςωςη x x − 2λ) − λ + 2 = 2μx να ϋχει μια διπλό ρύζα .

87. Θεωρούμε την εξύςωςη x 2 + 2λ + 1)x + 6 − 3λ = 0 α) Να βρεύτε το λ αν η εξύςωςη ϋχει ρύζα το −1 β) Για τη μεγαλύτερη τιμό του λ που βρόκατε , θεωρούμε την εξύςωςη x 2 − λx + μ2 = 0 . Να βρεύτε το μ , ώςτε η εξύςωςη να ϋχει διπλό ρύζα .

88. Η εξύςωςη 2x 2 + 2 α + β)x + α − 2) β + 4) − 2 = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα . Να βρεύτε : α) τουσ αριθμούσ α και β β) τη διπλό ρύζα τησ εξύςωςησ .

89. Η εξύςωςη x 2 − λ − μ)x + μ2 = 0 ϋχει διπλό ρύζα το 1 . Να βρεθούν οι τιμϋσ των πραγματικών λ και μ 90. Η εξύςωςη λ3 + 10)x 2 − 2λ3 + 4)x + μ2 + 4μ + 22 = 0 ϋχει διπλό ρύζα το 3 . Να βρεθούν οι τιμϋσ των πραγματικών λ και μ 91. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 2λx + λ2 − λ + 2 = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη : α) ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ β) ϋχει μια διπλό ρύζα γ) εύναι αδύνατη δ) ϋχει λύςη

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

18

92. Δύνεται η εξύςωςη : λx 2 + 2λ + 3)x + λ + α) ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ β) ϋχει μια διπλό ρύζα γ) δεν ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ

9 4

= 0. Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη :

93. Δύνεται η εξύςωςη : λ − 2)x 2 − (2λ + 1)x + λ + 2 = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη : α) ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ β) ϋχει μια διπλό ρύζα γ) εύναι αδύνατη 94. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 2λx + λ2 − λ + 1 = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη : α) ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ β) ϋχει μια διπλό ρύζα γ) να ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ δ) να μην ϋχει καμύα πραγματικό ρύζα

95. Δύνεται η εξύςωςη x 2 + λ + 3 ∙ x + λ = 0 . Να βρεύτε : α) για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ β) την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = λ2 + 6λ + 9 + λ2 − 2λ + 1 96. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 2λx + λ2 − 1 = 0 . α) Να δεύξετε ότι για κϊθε πραγματικό αριθμό λ η εξύςωςη ϋχει δύο πραγματικϋσ ρύζεσ β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ , οι δύο ρύζεσ τησ εξύςωςησ ανόκουν ςτο διϊςτημα −2 , 4) γ) Για τισ τιμϋσ του λ που βρόκατε ςτο β) ερώτημα , να αποδεύξετε ότι η παρϊςταςη Α=

λ2 + 2λ + 1 + λ2 − 6λ + 9

3 2

εύναι ανεξϊρτητη του λ

Εύρεςη Παραμϋτρων ςτουσ Σύπουσ VIETA

97. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + λ − 1)x + 2λ − 6 = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ β1 ) αντύθετεσ β2 ) αντύςτροφεσ 98. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + λ − 5)x − λ + 4 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει : α) μια διπλό ρύζα β) δύο ρύζεσ αντύςτροφεσ γ) δύο ρύζεσ αντύθετεσ δ) δύο ετερόςημεσ ρύζεσ ε) δύο θετικϋσ ρύζεσ ζ) δύο αρνητικϋσ ρύζεσ 99. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 2α − 1)x + α2 − 4 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του α η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ : α) ετερόςημεσ β) θετικϋσ γ) αρνητικϋσ δ) αντύθετεσ ε) αντύςτροφεσ 100. Δύνεται η εξύςωςη : −x 2 + λ − 7)x + λ − 6 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει : α) μια διπλό ρύζα β) δύο ρύζεσ αντύςτροφεσ γ) δύο ρύζεσ αντύθετεσ

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

19

δ) δύο ετερόςημεσ ρύζεσ ε) δύο θετικϋσ ρύζεσ ζ) δύο αρνητικϋσ ρύζεσ 101. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + 4x + λ + 2 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει : α) μια διπλό ρύζα β) δύο ρύζεσ αντύςτροφεσ γ) δύο ρύζεσ αντύθετεσ δ) δύο ετερόςημεσ ρύζεσ ε) δύο θετικϋσ ρύζεσ ζ) δύο αρνητικϋσ ρύζεσ 102. Να βρεθεύ ο πραγματικόσ αριθμόσ μ ώςτε η μια ρύζα τησ εξύςωςησ x 2 − 2μ − 3)x + μ − 1 = 0 να εύναι διπλϊςια τησ ϊλλησ .

103. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λ + 1)x + λ = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Να βρεύτε το λ ώςτε η μια ρύζα τησ εξύςωςησ να εύναι διπλϊςια από την ϊλλη .

104. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 3λx − 27 = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Να βρεύτε το λ ώςτε οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ να εύναι αντύθετεσ γ) Αν μια ρύζα τησ εξύςωςησ ιςούται με το τετρϊγωνο τησ ϊλλησ , να βρεύτε τισ ρύζεσ και το λ 105. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + λx − 27 = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ και ϊνιςεσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Αν μια ρύζα τησ εξύςωςησ ιςούται με το τετρϊγωνο τησ ϊλλησ , να βρεύτε τισ ρύζεσ και το λ 106. Δύνεται η εξύςωςη : λ + 2)x 2 + 2λx + λ − 1 = 0 , λ ≠ −2 . α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 ∙ x2 = −3 Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 107. Δύνεται η εξύςωςη : λ + 2)x 2 + 2λx + λ − 1 = 0 , λ ≠ −2 . α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 + x2 = 2 Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 108. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 2λx + 4(λ − 1) = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 + x2 = x1 ∙ x2 Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 109. Δύνεται η εξύςωςη : −2x 2 + λ − 5)x + λ − 3 = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Να βρεύτε το λ ώςτε το ϊθροιςμα των ριζών τησ εξύςωςησ να εύναι ύςο με το γινόμενό τουσ .

110. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + 2x − λ2 + 6λ − 8 = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Να βρεύτε το λ ώςτε το γινόμενο των ριζών τησ εξύςωςησ να εύναι τετραπλϊςιο από το ϊθροιςμϊ τουσ .

111. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 10x + λ + 8 = 0 α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ. β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : 2x1 = 3 ∙ x2

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

20

112. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 2x + λ = 0 α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ. β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ και τισ ρύζεσ , ώςτε : x1 = 3 ∙ x2 113. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + 2λx + 4(λ − 1) = 0 α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε x1 + x2 )2 + x1 x2 + 5 = 0 114. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + 2x + λ − 2 = 0 . . α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 ∙ x2 − 2 x1 + x2 ) = 1

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

Σρϊπεζα Θεμϊτων )

115. Δύνεται η εξύςωςη : λ − 1)x 2 + x − 2 = 0 . . α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη εύναι 2ου βαθμού και ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : 2x1 − 1) ∙ 2x2 − 1) =

1 2

116. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + λx − λ2 + 1) = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x12 + x22 = 4 117. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + 2 λ − 1)x + λ2 − 3 = 0 . α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x12 + x22 = 20 118. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λ − 1)x + λ − 2 = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : β1 ) x12 + x22 = 20

β2 )

1 x1

+

1 x2

=

4 5

119. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 3x + α = 0 να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α ώςτε να ιςχύει : 5x13 x2 + 5x1 x23 − 4x12 x2 − 4x1 x22 − 3 = 2α 120. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λx − λ2 + 5) = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 − 2) ∙ x2 − 2) = −4 Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 121. Δύνεται η εξύςωςη : λ + 2)x 2 + 2λx + λ − 1 = 0 . α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x12 x2 + x1 x22 =

−

2 3

122. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 5λx − 1 = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε : β1 ) να προςδιορύςετε τισ τιμϋσ του λ ώςτε να ιςχύει : x1 + x2 )2 − 18 − 7 x1 x2 )24 = 0 β2 ) για λ = 1 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ x12 x2 − 3x1 + 4 − 3x2 + x1 x22 Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 123. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 5λx − 1 = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε : β1 ) να προςδιορύςετε τισ τιμϋσ του λ ώςτε να ιςχύει : x1 + x2 )2 − 18λ − 7 x1 x2 )2016 = 0 β2 ) για λ = 1 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ x12 x2 − 3x1 + 4 − 3x2 + x1 x22 1ο Γελ Κοζϊνησ 2016 )

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

21

124. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 + λx + λ − 1 = 0 , λ ≠ 2 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε τισ παραςτϊςεισ : x1 + x2 , x1 ∙ x2 , x1 x22 + x12 x2 γ) Να βρεθεύ το λ αν ιςχύει : 3x1 + 3x2 = x12 ∙ x22 − 2λ − 3 Γελ Βόλου 2016 ) 125. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λ − 3)x − λ − 1 = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε το λ αν : 4 x1 + x2 − 15 = x1 ∙ x2 + 4 Γελ Βόλου 2016 ) 126. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λx − 4 = 0 α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε τισ παραςτϊςεισ : x1 + x2 , x1 ∙ x2 γ) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ ώςτε οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ να εύναι αντύθετεσ . Γελ Βόλου 2016 ) 127. α) Δύνεται η εξύςωςη x 2 − 3κx − 2 = 0. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε : α1 ) τισ παραςτϊςεισ : S = x1 + x2 , P = x1 ∙ x2 α2 ) τον πραγματικό αριθμό κ , αν ιςχύει : S 2 + 2P = 0 β) Να λύςετε την εξύςωςη x 4 + x 2 − 2 = 0 Γελ ΢πϊρτησ 2009 )

128. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λ + 2)x + λ − 1 = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε το λ αν : β1 ) ιςχύει : x2 3 − 2x1 ) = −3 x1 − 1) β2 ) ιςχύει : x2 x2 − x1 ) = x1 + 3) 3 − x1 ) 129. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − 5x +

λ −1 4

=0

α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 + x2 = x1 ∙ x2 Γελ Παμφύλων 2011 ) 130. Δύνεται η εξύςωςη : 2x 2 − 4x + λ − 3 = 0 α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε το λ αν : β1 ) ιςχύει : x13 x22 + x12 x23 = 8 β2 ) ιςχύει :

1

x 21

+

1

x 22

=2

131. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λx − λ2 + 5) = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Να υπολογύςετε το ϊθροιςμα και το γινόμενο των ριζών ,ςυναρτόςει του λ , τησ παραπϊνω εξύςωςησ γ) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 − 1) ∙ x2 − 1) = −4 Γελ Αιδηψού 2013 ) 132. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λ2 x + λ2 − 1 = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει λύςη για κϊθε τιμό του πραγματικού αριθμού λ β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ και οι οπούεσ να βρεθούν γ) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : 2x1 + x2 = 3λ2 δ) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού με ρύζεσ 2x1 + 4 , 2x2 + 4 Γελ Πϋτρασ 2012 ) 133. Δύνεται η εξύςωςη : λ + 2)x 2 + (2λ + 3)x + λ − 2 = 0 , λ ≠ −2 . α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ να βρεύτε τισ παραςτϊςεισ : x1 + x2 , x1 ∙ x2 γ) Να εξετϊςετε αν υπϊρχει τιμό του λ , ώςτε για τισ ρύζεσ τησ προηγούμενησ εξύςωςησ , ώςτε να ιςχύει η ςχϋςη : x1 + x2 − 1)2 + x1 ∙ x2 + 3)2 = 0 Σρϊπεζα Θεμϊτων )

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

22

134. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − x + λ − λ2 = 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ για κϊθε τιμό του πραγματικού αριθμού λ β) Να βρεύτε την τιμό του λ ώςτε η εξύςωςη να ϋχει δύο ρύζεσ ύςεσ . γ) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ και λ ≠

1 2

να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ ιςχύει d x1 , x2 ) =

1 d x 1 ,x 2 )

Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 135. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 2x − 4 = 0 . α) Να βρεύτε τον αριθμό α= 1 + x1 )2017 ∙ 1 + x2 )2017 β) Να υπολογύςετε την παρϊςταςη Α = αx1 + 2) ∙ αx2 + 2) γ) Να ςχηματύςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ

α x1

,

α x2

136. Δύνεται η εξύςωςη : λx 2 − 2λ + 1)x + λ + 1 = 0 , λ ≠ 0 . α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ ≠ 0 . β) Για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ αντύθετεσ ; γ) Τπϊρχει τιμό του λ που η εξύςωςη να ϋχει ρύζεσ αντύςτροφεσ ; Γελ Καρδύτςασ 2009 )

137. Οι πλευρϋσ x1 , x2 ενόσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου εύναι οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x 2 − 2x + λ 2 − λ) = 0 με λ ∈ 0 , 2) . α) Να βρεύτε την περύμετρο Π και το εμβαδόν Ε του ορθογωνύου ςυναρτόςει του λ . β) Να αποδεύξετε ότι Ε ≤ 1 για κϊθε λ ∈ 0 , 2) . γ) Για ποια τιμό του λ το εμβαδόν Ε του ορθογωνύου γύνεται μϋγιςτο , δηλαδό ύςο με 1 ; Σι μπορεύτε να πεύτε τότε για το ορθογώνιο ; Σρϊπεζα Θεμϊτων ) 138. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − λ2 + λ − 2)x − 1 = 0 α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ . β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : β1 ) οι ρύζεσ να εύναι αντύθετεσ β2 ) να ιςχύει : x1 + x2 + x1 ∙ x2 = 3 Γελ Σρικϊλων 2009 ) 139. Δύνεται η εξύςωςη : x 2 − x ∙ 14 + λ + 2λ = 0 με λ ≥ −14 α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ . β) Για ποιεσ τιμϋσ του λ οι ρύζεσ τησ παραπϊνω εξύςωςησ εύναι ετερόςημεσ ; γ) Αν λ = 2 να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει μια ρύζα ρ την οπούα να προςδιορύςετε δ) Για την τιμό του ρ που βρόκατε ςτο προηγούμενο ερώτημα , να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : 3 3+ ρ

+

ρ 3− ρ

Γελ Βόλου 2016 )

140. Δύνεται η εξύςωςη : −x 2 − 2αx + α2 + β2 + 2 = 0 α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό των α και β β) Έςτω S και P το ϊθροιςμα και το γινόμενο των ριζών τησ εξύςωςησ . Να βρεύτε τα α και β ώςτε να ιςχύει 2S = P − 2 . γ) Να υπολογύςετε την παρϊςταςη Α =

x1 + 1 x1 + 2

+

x2 + 1 x2 + 2 x 21

δ) Να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού με ρύζεσ τουσ αριθμούσ

x2

ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΟ ΠΑΠΑΚΑΜΜΕΝΟΤ

,

x 22 x1

23