3ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έςτω μια ςυνάρτηςη f ,οριςμένη ςε ένα κλειςτό διάςτημα [α , β]. Αν η f είναι ςυνεχήσ ςτο [α , β] και επιπλέον f α ≠ f β τότε, να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f α και f β υπάρχει ένα , τουλάχιςτον x0 ∈ α , β τέτοιο ώςτε f x0 = η . (7%)
Β.
Πότε μια ςυνάρτηςη f λέγεται ςυνεχήσ ςε ένα κλειςτό διάςτημα [α , β] ; (4%)
Γ. Πότε μια ςυνάρτηςη
f με πεδίο οριςμού το Α λέμε ότι είναι 1-1 ; ( 4%)
Δ. Να χαρακτηρίςετε ωσ Σωςτή
Σ ή ωσ Λανθαςμένη Λ καθεμία από τισ
παρακάτω προτάςεισ : α Κάθε ςυνάρτηςη που είναι 1-1 ςτο πεδίο οριςμού τησ, είναι γνηςίωσ μονότονη β Αν lim f x = 0 και f(x) > 0 κοντά ςτο x0 , τότε lim x→x 0
x→x 0
1 f(x)
= +∞
γ Μια ςυνεχήσ ςυνάρτηςη f διατηρεί πρόςημο ςε καθένα από τα διαςτήματα ςτα οποία οι διαδοχικέσ ρίζεσ τησ f χωρίζουν το πεδίο οριςμού τησ. δ Αν μια ςυνάρτηςη f είναι γνηςίωσ φθίνουςα και ςυνεχήσ ςε ένα ανοικτό διάςτημα α , β , τότε το ςύνολο τιμών τησ ςτο διάςτημα αυτό είναι το Α ,Β όπου A = lim+f x , B = lim− f(x) x→β
x→α
ε Αν οι ςυναρτήςεισ f, g έχουν όριο ςτο x0 και ιςχύει f(x) ≤ g(x) κοντά ςτο x0 , τότε lim f(x) ≤ lim g(x) . ( 10 % ) x→x 0
x→x 0