3ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έςτω μια ςυνάρτηςη f ,οριςμένη ςε ένα κλειςτό διάςτημα [α , β]. Αν η f είναι ςυνεχήσ ςτο [α , β] και επιπλέον f α ≠ f β τότε, να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f α και f β υπάρχει ένα , τουλάχιςτον x0 ∈ α , β τέτοιο ώςτε f x0 = η . (7%)
Β.
Πότε μια ςυνάρτηςη f λέγεται ςυνεχήσ ςε ένα κλειςτό διάςτημα [α , β] ; (4%)
Γ. Πότε μια ςυνάρτηςη
f με πεδίο οριςμού το Α λέμε ότι είναι 1-1 ; ( 4%)
Δ. Να χαρακτηρίςετε ωσ Σωςτή
Σ ή ωσ Λανθαςμένη Λ καθεμία από τισ
παρακάτω προτάςεισ : α Κάθε ςυνάρτηςη που είναι 1-1 ςτο πεδίο οριςμού τησ, είναι γνηςίωσ μονότονη β Αν lim f x = 0 και f(x) > 0 κοντά ςτο x0 , τότε lim x→x 0
x→x 0
1 f(x)
= +∞
γ Μια ςυνεχήσ ςυνάρτηςη f διατηρεί πρόςημο ςε καθένα από τα διαςτήματα ςτα οποία οι διαδοχικέσ ρίζεσ τησ f χωρίζουν το πεδίο οριςμού τησ. δ Αν μια ςυνάρτηςη f είναι γνηςίωσ φθίνουςα και ςυνεχήσ ςε ένα ανοικτό διάςτημα α , β , τότε το ςύνολο τιμών τησ ςτο διάςτημα αυτό είναι το Α ,Β όπου A = lim+f x , B = lim− f(x) x→β
x→α
ε Αν οι ςυναρτήςεισ f, g έχουν όριο ςτο x0 και ιςχύει f(x) ≤ g(x) κοντά ςτο x0 , τότε lim f(x) ≤ lim g(x) . ( 10 % ) x→x 0
x→x 0
ΘΕΜΑ Β Α. Στο διπλανό ςχήμα απεικονίζεται η γραφική παράςταςη τησ ςυνάρτηςησ f −1 : ℝ → ℝ με f −1 ℝ = ℝ 1 Να υπολογίςετε την τιμή τησ παράςταςησ : Α = 2f 0 − 2f −1 0 − 3f −1 2 + f 4 ( 3 %) 2) Να λύςετε την εξίςωςη : f f −1 x − 1 + 3 = 0 ( 3 %) 3) Να βρείτε το όριο : lim
f −1 0 ∙ x + 3 − f(−2) x − f −1 3
x→−2
( 3 %)
4) Να βρείτε τισ τιμέσ των α , β ∈ ℝ ώςτε lim
f −1 3 ∙ x 2 − α∙x + β + f −1 (−3) x −2
x→2
Β. Δίνεται η ςυνάρτηςη
= −5
f x =1−
( 4 %)
2 2e x + 1
1 Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f . ( 4%) 2 Να αποδείξετε ότι η f αντιςτρέφεται και να βρείτε την αντίςτροφη . ( 4 %) 3 Να αποδείξετε ότι για κάθε x1 , x2 , x3 ∈ ℝ με α < x1 < x2 < x3 < β , υπάρχει μοναδικό ξ ∈ α , β ⊆ ℝ τέτοιο , ώςτε f ξ =
f x1 + f x2 + f x3 3
. ( 4 %)
ΘΕΜΑ Γ Α. Δίνεται η ςυνεχήσ ςυνάρτηςη f ln
1 2
= ln
1 3
f : ℝ → ℝ για την οποία ιςχύει :
και f 2 x − 2x ∙ f x = ln ex + 1 − x ∙ ln ex + 1 + x , ∀ x ∈ ℝ .
1 Να δείξετε ότι f x = x − ln ex + 1 . ( 6 %) 2 Να βρείτε τισ αςύμπτωτεσ τησ Cf . ( 4 %)
Β. Δίνεται η ςυνάρτηςη
f x = 2x + x 3 + x .
1 Να δείξετε ότι η f αντιςτρέφεται και να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ f −1 . ( 3 %) 2 Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x0 ∈ −1 , 0 τέτοιο ώςτε x0 = f −1 0 ( 4 %) 3 Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη ςτο
1 ,2
f x – 1 + x0 x −2
=
f x 0 − e x −1 x −1
έχει μια τουλάχιςτον ρίζα
( 4 %)
4) Να βρείτε το όριο
lim
x→+∞
f x + 2ημ f(x) 2f(x) + ημ f(x)
( 4 %)
ΘΕΜΑ Δ Α. Δίνονται οι ςυνεχείσ ςυναρτήςεισ
f , g : ℝ → ℝ . Αν οι Cf , Cg δεν έχουν κανένα κοινό
ςημείο τομήσ και ιςχύει ότι f 2018 > g 2018 . Επίςησ ιςχύουν οι ςχέςεισ : lim
x→1
x 2 −1 f x − x+3 + 2 x −1
=
7
και
4
lim
x→0
xg x − ημ x x2 + x
= −1 . Να αποδείξετε ότι :
1) f x > g x , ∀ x ∈ ℝ . ( 3 %) 2) υπάρχει τουλάχιςτον ένα x0 ∈ 0 , 1 τέτοιο ώςτε 3f x0 + g x0 = 4x0 ( 6 %) ex + x + 1 , x<0 2 − ln x + 1 , x ≥ 0 1 Να δείξετε ότι η f είναι ςυνεχήσ . ( 3 %) 2 Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ f . ( 4 %) 3 Να δείξετε ότι η εξίςωςη f x = 2 έχει μοναδική ρίζα την x = 0 και ςτη ςυνέχεια ότι η εξίςωςη f f x + 2018 = 2 έχει ακριβώσ δύο ρίζεσ ετερόςημεσ . ( 4 %) 4 Αν x1 , x2 είναι οι ρίζεσ τησ παραπάνω εξίςωςησ με x1 < x2 να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ ∈ x1 , x2 τέτοιο , ώςτε x1 − ξ f ξ − 2 + ξ − x2 3 − f ξ = eξ f ξ + 2018 . ( 5 %)
Β. Δίνεται η ςυνάρτηςη
f x =
ΚΑΛΗ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ