ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α΄ ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ:
Ε_3.ΑΜλ3ΘΤ(ε)
Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Ηµεροµηνία: ∆ευτέρα 5 Ιανουαρίου 2015 ∆ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α 1.
Να αποδείξετε z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 .
ότι
για
οποιουσδήποτε
µιγαδικούς
z1 , z2
ισχύει:
Μονάδες 8 Α2.
Έστω f µία συνάρτηση και ∆ ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της. Πότε η f ονοµάζεται γνησίως φθίνουσα στο ∆ ; Μονάδες 3
Α 3.
Πότε µια συνάρτηση f (θα λέµε ότι) είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α , β ] ; Μονάδες 4
Α 4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη: α. Για κάθε z, w ∈ C ισχύει: z = w ⇔ z = w . β. Αν µία συνάρτηση f είναι αντιστρέψιµη και η γραφική παράστασή της τέµνει την y = x στο σηµείο Α, τότε η γραφική παράσταση, της αντίστροφης της διέρχεται από το σηµείο Α. γ. Αν για την συνάρτηση f ισχύει f ( x ) < ℓ για κάθε x κοντά στο x0 και υπάρχει το lim f ( x ) , τότε lim f ( x ) < ℓ. x → x0
δ. Αν για την συνάρτηση
x → x0
f
ισχύει lim x → x0
f ( x0 ) − f ( x) = 5 τότε είναι x0 − x
παραγωγίσιµη στο x0 µε f ′( x0 ) = 5 . ε. Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής στο x0 , τότε είναι και παραγωγίσιµη στο x0 . Μονάδες 10 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ
ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.ΑΜλ3ΘΤ(ε)
ΘΕΜΑ Β ∆ίνεται η συνάρτηση g µε g ( x ) = − ln x . Β 1.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και να βρεθεί η αντίστροφη της. Μονάδες 8
Β 2.
Να δείξετε ότι η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σηµείο Α (1, g (1) ) εφάπτεται και στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g −1 . Μονάδες 9
Β 3.
Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης h( x) = ln x − e − x . Μονάδες 4
Β 4.
− g ( x) ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = −1 g ( x)
αν x > α αν x ≤ α
µε α > 0 .
Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό α > 0 ώστε η συνάρτηση συνεχής στο α .
f να είναι Μονάδες 4
ΘΕΜΑ Γ ∆ίνονται οι συναρτήσεις h( x ) = x 3 + e x ώστε: lim
x →−∞
f : ℝ → ℝ * , g : ℝ → ℝ και η συνάρτηση h
µε
( f (0) − f (1) ) ⋅ x 5 + x3 + 1 = −∞ f 2 (1) ⋅ x 2 + x + 1
( g g )( x ) =
f (0) ⋅ g 3 ( x ) + f (1) ⋅ f ( x 3 + e x + 2015) για κάθε x ∈ ℝ .
Η f γνησίως µονότονη. Γ 1.
Γ 2. Γ 3.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 4) και ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα (Μονάδες 2). Μονάδες 6 Να δείξετε ότι η g είναι <<1 – 1>>. Μονάδες 9 Αν η f είναι συνεχής στο ℝ . Να δείξετε ότι f (0) ⋅ x 4 + x 2 + ηµ x = +∞ . lim 2 x →−∞ f (1) ⋅ x + x + 1
Μονάδες 10 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ
ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.ΑΜλ3ΘΤ(ε)
ΘΕΜΑ ∆ ∆ίνεται ο µιγαδικός z που ικανοποιεί τη
−2 Re ( z ) z
2
+ w = 0, z ≠ 0 όπου w η ρίζα της
w 2 − 3 ⋅ w + 1 = 0 µε φανταστικό µέρος θετικό.
∆1.
Να δείξετε ότι w1821 = −i και ότι w = 1 . Μονάδες 4
∆2.
Να δείξετε ότι z − 1 = 1 και να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z . Μονάδες 4
∆3.
α. Αν ισχύει z ⋅ u = 1 + i να δείξετε ότι η εικόνα του u ανήκει πάνω σε ευθεία µε εξίσωση x + y − 1 = 0 . Μονάδες 4 β. Να βρεθεί ο µιγαδικός u που ελαχιστοποιεί την παράσταση z − 1 + z ⋅ u − u και η αντίστοιχη τιµή του z. Μονάδες 4
∆4.
z + z −2 −2 z − z −2 = έχει µια τουλάχιστον λύση x 1− x στο ℝ , όπου z = α + β i, α , β ∈ ℝ, β ≠ 0 και α ≠ 1 . Μονάδες 9 Να δείξετε ότι η εξίσωση
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ
ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3