Premio ABA 2008 - Mención Especial by ABA Argentina

4º Premio - Mención Especial •••

LA AUTONOMÍA INTELECTUAL, LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y EL APRENDIZAJE COOPERATIVO María Cristina Zeballos es Docente. Profesora de Enseñanza Secundaria, Normal y Especial. Especialidad Matemática (UBA). Profesora de Segundo Año, escuela secundaria, colegios Cardenal Newman y Plácido Marín. Profesora de 3ro. Polimodal A, colegio Cardenal Newman. Coordinadora de Matemática, colegio Cardenal Newman.

MARÍA CRISTINA ZEBALLOS

Liliana Mabel Gysin es Doctora en Ciencias Matemáticas (UBA). Profesora Adjunta Departamento Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA. Dicta Cursos de Capacitación Docente (Universidad de La Punta, San Luis).

LILIANA MABEL GYSIN

ÍNDICE ••• 1. Resumen................................................................................................. 3 2. Introducción ........................................................................................... 4 3. Estado de situación ................................................................................ 5 4. Marco teórico......................................................................................... 6 4.1 Resolución de problemas como estrategia didáctica........................ 6 4.2 Aprendizaje cooperativo para el trabajo en equipos ........................ 8 4.3 Evaluación de la autonomía intelectual.......................................... 10 5. Propuesta.............................................................................................. 11 5.1 Contenido matemático seleccionado para la propuesta.................. 11 5.2 Estructura de la propuesta............................................................... 11 6. Resultados............................................................................................ 12 7. Conclusiones........................................................................................ 20 8. Anexo - Propuesta ............................................................................... 23 9. Anexo - Trabajos de los Alumnos ...................................................... 36 10. Bibliografía ........................................................................................ 43

1. RESUMEN ••• El objetivo de esta propuesta es enfrentar dos problemáticas: el desarrollo de la autonomía intelectual en los alumnos (y el desafío de cómo hacerlo desde la clase de matemática); y el poco uso que se hace en el aula de la enseñanza de la matemática por resolución de problemas. La elección del aprendizaje cooperativo para el trabajo en el aula está basada esencialmente en la necesidad de integrar entre sí a los alumnos. La propuesta se da en el marco de la enseñanza de probabilidades en segundo año de la educación secundaria, y fue implementada en forma paralela en cuatro cursos de dos escuelas. Se notó un ambiente participativo y cordial, se prestó atención a que todos participaran y entendieran, y cada uno desempeñó su rol correctamente. Si bien la evaluación de la autonomía intelectual es subjetiva, creemos que los alumnos han avanzado en ella, especialmente en el trabajo independiente. Se sintieron libres de crear, presentar los resultados e interpretar las consignas. La enseñanza por resolución de problemas resultó valiosa para que los alumnos recrearan en clase el “hacer matemática”. Creemos que los principales errores detectados responden a causas diferentes y proponemos estrategias distintas para corregirlos.

2. INTRODUCCIÓN ••• La implementación de este proyecto surgió como un intento de enfrentar dos problemáticas que nos preocupan a partir de nuestra práctica docente y de capacitación. Por un lado, el desarrollo de la autonomía intelectual en los alumnos, y el desafío de cómo hacerlo desde la clase de matemática. Por otro lado, el poco uso que se hace en el aula de la enseñanza de la matemática por resolución de problemas. Estamos convencidas de que la enseñanza por resolución de problemas es la herramienta didáctica adecuada para desarrollar en los alumnos la autonomía intelectual, pensada como suma o combinación de diferentes capacidades, entre las que seleccionamos algunas para evaluar, como por ejemplo la independencia para tomar decisiones, la originalidad, la capacidad de comunicar, argumentar, escuchar, etc. Elaboramos una propuesta para la enseñanza de probabilidad en segundo año de la educación secundaria (octavo año de EGB), que fue implementada en cuatro cursos de manera paralela. Tres de los cursos (cursos A, B, C, de 28 alumnos cada uno) son del colegio Cardenal Newman, y el cuarto (curso D, de 25 alumnos), del colegio Plácido Marín, ambas escuelas privadas de la localidad de Boulogne, en la provincia de Buenos Aires, de diferente contexto social. El colegio Cardenal Newman tiene primaria y secundaria, con un total de aproximadamente 1000 alumnos. El colegio Plácido Marín tiene primario y hasta segundo año del secundario con aproximadamente 200 alumnos, y está ubicado en la zona conocida como el “Bajo Boulogne”. Los tres cursos del Cardenal Newman están a cargo de dos docentes, uno de los cuales también es docente del curso del Plácido Marín. Los alumnos trabajaron en equipo, ya que consideramos que es la forma más adecuada para desarrollar la autonomía intelectual. Entre las varias posibilidades de trabajo grupal, elegimos el aprendizaje cooperativo. Los cursos A, B y C ya habían realizado trabajo en equipo, mientras que para el curso D era la primera experiencia de este tipo de trabajo. La propuesta intenta desarrollar la enseñanza de un contenido matemático (probabilidades) y la autonomía intelectual de los alumnos, utilizando la resolución de problemas como estrategia didáctica. Tiene cuatro etapas, dos de evaluación (diag-

nóstica y final) y dos de desarrollo (la primera con el enfoque laplaciano y la segunda con el enfoque frecuencial). La evaluación fue continua, con observación a lo largo del todo el proceso. La implementación llevó trece horas reloj.

3. ESTADO DE SITUACIÓN ••• Que la resolución de problemas es una herramienta didáctica privilegiada para enseñar matemática es una afirmación que, hoy en día, nadie discute. Sin embargo, y a pesar de los muchos esfuerzos de capacitación, es relativamente pequeño el lugar que ocupa la enseñanza por resolución de problemas en el aula. Algunos docentes todavía preguntan: “Pero, primero les explico, ¿no?”. Otros utilizan un problema como motivador para comenzar el trabajo con un nuevo contenido, y muchos utilizan problemas luego de haber explicado a modo de problemas de aplicación, al estilo de una enseñanza más tradicional. En el diálogo con los docentes, éstos afirman saber cómo enseñar por resolución de problemas. Pero cuando se les pide que armen una propuesta para un determinado contenido, en la mayoría de los casos los problemas aparecen solamente como motivadores o de aplicación, y rara vez la propuesta implica enfrentar a los alumnos a resolver situaciones para las cuales aún no han desarrollado las herramientas necesarias. Quizás el problema es que el docente duda de la capacidad de los alumnos para generar aquellos conocimientos que él les debe transmitir, o tal vez no se siente capaz de tener que discutir con sus alumnos estrategias que a él no se le habrían ocurrido... Aparecen entonces comentarios como “Lleva demasiado tiempo”, “Genera problemas de disciplina”, “Los chicos no avanzan todos a la misma velocidad”, etc. Pero si no permitimos que los alumnos piensen por sí mismos, si solo los enfrentamos a problemas que sabemos que pueden resolver, es poco probable que desarrollen autonomía intelectual. El alumno recita definiciones y resuelve problemas tipo, de la misma manera que los docentes recitan la definición de enseñanza por resolución de problemas y luego enseñan a la manera tradicional, replicando la forma en que ellos fueron enseñados. Es poco probable que estos

alumnos puedan reutilizar los conocimientos aprendidos en la escuela en su vida cotidiana o en sus posteriores estudios en el ciclo superior. Las múltiples quejas de las universidades respecto del nivel de conocimientos con que llegan los alumnos, y la gran deserción tanto en la escuela media como en el ciclo superior, dan cuenta de ello. De las tendencias pedagógicas modernas, en muchos casos la escuela solo parece tomar la parte que dice que no es necesario resolver una enorme cantidad de ejercicios y problemas tipo. No hay anclaje ni generación de conocimientos, por lo cual el aprendizaje es de corto plazo; los alumnos se olvidan de lo que aprendieron ni bien aprueban los cursos. Por supuesto que esto es exagerado, que no se trata de buscar “culpables” de los resultados, sino de intentar mostrar que también se pueden hacer cosas diferentes en el aula. Por otra parte, la escuela y los docentes tampoco deben cargar con toda la responsabilidad, ya que la escuela está inmersa en una sociedad que ha dejado de valorar el conocimiento y el esfuerzo, con las claras consecuencias que ello conlleva. Si la propuesta es enseñar por resolución de problemas, el trabajo en equipos aparece como la estrategia de aula más apropiada. En esta dirección, elegimos la formación de los equipos apoyada en el aprendizaje cooperativo. Esta elección está basada esencialmente en la necesidad de integrar entre sí a los alumnos, especialmente a los de extracción social más humilde, que es donde las relaciones sociales presentan mayor conflictividad.

4. MARCO TEÓRICO ••• 4.1. Resolución de problemas como estrategia didáctica Señala Miguel de Guzmán que “la enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo. (...) Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.”1 1. Miguel de Guzmán, “Tendencias innovadoras en educación matemática”, OMA, 1992.

La idea es que el alumno aprenda a “hacer matemática”, que el aula sea una especie de laboratorio de matemática donde el alumno pueda –guiado por el docente– redescubrir los contenidos y procedimientos de la disciplina. Dejemos que los niños reinventen la matemática (Kamii, 1994), con ello lograremos que la incorporen como un conocimiento propio, del que difícilmente se olvidarán. ¿A qué nos referimos con “problema” cuando hablamos de esta estrategia didáctica? Coincidimos con Ana Bressan en que “problema” es “toda situación con un objetivo por lograr, que requiera del sujeto una serie de acciones u operaciones para obtener su solución, de la que no dispone en forma inmediata, obligándolo a engendrar nuevos conocimientos, modificando (enriqueciendo o rechazando) los que hasta el momento poseía”2. Es decir, enfrentemos a los alumnos a situaciones que deban resolver, sin haberles explicado antes cómo hacerlo. Como decía el doctor Santaló, “solo hay problema si el alumno percibe una dificultad”3. Dice también Delia Lerner: “Descubrir, investigar, discutir, interpretar... Conceptos que definen una concepción del aprendizaje y de la enseñanza muy diferente de aquella que postula explicar, repetir, memorizar...”4. Es decir, debemos cambiar nuestra práctica docente, y recrear una manera muy diferente de aquélla a la que estamos acostumbrados. Este cambio necesariamente implica una concepción diferente de qué es la matemática. Es pensar la matemática como una actividad dinámica (y no estática), en continuo desarrollo (y no acabada), y que tiene múltiples maneras de analizar y resolver un mismo problema (y no la única manera dada por un esquema “tipo” de resolución). Si bien es cierto que muchas veces ese esquema tipo es el más económico, el más sencillo o el más completo, también es verdad que no es ni el único ni el primero que se nos ocurre, si nadie nos dijo cómo hacerlo. ¿Es importante discutir la estrategia más adecuada para resolver determinado problema? Sí, probablemente lo sea, pero no antes de que nuestros alumnos hayan intentado otras maneras o hayan llegado a la más eficiente por sí mismos. ¿Por qué quitarles el placer de descubrir? No planteamos la resolución de problemas exclusivamente para aplicar los conocimientos aprendidos, ni el problema solo como disparador o motivador del 2. Citado por Ana Bressan en Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997. 3. Citado por Hanfling-Savón en Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997. 4. Hanfling-Savón, op. cit.

aprendizaje, sino que –como plantean Hanfling-Savón (AZ, 1997) en su cuarta modalidad– la resolución de problemas está presente en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, pero no es la actividad única. Dicen las autoras: “El esquema es el de un grupo de trabajo asesorado por un perito. El conocimiento se construye en el seno del grupo y por la interacción de sus integrantes. Para quienes adhieren a esta concepción, enseñar y aprender se implican mutuamente. (...) El profesor realiza una cuidadosa selección de problemas con distintos obstáculos, para provocar en los alumnos las adaptaciones buscadas; organiza la clase, el intercambio de los procedimientos surgidos en forma individual o grupal, la formulación oral o escrita de esos procedimientos, la validación de las soluciones y la presentación de los elementos convencionales. (...) Así, los chicos van construyendo el conocimiento; la clase se transforma en un verdadero laboratorio de investigación de soluciones. (...) En este modelo, las producciones de los alumnos muestran su manera de conocer. Los errores forman parte del aprendizaje y muestran el estado de saber a partir del cual debe construirse un nuevo conocimiento.”5

4.2. Apendizaje cooperativo para el trabajo en equipos El trabajo en grupos aparece como la estrategia de aula más apropiada para enseñar por resolución de problemas. Los grupos pueden armar a partir de distintas estrategias, y con distintos tamaños. Dado que –especialmente en el curso al que asisten los alumnos de extracción social más humilde– se detectan relaciones sociales con algún grado de conflictividad y falta de integración entre ellos, elegimos la formación de los equipos apoyándonos en el aprendizaje cooperativo. 5. Hanfling-Savón, en Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997.

Al respecto, dicen los autores Friend y Bursuck: “El primer elemento para promover interacciones sociales positivas entre los alumnos (...) consiste en proporcionarles oportunidad para interactuar. (...) El segundo componente para la construcción de relaciones sociales consiste en estimular el apoyo mutuo y la amistad entre los alumnos. (...) Un tercer componente en la promoción de relaciones positivas dentro del grupo de pares consiste en proporcionar modelos positivos de rol. (...) El propósito principal del aprendizaje cooperativo consiste en incrementar la capacidad de los alumnos para interactuar unos con otros de manera apropiada. (...) En este contexto, cada integrante no solo debe ocuparse de su propio conocimiento, sino también del de los demás integrantes del grupo. (...) Los alumnos presentan una positiva interdependencia. Si no alcanzan sus objetivos juntos, nadie estará en condiciones de alcanzarlos. (...) Los miembros del grupo trabajan arduamente a fin de que todos aprendan. (...) Los integrantes tienen responsabilidades individuales. Cada uno de los miembros debe realizar su aporte. (...) Favorece las habilidades interpersonales del alumno, como saber formular preguntas, poder elogiar a sus compañeros y ser capaz de colaborar con el aprendizaje de otro.”6 En la formación de los equipos, el docente selecciona a los integrantes de los distintos grupos, y luego cada equipo elige qué rol desempeñará cada alumno dentro del grupo. Los roles son: organizador, experto, alentador y coordinador. El coordinador escucha a los demás y toma la última decisión (escucha pero no es el jefe); el organizador es responsable de que el material necesario esté a disposición del grupo (aún cuando se ausente); el experto es quien está más cerca del saber respecto del contenido; el alentador es quien anima al grupo y está atento a los tiempos. Los grupos se eligen con el criterio de que coexistan estudiantes de diferentes niveles, y no formándolos con un nivel de desempeño homogéneo. 6. Friend., M. y Bursuck, W., Alumnos con dificultades. Guía práctica para su detección e integración, Buenos Aires, Troquel, 1999.

4.3. Evaluación de la autonomía intelectual La autonomía intelectual puede pensarse como una suma o combinación de diferentes capacidades, que hacen a la posibilidad de resolver problemas. Por ejemplo, forman parte de estas capacidades el pensamiento crítico, el pensamiento creativo y el pensamiento ejecutivo. Casas (2006) plantea diferentes características para evaluar, respectivamente, el pensamiento crítico, creativo y ejecutivo. Analizando las múltiples propuestas, seleccionamos una serie de indicadores que nos parecen los más adecuados para ser utilizados como medición en la actividad propuesta, que hacen de diferente manera a los tres tipos de pensamiento. Estos indicadores son: • Insistencia en la búsqueda de una solución a un problema que no es aparente de inmediato. • Aptitud para escuchar a los demás y comprender sus puntos de vista. • Precisión en la expresión y el pensamiento. • Fluidez verbal. • Originalidad. • Evaluación de los resultados obtenidos. También podemos decir que la autonomía intelectual viene dada por la independencia para tomar decisiones y la originalidad en el enfoque y la presentación (Jiménez Rodríguez, 1997). Como en este caso la autonomía es uno de los ocho criterios de valoración que plantea Jiménez Rodríguez, consideramos que también se deben tomar criterios asociados con la claridad y la comunicación y con la actitud matemática. La propuesta de Jiménez Rodríguez es medir niveles (muy bajo-bajo-normal-medio-alto) respecto de los diversos criterios de valoración. Tomando en cuenta a ambos autores, seleccionamos la siguiente grilla de evaluación:

5. PROPUESTA ••• 5.1. Contenido matemático seleccionado para la propuesta Entre contenidos correspondientes al currículo del segundo año de la educación secundaria de la provincia de Buenos Aires que los docentes de los diferentes cursos aún no habían trabajado al momento de decidir la propuesta, nos encontramos con dos contenidos que nos parecieron apropiados: funciones y probabilidades. Nos pareció que el tema de probabilidades es un tema sobre el cual hay menor cantidad de propuestas, además de ser poco trabajado en las aulas (a pesar de que hay contenidos relacionados con el tema desde los primeros años de la educación primaria). Muchos docentes suelen dejarlo para la última época del año, para finalmente decidir que el tiempo de clase no alcanza para desarrollarlo. Por otro lado, los alumnos poseen algún conocimiento extraescolar sobre el tema, si bien muchas veces –apoyados en el sentido común– cometen errores típicos respecto de su cálculo (ver Gysin por ejemplo). Esto lo hace un tema interesante para trabajar a partir de los errores habituales. Además, creemos que el tema permite y favorece en los alumnos el desarrollo de su creatividad y su autonomía a la hora de resolver los problemas planteados. 5.2. Estructura de la propuesta Una vez seleccionado el contenido matemático, se definieron tres etapas para el trabajo de aula:

a) Etapa diagnóstica: En una primera instancia se trabajó con todo el curso (Propuesta Actividad 1), revisando el trabajo con fracciones, para luego armar los equipos y pasar a la Propuesta Actividad 2, que enfrentó a los alumnos a algunos problemas relacionados con probabilidades y su cálculo. b) Etapa de desarrollo: Los alumnos trabajaron en equipos, con propuesta de actividades guiadas (Propuesta Actividad 2 a 7), con puestas en común al final de cada Propuesta Actividad. c) Etapa de evaluación final: Se trabajó por equipo, con la Propuesta Actividad 8.

6. RESULTADOS ••• Etapa diagnóstica Actividad 1: POCO PROBABLE Es poco probable que mañana tenga una prueba porque no tengo nada anotado en la agenda. Si hay 3 cuadraditos azules y uno rojo es poco probable que salga el rojo. Es poco probable que erupcione un volcán inactivo. SEGURO Que en Marte hay agua. Es seguro que de 10 pelotas verdes saquemos pelotas verdes. Es seguro que si sumás 2 números pares te da par.

Seguro que si yo les miento a mis amigas no me van a creer más o me va a costar que me crean. Es muy seguro que en los desiertos no llueva. POSIBLE Que tu hijo sea varón. Es posible que Argentina gane medallas en las Olimpíadas. Es posible que si tiramos una moneda de un peso caiga del lado del escudo. MUY PROBABLE Es muy probable que Racing descienda. Es muy probable que el servicio meteorológico acierte. Es muy probable sacar una bola azul de una caja con cuatro bolas azules y una amarilla. IMPOSIBLE Es imposible ser ciego y daltónico. Es imposible que de una bolsa con mil bolitas verdes saques una roja. Es imposible volver el tiempo atrás. Es imposible que la gente deje de tomar alcohol. Observación: Muchos grupos hicieron frases con ejemplos de dados y bolitas de colores en una bolsa. Actividad 2: En los puntos 4 y 5 hubo mucha discusión, incluso fuera del aula. Para algunos, en el punto 4 la probabilidad era 1/3 (en tres de doce casos), otros decían también 1/3 pero aseguraban que era más probable que salga cara-ceca. En dos de doce casos, contestaron ½ tanto para monedas iguales como para monedas distintas. Un grupo contestó mal la 4 y bien la 5. Observación: Les costó analizar el caso de monedas iguales usando monedas distintas.

Actividad 3: En general la contestaron bien. En un curso, un grupo expuso la posibilidad de que fuera 1/3 que pegue en blanco, 1/3 que pegue en color y 1/3 que pegue en el límite de los dos colores. Actividad 4: En general la contestaron bien. Etapa de desarrollo Hubo veintitrés actividades para resolver usando el enfoque laplaciano. Uno de los cursos solo resolvió hasta la 15, por cuestiones de organización escolar. De las veintitrés actividades, seis fueron resueltas por los veinticinco grupos correctamente (actividades 4, 5, 15, 16, 20 y 23). En cinco actividades hubo menos de tres errores (actividades 1, 9, 17, 18 y 21). En dos hubo seis o más errores (12 y 13). No hubo ninguna actividad que todos contestaran mal. Entre los errores más comunes, podemos destacar: a) Al contar los resultados posibles, no toman casos distinguibles, dejando fuera varios de ellos. Por ejemplo, al tirar dos monedas iguales (en el diagnóstico), en el ejercicio 2 y en el 22 (cuatro hijos), en el 13 (tirar tres veces un dado). b) Al tirar dos o más dados, o dos o más monedas, toman como casos posibles la suma de los casos posibles de cada experiencia pensada como independiente, por ejemplo, doce casos posibles al arrojar dos dados. Otras situaciones de error detectadas fueron: Mala interpretación de la información dada en una tabla, por ejemplo en el ejercicio 7, que generó mucha discusión; no entendían la información que les daba la tabla. Allí, para calcular la probabilidad de que sea una pregunta de his-

toria, tomaban 1 de 4, lo mismo para el ítem b). En el 6, incluían en la tabla los datos de cada carta. Algunos comentarios: a) En el ejercicio 19, algunos consideraron al 1 como número primo, otros no. b) En ejercicios donde se les pedían condiciones simultáneas, algunos intentaron calcularlas de manera independiente, dando dos respuestas. c) En el ejercicio 2, algunos grupos no tomaron en cuenta la condición. Estrategias que usaron los alumnos: a) En general observamos que, si se equivocaban en la forma de contar en algún ítem, seguían contando de la misma manera en los demás. b) Muchos trabajaron con diagramas de árbol y algunos con tablas, para plantear los casos. Algunos escribieron exhaustivamente los casos posibles. La actividad planteada respecto del enfoque frecuencial fue el armado de tablas de números al azar, eligiendo la estrategia (entre las presentadas) para armarlas. Luego usaron las tablas para “simular” las experiencias de varias de las actividades resueltas, comprobando que la frecuencia relativa era bastante próxima al resultado teórico. Incluso un grupo propuso calcular la frecuencia usando “todas las tablas juntas” como una sola, obteniendo una buena aproximación para un número de casos bastante mayor. La actividad les resultó novedosa y generó mucha participación. Etapa de evaluación final Ejercicio 1 A. En esta actividad hubo dos interpretaciones de la consigna: Los que contestaron que no, pensaron la pregunta referida a los dígitos, y contestaron, por ejemplo: • Como hay igual probabilidad de que salga cualquier dígito, deberían estar todos representados en los distintos grupos.

• No, porque en cada cuadro de la tabla de números al azar están los números del 1 al 6. • No puede ser porque la probabilidad de que caiga un número es de y tirando 400 números es imposible que no salga ni una vez. Los que contestaron que sí, pensaron la pregunta referida al total de números que aparecían en la tabla, por ejemplo: • Sí, porque como la tabla es de números al azar, puede haber números que no hayan salido (tirando dados por ejemplo) o porque un número solo esté repetido en los grupos. • Puede ser porque 400 no es múltiplo de 3. • Sí, porque los grupos están formados por números del 1 al 6 y por ejemplo el 7 no está. B. Distintos equipos usaron diferentes estrategias para los agrupamientos. Hubo variadas respuestas respecto del número de grupos, pero paridad entre los dos casos en la mayoría de los equipos. C. Gana Sofía: 1; Igual probabilidad: 22; Gana Manuel: 2. D. Casi todos los equipos usaron la información del punto anterior, incluso para argumentar a favor de la respuesta incorrecta, por ejemplo, el que eligió Gana Sofía, había obtenido seis grupos con “123” y dos con “256”. Algunos contestaron que no, porque les debía dar la misma probabilidad y no habían obtenido el mismo número de grupos. Aquí detectamos que si bien usaron la tabla correctamente, la mayoría esperaba el mismo número de grupos para cada uno de los resultados. Esto muestra que no asimilaron con total corrección la noción de frecuencia relativa en relación a la probabilidad.

E. Posibles formas de hacer el sorteo: Tiramos tres veces un dado; tiramos tres veces una perinola; se meten en un sombrero papelitos numerados del 1 al 6, se sacan tres papelitos; usando tablas de números al azar; con una ruleta; con los números boca abajo en una mesa. Ejercicio 2 Algunos armaron los juegos donde cada jugador repetía el mismo esquema de juego, por lo tanto con la misma probabilidad de ganar, por ejemplo: Juego 1: Todos los jugadores deben tirar los dos dados y gana el que obtiene un 1 en cualquiera de los dos dados (probabilidad

). En caso de que más de

un jugador obtenga un 1, estos vuelven a tirar los dados y gana el que obtiene el número más alto, y así hasta que se llegue a un desempate. Tiene la misma probabilidad porque los cuatro jugadores tiran los dos dados, en los que hay números del 1 al 6. Juego 2: Hay dos grupos, el azul y el rojo; cada persona tira el dado de su color una vez. Gana el que tira el número más alto. La probabilidad es igual porque todos tienen la misma probabilidad de que salga el número mayor. Juego 3: Hay un tablero y cada chico tiene dos fichas de color azul y rojo; el que llegue más rápido al casillero de salida es el ganador. ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? Hay la misma probabilidad porque los cuatro chicos tienen la posibilidad de tirar los dos dados y sacar dos números de doce. Otros calcularon los casos posibles de tirar dos dados y los repartieron entre los cuatro jugadores. Por ejemplo: Juego 4: El primer chico ganará si el dado rojo sale 1 o 2. Si sale 2, el azul tendrá que ser un número menor que 4. El segundo chico ganará si sale 3 o 2 en el dado rojo. Si sale 2, tendrá que salir en el colorado un número mayor que 3. El tercer chico ganará si sale 4 o 5 en el dado rojo. Si sale 5, tendrá que salir en el azul un número menor que 4. El cuarto ganará si sale 6 o 5 en el dado rojo. Si sale 5, tendrá que salir en el azul un número mayor que 3.

Juego 5: Cada jugador tira dos dados. Si salen dos números pares, gana el jugador 1; si sale par rojo, impar azul, gana el jugador 2; si salen 2 números impares, gana jugador 3; si sale impar rojo y par azul, gana el jugador 4. Todos tienen la misma probabilidad de ganar, ya que hay solo cuatro posibilidades y en los dados hay la misma posibilidad de que salga impar. Ejercicio 3 A. Respuesta i: Tres grupos, que argumentan que los casos favorables siempre son menos que los posibles. Respuesta iii: Veinte equipos. Algunas justificaciones: • Igual cantidad de casos posibles y verdaderos. • Si tiro una moneda con dos caras, siempre va a caer cara. • Por ejemplo la probabilidad de sacar una bolita roja de una bolsa con 10 bolitas rojas es de 100%, porque no hay posibilidad de no sacar una bolita roja. • Porque si lanzamos una piedra hacia el cielo es seguro que va a caer (100% de probabilidad). Respuesta iv: Dos equipos (uno de ellos dice: “porque la probabilidad está siempre entre 0 y 1. Además puede ser que te salga el entero o menos que el entero”, lo cual es un argumento a favor de la iii). B. Respuesta i: Siete equipos. No tienen en cuenta que puede salir por ejemplo 2-3 y 3-2. Lo consideran un solo caso. Respuesta iii: Dieciséis equipos. Dedujeron por tabla o esquema que hay nueve casos posibles e identificaron los pares. Respuesta iv: Dos equipos. Justifica su respuesta en la formación del 6. Ejercicio 4 Problemas asociados con juegos: Problema 1: Cuatro chicos juegan a tirar dos dados: uno azul y uno rojo. Raúl apuesta $5 a que saldrá 1, 2 o 3 en el dado rojo. Jorge apuesta $5 a que sal-

drá 1, 2 o 3 en el dado azul. Leo apuesta $5 a que saldrá 4, 5 o 6 en el dado rojo. Migue apuesta $5 a que saldrá 4, 5 o 6 en el dado azul. ¿Es justo que apuesten lo mismo? ¿Por qué? Problema 2: Tirar un dado y una moneda, y gana el que obtiene un número par en el dado y ceca en la moneda. Calcular la probabilidad de ganar. Problemas relacionados con tablas de números al azar: Problema 3: Generar cincuenta números con la calculadora con la cifra 316259 y contar cuántos son pares y cuántos impares. Problemas de cálculo de probabilidades: Problema 4: Si tenés un dado y lo tirás, ¿cuál es la probabilidad de obtener número par? Problema 5: Hay una bolsa de bolitas. Dentro de la bolsa hay cuarenta bolitas rojas, cinco naranjas y cinco azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita naranja? ¿Por qué? Problema 6: Se eligen dos números del 1 al 10, después los suman, ¿cuál es la probabilidad de que sea un número par? Problema 7: Se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea par y mayor que 6? Evaluación de la autonomía intelectual En la etapa diagnóstica

En la evaluación final

7. CONCLUSIONES ••• Durante la implementación de la propuesta, se notó un ambiente participativo y cordial. Si bien al principio los alumnos no estaban totalmente de acuerdo con la selección de quiénes formaban parte de cada equipo, a lo largo de las tres semanas se vio una creciente integración dentro de cada grupo. En todos los casos, los alumnos decidieron el reparto de roles y no los cambiaron posteriormente. Además, había preocupación para que cada uno desempeñara su rol correctamente. Por ejemplo, en uno de los grupos, el experto trabajó en casa con su papá; los organizadores estaban pendientes del orden dentro del grupo, y los alentadores de los tiempos. También prestaron atención a que todos participaran y entendieran.

Queremos mencionar algunas transferencias realizadas por los alumnos: uno de ellos, que debía hacer una lectura en un programa de radio de la escuela, se dio cuenta de que el cuento “Los crímenes de la calle Morgue”, de Edgar Allan Poe, mencionaba el tema de probabilidades, y lo comentó con la profesora. Otro alumno, en general poco aplicado, relacionó los primeros ejercicios con situaciones similares que aparecen en la película Black Jack. Les llamó la atención que la evaluación fuera por equipos, y que no hubiera una evaluación individual. Creemos que esto fomenta la integración social entre los alumnos, e implica implementar nuevas formas de evaluación, que sean coherentes con el tipo de trabajo propuesto. Al comenzar el trabajo, algunos alumnos consultaban al docente, mientras que en la evaluación final trabajaron de manera totalmente independiente; cada equipo trabajó sin consultar ni pedir nada ni al docente ni a los otros equipos. Este avance se fue dando en forma progresiva. Se sintieron libres de crear, tanto cuando debían buscar soluciones como a la hora de plantear problemas o juegos y de presentar los resultados. También interpretaron libremente las consignas, en general con buen criterio, aun cuando algunas se prestaban a diferentes interpretaciones. Dado que para favorecer la autonomía intelectual es fundamental el intercambio de puntos de vista, tratamos de fomentar esto en todas las ocasiones posibles. En las puestas en común hubo debates con autonomía donde cada equipo trataba de convencer a los otros con sus argumentos. Incluso, en los recreos algunos alumnos seguían discutiendo sobre preguntas de la propuesta. Comparando las tablas de evaluación de la autonomía intelectual en las etapas diagnóstica y de evaluación final, notamos que mejoraron: a) mucho: la independencia en la toma de decisiones y la aptitud de escuchar a los demás y comprender sus puntos de vista; b) medianamente: la insistencia en la búsqueda de una solución que no es aparente de inmediato; c) poco: la originalidad de enfoque y presentación, la redacción clara y precisa, la capacidad de argumentar en favor de su propuesta (en este caso, el cambio fue en la capacidad de argumentar y no en la redacción).

Se mantuvo sin cambio la aplicabilidad y el realismo de los resultados propuestos. Si bien esta evaluación es subjetiva, creemos que los alumnos han avanzado en su autonomía, lo cual es importante considerando que es una primera propuesta cuya implementación duró tres semanas. De hecho, los alumnos preguntaron si iban a continuar trabajando de la misma manera, lo que indica que se sintieron cómodos al hacerlo. Respecto del análisis de los principales errores detectados, en los tres casos creemos que responden a causas diferentes: 1. Al contar los resultados posibles, no toman casos distinguibles, dejando fuera varios de ellos. Si bien es cierto que los alumnos lograron llegar a la fórmula laplaciana, muchos de ellos (especialmente en los casos más complicados de cálculo de probabilidades) persisten en asignar equiprobabilidad a situaciones que no lo son. Este error, bastante común por cierto incluso en los adultos, debe ser trabajado con ellos desde las diferentes situaciones donde se presentan. De hecho, creemos que retomar la discusión entre los grupos (dado que varios de ellos analizaron las situaciones correctamente) puede ser una buena estrategia para que aquellos que aún no lo lograron finalmente puedan llegar a la noción correcta. 2. Al tirar dos o más dados, o dos o más monedas, toman como casos posibles la suma de los casos posibles de cada experiencia pensada como independiente. Esto se da en algunos pocos casos; aquí creemos que la estrategia apropiada es, además de la anterior, trabajar en grupos reducidos con aquellos alumnos que persisten en el error. 3. El hecho que no asimilaron con total corrección la noción de frecuencia relativa en relación a la probabilidad, creemos, tiene más relación con el poco trabajo realizado en esta dirección. Probablemente la propuesta fue demasiado abarcativa para el tiempo de implementación. La estrategia en este caso sería plantear más cantidad de problemas utilizando tablas de números al azar.

La estrategia de enseñanza por resolución de problemas resultó una herramienta valiosa para que los alumnos recrearan en clase el “hacer matemática”. Ellos se sintieron cómodos, igual que los docentes. Pudieron discutir, compartir sus razonamientos y ser los verdaderos actores de la clase. Agradecemos a las autoridades de los colegios Cardenal Newman y Plácido Marín la posibilidad de implementar nuestra propuesta, y al profesor Andrés Smithuis su colaboración.

8. ANEXO - PROPUESTA ••• Etapa diagnóstica: Se trabajó primero una instancia conjunta para revisar el contenido “fracciones” con la siguiente actividad (Propuesta Actividad 1): Se repartieron las tarjetas. Un alumno comienza leyendo su pregunta, el que tiene la respuesta avisa y pasa a leer su pregunta, y así sucesivamente.

Se les presentó a los alumnos la siguiente actividad (Propuesta Actividad 2) para resolver en grupo, con el objeto de analizar tanto su autonomía frente a problemas relacionados con un contenido nuevo, como sus conocimientos y errores asociados con dicho contenido. De esta actividad no hubo puesta en común, ya que se la considera prueba diagnóstica. Se retomará al final de la propuesta. LECTURA Cuando soltamos una piedra, y sabemos que va a caer al suelo, cuando queremos saber qué día de la semana caerá este año nuestro cumpleaños, estamos

pensando en experiencias (o sucesos) que llamamos deterministas. Son aquéllos en los que sabemos cuál será el resultado, sin necesidad de hacer la experiencia. Hay otros sucesos de los que no sabemos cuál será, de todos los posibles resultados, el que realmente va a ocurrir. Decimos que estos sucesos son aleatorios; es decir, dependen del azar. Por ejemplo, el resultado al arrojar un dado, o una moneda, e incluso saber si mañana va a llover o no. A estos sucesos, muchas veces, les podemos asignar una probabilidad, así como el Servicio Meteorológico Nacional estima la probabilidad de que mañana llueva. En el lenguaje usual se usan a menudo expresiones que tienen que ver con la probabilidad. Por ejemplo, es muy probable que llueva porque está muy nublado. ACTIVIDAD 1: Escriban frases que contengan las siguientes expresiones: 1. poco probable 2. seguro 3. posible 4. muy probable 5. imposible Pasen las frases a otro equipo, para que éste decida si coincide con cómo usaron las expresiones en cada frase. ACTIVIDAD 2: Hay algunos ejemplos, entre las situaciones que dependen totalmente del azar, en que resulta sencillo asignar probabilidades. Por ejemplo, al tirar una moneda, la probabilidad de que salga cara es del 50% (o ½), de la misma manera que la probabilidad de que salga ceca es del 50% (o ½). En otros ejemplos puede ser un poco más complicado calcular probabilidades. Traten de calcular las siguientes probabilidades:

1. 2. 3. 4. 5.

que salga un 6 al tirar un dado que salga un número par al tirar un dado obtener el as de espadas al sacar al azar una carta de un mazo de truco que salgan dos caras al tirar juntas dos monedas iguales que salgan dos caras al tirar juntas dos monedas distintas

Expliquen en cada caso cómo lo pensaron. ACTIVIDAD 3: Esta ventana de vidrio está hecha con vidrios de colores y vidrios transparentes. Si una pelota de golf accidentalmente golpea la ventana, ¿qué probabilidad hay de que rompa un vidrio de color? Expliquen cómo lo calcularon.

ACTIVIDAD 4: Todos los dibujos de la página siguiente te muestran unos caminos por los que soltamos hacia abajo unas bolitas. Cuando el camino se bifurca, las bolas toman unas veces un camino y otras veces el otro (al azar). En cada caso, si tiramos 1000 bolitas, ¿cuántas creen que llegarán a cada salida? Si tiramos una sola bolita, ¿qué probabilidad tendría de salir por cada una de las salidas?

Etapa de desarrollo: En esta etapa los alumnos trabajaron en grupos, resolviendo la propuesta de actividades guiadas. Las actividades fueron armadas para que los alumnos lograran construir la noción de probabilidad. Por un lado, desde un enfoque laplaciano, esto es, un enfoque consistente en reconocer todos los resultados posibles (espacio muestral) y las situaciones de equiprobabilidad (para poder contar): llegar a la fórmula de Laplace como medida de la probabilidad. Por el otro lado, desde un enfoque frecuencial, es decir, trabajando con tablas de números al azar generadas por los mismos alumnos. Después de cada una de las actividades se realizó una puesta en común con los alumnos. Propuesta Actividad 3 1) Nicolás tiene 2 dados equilibrados. Uno de los dados posee los números 2, 4, 6 y 8. El otro, los números 2, 3, 4 y 5. Nicolás tira los dos dados al mismo tiempo y suma los números de ambas caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma par? Mostrá tu razonamiento.

2) En esta tabla aparece la información de los alumnos de una clase de 2 ES.

El profesor elige un alumno de este curso al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea mujer? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea zurdo? c) El profesor elige un alumno al azar y le dice a la clase que el elegido es zurdo. ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea varón? 3) Una perinola tiene sus caras con los números 1 al 4. La probabilidad de obtener un 4 es 0,1. La probabilidad de obtener un 1 es 0,6. La probabilidad de obtener un 2 es la misma que la de obtener un 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3? 4) En una bolsa solo hay bolitas rojas, azules y verdes. a) Rosario va a sacar una bolita al azar. Completá la siguiente tabla:

b) Antes de sacar una bolita de la bolsa, Rosario coloca una bolita azul extra. ¿Cuál es el efecto que produce esto al calcular la probabilidad de obtener una bolita roja? Elegí la respuesta correcta y justificá: i) La probabilidad de sacar una bolita roja aumenta.

ii) La probabilidad de sacar una bolita roja disminuye. iii) La probabilidad de sacar una bolita roja se mantiene igual. iv) Es imposible determinar la probabilidad de sacar una bolita roja. Propuesta Actividad 4 5) Soledad olvidó la clave de la alarma de su casa. Esta clave está formada por una letra seguida de un dígito, por ejemplo D2.

Soledad recuerda que la clave correcta empieza con C, aprieta la tecla C y luego elige cualquier dígito. ¿Cuál es la probabilidad de que Soledad pueda abrir la puerta? 6) Rosario y Tomás tienen 3 cartas, cada una de las cuales tiene un número: 2, 3 y 4. Cada uno elige una de sus cartas, y luego suman los números elegidos. En esta tabla están los posibles resultados:

¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea un número par? ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea un número menor que 6? 7) Una caja contiene tarjetas con una pregunta en cada una. Hay cuatro categorías de preguntas. Cada categoría tiene preguntas fáciles y preguntas difíciles. La tabla muestra la probabilidad de sacar de la caja una pregunta al azar. a) Voy a sacar una tarjeta de la caja. i) ¿ Cuál es la probabilidad de que sea una pregunta de historia? ii) ¿ Cuál es la probabilidad de que sea una pregunta fácil? b) Si en la caja hay 40 cartas, ¿cuántas de estas preguntas son de música?

8) En un juego con dados numerados de 1 a 6, un jugador tira 2 dados equilibrados, uno rojo y otro azul. El puntaje que se tendrá en cuenta es el mayor de los números que aparezca al tirar los dos dados. Por ejemplo si en el dado rojo sale 2 y en el azul sale 4, el puntaje será 4. a) Armá una tabla para mostrar todos los resultados posibles de este juego. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 6? Propuesta Actividad 5 9) Estas dos ruletas se hacen girar simultáneamente, se suman los puntos obtenidos en cada una.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 5?

10) Se lanzan dos dados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números de las caras sea 12? 11) Cuatro cajas contienen, cada una, una bolilla roja (r) y una bolilla blanca (b). Se saca una bolilla de cada urna al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 bolillas rojas y una blanca? 12) Suponiendo que la probabilidad del nacimiento de un varón sea la misma que la del nacimiento de una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que, en una familia con cuatro hijos, las cuatro sean mujeres? 13) Se tira tres veces un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que dos veces haya salido par y una impar? 14) De una familia con tres hijos, ¿cuál es la probabilidad de que dos sean varones y una mujer? 15) Carolina y Marcos juegan con un dado con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál de estas apuestas te parece justa? Explicá por qué: a) Ambos jugadores apuestan $10. Gana Marcos si sale par, gana Carolina si sale impar. b) Marcos apuesta $15 y Carolina apuesta $10. Gana Marcos si sale 1, 2 o 3; gana Carolina si sale 4, 5 o 6. c) Marcos apuesta $10 y Carolina el doble. Gana Marcos si sale 1 o 2 y Carolina si sale 3, 4 , 5 o 6.

Propuesta Actividad 6 16) ¿Cuál es la probabilidad de obtener oro al sacar una carta de una baraja española? 17) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar tres monedas? 18) La probabilidad de un suceso de un experimento aleatorio, ¿puede ser 1,5? ¿Por qué? 19) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al tirar un dado? 20) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y una ceca al tirar dos monedas al aire? 21) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados sea múltiplo de 3? 22) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia con cuatro hijos tenga dos hijos de cada sexo? 23) Este es el dibujo de una ruleta con forma de octógono regular. Escribí los números 1, 2 y 3 de tal forma que 1 y 2 tengan la misma probabilidad de salir al girar la ruleta y que 3 tenga menor probabilidad de salir que 1 y 2.

Propuesta Actividad 7 Los alumnos armaron tablas de números al azar, utilizando distintos métodos: Tirando un dado y anotando los resultados, armaron tablas de números al azar del 1 al 6, de 400 o 500 números. Tirando una moneda, generaron tablas de 0 y 1. Armaron tablas del 0 al 9, con el siguiente método [L.Santaló, 1993]: se elige un número cualquiera de 6 cifras, se lo eleva al cuadrado, del resultado se toman las seis cifras del medio (que van a la tabla), luego se vuelve a elevar este número al cuadrado, y se eligen las seis cifras del medio. Luego intercambiaron las tablas, y las usaron para analizar resultados obtenidos en el cálculo de probabilidades con las frecuencias relativas obtenidas a partir de las tablas (por ejemplo, de obtener un número par al tirar un dado, etc.) Etapa de evaluación: En esta etapa los alumnos trabajaron en grupos; el diagnóstico se armó combinando actividades nuevas y retomando algunas de la etapa de desarrollo (Propuesta Actividad 8). Ejercicio 1 A. En la tabla de números al azar del 1 al 6, armen todos los grupos de tres números que puedan. De los grupos que armaron, encierren con color aquellos que cumplan la condición de que cada número esté en un solo grupo. B. ¿Puede ser que algunos números no estén en ningún grupo?¿Por qué? C. Cuenten cuántos grupos quedaron formados. Cuenten cuántos grupos tienen el 1, el 2 y el 3. Cuenten cuántos grupos tienen el 2, el 5 y el 6. Anoten los resultados. D. Analicen el siguiente juego: Se eligen tres números entre 1 y 6. Luego se hace un sorteo al azar y gana aquél que eligió los tres números sorteados.

Sofía elige 1, 2 y 3, y Manuel elige 2, 5 y 6. ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? a. Sofía b. Manuel c. Ambos tienen la misma E. ¿Pueden usar la información que hallaron en “C” para justificar la respuesta que eligieron en D? ¿Cómo? F. Encuentren por lo menos dos maneras distintas de hacer el sorteo. Ejercicicio 2 A. Inventen un juego donde haya que tirar dos dados (uno rojo y uno azul), en el que participen cuatro chicos y todos tengan la misma probabilidad de ganar. B. Expliquen por qué todos tienen la misma probabilidad de ganar. C. Pasen el juego (no la explicación) a otro grupo para que ellos analicen si está bien armado y si es cierto que todos tienen la misma probabilidad de ganar, y analicen el juego que les pase otro grupo. Ejercicio 3 Elijan para cada una de las afirmaciones la respuesta correcta. Expliquen por qué la eligieron, en cada caso: A. La probabilidad de un suceso siempre es menor al 100%. i. Verdadera, porque 100% es igual a 1 y la probabilidad siempre es menor que uno. ii. Falsa, porque la probabilidad no se puede expresar como porcentaje. iii. Falsa, porque 100% es igual a 1 y la probabilidad puede ser 1 (suceso seguro). iv. Verdadera, porque la probabilidad siempre está entre 0 y 1. B. En el ejercicio donde Rosario y Tomás tienen tres cartas con los números 2, 3 y 4, cada uno elige una de sus cartas, y luego suman los números elegidos.

La probabilidad de que la suma sea un nĂşmero par es i. Verdadero, porque los posibles resultados son 4, 5, 6, 7 y 8, y los pares son 4, 6 y 8. ii. Verdadero, porque cada uno tiene tres cartas. iii. Falso, porque la probabilidad es . iv. Falso, porque los posibles resultados son 4, 5, 6, 7 y 8, y no tienen todos la misma probabilidad. Ejercicio 4 A. Inventen un ejercicio o problema sobre probabilidades, para que otro de los grupos lo tenga que resolver. B. Antes de pasarlo al otro grupo, escriban cĂłmo lo resolverĂan ustedes.

9. ANEXO - TRABAJO DE LOS ALUMNOS •••

10. BIBLIOGRAFÍA ••• Los CBC y la enseñanza de la Matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997. Casas, Evaluación de capacidades y valores en la sociedad del conocimiento. Perspectiva didáctica, Santiago de Chile, Arrayán Editores, Chile, 2006. Friend., M. y Bursuck, W., Alumnos con dificultades. Guía práctica para su detección e integración, Buenos Aires, Troquel, 1999. G. Rodríguez, Evaluación en Matemáticas. Una integración de perspectivas, Joaquín Jiménez Rodríguez, Educación Matemática en Secundaria - Síntesis, 1997. Miguel de Guzmán, Tendencias innovadoras en educación matemática, OMA, 1992. Gysin, La enseñanza de la noción de probabilidad, disponible en Universidad Virtual de Quilmes, Universidad Nacional de Quilmes, 2000. Kamii, Reinventando la aritmética II, Madrid, Aprendizaje Visor, 1994. Cuenca, Pascual Pérez., Actividades de probabilidad para la enseñanza primaria, en Revista UNO, nro. 5, GRAO, julio de 1995. Santaló, Luis A., Matemática 2, Buenos Aires, Kapelusz, 1993.