66
MATEMATICA 2 ARCOS E ANGULOS 1. (Fgv 2016) As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e BC se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir.
c) 45° d) 60° e) 80° 3. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é
5 2 3 b) 2
a)
c) 2 d) A medida do ângulo BPD, indicado na figura por , é igual a a) 120. b) 124. c) 128. d) 130. e) 132.
4 3
e) 3 4. (G1 - ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é
2. (Fgv 2013) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B ˆ = 60. e E, respectivamente, e BAE
a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66. Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo ˆ indicada na figura por α, é igual a BEC, a) 20° b) 40°
5. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E,
67 respectivamente. DADOS: - O é o circuncentro do triângulo ABC ˆ = 50 - med(ACD) ˆ e BDC ˆ são retos - BEC - FG é o diâmetro da circunferência de centro O
A medida do menor arco BE na circunferência construída é a) 72°. b) 108°. c) 120°. d) 135°. e) 144°.
ˆ A medida do ângulo AFG, em graus, é igual a a) 40 b) 50 c) 60 d) 70
8. (G1 - cftmg 2017) A figura a seguir mostra uma circunferência, em que os arcos ADC e AEB são congruentes e medem 160 cada um.
6. (G1 - cftmg) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° 7. (G1 - epcar (Cpcar) 2018) Considere a figura e os dados a seguir:
A medida, em graus, do ângulo x, é a) 10. b) 20. c) 30. d) 40. 9. (Eear 2016) Duas cordas se cruzam num ponto distinto do centro da circunferência, conforme esboço.
68 b) A deu 4 voltas no sentido horário e
A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a medida do arco x é a) 40 b) 70 c) 110 d) 120 10. (Uerj) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.
parou no III quadrante. c) B deu 2 voltas completas no sentido
anti-horário e parou no I quadrante. d) B deu 2 voltas completas no sentido
horário e parou no I quadrante. e) independente do número de voltas,
os móveis A e B pararam no primeiro quadrante. 2) Os arcos AP e AQ, representados no ciclo trigonométrico na figura, são simétricos em relação à origem.
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando đ = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: a) 100 b) 110 c) 120 d) 130
CIRCULO TRIGONOMÉTRICO
Se o arco AQ mede 294°, o arco PS mede a) b) c) d) e)
114° 156° 164° 204° 246°
3-
1
a) A deu 4 voltas no sentido anti-
horário e parou no I quadrante.
De acordo com esse modelo, é correto afirmar que, nos anos em que o índice de criminalidade atinge seu valor máximo, as despesas com ações de combate ao crime
69 atingem seus valores mínimos. apresentam sempre o mesmo
a) b)
valor. estão em fase de redução. estão em fase de crescimento. também atingem seus valores máximos. c) d) e)
4) No ciclo trigonométrico de centro O, representado na figura, os ângulos PÔB e QÔS são congruentes, e o arco AP, tomado no sentido anti-horário, mede 164°.
Sabendo-se que Maurício efetuou todos os cálculos corretamente, quantas expressões ele marcou se os cinco primeiros números sorteados foram 0, 2, 1, 3⁄4 e -1? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6) Considere a progressão aritmética representada pela sequência
Se todos os termos dessa PA forem representados num círculo trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices de um
5) Em uma aula de Trigonometria, o professor entregou a cada aluno uma cartela com seis expressões trigonométricas. Como em um bingo, os alunos deveriam calcular o valor de cada expressão e marcá-la em suas cartelas, quando o número correspondente ao seu resultado fosse sorteado pelo professor.
A cartela que Maurício recebeu está representada a seguir.
a)
pentágono (5 lados).
b)
hexágono (6 lados).
c)
octógono (8 lados).
d)
decágono (10 lados).
e)
dodecágono (12 lados).
7) Considere as funções f(x) 2cosx e g(x) 1+ 4 cos x , ambas de domínio real. No intervalo [0; 2π ] , um dos valores de x que satisfaz a igualdade f(x) g(x) é a)
π⁄6
b)
π⁄3
c)
2π ⁄ 3
d)
5π ⁄ 6
e)
5π ⁄ 3
70 8) Quantas soluções há na equação tg(3x) = 1
15 4
e)
para x no intervalo 3. (Upe 2015) Num triângulo retângulo, temos que tg x = 3. Se x é um dos ângulos agudos desse triângulo, qual o valor de cos x ?
a) 4. b) 5. c) 1. d) 3. e) 6.
a)
1 2
b)
5 10
2 2 1 d) 4 10 e) 10
c) 9) Se sen x = 0,8 e , então, quanto vale sen(2x) ? a) 0,65. b) 1,6. c) 0,55. d) 0,96. e) 0,72.
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMETRICAS 1. (G1 - ifal 2016) determinante abaixo:
4. (Unifor 2014) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de subir e descer.
O valor do
cos x −sen x é: sen x cos x
a) b) c) d)
1. cos 2x. sen 2x. tg 2x.
e) cos2 x − sen2 x. 2. (Ucs 2015) Qual é o valor de sen(2α ) π α π. 2 Dado: para todo número real x vale a
para α tal que sen(α ) = identidade sen(2x) = 2sen(x)cos(x).
15 4 15 b) − 8
a) −
c) d) −
15 8 3 4
1 4
e
trigonométrica
A altura y que a cama varia em função de θ é de: a) y = 2 senθ b) y = 2 senθ + 2 c) y = tgθ + 2 d) y = 2 cos θ e) y = 2 cos θ + 2 5. (Unicamp 2018) Seja x um número real tal que sen x + cos x = 0,2. Logo, | sen x − cos x | é igual a a) 0,5. b) 0,8. c) 1,1. d) 1,4. 6.
(Ueg
2016)
Sabendo-se
que
1 sen(x) = e que x é um ângulo do 1º 2
quadrante,
o
valor
da
expressão
71 sen(4x) − cos(4 x) é
3 −1 2
a) 1 b) 2
3 +1 2
c)
a) -1
( 3) b) 3 3
(2 3 ) 3
8. (G1 - ifce 2016) O valor de cos(105) é
c) d) e)
A expressão
2
é igual a a) cos(a2 + b2 ) b) sen(b2 ) c) cos(a2 ) d) sen[(a + b) (a − b)] e) cos[(a + b) (a − b)]
1. (Pucrs 2016) Se x , então a equação cos(x) = cos( −x) apresenta o conjunto solução a) b) [ −1; 1] c) [0; + ) d) ( −; 0] e) {−1, 0, 1}
e) 1
b)
2
FUNÇÕES E EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS
3
3 . 2 2+ 4 2− 2 2+ 2 2− 4
2 ( 621 − 1) 50
cos(a − 2b ) cos(b ) − sen(a2 − 2b2 ) sen(b2 )
1 , onde x ∈ 3 (0,ð) então o valor de y = sen ( 3x ) − sen ( x ) é: cos ( 2x )
a)
d)
2
7. (Uel 2009) Se cos(2x) =
d)
2 (1 − 621) 50
10. (Mackenzie 2013)
d) 2
c)
c)
2.
(Pucrj
2016) Sabendo que cos(3x) = −1, quais são os possíveis valores para cos(x)? 1 e −1 2 3 1 b) e 2 2 1 c) e1 2 d) −1 e 5
a) 6 6
6 6
. .
.
e) 0 e .
3. 9. (Ueg 2015)
Considerando-se que
2 sen(5) = , tem-se que cos(50) é 25
a)
2 ( 621 + 2) 50
b)
2 ( 621 − 2) 50
3 2
(Pucrs
2015)
tan(x) = cot(x) em
valor de x é a) −1 b) 1 c)
π 3
Na
equação
, onde 0 x
π , o 2
72 π 4 π e) 6
b) c) d) e)
4. (Ufjf-pism 2 2015) No processo de calcular o ângulo x formado entre duas avenidas transversais, um engenheiro obteve a seguinte equação 3 sen x = sen x. Sabendo que x não excede 180, é CORRETO afirmar que: a) x = −1 b) x = 0 c) x = 1
8. (G1 - ifal 2017) Em física, a posição de uma partícula pontual em um oscilador harmônico é dada pela função trigonométrica abaixo:
d)
π 2 3π e) x = 2
d) x =
5. (Pucrj 2017) Considere a equação sen (2θ) = cos θ.
Assinale a soma de todas as soluções da equação com θ [0, 2π]. a) b) c) d) e)
2π 3 π 3 3π 2 π 6 3π
6. (Mackenzie 2017) O número de soluções que a equação 2 4 cos x − cos2x + cos x = 2 admite no intervalo [0, 2π] é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 7. (Ufrgs 2016) Considere as funções f e g definidas por f(x) = sen x e g(x) = cos x.
O número de raízes da equação f(x) = g(x) no intervalo [ −2π, 2π] é a) 3.
4. 5. 6.
7.
x = A cos φ
Onde: x é a posição da partícula, A é amplitude de oscilação e φ é a fase. Considerando que a amplitude de oscilação é de 4 cm qual a posição da partícula quando a fase é a) b) c) d) e)
2π radianos? 3
−4 cm. −2 cm. 0. 2 cm.
4 cm.
9. (Mackenzie 2017) Os valores de x (x ), para os quais a função 1 π tg 3x − não é definida, são 3 4 a) π + kπ, k f(x) =
π + kπ, k 2 3π + kπ, k c) 4 π d) + kπ, k 4 π kπ e) + , k 4 3
b)
10. (Enem 2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura. Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I(x) = k sen(x) sendo k uma constante, e supondo-se que x está entre 0 e 90.
73
Quando x = 30, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo? a) 33% b) 50% c) 57% d) 70% e) 86% 11. (Fuvest 2018)
A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a a) 160. b) 175. c) 180. d) 170. e) 155. 2. (Unicamp 2018) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) = sen (x) e que a linha contínua represente o gráfico da função g(x) = αsen (βx), segue que a) 0 α 1 e 0 β 1. b) α 1 e 0 β 1. c) α = 1 e β 1. d) 0 α 1 e β 1. e) 0 α 1 e β = 1. AREAS DE FIGURAS PLANAS 1. (Unesp 2018) A figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano.
a é b
igual a
a) 3 + 1. b) 2 + 1. c) 3. d) 2. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O trapézio retângulo ABCD da figura representa a superfície de um reservatório de água. Na figura, tem-se que:
74 b) 20 m2 . c) 21m2 . d) 24 m2 .
AB = 20 m; CD = 15 m; AD = 12 m;
ˆ é reto. o ângulo DAB
5. (Ufjf-pism 3 2017) A área do triângulo de vértices A(4, 5), B(1, 2) e C(3, 2) é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 6. (Eear 2017)
3. (G1 - cps 2018) Admita que, a cada metro quadrado da superfície desse reservatório, 3 litros de água evaporem por dia. Em um dia em que a variação da quantidade de água dependeu apenas da evaporação, o reservatório perdeu N litros de água. O valor de N é a) 360. b) 480. c) 540. d) 630. e) 720. 4. (G1 - ifsul 2017) As medidas do comprimento e da altura (em metros) do outdoor retangular, representado na figura abaixo, são exatamente as soluções da equação x2 − 10x + 21 = 0.
Dessa forma, é correto afirmar que a área desse outdoor é a) 10 m2 .
Na figura, O é o centro do semicírculo de raio r = 2 cm. Se A, B e C são pontos do semicírculo e vértices do triângulo isósceles, a área hachurada é _____ cm². (Use π 3,14) a) 2,26 b) 2,28 c) 7,54 d) 7,56 7. (Ufjf-pism 1 2017) Marcos comprou a quantidade mínima de piso para colocar em toda a sua sala que tem o formato abaixo e pagou R $ 48,00 o metro quadrado.
Quanto ele gastou comprando o piso para essa sala? a) R $ 288,00
75 b) c) d) e)
R $ 672,00 R $ 1.152,00 R $ 1.440,00 R $ 2.304,00
b) c) d) e)
0,2275. 0,3343. 0,6331. 0,7371.
8. (G1 - ifal 2018) Um cliente deseja revestir o piso de sua sala retangular de dimensões 6 m por 4 m, com uma cerâmica de sua escolha, no formato quadrado com lado 45 cm, cada pedra da cerâmica. Sabendo que cada caixa da cerâmica em questão possui 10 pedras, o profissional que irá realizar o serviço deve solicitar ao seu cliente a compra de, no mínimo, quantas caixas? a) 2. b) 6. c) 11. d) 12. e) 65.
10. (G1 - ifal 2018) No centro de uma praça retangular de dimensões 40 metros e 60 metros, é construída uma fonte circular de raio 8 metros, único lugar da praça em que as pessoas não podem entrar. Qual a área da praça a que as pessoas podem ter acesso? (considere π = 3,14)
9. (G1 - utfpr 2018) As medidas de bandeiras no Brasil foram normatizadas por um tamanho padrão chamado “pano” que é igual a 0,64 m de largura por 0,45 m de altura. Os demais tamanhos são múltiplos ou submúltiplos deste padrão. Assim uma bandeira de 1,5 panos tem largura de 1,00 m de largura por 0,70 m de altura. Fonte: http://www.casacivil.pr.gov.br/modules/ conteudo/conteudo.php?conteudo=10
11. (G1 - ifpe 2018) Os alunos do curso de Agricultura do campus Vitória de Santo Antão dispõem de um terreno em forma de trapézio para construir uma horta de orgânicos. As bases do trapézio medem 10 m e 35 m. Já os lados não paralelos medem 15 m e 20 m. Qual a área total do terreno desta horta? a) 120 m2 .
a) 200,96 m2 . b) 2.400 m2 . c) 2.199,04 m2 . d) 50,24 m2 . e) 149,76 m2 .
b) 150 m2 . c) 210 m2 . d) 270 m2 .
Considere a bandeira do Estado do Paraná de 1,5 panos, figura abaixo.
e) 540 m2 . 12. (G1 - ifal 2018) Um triângulo equilátero e um hexágono regular estão inscritos na mesma circunferência. Qual a razão entre a área do triângulo equilátero e do hexágono regular? a) 1. 1 . 2 1 c) . 3 2 d) . 3 1 e) . 4
b)
A soma das áreas em formato triangular, em m 2 , é igual a: a) 0,1137.
76
c)
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
4π 3 cm 3
2π 3 cm 3 e) 3 π cm
d) 1. (Unesp 2019) Na figura, as retas AB e CD são paralelas, assim como as
retas AD e BC. A distância entre AB e CD é 3 cm, mesma distância entre AD e BC.
a) Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, formado pelas intersecções das retas, na situação em que α = 60.
b) Considere que S seja a área do ABCD representado paralelogramo na figura. Determine S em função de α e determine a área mínima do paralelogramo ABCD. 2. (Udesc 2019) A figura abaixo apresenta uma semicircunferência de diâmetro AB, com raio igual a 3 e com o ponto C sobre a semicircunferência.
3. (Eear 2019) O segmento AT é tangente, em T, à circunferência decentro O e raio R = 8 cm. A potência de A em relação àcircunferência é igual a ______ cm2 .
a) 16 b) 64 c) 192 d) 256 4. (Unifesp 2019) De acordo com a norma brasileira de regulamentação de acessibilidade, o rebaixamento de calçadas para travessia de pedestres deve ter inclinação constante e não superior a 8,33% (1: 12) em relação à horizontal. Observe o seguinte projeto de rebaixamento de uma calçada cuja guia tem altura BC = 10 cm.
Sabendo-se que o segmento AC mede 3 cm, o comprimento do arco AC é: 3π 3 cm 2 π 3 b) cm 3
a)
a) Calcule a medida de AB na situação limite da regulamentação. b) Calcule o comprimento de AC na situação em que a inclinação da rampa é de 5%. Deixe a resposta final
77 com raizquadrada. 5. (G1 - cmrj 2019) Os alunos do 9º ano do CMRJ foram a uma visita ao Palácio Duque de Caxias para, além de conhecer o palácio, executar um trabalho sobre “grandes medições”, solicitado pelo seu professor de Matemática. Os alunos tinham que estimar a altura do prédio da Central do Brasil localizado ao lado do Palácio Duque de Caxias. Para realizar a tarefa, os alunos teriam que fazer a medição de ângulos a partir de três pontos distintos, determinados pelo professor, com o auxílio de um teodolito e utilizar 3 1,73 em seus cálculos. Observe os resultados obtidos com as três medições descritas a seguir: - a primeira medição foi feita a uma distância de 410 m do prédio, e o topo do prédio foi observado segundo um ângulo de 15; - a segunda medição foi feita depois de se aproximar do prédio, e o ângulo observado foi o dobro do ângulo da primeira medição; - a terceira medição foi feita depois de se aproximar 84 m do prédio, a partir do ponto da segunda medição, e o ângulo observado foi o triplo do ângulo da primeira medição.
A partir desses dados, calcule o valor aproximado da altura do prédio da Central do Brasil. a) 34 m b) 48 m c) 79 m d) 115 m e) 121m 6. (Eear 2019) Gabriel verificou que a medida de um ângulo é
3π rad. Essa 10
medida é igual a a) 48 b) 54 c) 66 d) 72 7. (Fuvest 2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo,e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posiçãoinicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa comuma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo,após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.
Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no
78 solonovamente? 3 a) π 2 3+ 3 b) π 3 13 c) π 6
3+ 3 π 2 8+2 3 e) π 3
d)
a)3 – 2 – 1 b)3 – 1 – 2 c)1 – 3 – 2 d)2 – 3 – 1 e)2 – 1 – 3 9. (Uerj 2019) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano xy e raio igual a 1. Nele, AP determina um arco de 120.
8. (Udesc 2019) Associe cada uma das funções da coluna A com os seus respectivos gráficos na coluna B. Coluna A (1) f(x) = cos (22 ) (2) g(x) = 2cos (x) (3) h(x) = (cos(x))2 Coluna B
As coordenadas de P são: 1 2
3 2
1 2
2 2
a) − , b) − ,
c) −
d) −
3 1 , 2 2
2 1 , 2 2
10. (Espcex (Aman) 2019) Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função trigonométrica de 2π, período cujo gráfico está representado na figura abaixo é
Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.
79 a) f(x) = 1 − sen ( π − x). b) f(x) = 1 + cos ( π − x). c) f(x) = 2 − cos ( π + x). d) f(x) = 2 − sen ( π + x). e) f(x) = 1 − cos ( π − x).