Gentil Lopes - LIVRO - Numeros Nao Euclidianos 2D by Adriano J. P. Nascimento

Nu´meros n˜ao euclidianos (Vers˜ao 2D) Gentil, o iconoclasta

Boa Vista-RR Edi¸c˜ao do autor 2018

c 2018 Gentil Lopes da Silva Copyright

Editora¸ c˜ ao eletrˆ onica e Diagrama¸ c˜ ao: Gentil Lopes da Silva Capa: Adriano J. P. Nascimento

Ficha Catalogr´ afica S586d

Silva, Gentil Lopes da N´ umeros n~ ao euclidianos:

vers~ ao 2D

Gentil Lopes da Silva.Manaus/Boa Vista: Editora Uirapuru/Autor, 2018. x, 210 p. il. 16x23 cm [e-book] [Pseud^ onimo: Gentil, o iconoclasta.] ISBN 978-85-63979-16-2 1. Computa¸ c~ ao. 2. Matem´ atica. 3. Filosofia. 4. Gentil, o iconoclasta. I. T´ ıtulo. CDU: 519.682 (Ficha catalogr´afica elaborada por Bibliotec´ aria Zina Pinheiro CRB 11/611)

Pref´ acio “Se qualquer t´ opico é apresentado de tal modo que consiste de s´ımbolos e regras precisas de opera¸cões sobre esses s´ımbolos, sujeitas apenas à exigência de consistência interna, tal tópico é parte da matem´ atica.” (Carl B. Boyer)

−→

Os n´ umeros n˜ ao euclidianos (denotados por B-2D ou simplesmente B) é um novo sistema numérico que construimos, dentre os n´ umeros mais conhecidos ocupam a seguinte posi¸c˜ ao B N −→ Z −→ Q −→ R C A exemplo dos complexos eles também foram construidos sobre o R2 , isto é, s˜ ao pares ordenados de n´ umeros reais. A seguir comparamos a multiplica¸c˜ ao (a, b) · (c, d) em ambos os sistemas numéricos B:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(a, b) · (c, d) = (a c − b d, a d + b c)

A nossa multiplica¸c˜ ao é comutativa, porém n˜ ao associativa e nem distributiva em rela¸c˜ ao ` a adi¸c˜ ao (usual)− possui inverso multiplicativo (divisão). Ademais, construimos uma extens˜ ao tanto dos Complexos quanto dos B-2D 3 ao espa¸co R (denotada por B-3D), do seguinte modo x −→ (x, 0, 0)

C : (x, y) −→ (x, y, 0) B-2D : (x, y) −→ (x, 0, y) z

← B-2D

B-3D

C y

Através dos n´ umeros complexos sabemos qual o efeito das propriedades associativa e distributiva da multiplica¸cão, uma pergunta pertinente é: o que aconteceria em um sistema numérico onde estas duas propriedades n˜ ao valessem? Uma primeira aplica¸cão pr´ atica dos n´ umeros n~ ao euclidianos é responder a esta pergunta. Para citar dois exemplos apenas, uma equa¸cão do 2 o grau pode ter até quatro ra´ızes em B-2D, e até seis ra´ızes em B-3D; por exemplo, veja como fica o conjunto solu¸cão da equa¸cão x2 − 2x + 2 = 0 nos três sistemas numéricos (temos uma “fórmula de Bhaskara” em B-2D) C : S = { (1, −1), (1, 1) } B-2D : S = { (1, −1), (1, 1), (−1,

√

√ 5 ), (−1, − 5 ) }

B-3D : S = { (1, −1, 0), (1, 1, 0), ( 1, 0, −1 ), ( 1, 0, 1 ), √ √ (−1, 0, 5), (−1, 0, − 5) } Um outro exemplo bizarro ´e que em B-2D podemos “dividir por zero”; no seguinte sentido: por exemplo a singela equa¸c˜ao

1 x −1 · x

= −1

n˜ ao possui solu¸c˜ ao nos Complexos, afirmamos que esta mesma equa¸cão possui solu¸c˜ ao nos n´ umeros n~ ao euclidianos!. Os B-2D é o que poderiamos chamar de um universo paralelo, melhor dizendo, de um universo ortogonal (veja figura anterior), com leis totalmente distintas das leis conhecidas em nossos sistemas numéricos canˆ onicos. Reiteramos, pra come¸car, eles possuem um valor de contraste, mostram o que aconteceria em um sistema numérico onde n˜ ao valessem as propriedades associativa e distributiva da multiplica¸cão. S˜ ao o que poderiamos chamar de uma “imagem especular com quebra de simetria especular”. O matem´ atico francês Henri Poincaré (1854–1912), afirmava que geometria alguma, euclidiana ou n˜ ao, era verdadeira ou falsa. O espa¸co da experiência emp´ırica n˜ ao tem uma estrutura geométrica privilegiada, podendo admitir, dependendo das circunstâncias, até estruturas incompat´ıveis entre si. Parafraseando o eminente Poincaré, dizemos que “o espa¸co da experiência emp´ırica n˜ ao tem uma estrutura numérica privilegiada, podendo admitir, dependendo das circunstâncias, até estruturas incompat´ıveis entre si.”. Gentil, o iconoclasta/Boa Vista-RR, 25.12.2017. 4

Adendo: “O rei est´ a nu” Na apresenta¸c˜ ao dos sistemas numéricos N → Z → Q → R → C constantes nos livros did´ aticos, costuma-se exibir algumas falhas de um dado sistema com o objetivo de mostrar a necessidade de se construir o sistema seguinte; por exemplo, uma falha do sistema dos n´ umeros naturais é que nele n˜ ao podemos resolver a simples equa¸cão algébrica x+2=1 esta falha ser´ a sanada no sistema seguinte, dos n´ umeros inteiros. No entanto, um defeito do sistema dos inteiros é que nele n˜ ao conseguimos resolver, por exemplo, a simples equa¸c˜ ao algébrica 2x + 1 = 4 o que é poss´ıvel no sistema seguinte, e assim sucessivamente; uma falha do sistema R dos n´ umeros reais é que nele n˜ ao existe solu¸cão para a seguinte equa¸cão algébrica trivial x2 + 1 = 0 o que é poss´ıvel no sistema seguinte dos n´ umeros Complexos. Pois bem, dentro desta linha de racioc´ınio, estamos aqui neste adendo denunciando uma falha estrutural no sistema dos n´ umeros complexos: nele n˜ ao podemos resolver simples equa¸c˜ oes algébricas∗ tais como (−1 · x + x) · x = −1 ou

1 −1 · x + x

= −1

(dentre in´ umeras outras que poderiamos exibir). Desde já podemos adiantar a causa desta “falha estrutural” do sistema dos n´ umeros complexos: Este sistema n˜ ao faz distin¸c˜ ao entre duas opera¸cões claramente distintas, quais õ bin´ aria sejam, a opera¸ca −1 · x õ un´ aria e a opera¸ca

(tomar o oposto)

−x Uma das poss´ıveis aplica¸c˜ oes do nosso sistema num´erico B ´e justamente corrigir esta fissura estrutural do sistema C. ∗

Defini¸ c˜ ao: Equa¸ c˜ oes alg´ ebricas s˜ ao as equa¸c˜ oes em que as inc´ ognitas s˜ ao submetidas apenas ` as chamadas opera¸c˜ oes alg´ebricas, ou seja, soma, subtra¸c˜ ao, multiplica¸c˜ ao, divis˜ ao, potencia¸c˜ ao inteira e radicia¸c˜ ao, utilizando letras e n´ umeros.

´ O teorema fundamental da Algebra afirma que qualquer polinˆ omio p(x) com coeficientes reais ou complexos de uma vari´ avel e de grau n ≥ 1 tem alguma raiz complexa, o que implica que C é algebricamente fechado e, portanto, a equa¸c˜ ao p(x) = 0 tem at´ e (no m´ aximo) n solu¸cões. O sitema B-2D n˜ ao é algebricamente fechado, em compensa¸cão esta falha é corrigida tendo em conta que existe uma extensão natural deste sistema ao espa¸co R3 que também inclui os n´ umeros complexos: z

← B-2D

B-3D

C y

Esta extens˜ ao (p. 86) é denominada de n´ umeros n~ ao euclianos 3D e denotada por B-3D. Em resumo qualquer equa¸cão polinomial p(x) = 0 possui ra´ızes em B-2D ou em B-3D, pela raz˜ ao de que os Complexos encontram-se mergulhados neste sitema numérico. A vantagem, reiteramos, é que simples equa¸c˜ oes algébricas que n˜ ao possuem solu¸cão em C possuem solu¸cão nestes novos sitemas; ademais, uma dada equa¸cão polinomial de grau n pode ter até mais que n ra´ızes; por exemplo, uma equa¸cão do 2 o grau pode ter até quatro ra´ızes em B-2D ou até seis ra´ızes em B-3D, como já mencionamos no pref´ acio. A respeito do sistema B-3D afirmamos: ´ um jogo onde nunca perdemos . . . ` E as vezes podemos ganhar! Mas existe também um lado “passivo” da misteriosa efetividade da matem´ atica e é t˜ ao surpreendente que o aspecto “ativo” empalidece por compara¸ca õ. Conceitos e rela¸co ˜es explorados por matem´ aticos apenas por raz˜ oes puras − sem absolutamente nenhuma aplica¸ca õ na mente − revelam-se décadas (ou ` as vezes séculos) mais tarde solu¸co ˜es inesperadas para problemas fundamentais na realidade f´ısica! (Mario Livio/Deus é Matem´ atico?)

Sum´ario

1 N´ umeros n˜ ao euclidianos 1.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Defini¸c˜ ao: N´ umeros n˜ ao euclidianos . . . . . . 1.3 Calculadora HP Prime − Computa¸cão algébrica 1.4 Propriedades das opera¸c˜ oes . . . . . . . . . . . 1.5 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Imers˜ ao de R em B-2D . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Unidade hiperimaginária . . . . . . . . . 1.8 Divisão por zero . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exegese (geométrica) da unidade j . . . . . . . 1.11 Rota¸c˜ ao & Oscila¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Potencia¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Potencia¸c˜ ao na forma trigonométrica . . 1.13 Radicia¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Imers˜ ao de B-2D e C em B-3D . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 11 14 20 23 28 37 41 41 47 51 65 67 71 77 79 86 86

2 Equa¸ co ˜es 2.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Resolu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao ax2 + bx + c = 0 . . . . . . 2.2.1 Fórmula de Bhaskara em B-2D . . . . . . 2.2.2 Um problema cl´ assico no contexto dos nne • Apêndice: Listagem dos programas . . . . . . . . . . 2.3 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • O que é um n´ umero? . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Uma defini¸c˜ ao para n´ umeros . . . . . . .

. . . . . . . .

93 93 101 106 113 116 117 117 124

3 Programando a HP Prime 3.1 Introdu¸c˜ ao ` a programa¸cão da HP Prime 3.1.1 Programa¸cão numérica . . . . . . 3.1.2 Como executar um programa . . 3.1.3 Programa¸cão algébrica . . . . . . 3.2 Expressões e Fun¸cões . . . . . . . . . . . 3.3 Listas e Matrizes . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Listas . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 O comando MAKELIST . . . . . . 3.3.3 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 O comando MAKEMAT . . . . . . . 3.4 Somat´ orios . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.5 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Estruturas de Programa¸cão . . . . . . . 3.6.1 Estruturas c´ıclicas . . . . . . . . 3.6.2 Estruturas condicionais . . . . . • Tra¸cando gr´ aficos . . . . . . . . 3.7 C´ alculo de combina¸cões . . . . . . . . . 3.8 Desenvolvimento N -ário . . . . . . . . . 3.9 Algumas fun¸c˜ oes especiais . . . . . . . . 3.9.1 A fun¸c˜ ao apply . . . . . . . . . . 3.9.2 A fun¸c˜ ao REPLACE . . . . . . . 3.9.3 A fun¸c˜ ao Map . . . . . . . . . . 3.9.4 A fun¸c˜ ao Zip . . . . . . . . . . . 3.9.5 A fun¸c˜ ao remove . . . . . . . . . 3.9.6 A fun¸c˜ ao solve . . . . . . . . . . • Tabela-Resumo . . . . . . . . . . . . ´ 3.10 Polinˆ omio – Algebra . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 134 136 139 144 149 151 151 153 158 161 164 167 171 172 178 181 183 186 190 190 191 195 196 197 198 199 201

Cap´ıtulo

Nu´ meros não euclidianos Quando o esp´ırito se apresenta à cultura cient´ıfica, nunca é jovem. Aliás é bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder à ciência é rejuvenescer espiritualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ c˜ ao que contradiz o passado. (Gaston Bachelard/grifo nosso)

1.1

Introdu¸ c˜ ao

A estas alturas talvez o principal pré-requisito para o estudo dos n´ umeros n~ ao euclidianos seja a cita¸c˜ ao em ep´ıgrafe do eminente Bachelard. Engenharia Matem´ atica: Assim como um engenheiro em eletrˆ onica desenvolve e implementa seus sistemas eletrˆ onicos de igual modo um matem´ atico desenvolve e implementa seus sistemas numéricos − algébricos, geométricos, etc. Assim como o engenheiro sabe como cada fio se interliga ` a entrada ou sa´ıda de cada dispositivo para produzir o resultado desejado, igualmente o matem´ atico sabe como interligar seus lemas, teoremas e defini¸cões para produzir o resultado desejado. umeros Neste livro estaremos projetando um novo sistema numérico: os n´ n~ ao euclidianos. Nota: Quando conveniente abreviaremos n´ umeros n~ ao euclidianos por

nne 9

Ainda nesta introdu¸cão faremos duas justificativas. Primeira quanto a escolha do nome “n´ umeros n~ ao euclidianos” para estes n´ umeros∗ . Como se sabe, as assim denominadas geometrias n˜ ao euclidianas surgiram ap´ os o o descarte do 5 postulado de Euclides, o famoso postulado das paralelas. “Surpreendentemente” nestas novas geometrias n˜ ao valem muitos dos resultados (teoremas) da geometria euclidiana; por exemplo, na geometria el´ıptica a soma dos ˆ angulos internos de um triangulo é maior que 180 o , enquanto na geometria hiperb´ olica esta soma é menor que 180 o .

Ademais, na geometria el´ıptica a circunferência de um c´ırculo é menor do que π vezes o seu diˆ ametro, enquanto na hiperb´ olica esta circunferência é maior que π vezes o diˆ ametro. Pois bem, de modo similar, ao abandonar“o postulado da distributividade” da multiplica¸c˜ ao numérica, paulatinamente fomos colecionando alguns resultados esdr´ uxulos tais como o de que uma equa¸cão quadr´ atica pode ter até quatro ra´ızes, ou o de que por exemplo as equa¸cões 2 1 = −1 (−1 · x + x) · x = −1 ou −1 · x + x têm solu¸c˜ ao. Ademais, em nosso sistema numérico podemos “dividir por 0”, no sentido de que, por exemplo, podemos atribuir um valor ao quociente 1 x−1·x sem incorrermos em contradi¸cão. Até aonde sabemos, estas excentricidades n˜ ao acontecem nos outros sistemas numéricos − nos que incorporam a distributividade. A segunda justificativa é quanto a escolha do s´ımbolo, B, para os n´ umeros n~ ao euclidianos; trata-se meramente de uma singela homenagem que prestamos a um dos construtores de uma das geometrias n˜ ao euclidianas (geometria hiperb´ olica): J´ anos Bolyai. ∗

A bem da verdade, em uma vers˜ ao anterior deste trabalho escolhemos o nome “n´ umeros hipercomplexos 2D”, decidimos mudar; ademais, mudaremos, oportunamente, o t´ıtulo da vers˜ ao 3D a qual denominamos “n´ umeros hipercomplexos 3D”.

1.1.1

Corpos

Um corpo K ´e um sistema alg´ebrico no qual valem as seguintes propriedades:

A1 ) (a + b) + c = a + (b + c)

K = (K, +, ·)

A2 ) ∃ 0 ∈ K : a + 0 = 0 + a = a A3 ) a + b = b + a A4 ) ∀ a ∈ K, ∃ − a ∈ K : a + (−a) = 0 M 1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ K : a · 1 = 1 · a = a M3 ) a · b = b · a M 4 ) ∀ a ∈ K∗ , ∃ a−1 ∈ K : a · a−1 = 1 D) a · (b + c) = a · b + a · c

Nota: Estamos denotando por K a estrutura (ou sistema), enquanto por K o conjunto sobre o qual foram definidas duas opera¸cões, uma chamada de adi¸cão e a outra chamada de multiplica¸cão. Na matem´ atica existem infinitos exemplos de corpos, por exemplo, nos sistemas numéricos canˆ onicos, temos:

N → Z → Q → R → C | {z } Corpos

Devido a existência do simétrico podemos definir a opera¸cão de subtra¸ca õ (x, y) 7→ x − y como sendo x − y = x + (−y) Devido a existência do inverso podemos definir a opera¸cão de divis˜ ao (x, y) 7→ como sendo

x y

x = x · y −1 y 11

O matem´ atico irlandês William Rowan Hamilton (1805 - 1865) ao perceber que os n´ umeros complexos, z = a + b i, poderiam ser representados por pontos no plano, isto é, por pares ordenados z = (a, b) de n´ umeros reais, tentou em seguida generalizar e criar os n´ umeros na terceira dimens˜ ao, isto é, n´ umeros da forma w = (a, b, c) = a + b i + c j; geometricamente

???

z = (a, b)

w = (a, b, c)

A adi¸c˜ ao n˜ ao oferecia dificuldades, pois   (a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f )  (a, b, c) · (d, e, f ) = ( ?, ?, ?)

o problema todo residia em como definir a multiplica¸cão de ternos. Durante dez anos Hamilton tentou preencher as interroga¸cões acima, sem obter sucesso . . . por fim desistiu da empreitada. O que estaria acontecendo? ´ que na suas tentativas de estabelecer a defini¸cão de multiplica¸cão HaE milton de in´ıcio assumiu as propriedades distributiva, associativa e comutativa, hoje sabe-se que Hamilton estava tentando o imposs´ıvel. ([5]) Todavia, o longo esfor¸co de HaA1 ) (a + b) + c = a + (b + c) K = (K, +, ·) A2 ) ∃ 0 ∈ K : a + 0 = 0 + a = a milton n˜ ao fora integralmente em vão; A3 ) a + b = b + a ap´ os uns quinze anos de peleja, numa A4 ) ∀ a ∈ K, ∃ − a ∈ K : a + (−a) = 0 atitude iconoclasta (para a época) ele M 1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ K : a · 1 = 1 · a = a decidiu abandonar a lei comutativa M3 ) a · b = b · a da multiplica¸c˜ ao e com isto conseguiu M4 ) ∀ a ∈ K , ∃ a ∈ K : a · a = 1 criar os n´ umeros na quarta dimensão, D) a · (b + c) = a · b + a · c isto é, n´ umeros da forma: (a, b, c, d) = a + b i + c j + d k, com a, b, c, d ∈ R. Estes n´ umeros de Hamilton s˜ ao conhecidos como quaternios. ([4]) ∗

−1

Em 1843, depois de dez anos de experimenta¸co ˜es e sem ter provado a impossibilidade no espa¸co de três dimens˜ oes, ele descobriu os quaternios que s˜ ao de dimens˜ ao 4 sobre os reais e onde a multiplica¸ca õ n˜ ao é comutativa. ([5]) Os n´ umeros de Cayley: Após A1 ) (a + b) + c = a + (b + c) K = (K, +, ·) A2 ) ∃ 0 ∈ K : a + 0 = 0 + a = a a publica¸c˜ ao do artigo de Hamilton A3 ) a + b = b + a sobre os quaternios, Arthur Cayley A4 ) ∀ a ∈ K, ∃ − a ∈ K : a + (−a) = 0 sacrificando as propriedades associaM 1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ K : a · 1 = 1 · a = a tiva e comutativa da multiplica¸c˜ ao puM3 ) a · b = b · a blica (Mar¸co de 1845) uma generaliM4 ) ∀ a ∈ K , ∃ a ∈ K : a · a = 1 oza¸cão dos quaternios, criando os octˆ D) a · (b + c) = a · b + a · c umeros nios em dimensão 8; isto é, n´ w da forma: w = α0 1 + α1 e1 + α2 e2 + · · · + α7 e7 , αi ∈ R. ∗

Para construir o sistema dos n´ umeros n~ ao euclidianos tivemos que abandonar a propriedade distributiva da multiplica¸c˜ ao (e mais a associativa). Com isto obtivemos um sistema num´erico com propriedades distintas de todos os outros sistemas num´ericos na matem´ atica.

−1

A1 ) (a + b) + c = a + (b + c) A2 ) ∃ 0 ∈ K : a + 0 = 0 + a = a

K = (K, +, ·)

A3 ) a + b = b + a A4 ) ∀ a ∈ K, ∃ − a ∈ K : a + (−a) = 0 M 1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ K : a · 1 = 1 · a = a M3 ) a · b = b · a M 4 ) ∀ a ∈ K∗ , ∃ a−1 ∈ K : a · a−1 = 1 D) a · (b + c) = a · b + a · c

ao natural dos n´ umeros n~ ao No balan¸co final conseguimos uma extens˜ euclidianos ao espa¸co tridimensional e, como se n˜ ao bastasse, uma extens˜ ao dos pr´ oprios Complexos ao R3 . Essa extens˜ao denominamos de n´ umeros n~ ao euclidianos 3D, denotados por B-3D. Geometricamente tudo se passa assim: z

← B-2D

B-3D

C y

1.2

Defini¸ c˜ ao: N´ umeros n˜ ao euclidianos

Os n´ umeros n~ ao euclidianos (denotados por B) s˜ ao definidos pela seguinte estrutura num´erica (lista de especifica¸ co ˜es do projeto):

A1 ) (a + b) + c = a + (b + c)

A2 ) ∃ 0 ∈ B : a + 0 = 0 + a = a A3 ) a + b = b + a A4 ) ∀ a ∈ B, ∃ − a ∈ B : a + (−a) = 0 M1 ) ∃ 1 ∈ B : a · 1 = 1 · a = a M2 ) a · b = b · a M 3 ) ∀ a ∈ B∗ , ∃ a−1 ∈ B : a · a−1 = 1 HI ) ∃ a ∈ B : − 1 · a 6= −a.

Em destaque a propriedade que diferencia estes n´ umeros de todos os outros n´ umeros na matem´ atica. Nota: O “sacrif´ıcio” da distributividade da multiplica¸cão − em rela¸cão à adi¸c˜ ao − é que torna poss´ıvel um n´ umero com tal propriedade.

A fun¸c˜ ao sinal Lembramos a fun¸ c˜ ao sinal sign : R → R que associa a cada n´ umero real x o seu sinal, assim y

sign (x) =

      

se x > 0;

se x = 0;

−1,

se x < 0.

0 −1

Vamos construir um modelo para os n´ umeros n~ ao euclidianos. Seja R o conjunto dos n´ umeros reais. Consideremos o produto cartesiano R × R = R2 : R2 = (x, y) : x, y ∈ R

Vamos tomar dois elementos neste conjunto, (a, b) e (c, d) para dar trˆes importantes defini¸c˜ oes: ( i ) Igualdade: dois pares ordenados s˜ ao iguais se, e somente se, ocorre o seguinte: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d. ao: chama-se adi¸c˜ ao de dois pares ordenados a um novo par orde( ii ) Adi¸c˜ nado, obtido da seguinte forma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ( iii ) Multiplica¸c˜ ao: chama-se multiplica¸c˜ao de dois pares ordenados a um novo par ordenado, obtido da seguinte forma:   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Representaremos cada elemento gen´erico (x, y) ∈ B com o s´ımbolo w, portanto: w ∈ B ⇔ w = (x, y) ∈ ( R2 , +, ·) Oportunamente mostraremos como escrever a regra do produto acima em apenas “uma senten¸ca”, assim

(a, b) · (c, d) = (a c ∓ b d, |a| d + b |c|) Apenas a t´ıtulo de compara¸ca˜o, a seguir exibimos a multiplica¸c˜ao nos Complexos:

(a, b) · (c, d) = (a c − b d, a d + b c) 15

Uma defini¸c˜ ao equivalente para a nossa multiplica¸c˜ao seria   (−b d, 0),        a    , |a| d , − b d   |a|   (a, b) · (c, d) = c    , b |c| , − b d   |c|        ac   , |a| d + b |c| ,  ac − bd |a c|

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Compare

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Observe que para x 6= 0 podemos escrever sign (x) =

x |x| = |x| x

(1.1)

Nota: A t´ıtulo de simplifica¸c˜ao de nota¸c˜ao eventualmente usaremos a seguinte nota¸c˜ ao para o sinal de um n´ umero x

sign (x) = x˙ A tabela a seguir mostra todas as combina¸c˜oes poss´ıveis entre os sinais dos n´ umeros a e c

a˙

−1

c˙

−1

O matem´ atico William Rowan Hamilton (1805-1865) ao tentar definir sua multiplica¸c˜ ao de ternos, (a + b i + c j) · (d + e i + f j), fez a exigência de odulo do produto seja igual ao produto dos m´ odulos ”, e assim deve que “o m´ ser; vejamos se nossa multiplica¸cão satisfaz esta exigência. 16

Defini¸ c˜ ao 1 (Módulo). Chama-se m´ odulo do nne w = (a, b) ao n´ umero real p |w| = a2 + b2 Nota: Alternativamente podemos usar a nota¸cão: r, para o m´ odulo, isto é p r = a 2 + b2 Teorema 1. Se w1 = (a, b) e w2 = (c, d) s˜ ao dois nne quaisquer, então: |w1 · w2 | = |w1 | · |w2 | Prova: Tendo em conta a defini¸caõ do produto

   (−b d, 0),       − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Vamos demonstrar o teorema para o caso em que a 6= 0 e c 6= 0, deixando as demais possibilidades como exerc´ıcio ao leitor. Sendo assim, devemos provar que p

p |w1 · w2 | = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| = a2 + b2 · c2 + d2 Ent˜ao

|w1 · w2 |2 = (a c − b d sign (a c))2 + (|a| d + b |c|)2

desenvolvendo |w1 · w2 |2 = (a c)2 − 2 (a c) b d sign (a c) + (b d)2 + a2 d2 + 2 |a| d b |c| + b2 c2

Utilizando a identidade (1.1) (p. 16), obtemos |w1 · w2 |2 = a2 c2 + b2 d2 + a2 d2 + b2 c2 = (a2 + b2 ) · (c2 + d2 ) 17

Utilizando a tabela de sinais a seguir

a˙

−1

c˙

−1

a˙ · c˙

−1

−→

−

Podemos escrever a regra do produto em apenas “uma senten¸ca”, assim

(a, b) · (c, d) = (a c ∓ b d, |a| d + b |c|) Escolha o sinal + ou − de acordo com a linha em destaque na tabela de sinais acima. Compare com a defini¸c˜ao:    (−b d, 0),       − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Exemplos: a) Calcule o produto (−1, 1) · (−2, 1). Temos (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(−1, 1) · (−2, 1) = − 1 · −2 − 1 · 1, | − 1| · 1 + 1 · | − 2| = (1, 3)

b) Calcule o produto (−1, 4) · (3, 1). Temos

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(−1, 4) · (3, 1) = − 1 · 3 + 4 · 1, | − 1| · 1 + 4 · |3| = (1, 13)

c) Calcule o produto (0, 1) · (0, 1). Temos

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

(0, 1) · (0, 1) = 0 · 0 − 1 · 1, |0| · 1 + 1 · |0| = (−1, 0) 18

Uma outra alternativa para se apresentar a regra do produto A regra do produto de dois n´ umeros n~ ao euclidianos, (a, b) e (c, d), alternativamente poderia ter sido definida pelo seguinte quadro.

a˙ −1

− 1 : (a c − b d, −a d − b c)

−1

0 : (b d, −a d)

−1

1 : (a c + b d, −a d + b c)

0 (a, b) · (c, d) :

c˙

− 1 : (b d, −b c)

0 : (−b d, 0)

1 : (−b d, b c)

− 1 : (a c + b d, a d − b c)

0 : (−b d, a d)

1 : (a c − b d, a d + b c)

(a, b) · (c, d) = (a c ∓ b d, |a| d + b |c|) Apenas a t´ıtulo de compara¸c˜ ao, a seguir exibimos a multiplica¸c˜ao nos Complexos:

(a, b) · (c, d) = (a c − b d, a d + b c) 19

1.3

Calculadora HP Prime − Computa¸c˜ ao alg´ ebrica

A nossa regra de multiplica¸cão de dois n´ umeros n~ ao euclidianos est´ a em perfeita consonância com a era moderna de computadores e calculadoras programáveis. No nosso entendimento uma das maiores conquistas da Ciência da Computa¸cão foi justamente a computa¸cão algébrica; hoje em dia uma “simples” calculadora como a HP Prime nos permite trabalhar com equa¸cões, com fórmulas. Em particular podemos programar, por exemplo, a fórmula para multiplicar dois nne, com resultados simb´ olicos (exatos). Nota: No u ´ ltimo cap´ıtulo deste livro ensinamos a programa¸cão desta calculadora. O leitor poder´ a baixá-la (emulador) gratuitamente para seu notebook, tablet e até celular. Para evitar problemas procure baixar a u ´ ltima vers˜ ao, existem várias.

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Nas duas primeiras telas acima temos um programa para o produto de dois n´ umeros n~ ao euclidianos. Na tela da direita calculamos − num atimo − alguns exemplos, incluindo os três vistos na p. 18. ´ Nota: A calculadora entende, por exemplo, que (−1, 1) seja um n´ umero complexo, para evitar complica¸cões desta natureza utilizaremos colchetes, [ −1, 1 ], para representar um nne − apenas na calculadora. Importante: Neste livro faremos muitas das nossas contas explorando o potencial da calculadora, se o leitor desejar poder´ a confirmá-las na m˜ ao.

Como dissemos, o potencial da calculadora é n˜ ao apenas numérico mas sobretudo algébrico (CAS). Por exemplo, utilizando a tabela de sinais a seguir

a˙

−1

c˙

−1

a˙ · c˙

−1

−→

−

(a, b) · (c, d) = (a c ∓ b d, |a| d + b |c|) elaboramos o seguinte programa que a partir dos sinais de a e c

nos fornece a f´ormula do produto, segundo a defini¸c˜ao   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| , A seguir fazemos a confirma¸c˜ ao

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0. (p. 19)

Exemplo: Dados w1 = (−1, 1) e w2 = (1, 2), calcule w de modo que w1 · w = w2 Nota: Certamente existe mais de uma alternativa para se resolver este problema − inclusive por programa¸c˜ao −, simplesmente escolheremos uma delas. Solu¸ c˜ ao: Tomemos w = (c, d), temos w1 · w = w2 ⇒ (−1, 1) · (c, d) = (1, 2)

como sign (a) = −1, nos situamos nas trˆes primeiras colunas da tabela de sinais

a˙

−1

c˙

−1

sendo assim temos trˆes possibilidades a considerar quanto ao sinal de c. Com o programa anterior, temos para cada uma destas colunas (tela esquerda)

Na tela do centro ressetamos (purge) as vari´ aveis c e d, em seguida atribuimos os valores de a e b, digo, a = −1 e b = 1; depois copiamos a primeira alternativa para a linha de entrada, entre as letras inserimos o sinal de multiplica¸c˜ ao, ao d´ a Enter já temos a conta feita. Na tela da direita temos as contas para as três alternativas. Sendo assim, temos três possibilidades   (−c − d, −c + d) = (1, 2)  

(d, d) = (1, 2)

  

(−c + d, c + d) = (1, 2)

Resolvendo a primeira e a terceira equa¸c˜ao obtemos 1 3 −3 1 e (c, d) = , , (c, d) = 2 2 2 2 22

O absurdo que obtivemos na segunda equa¸c˜ao do sistema significa que o problema n˜ ao tem solu¸c˜ ao na alternativa sign (c) = 0. Resumindo, a equa¸c˜ ao (−1, 1) · w = (1, 2) possui duas solu¸c˜ oes em B-2D, quais sejam

−3 1 2 , 2

, 21 ,

3 2

Na tela da esquerda confirmamos − pelo programa que multiplica dois nne

(p. 20) − as duas solu¸c˜ oes da equa¸c˜ao. Em outras palavras, nos nne uma

equa¸cão do 1 o grau pode ter duas solu¸cões. Na tela da direita resolvemos a equa¸cão nos complexos − onde vale a associatividade.

1.4

Propriedades das opera¸ c˜ oes

Proposi¸ c˜ ao 1. A opera¸c˜ ao de adi¸cão define em B uma estrutura de grupo comutativo, isto é, verifica as seguintes propriedades: A1) Propriedade associativa; A2) propriedade comutativa; A3) existência do elemento neutro; A4) existência do elemento simétrico (ou oposto).

Prova: Deixamos como exerc´ıcio.

Apenas observamos que, 0 = (0, 0) é o elemento neutro para a adi¸cão. Dado w = (x, y) temos que −w = (−x, −y) é o seu oposto aditivo, isto é, w + (−w) = 0. Subtra¸ c˜ ao Decorre da proposi¸c˜ ao anterior que, dados os nne w1 = (a, b) e w2 = (c, d) existe um u ´ nico w ∈ B tal que w1 + w = w2 . Esse n´ umero w é chamado diferen¸ca entre w2 e w1 e indicado por w2 − w1 .

Proposi¸ c˜ ao 2. A opera¸cão de multiplica¸cão em B verifica as seguintes propriedades: M1) Propriedade comutativa; M2) n˜ ao associativa; M3) existência do elemento neutro; M4) existência do elemento inverso; M5) n˜ ao distributiva em rela¸cão à adi¸cão. Prova: M1) Dados w1 = (a, b) e w2 = (c, d) devemos provar que w1 · w2 = w2 · w1

(a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b)

∴

Considere a defini¸c˜ ao de multiplica¸c˜ao   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0. (a ↔ c, b ↔ d)

vamos trocar os pares de posi¸c˜ao, assim   (−d b, 0),        − d b sign (c), |c| b , (c, d) · (a, b) =   − d b sign (a), d |a| ,       c a − d b sign (c a), |c| b + d |a| ,

se c = 0, a = 0; se c 6= 0, a = 0; se c = 0, a 6= 0; se c 6= 0, a 6= 0.

Vemos que o produto n˜ ao se altera.

M2) N˜ao associativa. Tomando, por exemplo w1 = (1, 1),

w2 = (−1, 1),

w3 = (1, −1)

Resulta (confira) (w1 · w2 ) · w3 = (2, 2) w1 · (w2 · w3 ) = (−2, 2) 24

M3) Existˆencia do elemento neutro. Existe 1 = (1, 0) ∈ B com a seguinte propriedade: w · 1 = w, ∀ w ∈ B. De fato, considerando w = (a, b) temos w · 1 = (a, b) · (1, 0) Prova: Pela defini¸c˜ ao de multiplica¸c˜ao   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

temos (a, b) · (1, 0) =

  − b d sign (c), b |c| ,

se a = 0, c 6= 0;

 a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| , se a 6= 0, c 6= 0.

ou ainda, substituindo c = 1 e d = 0   0, b , (a, b) · (1, 0) =  a, b ,

se a = 0; se a 6= 0.

Nota: Da comutatividade da multiplica¸cão decorre a unicidade do elemento neutro. Com efeito, assim: sejam u e u ˜ dois elementos neutros para a multiplica¸cão. Sendo assim, ter-se-` a, por um lado, w · u = w, para todo w ∈ B; em particular u ˜·u = u ˜ (∗). Por outro lado também temos w · u˜ = w, para todo w ∈ B; em particular u · u ˜ = u. Esta u ´ ltima igualdade pode ser reescrita como u ˜ · u = u. Daqui e de (∗) concluimos que u = u ˜. M4) Existência do elemento inverso. Desejamos mostrar que, ∀ w ∈ B∗ , ∃ w−1 ∈ B / w · w−1 = 1. Prova: De fato, tomando w = (a, b) 6= (0, 0), procuramos w′ = (x, y) satisfazendo w · w′ = (1, 0), isto é (a, b) · (x, y) = (1, 0) Temos uma equa¸c˜ ao a resolver. Poderiamos seguir alguns caminhos para a resolu¸cão desta equa¸c˜ ao, vamos tentar utilizar um dos programas anteriores, para isto fa¸camos uma troca de nota¸cão: 25

(

(a, b) · (x, y) (a, b) · (c, d)

Vamos salvar o programa phalg (p. 21) com outro nome e trocar c por x e d por y − mesmo porque este programa poder´ a ser u ´ til futuramente −, ∗ assim

Pois bem, considerando a tabela de sinais

a˙

−1

x˙

−1

Temos a seguir todas as possibilidades quanto ao produto (a, b) · (x, y) = (1, 0)

Cada uma destas possibilidades d´ a origem a um sistema, podemos usar a pr´ opria calculadora para resolver cada um destes sistemas: − linsolve: Dados um vetor de equa¸cões lineares e um vetor de vari´ aveis correspondente, apresenta a solu¸cão para o sistema de equa¸cões lineares. linsolve([EqLin1, EqLin2,. . . ], [Var1, Var2,. . . ]) ∗ Nota: by é uma palavra reservada pela calculadora, raz˜ ao porque decidimos colocar o sinal ∗ de multiplica¸c˜ ao, ademais ser´ a melhor para o que temos em vista.

Vamos exemplificar, considere a tela da esquerda a seguir

na tela do centro digitamos na linha de entrada o comando linsolve() e pegamos uma c´ opia do vetor; na tela da direita montamos o sistema de acordo com a equa¸c˜ ao (a, b) · (x, y) = (1, 0) ao d´ a Enter obtemos a seguinte solu¸c˜ao

(x, y) =

a b , − a 2 + b2 a2 + b2

isto para a primeira coluna da tabela de sinais

a˙

−1

x˙

−1

Na tela a seguir temos a segunda e terceira

na tela ` a direita, temos a u ´ ltima coluna; copiamos a saida para a linha de entrada, confirmando que se trata do sinal “−” na ordenada.

Voltando ` a tela esquerda acima, significa que o sistema n˜ ao tem solu¸c˜ao quando sign (x) = 0, isto ´e, x = 0. Para a terceira coluna obtemos x=

a a2 + b2

b a2 + b2

Esta solu¸c˜ ao deve ser descartada pela seguinte raz˜ ao: na terceira coluna assumimos a hip´ otese de que a e x têm sinais contrarios, e n˜ ao é o caso da solu¸c˜ ao acima, uma vez que o denominador é sempre positivo. Fazendo uma an´ alise das demais possibilidades chegamos à conclusão de que a (´ unica) solu¸c˜ ao válida da equa¸caõ (a, b) · (x, y) = (1, 0) é

−b a , a2 + b2 a2 + b2 chamado inverso ou inverso multiplicativo de w, que multiplicado por w = (a, b) d´ a como resultado 1 = (1, 0). (x, y) =

1.5

Divis˜ ao

Devido a existˆencia do inverso multiplicativo, podemos definir em B a w ao, simbolizada por 1 , estabelecendo que opera¸c˜ ao de divis˜ w2 w1 = w1 · w2′ = w1 · w2−1 w2 onde mudamos de nota¸c˜ao: w2′ = w2−1 . Exemplo: (0, 1) = (0, 1) · (1, 1)−1 (1, 1) 1 −1 , 12 + 12 12 + 12

= (0, 1) ·

1 −1 1 1 = , , 2 2 2 2

Sejam w1 = (a, b) e w2 = (c, d), com c 6= 0 ou d 6= 0, temos (a, b) w1 = = (a, b) · (c, d)−1 w2 (c, d) ou ainda c w1 (a, b) −d = = (a, b) · 2 , w2 (c, d) c + d2 c2 + d2 Utilizando a regra do produto   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Calculamos o produto (a, b) · assim   ,0 , − b · −d  d2        −d   − b · d2 sign (a), |a| ·

c −d , c2 + d2 c2 + d2

se a = 0, c = 0; −d d2

se a 6= 0, c = 0;

  c  − b · c2−d  2 sign (c), b | c2 +d2 | , +d        −d c a · c2 +d 2 − b · c2 +d2 sign (a c), |a| ·

se a = 0, c 6= 0; −d

c2 +d2

c + b | c2 +d 2| ,

se a 6= 0, c 6= 0.

Simplificando, a divis˜ao c (a, b) −d w1 = = (a, b) · 2 , w2 (c, d) c + d2 c2 + d2 ´e dada por  b  ,0 ,    d       b   −|a|   , sign (a),   d  d

se a = 0, c = 0;

se a 6= 0, c = 0;

 bd   b |c|   sign (c), , se a = 0, c 6= 0;   c2 + d2 c2 + d2        ac  bd −|a| d b |c|   + sign (a c), + , se a 6= 0, c = 6 0. c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2 regra esta facilmente program´avel, assim:

Na tela da direita temos algumas simula¸cões. M5) A multiplica¸c˜ ao é n˜ ao distributiva em rela¸cão à adi¸cão. Tomando, por exemplo, a = (1, 1), b = (−1, −1) e c = (0, −1), obtemos

a · (b + c) = (−3, −1) a · b + a · c = (0, 4)

Proposi¸ c˜ ao 3. Sejam w = (a, b) e w′ = (c, d) dois nne, ent˜ao w · w′ = 0

w = 0 ou w′ = 0.

⇒

Prova: Vamos utilizar demonstra¸c˜ao por absurdo: ¯ ⇒ f H ⇒ T ⇐⇒ H ∧ T Vamos iniciar negando a tese: w = (a, b) 6= (0, 0)

w′ = (c, d) 6= (0, 0)

o que implica (a 6= 0 ∨ b 6= 0) ∧ (c 6= 0 ∨ d 6= 0) Temos quatro possibilidades a analisar: a 6= 0 ∧ c 6= 0,

a 6= 0 ∧ d 6= 0,

b 6= 0 ∧ c 6= 0,

b 6= 0 ∧ d 6= 0.

(i) a 6= 0 ∧ c 6= 0. Vamos considerar a defini¸c˜ao do produto   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

a hip´ otese nos fornece a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| = (0, 0)

donde resulta o sistema

(

a c − b d sign (a c) = 0; |a| d + b |c| = 0

utilizando a tabela de sinais

a˙

−1

c˙

−1

desdobramos o sistema nos seguintes ( a c − b d = 0; −a d − b c = 0

(

a c + b d = 0; −a d + b c = 0

igualando as duas primeiras equa¸c˜oes e as duas segundas, obtemos bd = 0

ad = 0

como, por hip´ otese, a 6= 0, a conclusão é que d = 0. Sendo assim, o produto (a, b) · (c, 0) = (a c, b |c|) = (0, 0) nos fornece um absurdo: c 6= 0 e c = 0. (ii) a 6= 0 ∧ d 6= 0. Da defini¸cão do produto temos

(a, b) · (c, d) =

a igualdade

  − b d sign (a), |a| d ,

se a 6= 0, c = 0;

 a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| , se a 6= 0, c 6= 0. − b d sign (a), |a| d = (0, 0)

nos conduz a um absurdo d 6= 0 e d = 0. Resta analisar a igualdade a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| = (0, 0)

Aqui voltamos ao caso (i) e vamos concluir pelo mesmo absurdo, digo, d 6= 0 e d = 0. (iii) b 6= 0 ∧ c 6= 0. Da defini¸c˜ao do produto temos

(a, b) · (c, d) =

a igualdade

  − b d sign (c), b |c| ,

se a = 0, c 6= 0;

 a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| , se a 6= 0, c 6= 0. − b d sign (c), b |c| = (0, 0)

nos conduz a um absurdo b 6= 0 e b = 0. Resta analisar a igualdade a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| = (0, 0)

Aqui vamos concluir que d = 0 (a 6= 0, nesta possibilidade); substituindo d = 0 na equa¸c˜ ao acima, temos a c, b |c| = (0, 0)

o que nos conduz a um absurdo: b = 0 e b 6= 0. 32

(iv) b 6= 0 ∧ d 6= 0. Da defini¸c˜ ao do produto temos   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

vamos analisar as quatro possibilidades: (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) = (0, 0) donde b 6= 0 e b = 0, absurdo. (a, b) · (c, d) = − b d sign (a), |a| d = (0, 0)

nesta possibilidade temos a 6= 0, logo d = 0, absurdo. − b d sign (c), b |c| = (0, 0)

nesta possibilidade temos c 6= 0, logo b = 0, absurdo. a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| = (0, 0)

Voltamos ao caso (i), donde d = 0, absurdo.

Distributividade da multiplica¸c˜ ao − casos particulares Observe a u ´ ltima linha da regra do produto no quadro a seguir

a˙ −1

c˙ − 1 : (a c − b d, −a d − b c)

−1

0 : (b d, −a d)

−1

1 : (a c + b d, −a d + b c)

0 (a, b) · (c, d) :

(p. 19)

− 1 : (b d, −b c)

0 : (−b d, 0)

1 : (−b d, b c)

− 1 : (a c + b d, a d − b c)

0 : (−b d, a d)

1 : (a c − b d, a d + b c)

(a, b) · (c, d) = (a c ∓ b d, |a| d + b |c|) Vemos que para pontos no semiplano x > 0 (`a direita do eixo oy) a multiplica¸c˜ ao coincide com a dos Complexos.

(a, b) · (c, d) = (a c − b d, a d + b c)

Considere neste semiplano os trˆes seguintes nne w1 = (a, b),

w2 = (c, d),

w3 = (e, f )

a > 0, c > 0, e > 0.

∴

neste caso vale a propriedade distributiva, isto é w1 · (w2 + w3 ) = w1 · w2 + w1 · w3 uma vez que o semiplano x > 0 é fechado para a adi¸cão. Vamos considerar w1 sobre o eixo oy e vejamos se continua valendo a distributividade, isto é, se vale (0, b) · (c, d) + (e, f ) = (0, b) · (c, d) + (0, b) · (e, f ) para o produto da esquerda consideremos (0, b) · (c, d) + (e, f ) = (0, b) · (c + e, d + f ) | {z } | {z } (a, b)

c, d

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

O produto ´e realizado na terceira linha acima, apenas observe que c > 0, e > 0

⇒

c+e > 0

⇒

|c + e| = c + e

o produto fica (0, b) · (c + e, d + f ) = (−b (d + f ), b (c + e)) {z } | {z } | (a, b)

(1.2)

c, d

Por outro lado, temos

(0, b) · (c, d) = (−b d, b c) | {z } | {z }

Somando

(0, b) · (e, f ) = (−b f, b e) | {z } | {z }

(a, b)

(c, d)

(−b d, b c) + (−b f, b e) = (−b d − b f, b c + b e) = − b(d + f ), b (c + e)

que ´e o mesmo resultado em (1.2).

Consideremos a primeira linha da regra do produto − p´ agina 34 − e vejamos se a multiplica¸c˜ ao ´e distributiva no semiplano x < 0. Isto ´e, considere w1 = (a, b),

w2 = (c, d),

w3 = (e, f )

a < 0, c < 0, e < 0.

∴

desejamos verificar se vale a propriedade distributiva, isto ´e w1 · (w2 + w3 ) = w1 · w2 + w1 · w3 ou ainda (a, b) · (c, d) + (e, f ) = (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f )

para o produto da esquerda consideremos (a, b) · (c, d) + (e, f ) = (a, b) · (c + e, d + f ) {z } | {z } | (a, b)

c, d

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0;

se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

O produto ´e realizado na quarta linha acima, temos (a, b) · (c + e, d + f ) = a (c + e) − b (d + f ) · 1, −a (d + f ) + b − (c + e) | {z } | {z } (a, b)

c, d

isto ´e

(a, b) · (c + e, d + f ) = a (c + e) − b (d + f ), −a (d + f ) − b (c + e) | {z } | {z } (a, b)

c, d

por outro lado

(a, b) · (c, d) = a c − b d · 1, −a d + b (−c) = (a c − b d, −a d − b c) (a, b) · (e, f ) = (a, b) · (e, f ) = a e − b f · 1, −a f + b (−e) | {z } (c, d)

somando

(a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f ) = (a c − b d, −a d − b c) + a e − b f, −a f − b e isto ´e

(a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f ) = a (c + e) − b (d + f ), −a (d + f ) − b (c + e)

portanto, no semiplano x < 0 vale a propriedade distributiva. 36

1.6

Imers˜ ao de R em B-2D

Nosso objetivo nesta se¸c˜ ao ser´ a estabelecer o corpo R dos n´ umeros reais como um subsistema de B; ao final, identificaremos o nne (x, 0) com o n´ umero real x. Da defini¸c˜ ao de adi¸c˜ ao ´e imediato que (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) Vamos provar que (a, 0) · (c, 0) = (a · c, 0)

(1.3)

Com efeito, consideremos a regra do produto   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

A igualdade (1.3) se verifica trivialmente para as trˆes primeiras possibilidades acima. Nos ocuparemos da quarta, ent˜ao (a, 0) · (c, 0) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| = a c − 0 · 0 sign (a c), |a| 0 + 0 |c| = (a c, 0) Operar com (x, 0) leva a resultados an´ alogos aos obtidos operando com x. Isto justifica a “igualdade”:

x = (x, 0), ∀ x ∈ R

Aceita esta conven¸c˜ ao, em particular resulta:

0 = (0, 0), 1 = (1, 0), −1 = (−1, 0), a = (a, 0)

Provaremos agora uma importante propriedade do sistema B-2D: Teorema 2 (Propriedade n˜ ao euclidiana). Para todo k ∈ R e para todo w = (a, b) em B-2D, a seguinte identidade se verifica

k · (a, b) = ( k a, |k| b ) Prova: Vamos aplicar a defini¸c˜ao   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

ao c´ alculo do produto (a, b) · (k, 0) Veja esta multiplica¸c˜ ao da seguinte forma (a, b) · (k, 0) | {z } (c, d)

Ent˜ ao, na primeira possibilidade, temos

(a, b) · (k, 0) = (0, b) · (0, 0) = (−b · 0, 0) = (0, 0) = (k a, |k| b) Na segunda possibilidade, temos (a, b) · (k, 0) = − b d sign (a), |a| d

= − b · 0 sign (a), |a| · 0 = (0, 0) = (k a, |k| b)

Na terceira possibilidade, temos

(a, b) · (k, 0) = − b d sign (c), b |c|

= − b · 0 sign (k), b · |k| = (k a, |k| b)

Na u ´ ltima possibilidade, temos

(a, b) · (k, 0) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c|

= a k − b 0 sign (a c), |a| 0 + b |k| = (k a, |k| b)

Resumindo:

k · (a, b) = ( k a, |k| b ) =

(

(k a, k b),

se k ≥ 0;

(k a, −k b),

se k < 0.

Este teorema nos proporciona um fenômeno que n˜ ao ocorre em R ou em C. Corol´ ario 1. Em B existe um n´ umero x tal que −1 · x 6= −x Prova: De fato, tomando x = (0, 1), resulta −x = −(0, 1) = (0, −1) −1 · x = (−1 · 0, | − 1| · 1) = (0, 1) Sendo assim é importante estar atento para o fato de que, ao contr´ ario do que ocorre em R, ou em C, em B é necessário distinguir entre −x e −1 · x.

Observe que, enquanto no primeiro caso temos o oposto aditivo de x, no segundo caso temos o produto de dois nne: −1 = (−1, 0) e x = (a, b). Podemos visualizar isto graficamente, assim:

−1 · x

−x

C : −x = −1 · x

B : −x 6= −1 · x

Observe, outrossim, que em B n˜ ao vale a propriedade de cancelamento para a multiplica¸c˜ ao; para se convencer disto considere a seguinte igualdade 1 · (0, 1) = −1 · (0, 1) Isto se deve ao fato da multiplica¸c˜ao n˜ ao ser associativa. 39

A nossa adi¸c˜ ao coincide com a da HP Prime , no entanto, o mesmo n˜ ao ocorre com a multiplica¸c˜ao de um n´ umero real por um nne∗ , veja:

Na HP Prime

em B-2D

Defini¸ c˜ ao 2 (Oposto multiplicativo). Dado w ∈ B definiremos como seu oposto multiplicativo o n´ umero −1 · w.

Uma conven¸ c˜ ao necess´ aria Como vimos, em B-2D vale a desigualdade −1 · x 6= −x no lado esquerdo temos uma opera¸cão bin´ aria e no lado direito uma opera¸cão un´ aria (tomar o oposto). Considere a propriedade n˜ ao euclidiana k · (a, b) = ( k a, |k| b ) quando k < 0 faremos a seguinte conven¸cão para indicar a opera¸cão bin´ aria k · (a, b) = ( k a, |k| b ) = (k) (a, b) utilizaremos um ponto, “·”, ou um parênteses; enquanto que para indicar a opera¸c˜ ao un´ aria, tomar o oposto, utilizaremos k (a, b) = ( k a, k b ) (sem o ponto) Por exemplo, considere k = −2 e w = (0, 1); temos −2 · (0, 1) = ( −2 · 0, | − 2| · 1 ) = (0, 2) enquanto que, por outro lado −2 (0, 1) = − ( 2 · 0, 2 · 1 ) = − (0, 2) = (0, −2) Nota: Simplificaremos “proriedade n˜ ao euclidiana” por pne. ∗

A menos que o real seja n˜ ao negativo.

1.7 1.7.1

Forma alg´ ebrica Unidade hiperimagin´ aria

Chamamos unidade hiperimagin´ aria e indicamos por j o nne (0, 1). Notemos que j 2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) isto ´e

j 2 = −1

Portanto, a unidade hiperimaginária possui a mesma propriedade b´ asica da unidade imagin´ aria i dos Complexos; e, o que é mais importante ainda: a unidade hiperimaginária possui uma propriedade n˜ ao partilhada por nenhum n´ umero complexo, qual seja

−1 · j 6= −j

(1.4)

´ preciOu seja, o oposto multiplicativo ´e diferente do oposto aditivo. E samente esta propriedade que vai ser respons´ avel por alguns milagres no “universo ortogonal ” dos nne, como veremos oportunamente. Forma alg´ ebrica Dado um n´ umero n~ ao euclidiano qualquer w = (x, y), temos: w = (x, y) = (x, 0) + (0, y) Temos i) (x, 0) = x. ii) Temos por outro lado

y ≥ 0 ( |y| = y ) ⇒ y j = y (0, 1) = (0, y)

y < 0 ( |y| = −y ) ⇒ −j · y = y · (−j) = y · ( 0, −1 ) = ( y · 0, |y| · (−1) ) = 0, (−y) · (−1) = (0, y)

Tendo em conta estes resultados podemos escrever ( x + y j, se y ≥ 0; w = (x, y) = x + y · (−j) se y < 0. 41

Por exemplo w = (3, 2) = 3 + j 2 = 3 + 2 j Por outro lado Observe que

w = (3, −2) = 3 + (−2) · (−j)

(1.5)

(−2) · (−j) = (−2) · (0, −1) = − 2 · 0, | − 2| · (−1) ou ainda

(−2) · (−j) = (0, −2) = − (0, 2) = − 2 j

de formas que podemos escrever (1.5) como

w = (3, −2) = 3 − 2 j Vamos provar que para y < 0 (|y| = −y), podemos sempre fazer isto y · (−j) = y · (0, −1) = y · 0, |y| · (−1) ou ainda isto ´e

y · (−j) = 0, (−y) · (−1) = (0, y)

y · (−j) = (0, −|y|) = − |y| (0, 1) = − |y| j

Vamos colocar em destaque

y · (−j) = − |y| j,

y<0

(1.6)

Portanto, em qualquer situa¸c˜ao podemos escrever

w = (x, y) = x + y j chamada forma alg´ebrica do nne w = (x, y). Por exemplo, retomando (1.5) acima w = (3, −2) = 3 + (−2) · (−j) = 3 + − | − 2| j) isto ´e w = (3, −2) = 3 + − 2 j) = 3 − 2 j

Observe que podemos adicionar dois n´ umeros na forma alg´ebrica (a + b j) + (c + d j) = (a + c) + (b + d) j no entanto, n˜ ao podemos multiplic´ a-los (a + b j) · (c + d j) aplicando a propriedade distributiva, a exemplo do que ocorre nos Complexos. 42

Um milagre aos olhos dos habitantes Complexos Se algum dia um matem´ atico do Universo complexo se defrontar com a seguinte equa¸c˜ ao alg´ebrica elementar

(−1 · x + x) · x = −1

ele ter´ a duas sa´ıdas: abandonar o “jogo” ou consultar um matem´ atico do universo B. De fato, esta é uma equa¸cão imposs´ıvel de se resolver dentro dos universos numéricos conhecidos dos matem´ aticos (hodiernos), em raz˜ ao de que vale: (−1 · x + x) · x = −1 ⇐⇒ 0 · x = −1 Pois bem, vamos assumir o desafio. Teorema 3 (Gentil/04.12.2008). A seguinte equa¸cão tem solu¸cão em B.

(−1 · x + x) · x = −1

Prova: Tomando x = (c, d ), pela pne, temos

−1 · x = −1 · (c, d ) = (−c, d ) portanto −1 · x + x = (−c, d ) + (c, d ) = (0, 2 d ) substituindo este resultado na equa¸c˜ao original, obtemos (0, 2 d ) · (c, d ) = −1 Vamos enxergar esta multiplica¸c˜ ao do seguinte modo: (0, 2 d ) · (c, d ) = −1 | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Sendo assim, no produto (0, 2 d ) · (c, d ) = −1 | {z } | {z } (a, b)

sobram as possibilidades

(a, b) · (c, d) =

(c, d)

  (−b d, 0),

se a = 0, c = 0;

 − b d sign (c), b |c| , se a = 0, c 6= 0;

Ent˜ ao, na primeira possibilidade (−b d, 0) = (−2 d d, 0) = −1 = (−1, 0) donde

√ 2 −2 d = −1 ⇒ d=± 2 Portanto, neste caso temos duas solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao proposta √ 2 x = (c, d) = 0, ± 2 2

Na segunda possibilidade − b d sign (c), b |c| = −1

− 2 d d sign (c), 2 d |c| = (−1, 0)

⇒

Daqui concluimos que d = 0 e chegamos a um absurdo, esta segunda possibilidade deve ser descartada. Resumindo, em B-2D temos duas solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao

estas

(−1 · x + x) · x = −1

√ 2 x = 0, 2 Ou ainda, na forma alg´ebrica √ 2 j x= 2

√ 2 0, − 2

√ 2 x=− j 2

Observe que o n´ umero j foi o respons´ avel por este milagre!.

Nas telas a seguir

confirmamos as duas solu¸c˜ oes da equa¸c˜ao

(−1 · x + x) · x = −1 Nota: Na segunda linha, das telas acima, temos a conta entre parênteses √ (−1 · x + x) = ± [ 0, 2 ] na terceira linha multiplicamos o resultado por x. A t´ıtulo de curiosidade, observe que das duas equa¸cões abaixo: x2 + 1 = 0 (−1 · x + x) · x + 1 = 0 com o n´ umero i (complexo) resolvemos apenas a primeira, ao passo que com o n´ umero j resolvemos as duas. A propósito, considere a equa¸c˜ ao (sem solu¸cão) 0 · x = b, b 6= 0

(1.7)

nos reais, ou complexos; como nestes universos vale 0 = −1 · x + x 0 = −1 · (−x) + (−x) Segue-se que 0·x=b

⇐⇒

  ( −1 · x + x ) · x = b 

− 1 · (−x) + (−x) · x = b

(1.8)

Embora n˜ ao possamos resolver diretamente a equa¸c˜ao (1.7) em B, entretanto podemos resolver suas equivalentes, dadas acima. 45

Se b > 0, resolvemos a segunda das equa¸cões em (1.8), caso contr´ ario resolvemos a primeira. Por exemplo, seja a equa¸cão 0 · x = 1, então 0 · x = 1 ⇐⇒ − 1 · (−x) + (−x) · x = 1

Tomando x = (c, d), temos, −x = (−c, −d), logo

−1 · (−x) + (−x) = −1 · (−c, −d) + (−c, −d) = (c, −d) + (−c, −d) = (0, −2d)

Ent˜ ao (−1 · (−x) + (−x)) · x = 1 ⇒ (0, −2d) · (c, d) = 1 Vejamos esta multiplica¸c˜ao da seguinte forma: (0, −2d) · (c, d) = 1 | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

Neste caso, temos as possibilidades

(a, b) · (c, d) =

  (−b d, 0),

se a = 0, c = 0;

 − b d sign (c), b |c| , se a = 0, c 6= 0;

Ent˜ ao, na primeira possibilidade

donde

(−b d, 0) = − (−2 d) d, 0 = 1 = (1, 0) √

2 2 Portanto, neste caso temos duas solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao proposta √ 2 x = (c, d) = 0, ± 2 2

⇒

2d = 1

Na segunda possibilidade − b d sign (c), b |c| = −1

⇒

d=±

− (−2d) d sign (c), −2 d |c| = (1, 0)

Daqui concluimos que d = 0 e chegamos a um absurdo, esta segunda possibilidade deve ser descartada.

1.8

Divis˜ ao por zero

Considere novamente as rela¸c˜ oes 0 = −1 · x + x 0 = −1 · (−x) + (−x) Por exemplo, o quociente

1 1 = 0 −1 · x + x nos reais ou complexos n˜ ao faz sentido. Nos n´ umeros n~ ao euclidianos o valor do quociente 1 −1 · x + x

faz sentido. Por exemplo, seja x = j = (0, 1), ent˜ao

−1 · x + x = −1 · (0, 1) + (0, 1) = (0, 2) portanto 1 1 1 1 = (0, −1) = = (0, 2)−1 = 0, − −1 · x + x (0, 2) 2 2 De modo geral, considere x = (a, b), com b 6= 0, temos −1 · x + x = −1 · (a, b) + (a, b) = (−a, b) + (a, b) = (0, 2b) portanto

1 1 = = (0, 2b)−1 −1 · x + x (0, 2b)

Lembrando do algoritmo para inverter o nne (a, b): w−1 = temos

Logo

−b a , a2 + b2 a2 + b2

−1 (0, 2b)−1 = 0, 2b −1 1 = 0, −1 · x + x 2b

Novamente o respons´ avel por este milagre − “divis˜ao por zero” − foi o n´ umero j. 47

A prop´osito, observe na identidade −1 −1 1 1 ⇒ = 0, = 0, −1 · x + x 2b −1 · (a, b) + (a, b) 2b 1 (chamemo-lo assim) n˜ ao depende −1 · x + x de a. Isto nos sugere definir a seguinte transforma¸c˜ao agico” que o “quociente m´

f : R2 − R → R2 x

7→

1 −1·x+x

Esta aplica¸c˜ ao tem uma propriedade interessante: “transforma o infinito em zero”; perd˜ ao, dizemos: ela colapsa uma reta infinita em um u ´nico ponto. Por exemplo, em x = (a, b) fixando b = k temos a seguinte reta Γ = { (a, b) ∈ R2 : b = k }

−1p

տ f (Γ) − Imagem da reta Γ

Exemplo: Resolva a seguinte equa¸c˜ao∗ :

1 2 0

= −1

Solu¸ c˜ ao: Consideremos a seguinte “equivalˆencia” (em C): 2 2 1 1 1 1 −1 · x + x = 0 ⇔ = = ⇔ 0 −1 · x + x 0 −1 · x + x Em B estamos aptos a resolver a seguinte equa¸c˜ao “equivalente”

1 −1·x + x

= −1

Com efeito, seja x = (a, b), com b 6= 0; vimos anteriormente que −1 1 = 0, −1 · x + x 2b

portanto, nosso desafio resume-se a resolver a equa¸c˜ao −1 2 = −1 0, 2b

Vejamos esta multiplica¸c˜ ao assim: −1 −1 0, · 0, = −1 | {z2b } | {z2b } (a, b)

(c, d)

Pela defini¸c˜ ao de multiplica¸c˜ ao em B, temos −1 −1 − · , 0 = (−1, 0) 2b 2b logo

donde

−

1 , 0 = (−1, 0) 4b2

1 1 = −1 ⇒ b = ± 4b2 2

∗

A rigor esta equa¸c˜ ao − como se apresenta − n˜ ao faz sentido em lugar algum da matem´ atica, considere este enunciado como uma “brincadeira ” . . . por´em destinada a tornar-se s´eria.

Portanto, existem “duas” solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao

1 −1·x + x

= −1

(1.9)

quais sejam: x = (a, ± 21 ). Geometricamente o conjunto solu¸c˜ao da nossa equa¸c˜ ao constitui-se em duas retas paralelas ao eixo ox, situados a uma distˆ ancia de 21 da origem, assim:

Γ2

1 2

−1p

Γ1

− 21

O conjunto solu¸c˜ ao da equa¸c˜ao (1.9) ´e S = Γ1 ∪ Γ2 ou ainda S=

(a, b) ∈ R3 : b = −

1o[n 1o (a, b) ∈ R3 : b = 2 2

Nas telas a seguir confirmamos as duas “retas solu¸c˜oes” da equa¸c˜ao (1.9)

Γ1

Γ2

1.9

Forma trigonom´ etrica

Defini¸ c˜ ao 3 (Conjugado). Chama-se conjugado do nne w = (a, b) ao nne w = (a, −b), isto ´e: w = (a, b) ⇔ w = (a, −b)

Defini¸ c˜ ao 4 (Norma). Chama-se norma do nne w = (a, b) ao n´ umero real N (w) = a2 + b2

Defini¸ c˜ ao 5 (M´odulo). Chama-se m´ odulo do nne w = (a, b) ao n´ umero real |w| =

N (w) =

a 2 + b2

Nota: Alternativamente podemos usar a nota¸c˜ao: r, para o m´ odulo, isto ´e p r = a 2 + b2

Proposi¸ c˜ ao 4. Seja w = (a, b) um n´ umero n~ ao euclidiano, ent˜ao w · w = |w|2 Prova: Devemos demonstrar que (a, b) · (a, −b) = a2 + b2

(1.10)

consideremos (a, b) · (a, −b) | {z } | {z } (a, b)

Ent˜ao

(c, d)

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| , 51

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Vejamos as quatro possibilidades: 1 a ) a = 0, c = 0. (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) considerando (a, b) · (a, −b) | {z } | {z } (a, b)

temos

(c, d)

(0, b) · (0, d) = − b (−b), 0 = b2 = a2 + b2

e assim provamos (1.10).

(p. 51)

2 a ) a 6= 0, c = 0. Considerando (a, b) · (a, −b) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

esta possibilidade n˜ ao pode ocorrer. 3 a ) a = 0, c 6= 0. Considerando

(a, b) · (a, −b) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

esta possibilidade n˜ ao pode ocorrer. 4 a ) a 6= 0, c 6= 0.

(a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| considerando

(a, b) · (a, −b) | {z } | {z } (a, b)

temos

(c, d)

(a, b) · (c, d) = a a − b (−b) sign (a2 ), |a| (−b) + b |a| simplificando

(a, b) · (c, d) = a2 + b2 , 0 = a2 + b2

e assim provamos (1.10).

(p. 51)

Observe que o inverso de w = (a, b) −b a , w−1 = a2 + b2 a2 + b2 pode ser escrito como a −b w−1 = , |w|2 |w|2 Ou ainda 1 ( a, −b) w−1 = |w|2

(1.11)

Proposi¸ c˜ ao 5. Sejam w1 = (a, b) e w2 = (c, d) nne e k1 > 0, k2 > 0 n´ umeros reais, ent˜ ao (k1 a, k1 b) · (k2 c, k2 d) = k1 k2 (a, b) · (c, d) Prova:    (−b d, 0),       − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Vamos demonstrar a u ´ ltima possibilidade acima, as demais ficam como exerc´ıcio. 4 a ) a 6= 0, c 6= 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| o produto

(k a, k b) · (k c, k d) | 1 {z 1 } | 2 {z 2 } (a, b)

fica

assim∗

(c, d)

(k1 a, k1 b) · (k2 c, k2 d) = (k1 a) (k2 c) − (k1 b) (k2 d) sign (a c), |k1 a| k2 d + k1 b |k2 c|

usando a pne (p. 38), temos

(k1 a, k1 b) · (k2 c, k2 d) = k1 k2 (a, b) · (c, d) ∗

sign (k λ) = sign (λ), se k > 0.

Conjugado da soma e do produto Teorema 4. Se w1 = (a, b) e w2 = (c, d) s˜ ao nne, ent˜ao (I)

w1 + w2 = w1 + w2

(II)

w1 · w2 = w1 · w2

Prova: (I) w1 + w2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), ent˜ao w1 + w2 = a + c, −(b + d)

logo

w1 + w2 = (a, −b) + (c, −d) = w1 + w2 (II) Devemos provar que (a, b) · (c, d) = (a, b) · (c, d) isto ´e (a, b) · (c, d) = (a, −b) · (c, −d) Vejamos as quatro possibilidades:   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

1 a ) a = 0, c = 0. (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) neste caso devemos provar que (0, b) · (0, d) = (0, −b) · (0, −d) temos (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) ⇒ (0, b) · (0, d) = (−b d, 0) = (0, −b) · (0, −d) Um n´ umero real ´e igual ao seu conjugado.

2 a ) a 6= 0, c = 0. Neste caso temos

(a, b) · (c, d) = − b d sign (a), |a| d Devemos provar que

(1.12)

(a, b) · (0, d) = (a, b) · (0, d) = (a, −b) · (0, −d)

(1.13)

Tomando o conjugado do produto (1.12)

(a, b) · (c, d) = − b d sign (a), |a| d

= − b d sign (a), −|a| d Considerando o lado direito de (1.13), temos (a, −b) · (0, −d) = − b d sign (a), |a| d | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

= − (−b) (−d) sign (a), |a| (−d) = − b d sign (a), −|a| d

o que coincide com o conjugado do produto dado em (1.12).

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

3 a ) a = 0, c 6= 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = − b d sign (c), b |c| Devemos provar que

(a, b) · (c, d) = (0, b) · (c, d) = (0, −b) · (c, −d) Tomando o conjugado do produto (1.14) (a, b) · (c, d) = − b d sign (c), b |c|

= − b d sign (c), −b |c| 55

(1.14)

(1.15)

Considerando o lado direito de (1.15), temos (0, −b) · (c, −d) = − b d sign (c), b |c| | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

= − (−b) (−d) sign (c), −b |c| = − b d sign (c), −b |c|

o que coincide com o conjugado do produto dado em (1.14).

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

4 a ) a 6= 0, c 6= 0. Neste caso temos

(1.16)

(a, b) · (c, d) = (a, b) · (c, d) = (a, −b) · (c, −d)

(1.17)

(a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| Devemos provar que

Tomando o conjugado do produto (1.16) (a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c|

= a c − b d sign (a c), −|a| d − b |c| Considerando o lado direito de (1.17), temos (a, −b) · (c, −d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

= a c − (−b) (−d) sign (a c), |a| (−d) + (−b) |c| = a c − b d sign (a c), −|a| d − b |c|

o que coincide com o conjugado do produto dado em (1.16).

Defini¸ c˜ ao 6 (Argumento). Chama-se argumento de um nne w = (x, y), n˜ ao nulo, ao ˆ angulo θ tal que y x e sen θ = cos θ = r r Observe que existe ao menos um ˆangulo θ satisfazendo a defini¸c˜ao, pois y 2 x 2 + cos2 θ + sen 2 θ = r r

x2 + y 2 = 1. r2 Fixado o nne w 6= 0, est˜ ao fixados cos θ e sen θ, mas o ˆangulo θ pode assumir infinitos valores, congruentes dois a dois. Assim o nne w 6= 0 tem argumento θ = θ0 + 2 k π; k ∈ Z =

onde θ0 ´e chamado argumento principal de w, ´e tal que x y cos θ0 = , sen θ0 = . r r e 0 ≤ θ0 < 2π.

(1.18)

Por vezes trabalharemos com θ0 chamando-o simplesmente argumento de w. Exemplos: 1o ) Para w =

√

q√ √ 3 + j = ( 3, 1), temos r = ( 3)2 + 12 = 2, ent˜ao √  x 3   cos θ0 = =   r 2    sen θ0   

y 1 = r 2

Tendo em conta (1.18), resulta π π ⇒ θ = + 2kπ θ0 = 6 6 √ 2o ) Para w = (0, 1), temos r = 02 + 12 = 1, ent˜ao  x 0   cos θ0 = r = 1 = 0   sen θ

1 y = r 1

Sendo assim, temos cos θ0 = 0 ⇒

sen θ0 = 1 Temos θ=

θ0 =

π 2

π + 2kπ 2

Dado um n´ umero nne w = (x, y), n˜ ao nulo, temos w = (r cos θ0 , r sen θ0 ) Sendo r > 0, podemos reescrever w = r (cos θ0 , sen θ0 ) chamada forma trigonom´ etrica canˆ onica de w. Tendo em conta a forma alg´ebrica

(p. 42)

w = (x, y) = x + y j podemos escrever

w = (r cos θ0 , r sen θ0 ) = r (cos θ0 + sen θ0 j) y

+ 0 ≤ θ0 < 2π

−

+ 0

−

• sinal do seno

Plano de Argand-Gauss Podemos representar graficamente um nne w = (x, y), no assim chamado plano de Argand-Gauss, do seguinte modo: Y

P r θ0 x

Note que a distˆ ancia entre w = (x, y) e O = (0, 0) ´e o m´ odulo de w: p |w| = x2 + y 2 = r

Nomenclatura:

XOY = plano de Argand-Gauss; OX = eixo real; OY = eixo hiperimagin´ario; P = afixo de w.

Transforma¸ c˜ ao de coordenadas As calculadoras cient´ıficas trazem as transforma¸c˜oes de coordenadas retangular para polar (e vice-versa). Estas transforma¸c˜oes podem ser aplicadas ao plano dos nne:

(x, y)

r )θ

(r, θ) → (x, y)   x = r cos θ  y

= r sen θ

(x, y) → (r, θ)   −1 (x/r)  θ = cos   r

x2 + y 2

Programa para transformar coordenadas retangulares em polares Vamos escrever um programa computacional para transformar um nne das coordenadas retangulares para polares. Antes precisamos rever um pouco das fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas. 1 ) y = arc sen x = sen −1 x. O dom´ınio e contra-dom´ınio de f = sen −1 s˜ ao dados por π π f : [ −1, 1 ] −→ − , 2 2 Temos z π π z ⇒ β = sen −1 ∴ − ≤ β≤ . sen β = r r 2 2

2 ) y = arc cos x = cos−1 x. O dom´ınio e contra-dom´ınio de f = cos−1 s˜ ao dados por f : [ −1, 1 ] −→ [ 0, π ]

π 2

−1

arc sen x

π arc cos x

−1

− π2

Nas duas primeiras telas a seguir temos um programa que converte de retangular para polar.

Na tela da direita temos algumas simula¸cões do programa. Para a execu¸cão deste programa a calculadora dever´ a est´ a fixada no modo radiano, o ângulo de saida θ também estar´ a em radiano. Caso se queira a saida em graus devemos utilizar o programa a seguir

Na tela da direita temos algumas simula¸c˜oes do programa. Os programas a seguir fazem ao contr´ ario, convertem da forma polar para a forma retangular

Utilize o programa da esquerda quando o ˆangulo estiver em radiano; utilize o programa da tela do centro quando o ˆangulo estiver em graus. Na tela da direita fazemos duas simula¸c˜ oes de cada programa.

Multiplica¸c˜ ao na forma trigonom´ etrica Sejam w1 = r1 (cos θ1 , sen θ1 ) e w2 = r2 (cos θ2 , sen θ2 ). Temos w1 · w2 = (r1 cos θ1 , r1 sen θ1 ) · (r2 cos θ2 , r2 sen θ2 ) Utilizando a proposi¸c˜ ao 5 (p. 53), escrevemos w1 · w2 = r1 r2 (cos θ1 , sen θ1 ) · (cos θ2 , sen θ2 ) Considere w1 · w2 = r1 r2 (cos θ1 , sen θ1 ) · (cos θ2 , sen θ2 ) {z } | {z } | (a, b)

(c, d)

Vamos utilizar a tabela de sinais

(a = cos θ1 , c = cos θ2 )

a˙

−1

c˙

−1

a˙ · c˙

−1

−→

−

(a, b) · (c, d) = (a c ∓ b d, |a| d + b |c|) A fórmula para multiplicar dois nne na forma trigonométrica fica assim w1 · w2 = r1 r2 (cos θ1 cos θ2 ∓ sen θ1 sen θ2 , | cos θ1 | sen θ2 + sen θ1 | cos θ2 |) Fórmula esta facilmente programável, como veremos. As seguintes identidades trigonométricas podem ser u ´ teis cos(θ1 ± θ2 ) = cos θ1 cos θ2 ∓ sen θ1 sen θ2 sen (θ1 ± θ2 ) = sen θ1 cos θ2 ± sen θ2 cos θ1

Utilizando a f´ormula

(a = cos θ1 , c = cos θ2 )

a˙

−1

c˙

−1

a˙ · c˙

−1

−→

−

w1 · w2 = r1 r2 (cos θ1 cos θ2 ∓ sen θ1 sen θ2 , | cos θ1 | sen θ2 + sen θ1 | cos θ2 |) o programa a seguir multiplica dois nne na forma trigonom´etrica w1 = r1 (cos θ1 , sen θ1 ),

w2 = r2 (cos θ2 , sen θ2 )

Exemplo:

Multiplique os seguintes n´ umeros w1 = (1, 1)

na forma trigonom´etrica.

√ 2 3 w2 = 2, − 3

√ Solu¸ c˜ ao: Sejam w1 = (1, 1) e w2 = 2, − 2 3 3 . Temos

w1 =

√

w2 = 4

2 (cos 45o , sen 45o )

√

3 3

(cos 330o , sen 330o )

w1 =

√ 2 (cos π4 , sen π4 )

w2 = 4

√

3 3

(cos 116π , sen 116π )

Com a calculadora fixada no modo radiano, entramos no programa com os a ˆngulos em radianos, assim

A saida do programa estar´ a na forma cartesiana (tela esquerda); na tela do centro temos a saida na forma trigonom´etrica, em graus; na tela da direita temos a saida na forma trigonom´etrica, em radianos.

1.10

Exegese (geom´ etrica) da unidade j

Sabemos que dado um n´ umero complexo z, a interpreta¸cão geométrica do produto i z é a de uma rota¸c˜ ao de 90o do complexo z − no sentido positivo, isto é anti-hor´ ario − . Pretendemos saber o que acontece, geometricamente, quando multiplicamos um nne w pela unidade hiperimaginária j. Inicialmente recordamos a fórmula para rota¸cão − de um ângulo θ − de um ponto (x, y) no plano: (x′ , y ′ ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)

(1.19)

(x′ , y ′ ) = ?

Rθ

(x, y)

s(x, y) θ R

Desta f´ormula obtemos, R ( 90o ) = (x cos 90o − y sen 90o , x sen 90o + y cos 90o ) R ( −90o ) = (x cos 90o + y sen 90o , −x sen 90o + y cos 90o isto ´e R ( 90o ) = (−y, x)

(1.20)

R ( −90o ) = (y, −x)

(1.21)

e Seja w = (x, y) ∈ B, fa¸camos a multiplica¸c˜ao j (x, y) = (0, 1) · (x, y) consideremos j (x, y) = (0, 1) · (x, y) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

   (−b d, 0),       − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| , 65

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Sendo assim, temos

(a, b) · (c, d) =

  (−b d, 0),

se a = 0, c = 0;

 − b d sign (c), b |c| , se a = 0, c 6= 0. j (x, y) = (0, 1) · (x, y) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

na primeira possibilidade acima, temos

j (x, y) = (0, 1) · (0, y) = (−1 · y, 0) = (−y, 0) logo j (0, y) = (−y, 0)

(1.22)

na segunda possibilidade, temos j (x, y) = − b d sign (c), b |c|

= − 1 · y sign (x), 1 · |x| isto ´e j (x, y) = − y sign (x), |x| Temos duas possibilidades j (x, y) = Comparando com

  (−y, x), se x > 0;  (y, −x), se x < 0.

R ( 90o ) = (−y, x),

R ( −90o ) = (y, −x)

concluimos que pontos do lado direito do eixo oy s˜ ao rotacionados de 90o no sentido anti-hor´ ario, e que pontos do lado esquerdo do eixo oy s˜ ao rotao cionados de 90 no sentido hor´ ario. Tendo em conta (1.22), pontos sobre o eixo oy s˜ ao rotacionados de 90o no sentido anti-hor´ ario. Resumindo:

j (x, y) =

  (−y, x),

se x ≥ 0;

 (y, −x), se x < 0. 66

∴

R (90o ) = (−y, x) R (−90o ) = (y, −x)

1.11

Rota¸c˜ ao & Oscila¸c˜ ao

Considerando z = (x, y) um n´ umero complexo, vamos realizar a seguinte multiplica¸c˜ ao (x, y) · (cos θ, sen θ) (1.23) Lembramos da multiplica¸c˜ ao Complexa (a, b) · (c, d) = (a c − b d, a d + b c) Ent˜ao (x, y) · (cos θ, sen θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) Recordando a f´ormula da rota¸c˜ ao

(p. 65)

(x′ , y ′ ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) vemos que a interpreta¸c˜ ao geométrica da multiplica¸cão (1.23) é a de uma uma rota¸c˜ ao do ponto z de um ˆ angulo θ − sentido anti-hor´ ario. Agora consideremos o produto

(x, y) · (cos θ, sen θ) nos nne e vejamos que interpreta¸ca˜o geom´etrica podemos dar. Consideremos (x, y) · (cos θ, sen θ) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

1 a ) a = 0, c = 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) Ent˜ao (x, y) · (cos θ, sen θ) = (−y sen θ, 0) isto vale para x = 0 e cos θ = 0. Ao final faremos um resumo de tudo. 67

(x, y) · (cos θ, sen θ) {z } | {z } | (a, b)

(c, d)

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

2 a ) a 6= 0, c = 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = − b d sign (a), |a| d Ent˜ ao

(x, y) · (cos θ, sen θ) = (−y sen θ sign (x), |x| sen θ)

3 a ) a = 0, c 6= 0. Neste caso temos

(a, b) · (c, d) = − b d sign (c), b |c| Ent˜ ao

(x, y) · (cos θ, sen θ) = (−y sen θ sign (cos θ), y | cos θ|)

4 a ) a 6= 0, c 6= 0. Neste caso temos

(a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| Ent˜ ao

x = 0, cos θ = 0; x 6= 0, cos θ = 0;

Podemos simplificar o quadro acima considerando cos θ = 0

⇒

θ=

π + 2kπ 2 68

θ=−

π + 2kπ 2

Temos

   (−y, 0),

⇒

(−y sen θ, 0)

  (y, 0),

e (−y sen θ sign (x), |x| sen θ)

θ=

π 2

+ 2 k π;

θ = − π2 + 2 k π

   (−y sign (x), |x|),

⇒

  (y sign (x), −|x|),

θ=

π 2

+ 2 k π;

θ = − π2 + 2 k π

Ent˜ao, para x = 0, o produto (x, y) · (cos θ, sen θ), fica  π   (−y, 0), θ = 2 + 2 k π; (0, y) · (cos θ, sen θ) =   (y, 0), θ = − π2 + 2 k π para x 6= 0, o produto (x, y) · (cos θ, sen θ), fica    (−y sign (x), |x|), (x, y) · (cos θ, sen θ) =   (y sign (x), −|x|),

θ=

π 2

+ 2 k π;

θ = − π2 + 2 k π

para os demais casos, o produto (x, y) · (cos θ, sen θ), fica   (−y sen θ sign (cos θ), y | cos θ|), x = 0, cos θ 6= 0;  x cos θ − y sen θ sign (x cos θ), |x| sen θ + y | cos θ| , x 6= 0, cos θ 6= 0. Para efeitos de simplifica¸c˜ ao da an´ alise, vamos escolher um ˆangulo de rota¸c˜ao no primeiro quadrante, 0 < θ < π2 y

− −

+ 0

• sinal do cosseno

Neste caso o produto (x, y) · (cos θ, sen θ), fica   (−y sen θ, y cos θ),

x = 0;

 x cos θ − y sen θ sign (x), |x| sen θ + y cos θ , x 6= 0.

Ou ainda

 (−y sen θ, y cos θ), x = 0;     x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ , x > 0;     x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ , x < 0.

Lembramos da multiplica¸c˜ao nos complexos

(x′ , y ′ ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) portanto, para pontos no semiplano x > 0, a multiplica¸cão dos nne é a mesma nos complexos, ou seja, a de uma rota¸cão de θ no sentido antihor´ ario. Vamos substituir na fórmula de rota¸cão acima θ por −θ, assim (x′ , y ′ ) = x cos(−θ) − y sen (−θ), x sen (−θ) + y cos(−θ)

simplificando

(x′ , y ′ ) = x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ

comparando com a multiplica¸c˜ao dos nne, concluimos que pontos no semiplano x < 0, s˜ ao rotacionados de θ no sentido negativo (hor´ ario).

y (x′ , y ′ )

(x′ , y ′ )

s (x, y)

(x, y) θ 0

s θ

Podemos combinar as rota¸c˜oes hor´ arias e anti-hor´ arias para gerar movimentos oscilat´ orios.

1.12

Potencia¸ c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 7. Sejam w um nne e n um n´ umero natural. Potˆencia de base w n e expoente n ´e o n´ umero w tal que: ( w0 = 1; wn = wn−1 · w, ∀ n, n ≥ 1.

Desta defini¸c˜ ao decorre que: w1 = w0 · w = 1 · w w2 = w1 · w = w · w w3 = w2 · w = (w · w) · w w4 = w3 · w = (w · w) · w · w

Proposi¸ c˜ ao 6. A seguinte identidade é válida  −1, se n é par; n j =  j, se n é ´ımpar.

Prova: Indu¸c˜ ao sobre n. o 1 ) n par. Para n = 2 já mostramos que a proposi¸cão é verdadeira. Suponhamos a validade da mesma para n = k, isto é, j k = −1. Mostremos que a proposi¸c˜ ao continua válida para o pr´ oximo par, n = k + 2: j k+2 = (j k · j) · j = (−1 · j) · j = j · j = j 2 = −1 2 o ) n ´ımpar. Análogo.

Na tela a seguir temos um programa para calcular a potˆencia de um nne

Na tela da direita calculamos algumas potˆencias de j = (0, 1). 71

Lema 1. Seja w = (x, y) ∈ B, ent˜ao w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y )

(1.24)

Prova: Considere w2 = (x, y) · (x, y) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

1 a ) a = 0, c = 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) logo (0, y) · (0, y) = (−y · y, 0) o que prova (1.24). 2 a ) a 6= 0, c = 0. Este caso n˜ ao pode ocorer. 3 a ) a = 0, c 6= 0. Este caso n˜ ao pode ocorer. 4 a ) a 6= 0, c 6= 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| logo

(x, y) · (x, y) = x · x − y · y sign (x2 ), |x| y + y |x| simplificando w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y )

Vamos encontrar uma f´ormula para a terceira potˆencia de w = (x, y): w3 = w2 · w = (x2 − y 2 , 2 |x| y ) · (x, y) 72

Lema 2. Seja w = (x, y) ∈ B, ent˜ao w3 =

  (−2 |x|3 sign (x), 2 x2 y),

se |x| = |y|;

 (x2 − y 2 ) x − 2 |x| y 2 sign (x2 − y 2 ) x , |x2 − y 2 | y + 2 x2 y , se |x| 6= |y|.

Prova: Considere

w3 = (x2 − y 2 , 2 |x| y ) · (x, y) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

1 a ) a = 0, c = 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) Ent˜ao, x2 − y 2 = 0 e x = 0, logo y = 0; logo w3 = (0, 0) 2 a ) a 6= 0, c = 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = − b d sign (a), |a| d Ent˜ao

w3 = (−2 |x| y y sign (x2 − y 2 ), |x2 − y 2 | y)

neste caso, x2 − y 2 6= 0 e x = 0, logo y 6= 0; temos w3 = (0, y 3 ) 3 a ) a = 0, c 6= 0. Neste caso temos

(a, b) · (c, d) = − b d sign (c), b |c| Ent˜ao

w3 = (−2 |x| y y sign (x), 2 |x| y |x|)

neste caso, x2 − y 2 = 0 e x 6= 0, logo |x| = |y| = 6 0; temos w3 = (−2 |x|3 sign (x), 2 x2 y) 73

4 a ) a 6= 0, c 6= 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| Temos x2 − y 2 6= 0 e x 6= 0; ent˜ao

w3 = (x2 − y 2 ) x − 2 |x| y y sign (x2 − y 2 ) x , |x2 − y 2 | y + 2 |x| y |x|

ou ainda

w3 = (x2 − y 2 ) x − 2 |x| y 2 sign (x2 − y 2 ) x , |x2 − y 2 | y + 2 x2 y

Resumindo

w3 =

  (0, 0),        (0, y 3 ),

  (−2 |x|3 sign (x), 2 x2 y),       (x2 − y 2 ) x − 2 |x| y 2 sign (x2 − y 2 ) x , |x2 − y 2 | y + 2 x2 y ,

se x = 0,

y = 0;

se x = 0,

y 6= 0;

se |x| = |y| = 6 0; se x2 − y 2 6= 0, x 6= 0.

Acho que podemos simplificar um pouco mais, assim w3 =

  (−2 |x|3 sign (x), 2 x2 y),

se |x| = |y|;

 (x2 − y 2 ) x − 2 |x| y 2 sign (x2 − y 2 ) x , |x2 − y 2 | y + 2 x2 y ,

se |x| 6= |y|.

Observe que a ordenada de w3 acima e a de w2 a seguir w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) est˜ ao no semiplano y ≥ 0 ou y ≤ 0; vamos provar que estes semiplanos s˜ ao fechados para a opera¸c˜ ao potencia¸c˜ao, geometricamente y

wn 0

ր y≥0

y≤0 ւ

De outro modo: as sucessivas potˆencias de w = (x, y) n˜ ao atravessam de uma faixa para a outra. 74

Proposi¸ c˜ ao 7. Seja w = (x, y) ∈ B e wn = (x′ , y ′ ), temos se y ≥ 0

ent˜ao

y ′ ≥ 0.

Prova: Indu¸c˜ ao sobre n. Para n = 2 a proposi¸cão decorre da fórmula w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) Suponhamos a proposi¸c˜ ao verdadeira para n = k. Isto é wk = (a, b), temos b ≥ 0

(hip´ otese de indu¸c˜ao)

E mostremos que vale para n = k + 1. Isto ´e, wk+1 = (e, f ) ⇒ f ≥ 0

(tese de indu¸c˜ao)

Com efeito, temos wk+1 = wk · w = (a, b) · (x, y) considere wk+1 = (a, b) · (x, y) | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

  (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

1 a ) a = 0, c = 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = (−b d, 0) a tese ´e imediata. 2 a ) a 6= 0, c = 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = − b d sign (a), |a| d

(a, b) · (0, y) = − b y sign (a), |a| y

Temos como y ≥ 0, temos |a| y ≥ 0. 75

3 a ) a = 0, c 6= 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = − b d sign (c), b |c|

(0, b) · (c, d) = − b y sign (c), b |c|

Temos

como, por hip´ otese de indu¸c˜ao, b ≥ 0, resulta f = b |c| ≥ 0. 4 a ) a 6= 0, c 6= 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| Considerando a conven¸c˜ao wk+1 = (a, b) · (x, y) = (e, f ) | {z } | {z } (a, b)

temos

(c, d)

(a, b) · (c, d) = a x − b y sign (a x), |a| y + b |x|

como, por hip´ otese, y ≥ 0 e b ≥ 0, resulta f = |a| y + b |x| ≥ 0. O caso y ≤ 0 ´e provado de modo semelhante, fica como exerc´ıcio. Na tela a seguir programamos a equa¸c˜ao w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y )

1.12.1

Potencia¸c˜ ao na forma trigonom´ etrica

  r 2 (cos 2 θ, sen 2 θ),

 r 2 (cos 2 θ, − sen 2 θ),

se cos θ ≥ 0; se cos θ < 0.

Na p´ agina 62 utilizando a tabela de sinais

(a = cos θ1 , c = cos θ2 )

a˙

−1

c˙

−1

a˙ · c˙

−1

−→

−

w1 · w2 = r1 r2 (cos θ1 cos θ2 ∓ sen θ1 sen θ2 , | cos θ1 | sen θ2 + sen θ1 | cos θ2 |) estabelecemos a f´ormula acima para a multiplica¸c˜ao dos nne w1 = r1 (cos θ1 , sen θ1 )

w2 = r2 (cos θ2 , sen θ2 )

Tomando w1 = w2 = w = r (cos θ, sen θ ), neste caso a = c = cos θ e a˙ = c, ˙ devemos olhar para as três colunas em destaque na tabela de sinais, então w · w = r · r (cos θ cos θ − sen θ sen θ, | cos θ| sen θ + sen θ | cos θ|) simplificando w2 = r 2 (cos2 θ − sen 2 θ, 2 | cos θ| sen θ) que é o mesmo resultado obtido anteriormente. 77

Exemplo: √ a) Sejam w1 = (1, 1) e w2 = 2, − 2 3 3 . Temos

w1 =

√

w2 = 4

2 (cos 45o , sen 45o )

√

3 3

(cos 330o , sen 330o )

w1 =

√ 2 (cos π4 , sen π4 )

w2 = 4

√

3 3

(cos 116π , sen 116π )

O programa a seguir utiliza a tabela de sinais (p. 77) para multiplicar dois nne na forma trigonom´etrica

A seguir multiplicamos os dois nne do exemplo a) dado acima

a saida estar´ a na forma cartesiana, na tela da direita convertemos para a forma trigonométrica. Podemos utilizar o programa anterior para o cálculo de potências na forma trigonométrica.

1.13

Radicia¸c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 8. Dado um nne w, chama-se raiz en´esima de w, e denota-se, √ n w, a um nne wk tal que wkn = w. Temos √ n

w = wk ⇐⇒ wkn = w

Exemplos: Calcular a)

√

−1

√

√ 1+j

√

−1 + j

Solu¸ c˜ ao: a) Devemos resolver a seguinte equa¸c˜ao √ 1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1 Podemos nos valer do lema 1 (p. 72), assim w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = (1, 0) Temos

( x2 − y 2 2 |x| y

=1 =0

Da segunda equa¸c˜ ao inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos que x 6= 0, logo y = 0, no que resulta x = ± 1. Portanto, s˜ ao em n´ umero de duas as ra´ızes quadradas de 1: √ √ 1 = (1, 0) ⇒ 1 = 1. √ √ 1 = (−1, 0) ⇒ 1 = −1. b) Por defini¸c˜ ao de raiz quadrada, temos √ −1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = −1. Ou ainda w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = (−1, 0) Temos

  x2 − y 2 2 |x| y

= −1 =0

Da segunda equa¸c˜ ao inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos que y 6= 0, logo x = 0, no que resulta y = ± 1. Portanto, s˜ ao em n´ umero de duas as ra´ızes quadradas de -1: √ √ −1 = (0, 1) ⇒ −1 = j. √ √ −1 = (0, −1) ⇒ −1 = −j. c)

√

j =?. Temos p

Ou ainda,

j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = j.

w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = (0, 1) Temos

( x2 − y 2 2 |x| y

=0 =1

Da primeira equa¸c˜ ao inferimos que |x| = |y|. Este resultado na segunda equa¸√ c˜ ao nos fornece: 2√|y| y = 1. Desta equa¸c˜ao concluimos que y > 0, logo, ao, x = ± 22 . Portanto y = 22 ; ent˜

√

2 2 ,

−

√

2 2

√

2 2 ,

√

2 2

Na tela acima confirmamos as duas ra´ızes de j = (0, 1). Nos complexos (para efeito de compara¸c˜ao) temos √ i= Em resumo

√ √

√

2 2 ,

j = ±1· i = ±1 ·

√

2 2

√

√ 2 2

2 2 ,

2 2

−

6= ±

=±

√

2 2 ,

−

√ 2 2

√ √ 2 2 , 2 2 √

2 2 ,

√

2 2

√

1 + j. Temos p

1 + j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1 + j.

− A bem da verdade vamos obter uma f´ormula (algoritmo) para extra¸c˜ao de ra´ızes quadradas em B, assim: p (a, b) = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = (a, b). (1.25) Temos

( x2 − y 2 2 |x| y

(1.26)

Vamos resolver este sistema supondo b 6= 0 (um nne puro); sendo assim, da segunda equa¸c˜ ao concluimos que x e y s˜ ao n˜ ao nulos. Tirando |x| na segunda equa¸c˜ ao e substituindo na primeira, obtemos: b2 − y2 = a 4y 2

4y 4 + 4ay 2 − b2 = 0

⇒

Fa¸camos y 2 = z, para obter a equa¸c˜ao auxiliar 4z 2 +4az−b2 = 0. Resolvendo esta equa¸c˜ ao, obtemos:  √ √ −a + a2 +b2  (∗) 2 2 2 −a ± a + b = z= √  −a − a2 +b2 2 (∗∗) 2

A express˜ ao (∗) ´e sempre maior ou igual a zero, de sorte que: s √ −a + a2 + b2 2 y =z ⇒ y=± 2

(1.27)

Por outro lado, 2 |x| y = b

⇒

|x| =

b 2y

⇒

x=±

b 1 2y

De sorte que, para cada valor de y dado em (1.27) temos dois valores para x (opostos, sim´etricos). Invertendo y em (1.27) e racionalizando, obtemos: √ q p 1 2 =± · a 2 + b2 + a y |b| Sendo assim, as poss´ıveis ra´ızes s˜ ao dadas por: p√  √ p√ 2 b 2 + b2 + a , 2 + b2 − a  a a   2 |b|     p√ √ p√   2 b  2 + b2 + a , − 2 + b2 − a a a −   2 |b| p√ p√ √   2 b 2 + b2 + a , 2 + b2 − a  a a −  2 |b|      p √ p    2 b √a2 + b2 + a , − √a2 + b2 − a 2

|b|

(1.28)

Nota: Nem sempre os quatro n´ umeros acima s˜ ao ra´ızes quadradas de (a, b), precisamos substituir em (1.25) para decidir. Por exemplo √ 1 + j = ±1 ·

√

2 2

p√

2 + 1,

p√

2−1

6= ±

√

2 2

p√

2 + 1,

Para efeito de compara¸c˜ao, nos Complexos temos: √

1 + i = ±1 ·

√

2 2

Temos ainda

p√

√

2 + 1,

j = ±1 ·

p√

2−1

√ p√ p√ p√ 2 − 1 = ± 22 2 + 1, 2−1 √

2 2 ,

√

2 2

6= ±

Para efeito de compara¸c˜ao, temos: √ √ √ i = ±1 · 22 , 22 = ±

√ √ 2 2 , 2 2

√

2 2 ,

√

2 2

Vejamos quando a segunda equa¸c˜ao em (1.28) ´e uma raiz quadrada de (a, b). Seja: √ q 2 −b p 2 a + b2 + a x= 2 |b| √ q − 2 p 2 y= a + b2 − a 2

x e y devem satisfazer as duas equa¸c˜oes em (1.26), por exemplo

√

2 −b qp

−√2 qp

2 |x| y = 2

a 2 + b2 + a · a2 + b2 − a

2 |b|

2 =−

+a·

a2 + b2 − a = −|b|

A primeira equa¸c˜ ao, em (1.26), é satisfeita (exerc´ıcio); donde concluimos que a segunda equa¸c˜ ao em (1.28) é uma raiz quadrada de (a, b) quando |b| = −b, isto é, quando b < 0. Obviamente que a mesma conclusão vale para a u ´ ltima equa¸cão em (1.28). Uma an´ alise semelhante vale para a primeira e terceira equa¸cões em (1.28), de sorte que podemos escrever:  p√ √ p√  a 2 + b2 + a , a 2 + b2 − a , se b > 0;  ± 1 · 22  p (a, b) = p√ √ p√   2 + b2 − a , 2 + b2 + a , − ± 1 · 2 a a se b < 0. 2 82

O programa a seguir (duas primeiras telas) sai com as ra´ızes quadradas de um nne w = (a, b) (b 6= 0):

Na tela da direita temos as ra´ızes quadradas de j = (0, 1) e 1 + j = (1, 1). Temos, pela calculadora p √ √ p √ √ ! p 1+ 2· 2 −1 + 2 · 2 , 1+j = 2 2

1+j =

−

√ 2

2·

√

√ √ ! −1 + 2 · 2 2

Compare com o resultado calculado a` m˜ ao: √ q q p √ √ 2 1 + j = ±1 · 2 + 1, 2−1 2

Na tela a seguir pedimos para a calculadora fatorar as ra´ızes quadradas de 1 + j = (1, 1)

obtivemos a tela da direita.

Ra´ızes quadradas nos Complexos Vamos deduzir uma f´ormula para extra¸c˜ao de raizes quadradas nos complexos. Temos: p (a, b) = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = (a, b). (1.29) Sendo (x, y)2 = (x2 − y 2 , 2xy), devemos resolver o seguinte sistema: ( x2 − y 2 = a (1.30) 2xy =b

Vamos resolver este sistema supondo b 6= 0 (um complexo puro); sendo assim, da segunda equa¸c˜ao concluimos que x e y s˜ ao n˜ ao nulos. Tirando x na segunda equa¸c˜ ao e substituindo na primeira, como antes, obtemos: s √ √ q −a + a2 + b2 2 p 2 a + b2 − a =± y=± (1.31) 2 2 Por outro lado, 2xy = b

⇒

b 2y

∴

b 1 2y

Invertendo y em (1.31) e racionalizando, obtemos: √ q p 2 1 a 2 + b2 + a =± · y |b| Sendo assim, as duas ra´ızes s˜ ao dadas por: p√ p√ √ 2 b 2 + b2 + a , 2 + b2 − a  a a    2 |b| p√ √ p√ 2 b 2 + b2 + a , − 2 + b2 − a  a a −   |b|  2

Ou ainda:

(a, b) =

  ± 1 ·    ±1 ·   

√

2 2

√

2 2

p√ p√ a 2 + b2 + a , a 2 + b2 − a ,

−

p√

a 2 + b2 + a ,

p√

a 2 + b2 − a ,

se b > 0; se b < 0.

Adendo: Problemas com solu¸ c˜ ao em B e n˜ ao em C Vimos anteriormente que √ √ p√ p√ p√ p√ √ 1 + j = ±1 · 22 2 + 1, 2 − 1 6= ± 22 2 + 1, 2−1 Para efeito de compara¸c˜ ao, nos Complexos temos:

√

1 + i = ±1 ·

p√

√

2 2

ou ainda p p

√ √

2 + 1,

p√

2−1

=±

p√

√

2 2

2 + 1,

√ q q √ √ 2 1+j = 2 + 1, 2−1 2 √ 2 1+j = 2 √

2 1+i= 2 √

2 1+i= 2

− q −

√

2 + 1,

√

2−1

2 + 1, −

q √

p√

2−1

(1.32)

2−1

Observamos que a raiz dada em (1.32) s´ o comparece em B, isto nos permite elaborar uma quest˜ ao com solu¸c˜ao nos B mas n˜ ao nos complexos. De fato, tendo em conta p 1 + j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1 + j

por exemplo, temos o seguinte desafio: Encontre o n´ umero z = (x, y) satisfazendo as condi¸c˜ oes∗ ( z2 = 1 + i sign (x) 6= sign (y)

N˜ao existe solu¸c˜ ao nos complexos. Agora, encontre o n´ umero w = (x, y) satisfazendo as condi¸c˜ oes ( w2 = 1 + j sign (x) 6= sign (y)

possui solu¸c˜ ao nos nne. As solu¸c˜ oes complexas est˜ ao no primeiro e terceiro quadrantes, as solu¸c˜oes nos nne no primeiro e segundo quadrantes. Muitos outros desafios, nesta linha, podem ser elaborados. ∗

sinal de x ´e diferente do sinal de y.

1.14

Apˆ endice

Imers˜ ao de B-2D e C em B-3D Seja R o sistema dos n´ umeros reais. Consideremos o produto cartesiano R × R × R = R3 : R3 = (x, y, z) : x, y, z ∈ R

Vamos tomar dois elementos, (a1 , b1 , c1 ) e (a2 , b2 , c2 ), de R3 , para dar três defini¸c˜ oes: ( i ) Igualdade: dois ternos ordenados s˜ ao iguais se, e somente se, ocorre o seguinte: (a1 , b1 , c1 ) = (a2 , b2 , c2 ) ⇔ a1 = a2 , b1 = b2 , e c1 = c2 . ( ii ) Adi¸c˜ ao: chama-se adi¸cão de dois ternos ordenados a um novo terno ordenado, obtido da seguinte forma: (a1 , b1 , c1 ) + (a2 , b2 , c2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 ) ao: chama-se multiplica¸cão de dois ternos ordenados ( iii ) Multiplica¸c˜ (a1 , b1 , c1 ) · (a2 , b2 , c2 ) a um novo terno ordenado, obtido da seguinte forma:

  (−c1 · c2 , 0, 0),           − c1 · c2 · a2 , − c1 · c2 · b2 , c · r ,   1 2  r2 r2 

se r1 = 0 e r2 = 0 (D1 ) se r1 = 0 e r2 6= 0 (D2 )

 c ·c ·a   c1 · c2 · b1 1 2 1   , , − , c · r −  2 1  r1 r1         (a · a − b · b ) γ, (a · b + a · b ) γ, c · r + c · r , 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

Onde r1 =

a21 + b21 , r2 =

a22 + b22

se r1 6= 0 e r2 = 0 (D3 ) se r1 6= 0 e r2 6= 0 (D4 )

γ =1−

c1 · c2 r1 · r2

Nota: Este sistema foi desenvolvido em um outro livro nosso, ver referˆencia [1].

Esta defini¸c˜ ao generaliza tanto os nne quanto os n´ umeros complexos ao espa¸co R3 − al´em dos pr´ oprios reais. Do seguinte modo:

R: x −→ (x, 0, 0) C : (x, y) −→ (x, y, 0) B-2D : (x, y) −→ (x, 0, y) Geometricamente

← B-2D

B-3D

C y

A prova ´e dada a seguir.

− Imers˜ ao de C

˜ de B-3D formada pelos ternos ordenados Consideremos a subestrutura C cujo terceiro termo ´e zero: ˜= C

(a, b, c) ∈ R3 : c = 0

˜ que leva cada (x, y) ∈ C ao Consideremos agora a aplica¸c˜ao f , de C em C, ˜ tipo assim: terno (x, y, 0) ∈ C, B-3D f

˜ C

(a1 , b1 )

(a1 , b1 , 0)

(a2 , b2 )

(a2 , b2 , 0)

(a1 + a2 , b1 + b2 )

(a1 + a2 , b1 + b2 , 0)

(a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 )

f: C (x, y)

(a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 , 0)

˜ C (x, y, 0)

Primeiramente notemos que f é bijetora, porquanto: ˜ é o correspondente, segundo f , de (x, y) ∈ C ( i ) todo terno (x, y, 0) ∈ C (isto quer dizer que f é sobrejetora); ( ii ) Dados (x, y) ∈ C e (x′ , y ′ ) ∈ C, com (x, y) 6= (x′ , y ′ ) os seus correspon˜ e (x′ , y ′ , 0) ∈ C ˜ s˜ dentes (x, y, 0) ∈ C ao distintos, de acordo com a defini¸cão de igualdade de ternos ordenados (isto quer dizer que f é injetora). Em segundo lugar, notemos que f preserva as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸c˜ ao pois f (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = f (a1 + a2 , b1 + b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 , 0) = (a1 , b1 , 0) + (a2 , b2 , 0) = f (a1 , b1 )) + f (a2 , b2 )

No que concerne ` a multiplica¸c˜ao, temos

f (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = f (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 ) = (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 , 0) 88

Observe que (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) est´ a em C e como tal verifica a regra de multiplica¸c˜ ao de C, isto ´e: (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 ) Por outro lado, (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 , 0) est´ a em B-3D, obedecendo, portanto, as regras operacionais deste sistema. Devemos mostrar que (a1 ·a2 −b1 ·b2 , a1 ·b2 +a2 ·b1 , 0) = (a1 , b1 , 0)·(a2 , b2 , 0) = f (a1 , b1 ) ·f (a2 , b2 )

Para efetuar o produto (a1 , b1 , 0) · (a2 , b2 , 0) temos que analisar quatro alternativas, em cada uma delas devemos ter: f (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = f (a1 , b1 ) · f (a2 , b2 )

Vamos provar para a alternativa (D4 ) (r1 6= 0 e r2 6= 0), pois para as demais se prova de modo an´ alogo. Temos

(a1 , b1 , 0) · (a2 , b2 , 0) = (a1 · a2 − b1 · b2 ) · 1, (a1 · b2 + a2 · b1 ) · 1, 0 · r2 + 0 · r1 = (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 , 0) Sendo assim (a1 ·a2 −b1 ·b2 , a1 ·b2 +a2 ·b1 , 0) = (a1 , b1 , 0)·(a2 , b2 , 0) = f (a1 , b1 ) ·f (a2 , b2 ) . ˜ que preserva as opeDevido ao fato de existir uma aplica¸c˜ao f : C → C ˜ s˜ ra¸c˜oes de adi¸c˜ ao e multiplica¸c˜ ao, dizemos que C e C ao isomorfos.

Devido ao isomorfismo, operar com (x, y, 0) leva a resultados an´ alogos aos obtidos operando com (x, y); em raz˜ ao disto faremos a identifica¸c˜ao (x, y) = (x, y, 0), ∀ (x, y) ∈ C Em particular, pela teoria dos n´ umeros complexos, podemos escrever ainda x = (x, 0) = (x, 0, 0), ∀ x ∈ R Aceita estas igualdades, temos em particular que 0 = (0, 0) = (0, 0, 0), 1 = (1, 0) = (1, 0, 0), a = (a, 0) = (a, 0, 0) Assim o corpo C dos n´ umeros complexos passa a ser considerado uma subestrutura do sistema B-3D dos nne tridimensionais.

− Imers˜ ao de B-2D

˜ de B-3D formada pelos ternos ordenados Consideremos a subestrutura B cujo segundo termo ´e zero: ˜ = (a, b, c) ∈ R3 : b = 0 B

˜ é fechado para as opera¸cões de soma e multiplicaVamos mostrar que B ˜ então, ¸c˜ ao. De fato, sejam (a1 , 0, c1 ) e (a2 , 0, c2 ) dois pontos em B, ˜ (a1 , 0, c1 ) + (a2 , 0, c2 ) = (a1 + a2 , 0, c1 + c2 ) ∈ B Por outro lado, calculando o produto

(p. 15)

(a1 , b1 , c1 ) · (a2 , b2 , c2 ) = a1 , 0, c1 ) · (a2 , 0, c2 em   (−c1 · c2 , 0, 0),           − c1 · c2 · a2 , − c1 · c2 · b2 , c · r ,   1 2  r2 r2 

se r1 = 0 e r2 = 0 (D1 ) se r1 = 0 e r2 6= 0 (D2 )

 c ·c ·a   c ·c ·b   − 1 2 1 , − 1 2 1 , c2 · r1 ,   r1 r1         (a · a − b · b ) γ, (a · b + a · b ) γ, c · r + c · r , 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

Onde

r1 =

a1 + b1 , r2 =

a 2 + b2

se r1 6= 0 e r2 = 0 (D3 ) se r1 6= 0 e r2 6= 0 (D4 )

γ =1−

c1 · c2 r1 · r2

Resulta    − c1 · c2 , 0, 0 ,        a    − c1 · c2 2 , 0, c1 · |a2 | ,   |a2 |

se a1 = 0 e a2 = 0 se a1 = 0 e a2 6= 0

  a   − c1 · c2 1 , 0, c2 · |a1 | ,   |a1 |      a ·a    a1 · a2 − c1 · c2 1 2 , 0, c1 · |a2 | + c2 · |a1 | , |a1 | · |a2 | Onde

r1 = |a1 | , r2 = |a2 | e γ = 1 − ˜ Portanto, (a1 , 0, c1 ) · (a2 , 0, c2 ) ∈ B. 90

se a1 6= 0 e a2 = 0 se a1 6= 0 e a2 6= 0

c1 · c2 |a1 | · |a2 |

˜ que leva cada (x, y) ∈ Consideremos agora a aplica¸c˜ ao f , de B-2D em B, ˜ B-2D ao terno (x, 0, y) ∈ B, tipo assim: B-3D f

B-2D

˜ B

(a1 , b1 )

(a1 , 0, b1 )

(a2 , b2 )

(a2 , 0, b2 )

(a1 + a2 , b1 + b2 )

(a1 + a2 , 0, b1 + b2 )

(a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 )

f : B-2D (x, y)

(a1 · a2 − b1 · b2 , 0, a1 · b2 + a2 · b1 )

˜ B (x, 0, y)

Podemos mostrar que f é um isomorfismo. Devido ao fato de existir ˜ que preserva as opera¸cões de adi¸cão e multiuma aplica¸c˜ ao f : B-2D → B ˜ s˜ plica¸cão, dizemos que B-2D e B ao isomorfos. Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0, y) leva a resultados an´ alogos aos obtidos operando com (x, y); em raz˜ ao disto podemos fazer a identifica¸cão que se segue: (x, y) = (x, 0, y), ∀ (x, y) ∈ B-2D Em particular, pela teoria dos nne 2D, podemos escrever ainda x = (x, 0) = (x, 0, 0), ∀ x ∈ R Aceita estas igualdades, temos em particular que 0 = (0, 0) = (0, 0, 0), 1 = (1, 0) = (1, 0, 0), (0, 1) = (0, 0, 1) = j. Assim o sistema B-2D, dos n´ umeros nne bidimensionais, passa a ser considerado um subsistema do sistema B-3D dos nne tridimensionais. Em resumo, os n´ umeros B-3D generalizam, a um s´ o tempo, os n´ umeros complexos e os nne 2D.

Uma f´ ormula in´ edita “Gostei da sua f´ ormula” Carlos Gustavo T. de A. Moreira (Gugu/IMPA) Durante muitos anos − possivelmente séculos − os matem´ aticos estiveram ` a procura de uma fórmula para a soma de potências dos n´ umeros naturais, ninguém teve êxito, coube a mim materializar essa aspira¸cão. Teorema 5 (Gentil/1997). Sendo m um n´ umero natural arbitrariamente fixado, é válida a seguinte identidade:

Onde: a(m−j) =

+ ··· + n j X

k=0

m X n = a(m−j) j+1 j=0

j (−1) (1 − k + j)m k k

Prova: Ver referˆencia [2].

Vejamos um exemplo de aplica¸c˜ao desta f´ormula (m = 3): 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

3 X n a j + 1 (3−j) j=0

n n n n = a3 + a2 + a1 + a 1 2 3 4 0 Onde: a(3−j) =

j X k=0

j 3 (−1) (1 − k + j) ; k k

( j = 0, 1, 2, 3. )

Substituindo e simplificando chegamos a 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n2 (n + 1)2 4

Nota: Com o uso da HP Prime a manipula¸cão − numérica ou algébrica − desta fórmula fica extremamente simplificada.

Cap´ıtulo

Equa¸cões O Absoluto contém todo o experienci´ avel. Mas sem o experimentador eles s˜ ao como nada. Aquilo que faz a experiência poss´ıvel é o Absoluto. Aquilo que a faz atual é o Ser. (Sri Nisargadatta Maharaj)

2.1

Introdu¸ c˜ ao

Neste cap´ıtulo vamos exibir mais algumas equa¸cões sem solu¸cão nos complexos mas com solu¸c˜ oes nos n´ umeros n~ ao euclidianos; ademais mostraremos que uma equa¸c˜ ao quadr´ atica nos nne pode ter até quatro ra´ızes, estabeleceremos uma “fórmula de Bh´ askara” para a resolu¸cão de uma equa¸cão quadr´ atica em B-2D.

B-2D

Bhaskara em C

Bhaskara em B-2D

Exemplo: A seguinte equa¸c˜ao n˜ ao possui solu¸c˜ao nos Complexos

x + (−1) x x2 = −1 nos n´ umeros n~ ao euclidianos sim. Solu¸ c˜ ao: Inicialmente vamos proceder a uma mudan¸ca de nota¸c˜ao, assim:

w + (−1) w w2 = −1 onde procuramos w = (x, y) satisfazendo

(x, y) + (−1) · (x, y) (x, y)2 = −1

Pela propriedade n˜ ao euclidiana temos

(x, y) + (−1) · (x, y) = (x, y) + (−x, y) = (0, 2y) Logo, a equa¸c˜ ao proposta fica (0, 2y) · (x, y)2 = −1 Ent˜ ao, pelo lema 1 (p. 72) temos w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) portanto, devemos resolver a equa¸c˜ao (0, 2y) · ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = −1 Vejamos esta multiplica¸c˜ao assim (0, 2y) · ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = −1 | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

(p. 38)

Lembramos do produto nos n´ umeros n~ ao euclidianos   (−b d, 0),        − b d sign (a), |a| d , (a, b) · (c, d) =   − b d sign (c), b |c| ,       a c − b d sign (a c), |a| d + b |c| ,

se a = 0, c = 0; se a 6= 0, c = 0; se a = 0, c 6= 0; se a 6= 0, c 6= 0.

Ent˜ao (0, 2y) · ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = −1 | {z } | {z } (a, b)

(c, d)

1 a ) a = 0, c = 0. Neste caso temos

(a, b) · (c, d) = (−b d, 0) Para |x| = |y|, temos (0, 2y) · ( 0, 2 |x| y ) = −1 | {z } | {z } (a, b)

Logo

(0, 2y) · ( 0, 2 |x| y ) = (−2 y · 2 |x| y, 0) = (−1, 0) | {z } | {z } (a, b)

donde

(c, d)

4 |x| y 2 = 1 utilizando |x| = |y|, resulta

|x|3 =

1 4

Aqui temos duas possibilidades: x3 = e

1 , 4

1 x3 = − , 4

Portanto x = ±

se r 3

x>0

x<0

1 1 = ±√ 3 4 4

Da igualdade |x| = |y| resultam as seguintes solu¸c˜oes da equa¸c˜ao proposta (x, y) =

1 1 √ √ , 3 4 34

(x, y) =

1 1 √ √ , − 3 3 4 4

(x, y) =

1 1 √ − √ , 3 4 34

(x, y) =

1 1 √ − √ , − 3 3 4 4

(2.1)

Vejamos a outra possibilidade 3 a ) a = 0, c 6= 0. Neste caso temos (a, b) · (c, d) = − b d sign (c), b |c| Ent˜ ao, a equa¸c˜ ao (0, 2y) · ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = −1 | {z } | {z } (a, b)

fica

(c, d)

− 2 y · 2 |x| y sign (x2 − y 2 ), 2 y |x2 − y 2 | = (−1, 0)

Daqui inferimos um absurdo, 0 = −1; esta possibilidade é descartada. Nas três telas a seguir confirmamos a solu¸cão (2.1) da equa¸cão

x + (−1) x x2 = −1

Exemplo: A seguinte equa¸c˜ ao n˜ ao possui solu¸c˜ao nos Complexos 1 1 =− 2 4 x + (−1) x x

nos nne sim. Solu¸ c˜ ao: Inicialmente vamos proceder a uma mudan¸ca de nota¸c˜ao, assim: 1 1 =− 2 4 w + (−1) w w

onde procuramos w = (x, y) satisfazendo

1 1 =− 2 4 (x, y) + (−1) · (x, y) (x, y)

o denominador da fra¸c˜ ao obtemos do exemplo anterior (p. 95), vale ( −4 |x| y 2 , 0) Sendo assim a equa¸c˜ ao proposta se torna 1 1 =− 2 ( −4 |x| y , 0) 4 Lembrando do algoritmo para inverter o hiper w = (a, b) w−1 = Temos

a −b , a2 + b2 a2 + b2

a2 + b2 = −4 |x| y 2 logo 1 = ( −4 |x| y 2 , 0)

+ 02 = 16 x2 y 4

−4 |x| y 2 ,0 16 x2 y 4

Devemos resolver a equa¸c˜ ao

|x| y 2 = 1 utilizando |x| = |y| (p. 95), resulta |x|3 = 1 Aqui temos duas possibilidades: x3 = 1,

x>0

e x3 = −1,

se 97

x<0

Portanto x = ±1 Da igualdade |x| = |y| resultam as seguintes solu¸cões da equa¸cão proposta (x, y) = (1, 1) (x, y) = (−1, 1) (x, y) = (1, −1) (x, y) = (−1, −1) Por exemplo: x = (1, 1) = 1 + i n˜ ao é solu¸cão da equa¸cão

1 x+(−1) x x2

= − 14

enquanto x = (1, 1) = 1 + j é solu¸cão desta equa¸cão. Exemplo: A equa¸c˜ ao quadr´ atica x2 − 2x + 2 = 0 possui as solu¸c˜ oes x = 1 + i e x = 1 − i, nos Complexos. Vamos resolver esta mesma equa¸c˜ ao nos nne. Solu¸ c˜ ao: Seja w = (x, y) com x, y ∈ R, vamos resolver a equa¸cão w2 − 2w + 2 = 0 tendo em conta que w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) resulta ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) − 2(x, y) + 2 = 0 Logo, devemos resolver ( x2 − y 2 − 2x + 2, 2 |x| y − 2y) = 0 Temos o sistema

  x2 − y 2 − 2x + 2 = 0 

2 |x| y − 2y = 0 98

da segunda equa¸c˜ ao obtemos (|x| − 1) y = 0 Temos duas alternativas: 1 a ) y = 0. Na primeira equa¸c˜ ao do sistema resulta x2 − 2x + 2 = 0 esta equa¸c˜ ao n˜ ao possui solu¸c˜ ao real. 2 a ) y 6= 0. Neste caso devemos ter x = ±1. Na primeira equa¸c˜ao do sistema, resulta − y 2 − 2 (±1) + 3 = 0 Donde obtemos as seguintes solu¸c˜ oes (1, −1) √ (−1, − 5)

(1, 1), √ (−1, 5),

ou seja, al´em das solu¸c˜ oes complexas obtivemos duas outras. Plotando as respectivas solu¸c˜ oes temos

B−2D

y 1

x −1q

q1 q

• Solu¸ co ~es da equa¸ ca ~o X 2 − 2X + 2 = 0 99

A seguir confirmamos as respectivas solu¸c˜oes em ambos os sistemas C

B−2D

Nota: Nos exemplos em que o n´ umero de solu¸cões nos nne excede o n´ umero de solu¸c˜ oes nos complexos podemos elaborar problemas que n˜ ao têm solu¸cão nos complexos, por exemplo Desafio: Resolva a seguinte equa¸cão x2 − 2x + 2 = 0 com a condi¸c˜ ao |x| > 2.

Como um outro exemplo, ver p´ agina 114.

100

2.2

Resolu¸c˜ ao da equa¸ c˜ ao ax2 + bx + c = 0

Agora vamos resolver a equa¸c˜ ao quadr´ atica (mais geral) a x2 + b x + c = 0,

onde a, b, c ∈ R ; a 6= 0.

Solu¸ c˜ ao: Seja w = (x, y), com x, y ∈ R; devemos resolver a equa¸c˜ao a w2 + b w + c = 0

(2.2)

ou ainda a (x, y)2 + b (x, y) + c = 0 Sendo w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) temos a ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) + b (x, y) + c = 0 donde resulta o seguinte sistema   a ( x2 − y 2 ) + b x + c = 0 

2 a |x| y + b y = 0

Da segunda equa¸c˜ ao obtemos (2 a |x| + b) y = 0 Temos duas alternativas: 1 a ) y = 0. Na primeira equa¸c˜ ao do sistema resulta a x2 + b x + c = 0 Se ∆ = b2 − 4 a c ≥ 0, a equa¸c˜ ao (2.2) possui solu¸c˜ao, caso contr´ ario n˜ ao (com y = 0, bem entendido). 2 a ) y 6= 0. Neste caso devemos ter |x| =

−b 2a

(2.3)

Neste caso, s´ o existe solu¸c˜ ao se sign (a) 6= sign (b). Se for este o caso, substituindo na primeira equa¸c˜ ao do sistema, resulta −b 2 −b 2 a + c=0 −y +b ± 2a 2a Daqui derivamos duas equa¸c˜ oes 101

 −b  b2  2  + c=0 − y + b a   4 a2 2a      2  b   b  2  a + c=0 − y + b  4 a2 2a

Simplificando

 2  2 = −b − 4 a c = − ∆  y    4 a2 4 a2 

   2    y2 = 3 b + 4 a c = ∇ 4 a2 4 a2 respectivamente. Resumindo at´e aqui:

a w2 + b w + c = 0,

onde a, b, c ∈ R ; a 6= 0.

w = (x, y)

y=0 ! √ −b ± ∆ ,0 2a

∆≥0

⇒

∆<0

⇒

w = (x, y), x 6∈ R

y 6= 0

sign (a) 6= sign (b)

i) x =

−b 2a

⇒

y2 = −

ii) x =

b 2a

⇒

y2 =

b2 − 4 a c ∆ =− 2 4a2 4a

3 b2 + 4 a c ∇ = 2 4a 4 a2

102

Na tabela da esquerda a seguir temos todas as combina¸c˜oes poss´ıveis quanto aos sinais de a, b e c da equa¸c˜ao a x2 + b x + c = 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

a −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1

b −1 −1 −1 0 0 0 1 1 1 −1 −1 −1 0 0 0 1 1 1 −1 −1 −1 0 0 0 1 1 1

c −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 4 6 7 9 10 12 13 15 16 18 19 21 22 24 25 27

a b −1 −1 1 −1 −1 0 1 0 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 0 1 0 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 0 1 0 −1 1 1 1

c −1 −1 −1 −1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

3 6 9 12 15 18 21 24 27

a b 1 −1 1 0 1 1 1 −1 1 0 1 1 1 −1 1 0 1 1

c −1 −1 −1 0 0 0 1 1 1

Na tabela do centro excluimos as combina¸cões nas quais sign (a) = 0; na tabela da direita consideramos apenas as combina¸cões nas quais sign (a) = 1; podemos fazer isto sem perda de generalidade. Nota: Lembramos da outra nota¸cão para o sinal de uma vari´ avel, assim sign (a) = a˙ ou seja, encimamos a vari´ avel com um ponto. 103

Consideremos a tabela de sinais a seguir

3 6 9 12 15 18 21 24 27

a b 1 −1 1 0 1 1 1 −1 1 0 1 1 1 −1 1 0 1 1

c −1 −1 −1 0 0 0 1 1 1

∆ = b2 − 4 a c ∇ = 3 b2 + 4 a c

Analisaremos linha a linha os efeitos da tabela acima, juntamente com o quadro amarelo da p´ agina 102. − linha 3: a˙ = 1, b˙ = −1, c˙ = −1.       

∆ = b2 − 4 a c > 0.

√ −b ± ∆ w = (x, 0), x = 2a

      Se ∇ > 0 ⇒

w = (x, y), x =

b ∇ , y2 = 2a 4 a2

− linha 6: a˙ = 1, b˙ = 0, c˙ = −1. ∆ = −4 a c > 0 ; ∇ = 4 a c < 0. √ −b ± ∆ ∆ > 0 ⇒ w = (x, 0), x = 2a − linha 9: a˙ = 1, b˙ = 1, c˙ = −1.

∆ = b2 − 4 a c > 0. √ −b ± ∆ ∆ > 0 ⇒ w = (x, 0), x = 2a

− linha 12: a˙ = 1, b˙ = −1, c˙ = 0. ∆ = b2 > 0 ; ∇ = 3 b2 > 0.      w = (x, 0),

    w = (x, y),

√ −b ± ∆ x= 2a x=

104

∇ b , y2 = 2a 4 a2

− linha 15: a˙ = 1, b˙ = 0, c˙ = 0. ∆ = 0 ; ∇ = 0. w = (0, 0, 0) − linha 18: a˙ = 1, b˙ = 1, c˙ = 0. ∆ = b2 > 0 ; ∇ = 3 b2 > 0. √ −b ± ∆ w = (x, 0), x = 2a − linha 21: a˙ = 1, b˙ = −1, c˙ = 1.

∇ = 3 b2 + 4 a c > 0. √ −b ± ∆ Se ∆ ≥ 0 ⇒ w = (x, 0), x = 2a Se ∆ < 0 ⇒

w = (x, y), x = −

∇ > 0 ⇒ w = (x, y), x =

−∆ b , y2 = 2a 4 a2

∇ b , y2 = 2a 4 a2

− linha 24: a˙ = 1, b˙ = 0, c˙ = 1. ∆ = −4 a c < 0 ; ∇ = 4 a c > 0.  b −∆  2    w = (x, y), x = − 2 a = 0, y = 4 a2     w = (x, y), x = b = 0, y 2 = ∇ 2a 4 a2

Nota: Aqui teremos duas ra´ızes repetidas. − linha 27: a˙ = 1, b˙ = 1, c˙ = 1.

√ −b ± ∆ Se ∆ ≥ 0 ⇒ w = (x, 0), x = 2a Se ∆ < 0 ⇒ S = ∅

Com a tabela de sinais e o aux´ılio do resumo no quadro que consta na p´ agina 102 elaboramos o seguinte programa para o c´alculo das ra´ızes da equa¸c˜ao a x2 + b x + c = 0 em B-2D.

105

2.2.1

F´ ormula de Bhaskara em B-2D

(Na p´ ag. 111 outra listagem)

Nota: Na p´ agina 111 mostramos uma outra listagem para este programa.

106

Nas trˆes telas a seguir resolvemos algumas equa¸c˜oes

x2 − 1 = 0 x2 + 1 = 0

x2 + x = 0 x2 − x = 0

x2 − 2x + 2 = 0 x2 + 2x − 2 = 0

Vamos conferir as quatro ra´ızes da equa¸c˜ao √ √ o n 3 −1 3 −1 2 ˆ , ,− , x −x = 0 : S = (1, 0), (0, 0), 2 2 2 2 O programa que consta a seguir (tela esquerda) calcula o quadrado de um nne

Observe que ao resolver uma equa¸cão quadr´ atica as ra´ızes ficam armaˆ zenadas na vari´ avel (lista) S, e que podemos ter acesso a qualquer uma das ra´ızes, como, por exemplo, o fizemos na tela do centro, onde também pedi√ 3 , − mos a dimensão da lista. Na tela da direita comprovamos que −1 2 2 é de fato raiz da equa¸c˜ ao. x2 − x = 0, melhor dizendo da equa¸cão w2 − w = 0

Para agilizar o processo de checagem das ra´ızes, na tela a seguir definimos a fun¸c˜ao f (w) = w2 − w

Ap´os pressionar Enter a calculadora nos devolve √ a tela do centro. Na tela −1 da direita calculamos a fun¸c˜ ao para w = 2 , − 23 , confirmando que de fato temos uma raiz. 107

Mas n˜ ao precisamos nem digitar w como argumento da fun¸c˜ao, pegamos ˆ como na tela a seguir direto da pr´ opria lista S,

As telas acima confirmam os quatro n´ umeros como ra´ızes da equa¸cão em quest˜ ao. Nem toda equa¸c˜ ao quadr´ atica possui solu¸cão em B-2D, por exemplo x2 + 2 x + 2 = 0 no entanto, esta mesma equa¸cão possui solu¸cão em B-3D (p. 87). A seguir comparamos a solu¸cão da equa¸cão acima nos três sistemas numéricos, C, B-2D e B-3D. x2 + 2 x + 2 = 0

S = { (−1, −1), (−1, 1) }

B-2D:

S=∅

B-3D:

S = { (−1, −1, 0), (−1, 1, 0) }

Condi¸ c˜ ao suficiente para quatro ra´ızes Do quadro amarelo que consta na p´ agina 102 concluimos que uma condi¸c˜ ao suficiente para que a equa¸c˜ao quadr´ atica a x2 + b x + c = 0,

onde a, b, c ∈ R ; a 6= 0.

tenha quatro ra´ızes em B-2D ´e  sign (a) 6= sign (b)        

∆ = b2 − 4 a c < 0

∇ = 3 b2 + 4 a c > 0

No entanto, esta condi¸caõ n˜ ao é necessária, por exemplo, x2 − x = 0. 108

A equa¸c˜ ao ax2 + bx + c = 0 nos Complexos Agora vamos resolver nos complexos − para efeito de compara¸c˜ao − a equa¸c˜ao quadr´ atica a x2 + b x + c = 0,

onde a, b, c ∈ R ; a 6= 0.

Solu¸ c˜ ao: Seja z = (x, y), devemos resolver a equa¸c˜ao a z2 + b z + c = 0

(2.4)

ou ainda a (x, y)2 + b (x, y) + c = 0 Considerando o produto complexo (a, b) · (c, d) = (a c − b d, a d + b c) (x, y) · (x, y) = (x · x − y · y, x · y + y · x) Sendo z 2 = ( x2 − y 2 , 2 x y )

temos

a ( x2 − y 2 , 2 x y ) + b (x, y) + c = 0

donde resulta o seguinte sistema   a ( x2 − y 2 ) + b x + c = 0 

2axy + by = 0

Da segunda equa¸c˜ ao obtemos (2 a x + b) y = 0 Temos duas alternativas: 1 a ) y = 0. Na primeira equa¸c˜ ao do sistema resulta a x2 + b x + c = 0 Se ∆ = b2 − 4 a c ≥ 0, a equa¸c˜ ao (2.4) possui solu¸c˜ao −b ± √∆ ,0 2a caso contr´ ario n˜ ao (com y = 0, bem entendido). 2 a ) y 6= 0. Neste caso devemos ter

−b 2a substituindo na primeira equa¸c˜ ao do sistema, resulta −b −b 2 2 + c=0 −y +b a 2a 2a x=

Daqui derivamos a equa¸c˜ ao

109

(2.5)

Simplificando ∆ b2 − 4 a c =− 2 4 a2 4a donde concluimos que se ∆ < 0 ent˜ao teremos as solu¸c˜oes y2 = −

−b 2a

,±

1 √ −∆ 2|a|

As duas resolu¸c˜ oes diferem essencialmente nos seguintes pontos: (p. 101) |x| =

−b 2a

(p. 109)

−b 2a

Nas telas a seguir apresentamos a solu¸c˜ao de algumas equa¸c˜oes em ambos os sistemas

Observe que em B n˜ ao faz sentido fatorar uma equa¸cão a partir de suas ra´ızes, pela raz˜ ao de que a multiplica¸cão n˜ ao é distributiva. No entanto, a o uma equa¸c˜ ao do 2 grau com quatro ra´ızes corresponde uma equa¸cão do 4 o grau em C com “as mesmas” ra´ızes. Por exemplo, a equa¸cão √ √ o n −1 3 3 −1 2 B: x − x = 0, S = (0, 0), (1, 0), , ,− , 2 2 2 2 corresponde a

√ √ −1 3 3 −1 ,− , · x− = 0 x − (0, 0) · x − (1, 0) · x − 2 2 2 2

expandindo C:

x − x = 0,

(0, 0), (1, 0),

110

√ √ o −1 3 3 , ,− , 2 2 2 2

−1

F´ ormula do Iconoclasta para a resolu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao quadr´ atica ax2 + bx + c = 0 nos B-2D #cas REQ 2D(a,b,c):= BEGIN ˆ ∆ := b ∧ 2 − 4 a ∗ c; ∇ := 3 b ∧ 2 + 4 a ∗ c; purge (S); // linha 3 IF sign (b) = = −1 and sign (c) = = −1 THEN √ √ Sˆ = { [(−b + ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − ∆ )/(2 a), 0 ] } IF ∇ > 0 THEN √ √ Sˆ = { [(−b + ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − ∆ )/(2 a), 0 ], √ √ [b/(2a), ∇/(2a)], [b/(2a), − ∇/(2a)] } END; END;

// linha 6 IF sign (b) = = 0 and sign (c) = = −1 THEN √ √ Sˆ = { [(−b + ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − ∆ )/(2 a), 0 ] } END; // linha 9 IF sign (b) = = 1 and sign (c) = = −1 THEN √ √ Sˆ = { [(−b + ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − ∆ )/(2 a), 0 ] } END; // linha 12 IF sign (b) = = −1 and sign (c) = = 0 THEN √ √ Sˆ = { [(−b + ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − ∆ )/(2 a), 0 ], √ √ [b/(2a), ∇/(2a)], [b/(2a), − ∇/(2a)] }

END;

// linha 15 IF sign (b) = = 0 and sign (c) = = 0 THEN Sˆ = { [0, 0, 0] } END; continua ֒→ 111

// linha 18 IF sign (b) = = 1 and sign (c) = = 0 THEN √ √ Sˆ = { [(−b + ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − ∆ )/(2 a), 0 ] } END; // linha 21 IF sign (b) = = −1 and sign (c) = = 1 THEN IF ∆ ≥ 0 THEN √ √ ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − √∆ )/(2 a), 0 ], Sˆ = { [(−b + √ [b/(2a), ∇/(2a) ], [b/(2a), − ∇/(2a) ] } ELSE p p Sˆ = { [−b/(2a), (−∆)/(2a) ], [−b/(2a), − (−∆)/(2a)], √ √ [b/(2a), ∇/(2a)], [b/(2a), − ∇/(2a)] } END END; // linha 24 IF sign (b) = = 0 and sign (c) = = 1 THEN p p Sˆ = { [0, (−∆)/(2a)], [0, − (−∆)/(2a)], √ √ [0, ∇/(2a)], [0, − ∇/(2a)] } END; // linha 27 IF sign (b) = = 1 and sign (c) = = 1 THEN IF ∆ ≥ 0 THEN √ √ Sˆ = { [(−b + ∆ )/(2 a), 0 ], [(−b − ∆ )/(2 a), 0 ] } ELSE Sˆ = ∅ END; END; Sˆ

END; #end

112

2.2.2

Um problema cl´ assico no contexto dos nne

Alguns problemas cl´ assicos que surgiram no estudo das equa¸cões quadr´ aticas e c´ ubicas − ao longo da hist´ oria da álgebra − podem ter uma reinterpreta¸c˜ ao no universo dos nne. A t´ıtulo de ilustra¸cão vamos resolver o clássico Problema: Separar o n´ umero 10 em duas partes x e y tais que o produto destas seja 40. Solu¸ c˜ ao: Devemos resolver o seguinte sistema (

x + y = 10 x · y = 40

1 o ) Resolu¸c˜ ao no universo C. Tirando y na primeira equa¸c˜ ao e substituindo na segunda, obtemos: x · 10 + (−x) = 40

Aplicando a propriedade distributiva e associativa temos 10 x − x2 = 40, ou x2 − 10x + 40 = 0 Sendo assim, temos x=

−(−10) ±

√ (−10)2 − 4 · 1 · 40 = 5 ± −15 2

Portanto, em C, temos uma u ´ nica solu¸c˜ao para este problema:

x= 5+i y =5−i

√ √

x=5+i

√

15 X

y=5−i

√

113

(2.6)

A solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao x2 − 10x + 40 = 0 nos nne ´e dada na tela a seguir Y

x = −5 + j

√

115

x=5+j

√

15 X

p5 y=5−j

y = −5 − j

√

√ 15

115

Na p´ agina 100 dissemos que quando o n´ umero de solu¸cões de uma equaç˜ ao nos nne excede o n´ umero de solu¸cões nos complexos podemos elaborar problemas que n˜ ao têm solu¸cão nos complexos; como mais um exemplo Problema: Separar o n´ umero 10 em duas partes x e y tais que o produto destas seja 40. O que conduz ao seguinte sistema (

x + y = 10 x · y = 40

o qual possui solu¸c˜ ao nos complexos. Se acrescentarmos ao problema a condi¸c˜ ao: tais que √ |x| = |y| = 2 35 o problema passa a n˜ ao ter solu¸c˜ao nos complexos, apenas nos nne.

114

Um desafio para as férias Introdu¸ c˜ ao: Um problema clássico na história da matemática é o seguinte: separar o n´ umero 10 em duas partes x e y tais que o produto destas seja 40. O que conduz ao seguinte sistema:

(

x + y = 10 x · y = 40

Considere o seguinte problema similar: separar o n´ umero −10 em ′ ′ duas partes x e y tais que o produto destas seja 140. O que conduz ao seguinte sistema:

(

x′ + y ′ = −10 x′ · y ′ = 140

Desafio: O nosso desafio consta no seguinte: Obter uma u ´ nica equa¸c˜ao quadr´atica 2

ax + bx + c = 0

de tal modo que ao ser resolvida nos forne¸ca solu¸cões para ambos os sistemas acima. De outro modo: no conjunto solu¸cão S da equa¸cão quadrática pedida vamos encontrar ra´ızes que satisfazem a ambos os sistemas acima. Prˆ emio: Estamos ofertando uma HP PRIME novinha na caixa. − ao primeiro que apresentar a solu¸cão. Boa Vista-RR/07.12.2017 gentil.iconoclasta@gmail.com 115

Apˆ endice: Listagem dos programas 1)

pnne, p. 20

• Multiplica dois nne: w1 · w2 2) phalg, p. 21 • A partir dos sinais de a e c fornece a f´ormula do produto: (a, b) · (c, d) 3)

phalgxy, p. 26

• A partir dos sinais de a e c fornece a f´ormula do produto: (a, b) · (x, y) 4) dnne, p. 30 • Divide dois nne: w1 /w2 5)

RPP, p. 61

• Retangular para polar: (x, y) → r

6) RPP G, p. 61 • Retangular para polar (com saida em graus): (x, y) → r 7)

PR R, p. 61

• Polar para retangular (ˆangulo em radiano): r 8) PR G, p. 61 • Polar para retangular (ˆangulo em grau): r 9)

→ (x, y)

PFT, p. 63

• Multiplica dois nne na forma trigonom´etrica: w1 · w2 w1 = r1 (cos θ1 , sen θ1 ), 10)

w2 = r2 (cos θ2 , sen θ2 )

PFT, p. 78

• Multiplica dois nne na forma trigonom´etrica (utilizando a tabela de sinais) 11) potnne, p. 71 • Potˆencia de um nne: wn 12)

qnne, p. 76

• Implementa a f´ormula do quadrado: w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) 13) RQP, p. 83 √ • Extra¸c˜ ao de ra´ızes quadradas w. 14)

REQ 2D, p. 106

• Resolu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao a x2 + b x + c = 0 em B-2D.

116

2.3

Apˆ endice

O que ´ e um n´ umero? N˜ ao constituir´ a ent˜ ao uma vergonha para a Ciência estar t˜ ao pouco elucidada acerca do seu objeto mais pr´ oximo, o qual deveria, aparentemente, ser t˜ ao simples? Menos prov´ avel ainda é que se seja capaz de dizer o que o n´ umero é. Se um conceito que est´ a na base de uma grande ciência oferece dificuldades, investig´ a-lo com mais precis˜ ao com vista a ultrapassar essas dificuldades é bem uma tarefa inescap´ avel. (Frege/Os Fundamentos da Aritmética)

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) foi um matem´ atico, l´ogico e fil´ osofo alem˜ ao. Trabalhando na fronteira entre a filosofia e a matem´ atica, Frege foi um dos principais criadores da l´ogica matem´ atica moderna.

Introdu¸ c˜ ao Pelo que deduzimos da cita¸c˜ ao em ep´ıgrafe, Frege considerava uma vergonha o fato dos matem´ aticos n˜ ao saberem o que é um n´ umero. Mas Frege faleceu em 1925, e hoje, os matem´ aticos sabem o que é um n´ umero? Existe um artigo recente na internet por t´ıtulo O que ´ e um n´ umero? do Professor Adonai Sant’Anna (UFPR), no qual lemos: N˜ ao existe, em matem´ atica, uma defini¸ca õ universalmente aceita para esclarecer o que é, afinal, um n´ umero. Isto implica dizer que os matem´ aticos ainda hoje n˜ ao sabem o que é um n´ umero. O que me deixa pasmo é a passividade e resigna¸cão dos mesmos frente a uma quest˜ ao de tamanha relevância como esta. Perguntamos: ser´ a que eles n˜ ao se d˜ ao conta de que esta questão reverbera em muitas instˆ ancias da matem´ atica? Eu, particularmente, me recuso aceitar a inexistência de uma defini¸cão para n´ umero. Enquanto os matem´ aticos n˜ ao me dizem o que é um n´ umero vou propor uma defini¸c˜ ao em car´ ater provisório; esta defini¸cão estar´ a valendo − para mim, pelo ao menos − até que algum matem´ atico a substitua de modo satisfat´ orio. Isto implica em que se um aluno perguntar a um matem´ atico o que é um n´ umero, ele dir´ a algo como: “n´ umero é um conceito primitivo, n˜ ao se define”; no popular ele escapa pela tangente. Ao contr´ ario, se um aluno nos perguntar o que é um n´ umero daremos a resposta que aqui ser´ a construida. 117

Conjuntos × Estruturas O primeiro passo no entendimento do que seja um n´ umero inicia-se com a distin¸c˜ ao entre conjunto e estrutura. Em matem´ atica s˜ ao frequentes conjuntos munidos de uma ou mais opera¸c˜ oes, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸cões e respectivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas algébricas. Para nos auxiliar em nosso objetivo (deixar claro a diferen¸ca entre conjunto e estrutura) vamos recorrer a uma analogia: Suponhamos um conjunto M cujos elementos s˜ ao materiais de constru¸cão, assim: M = {tijolo, cimento, seixo, pedra, areia, . . .} “sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo: − Edif´ıcio

− Casa − Ponte

Conjunto Estruturas

Não devemos confundir o conjunto M com a “estrutura” edif´ıcio, por exemplo. Mas este tipo de confus˜ ao é o que comumente se faz quando se fala de conjuntos numéricos. No nosso entendimento um “conjunto numérico” é muito mais que um mero conjunto, ´ e uma estrutura. Há tanta imprecisão em considerar um “conjunto numérico” como um conjunto, quanto confundir o edif´ıcio com o conjunto M , na analogia acima.

  

   

  

− Conjunto − Estrutura

118

Vejamos um atica. Considere o conjunto de exemplo retirado da matem´ pontos R2 = (x, y) : x, y ∈ R , cuja vers˜ ao geom´etrica ´e vista a seguir: R2 r (x, y) 0

sobre este conjunto podemos construir, por exemplo, trˆes estruturas, assim:

- Espa¸co vetorial : R2

q(x, y) 0

- N´ umeros C :

- N´ umeros B :

(

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) λ(a, b) = (λa, λb)

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac ∓ bd, |a|d + b|c|)

Assim o n´ umero de estruturas que podemos construir sobre um mesmo conjunto estar´ a limitado apenas por nossa criatividade. A rec´ıproca tamb´ em vale: Um mesmo sistema num´ erico pode ser implementado em v´ arios conjuntos (hardware).

119

A Identidade de um Elemento Uma outra distin¸c˜ ao que se faz necessária é quanto a natureza (identidade) de um elemento. Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) é um vetor ou um n´ umero complexo? Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si s´ o, n˜ ao é nem uma coisa nem outra, é apenas um elemento do conjunto R2 . Agora dependendo do contexto em que nos situamos, este elemento pode ser um vetor, um n´ umero complexo, ou ainda um n´ umero hipercomplexo. Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido na estrutura de espa¸co vetorial∗ ele ser´ a um vetor, se estiver sendo manipulado na estrutura n´ umeros complexos ele ser´ a um n´ umero complexo, e se estiver sendo manipulado dentro da estrutura “Hipercomplexa” ser´ a um n´ umero hipercomplexo. (ver fig., p. 119). Portanto, enfatizamos, é a estrutura que confere “dignidade” (identidade, status) a um elemento. Vejamos uma analogia. Xadrez: Suponhamos que desejamos jogar xadrez mas n˜ ao dispomos das pe¸cas, apenas do tabuleiro. Não h´ a o menor problema:

feij˜ao → Rei arroz → pe˜ oes

.. .

milho → torres

podemos substituir as pe¸cas por cereais. Por exemplo, um caro¸co de feij˜ ao far´a o papel de rei, os pe˜oes ser˜ ao substituidos por gr˜ aos de arroz, as torres por caro¸cos de milho, etc.

   

∗

B =  

, ...

   



  

A = 

   

  

   

Se estiver sendo operado segundo as regras que definem um espa¸co vetorial (p. 119).

120

Observe mais uma vez que ´e a estrutura que confere a “dignidade” (identidade) de um elemento: um mero caro¸co de feij˜ ao de repente vˆe-se promovido a “rei” ao participar da estrutura xadrez.

≡

(equivalentes no xadrez)

− Como mais um exemplo da “metamorfose” conferida pela estrutura, o Brasil est´ a empestado de ratazanas (bandidos-assassinos da pior esp´ecie) que, ao ingressarem na estrutura pol´ıtica, tornam-se “vossa excelˆencia”:

Assim como um mero caro¸co de feij˜ ao torna-se um “rei” ao ingressar na estrutura xadrez, bandidos tornam-se “vossa excelência” ao ingressar na estrutura pol´ıtica brasileira. Reiteramos: é a estrututa que confere a identidade (status) de um elemento. Somente uma estrutura tem o poder de conferir o t´ıtulo de “vossa excelência” a um bandido-assassino.

121

Isomorfismo entre sistemas num´ ericos Isomorfismo: é uma palavra formada pelos radicais gregos iso, que significa “idêntico” e morfo, que significa “forma”. Formas idênticas. No contexto dos isomorfismos podemos mais uma vez apreciar a diferen¸ca entre conjuntos e estruturas. Dois objetos isomorfos s˜ ao idênticos como estruturas, n˜ ao obstante seus conjuntos subjacentes possam ter elementos de naturezas distintas. Por exemplo, observe o conjunto das pe¸cas do xadrez,

  

   

A =  

e um conjunto formado por gr˜ aos de cereais (arroz, feij˜ ao, milho, etc.),



, ...

   

B = 

  

   

Como conjuntos A 6= B, já que têm elementos de naturezas distintas. No entanto, podemos jogar xadrez substituindo cada pe¸ca por gr˜ aos de cereais, como já assinalamos anteriormente. Portanto as duas estruturas (jogos) a seguir s˜ ao equivalentes, ou isomorfas: A = ( A, regras xadrez ) ≡ B = ( B, regras xadrez ) Ou ainda

.. .

≡

.. .

...´ e assim mesmo que acontece com os n´ umeros na matem´ atica − Ou com os sistemas num´ericos (“conjuntos num´ericos”). 122

Um caro¸co de feij˜ ao s´ o ´e um rei se estiver inserido na estrutura xadrez:

≡

(equivalentes no xadrez)

Enfatizamos, para afirmar que um caro¸co de feij˜ ao é um rei, antes devemos deixar claro qual é a estrutura (xadrez). De modo inteiramente an´ alogo, s´ o podemos afirmar que um objeto é um n´ umero se antes dissermos qual a estrutura de que ele vai participar! Se n˜ ao conhecemos a estrutura n˜ ao podemos afirmar que um certo objeto ´ e isto ou aquilo. Por oportuno, ousamos afirmar que isto vale n˜ ao apenas para n´ umeros como, ademais, para qualquer outro objeto, uma pedra, por exemplo. (Ver referência [3])

Talvez aqui esteja a raz˜ ao pela qual os matem´ aticos até hoje n˜ ao sabem o que é um n´ umero (Frege, p. 117). Refor¸camos nossa posi¸cão: A estrutura deve ser fixada antes e s´ o depois o objeto (n´ umero no caso) adquire identidade (legitimidade). Os matem´ aticos fazem ao contr´ ario. Estamos sugerindo: A correta defini¸c˜ ao de n´ umero dever´ a levar em conta a estrutura e n˜ ao o conjunto (subjacente ` a estrutura), o “modelo da pe¸ca” (tipo) n˜ ao é o mais importante, n˜ ao deveria entrar em uma defini¸cão. Através dos tempos, os matem´ aticos têm considerado seus objetos, tais como n´ umeros, pontos, etc., como coisas substanciais em si. Uma vez que estas entidades sempre tinham desafiado tentativas de uma descri¸ca õ adequada, manifestou-se corretamente nos matem´ aticos do século XIX a conviçca õ de que a quest˜ ao do significado destes objetos como coisas substanciais n˜ ao fazia sentido dentro da Matem´ atica, ou mesmo em geral. (Richard Courant/O que é Matem´ atica?)

123

2.3.1

Uma defini¸c˜ ao para n´ umeros

Há muito tempo tenho elucubrado sobre esta questão. Enquanto os matem´ aticos n˜ ao me dizem o que é um n´ umero vou propor uma defini¸cão em car´ ater provisório; esta defini¸cão estar´ a valendo − para mim, pelo ao menos − até que algum matem´ atico a substitua de modo satisfatório, reiteramos.

Uma condi¸c˜ ao necess´ aria Todos os n´ umeros canˆ onicos

N → Z → Q → R → C

e mais alguns n´ umeros por mim pesquisados na internet, tais como: − N´ umero Complexo Hiperb´ olico; − N´ umeros Surreais; − N´ umeros Bicomlexos;

− N´ umeros Hipercomplexos-2D; − N´ umeros Tessarines; − N´ umeros Perplexos; − N´ umeros Quaterni˜oes; − N´ umeros Octoni˜ oes; − N´ umeros Sedeni˜oes.

possuem um denominador comum: Duas opera¸cões, uma chamada de adi¸cão e outra chamada de multiplica¸cão. Pois bem, este ser´ a o nosso ponto de partida para a defini¸c˜ ao de n´ umero. Para iniciar, o que chamaremos de uma estrutura numérica é uma lista de propriedades envolvendo duas opera¸cões, uma chamada de adi¸cão e a outra de multiplica¸c˜ ao. Por exemplo, na p´ agina seguinte exibimos a estrutura numérica para os seguintes sistemas numéricos: − N´ umeros naturais (N), − N´ umeros complexos (C).

124

A1 ) (a + b) + c = a + (b + c) A2 ) ∃ 0 ∈ N : a + 0 = 0 + a = a A3 ) a + b = b + a M 1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ N : a · 1 = 1 · a = a M3 ) a · b = b · a

D) a · (b + c) = a · b + a · c • Ordenado PBO) : Todo subconjunto n˜ao vazio de naturais possui um menor elemento.

A1 ) (a + b) + c = a + (b + c) A2 ) ∃ 0 ∈ C : a + 0 = 0 + a = a A3 ) a + b = b + a A4 ) ∀ a ∈ C, ∃ − a ∈ C : a + (−a) = 0 M 1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ C : a · 1 = 1 · a = a M3 ) a · b = b · a M 4 ) ∀ a ∈ C∗ , ∃ a−1 ∈ C : a · a−1 = 1 D) a · (b + c) = a · b + a · c I ) ∃ a ∈ C : a2 = a · a = −1

125

Uma estrutura numérica deve ser implementada em uma lista de s´ımbolos. Um n´ umero é um s´ımbolo que faz parte de alguma estrutura numérica. Isto é o que chamamos de uma condi¸cão (apenas) necessária para que um s´ımbolo seja um n´ umero.

Uma condi¸c˜ ao suficiente O matem´ atico irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) ao perceber que os n´ umeros complexos poderiam ser representados por pontos no plano, isto é, por pares ordenados (x, y) de n´ umeros reais, teve a ideia de generaliz´ a-los para pontos no espa¸co a três dimensões, isto é, para ternos ordenados (x, y, z) de n´ umeros reais. Por nada menos que dez anos Hamilton procurou pelos n´ umeros na terceira dimensão, sem lograr sucesso. Antes de conhecer esta hist´ oria eu havia definido uma multiplica¸cão de ternos (x, y, z) e criei os n´ umeros que denominei de “N´ umeros hipercomplexos 3D”∗ . Muitos anos depois, me deparo com uma prova de que os n´ umeros 3D − chamemo-los assim − s˜ ao imposs´ıveis (p. [5]). Analisando esta prova me dei conta de que ela assume a hip´ otese de que a multiplica¸cão deve ser associativa e distributiva. De fato, a minha multiplica¸cão de ternos n˜ ao é nem associativa e nem distributiva. Aqui est´ a a estrutura numérica (p. 86).

A1 ) (a + b) + c = a + (b + c)

B-3D

A2 ) ∃ 0 ∈ H : a + 0 = 0 + a = a A3 ) a + b = b + a A4 ) ∀ a ∈ H, ∃ − a ∈ H : a + (−a) = 0 M1 ) ∃ 1 ∈ H : a · 1 = 1 · a = a M2 ) a · b = b · a M 3 ) ∀ a ∈ H∗ , ∃ a−1 ∈ H : a · a−1 = 1 HI ) ∃ a ∈ H : a2 = a · a = −1

− 1 · a 6= −a.

´ simples: para Hamilton que exigia as duas O que estaria acontecendo? E citadas propriedades, os n´ umeros 3D n˜ ao existem; para mim, que abri m˜ ao † destas propriedades, os n´ umeros 3D s˜ ao uma realidade. ∗

Que s˜ ao os n´ umeros n~ ao euclidianos vers˜ ao 3D. Lembramos que o pr´ oprio Hamilton teve que abandonar a propriedade comutativa da multiplica¸c˜ ao para criar os n´ umeros quaterni˜ oes. †

126

Conclusão: quem é e quem n˜ ao é n´ umero na matem´ atica passa a ser uma quest˜ ao subjetiva. Perceberam por onde passa o problema para se definir n´ umero? Lembramos Frege: Se um conceito que est´ a na base de uma grande ciência oferece dificuldades, investig´ a-lo com mais precis˜ ao com vista a ultrapassar essas dificuldades é bem uma tarefa inescap´ avel. Pois bem, vimos anteriormente a subjetividade de quem é e de quem n˜ ao ´ é n´ umero. E precisamente esta subjetividade que vamos adotar como nossa condi¸cão suficiente. Antes, diremos que a mente humana é uma estrutura cognitiva de referˆ encia (ECR). Uma estrutura cognitiva de referência processa informa¸c˜ oes, infere conclusões. Agora estamos aptos a elaborar uma nova defini¸cão de n´ umero, ei-la: Defini¸ c˜ ao 9 (N´ umero). N´ umero é um objeto de uma estrutura numérica (E, +, ·) e de uma estrutura cognitiva de referência (ECR). Nesta defini¸c˜ ao destacamos duas condi¸cões (critérios) para que um dado objeto (s´ımbolo) possa ser considerado n´ umero: − Condi¸c˜ ao necessária: objeto de uma estrutura numérica (E, +, ·); − Condi¸c˜ ao suficiente: objeto de uma ECR. (Anuência de uma ECR). Quanto aos “n´ umeros 3D”, vejamos o que acontece, (p. 86)  (a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f ) “N´ umeros 3D” : (a, b, c) · (d, e, f ) = ( ✸, ♣, ♠)

Eles cumprem a condi¸c˜ ao necessária, pois s˜ ao objetos da estrutura numé3 rica (R , +, ·); eles n˜ ao cumprem a condi¸cão suficiente para Hamilton, para mim sim. De outro modo, para Hamilton, ternos ordenados (a, b, c) n˜ ao s˜ ao n´ umeros, no entanto, para mim sim; existem em minha ECR como n´ umeros. Em resumo: Quem é e quem n˜ ao é n´ umero pode n˜ ao ser consensual entre matem´ aticos, agora a defini¸c˜ ao 9 pode sim ser universalmente aceita. Observe que a nossa defini¸ c˜ ao de n´ umero leva em conta a “consciência do observador ”, isto nos lembra da f´ısica quˆ antica.

127

Ainda com respeito a` defini¸cão 9, vejamos algo similar que poderia ocorrer na Biologia. Defini¸ c˜ ao [Ser vivo] Um ser vivo é qualquer organismo que tem vida. Esta defini¸c˜ ao é “universalmente aceita”. Agora ao aplic´ a-la em “candidatos” a seres vivos, a´ı vai depender da ECR do bi´ ologo em particular. O caso dos v´ırus, por exemplo, divide os pesquisadores. Alguns os consideram vivos, j´ a que sabem se reproduzir. Outros acham que n˜ ao, pois, para come¸car, eles surgiram a partir de células, como se fossem um defeito dos organismos. “Os v´ırus s˜ ao apenas produtos da matéria viva, como os elementos qu´ımicos que produzem as cores de uma flor. O fato de eles terem aprendido a se multiplicar n˜ ao é suficiente para consider´ a-los seres vivos”, diz o virologista americano Eckard Wimmer, da Universidade de Nova York. (Publica¸caõ Eletrˆ onica) O que é ou n˜ ao um ser vivo vai depender da ECR do bi´ ologo (“a consciência do observador”), mas isto n˜ ao invalida a defini¸c˜ ao de ser vivo. (ECR)

A ECR perpassa toda a matem´ atica Ademais, e n˜ ao menos importante, observe que a inclusão do “observador” (ECR) na matem´ atica n˜ ao é nenhuma novidade, estamos apenas formalizando algo que na realidade já existe. Com efeito, a questão da subjetividade (ECR) transcende ` a quest˜ ao n´ umeros e perpassa toda a matem´ atica, por exemplo, numa ligeira pesquisa na filosofia da matem´ atica me deparei com muitas Escolas de pensamento, como por exemplo

Logicismo Intuicionismo, Construtivismo

Matem´atica

Conjuntista Formalismo Realismo matem´ atico .. .

128

Um matem´ atico de primeira linha, − L.E.J Brouwer (1881-1966) −, rejeitou um postulado bimilenar da lógica aristotélica (Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo), inclusive contrapondo-se à posi¸cão de outros eminentes matem´ aticos, a exemplo de David Hilbert (1862-1943). ∗

∗

O segundo argumento para a rejei¸cão do TEX [Lei do Terceiro Exclu´ıdo] que é objeto de nosso estudo é a no¸cão de existência. As matem´ aticas construtivistas divergem da matem´ atica clássica principalmente no que concerne a no¸cão de existência, pois enquanto para esta u ´ ltima a existência de um objeto matem´ atico é assegurada por uma realidade independente da mente, para os intuicionistas a existência de um objeto matem´ atico s´ o é poss´ıvel quando é analisada em termos de constru¸cões mentais, rejeitando a existência transcendental dos objetos matem´ aticos. Neste sentido “existe” é sinˆ onimo de “pode ser constru´ıdo”, e a exigência de uma constru¸cão mental para a afirma¸c˜ ao da existência dos objetos matem´ aticos legitimaria a rejei¸cão da validade do TEX para dom´ınios infinitos de julgamento. [. . . ] Outra no¸c˜ ao matem´ atica reformulada pelo Intuicionismo, a fim de legitimar a rejei¸c˜ ao do TEX, é a no¸cão de infinito. Para os intuicionistas, a concep¸c˜ ao cl´ assica do conceito de infinito estaria amparada na cren¸ca indubit´ avel na validade do TEX. Pois na matem´ atica Cl´ assica o infinito é entendido como atual. Isto significa, em poucas palavras, que o infinito pode ser concebido como uma entidade completa, acabada: todos os seus elementos podem ser pensados num ato u ´ nico, ou ainda, o infinito como objeto. A cren¸ca no infinito como totalidade acabada, como um objeto matem´ atico, legitimaria o uso do TEX. A alega¸cão de Brouwer é que a matem´ atica clássica seria favor´ avel ao TEX por tratar dom´ınios infinitos usando o mesmo racioc´ınio usado em opera¸c˜ ao em dom´ınios finitos. A fim de combater esta compreens˜ ao cl´ assica, o Intuicionismo desenvolve sua no¸cão matem´ atica de infinito entendendo-o como potencial, ou seja, um processo através do qual um n´ umero cresce, impossibilitando a cren¸ca indubitável na validade universal do TEX, uma vez que seria humanamente imposs´ıvel verificarmos caso a caso um conjunto que est´ a sempre a crescer. Desta forma, os intuicionistas afirmam a validade do TEX apenas para dom´ınios finitos, devido a nossa capacidade de verificar neste caso se (A ∨ ¬A).∗

∗ FONTE: A Rejei¸caõ do Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo e suas Consequências na Aritmética de Heyting/Jackeline Nogueira Paes. (Disserta¸caõ)

129

Da´ı por que dizer-se que consciência e objeto s˜ ao binˆ omios insepar´ aveis, correlativos e complementares do que denominamos realidade. Real é aquilo que existe em uma (ou para uma) consciência e de acordo com a estrutura condicionada e condicionadora dessa mesma consciência. Procurar saber o que seja a realidade (o objeto de investiga¸ca õ) independentemente da consciência e de nosso aparato cognitivo-sens´ıvel n˜ ao tem sentido, pois precisamos da consciência para pensar nessa suposta “realidade independente”, que ser´ a sempre, ` a propor¸ca õ que a pensamos, uma realidade para “uma” consciência, uma realidade pensada. (Marcelo Malheiros/A Potência do Nada, p. 22)

Procurar saber o que seja “o objeto de investiga¸cão” − no nosso caso n´ umero − independentemente da consciência e de nosso aparato cognitivosens´ıvel n˜ ao tem sentido, pois precisamos da consciência para pensar nessa suposta “realidade independente”.

“Tudo o que apreendemos, seja perceptiva ou conceitualmente, ´ e desprovido de natureza inerente pr´ opria, ou identidade, independentemente dos meios pelos quais seja conhecido. Objetos percebidos, ou entidades observ´ aveis, existem em rela¸ c˜ ao ` as faculdades sensoriais ou sistemas de medi¸ c˜ ao pelos quais s˜ ao detectados − n˜ ao de modo independente no mundo objetivo.” (Wallace, B. Alan/Dimens˜ oes Escondias)

(Ver [3])

130

Adendo: Toda a matem´ atica ´ e dependente de uma ECR O leitor n˜ ao se escandalize por nossa defini¸cão de n´ umero levar em conta a ECR (“consciência”) do “observador”, vamos mais além: afirmamos que toda a matem´ atica encontra-se na dependência de uma ECR. Enfatizamos: existir significa existir em rela¸c˜ ao (com respeito) a uma ECR (“consciência”) − esta afirma¸c˜ ao vai além da matem´ atica. De momento vamos nos valer apenas de uma analogia: Suponhamos, por hip´ otese de trabalho, que um meteorito atingisse a Terra e dizimasse todos os homens da face do planeta, exceto alguns bebês e alguma tribo ind´ıgena. Na cena a seguir vemos, ao centro, um tabuleiro com as pe¸cas do xadrez,

à esquerda a suposta tribo ind´ıgena, à direita um bebê remanescente. Pergunto: nestas circunstâncias o xadrez ter´ a desaparecido da face da terra? A resposta é um rotundo sim!, uma vez que o xadrez n˜ ao se constitui nas pe¸cas propriamente mas em suas regras. (ver p. 120) Nota: Que um ind´ıgena e um bebê tenham o potencial para vir a jogar xadrez, n˜ ao resta d´ uvida, mas a questão em foco n˜ ao é esta; a questão é, reitero, o xadrez ter´ a desaparecido? Lembramos, o xadrez se constitui por suas regras, n˜ ao por suas pe¸cas. De igual modo, a matem´ atica, em particular os n´ umeros, se constitue por suas regras, n˜ ao pelos s´ımbolos adotados. Tem mais: afirmamos que se, na suposta hecatombe, todos os livros de matem´ atica ficassem preservados nas bibliotecas (ou nos computadores), ainda assim a matem´ atica teria desaparecido da face do planeta. A raz˜ ao é que faltaria uma mente (cérebro) para decodificar os s´ımbolos constantes nos livros de matem´ atica. Vejamos uma analogia, na figura ao lado vemos uma p´ agina de matem´ atica escrita em chinês. Perguntamos: isto é matem´ atica para o leitor? Tem algum significado? De igual modo acontece com um livro de matem´ atica (em português) relativamente à ECR de um ind´ıgena e um bebê, isto é, n˜ ao existe ali matem´ atica nenhuma, é simples assim! 131

A seguir o eminente matem´ atico G.H. Hardy coloca um problema “dif´ıcil da metaf´ısica”, para o qual propomos uma solu¸cão, diz ele: Para mim, e suponho que para a maioria dos matem´ aticos, existe uma outra realidade, que chamarei “realidade matem´ atica”; e n˜ ao existe nenhuma espécie de acordo sobre a natureza da realidade matem´ atica entre matem´ aticos ou fil´ osofos. Alguns defendem que ela seja “mental” e que, num certo sentido, n´ os a construimos; outros, que é externo e independente de n´ os. Um homem que pudesse dar uma explica¸ca õ convincente da realidade matem´ atica teria solucionado muit´ıssimos dos problemas mais dif´ıceis da metaf´ısica. Se pudesse incluir realidade f´ısica em sua explica¸ca õ, ele teria solucionado todos eles. Eu n˜ ao deveria desejar debater nenhuma destas quest˜ oes aqui, mesmo se eu fosse competente para fazê-lo, mas expressarei minha pr´ opria posi¸ca õ dogmaticamente para evitar mal-entendidos menores. Acredito que a realidade matem´ atica situa-se fora de n´ os, que nossa fun¸ca õ seja descobrir ou observ´ a-la e que os teoremas que demonstramos e que descrevemos com grandiloquência como nossas “cria¸co ˜es” sejam simplesmente nossas anota¸co ˜es das nossas observa¸co ˜es. Esse ponto de vista foi defendido, de uma forma ou outra, por muitos fil´ osofos de grande reputa¸ca õ desde Plat˜ ao em diante e usarei a linguagem que é natural a um homem que a defende. (Grifo nosso) (G. H. Hardy/Em defesa de um matem´ atico) A nossa proposta de solu¸cão − incluindo realidade f´ısica − é: n˜ ao existe “realidade matem´ atica”, n˜ ao existe matem´ atica “lá fora”, n˜ ao existe matem´ atica nos livros, nas bibliotecas, na mem´ oria dos computadores. A matem´ atica, como tudo neste mundo, é relacional, isto é, surge na rela¸cão com a mente do observador − do matem´ atico, daquele que pratica a matem´ atica. Tudo é simb´ olico, e é necessário que exista uma mente para decodificar os s´ımbolos; ademais, “mentes diferentes, decodificam um mesmo s´ımbolo de formas distintas”. Observem que os animais, compartilhando um mesmo espa¸co f´ısico que n´ os humanos, decodificam (apreendem) este mesmo espa¸co de formas distintas. Medite sobre a figura da p´ agina anterior (“matem´ atica chinesa”). A quem interessar possa, mais argumentos neste contexto est˜ ao dispon´ıveis em um livro que publiquei na internet sob t´ıtulo: ([3]) ogica e Epistemol´ ogica” “Teoria da Relatividade Ontol´ “Acreditar na existência de uma verdade matem´ atica fora do esp´ırito humano exige do matem´ atico um ato de fé do qual a maioria deles n˜ ao est´ a consciente”. (Allan Calder/matem´ atico)

132

Cap´ıtulo

Programando a HP Prime A despeito da cr´ıtica de Laplace, a vis˜ ao de Leibniz, pela qual o mundo ´e criado a partir dos 0’s e 1’s, recusa-se a sair de cena. De fato, ela come¸cou a inspirar alguns f´ısicos contemporˆ aneos, que provavelmente nunca ouviram falar de Leibniz. (Gregory Chaitin/Metamat!)

Introdu¸ c˜ ao: Uma diferen¸ ca (evolu¸ ca ~o) abissal! Como eu conhe¸co − apenas parcialmente, observo − o poder de cáculo algébrico e numérico da HP Prime gostaria apenas de registrar nesta introdu¸cão que fico deveras embasbacado (pasmo, estupefato) com o seguinte aspecto da evolu¸c˜ ao computacional humana:

Leibnitz (1646-1716)

Pascal (1623-1662)

133

3.1

Introdu¸ c˜ ao ` a programa¸ c˜ ao da HP Prime

A calculadora gr´ afica HP Prime é uma potente e sofisticada ferramenta computacional, n˜ ao apenas numérica como, ademais, algébrica − e também gr´ afica. A seguir a legenda do teclado∗

→

A calculadora é um universo praticamente inesgot´ avel, apresentaremos aqui material suficiente para iniciar o leitor no fascinante universo da programa¸c˜ ao, daremos os primeiros passos na programa¸ c~ ao num´ erica e alg´ ebrica; muitos outros programas s˜ ao apresentados no desenvolver do presente livro − do cap´ıtulo 1 em diante. A HP Prime utiliza uma linguagem de proc˜ ao da HP grama¸c˜ ao pr´ opria conhecida como “linguagem de programa¸ Prime ”: Uma potente e sofisticada linguagem de programa¸ca õ. A base da calculadora é a vista de In´ıcio ( ), aqui podemos realizar todos os c´ alculos num´ ericos. Os c´ alculos simb´ olicos (ou alg´ ebricos) ), a ser exemplificado oportunamente. s˜ ao realizados na vista do CAS ( Escrevi um livro sobre programa¸cão da calculadora HP 50g no qual adotei o modo pilha (RPN− Reverse Polish Notation), na HP Prime o modo RPN foi praticamente banido, já que n˜ ao podemos utiliz´ a-lo em programa¸cão, sendo assim adotaremos em todo este livro o modo alg´ ebrico. ∗

Retirado do manual “Guia de consulta r´ apida”.

134

Inicialmente, coloque sua calculadora no modo de entrada alg´ ebrico.

←

Voltando ` a vista de in´ıcio (

) destacamos

→ Linha de entrada

Linha de entrada

A linha de entrada (de dados) no modo alg´ebrico ´e “unidimensional” (em uma linha); ap´ os pressionar teremos a tela da direita.

135

3.1.1

Programa¸c˜ ao num´ erica

Programar a calculadora significa introduzir em sua mem´ oria (RAM− Random Access Memory − mem´ oria de acesso aleatório) uma série de instru¸c˜ oes e comandos para que ela os execute sequêncialmente, cumprindo alguma tarefa espec´ıfica. Por exemplo, resolver uma equa¸cão, multiplicar ou dividir polinˆ omios, imprimir textos, elaborar um gr´ afico, construir tabelas trigonométricas, etc. Para tanto é necessário que as instru¸cões e os comandos sejam digitados no padrão sint´ atico da linguagem da calculadora e dispostos sequêncialmente na ordem em que devem ser executados. A fim de que a execu¸cão seja perfeita e apresente os resultados objetivados com precisão, n˜ ao basta atender ´ preciso que o programa n˜ estes requisitos. E ao contenha erros de lógica, cuja deteçc˜ ao n˜ ao é feita pela calculadora, que est´ a preparada para apontar somente erros de sintaxe. Os recursos de programa¸cão postos à nossa disposi¸cão pela calculadora HP Prime s˜ ao excepcionalmente valiosos e variados e a melhor forma de conhecê-los, entender sua finalidade e alcance e fixá-los em nossa mem´ oria é através da pr´ atica. Embora mencionada como uma calculadora por causa de seu formato compacto similar aos dispositivos de cálculo manuais t´ıpicos, a HP Prime deve ser vista como um sofisticado computador programável/gr´ afico. Antes de se iniciar a programa¸cão de determinado problema é importante que se tenha bem claro em mente quais s˜ ao os dados de entrada e quais s˜ ao os dados de sa´ıda; por exemplo: ao quadr´ atica ax2 + bx + c = 0. 1o ) Resolver a equa¸c˜ √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Temos:

a b c

r1 r2

Onde: − Dados de entrada: a, b e c. − Dados de sa´ıda: r1 e r2 (s˜ ao as ra´ızes).

− FT: Vari´ avel que ir´ a armazenar o programa (e que ser´ a referenciada sempre que o programa for executado). 136

Observa¸ c˜ ao: o nome FT é apenas um exemplo, o nome poderia ser um outro, a seu critério. A bem da verdade existem algumas restri¸cões na escolha do nome de uma vari´ avel. O modo mais pr´ atico é tentar um nome, caso a calculadora reclame (erro) mude-o. 2o ) Calcular o n−ésimo termo de uma progressão aritmética: an = a1 + (n − 1)r Temos a1 r n

Onde: − Dados de entrada: O primeiro termo a1 ; a raz˜ ao r da P.A. e a posi¸c˜ao n do termo que desejamos encontrar. − Dados de sa´ıda: O n−´esimo termo an . − PA: Vari´ avel que ir´ a armazenar o programa (e que ser´ a referenciada sempre que o programa for executado).

Nosso primeiro programa Inicialmente vamos fazer um programa para calcular o n-´esimo termo de uma P.A. Entre na ´ area de programa¸c˜ao digitando as teclas

A calculadora exibir´ a a seguinte tela (esquerda-Cat´alogo de programas):

↑ pressione a tecla virtual New, para um novo programa. A tela da direita ser´ a exibida. Escolha um nome para o programa e pressione OK (2×). Nota: Na programa¸c˜ ao num´erica n˜ ao marcamos a caixa CAS.

137

A tela a seguir (esquerda) ser´ a exibida, j´a com o nome escolhido para o programa.

Na tela da esquerda entre parenteses digite as vari´ aveis de entrada e, no corpo do programa, a fórmula do termo geral da progressão aritmética. Estrutura de comandos Na HP Prime os comandos s˜ ao separados por ponto e v´ırgula ( ; ). Nos comandos que requerem vários argumentos, esses argumentos s˜ ao colocados entre parênteses e separados por uma v´ırgula ( , ). Ao terminar de digitar um programa pressione a tecla virtual Check, para a calculadora verificar se existe algum erro de sintaxe. Se n˜ ao houver erro no programa a calculadora exibirá a seguinte tela:

Pressione em seguida OK e para retornar ao cat´alogo de programas, onde consta o programa que acabamos de fazer − ademais, o tamanho do programa.

138

3.1.2

Como executar um programa

Temos duas alternativas para executar um programa. Vejamos as duas. 1a )

A partir do cat´ alogo de programas. Selecione o programa a ser executado, como na tela a seguir

↑ Após pressione a tecla virtual Run, ser´ a exibida a tela à direita, na qual deveremos entrar com os dados do programa. Vamos executar o programa, por exemplo, para a progress˜ ao aritmética a seguir 1

...

onde, a1 = 1 e r = 2. Vamos escolher, por exemplo, n = 7. Entrando com os dados na tela da esquerda a seguir e pressionando OK no final, teremos a tela da direita

Portanto, o termo de posi¸c˜ ao n = 7 ´e 13, veja 1

13 |{z} n=7

139

...

2a ) A partir da vista de in´ıcio. Podemos executar o programa diretamente da vista de in´ıcio

Estando na vista do CAS digite o nome do programa e, entre parˆenteses, os dados requeridos pelo programa, como na tela a seguir

→ e teremos a tela da direita, com o resultado de-

Ap´os, pressione sejado. 1

13 |{z}

...

n=7

Exemplo: A partir da f´ormula S n = n a1 +

n(n − 1) r 2

da soma dos n primeiros termos de uma P.A. vamos elaborar mais um programa. Entre novamente na ´area de programa¸c˜ao

Pressionando New escolhemos o nome STPA, digitamos como na tela da direita. Ap´os Check, o programa n˜ ao cont´em erros.

140

Selecione o programa a ser executado, como na tela a seguir

Após pressione a tecla virtual Run, ser´ a exibida a tela à direita, na qual deveremos entrar com os dados. Vamos executá-lo para a mesma progressão aritmética do exemplo anterior, onde, a1 = 1 e r = 2. Vamos escolher, por exemplo, n = 6. Entrando com os dados como na tela da esquerda e pressionando OK no final teremos a tela da direita

Portanto, a soma dos seis primeiros termos da P.A. ´e 36, confira 1|

{z 7

11}

S = 36

Veja S n = n a1 + isto ´e S6 = 6 · 1 +

n(n − 1) r 2

6 (6 − 1) · 2 = 36 2

141

...

Editando programas Vamos editar o primeiro programa. Uma vez ele assinalado

pressione Edit e complete conforme tela `a direita. Aqui definimos uma vari´ avel local − s˜ ao as que s˜ ao v´alidas (dispon´ıveis) apenas dentro do programa em que foram definidas. O comando

:= é de atribui¸c˜ ao. O primeiro PRINT(), sem argumentos, é para limpar a tela de qualquer impress˜ ao anterior. No segundo PRINT, o que vem entre aspas duplas é tratado como string (ser´ a impresso tal como), o sinal + significa justaposi¸ca õ (concatena). Após digita¸c˜ ao, pressione Check para verificar se n˜ ao existem erros no programa. Entre com os dados da tela à esquerda

para obter a tela da direita. O termo de posi¸c˜ao n = 7 ´e 13 na P.A. 1

13 |{z}

a(7) = 13

Como mais um exemplo, vamos editar o segundo programa.

142

...

Uma vez ele assinalado

pressione Edit e complete conforme tela `a direita. Ap´os digita¸c˜ ao, pressione Check para verificar se n˜ ao existem erros no programa. Entrando com os dados como na tela da esquerda e pressionando OK no final, teremos a tela da direita

Portanto, a soma dos seis primeiros termos da P.A. ´e 36: 1|

{z 7

S(6) = 36

11}

143

...

3.1.3

Programa¸c˜ ao alg´ ebrica

Na programa¸c˜ ao alg´ebrica, que ser´ a bastante utilizada ao longo de todo este livro, teremos f´ormulas na sa´ıda de um programa. Estes programas ´ pertencem ` a vista do CAS − Computer Algebra System (Sistema de Algebra Computacional).

Modo CAS Aproximado e Exato No modo CAS existe uma importante configura¸c˜ao, acesse assim

←

Ademais, pe¸ca isto

Aqui

Se Exact estiver marcado as opera¸cões simb´ olicas ser˜ ao calculadas como express˜ oes algébricas, caso contr´ ario como numéricas. Ou ainda, com Exact ativo (marcado) as constantes ser˜ ao tratadas simbolicamente, caso contr´ ario, numericamente (i.e., aproximadas por seus valores numéricos). Por exemplo, na tela a seguir (esquerda)

entramos com as respectivas constantes com Exact ativo, na tela da direita desmarcamos Exact e entramos novamente com as mesmas constantes. Pois bem, vamos iniciar a programa¸c˜ao alg´ebrica por um programa bem simples. Antes, marque Exact.

144

Nosso primeiro programa alg´ ebrico Considere a f´ormula do termo geral de uma P.A.:

an = a1 + (n − 1) r Vamos fazer um programa onde entramos com o primeiro termo e a raz˜ ao e ele nos devolve a f´ormula do termo geral. Entre na ´ area de programa¸c˜ ao digitando as teclas

A calculadora exibir´a a seguinte tela (esquerda-Cat´alogo de programas):

↑ pressione a tecla virtual New, para um novo programa. A tela da direita ser´ a exibida. Escolha um nome para o programa (escolhemos FPA), marque a caixa CAS e pressione OK. Ser´ a exibida a tela da esquerda a seguir

(apague return 0). Digite a tela da direita. Vamos executar este programa, a partir da vista do CAS, para a P.A. 1

...

onde, a1 = 1 e r = 2. Nota: Caso sua calculadora seja virtual (i.e., baixada da internet) pode ocorrer de n˜ ao aparecer a op¸c˜ ao caixa CAS acima. Neste caso baixe uma vers˜ ao mais atualizada da calculadora. 145

Pois bem, pressione a tecla

; na linha de entrada

→ digite o nome do programa e, entre parenteses, os dados requeridos pelo programa. Ap´os, pressione e teremos a tela da direita (acima). Logo, an = 2n − 1. Observe, a partir da f´ormula do termo geral

an = a1 + (n − 1) r a calculadora nos forneceu o seguinte resultado

an = 1 + (n − 1) 2 = 2 n − 1 Nota: Caso seu programa n˜ ao tenha saido com o resultado desejado ´e poss´ıvel que tenha algum valor previamente armazenado na vari´ avel n; por exemplo, na tela a seguir armazenamos 2 na vari´ avel n

→

ao executar novamente o programa obtivemos um n´ umero e n˜ ao uma f´ormula. Para saber se existe um valor armazenado em uma vari´ avel basta digit´ a-la na linha de entrada e d´ a Enter, como na tela da direita (no caso da vari´ avel ser n, evidentemente). Caso exista algum n´ umero na vari´ avel este ser´ a mostrado. Na p´ agina seguinte mostramos como resolver este − eventual − problema.

146

Como resetar uma vari´ avel

Adendo: avel CAS, acesse a mem´ oria da calculadora a parPara resetar uma vari´ tir das teclas:

Em seguida selecione CAS Vars

→ ↑

↑

pe¸ca para ver as vari´ aveis do CAS; selecione a que deseja deletar (resetar, reinicializar).

A bem da verdade, existe um m´etodo alternativo para se resetar algumas vari´ aveis: Escreva o comando purge com a vari´ avel entre parenteses, como na tela a seguir

→ Ao d´ a Enter na tela da direita a calculadora mostra o valor que se encontrava armazenado na vari´ avel n, esta encontra-se agora resetada. Podemos resetar v´arias vari´ aveis simultaneamente, separe-as por v´ırgula no comando purge.

147

Exemplo: Vamos ver mais um exemplo de programa¸cão algébrica. A partir da fórmula n(n − 1) r S n = n a1 + (3.1) 2 da soma dos n primeiros termos de uma P.A. vamos elaborar mais um programa, que sair´ a com esta fórmula para uma dada P.A.. Entre novamente na área de programa¸cão

Pressionando New escolhemos o nome FSPA, digitamos como na tela da direita. Ap´os Check, o programa n˜ ao cont´em erros. Vamos executar este programa, a partir da vista do CAS, para a P.A. 1

onde, a1 = 1 e r = 2. Pressione a tecla

...

; na linha de entrada

→ digite o nome do programa e, entre parenteses, os dados requeridos pelo e teremos a tela da direita (acima). programa. Após, pressione Da tela ` a direita temos que Sn = n2 é a fórmula para a soma dos n primeiros termos da P.A. do exemplo dado. A sa´ıda do programa mostra o seguinte resultado, a partir da fórmula (3.1) Sn = n · 1 +

n(n − 1) 2 = n2 2

148

3.2

Express˜ oes e Fun¸ c˜ oes

Na HP Prime existe uma importante distin¸cão que devemos fazer: exc˜ ao. Vejamos isto através de exemplos, na tela a seguir temos press˜ ao e fun¸ uma express˜ ao e como podemos avaliá-la para um dado valor da vari´ avel

Na tela do centro temos uma express˜ ao de duas vari´ aveis e sua avalia¸c˜ao para dois valores das vari´ aveis. O comando subst substitui uma vari´ avel (ou mais) em uma express˜ ao por um dado valor. Na tela da direita mostramos outra alternativa para se avaliar uma express˜ ao: atribua antes os valores das vari´ aveis, depois entre com a express˜ ao. c˜ ao para a HP Prime possui um ou mais argumentos entre paUma fun¸ renteses, separados por v´ırgula. A tela a seguir mostra como definimos uma fun¸c˜ao

Após teremos a tela do centro; à direita avaliamos esta fun¸cão para x = 1. A propósito, um programa é visto como sendo uma fun¸cão. Na tela a seguir definimos uma fun¸cão de duas vari´ aveis

Após teremos a tela do centro; à direita avaliamos esta fun¸cão para x = 1 e y = −1. 149

Exemplo: Vamos alterar o nosso primeiro programa alg´ebrico (p. 145), repetido na tela a seguir

para sair com uma fun¸cão, como na tela do centro. Na tela da direita rodamos o programa para a progressão aritmética 1

13 |{z}

...

a(7)

e, a seguir, calculamos em a(n) = 2 n − 1:

a(7) = 2 · 7 − 1 = 13 Exemplo: Vamos fazer o mesmo procedimento para o programa da soma dos n primeiros termos de uma P.A. S n = n a1 +

n(n − 1) r 2

repetido na tela a seguir

para sair com uma fun¸ca˜o, como na tela da direita. Utilize a letra s min´ uscula, caso contr´ ario d´ a problema. Na tela da direita rodamos o programa para a progress˜ ao aritm´etica 1 |

{z 7

s(6)

e, a seguir, calculamos em s(n) = n2 :

11}

s(6) = 62 = 36 150

...

3.3

Listas e Matrizes

Com o objetivo de aumentar ainda mais nosso poder (potência) de programa¸c˜ ao é que incluimos nesta seçcão dois importantes recursos para programa¸c˜ ao: listas e matrizes.

3.3.1

Listas

Uma lista é constituida de objetos (n´ umeros, letras, matrizes, etc.) entre chaves e separados por v´ırgula. Uma lista é o que comumente conhecemos por conjunto, na matem´ atica. Exemplo de lista: { 1, 5, a, { b, c } } Lista é um recurso muito importante para manipula¸cão de objetos. Criando listas As listas podem ser criadas a partir da linha de entrada, veja:

→ Ap´os, pressione

para obter a tela da direita.

Importante: Estamos na vista do CAS; para que a letra a, por exemplo, apare¸ca como elemento da lista nesta letra n˜ ao deve constar nenhum valor previamente armazenado, deve estar resetada. Veja adendo, p´ agina 147. A mesma observa¸c˜ ao vale para as demais letras, obviamente. As listas podem ser armazenadas (guardadas) em uma vari´ avel, assim:

Com o comando de atribui¸c˜ ao, := , L1 := { 1, 5, a, { b, c } } estamos guardando (armazenando) a lista na vari´ avel L1. 151

Acessando os elementos de uma lista Podemos ter acesso aos elementos de uma lista digitando o nome da lista e a posi¸c˜ ao do elemento entre parenteses. Por exemplo, considere a lista anterior (tela esquerda a seguir)

na tela da direita acessamos cada um dos elementos da lista.

Pedindo o comprimento e a dimens˜ ao de uma lista Existem dois comandos, size e dim, que nos d˜ ao o comprimento e a dimens˜ao de uma lista, respectivamente. Por exemplo, na tela a seguir criamos uma lista e a guardamos na vari´ avel L2

na tela do centro pedimos o comprimento da lista (n´ umero de elementos, como na matem´ atica) e na tela da direita sua dimens˜ao. Nas telas a seguir

mostramos como acessar elementos nesta lista. 152

3.3.2

O comando MAKELIST

Um importante comando em programa¸cão é MAKELIST, cuja sintaxe é vista a seguir MAKELIST (express˜ ao, vari´ avel, inicio, fim, incremento) Calcula a express˜ ao no que diz respeito à vari´ avel, à medida que a vari´ avel assume valores do in´ıcio ao fim, tendo em conta o incremento. Exemplo: Nas telas a seguir vemos três exemplos

Nota: Na vista do CAS (a que estamos trabalhando) digite o comando − na linha de entrada − em letras mai´ usculas. Parti¸ c˜ ao de um intervalo Para obter uma parti¸c˜ ao (regular) do intervalo [ a, b ] em N subintervalos de mesmo comprimento h, fazemos h = b−a N , no que resulta xn = x0 + n h,

[ a = x0

x1 h

n = 0, 1, 2, . . . , N.

...

xn−1

] xn = b

Por exemplo, para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e N = 4 subintervalos, temos h=

1−0 1 b−a = = = 0. 25 N 4 4

A discretiza¸c˜ ao do intevalo fica: p

x0 = 0

p x1 =

1 4

p x2 =

(n = 0, 1, 2, 3, 4)

1 2

153

p x3 =

3 4

x4 = 1

Utilizando o comando MAKELIST vamos elaborar um programa que recebe a, b e N , e sai com uma lista contendo a parti¸c˜ao do intervalo [ a, b ]. O programa ´e como a seguir

Na tela da direita temos uma simula¸c˜ao, confira geometricamente p

x0 = 0

x1 =

1 4

x2 =

1 2

p x3 =

3 4

x4 = 1

Amostragem de uma fun¸ c˜ ao nos pontos de uma parti¸c˜ ao y

f yn

.. . y1

x0 = a

···

xn = b

O programa a seguir usa o comando MKELIST para amostrar uma fun¸c˜ao nos pontos de uma parti¸c˜ao do intervalo [ a, b ]

154

O menu Math/List Menus Toolbox Os menus Toolbox ( ) (Caixa de ferramentas) s˜ ao uma cole¸cão de menus que oferecem fun¸c˜ oes e comandos u ´ teis em matem´ atica e programa¸cão. Os menus Matemática, CAS e Cat´ alogo (Catlg) oferecem mais de 400 fun¸c˜ oes e comandos. De momento o que nos interessa é o menu List, para isto prima a tecla “caixa de ferramentas”

→ em seguida a tecla virtual assinalada acima (Math). Em seguida des¸ca at´e o item 6 (List), como na tela a seguir

→

Selecionando este item comparecem v´arios comandos para se operar com listas, veja tela da direita.

155

Nas telas a seguir, temos algumas simula¸c˜oes

MAKELIST gera uma lista, como j´a vimos; SORT classifica os elementos de uma lista na ordem crescente; REVERSE reverte a ordem da lista; CONCAT concatena duas listas; POS nos d´ a a posi¸c˜ao de um elemento que est´ a numa lista. Nas telas a seguir

SIZE nos d´ a o comprimento de uma lista, como já vimos; ∆LIST cria uma nova lista composta pelas primeiras diferen¸cas de uma lista; isto é, as diferen¸cas entre elementos consecutivos na lista. A nova lista tem um elemento P a menos queQa lista original; LIST calcula a soma de todos os elementos numa lista; LIST calcula o produto de todos os elementos numa lista. Na tela da direita DIFFERENCE apresenta a lista de elementos n˜ ao comuns de duas listas; UNION apresenta a uni˜ ao das listas como um vetor; INTERSECT apresenta a interseçc˜ ao de duas listas como um vetor∗ . Observei que na ), a uni˜ ao e a interseçcão de duas listas é uma lista, vista de in´ıcio, ( como deve ser.

∗

Logo mais veremos o que ´e um vetor para a HP Prime .

156

Um Belo Desafio! − A quem interessar possa. Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequˆencia dos quadrados dos naturais

...

No diagrama a seguir 1

...

produzimos duas diferen¸ cas entre os termos da sequˆencia dos quadrados dos naturais. Considere a sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais 13

...

No diagrama a seguir 1

125

216

343

127

...

es diferen¸ cas entre os termos da sequˆencia dos cubos dos produzimos trˆ n´ umeros naturais. A calculadora HP Prime possui uma fun¸c˜ao ∆List que produz a diferen¸ca entre os termos de uma lista

← aqui

Desafio: Considere a sequência dos naturais à m-ésima potência: 1m

...

prove que m diferen¸cas entre os termos desta sequˆencia resulta sempre numa constante igual a m! . Gentil, o iconoclasta gentil.iconoclasta@gmail.com

Boa vista-RR/06.08.2016

157

3.3.3

Matrizes

Uma das potências da HP Prime é o trato com matrizes, tanto numéricas quanto simb´ olicas. Por exemplo, veja

Podemos at´e multiplicar duas matrizes simb´ olicas, como aparece na tela da direita. Reiteramos: Estamos na vista do CAS; para que a letra a, por exemplo, apare¸ca como elemento da matriz nesta letra n˜ ao deve constar nenhum valor previamente armazenado, deve estar resetada. Veja adendo, p´ agina 147. Criando matrizes As matrizes podem ser criadas a partir da linha de entrada, veja como criamos as telas anteriores, respectivamente

Em cada caso ap´ os primar expostas no in´ıcio.

teremos as (respectivas) matrizes

Nota: Para entrar com os dados no formato acima sua calculadora dever´ a est´ a fixada no modo alg´ ebrico, veja p´ agina 135.

158

Da mesma forma que fizemos com as listas, podemos guardar uma matriz em uma vari´ avel. Por exemplo, considere a matriz na tela esquerda a seguir

escreva o nome da matriz na linha de entrada e clique na matriz (tela do centro), pe¸ca uma c´ opia (Copy), ap´ os Enter teremos a tela da direita, com a matriz j´a armazenada na vari´ avel MT1.

Acessando os elementos de uma matriz Podemos ter acesso aos elementos de uma matriz digitando o nome da matriz e a posi¸c˜ ao do elemento entre parenteses − exatamente como na matem´ atica. Por exemplo, considere a matriz anterior, na tela a seguir pedimos alguns elementos

na tela do centro pedimos a soma dos elementos da segunda linha, na tela da direita pedimos o produto dos elementos da terceira coluna.

159

C´ alculo de Matrizes com Elementos Alg´ ebricos Um estudante de engenharia civil (Liercio Feital) me escreveu com a seguinte d´ uvida∗ : Como fazer um programa para gerar matrizes tipo: # " 12E/L 10E/2L 8E/L

“onde eu entraria com os valores E = 10 e L = 2, o programa mostraria a matriz resultante”: # " 60 25 40 50

Antes do programa vejamos como resolver este problema diretamente na vista do CAS, na tela a seguir

→ criamos uma vari´ avel − na verdade uma fun¸c˜ao − de dois parˆ ametros (E e teremos a tela da direita. MLF pode ser vista como uma L), ap´ os fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis. Na tela a seguir

fazemos uma simula¸c˜ ao, isto ´e, digitamos na linha de entrada MLF(10,2), teremos o resultado. Na tela da direita, temos o programa ap´ os equivalente. ∗

Ainda na HP 50g .

160

Pedindo as dimens˜ oes de uma matriz Um importante comando em programa¸c˜ao ´e DIM, que nos devolve o tamanho de uma matriz, na tela a seguir

temos uma matriz de ordem {2, 3}; na tela da direita armazenamos uma matriz em uma vari´ avel e depois pedimos a dimens˜ao da matriz.

3.3.4

O comando MAKEMAT

Um importante comando em programa¸cão é MAKEMAT, cuja sintaxe é vista a seguir MAKEMAT (express˜ ao, linhas, colunas) Cria uma matriz com a dimensão linhas × colunas, utilizando a express˜ ao para calcular cada elemento. Se a express˜ ao contém as vari´ aveis I e J, então, o cálculo para cada elemento substitui o n´ umero de linha atual para I e o n´ umero da coluna atual para J. A seguir vemos dois exemplos

na tela da esquerda construimos uma matriz 2 × 2 com termo geral dado por aij = j − i2 ; na tela da direita construimos uma matriz 3 × 4 com termo geral dado por aij = i − 2 j. Devemos usar letras mai´ usculas na express˜ ao da matriz, o i min´ usculo ´e reservado para a unidade complexa. Nota: Na vista do CAS (a que estamos trabalhando) digite o comando − na linha de entrada − em letras mai´ usculas: MAKEMAT.

161

A prop´osito, vejamos um exemplo um pouco mais sofisticado. A matriz a seguir

aij = ( −1 )

i−1 j−1 2

serve para o c´ alculo de combina¸cões, como pode ser visto na referência [2]. O s´ımbolo ⌊ x ⌋ representa a fun¸cão m´ aximo inteiro (que n˜ ao supera x), ou fun¸c˜ ao piso. Na HP Prime é denotada por FLOOR, na tela a seguir vemos alguns exemplos

Na tela da direita construimos a matriz aij , 4 × 2, dada pela equa¸cão acima. Na tela a seguir usando a equa¸cão aij construimos uma fun¸cão de duas vari´ aveis (programa): m, n´ umero de linhas e n, n´ umero de colunas.

Nas telas do centro e direita temos duas simula¸cões. Observe que os programas na HP Prime resultam bastante compactos − simples, enxutos, estéticos. Perguntamos se em outras linguagens de programa¸c˜ ao obter´ıamos este mesmo n´ıvel de simplifica¸cão (?).

162

Vetores Vetor na HP Prime ´e uma matriz unidimensional (uma linha), por exemplo [ −1, 2, 5, 7 ]

´ importante fazer distin¸c˜ E ao entre um vetor e uma matriz de uma u ´ nica linha na hora de acessar um elemento. Na tela a seguir

criamos uma matriz unidimensional e um vetor, digitando na linha de entrada MT1:=[[−1, −1, 0, 0, 1, 1]]

VT1:=[−1, −1, 0, 0, 1, 1]

na tela da direita tentamos acessar o segundo elemento da matriz com apenas uma coordenada, o que redundou em erro, em seguida acessamos o segundo elemento de maneira correta no vetor e na matriz.

∗

Adendo: H´a de se observar que um mesmo comando devolve objetos distintos, na vista de In´ıcio e na vista do CAS, exemplo: m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := { 5 }, Na vista de In´ıcio. m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := 5,

163

Na vista do CAS.

3.4

Somat´ orios

Um outro importante recurso para a programa¸cão é o somatório. Acesse o somat´ orio primando a tecla

A sintaxe do somat´ orio ´e X (express˜ ao, vari´ avel, in´ıcio, fim)

Por exemplo, observe a equivalˆencia

X (express˜ ao, vari´ avel, in´ıcio, fim)

⇐⇒

5 X

k=1

Ou ainda X (k ∧ 2, k, 1, 5) | {z } na HP Prime

⇐⇒

5 X

k=1

Digitando na linha de entrada

→ pressionando

teremos o resultado na tela da direita.

164

Somat´ orio e resultados alg´ ebricos Nota: Para os exemplos que se seguem, certifique-se de que a vari´ avel n est´ a resetada − adendo, p. 147.

O somat´ orio produz at´e resultados alg´ebricos, digitando na linha de entrada k variando de 1 a n

pressionando

teremos o resultado na tela da direita. Portanto n X

k2 =

k=1

2n3 + 3n2 + n 6

Caso se queira o resultado fatorado, escreva factor() na linha de entrada, clique na express˜ ao e pe¸ca uma c´opia

pressionando

teremos o resultado na tela da direita. Portanto n X

k=1

k2 =

n (n + 1) (2 n + 1) 6

165

Podemos at´e criar fun¸c˜oes envolvendo somat´ orios; por exemplo, digitando na linha de entrada X f (m, n) := (k ∧ m, k, 1, n)

temos

1 |1

31 {z 41 51 6 X f (1, 6)= k1 = 21

61}

k=1

2 |1

22 f (2, 5)=

3{z2 5 X

42 k2 = 55

5}2

k=1

Na tela vemos duas simula¸cões. Somat´ orio e s´ eries Podemos até somar algumas séries, por exemplo, considere a progressão geométrica infinita 1 1 1 1 , , , , ... 2 4 8 16 na tela a seguir digitamos a soma dos termos desta P.G.

na tela da direita temos o resultado, portanto ∞

X 1 1 1 1 1 + + + + ... = = 1 2 4 8 16 2k k=1

166

3.5

´ Algebra

Menu CAS Nas telas a seguir mostramos como acessar alguns comandos para manipula¸c˜oes alg´ebricas.

Vejamos alguns comandos. 1) Simplificar Apresenta uma express˜ ao simplificada. simplify(Expr) 2) Colecionar Recolhe termos semelhantes numa express˜ ao polinomial (ou numa lista de express˜ oes polinomiais). Decomp˜ oe os resultados, consoante as defini¸c˜oes CAS. collect(Poly)

collect({Poly1, Poly2,..., Polyn})

Exemplos:

167

3) Expandir Apresenta uma express˜ ao expandida. expand(Expr) 4) Decompor Apresenta um polinˆ omio decomposto (fatorado). factor(Poly) Exemplos:

Nota: Para estes exemplos a configura¸cão CAS da sua calculadora deve ser como na tela da direita. 5) Substitue Substitui um valor por uma vari´ avel numa express˜ ao. subst(Expr,Var=valor) 6) Fra¸ c˜ ao parcial Realiza a decomposi¸c˜ ao de uma fra¸cão em fra¸cões parciais. partfrac(RatFrac) Exemplos:

168

Mudando a configura¸c˜ ao da Vista de In´ıcio e do CAS como nas telas a seguir

aqui

−→

na tela da direita repetimos os dois exemplos anteriores, ou seja, agora temos a decomposi¸c˜ ao sobre os Complexos.

Extra¸ c˜ ao 7) Numerador Numerador simplificado. Para os n´ umeros inteiros a e b, apresenta o numerador da fra¸c˜ ao a/b ap´ os a simplifica¸c˜ao. numer(a/b) 8) Denominador Denominador simplificado. Para os n´ umeros inteiros a e b, apresenta o denominador da fra¸c˜ ao a/b ap´ os a simplifica¸c˜ao. denom(a/b) Exemplos:

169

9) Lado esquerdo Apresenta o lado esquerdo de uma equa¸c˜ao ou a extremidade esquerda de um intervalo. left(Expr1=Expr2)

left(Real1..Real2)

10) Lado direito Apresenta o lado direito de uma equa¸c˜ao ou a extremidade direita de um intervalo. right(Expr1=Expr2)

right(Real1..Real2)

Exemplos:

Uma aplica¸c˜ ao interessante destes comandos é que podemos extrair a base e o expoente em uma potência de expoente fracionário, como na tela da direita. Funciona até mesmo com potências algébricas, veja:

Na tela da direita mostramos como fatorar o expoente do numerador da seguinte fra¸c˜ ao 2 2x −1 x3 − 1 Ent˜ ao 2 2(x−1)(x+1) 2x −1 = x3 − 1 x3 − 1

170

3.6

Estruturas de Programa¸c˜ ao

Introdu¸ c˜ ao Uma estrutura de programa¸ c˜ ao permite a um programa tomar uma decis˜ ao sobre como ele deve ser executado, dependendo das condi¸cões dadas ou dos valores de argumentos em particular. Um uso cuidadoso e inteligente destas estruturas torna poss´ıvel a cria¸cão de programas com extraordin´ aria flexibilidade. Diriamos que a programa¸c˜ ao propriamente dita come¸ca aqui com estruturas de programa¸c˜ ao, pois o que fizemos anteriormente foi praticamente a programa¸c˜ ao de fórmulas apenas. Estas estruturas que iremos estudar s˜ ao comuns a várias linguagens de programa¸c˜ ao, como por exemplo, PASCAL, FORTRAN, C++ , MATLAB, etc. Quero dizer: você entendendo-as neste contexto, também estar´ a apto a executá-las em qualquer outra linguagem em que estas se fa¸cam presentes; da´ı a importˆ ancia de entendê-las nesta aqui, isto é, na HP Prime .

Estruturas de programa¸c˜ ao As estruturas que iremos estudar s˜ ao as seguintes:

• Estruturas c´ıclicas :

• Estruturas condicionais :

  FOR   

FOR - STEP

   

WHILE - REPEAT - END

  IF - THEN - END

 IF - THEN - ELSE - END

171

3.6.1

Estruturas c´ıclicas

FOR Para exemplificar o uso desta estrutura vamos construir um programa para calcular a soma dos N primeiros n´ umeros Naturais. Isto ´e, queremos o valor de: N X i = 1 + 2 + 3 + ··· + N i=1

Devemos fornecer ao programa o valor de N (at´e onde queremos que o mesmo some) e este deve nos devolver o valor da soma correspondente. Vamos iniciar o programa de acordo com a tela a seguir

↑ Para inserir a estrutura FOR no programa pressione a tecla virtual assinalada (Tmplt); des¸ca at´e o item 3Loop; v´a para a direita. Estamos na tela da ; ap´ os, teremos a tela a seguir direita acima. Agora pressione

complete o programa conforme tela da direita. Podemos executar o programa diretamente da vista do CAS

172

Estando na vista de in´ıcio digite o nome do programa e, entre parenteses, os dados requeridos pelo programa; como, por exemplo, na tela a seguir

→ Isto significa que 5 X

I = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

I =1

Como funciona a estrutura FOR  FOR contador FROM in´ıcio TO fim DO    cl´ ausula c´ıclica Loop    END

Esta estrutura executa uma por¸cão do programa por um n´ umero definido de vezes usando o conte´ udo de uma vari´ avel local como contador, a qual pode ser usada dentro do loop para cálculos ou outros propósitos. No final ao o contador é do loop o contador é testado se já atingiu o fim, caso n˜ incrementado de uma unidade e a cla´ usula c´ıclica é executada mais uma vez; este processo se repete até que o contador atinja o fim, quando então o loop é abandonado. No programa ao lado temos: I: contador, 1: in´ıcio do contador, N: fim do contador, S:= S+I: cl´ ausula c´ıclica. Neste caso o contador est´ a sendo utilizado dentro do loop. No caso deste programa a vari´ avel S é inicializada com 0, e, a cada ciclo, S é atualizada adicionando-se o valor de I ao seu valor anterior.

173

FOR-STEP Esta estrutura funciona de modo semelhante a anterior (FOR) exceto que a vari´ avel de controle pode ser incrementada de um valor diferente da unidade.

FOR - END’s concatenados O que chamamos de concatena¸cão de FOR - END’s é o mesmo que encaixe (ou aninhamento) de FOR - END’s que, dependendo do programa, pode tomar diversas configura¸cões. Por exemplo, assim: FOR FOR

FOR FOR FOR

FOR FOR

END END END

END END

END FOR END END

Dentre muitas outras aplica¸cões a concatena¸cão é u ´ til para se trabalhar com matrizes. Vejamos o seguinte exemplo: (U.E.LONDRINA - 84) Dada a matriz A = ( amn )2×2 onde amn = 2n−m , a soma de todos os elementos que comp˜ oe a matriz A2 é igual a: a ) 81/4

b ) 10

c)9

d ) 25/4

e) − 6

Motivados pelo desafio acima vamos fazer um programa para construir uma matriz (quadrada de ordem N ) e que, em particular (N = 2) tenhamos a matriz do problema anterior. O programa consta da tela a seguir

na tela da direita temos duas simula¸cões. Observe que o programa foi elaborado na vista de in´ıcio − e n˜ ao na vista do CAS. Observe que temos uma concatena¸cão tipo a ). O primeiro FOR (ou ainda, o primeiro la¸co) fixa a linha e o segundo varia as colunas, de modo que a matriz vai sendo construida linha a linha e de cima para baixo. Para obter a resposta da questão do vestibular, clique na primeira matriz (tela anterior), pe¸ca uma cópia para a linha de entrada, eleve ao quadrado e some os elementos. 174

O programa anterior foi feito apenas para ilustrar a concatena¸c˜ao de FOR - END’s, no entanto, na tela da esquerda a seguir criamos − na vista do CAS − um programa equivalente

Na tela da direita temos uma simula¸cão para N = 3. Digamos que você queira os elementos da matriz n˜ ao na forma de fra¸cão, mas aproximados (approx) com três decimais; o caminho é este

Aqui

Executamos novamente o programa, como na tela da direita.

175

WHILE - REPEAT - END Esta ´e uma outra estrutura c´ıclica bastante utilizada. Para exemplificar o uso desta estrutura vamos resolver o seguinte problema: (UNESP - 84) Seja Sn = 211 + 212 + · · · + 21n , n um n´ umero natural diferente de zero. O menor n´ umero n tal que Sn > 0, 99 ´e: a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

A ideia aqui ´e variar n (a partir de 1) e ir somando os termos o resultado da soma seja maior que 0, 99. Veja alguns exemplos, n

1 2

= 0, 5

1 2

1 22

= 0, 75

1 2

1 22

...

1 23

1 2n

at´e que

= 0, 875

........................

Vamos fazer melhor: o programa vai receber como entrada um n´ umero L que, em particular, pode ser L = 0, 99. Vamos iniciar o programa de acordo com a tela a seguir (Vista de in´ıcio)

Para inserir a estrutura WHILE, v´a para a tela da direita acima. Agora ; ap´ os, complete com a tela a seguir pressione

Na tela da direita temos duas simula¸c˜oes do programa. 176

Digitando na linha de entrada (vista do CAS) SUN(n) := criamos uma fun¸c˜ ao de n, esta Sn =

(1/2 ∧ k, k, 1, n)

1 1 1 + 2 + ··· + n 1 2 2 2

As telas a seguir

mostram Sn para alguns valores de n. Para os valores aparecerem como na tela acima em deve estar desmarcada (tela da direita).

a caixa Exact

Como funciona a estrutura WHILE  WHILE      cla´ usula de teste   Loop DO    comandos     END

Esta estrutura executa uma por¸c˜ao do programa (comandos) enquanto a cla´ usula de teste for verdadeira. No programa ao lado temos: cla´ usula de teste: S≤L. comandos: n:=n+1; S:=S+1/2 ∧ n. O loop s´ o ´e abandonado quando S for tal que S>L.

177

3.6.2

Estruturas condicionais

IF - THEN - END Para exemplificar o uso desta estrutura vamos construir um programa que nos diz se um dado n´ umero ´e par ou n˜ ao. Faremos este programa de dois modos distintos, para ilustrar dois comandos da HP Prime : FP e MOD. O comando FP nos devolve a parte fracion´ aria de um n´ umero, na tela a seguir temos alguns exemplos (desmarque a caixa Exact)

Na tela do centro temos o programa. Na tela da direita como acessamos a estrutura IF - THEN - END. A estrutura IF - THEN - END executa uma sequência de comandos somente se o teste é verdadeiro. A palavra IF inicia a cláusula-de-teste, a qual deixa o resultado do teste (0 ou 1). THEN remove este resultado. Se o valor é 1, a cl´ ausula verdadeira é executada. Caso contr´ ario, a execu¸cão do programa prossegue com a instru¸cão seguinte a END. umero inteiro a O comando MOD nos devolve o resto da divisão de um n´ por um n´ umero inteiro b. A seguir temos dois exemplos 5 1

2 2

20 6 2 3 տ 20 MOD 6

տ 5 MOD 2

Na tela a seguir temos os dois exemplos acima; o segundo programa consta na tela do centro a seguir

Na tela da direita temos duas simula¸c˜oes deste programa.

178

IF - THEN - ELSE - END Esta estrutura condicional é bem mais interessante e u ´ til que a anterior. Para exemplific´ a-la faremos um programa para sair com os N primeiros termos da sequência n  se n é par;  ,   2 an =     n + 1 , se n é ´ımpar. 2 Inicie o programa como a seguir

complete-o como na tela do centro. Na tela da direita temos duas simula¸cões do programa. Vejamos mais um exemplo de aplica¸cão desta estrutura. (PUC- SP - 76) Se A é uma matriz 3 por 2 definida pela lei  1, se i = j; aij = 2 i , se i = 6 j.

Ent˜ao A se escreve:       1 1 1 1 1 1 1 4 9 1 1 9 a) b)  4 1  c)  1 4  d) e)  4 1  1 1 9 1 4 9 9 9 9 9 6 6

Vamos resolver este problema para uma matriz de dimensão genérica M × N . O programa é como a seguir

na tela da direita temos trˆes simula¸c˜oes. 179

Como funciona a estrutura IF - THEN - ELSE - END  IF      cla´ usula-de-teste        THEN cla´ usula-verdadeira Estrutura    ELSE      cla´ usula-falsa     END Esta estrutura executa uma sequência de comandos se o teste resultar verdadeiro e outra, caso seja falso. A palavra IF inicia a cláusula-de-teste, a qual sai com o resultado (0 ou 1). THEN verifica este resultado. Se o valor é 1, a cláusula-verdadeira é executada; caso contr´ ario, a cláusula-falsa é executada. Após ter executado a cl´ ausula apropriada, o programa prossegue com a instru¸cão seguinte à END. No programa ao lado temos: cla´ usula de teste: FP(n/2)==0 cla´ usula verdadeira: TS(n):=n/2 cla´ usula falsa: TS(n):=(n+1)/2

180

Tra¸cando gr´ aficos com IF - THEN - ELSE - END Vamos exemplificar como esta estrutura pode ser utilizada para construir gr´ aficos de fun¸c˜ oes definidas por v´arias senten¸cas. Inicialmente considere a fun¸ca˜o f : R → R dada por   se x < −1;  −x, f (x) =   x2 − 1, se x ≥ −1.

Na tela a seguir programamos esta fun¸c˜ao

na tela da direita simulamos alguns exemplos. Ao atribuir o nome f ao programa caso esta vari´ avel esteja ocupada então purge(f ) é uma sugestão. Pois bem, nosso objetivo agora é plotar o gr´ afico desta fun¸cão. Inicialo que vai nos levar para a seguinte tela mente prima a tecla

→

↑ em seguida clique no aplicativo assinalado (Function), o que nos leva para a tela da direita. Clique na tecla virtual Edit

181

escreva na linha de entrada f (X) (este X deve ser mai´ usculo); ap´ os clicar em OK estaremos na tela da direita

→

↑

Agora vamos dimensionar os eixos para plotagem, para isto clique em

vamos para a seguinte tela (configura¸c˜ao na minha calculadora)

configurando como na tela do centro, ap´ os clique em teremos a tela da direita. Como mais um exemplo, para o gr´ afico da fun¸c˜ao dada por   −x − π2 , se x < − π2 ;     g(x) = | cos 2 x |, se − π2 ≤ x < π2 ;      x − π2 , se x ≥ π2 . o programa fica assim

182

3.7

C´ alculo de combina¸ c˜ oes

Introdu¸c˜ ao: A conhecida fórmula da an´ alise combinat´ oria n n! = r (n − r)! r! nos fornece o n´ umero de combina¸cões dos n elementos de um conjunto, tomados r a r. Mas esta fórmula n˜ ao nos fornece as tais combina¸cões. O nosso objetivo nesta se¸c˜ ao é exibir uma fórmula que tem precisamente esta finalidade. A matriz a seguir nos fornece todas as combina¸cões poss´ıveis para um conjunto com quatro elementos { a1 ,

a4 }

a2 ,

a3 ,

{

}

{ a1 }

{ a2 }

{ a1 , a2 }

{ a3 }

{ a1 , a3 }

{ a2 , a3 }

{ a1 , a2 , a3 }

{ a4 }

{ a1 , a4 }

{ a2 , a4 }

{ a1 , a2 , a4 } { a3 , a4 }

{ a1 , a3 , a4 }

{ a2 , a3 , a4 }

{ a1 , a2 , a3 , a4 }

Onde convencionamos que onde ocorre 1 o elemento entra na combina¸cão, onde ocorre 0 o elemento n˜ ao entra na combina¸cão. Esta matriz pode facilmente ser generalizada para um conjunto com um n´ umero arbitrário de elementos, digamos n. Lembramos que o s´ımbolo ⌊ x ⌋ representa a fun¸cão m´ aximo inteiro (que n˜ ao supera x), ou fun¸c˜ ao piso. Na HP Prime é denotada por FLOOR.

183

Uma f´ ormula para a matriz de combina¸c˜ oes Em nosso livro citado na referência [2] demonstramos a seguinte fórmula para a matriz de combina¸cões

aij =

   0   1

se se

i−1 j−1 2 i−1 j−1 2

k k

´e par; ´e ´ımpar.

Na tela a seguir programamos esta matriz, entramos com n e o programa sai com a respectiva matriz de combina¸c˜oes

nas duas outras telas temos duas simula¸c˜oes. Nas telas a seguir temos um (´ unico) programa que recebe um conjunto e sai com o conjunto das partes (conjunto de todos os subconjuntos)

184

Nas telas a seguir

temos duas simula¸c˜ oes do programa; na tela da esquerda entramos com o conjunto { a, b, c } e na tela da direita com o conjunto { a1 , a2 , a3 , a4 } .

Nota: Não esquecer de resetar as letras (p. 147) − se necessário. Ademais, evite incluir a letra e em um conjunto, esta letra é reservada para a base do logaritmo neperiano. Nas telas a seguir

entramos com um conjunto e r, o programa sai com todas as combina¸cões dos elementos do conjunto tomados r a r. Observe que o programa anterior (MTXC1) é utilizado. Na tela da direita vemos uma simula¸cão para o conjunto { a1 , a2 , a3 , a4 } e r = 3.

185

3.8

Desenvolvimento N -´ ario

Matriz Bin´ aria Sabe-se que dados dois inteiros a e N , com a ≥ 0 e N > 1, existem (e s˜ ao u ´ nicos) inteiros c0 , c1 , . . . , cn ; de tal modo que a = c0 + c1 · N + c2 · N 2 + · · · + cn · N n com 0 ≤ ci < a (i = 0, 1, . . . , n). A express˜ ao anterior é chamada expans˜ ao N -´ aria do inteiro a. O sistema de numera¸cão de base 2 obtém-se escolhendo um conjunto com dois s´ımbolos: S = { 0, 1 }. Na matriz seguinte temos a expans˜ ao bin´ aria dos inteiros 0, 1, 2, . . . , 15. 20 21 22 23

=⇒

20 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

21 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

22 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

23 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 = 0·20 + 0·21 + 0·22 + 0·23 1 = 1·20 + 0·21 + 0·22 + 0·23 2 = 0·20 + 1·21 + 0·22 + 0·23 3 = 1·20 + 1·21 + 0·22 + 0·23 4 = 0·20 + 0·21 + 1·22 + 0·23 5 = 1·20 + 0·21 + 1·22 + 0·23 6 = 0·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23 7 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23 8 = 0·20 + 0·21 + 0·22 + 1·23 9 = 1·20 + 0·21 + 0·22 + 1·23 10 = 0·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23 11 = 1·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23 12 = 0·20 + 0·21 + 1·22 + 1·23 13 = 1·20 + 0·21 + 1·22 + 1·23 14 = 0·20 + 1·21 + 1·22 + 1·23 15 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 1·23

Em nosso livro [2] demonstramos a seguinte f´ormula

anj =

j n k j n k − 2 j j+1 2 2

que nos fornece o desenvolvimento bin´ ario de um inteiro positivo n.

186

Para programar a matriz bin´ aria necessitaremos da varia¸c˜ao de j. Observe que se n 1 n n · j = j+1 < 1 ⇒ anj = 0. ⇒ j < 1 2 2 2 2 Portanto, devemos considerar apenas os valores de j, satifazendo a desigualdade n j ⇐⇒ 2 ≤ n. Isto ´e, j = 0, 1, 2, . . . , ⌊log2n ⌋. j ≥ 1 2 Exemplo: Encontre a expans˜ ao bin´ aria de 20. Solu¸ c˜ ao: ⌊log20 ⌋ = 4. Para j = 0, 1, 2, 3, 4; obtemos 2 j=0

⇒ a20,0 = ⌊ 200 ⌋ − 2⌊

20 20+1

⌋ = 20 − 2 · 10 = 0

j=1

⇒ a20,1 = ⌊ 201 ⌋ − 2⌊

20 21+1

⌋ = 10 − 2 · 5

j=2

⇒ a20,2 = ⌊ 202 ⌋ − 2⌊

20 22+1

⌋ = 5−2·2

j=3

⇒ a20,3 = ⌊ 203 ⌋ − 2⌊

20 23+1

⌋ = 2−2·1

j=4

⇒ a20,4 = ⌊ 204 ⌋ − 2⌊

20 24+1

⌋ = 1−2·0

= 1.

Logo, 20 = (0 0 1 0 1)2 . Ou ainda, 20 = 0 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 . Na tela a seguir programamos a matriz bin´ aria

na tela da direita temos algumas simula¸c˜oes.

187

Matriz Tern´ aria O sistema de numera¸cão de base 3 obtém-se escolhendo um conjunto com três s´ımbolos: S = { 0, 1, 2 }. Na matriz seguinte temos a expans˜ ao dos inteiros 0, 1, 2, . . . , 26, na base 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

30 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2

31 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2

32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 = 0 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32

1 = 1 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 2 = 2 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 3 = 0 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 4 = 1 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 5 = 2 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 6 = 0 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 7 = 1 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 8 = 2 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 9 = 0 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32

10 = 1 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32 11 = 2 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32 12 = 0 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 13 = 1 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 14 = 2 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 15 = 0 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 16 = 1 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 17 = 2 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 18 = 0 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 19 = 1 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 20 = 2 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 21 = 0 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 22 = 1 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 23 = 2 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 24 = 0 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32 25 = 1 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32 26 = 2 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32

Uma f´ormula para a matriz tern´ aria ´e dada a seguir

anj =

j n k j n k − 3 3j 3j+1 188

O sistema de numera¸c˜ ao de base N > 1 obtém-se escolhendo um conjunto com N s´ımbolos: S = { s0 , s1 , . . . , sN−1 }. No sistema de base 10 usualmente toma-se S = { 0, 1, 2, . . . , 9 }. Se N ≤ 10, utilizam-se os s´ımbolos 0, 1, 2, . . . , 9 e se N > 10 utilizam-se os s´ımbolos 0, 1, 2, . . . , 9 e se introduzem s´ımbolos adicionais para representar 10, . . . , N − 1. Por exemplo, o sistema de numera¸c˜ ao hexadecimal (base 16), largamente utilizado em eletrˆ onica digital, usa 16 s´ımbolos: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } A fórmula a seguir generaliza as matrizes bin´ aria e tern´ aria para uma base N qualquer j n k j n k − N anj = Nj N j+1 Onde (fixado n), j = 0, 1, 2, . . . , ⌊logNn ⌋. Exemplo: Obter o desenvolvimento de 538 na base hexadecimal. Solu¸ c˜ ao: Para N = 16, temos ⌊log16538 ⌋ = 2. Então, j 538 k j 538 k a538, j = − 16 , j = 0, 1, 2. 16j 16j+1 Temos j = 0 ⇒ a538, 0 = ⌊ 5380 ⌋ − 16⌊

538 160+1

⌋ = 538 − 16 · 33 = 10

j = 1 ⇒ a538, 1 = ⌊ 5381 ⌋ − 16⌊

538 161+1

⌋ = 33 − 16 · 2

j = 2 ⇒ a538, 2 = ⌊ 5382 ⌋ − 16⌊

538 162+1

⌋ = 2 − 16 · 0

16 16 16

Como 10 ≡ A, resulta, 538 = (A 1 2)16 . Na tela a seguir programamos a matriz N -´aria

na tela da direita algumas simula¸c˜oes na base N = 3 e N = 16. Nota: Deduzi a matriz N -´ aria em abril/1999 (Ver [2]).

189

3.9

Algumas fun¸ c˜ oes especiais

Neste t´ opico vamos arrolar mais algumas fun¸c˜oes da HP Prime que julgamos relevantes no contexto da programa¸c˜ao.

3.9.1

A fun¸ c˜ ao apply

Aplica um vetor (ou lista) − do dom´ınio de uma fun¸c˜ao − no c´alculo dos valores da fun¸c˜ ao Sintaxe apply ( Var → f(Var),

vetor)

Por exemplo

Na tela da direita mostramos como acessar a setinha − encontra-se “sob” a tecla de n´ umero 9. No lugar do vetor pode ser uma lista. Nas telas a seguir utilizamos esta fun¸c˜ ao para calcular duas “tabelas trigonom´etricas”, do seno e do cosseno:

Nota: Sua calculadora deve estar fixada no modo Exact, p. 144. As tabelas trigonométricas constantes nos livros n˜ ao trazem alguns “arcosπ o metade”, como, por exemplo, 15 = 12 , na HP Prime é fácil, veja:

190

3.9.2

A fun¸c˜ ao REPLACE

REPLACE Substitui parte de uma matriz ou vetor guardados em nome por um objeto a partir da posi¸c˜ ao in´ıcio. In´ıcio para uma matriz é uma lista que contém dois n´ umeros. Para um vetor, é um u ´ nico n´ umero. REPLACE também funciona com listas, gr´ aficos e strings. Sintaxe REPLACE(nome, in´ ıcio, objeto) Nas telas a seguir, vemos dois exemplos

Observe mais duas substitui¸c˜ oes

Lembrete: N˜ao esque¸ca de resetar as letras, se necess´ario.

191

Tabela trigonom´ etrica Vamos montar uma tabela trigonom´etrica do seno. Considere novamente a tela a seguir

a direita criamos uma matriz, que vai ser a tabela ao final. ` A seguir, criamos uma matriz que cont´em os valores do dom´ınio

a direita calculamos o seno para esta matriz. ` A seguir, crie uma vari´ avel VC, clique em cima do u ´ ltimo vetor (matriz) e guarde uma c´ opia nesta vari´ avel

na tela da direita substituimos a primeira coluna da matriz MTR pelo transposto do vetor VD.

192

Este u ´ ltimo resultado salvamos em MTR

na tela da direita substituimos em MTR o transposto do vetor VC. A seguir salvamos esta u ´ ltima matriz em MTR

na tela da direita colocamos uma “legenda” na tabela. Opcionalmente, podemos ver a tabela na horizontal, tomando o transposto, assim

Clique em cima da tabela e pe¸ca para ver (Show)

193

Vamos encimar a tabela com grau, no lugar de radiano. Para isto salvamos a tabela em uma nova vari´ avel. Digite na linha de entrada como a seguir

Apenas a t´ıtulo de curiosidade, veja como nos “tempos primitivos” calculavaπ . Vamos partir da f´ormula se, por exemplo, o seno de 15o = 12 sen

a 2

1 − cos a 2

Substituindo nesta f´ormula a = 30o , obtemos 30o r 1 − cos 30o = sen 2 2 Ent˜ ao

Simplificando,

sen 15o =

1− 2

√

3 2

√ 2− 3 sen 15 = 2 Na tela a seguir, pedimos para a HP Prime calcular o seno de 15o o

mude sua calculadora para grau (Degrees) na tela da direita pedimos para ela simplificar o resultado obtido pela f´ormula, para efeito de compara¸c˜ao. 194

3.9.3

A fun¸c˜ ao Map

Segundo o manual (da HP Prime ): Existem duas utiliza¸c˜ oes para esta fun¸cão, nas quais o segundo argumento é sempre um mapeamento de uma vari´ avel para uma express˜ ao. Se a express˜ ao for uma fun¸c˜ ao da vari´ avel, a fun¸cão é aplicada a cada elemento do vetor ou matriz (o primeiro argumento) e é apresentado o vetor ou matriz resultante. Se a express˜ ao for um teste booleano, cada elemento do vetor ou matriz é testado e os resultados s˜ ao apresentados como um vetor ou matriz. Cada teste apresenta 0 (falha) ou 1 (aprova¸cão). Sintaxe map ( Matrix, Var → Fun¸ c~ ao) Ou map ( Matrix, Var → Teste) Em seguida o manual fornece os dois exemplos seguintes

Na tela da direita acrescentei mais um exemplo. O manual n˜ ao fornece nenhum exemplo de um caso onde o primeiro argumento da map seja uma matriz; fiz algumas tentativas, no entanto, pelas respostas, n˜ ao encontrei uma “l´ogica”, um padr˜ao. Por exemplo, na tela a seguir

apliquei a fun¸c˜ ao x → 2 x ` a matriz de entrada, o resultado foi o esperado: cada elemento da matriz ´e multiplicado por 2. Quando apliquei a fun¸c˜ao 195

x → x−1, eu esperava que cada elemento da matriz fosse subtraido de 1, isto aconteceu apenas com os elementos da terceira coluna. Na matriz da direita temos duas outras simula¸cões, apenas a segunda me é intelig´ıvel; de formas que a explica¸c˜ ao do manual para mim ficou um tanto quanto nebulosa; cansado de tentar encontrar uma lógica decidi criar a minha pr´ opria fun¸cão “map”, isto é, uma que atenda ao enunciado “Se a express˜ ao for uma fun¸ca õ da vari´ avel, a fun¸ca õ é aplicada a cada elemento da matriz (o primeiro argumento) e é apresentado a matriz resultante.” A fun¸c˜ ao que criei tem a seguinte: Sintaxe mapii ( Matrix, Var → express~ ao) ei-la:

a direita temos duas simula¸c˜oes. `

3.9.4

A fun¸ c˜ ao Zip

Aplica uma fun¸c˜ ao bivariada aos elementos de duas listas ou vetores e apresenta os resultados num vetor. Sem o valor predefinido, o comprimento do vetor ´e o m´ınimo dos comprimentos das duas listas. Com o valor predefinido, a lista mais curta ´e preenchida com o valor predefinido. Sintaxe: zip(‘function’ , List1, List2, Default)

196

3.9.5

A fun¸c˜ ao remove

Dado um vetor ou lista, remove as ocorrˆencias de Valor ou remove os valores que tornam o Teste verdadeiro e apresenta o vetor ou lista resultante. Sintaxe: remove(Value, List) ou remove(Test, List) Veja os dois exemplos seguintes

Aqui cabe uma pergunta: e se quisermos eliminar na lista do exemplo os x tais que x ≤ −2 e x ≥ 2 ?. Basta concatenar remove, assim:

197

3.9.6

A fun¸ c˜ ao solve

A fun¸c˜ ao solve − e outras que nos interessam − pode ser acessada na caixa de ferramentas, assim:

Ademais, escolha a configura¸cão da tela à direita. Solve: Apresenta uma lista das solu¸cões (reais e complexas) de uma equa¸cão polinomial ou de um conjunto de equa¸cões polinomiais. Sintaxe: solve(Eq,[Var])

solve(Eq1, Eq2,. . . , [Var])

Nas telas a seguir, temos alguns exemplos

Como um outro exemplo, na tela a seguir pedimos para resolver a equa¸c˜ ao quadr´ atica, a x2 + b x + c = 0

Na tela da direita criamos uma fun¸cão (programa) para resolver uma equa¸cão quadr´ atica, vemos uma simula¸cão. 198

Tabela-Resumo Comando

Sintaxe

MAKELIST

MAKELIST (express˜ ao, vari´ avel, inicio, fim, incremento)

153

MAKEMAT (express˜ ao, linhas, colunas) P Somat´ orio (express˜ ao, vari´ avel, in´ıcio, fim)

164

FOR

FOR contador FROM in´ıcio TO fim DO cla´ usula c´ıclica END

173

FOR-STEP

FOR variavel FROM in´ıcio TO fim STEP h DO cla´ usula c´ıclica END

174

WHILE

WHILE cla´ usula de teste

177

IF-THEN

usula de teste IF cla´

THEN comandos END

178

IF-THENELSE-END

IF cla´ usula de teste

THEN cla´ usula verdadeira ELSE cla´ usula falsa

180

MAKEMAT

DO comandos END

161

END apply

apply ( Var → f(Var),

map

map ( Matrix, Var → Fun¸ c~ ao)

195

REPLACE

REPLACE(nome, in´ ıcio, objeto)

191

Zip

zip(‘function’ , List1, List2, Default)

196

remove

remove(Test, List)

197

solve

solve(Eq, Var)

198

vetor)

199

190

Um Belo Desafio! - II − A quem interessar possa. Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequˆencia dos quadrados dos naturais

...

No diagrama a seguir 1

...

produzimos duas diferen¸ cas entre os termos da primeira sequˆencia. Considere a sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais 13

...

No diagrama a seguir 1

125

216

343

127

...

produzimos trˆ es diferen¸ cas entre os termos da primeira sequˆencia.

Desafio: Considere a sequência dos naturais à m-ésima potência: a(n) = nm , onde m é um natural arbitrariamente fixado. Fa¸ca um programa onde entramos com m e j e o mesmo saia com uma fórmula para a sequência que corresponde ` a diferen¸ca de ordem j da sequência a(n) = nm . Nota: Resolvemos este Desafio na HP Prime . Na tela da esquerda fazemos duas simula¸c˜ oes para o primeiro diagrama acima, a(n) = n2 . Na tela do centro fazemos duas simula¸cões para o segundo diagrama acima, a(n) = n3 . Na tela da direita, a partir da fórmula dada geramos os 10 primeiros termos das respectivas sequências.

Gentil, o iconoclasta gentil.iconoclasta@gmail.com

Boa vista-RR/07.08.2016

200

´ Polinˆ omio – Algebra

3.10

Quociente Apresenta um vetor que cont´em os coeficientes do quociente euclidiano de dois polin´ omios. Os polin´ omios podem ser escritos como uma lista de coeficientes ou em forma simb´ olica. Sintaxe: quo(List1, List2, [Var]) ou quo(Poli1, Poli2, [Var])

Resto. Apresenta um vetor que cont´em os coeficientes do resto do quociente euclidiano de dois polinˆ omios. Os polinˆ omios podem ser escritos como uma lista de coeficientes ou em forma simb´ olica. Sintaxe: rem(List1, List2, [Var]) ou rem(Poli1, Poli2, [Var]) Antes de exemplificar na Calculadora, vejamos um exemplo, “na m˜ ao”; vamos dividir os dois polinˆ omios a seguir, x4 + 2x3 + 3x2 + 4x

− x2 + 2x

Veja como fica x4 + 2x3 + 3x2 + 4x

−x2 + 2x

−x2 − 4x − 11 ← (quociente)

−x4 + 2x2 4x3 + 3x2 + 4x

+ :

−4x3 + 8x2 11x2 + 4x

+ :

−11x2 + 22x + :

26x

← (resto)

201

Na HP Prime fica assim

Na tela da direita temos um outro exemplo.

Grau. Apresenta o grau de um polinˆ omio. Sintaxe: degree(Poli) Exemplos:

Coef. MDC. Apresenta o m´ aximo divisor comum (MDC) dos coeficientes de um polin´ omio. Sintaxe: content(Poli,[Var]) Exemplos:

202

ratnormal Reescreve uma express˜ ao como uma fra¸c˜ao racional irredut´ıvel. Sintaxe: ratnormal(Expr)

Fra¸c˜ ao parcial Realiza a decomposi¸c˜ ao de uma fra¸c˜ao em fra¸c˜oes parciais. Sintaxe: partfrac(RatFrac) Exemplos:

∗

Gentil, bom dia!

∗ (email: 11/06/2012)

Aproveitei esses feriados estendidos em SP e li bem seu livro. Pratiquei todos os exerc´ıcios propostos e pratiquei todos os programas. Foi muito bom mesmo. Aprendi muito! [. . .] N˜ ao sou matem´ atico, sou engenheiro mecˆ anico formado em 1975. Na minha época de faculdade, n˜ ao havia calculadoras ainda. Tudo era feito na régua de c´ alculo ou no l´ apis e borracha. A minha Aristo tenho até hoje. [. . .] Apesar de eu j´ a me encontrar no fim da linha (fim de carreira - 60 anos), ainda tenho disposi¸ca õ para aprender. Pedir ao Ariovaldo (Siqueira) para que me enviasse uma foto da sua régua para que eu pudesse mostrá-la aos meus alunos. Ele respondeu: Em anexo encontra-se para sua aprecia¸ca õ o seu pedido. Tenho duas réguas de c´ alculo, a Aristo e a Sterling Slide Rule. Na época eu fazia tudo com elas em engenharia, ambas eu comprei em 1970 e as usei até 1978. Depois aposentei as duas e comprei minha primeira Texas. (ver foto p. 205)

203

Gentil Lopes <gentil.silva@gmail.com>

Livro HP50g 1 mensagem Cleber Pertel <cleber.pertel@uol.com.br> 9 de maio de 2013 22:11 Para: gentil.silva@gmail.com Professor Gentil, Chamo-me Cleber e sou acadêmico do curso de Engenharia Qu´ımica da Universidade Federal do Paran´ a. Estou escrevendo para o senhor para parabeniz´ a-lo pela sua obra “Programando a HP - 50g”. Esse livro é fantástico! Tem me ajudado muito. Confesso que quando necessitei comprar a referida calculadora, senti-me extremamente ignorante. Tinha a ferrari, mas me sentia andando num monociclo. O seu livro fez toda a diferen¸ca no caminho que percorri para adentrar no fantástico mundo da programa¸cão. Embora meus passos ainda sejam modéstos, tornaram-se firmes gra¸cas à sua preciosa ajuda. Embora n˜ ao seja seu aluno fisicamente, sinto-me tal e qual, pois o senhor, através do seu livro, tornou-se indispens´ avel em minha vida acadêmica, da mesma forma que os mestres que possuo na universidade. Infelizmente n˜ ao estamos pr´ oximos, pois eu gostaria muito de um aut´ ografo seu, mas, de qualquer forma, receba com estas palavras meu carinho e gratid˜ ao por uma obra t˜ ao rica que, humildemente, fala aos iniciantes (categoria na qual estou inclu´ıdo) e, mais do que isso, nos abre as portas do interesse e da curiosidade para adentrar nesse mundo ´ımpar que o seu livro conduz-nos os primeiros passos, quando estes ainda s˜ ao vacilantes. Que Deus o aben¸coe! Um forte abra¸co, com votos de paz, Cleber Pertel

204

Uma diferenÂ¸ ca (evoluÂ¸ ca ~o) abissal!

Foto-Ariovaldo

205

206

Referˆencias Bibliogr´aficas

[1] Silva, Gentil Lopes. N´ umeros n˜ ao euclidianos (Vers˜ ao 3D), 2018. Publica¸cão Eletrônica. [2] Silva, Gentil Lopes. Novas Sequências Aritméticas e Geométricas (Com programa¸ca õ na HP Prime ). 2 a Edi¸cão, 2016. Publica¸cão Eletrônica. [3] Silva, Gentil Lopes. Teoria da Relatividade Ontol´ ogica e Epistemol´ ogica. Publica¸c˜ ao eletrˆ onica, 2016. [4] Boyer, Carl Benjamin. Hist´ oria da Matem´ atica. S˜ ao Paulo - Edgar Bl¨ ucher, 1974. ´ oquio Bra[5] Bernardo Felzenszwalb. Algebras de Dimens˜ ao Finitas. 12o Col´ sileiro de Matemática. IMPA, 1979. [6] Fundamentos de matem´ atica elementar (por) Gelson Iezzi (e outros). S˜ ao Paulo, Atual Ed., 1977. V.6. Complexos, polinˆ omios, equa¸cões. [7] Garbi, Gilberto G. O romance das equa¸co ˜es algébricas. S˜ ao Paulo: Editora Livraria da F´ısica, 2010.

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´Indice Remissivo

A Identidade de um Elemento, 120 Allan Calder, fé, 132 Bachelard, 9 Bandidos, pol´ıticos, 121 Calculadora HP Prime, 20 Chaitin, 133 Chinesa, matem´ atica, 131 Combina¸c˜ oes, 183 Computa¸c˜ ao algébrica, 20 Conjuntos, Estruturas, 118 Defini¸c˜ ao de n´ umero, 127 Desafio para as férias, 115 Desafios Um Belo Desafio, 157 -II, 200 Desenvolvimento N -´ ario, 186 Divisão por zero, 49 ECR, 127 Email Ariovaldo, 203 Email Cleber, 204 Engenharia Matemática, 9 Escolas Matemáticas, 128 Escolas matem´ aticas, 128 Fórmula do Iconoclasta, 111 Fórmula inédita, 92 Forma algébrica, 42 Forma trigonométrica, 58 Frege, vergonha, 117 Fun¸c˜ ao sinal, 14

G. H. Hardy, Metaf´ısica, problema, 132 G. H. Hardy, Platonista, 132 Gaston Bachelard, 9, 93 Gentil Fórmula inédita, 92 Hardy, 132 Gottlob Frege, 117 Gr´ aficos, 181 Gregory Chaitin, 133 Henri Poincaré, 4 HP PRIME Adendo (Resetar), 147 apply, 190 FOR, 172, 173 FOR-STEP, 174 Fra¸cão irredut´ıvel (limite), 203 Fra¸cão parcial, 203 IF - THEN - ELSE - END, 179, 180 IF - THEN - END, 178 Listas, 151 MAKELIST, 153 MAKEMAT, 161 map, 195 mapii, 196 Matrizes, 158 Menus Toolbox, 155 Polinˆ omios, 201 remove, 197 REPLACE, 191 Resetar vari´ avel, 147 208

SIZE (distintos), 163 Solve, 198 Somat´ orios, 164 Tabela seno, 192 Tabela-Resumo, 199 Vetores, 163 WHILE, 176, 177 Zip, 196

Radicia¸cão, 79 Ratazanas, 121 Richard Courant, 123 TAP, chinês, 131 ´ Teorema Fundamental da Agebra, 6 Transforma¸cão de coordenadas, 59 Tribo ind´ıgena, 131

Isomorfismo, 122

Unidade hiperimagin´aria, 41

Joaquim Canto, 131

V´ırus, 128

Lei do Terceiro Exclu´ıdo, 129 Listagem dos programas, 116

Xadrez, 120

Maharaj, 93 Marcelo Malheiros Para uma consciência, 130 Mario Livio, 6 Matemática chinesa, 131 Matemática, ECR, 131 Matriz N -´ aria, 189 Matriz Bin´ aria, 186 Matriz Tern´ aria, 188 Milagre, 43 Milagre aos olhos . . . , 43 N´ umero, defini¸c˜ ao, 127 N´ umeros de Cayley, 13 Plotando gr´ aficos, 181 Poincaré, 4 Postulado da TROE, 130 Potencia¸c˜ ao, 71 Problema Cl´ assico, 113, 114 Programas, listagem, 116 Proposi¸c˜ ao n˜ ao euclidiana, 39 Propriedade n˜ ao euclidiana, 38 Quadro amarelo nne-2D, 14 nne-3D, 126 Quociente m´ agico, 48 Réguas de C´ alculo, 205 209