Matemática 5 Nuevo el mundo en tus manos by Aique Grupo Editor

Dirección general José Juan Fernández Reguera Coordinación y edición Equipo Aique Corrección Cecilia Biagioli Producción industrial Pablo Sibione

Docentes consultores Hilda Antoniazzi - Diego Camba - Andrea Capobianco Pedro Costa - Sandra D´Amico - Claudia Fadon - Claudia Fera Alejandra Florez - Silvana Glandarelli - Julieta González Patricia Grande - Magalí Gutiérrez - Nora Habiague Adrián Hoffmann - Cristina Jiménez - Gloria Jiménez Mauro Khedayán - Andrea Landajo - Anabella Laurita Silvia Levis - Marcela Magnaghi - Susana Moscatelli Gladys Olivera - Estela Pellegrini - Evelyn Rasch - Andrea Rulli Marcelo Rigl - Susana Treddenti - Silvia Zele

Barallobres, Gustavo Matemática 5 / Gustavo Barallobres ; contribuciones de Silvia Chara. - 1a edición para el alumno - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Aique Grupo Editor, 2017. 160 p. ; 27 x 22 cm. - (Nuevo el mundo en tus manos) ISBN 978-987-06-0687-1 1. Matemática. I. Chara, Silvia, colab. II. Título. CDD 372.7

© Aique Grupo Editor S. A. 2017 Francisco Acuña de Figueroa 352 (C1180AAF). Ciudad de Buenos Aires. Teléfono y fax: (011) 4865-5000 E-mail: centrodocente@aique.com.ar // Web: www.aique.com.ar LIBRO DE EDICIÓN ARGENTINA Hecho el depósito que previene la ley 11723. ISBN 978-987-06-0687-1

Primera edición No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización u otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11723 y 25446. Esta edición se terminó de imprimir en enero de 2017 en Impresiones Sud América. Andrés Ferreyra 3767/69, Buenos Aires, Argentina.

Gustavo Barallobres Colabora: Silvia Chara

Índice

capitulo 1 SiStemaS de numeración ............................. 10

En el antiguo Egipto .............................................................. 11 los números romanos............................................................ 12

El múltiplo común menor................................................... 33

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL............................ 13

Actividades finales ......................................................... 34

La importancia del cero ..................................................... 13

Para resolver con la calculadora.................................................. 37

Orden y comparación ........................................................ 13

Destrabacuentas ..................................................................... 38

En la actualidad.................................................................... 14

Autoevaluación ....................................................................... 39

DISTINTOS CAMINOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA ................................................................. 15

Actividades finales ......................................................... 16

Técnicas de estudio

Para resolver con calculadora ..................................................... 17 Destrabacuentas ..................................................................... 18

Los problemas se transforman .........................................................27

Autoevaluación ....................................................................... 19

Técnicas de estudio

Distintos caminos para resolver un problema ............................... 15

capítulo 3 ÁnguloS y triÁnguloS ................................... 40

problemas en la casa de los mellizos.................................... 41 ÁNGULOS: CLASIFICACIÓN Y MEDIDA........................... 43 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE

capítulo 2 multiplicación y diviSión de númeroS naturaleS ................................. 20

UN TRIÁNGULO ................................................................ 44 DIBUJAMOS TRIÁNGULOS ............................................... 45 PROPIEDADES DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO ..... 46 LAS FIGURAS Y LOS EJES DE SIMETRÍA .......................... 47

cálculos en el cine ............................................................. 21

Actividades finales ......................................................... 48

LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPIEDAD

¿Verdadero o falso?.................................................................. 52

DISTRIBUTIVA ................................................................... 23

Autoevaluación ....................................................................... 53

LA MULTIPLICACIÓN Y LAS PROPIEDADES ASOCIATIVA Y CONMUTATIVA ........................................ 24

En la fábrica de gaseosas .................................................... 25 LOS PROBLEMAS SE TRANSFORMAN............................. 27 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES............................. 28 Primer paso ....................................................................... 28 Segundo paso .................................................................... 28 Tercer paso ........................................................................ 29

olimpíada matemática .......................................................... 30 MÚLTIPLOS Y DIVISORES .................................................32 Criterios de divisibilidad ..................................................... 32

Técnicas de estudio

Dibujamos triángulos ....................................................................... 45

El divisor común mayor...................................................... 33

capítulo 4 FraccioneS .............................................................. 54

En el negocio de Julia y Marina ............................................ 55 MEDIDAS Y REPARTOS..................................................... 57 PROBLEMAS CON UNA SOLUCIÓN O CON VARIAS SOLUCIONES ....................................................... 58

cálculos con fracciones ...................................................... 59 FRACCIÓN DE UN ENTERO ............................................. 60 FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN....................................... 61

Juegos con fracciones ......................................................... 62 FRACCIONES EQUIVALENTES.......................................... 63 LAS FRACCIONES, LA RECTA NUMÉRICA Y EL ORDEN ...................................................................... 64

Entrenándose para una maratón ........................................... 65 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES..................................... 66 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO NATURAL........................................... 67

Actividades finales ......................................................... 68 Destrabacuentas ..................................................................... 72 Autoevaluación ....................................................................... 73

capítulo 5 númeroS decimaleS ......................................... 74

Más problemas en la casa de los mellizos ............................. 75 NÚMEROS DECIMALES: LECTURA Y ESCRITURA........... 77 COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES .................. 78

El cumpleaños de Matías ...................................................... 79 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES .................... 80

la librería de Doña Elena..................................................... 81 MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL

Técnicas de estudio

POR UN NÚMERO NATURAL........................................... 83 Multiplicar por 10 ............................................................. 83

Problemas con una o con varias soluciones................................58

DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UN NÚMERO NATURAL........................................... 84 CÁLCULOS APROXIMADOS.............................................. 85

Actividades finales ......................................................... 86 Para resolver con calculadora ..................................................... 89 Destrabacuentas ..................................................................... 90 Autoevaluación ....................................................................... 91

Técnicas de estudio

Cálculos aproximados ..................................................................... 85

Índice

capítulo 6 medidaS....................................................................... 92

la nueva casa de camilo ..................................................... 93 PERÍMETRO....................................................................... 95

Medidas por todos lados ....................................................... 96

capítulo 7

DIFERENTES FORMAS DE EXPRESAR

FiguraS y cuerpoS ........................................... 108

UNA LONGITUD................................................................ 97

En el galpón del abuelo ......................................................... 98 MEDIDAS DE PESO ......................................................... 100 MEDIDAS DE CAPACIDAD ............................................. 101

Actividades finales ....................................................... 102 Destrabacuentas ................................................................... 106 Autoevaluación ..................................................................... 107

Juegos con figuras y cuerpos .............................................. 109 CUADRILÁTEROS: ELEMENTOS Y CARACTERÍSTICAS.......................................................... 111

Dibujando rombos................................................................. 112 EL ROMBO Y SUS PROPIEDADES .................................. 113 Construcción de un rombo con regla y compás ................. 113 Construcción de un rombo con escuadra .......................... 114 Construcción de un rectángulo con regla y compás ........... 114

Técnicas de estudio

Diferentes formas de expresar una longitud .................................97

construyendo otras figuras ................................................ 115 POLÍGONOS REGULARES............................................... 116 Construcción de un polígono regular................................. 116 CUERPOS GEOMÉTRICOS .............................................. 118 ARMADO DE CUERPOS GEOMÉTRICOS....................... 119

Actividades finales ...................................................... 120 ¿Verdadero o falso?................................................................ 124 Autoevaluación ..................................................................... 125

Técnicas de estudio

Dibujo del desarrollo de un cuerpo............................................ 119

MEDIDAS DE LONGITUD ................................................. 95

capítulo 8 perímetroS y ÁreaS........................................ 126

Baldosas para la cocina ..................................................... 127 MEDIDA DE UNA SUPERFICIE ....................................... 129 ÁREA Y PERÍMETRO ....................................................... 130 Unidades convencionales de superficie .............................. 131 ÁREA DE ALGUNAS FIGURAS GEOMÉTRICAS.............. 132 Área de un rectángulo........................................................ 132 Área de un triángulo .......................................................... 132

OTRAS MANERAS DE CALCULAR ÁREAS ..................... 133

Actividades finales ...................................................... 134 Destrabacuentas ................................................................... 136 Autoevaluación ..................................................................... 137

capítulo 10 loS grÁFicoS y la inFormación ............ 149

Encuestas, tablas y gráficos ............................................... 150 LOS GRÁFICOS: UN MODO DE COMUNICAR LA INFORMACIÓN .......................................................... 153

Técnicas de estudio

TABLAS PARA ORGANIZAR LOS DATOS ....................... 154 Las frecuencias absolutas .................................................. 154

Otras maneras de calcular áreas............................................... 133

Las frecuencias relativas..................................................... 155

Actividades finales ....................................................... 156

capítulo 9

¿Verdadero o falso?................................................................ 158 Autoevaluación ..................................................................... 159

proporcionalidad ........................................... 137

los preparativos para el picnic de primavera ...................... 138 PROPORCIONALIDAD DIRECTA.................................... 141 La constante de proporcionalidad...................................... 142 Cuando no hay proporcionalidad ...................................... 142

cálculos para cocinar ........................................................ 143 PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJE ......................... 144 LOS DATOS DE UN PROBLEMA NO SIEMPRE SON LOS NÚMEROS ....................................................... 145

Actividades finales ....................................................... 146 Destrabacuentas ................................................................... 148 Autoevaluación ..................................................................... 149

Técnicas de estudio

Los datos de un problema no siempre son los números ......... 145

Técnicas de estudio

Las frecuencias relativas.................................................................155

Cómo es Matem ática Así son los capítulos del libro

Apertura: Una situación disparadora presentada con una atractiva ilustración, que activa los conocimientos previos sobre el tema. ntenido * Páginas de co

Técnicas de estudio: Procedimientos y estrategias que propician el desarrollo de competencias específicas relacionadas con el aprendizaje de esta disciplina.

Actividades finales: Problemas y ejercicios variados que permiten poner en práctica lo aprendido y ampliar el desarrollo de los temas a través de nuevos desafíos.

ertura * Páginas de ap

ciales * Secciones espe

Destrabacuentas: Actividades para practicar y analizar distintas formas de resolver las cuentas y agilizar el cálculo.

¿Verdadero o falso?: Actividades que promueven el ejercicio de la justificación y la argumentación, en forma oral y escrita.

Para resolver con la calculadora: Actividades especiales para aprender a aprovechar la calculadora sin dejar de lado el razonamiento.

Autoevaluación: Crucigramas, sopas y otros juegos matemáticos para reflexionar sobre lo aprendido.

Sistemas de numeración

• Sistema de numeración egipcio • Sistema de numeración romano

• Sistema de numeración decimal y sus características

• La importancia del cero • Orden y comparación de números naturales

Desde la Antigüedad, todos los pueblos han tenido necesidad de contar. Para ello, en la actualidad utilizamos los números naturales. Los símbolos usados para representar estos números han ido cambiando a lo largo de la historia.

Contenidos

e n el antiguo egipto Los símbolos que conocemos y la manera de combinarlos para escribir los números provienen de los hindúes, un pueblo de Asia. Otros pueblos utilizaban símbolos muy diferentes. Los egipcios, un pueblo que habitaba el norte de África hace unos 5000 años, empleaban los símbolos que se ven en la ilustración. 1

10 100 1000 10.000

Por ejemplo, para escribir 350, anotaban 3 veces 100, más 5 veces 10:

¿Cómo te parece que escribirían los egipcios los siguientes números? a> 1570 ...................................................................................................................... b> 3010 ...................................................................................................................... c> 10.800 ...................................................................................................................

Reescribí, con los símbolos que utilizamos hoy, los siguientes números escritos en el sistema de los egipcios. a>

= .............................................................................

= ..........................................................................

= ............................................................................

= .................................................................................

l os números romanos En el antiguo Imperio romano, la gente utilizaba un sistema de numeración que todavía hoy se emplea; por ejemplo, en la escritura de los siglos, para registrar las fechas en los monumentos, en la numeración de las esferas de algunos relojes, en la numeración ordinal que va detrás de los nombres de papas y reyes.

100

500

1000

Las cifras I, X, C, M se pueden escribir hasta 3 veces y se suman sus valores. II = 1 + 1 = 2 XXXV = 10 + 10 + 10 + 5 = 35 Las cifras I, X o C se pueden escribir a la izquierda de otra que sea mayor, solamente una vez y se resta su valor. IV = 5 – 1 = 4 XL = 50 – 10 = 40

En tres monumentos, encontramos escrito el año en que fue construido cada uno. Monumento 1

Monumento 2

LXXXVII

Monumento 3

MCCX

MDXXI

Si los tres pertenecen a la era cristiana (después de Cristo), ¿cuál es el monumento más antiguo? Marcalo con una cruz. Entre los siguientes números, hay tres que están escritos de manera incorrecta. Indicá cuáles son y escribilos debajo correctamente. CMIX

IIX

XXXXII

CCIX

LIIII

.....................

CAPÍTULO 1

El sistema de numeración decimal

Los números que hoy utilizamos fueron inventados por los hindúes; tiempo después, los conocimientos de este sistema de numeración hindú pasaron a los árabes, quienes los difundieron en Europa. Los hindúes descubrieron que, con solo diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, podían escribir todos los números que quisieran.

Nuestro sistema se llama decimal porque, con solo diez símbolos, se pueden escribir todos los números. Esto puede hacerse porque el sistema también es posicional; es decir, los símbolos tienen un valor distinto según el lugar que ocupan.

Ejemplos:

3 veces 1 3 unidades

397

3 veces 10 + 5 veces 1 3 decenas y 5 unidades

3 veces 100 + 9 veces 10 + 7 veces 1 3 centenas, 9 decenas y 7 unidades

La importancia del cero

Cuando escribimos 38, estamos diciendo 3 decenas y 8 unidades. Pero ¿qué sucede si tenemos 3 decenas y ninguna unidad? Si escribiéramos solamente 3, ¿cómo podría saberse si son 3 unidades o 3 decenas o 3 centenas? Aquí es donde el 0 adquiere mucha importancia. Para indicar 3 decenas y ninguna unidad, escribimos 30. Orden y comparación

En nuestro sistema de numeración, si dos números tienen diferente cantidad de cifras, es mayor el que tiene una mayor cantidad de cifras. Si los números que tenemos que comparar tienen la misma cantidad de cifras, se comparan las unidades de mayor orden; si son iguales, se comparan sucesivamente las siguientes, y el valor mayor indica cuál es el número mayor. Ejemplo:

459.865 > 437.898.

Va n la actualidad ¿Qué diferencias encontrás entre el sistema de numeración romano y el sistema de numeración que utilizamos en la actualidad? ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

¿Cuántos números de 3 cifras con el dígito 3 en el lugar de las centenas podés formar con los dígitos 1, 3 y 5? Anotalos a continuación. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

El cajero automático de un banco tenía, al comenzar un día, 500 billetes de $100 y 400 billetes de $500. Un cliente retiró $5700 en billetes de $100, y otro pagó un impuesto de $100. ¿Cuántos billetes de cada tipo pueden haber quedado en el cajero automático después de atender a estos clientes? Explicá por qué, para cada tipo de billetes. ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ..........................................................................................................

CAPÍTULO 1

Técnicas

Distintos caminos para resolver un problema

de estudio

A continuación, te presentamos un problema y tres formas diferentes de resolverlo. Las tres formas son correctas.

Octavio y Martín están juntando dinero para viajar a Europa. El pasaje les sale, a cada uno, $15.000. Octavio ya ahorró $13.500; y Martín, $13.800. ¿A cuál de los dos le falta más plata para llegar al valor del pasaje?

En Matemática, muchas veces, podemos resolver un problema por diferentes caminos. Pero debemos justificar la solución que proponemos para estar seguros de que es correcta y poder compararla con otras.

Analizá caso por caso y explicá el razonamiento que puede haber empleado quien lo propuso.

Octavio 0 + 1000 + 3000 + 500 + 50 00 .0 10 = 00 .0 15 Martí n 0 + 1000 + 3000 + 800 + 20 15.000 = 10.000 ro. o, le falta más dine Entonces, a Octavi Como 13.500 es menor que 13.800, a Octavio, le falta más dinero que a Martín.

............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ...............................................................

Si le doy $1200 a Martín, llega a tener $15000. ..................................................... Si le doy 1200 a Octavio, no llega a reunir $15.000. ..................................................... Entonces... a Octavio le falta más plata. ............................................................... ............................................................... ...............................................................

Actividades finales Escribí los siguientes números utilizando el sistema de los egipcios: a> 9830

Fernanda afirma que, si se escribe un número de maneras diferentes, es posible descubrir características distintas de ese número.

c> 56.739

Por ejemplo, si anota: d> 80.045

Utilizando el sistema de los egipcios, escribí los resultados de las siguientes cuentas. a>

puede saber que este número no es múltiplo de 10. Al escribir:

582 = 5 x 100 + 8 x 10 + 2 = 5 x 10 x 10 + 8 x 10 + 2

582 = 300 + 210 + 60 + 12 = 3 x 100 + 3 x 70 + 3 x 20 + 3 x 4 +

se puede saber que este número es múltiplo de 3.

¿Qué diferencias encontrás entre el sistema de numeración egipcio y el sistema de numeración que utilizamos en la actualidad? Escribí los siguientes números usando el sistema de numeración romano: a> 476

c> 1789

b> 1492

d> 2002

Entre los siguientes números romanos, hay uno que está mal escrito. Identificá cuál es y explicá por qué. XVII

XIV

XIII XXC

XXVII

¿Por qué esas distintas formas de escribir los números le permiten a Fernanda sacar estas conclusiones? ¿Estás de acuerdo con lo que ella dice?

b> 28.450

¿Cuál es el mayor número de 4 cifras que se puede obtener cambiando de lugar una sola cifra en el 7589? Copiá la siguiente serie de números y completá los espacios en blanco con números, teniendo en cuenta que todos deben quedar ordenados de mayor a menor. 56.734; ..................; ..................; 56.728; ..................;

En el visor de la calculadora de Alejandro, estaba el 4628 . Alejandro hizo una sola cuenta y logró que, en el lugar del 6, apareciera un 4 sin que se modificara el resto de las cifras. ¿Qué cuenta pudo haber hecho Alejandro?

55.000; ..................; 49.820;

..................

Para resolver con calculadora

¿Cuáles de las siguientes anotaciones son correctas, y cuáles no? Escribí los números correctos en los casos en que haya error. a> 2 x 1000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1 = 2569 b> 3 x 10.000 + 4 x 100 + 8 x 10 = 3048 c> 2 x 1000 + 3 x 100 = 20.100

Si en el visor de tu calculadora aparece el 4628 , ¿qué cuen ta po dés ha cer pa ra que, en el lugar del 2, aparezca un 0 y, en el lugar del 4, un 8 sin que se modifique el resto de las cifras? A Paula, le pidieron que realizara una actividad con la calculadora; pero a ella, le parece que esa tarea no se puede hacer. ¿Estás de acuerdo con Paula? Explicá tu respuesta.

d> 5 x 100 + 6 x 1000 + 5 x 1 = 6501

Julián dice que, sin hacer todas las cuentas, él puede saber rápidamente cuál de los siguientes números es el más chico y cuál es el más grande. ¿Cómo puede pensar Julián?

Si en el visor de la calculadora aparece el 4628, ¿qué cuenta hay que hacer para que en el lugar

4 x 1000 + 3 x 100 + 2 x 1

del 4 aparezca un 0, sin que se modifique el resto de las

3 x 1000 + 9 x 100 + 4 x 10 + 2 x 1

cifras?

9 x 1000 + 1 x 10

Actividades finalesOtra vuelta de actividades

Destrabacuentas

A. Completá los espacios en blanco. 123.495 = 100.000 + ................ + 3000 + ................ + 90 + ................ ................ = 300.000 + 5000 + 400 + 70 ................ = 7 x 10.000 + 8 x 100 + 4 x 10

20.649 = ................ + ................ + ................ + ................ 896.451 = 5 x ........ + 8 x ........ + 9 x .............. + 1 x .............+ 6 x ............. + 4 x .............

El número más grande de 6 cifras ............................. El número más grande de 6 cifras sin repetir ninguna ........................................... Un número de cinco cifras menor que 50.489, sin repetir ninguna cifra ......................... Dos números que estén entre 46.000 y 49.000 ....................................................... C. Escribí todos los números romanos que puedas, usando 5 letras (se pueden repetir). ………………………..........................

………………………..........................

D. Adivinanza numérica. Pistas: es un número de 4 cifras, impar con todas sus cifras diferentes; la suma de las cifras de las unidades más la de las decenas es 7;

la suma de la cifra de las unidades más la de las decenas más la de las centenas es 9; la cifra de las decenas es mayor que 4; la suma de las cuatro cifras es 18.

...............................

B. Usando los siguientes dígitos, formá en cada caso el número que se pide.

Autoevaluación

A. Crucinúmero

4 9

Completá el siguiente crucinúmero.

13 16

Horizontales 1. 2005 + 340 4. 10.000 – 125 8. 29.111 – 29.000 10. CXCI 11. 9800 – 9759 12. 505 + 50 14. 9999 – 9900 15. 7 x 10.000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1 17. 19 centenas de mil + 4 centenas 19. El anterior a 34.000. 21. 23. El siguiente del resultado de 199 + 130. 24. El número anterior al resultado de 3450 – 3370. 25. El anterior a 79 más el anterior a 300. 27. La mitad de 1554. 28. 3400 más el siguiente de 90. 29. El doble de 1535.

18 21 25

20 23

24 27

Verticales 1. La mitad de 4282. 2. 688 – 377 3. El siguiente a . 5. __ __ + 18 = 99 6. 4525 +__ __ __ __= 5324 7. Cinco mil ciento noventa y uno. 9. 6 unidades de millón + 54 decenas de mil + 93 decenas 12. Cincuenta mil treinta y tres.

13. El siguiente de cincuenta y tres mil cuatrocientos ochenta y nueve. 15. 79 decenas y 3 unidades. 16. El anterior a CCX. 18. 33 centenas y 33 unidades. 20. 3.000 – 30 22. Uno menos que el triple de 125. 24. 8888 – 8111 26. 78 + __ __ __ = 157 27. 707.070 – 707.000

B. ¿Verdadero o falso? Leé atentamente lo que dice cada chico, escribí V o F y explicá tu respuesta. En nuestro sistema de numeración, a mayor cantidad de símbolos, el número es más grande.

En el sistema de numeración egipcio, a mayor cantidad de símbolos, el número es más grande.

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Martín

Matías

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