Matemática 6 Nuevo el mundo en tus manos

Perímetro y área

• Comparación de superficies • Figuras y medidas • La apotema de un polígono regular

• Cálculo del área de figuras con formas irregulares

Lucía y Martín compraron una casa y la están arreglando. Juan Pablo, que es albañil, realizará algunos trabajos. Antes de comenzar, debe tomar algunas medidas para poder calcular la cantidad necesaria de materiales.

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Contenidos

R EMODELANDO LA CASA

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Para remodelar el patio, Lucía quiere que se destine un sector sin embaldosar para el césped y otro para las flores. Entre las tres opciones de canteros que le sugirió Carlos –el jardinero–, ella quiere que el cantero de área mayor sea para el césped y el de menor área, para las flores. Los canteros tenían las siguientes formas.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿En cuál tienen que sembrar el césped, y en cuál, las flores? Explicá cómo lo pensás. ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Considerando que la unidad de medida es el área de un cuadrado de 1 m de lado, es decir, 1 m2, calculá el área de las siguientes figuras.

2m

3m 3m 5m

............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

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M áS pRObLEMAS CON figuRAS Dado un polígono regular, el segmento perpendicular a un lado que parte del centro del polígono se llama apotema. apotema

Si te dan como dato la apotema y la medida del lado de un polígono regular, ¿es posible encontrar su área? ¿Cómo lo harías? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

a> ¿Es posible dibujar tres rectángulos que tengan la misma área, pero diferente perímetro? Explicá cómo lo pensaste. .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

b> ¿Es posible dibujar tres rectángulos que tengan el mismo perímetro y diferente área? Explicá cómo lo pensaste. .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

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CAPÍTULO 6

Medida de una superficie

Hay muchas situaciones en las cuales nos interesa comparar superficies. Por ejemplo, cuando queremos determinar si una casa es más grande que otra o cuando nos interesa saber si la cantidad de baldosas cerámicas que se utilizó para el piso de un baño será la misma que la necesaria para el piso de una cocina.

Para medir una superficie, elegimos una unidad de medida y determinamos la cantidad de veces que entra esta unidad en la superficie que se ha de medir. El número de veces que la unidad elegida cabe en la superficie se llama área.

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La unidad de medida que se utiliza con más frecuencia es el metro cuadrado.

El área de un cuadrado de 1 metro de lado es 1 metro cuadrado.

1 metro cuadrado = 1 m2

1m

Se utiliza el metro cuadrado, por ejemplo, para medir la superficie de una habitación, la superficie de un salón o de una mesa.

Cuando las superficies que se han de medir son más pequeñas, como por ejemplo, un azulejo, se utiliza el centímetro cuadrado. El área de un cuadrado de 1 cm de lado es 1 centímetro cuadrado.

1 cm

1 centímetro cuadrado = 1 cm2

Para superficies pequeñas: Decímetro cuadrado

dm2

1 dm2 = 0,01 m2

Centímetro cuadrado

cm2

1 cm2 = 0,0001 m2

Milímetro cuadrado

mm2

1 mm2 = 0,000001 m2

dam2

1 dam2 = 100 m2

Para superficies mayores: Decámetro cuadrado Hectómetro cuadrado

hm2

1 hm2 = 10.000 m2

Kilómetro cuadrado

km2

1 km2 = 1.000.000 m2

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Perímetro y área de algunas figuras

Consideremos un rectángulo con lados de 4 cm y 2 cm.

Si queremos calcular el perímetro de este rectángulo, eligiendo como unidad el centímetro, debemos sumar las medidas de sus lados.

4 cm

2 cm

2 cm

4 cm

2 cm + 4 cm + 2 cm + 4 cm = 12 cm El perímetro de este rectángulo es 12 cm.

El perímetro de una figura es igual a la suma de las longitudes de todos sus lados.

Para calcular el área del rectángulo, eligiendo como unidad el centímetro cuadrado (cm2), multiplicamos la longitud de cada lado del rectángulo (entran 4 cm2 en cada fila, y es posible poner 2 filas).

4 cm2 x 2 = 8 cm2

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CAPÍTULO 6

Consideremos ahora un paralelogramo cualquiera.

P

B

C

1,5 cm A

D

3 cm

El rectángulo del siguiente dibujo, que se obtuvo colocando el triángulo PCD sobre el lado AB del paralelogramo, tiene el mismo lado y la misma altura que el paralelogramo. Además, tiene la misma área.

P

B

P

A

D

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Entonces, el área de ABCD = 3 x 1,5 = 4,5 cm2.

El área de un paralelogramo cualquiera puede calcularse multiplicando la longitud de uno de sus lados por la longitud de la altura correspondiente a dicho lado.

Si el lado y la altura están expresados en centímetros, el área queda expresada en centímetros cuadrados; si, en cambio, el lado y la altura están expresados en metros, el área quedará expresada en metros cuadrados.

Si, ahora, tenemos un triángulo cualquiera: B

B

BD es la altura.

A

D

C

A

D

C

Hemos construido un paralelogramo en el cual uno de los lados coincide con la base AC del triángulo, y la altura del paralelogramo correspondiente a ese lado coincide también con la altura del triángulo. El área del paralelogramo es el doble del área del triángulo, entonces: Área del triángulo =

AC x altura 2

99

CAPÍTULO 6 Área de polígonos regulares

Como ya sabemos, los polígonos regulares tienen todos sus lados y sus ángulos iguales.

apotema

apotema

Como vemos en la figura, es posible considerar diferentes triángulos con vértice en el centro del polígono. La cantidad de triángulos que se obtienen depende de la cantidad de lados del polígono.

El área del polígono regular puede obtenerse sumando las áreas de cada uno de estos triángulos.

Consideremos, por ejemplo, un polígono regular de 6 lados.

C

D

Apotema

O

B

A

E

F

En el polígono ABCDEF, calculemos el área del triángulo AOF: Área del triángulo =

AF x altura 2

Pero la altura de este triángulo es igual a la apotema del polígono. El área de este triángulo puede calcularse utilizando dos elementos del polígono: un lado y la apotema.

Cualquiera sea el triángulo que se considere, su área se calculará multiplicando la longitud del lado del polígono por la apotema. Entonces, tenemos: Área del polígono regular de 6 lados =

6 x lado x apotema 2

Para polígonos con más lados, el razonamiento es similar; solo se modifica la cantidad de triángulos que intervienen.

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La apotema es el segmento perpendicular al lado del polígono desde su centro.

Longitud de la circunferencia

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Así como nos ha interesado calcular el perímetro de un cuadrado o de un triángulo, nos interesa ahora calcular el perímetro de un círculo o, lo que es lo mismo, la longitud de una circunferencia.

Consideremos una circunferencia cualquiera, por ejemplo, de radio 3 cm.

Una manera aproximada de calcular su longitud podría ser tomar un hilo, bordear con este la circunferencia y, finalmente, medir con la regla la longitud de este hilo.

Los matemáticos descubrieron una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro: el cociente entre una longitud de la circunferencia y su diámetro es siempre igual a un número muy particular, llamado pi, π, cuyo valor es 3,141592...

Longitud de la circunferencia = π = 3,141592...

Longitud del diámetro O sea que la longitud de la circunferencia puede calcularse multiplicando su diámetro por π .

Longitud de la circunferencia = π x longitud del diámetro

El número π es un número que tiene infinitas cifras decimales, pero para los cálculos que nosotros haremos, es suficiente considerarlo con dos decimales, es decir, 3,14.

101

CAPÍTULO 6 Área del círculo

Nos interesa ahora encontrar una manera de calcular el área de un círculo.

En las figuras siguientes, podemos observar polígonos regulares inscriptos en circunferencias.

apotema

apotema

Observemos que, a medida que la cantidad de lados de los polígonos aumenta, las áreas se van acercando cada vez más al área del círculo.

También, vemos que la apotema de cada polígono se va acercando cada vez más al radio del círculo, y que los perímetros de los polígonos se aproximan cada vez más a la longitud de la circunferencia.

Por otro lado, sabemos que, para calcular el área de un polígono regular, utilizamos la fórmula:

Área del polígono regular =

perímetro x apotema 2

Si consideramos al círculo como muy próximo a un polígono de “muchos lados”, podemos emplear la fórmula del área del polígono regular para calcular su área.

Área del círculo =

perímetro x apotema π x diámetro x radio = 2 2

Pero como el diámetro es 2 veces el radio, la fórmula del área se reduce a:

Área del círculo =

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π x radio x radio = π x radio2

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apotema

Cálculo aproximado de áreas

Técnicas de estudio

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Queremos calcular la cantidad de madera que se necesita para decorar la puerta de un armario, con una figura cuyo dibujo en escala tiene la siguiente forma.

Si necesitamos calcular áreas de figuras que no son rectángulos, ni triángulos, ni polígonos regulares, no dispondremos de una fórmula para realizar el cálculo. En algunos casos, podremos subdividir la figura en otras figuras más pequeñas.

En otros casos, tendremos que recurrir a herramientas distintas.

Una manera de resolver este problema es buscar, entre las figuras de las que sabemos calcular el área, la que “más se parezca” a la del dibujo.

Podemos calcular el área de la figura que dibujamos por fuera de la figura original, porque está formada por un rectángulo y dos triángulos.

El área del rectángulo es 5 cm2, y el área de cada triángulo es 1 cm2.

Entonces, el área que buscamos es menor que 7 cm2 y “no se aleja mucho” de este valor.

Calculá el área aproximada de las siguientes figuras. Tené en cuenta que 4 cuadraditos equivalen a 1 cm2.

Figura 1

Figura 2

.................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

103

Actividades finales Calculá el área de las siguientes figuras, considerando como unidad de medida el centímetro cuadrado.

Calculá el área de las regiones sombreadas en cada una de las siguientes figuras. Los números indican centímetros, de manera que el área quedará expresada en centímetros cuadrados.

3 cm

a>

a>

4 cm

4 cm

2 cm

1 cm

b>

b> 2 cm

3 cm 2 cm

3 cm

3 cm

c> 3 cm

c>

1 cm

3 cm

1 cm

2 cm 5 cm

4 cm

Dibujá tres figuras que tengan el área mayor que 25 cm2.

5 cm

Dado un rectángulo cuyos lados son 6 cm y 4 cm, dibujá, si es posible, tres figuras que tengan la misma área y perímetro menor.

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4 cm

¿Es cierto lo que dicen los chicos para cada figura? Explicá cómo lo pensaste en cada caso.

Sofía debe fabricar un aro de car tón para decorar una vidriera. Tiene estas medidas:

El área es mayor que 4 cm2.

5 cm 3 cm

¿Cuál es el área del aro que tiene que construir Sofía?

El área es menor que 5 cm2.

0,80 cm

1,50 cm

Eliana tiene que realizar los decorados de una obra de teatro. En dos paredes de madera, debe pintar los sectores que aparecen coloreados en los siguientes modelos.

C

B

La par te de arriba de la ventana, ¿es un semicírculo? ¿Por qué?

En cada una de las siguientes figuras, calculá el área sombreada.

D B

A

2 cm

C

a>

b> m 5c

E

A

D

¿Cuáles son las medidas que debería conocer Eliana para calcular el área que tiene que pintar en cada pared?

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2c m

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Analizá el siguiente dibujo de una ventana.

80°

4 cm

c> 45°

45°

3 cm

Actividades finales Verdadero o falso

Analizá lo que dicen los chicos en cada diálogo, escribí V o F y explicá tu respuesta.

B. El número de veces que la unidad elegida cabe en el área se llama superficie.

?

El número de veces que la unidad elegida cabe en una superficie es el área.

Es lo mismo decir “medio metro cuadrado” que “la mitad de un metro cuadrado”?

Es lo mismo, porque en ambos casos usamos 1 .

2

Martín

Federico

No, la mitad de un metro cuadrado es más grande.

Daniela

Joaquín

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

C.

D. 1 km2 equivale a 1.000.000 m2.

Lucía

No, en 1 km2, hay 1000 m2.

Matías

Cuando dos figuras tienen el mismo perímetro, entonces puedo afirmar que tienen igual área.

Tomás

Cuando dos figuras tienen igual área, entonces puedo afirmar que tienen el mismo perímetro.

Camila

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

E. La fórmula que me permite averiguar el área de un círculo es

No, la fórmula del área del círculo es π x diámetro.

perímetro x apotema .

2

Julieta

Sofía

...................................................................................................................................................................................

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A.

Autoevaluación

Tabla incompleta En los casos en que los datos sean suficientes, completá la tabla usando los valores indicados en los siguientes carteles.

2,5 cm

2 cm

5 cm

16 cm

13 cm 7,5 cm2

8,25 cm2

9 cm 18 cm 9 cm2

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PERÍMETRO

9,14 cm

12 cm

18,84 cm

36 cm

16,5 cm2

28,26 cm2

ÁREA

6 cm

81 cm2

..... cm

2 cm 4,5 cm ..... cm

15 cm

12,5 cm2

16 cm

16 cm2

..... cm ..... cm 2 cm 5 cm 2 cm 3 cm

3,5 cm 5,5 cm 3 cm 5 cm

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