Matemática 7 Nuevo el mundo en tus manos

Múltiplos y divisores

• Múltiplos y divisores • Números primos y números compuestos • Criterios de divisibilidad

• Múltiplo común menor y divisor común mayor

• Propiedades de las relaciones de divisibilidad

Un gran misterio y propiedades mágicas se les atribuyeron a los números y a sus relaciones. Terribles lluvias o sequías extremas, magníficas cosechas tenían una explicación según cómo se combinaran los números con los que esos hechos estaban asociados. En este capítulo, trabajaremos con algunas de estas relaciones.

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Contenidos

p roblemas para relacionar números En una casa de música, durante la noche, han conectado una escala musical que se repite en el siguiente orden: DO, RE, LA, MI, FA, SI. a> Si en primer lugar suena el DO, ¿qué nota sonará en el lugar 2000? Explicá cómo lo averiguás. ....................................................................................................................................

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.................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

b> Si la nota SI ya se escuchó 512 veces, ¿cuántas notas ya sonaron en total? ¿Por qué? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

Se dispone de 48 cerámicas cuadradas para armar una forma rectangular. a> Si se deben usar todas las piezas y no se debe partir ni superponer ninguna, ¿cuántas filas y cuántas columnas se pueden colocar? ¿Por qué? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

b> ¿Y si se dispone de 37 cerámicas? ¿Por qué? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

5151

CAPÍTULO 3

e s divisible por...

Para repasar las relaciones que hay entre múltiplos y divisores, reunite con uno o dos compañeros, y respondan: a> ¿Cuál es la diferencia entre dos múltiplos consecutivos de 7? ¿Y entre múltiplos de 29? ¿Y de 153? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

c> La suma de varios múltiplos de un número, ¿también es múltiplo de dicho número? ¿Por qué? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

d> Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su divisor más pequeño?, ¿y el mayor? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

e> Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es el múltiplo menor de este número?, ¿y el mayor? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

f> ¿Qué números naturales tienen solo dos divisores? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

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b> Si sabemos que un número es divisor de otro, ¿es cierto que se puede asegurar que también lo es de los múltiplos de este? ¿Por qué?

Múltiplos y divisores

Para resolver el problema 1, puede ser útil un esquema como el siguiente: DO 1 7 13 19

RE 2 8 14 20

LA 3 9 15 21

MI 4 10 16 …

FA 5 11 17

SI 6 12 18

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Este esquema nos muestra que, por ejemplo, la nota DO suena en el lugar 1, luego en el lugar 7, luego en el lugar 13, etcétera. Es decir: todos los lugares en los que va a sonar la nota DO pueden calcularse de la manera siguiente: “1 + 6 veces un número natural”.

1+6x0=1 1+6x1=7 1 + 6 x 2 = 13 ...

Vemos que el lugar en el que suena la nota DO es siempre “un múltiplo de 6 más 1”.

Podemos hacer el mismo razonamiento para todas las otras notas: todos los lugares en que va a sonar la nota RE pueden calcularse de la manera siguiente: “2 + 6 veces un número natural”.

2+6x0=2 2+6x1=8 2 + 6 x 2 = 14 …

Y el lugar en que suena la nota MI es siempre “un múltiplo de 6 más 4”. Y así podemos razonar de la misma manera para todas las otras notas.

Entonces, para saber qué nota va a sonar en el lugar 2000, podemos hacer la división siguiente: 2000 20 20 2

6 333

A partir de esta división, podemos escribir: 2000 = 2 + 333 x 6 Es decir, 2000 es uno de los lugares en el que suena la nota RE, porque 2000 puede escribirse como: “2 + un múltiplo de 6”.

Para responder al ítem b> de este problema, pensá que cada vez que suena la nota SI, ya sonaron, entonces, 6 notas.

Un número es divisor de otro si, al hacer la división del primero por el segundo, el resto es cero. Por ejemplo, 6 es divisor de 48 porque 48 : 6 = 8, y el resto es cero.

Un número es múltiplo de otro si puede obtenerse como resultado de multiplicar este otro número por un número natural. Por ejemplo, 48 es múltiplo de todos sus divisores.

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CAPÍTULO 3 Los criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad permiten reconocer si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la cuenta de dividir. En el cuadro siguiente se enuncian algunos ejemplos de estos criterios.

de estudio

Uno de los trabajos propios de la Matemática es investigar las características o las leyes que cumplen los números naturales o cierta clase de números.

Por ejemplo, los criterios de divisibilidad nos permiten detectar rápidamente algunas de estas características.

Si...

Un número es divisible por 2 3 4 5 6 8 9 10 11

termina en cero o en cifra par. la suma de sus cifras es múltiplo de 3. las dos últimas cifras forman un número que es múltiplo de 4. termina en cero o en cinco. es, a la vez, divisible por 2 y por 3. las tres últimas cifras forman un número que es múltiplo de 8. la suma de sus cifras es múltiplo de 9. su última cifra es cero. la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es un múltiplo de 11.

Según los criterios de divisibilidad, ¿por qué números son divisibles los siguientes números naturales? a> 500 ....................................................................................................................................

b> 1232 ....................................................................................................................................

c> 98 ....................................................................................................................................

d> 204 ....................................................................................................................................

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Técnicas

s obre primos y otros parientes Resolvé las siguientes consignas y luego compará tus respuestas con las de un compañero. a> Buscá productos, con la mayor cantidad posible de factores, cuyos resultados sean: 48 = ............................................................................................................................

66 = ............................................................................................................................

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20 = ............................................................................................................................ b> Indicá la cantidad de divisores que tienen los siguientes números.

15 =......................

16 = .....................

17 = .....................

170 =.................... c> A los números naturales que tienen exactamente dos divisores, se los denomina números primos. Entonces, según esta definición, respondé: ¿es primo el número 1? ¿Por qué? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

d> Escribí los números naturales primos menores que 20. ...................................................................................................................................

e> Volvé a resolver el ítem a>, pero ahora usá solo factores primos.

48 = ...........................................................................................................................

66 =............................................................................................................................

20 =............................................................................................................................

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Números primos y números compuestos

Un número es primo si sus únicos divisores son el mismo número y 1.

Los números que poseen más divisores reciben el nombre de números compuestos.

El 0 y el 1 no son considerados ni primos ni compuestos.

Para obtener números primos, Eratós2 3 4 5 6 7 8 9 10 tenes, que fue un griego que vivió entre el 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 284 y el 194 antes de Cristo, ideó una 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 construcción que hoy conocemos como la criba de Eratóstenes.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Consideremos una lista de los núme41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ros naturales desde el 2 hasta el 100. A par51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 tir del 2, se tachan todos los números 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 siguientes de dos en dos, o sea, los números pares. Se pasa luego al número 3, que 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 es el primer número no tachado y, a partir 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 de él, se tachan los múltiplos de 3. El si91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 guiente no tachado es el 5, se deja igual, y se tachan de 5 en 5.

Se procede de la misma manera, hasta que solo quedan sin tachar los números primos, es decir, 2, 3, 5, 7 ...

Descomposición de un número como producto de factores primos

Como ya se mencionó, los números compuestos tienen divisores distintos de ellos mismos y de la unidad. Algunos de estos divisores son números primos. Los matemáticos demostraron que todo número natural puede escribirse como un producto de factores primos, y que este producto es único, salvo el orden.

Por ejemplo: 36 = 2 x 18 2 y 18 son divisores de 36 (2 es primo, pero 18 no).

Pero el 18 puede escribirse como 2 x 9, entonces tenemos: 36 = 2 x 2 x 9 y como 9 no es primo, puede escribirse como 3 x 3.

Así obtenemos: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 Como ahora 2 y 3 son primos, ya no podemos seguir más. Si en lugar de comenzar por 36 = 2 x 18, hubiéramos comenzado por 36 = 3 x 12, habríamos llegado a la misma multiplicación, pero en un orden distinto.

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CAPÍTULO 3

El menor de los múltiplos comunes

Leé el siguiente problema.

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Federico dice que, cada cuatro días, su mamá cocina alguna pasta y que, cada seis, el postre es flan. Si hoy comió tallarines al pesto y de postre, flan con dulce de leche, ¿dentro de cuántos días tendrá un menú similar?

En este problema, Federico vuelve a comer pastas después de 4 días, de 8 días, de 12 días...

Los números 4, 8, 12, 16, 20... son múltiplos de 4; y se obtienen multiplicando 4 por otro número natural.

En tanto, el postre va a ser flan después de 6 días, 12 días, 18 días, 24 días...

Los números 6, 12, 18, 24, 30... son múltiplos de 6; y se obtienen multiplicando 6 por otro número natural.

Vemos entonces que vuelve a tener un menú similar dentro de 12 días, y luego, cada 12 días.

Los números 12, 24, 36, 48... son múltiplos tanto de 4 como de 6. Por eso, los llamamos múltiplos comunes de 4 y de 6.

La respuesta a nuestro problema es 12, que es el menor de los múltiplos comunes entre 4 y 6.

Lo escribimos así: 12 = mcm (4, 6).

Se llama múltiplo común menor entre dos o más números el menor de los múltiplos que esos números tienen en común.

En símbolos, el múltiplo común menor entre dos números naturales a y b se escribe así: mcm (a, b).

En la casa de Federico, además de pastas y flan, los domingos preparan un pan saborizado para acompañar la comida.

Teniendo en cuenta que hoy comieron pastas y flan, junto al famoso pan, respondé: a> ¿Cada cuántos días repetirán este menú? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

b> Este menú, acompañado por el pan, ¿siempre caerá un domingo? ¿Por qué? ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

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El mayor de los divisores comunes

Leé el siguiente problema.

En un armario de la escuela, hay 50 anotadores y 30 cuadernos. Se quieren empaquetar los anotadores y los cuadernos, sin mezclar unos con otros, de tal forma que todos los paquetes tengan la misma cantidad de artículos. ¿Cuál es la mayor cantidad de artículos que se puede poner en cada paquete?

Para este problema, los divisores de 50 y los de 30 pueden ayudarnos a encontrar la respuesta.

Los divisores de 50 son: 1, 2, 5, 10, 25 y 50.

Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Como todos los paquetes deben contener la misma cantidad de artículos, buscamos los divisores comunes. Pero además, nos piden que, en cada paquete, entre la mayor cantidad posible.

Entonces la respuesta es 10, que es el mayor de los divisores comunes entre 50 y 30. Lo escribimos así: 10 = dcm (50, 30) Se llama divisor común mayor entre dos o más números naturales, al mayor de los divisores que esos números tienen en común.

En símbolos, el divisor común mayor entre a y b se escribe así: dcm (a, b).

Buscá, en cada caso, dos posibles números a y b cuyo divisor común sea el indicado. a> a = ………

b = ……..

dcm (a, b) = 1

b> a = ………

b = ……..

dcm (a, b) = 13

c> a = ………

b = ……..

dcm (a, b) = 6

Las respuestas, ¿son únicas? ¿Por qué? ...................................................................................................................................

Calculá el múltiplo común menor entre: a> 75, 10 y 30 ....................................................................................................... b> 12, 8, 5 y 3 ....................................................................................................... c> 100, 110 y 120 ..................................................................................................

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CAPÍTULO 3

idades Historias y curios

Aficionados a la matemática

En busca de números primos

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La matemática fue, en muchos casos, investigada por aficionados. Por ejemplo, el Dr. Fortune, antropólogo de la Universidad de Cambridge, ideó una forma de obtener números primos. Veamos lo que propuso: 2+1=3 2x3+1=7 2 x 3 x 5 + 1 = 31 2 x 3 x 5 x 7 + 1 = 211 2 x 3 x 5 x 7 x 11 + 1 = 2311 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30.031 Desde entonces, muchos matemáticos estudian si esta forma de cálculo produce siempre números primos, o si hay al menos un caso en que falla. Otra propiedad interesante, que no se sabe si se cumple siempre, es la existencia de los números primos “mellizos”, cuya diferencia es 2.

3y5 5y7

11 y 13

17 y 19

29 y 31.

Un juego Hay más de 5 lápices de colores. Un jugador llamado “menos” empieza coloreando una región. Sigue el jugador llamado “más”, que colorea otra zona. No puede haber regiones con colores iguales en la frontera. Si el mapa queda coloreado con 5 colores o menos, gana “menos”. Si se necesitan más de 5, gana “más”. ¿Se animan a jugar?

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Actividades finales Doce chicas fueron seleccionadas para participar de una muestra de gimnasia artística. Para practicar, están pensando en organizar grupos, de forma tal que cada grupo tenga la misma cantidad de integrantes, o trabajar de forma individual, o formar un único grupo. ¿Cuáles son todas las formas en que pueden organizarse, contemplando todas las alternativas? Explicá cómo obtuviste tu respuesta.

AB es un segmento de 21 cm de largo. Dibujalo. Después, dividilo en segmentos de 7 cm de largo.

En relación con el segmento AB de la actividad anterior: ¿es posible dividir en segmentos de 7 cm cada uno, a segmentos cuya longitud sea: a> el doble de AB? b> el triple de AB? c> cinco veces la longitud de AB? d> la mitad de AB?

f> la séptima parte de AB? Explicá tus respuestas.

Para armar ofertas de golosinas, un kiosquero dispone de 60 chupetines, 75 chocolates y 120 caramelos, y quiere armar bolsitas iguales que contengan el mayor número posible de cada golosina. a> ¿Cómo pueden averiguar las cantidades que deben colocar en cada bolsita?

El segmento PQ se puede dividir en partes iguales de 5 cm cada una. A su vez, el segmento MN se puede dividir un número exacto de veces, en segmentos, cada uno de ellos, iguales a PQ. ¿Puede dividirse el segmento MN en segmentos de 5 cm cada uno? Explicá tu respuesta.

Marcá con una cruz los números que sean divisibles por los divisores que se indican.

1

b> ¿Cuántas bolsitas puede armar?

100 101

Don Edgar tiene una caja de canicas, las que quiere colocar en bolsas que contengan la misma cantidad.

Si coloca 2 en cada una de las bolsas, le queda una canica suelta.

Si coloca 3 en cada bolsa, le sobran 2.

Si coloca 4, le sobran 3.

Finalmente, logra armar bolsas con 5 canicas cada una, sin que quede ninguna canica suelta. ¿Con cuántas canicas contaba don Edgar, si en la caja había más de 75 y menos de 100? ¿Cómo lo averiguaste?

102 169 297 298 299 300 400 1000

60

ES DIVISIBLE POR...

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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e> la tercera parte de AB?

Completá las siguientes tablas. dcm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Como vimos, todo número compuesto puede descomponerse en producto de factores primos.

Por ejemplo: 180 90 45 15 5 1

1 2 3 4 5

18 x 10 9x2

2x5

3x3 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

6 7

Descomponé cada uno de los siguientes números en producto de factores primos, utilizando la disposición que creas conveniente.

8 9 10 © Aique Grupo Editor S. A. Prohibida su reproducción.

180

2 2 3 3 5

a> 72 b> 100

mcm 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

c> 85 d> 120

2 3

Completá las cifras de los siguientes números, de modo que los números resultantes sean múltiplos de 3. En cada caso, indicá si la solución es única, sin olvidar la justificación de tus respuestas.

4 5 6 7 8

a> 6

9

b> 1

203

5 2

c> 7 d> 63

2

1 2

10

Si consideramos los números; 1, 11, 111, 1111, 11.111... a> ¿Cuáles son múltiplos de 3? b> ¿Y cuáles son múltiplos de 11? Explicá tu respuesta.

De los números 7, 77, 777, 7777... ¿cuántas cifras tienen aquellos que son múltiplos de 3? Explicá tu respuesta.

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En el depósito de una librería hay 45 lápices y 36 pinceles. Deben colocar los lápices y los pinceles en cajas, sin mezclar unos con otros, de tal forma que todas las cajas tengan la misma cantidad de artículos. a> ¿Cuál es la mayor cantidad de artículos que pueden poner en cada caja? b> Si se coloca esa cantidad de artículos, ¿cuántas cajas se arman?

Actividades finales El día 1.º de octubre del año 2017 será viernes. Con este dato, resolvé las siguientes consignas.

Si N = 23 x 3 x 53 x 11, indicá cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y cuáles no.

Explicá por qué. a> N es múltiplo de 10.

a> Completá el calendario del mes.

b> N es múltiplo de 100.

OCTUBRE 2017

Dom

Lun

Mar

Mié

Jue

Vie

c> N es múltiplo de 1000.

Sáb

d> 30 es divisor de N. e> 40 es divisor de N. f> 50 es divisor de N.

b> ¿Existe alguna relación entre cada número y el que se encuentra justo debajo? ¿Ocurre siempre lo mismo? ¿Por qué?

a> dcm (a, b) = 1

c> Seleccioná, en el calendario, cuatro números que formen “un cuadrado”, por ejemplo:

c> dcm (a, b) = 8

5 12

6 13

b> dcm (a, b) = 2 d> dcm (a, b) = 17

Sumá las “diagonales”, y respondé: ¿qué sucede? ¿Y si elegís otros cuatro números?

Las respuestas, ¿son únicas? En los casos en que consideres que la respuesta no es única, escribí otros pares de números que cumplan la condición.

d> Elegí tres números consecutivos que estén en la misma línea. Sumá los de los extremos, e indicá qué relación tiene esa suma con el número del centro. Probá con varias ternas de números.

Escribí en una hoja tus conclusiones.

¿Qué número de tres cifras es divisible por 4 y por 9, y posee un 3 en el lugar de las decenas?

Explicá cómo lo averiguaste. ¿La respuesta es única? ¿Por qué?

e> ¿Sucederá lo mismo si elegís tres números seguidos, pero de la misma columna? ¿Por qué?

El número 1234 no es divisible por 11.

f> Intentá comprobar si tus conclusiones se ajustan a cualquier mes del calendario. Por ejemplo, probá con el que corresponde al corriente mes. ¿Qué encontraste?

Para ayudar en su casa, Santiago va a la verdulería cada 6 días a las 17.00 h, y su amiga Soledad va cada 5 días a la misma hora. Si hoy se encontraron, ¿dentro de cuántos días será el próximo encuentro?

a> Cambiá sus cifras de lugar, para obtener un número que sí lo sea. b> La solución, ¿es única? ¿Cómo lo averiguaste?

Elegí un número de tres cifras, que no sea capicúa ni tenga ceros, y considerá el que resulte de invertir sus cifras. Restá el menor del mayor; y al resultado, sumale el que resulte de invertir sus propias cifras. ¿Cuál es el resultado? ¿Por qué?

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Escribí, en cada caso, dos números, a y b, cuyo divisor común mayor sea el indicado.

Escribí, en cada caso, dos números, a y b, cuyo múltiplo común menor sea el indicado. a> mcm (a, b) = 10

Realizá una secuencia similar a la de la actividad 30, pero utilizando la tecla x en lugar de la tecla de suma. Para registrar el trabajo, podés completar una tabla como la siguiente:

b> mcm (a, b) = 32

Secuencia de teclas

c> mcm (a, b) = 80

2xx==

Operaciones

Resultado

5xx==== 10 x x = = = =

Para resolver con calculadora Para las actividades 30, 31 y 32 necesitás una calculadora que no sea científica.

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Observá el visor de tu calculadora.

+

+

=

¿ Qué número aparece en el visor? b> Sin tocar ninguna otra tecla, pulsá = . ¿Qué número aparece ahora? c> Pulsá nuevamente la tecla = , ¿qué ocurre?

Escribí tus conclusiones y comentalas con un compañero.

Ahora, sin utilizar la calculadora, pero teniendo en cuenta tus conclusiones de la actividad anterior, completá la siguiente tabla: Secuencia de teclas

Operaciones

Usá la calculadora para resolver la división 524 : 37, pero sin usar la tecla de dividir. Anotá los cálculos que realices.

Con el número 91, ¿qué regularidad se verifica en las siguientes multiplicaciones? ¿Por qué sucederá?

a> Pulsá la siguiente secuencia: 5

8xx=====

Resultado

3++== 13 + + = = = = 2000 + + = = = = 7 + + = 10 veces =

63

91 x 1 = 91 x 2 = 91 x 3 =

91 x 4 = 91 x 5 = 91 x 6 =

91 x 7 = 91 x 8 = 91 x 9 =

Actividades finales Verdadero o falso

Indicá si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Explicá tu respuesta.

B.

Todos los números que son múltiplos de 2 y de 5 son divisibles por 10.

C.

Todos los números que terminan en doble cero son divisibles por 4.

Todos los números que son divisibles por 2 y por 3 son divisibles por 6.

Celeste

Santino

Joaquín

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

D.

E.

Si dos números son múltiplos de 11, su resta también lo es.

Malena

F.

Si un número a es múltiplo de 17, entonces el múltiplo común menor entre 17 y a es el mismo a.

Adrián

La suma de dos números primos siempre es otro número primo.

Micaela

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

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A.

Autoevaluación

Marcá las opciones correctas en cada caso. ¡Atención: puede haber más de una!

A. Juan quiere cuadricular un rectángulo de 36 cm x 48 cm, y quiere que la medida del lado del cuadradito, en centímetros, sea un número natural. Entonces, las distintas medidas que puede tener el lado del cuadradito son: I. Los divisores de 36.

III. Los divisores de 36 y de 48.

II. Los divisores de 48.

IV. Otras medidas.

B. Victoria pensó un número y dijo: “Si divido el número que pensé por 7, el resto es 3”.

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El número que pensó Victoria puede ser: I. Cualquier número divisible por 3, al que se le agregue 7.

II. Cualquier número divisible por 7, al que se le agregue 3.

III. Cualquier múltiplo de 3, al que se le agregue 7.

IV. Cualquier múltiplo de 7, al que se le agregue 3.

C. Si el producto de dos números naturales es un número par, entonces puede suceder que: I.

Uno de los números sea par y el otro sea impar.

II. Los dos números sean pares.

III. Los dos números sean impares.

IV. No es posible anticiparlo.

D. El número 46.245 es múltiplo de 3. Modificando una sola de sus cifras, es posible transformarlo en: I. Un múltiplo de 6.

III. Un múltiplo de 15.

II. Un múltiplo de 9.

IV. Un múltiplo de 30.

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