GMT105 - Bedryfswiskunde by Akademia

s g n i t t a k s t i u r o vo

Bedryfswiskunde onsek er

heid

berekeninge

grafieke &

tabelle risiko

Skrywer: Elzaan Fourie

e d r a a w tydvan geld

data

c Kopiereg 2015 Onder redaksie van: Paul JN Steyn, BA (PU vir CHO), THOC (POK), DEd (Unisa) Skrywer: Elzaan Fourie Onderwysontwerp, bladuitleg en taalversorging: Dr. Daleen van Niekerk ’n Publikasie van Akademia. Alle regte voorbehou. Adres: H.v. D.F. Malanrylaan & Eendrachtstraat, Kloofsig, Pretoria Posadres: Posbus 11760, Centurion, 0046 Tel: 0861 222 888 E-pos: diens@akademia.ac.za Webtuiste: www.akademia.ac.za

Geen gedeelte van hierdie boek mag sonder die skriftelike toestemming van die uitgewers gereproduseer of in enige vorm of deur enige middel weergegee word nie, hetsy elektronies of deur fotokopiëring, plaat- of bandopnames, vermikrofilming of enige ander stelsel van inligtingsbewaring nie. Enige ongemagtigde weergawe van hierdie werk sal as ’n skending van kopiereg beskou word en die dader sal aanspreeklik gehou word onder siviele asook strafreg.

www.akademia.ac.za

GMT Bedryfswiskunde

INHOUDSOPGAWE

Inleiding ............................................................................................................................... 5 Vakleeruitkomste ................................................................................................................ 7 Woordomskrywing vir evaluering ...................................................................................... 8

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid .............................................. 9 1.1

Studie-eenheid leeruitkomste ............................................................................................. 9

1.2

Voorgeskrewe handboek .................................................................................................... 9

1.3

Hoe kan jy jou begrip verbeter? ....................................................................................... 10

1.4

Inleiding ................................................................................................................................ 10

1.5

Die gebruik van basiese wiskunde .................................................................................. 11

1.5.1

Volgorde van bewerkings .............................................................................................. 11

1.5.2

Persentasies en verhoudings ....................................................................................... 11

1.5.3

Proporsies ....................................................................................................................... 12

1.5.4

Verhoudings .................................................................................................................... 12

1.5.5

Wortels en magte ........................................................................................................... 12

1.5.6

Gebruik van formules in Excel...................................................................................... 13

1.6

Oplos van vergelykings en ongelykhede ........................................................................ 14

1.6.1

Oplos van vergelykings ................................................................................................. 14

1.6.2

Ongelykhede ................................................................................................................... 14

1.6.3

Lineêre vergelykings en grafieke ................................................................................. 15

1.6.4

Gelyktydige vergelykings .............................................................................................. 16

1.6.5

Kwadratiese vergelykings ............................................................................................. 16

1.7

Die berekening van waarskynlikheid ............................................................................... 17

1.7.1

Eenvoudige waarskynlikheid ........................................................................................ 17

1.7.2

Venn-diagramme ............................................................................................................ 17

1.7.3

Eenvoudige maal of EN wet ......................................................................................... 18

1.7.4

Algemene reël vir toevoeging ....................................................................................... 18

1.7.5

Algemene reël vir vermenigvuldiging .......................................................................... 18

1.8 1.8.1

Die gebruik van waarskynlikheid waar risiko en onsekerheid bestaan ...................... 18 Verwagte waarde............................................................................................................ 18

Inhoudsopgawe

Bladsy 1

GMT Bedryfswiskunde 1.8.2

Verwagting en besluitneming ....................................................................................... 19

1.9

Samevatting ........................................................................................................................ 19

1.10

Selfevaluering ..................................................................................................................... 19

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data................................................ 21 2.1

Studie-eenheid leeruitkomste ........................................................................................... 21

2.2

Voorgeskrewe handboek .................................................................................................. 21

2.3

Hoe kan jy jou begrip verbeter? ....................................................................................... 22

2.4

Inleiding ................................................................................................................................ 22

2.5

Toepassing van tegnieke vir die opsomming van data ................................................ 22

2.5.1

Data en inligting .............................................................................................................. 22

2.5.2

Voorstelling van data ..................................................................................................... 23

2.5.3

Frekwensieverspreidings .............................................................................................. 24

2.5.4

Gemiddeldes en verspreiding ....................................................................................... 24

2.5.5

Normaalverspreiding ...................................................................................................... 26

2.6

Toepassing van tegnieke vir data-analisering ............................................................... 26

2.6.1

Pareto verspreiding en die “80:20-reël” ...................................................................... 27

2.6.2

Indeksgetalle ................................................................................................................... 27

2.7

Samevatting ........................................................................................................................ 28

2.8

Selfevaluering ..................................................................................................................... 28

Studie-eenheid 3: Verhouding tussen veranderlikes .................................................... 31 3.1

Studie-eenheid leeruitkomste ........................................................................................... 31

3.2

Voorgeskrewe handboek .................................................................................................. 31

3.3

Bykomende handboek ....................................................................................................... 31

3.4

Hoe kan jy jou begrip verbeter? ....................................................................................... 32

3.5

Inleiding ................................................................................................................................ 32

3.6

Bereken die korrelasiekoëffisiënt vir twee veranderlike data ...................................... 32

3.6.1

Berei ŉ verspreidingsgrafiek voor ................................................................................ 32

3.6.2 Bereken die korrelasiekoëffisiënt en bepaaldheidskoëffisiënt tussen twee veranderlikes ................................................................................................................................... 33 3.7 3.7.1

Bladsy 2

Eenvoudige regressie ........................................................................................................ 35 Regressie vergelyking ................................................................................................... 35

Inhoudsopgawe

GMT Bedryfswiskunde 3.8

Samevatting ........................................................................................................................ 35

3.9

Selfevaluering ..................................................................................................................... 35

Studie-eenheid 4: Voorspelling ....................................................................................... 37 4.1

Studie-eenheid leeruitkomste ........................................................................................... 37

4.2

Voorgeskrewe handboek .................................................................................................. 37

4.3

Bykomende handboek ....................................................................................................... 37

4.4

Hoe kan jy jou begrip verbeter? ....................................................................................... 38

4.5

Inleiding ................................................................................................................................ 38

4.6

Demonstreer tegnieke vir voorspelling en voorbereiding van voorspelling ............... 38

4.6.1

Voorbereiding van ŉ tydreeksgrafiek........................................................................... 38

4.6.2

Identifiseer tendense en patrone ................................................................................. 39

4.6.3

Seisoenale variasies ...................................................................................................... 40

4.6.4

Voorspellings................................................................................................................... 41

4.6.5

Beperkings van voorspellings ....................................................................................... 41

4.7

Samevatting ........................................................................................................................ 41

4.8

Selfevaluering ..................................................................................................................... 42

Studie-eenheid 5: Finansiële wiskunde en sigblaaie ..................................................... 43 5.1

Studie-eenheid leeruitkomste ........................................................................................... 43

5.2

Voorgeskrewe handboek .................................................................................................. 43

5.3

Hoe kan jy jou begrip verbeter? ....................................................................................... 44

5.4

Inleiding ................................................................................................................................ 44

5.5

Huidige en toekomstige waardes van kontantvloei ....................................................... 44

5.5.1

Enkelvoudige en saamgestelde rente ......................................................................... 44

5.5.2

Annuïteite en perpetuïteite ............................................................................................ 45

5.5.3

Lenings en verbande ..................................................................................................... 45

5.5.4

Verdiskontering ............................................................................................................... 46

5.5.5

Aandeelhouerwaarde ..................................................................................................... 46

5.5.6

Netto huidige waarde en interne opbrengskoers....................................................... 46

5.6

Sigblaaie .............................................................................................................................. 47

5.6.1

Gebruike .......................................................................................................................... 47

5.6.2

Opsomming van Excel-funksies ................................................................................... 47

Inhoudsopgawe

Bladsy 3

GMT Bedryfswiskunde 5.6.3

Sigbladontwerp ............................................................................................................... 47

5.6.4

Voordele en nadele ........................................................................................................ 48

5.7

Samevatting ........................................................................................................................ 48

5.8

Selfevaluering ..................................................................................................................... 48

Woordelys in Afrikaans en Engels................................................................................... 49

Bladsy 4

Inhoudsopgawe

GMT Bedryfswiskunde

INLEIDING ŉ Goeie begrip van die basiese wiskunde wat geassosieer word met die bestuur van sakebedrywighede is noodsaaklik vir enige bestuursrekenmeester. Bedryfswiskunde vorm die grondslag van berekeninge uitvoer om die waarskynlikheid van gebeure waar risiko en onsekerheid teenwoordig is te evalueer. Dit sluit aan by byna alle finansiële aspekte van ŉ sakeonderneming soos finansiële rekeningkunde, finansiële bestuur, beleggingsbestuur, belasting, ouditkunde en die ekonomie se invloed op die sakeonderneming. Die basiese wiskundige formules en konsepte word behandel, onder andere, die berekening van persentasies en verhoudings, die oplossing van basiese lineêre en kwadratiese vergelykings en ongelykhede, asook die voorbereiding van grafieke om hierdie lineêre en kwadratiese vergelykings grafies voor te stel. Die voorbereiding van vooruitskattings en die vasstelling van verwantskappe tussen veranderlikes speel ŉ integrale deel in die opstel van begrotings as finansiële beplanning en beheer in ŉ sakeonderneming. Die beginsels vir die berekening van eenvoudige waarskynlikhede wat insluit die reëls van vermenigvuldiging en optel van waarskynlikhede, asook die berekening van voorwaardelike waarskynlikhede word behandel. Benewens die waarskynlikheid dat ŉ bepaalde finansiële gebeurtenis kan plaasvind, is daar ook die kwessie van risiko en onsekerheid wat ondersoek moet word. Bedryfswiskunde lê berekeninge ten grondslag, waar rentekoerse en tydsverloop in ag geneem word, soos met die konsep van tydwaarde van geld. Deur die effektiewe voorbereiding van grafieke en tabelle in bruikbare opgesomde formate, asook in Excel sigblaaie (spreadsheets), kan gebruikers van bedryfsinligting in ondernemings sinvolle data daaruit neem. Hierdie data vervat in grafieke en tabelle word geanaliseer met behulp van tegnieke soos die Pareto 80:20 reël, eenvoudige regressie vergelykings en die berekening van ŉ korrelasie koëffisiënt tussen twee veranderlikes om besluite daarop te kan baseer. Nog ŉ area van bedryfswiskunde behels die gebruik van tegnieke soos ŉ tydreeksmodel om berekende vooruitskatting te maak. Vooruitskattings vorm die kern van die opstel van begrotings deur die bestuursrekenmeester. Vir hierdie vak is die volgende handboek voorgeskryf: BPP LEARNING MEDIA. 2012. CIMA Certificate: Fundamentals of Business Mathematics. 2nd Ed. United Kingdom: London.

Inleiding

Bladsy 5

GMT Bedryfswiskunde Bykomende handboek: Wegner, T. 2012. Applied Business Statistics: Methods and Excel-based Applications. 3rd Ed. Cape Town: Juta.

Die gedeeltes wat betrekking het op die inhoud van die studie-eenhede sal telkens aangedui word. Die gids sal jou dan deur die handboek begelei en poog om moeilike gedeeltes toe te lig; om aan te vul waar nodig en om die belangrike gedeeltes uit te wys. Vir eksamendoeleindes moet jy dus die voorgeskrewe gedeeltes in die handboek, asook hierdie begeleidingsgids bestudeer.

Bladsy 6

Inleiding

GMT Bedryfswiskunde

VAKLEERUITKOMSTE Kennis en begrip Na voltooiing van die vak BEDRYFSWISKUNDE (GMT105) sal jy in staat wees om jou kennis en begrip te demonstreer van: •

Basiese wiskunde en waarskynlikheid

•

Opsomming en analisering van data

•

Verhouding tussen veranderlikes

•

Voorspelling

•

Finansiële wiskunde en sigblaaie

Vaardighede Jy sal ook in staat wees om: •

die gebruik van basiese wiskunde te demonstreer;

•

vergelykings en ongelykhede op te los;

•

waarskynlikheid te bereken;

•

die gebruik van waarskynlikheid te demonstreer;

•

data op te som met behulp van bepaalde tegnieke;

•

data te analiseer met behulp van bepaalde tegnieke;

•

tegnieke wat gebruik word vir voorspelling te demonstreer;

•

huidige en toekomstige waardes te bereken; en

•

sigblaaie te gebruik om data te bereken en voor te stel

Vakleeruitkomste

Bladsy 7

GMT Bedryfswiskunde

WOORDOMSKRYWING VIR EVALUERING In die afdeling oor selfevaluering, asook in die werkopdragte sal daar van jou verwag word om sekere take te verrig. Dit is belangrik dat jy presies weet wat van jou verwag word. Die woordelys hieronder sal jou hiermee help. Werkwoord

Omskrywing

Lys

Lys die name/items wat bymekaar hoort

Identifiseer

Eien (ken uit) en selekteer die regte antwoorde

Verduidelik

Ondersoek die moontlikhede, oorweeg en skryf dan jou antwoord (verklaring/verduideliking) neer

Beskryf

Omskryf die konsep of woorde duidelik

Kategoriseer/

Bepaal tot watter klas, groep, afdeling bepaalde

klassifiseer

items/voorwerpe behoort

Analiseer

Om iets te ontleed

Evalueer

Bepaal die waarde van ŉ stelling/stelsel/beleid/ens

Toepas

Pas die teoretiese beginsels toe in ŉ praktiese probleem

Hersien

Evalueer, verbeter en/of wysig ŉ beleid/dokument/stelsel/ens

Bladsy 8

Woordomskrywing vir evaluering

GMT Bedryfswiskunde

STUDIE-EENHEID 1: BASIESE WISKUNDE EN WAARSKYNLIKHEID

1.1

Studie-eenheid leeruitkomste

Kennis en begrip Na voltooiing van Studie-eenheid 1 sal jy in staat wees om jou kennis en begrip te demonstreer van die volgende: •

basiese wiskunde

•

vergelykings en ongelykhede

•

waarskynlikheid

Vaardighede Jy sal ook in staat wees om:

1.2

•

die gebruik van basiese wiskunde te demonstreer;

•

vergelykings en ongelykhede op te los;

•

waarskynlikheid te bereken;

•

om waarskynlikheid te gebruik om risiko en onsekerheid te bepaal. Voorgeskrewe handboek

BPP LEARNING MEDIA. 2012. CIMA Certificate: Fundamentals of Business Mathematics. 2nd Ed. United Kingdom: London. Vir die doeleindes van hierdie studie-eenheid moet jy die volgende afdelings bestudeer: Hoofstuk 1a, paragraaf 3.1-4.3, 4.5-5.4, 7.4 Hoofstuk 1b, paragraaf 1.2-5.1, 6.3-6.5 Hoofstuk 6, paragraaf 2.1-2.8 Hoofstuk 7, paragraaf 1.1-2.6

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

Bladsy 9

GMT Bedryfswiskunde 1.3

Hoe kan jy jou begrip verbeter?

Jy moet seker maak dat jy die volgende terme verstaan: Sleutelwoord

Omskrywing

≠

Nie gelyk aan nie, byvoorbeeld 3 ≠ 5

Cartesiese vlak

Bestaan uit die x-as (horisontale lyn) en die y-as (vertikale lyn), wat loodreg op mekaar is. Die snydingspunt van die twee lyne is waar albei gelyk is aan 0 en word die oorsprong genoem.

Gradiënt

Dit is die helling van ŉ lyn, hoe steil die lyn is.

Oplos van

Die reël is dat wat aan die eenkant van die vergelyking gedoen

vergelyking

word, moet ook aan die anderkant van die vergelyking gedoen word.

Parabool

ŉ Parabool verteenwoordig ŉ kwadratiese funksie ( = + + ) in die Cartesiese vlak.

Proporsies

Die skryf van ŉ persentasie as ŉ proporsie van 1.

Resiprook

Die omgekeerde van ŉ getal, dit is 1 gedeel deur die getal, byvoorbeeld 6 se resiprook is

Venn-diagram

Dit is die visuele voorstelling van waarskynlikheid.

Verhouding

Toon relatiewe gedeeltes van ŉ geheel.

Waarskynlikheid

Die moontlikheid dat ŉ gebeurtenis sal plaasvind of nie.

x-afsnit

Dit is waar ŉ grafiek die x-as sny.

y-afsnit

Dit is waar ŉ grafiek die y-as sny.

1.4

Inleiding

Basiese wiskunde word op skoolvlak gedoen. Vir die doel van hierdie kursus is dit belangrik om hierdie basiese wiskunde te hersien. Hoewel dit soms as eenvoudig afgemaak kan word, is die teendeel waar, omdat die grondslag daar gelê word. Jy kan van soveel bronne moontlik gebruik maak om seker te maak dat jy die basiese wiskundige begrippe en verwerkings verstaan. “Waarskynlikheid” is ook ŉ konsep wat reeds op skoolvlak gedoen word. In hierdie kursus gaan ons dit hersien en voortbou.

Bladsy 10

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

GMT Bedryfswiskunde Belangrik: Deurgaans in die handboek word voorbeelde en verwerkings gegee. Werk telkens deur die voorbeelde totdat jy die konsepte en verwerkings verstaan. Maak ook seker dat jy toepassings op praktiese voorbeelde kan doen. 1.5

Die gebruik van basiese wiskunde

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1a, paragraaf 3.1-4.3, 4.5-5.4, 7.4 Hoewel Hoofstuk 1a in die handboek nie ŉ baie lang hoofstuk is nie, is dit baie belangrik om dit deeglik onder die knie te kry. Jy kan van soveel bronne moontlik gebruik maak om seker te maak dat jy die basiese wiskundige begrippe en verwerkings verstaan. 1.5.1

Volgorde van bewerkings

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1a, paragraaf 3.1 Die volgorde van wiskundige bewerkings is baie belangrik. Dit is soos volg: Hakies → Van → Deel → Maal (vermenigvuldig) → Plus → Minus Dit is belangrik om te onthou dat indien daar slegs deel en maal in ŉ som voorkom, die som van links na regs gedoen word, al is deel voor maal in volgorde. Dieselfde geld ook wanneer slegs plus en minus in ŉ som voorkom, word die som ook van links na regs gedoen. Berekeninge in hakies word eerste gedoen → dan magte en wortels → dan maal en deel van links na regs → dan plus en minus van links na regs. Hakies dui maal aan en kan op sakrekenaars gedoen word. Dit is belangrik om vertroud te raak met jou sakrekenaar, sodat hakies en ander bewerkings gedoen kan word. 1.5.2

Persentasies en verhoudings

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1a, paragraaf 4.1-4.3 Persentasies dui relatiewe grootte of die proporsie van items aan. Belangrike berekening is om persentasie na ŉ breuk of desimaal om te skakel. Persentasies behels die volgende: •

Bereken ŉ persentasie van ŉ getal of bedrag

•

Druk ŉ getal uit as ŉ persentasie van ŉ ander getal

•

Vind die waarde van ŉ getal of bedrag as die persentasie verhoging/verlaging gegee word, byvoorbeeld afslag

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

Bladsy 11

GMT Bedryfswiskunde Persentasie-veranderinge (verhoging of verlaging) word soos volg bereken:

= 1.5.3

" " Ă&#x2014; 100%

Proporsies

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1a, paragraaf 4.5 Proporsies is die skryf van Ĺ&#x2030; persentasie as Ĺ&#x2030; proporsie van 1. Breuke, persentasies en proporsies kan dieselfde aandui, maar verskillend uitgedruk word. 1.5.4

Verhoudings

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1a, paragraaf 4.6 Verhoudings dui Ĺ&#x2030; gedeelte van Ĺ&#x2030; geheel aan. Onthou die volgende â&#x20AC;&#x153;resepâ&#x20AC;? om verhoudings uit te werk: Verdeling in Ĺ&#x2030; sekere verhouding: Tel die verhouding bymekaar om die geheel te kry, dan word die bedrag/getal gemaal met die gedeelte van die verhouding oor die geheel, byvoorbeeld: Verdeel 250 in die verhouding 2:3 250 Ă&#x2014;

= 100

250 Ă&#x2014;

& %

= 150

Verminder/Vermeerder: Hier word die verhouding nie bymekaar getel nie, indien dit vermeerder is, word die bedrag/getal gemaal met die groter gedeelte van die verhouding oor die kleiner gedeelte van die verhouding, byvoorbeeld: Vermeerder 15 in die verhouding 4:3

â&#x2020;&#x2019;

15 Ă&#x2014; & = 20

Die omgekeerde geld vir vermindering. 1.5.5

Wortels en magte

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1a, paragraaf 5.1-5.4 Die vierkantswortel van Ĺ&#x2030; getal is wanneer Ĺ&#x2030; getal met homself gemaal word en dit die oorspronklike getal binne die vierkantswortel gee. Die derdemagswortel van Ĺ&#x2030; getal is wanneer Ĺ&#x2030; getal twee maal met homself gemaal word en dit die oorspronklike getal binne die derdemagswortel gee.

Bladsy 12

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

GMT Bedryfswiskunde

Mag

Eksponent

Grondtal (Outeur, 2014)

Magte dui aan hoeveel keer ŉ getal met homself gemaal word, byvoorbeeld 3' = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, belangrik om te onthou 3' ≠ 3 × 4. Die reëls van wortels is baie belangrik en moet op die sakrekenaar geoefen word. Reël 1: Baie belangrik om te onthou, dit kan slegs toegepas word as die grondtalle dieselfde is. Reël 2: Ook baie belangrik om op te let dat die reël net gebruik kan word wanneer die grondtalle dieselfde is. Reël 3: Wanneer ons ŉ “mag verhef tot ŉ mag” het, maal ons die eksponente met mekaar. Reël 4: Enige getal verhef tot 1 sal altyd die getal self wees. Reël 5: Enige getal tot die mag 0 is altyd 1. Reël 6: Een (1) tot die mag van enige getal sal altyd 1 wees. Reël 7: ŉ Eksponent kan ŉ breuk wees 0

Die eksponentwet sê: √ /

. ,

( √8 = 3 - 8 )

hoekom?

1 0

Reël 8: Wanneer ons ŉ negatiewe eksponent het, verteenwoordig dit ŉ resiprook. 1.5.6

Gebruik van formules in Excel

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1a, paragraaf 7.4 Dit is belangrik dat jy basiese Excel onder die knie het, voordat jy hierdie afdeling kan bestudeer. Jy moet basiese berekeninge soos maal (B2*3), deel (C5/B3) en magte (3^4) verstaan en in Excel kan gebruik. Baie belangrik: maak seker hakies word op die regte plekke aangedui, want Excel doen outomaties eerste berekeninge in hakies.

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

Bladsy 13

GMT Bedryfswiskunde Formules moet altyd korrek in Excel ingesleutel word anders sal daar ŉ errata (fout) aangedui word. Dit is baie belangrik om die korrekte formule in die Excel program te gebruik omdat dit die korrektheid van enige berekening sal bepaal. Maak gebruik van die Excel program om die verskillende voorbeelde in paragraaf 7.4 te doen. Oefen hierdie totdat jy dit met gemak kan doen. Maak ook seker dat jy die verskillende formules op praktiese voorbeelde kan toepas. 1.6

Oplos van vergelykings en ongelykhede

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1b, paragraaf 1.2 – 6.4 Hoofstuk 1b in die handboek is nie ŉ baie lang hoofstuk nie, maar tog baie belangrik om te bestudeer. Die hoofstuk bespreek die oplossing van vergelykings en ongelykhede wat in finansiële en besigheidsberekeninge voorkom. Jy kan van soveel bronne moontlik gebruik maak om seker te maak dat jy die basiese wiskundige begrippe en verwerkings verstaan. 1.6.1

Oplos van vergelykings

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1b, paragraaf 1.2 Die oplos van vergelykings behels die oplos van ŉ veranderlike (onbekende). Belangrik om te onthou dat wat aan die een kant van die vergelyking gedoen word moet ook aan die anderkant van die vergelyking gedoen word. ŉ Vergelyking kan gesien word as ŉ skaal wat presies moet balanseer, daarom die belangrikheid om aan albei kante van die vergelyking dieselfde te doen. Wanneer hakies in ŉ vergelyking voorkom, gebruik ons die distributiewe wet om van die hakie ontslae te raak. Byvoorbeeld 422 + 4 3 → 4 × 22 + 4 3 = 8 + 8 , belangrik om te onthou wanneer die distributiewe wet toegepas word, word die getal vooraan die hakie met alles binne die hakie gemaal. 1.6.2

Ongelykhede

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1b, paragraaf 2.1-2.5 Ongelykhede word op dieselfde manier as vergelykings opgelos. Die volgende tekens kom voor by ongelykhede en dit is belangrik om te verstaan wat elkeen beteken: > → groter as < → kleiner as ≥ → groter en gelyk aan ≤ → kleiner en gelyk aan

Bladsy 14

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

GMT Bedryfswiskunde Baie belangrik! Wanneer ŉ ongelykheid met ŉ negatiewe getal gedeel word, ruil die ongelykheidsteken om. Byvoorbeeld:

−2 < 4 : ; :

< :

> −2 1.6.3

Lineêre vergelykings en grafieke

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1b, paragraaf 3.1-4.3 Standaardvorm van lineêre vergelyking: = < + Waar: y → afhanklike veranderlike m → konstante getal wat gradiënt/helling aandui x → onafhanklike veranderlike c → konstante getal wat y-afsnit aandui Wanneer die grafiek van ŉ lineêre vergelyking geteken word, vorm dit ŉ reguitlyn. Soos hier genoem verteenwoordig m die gradiënt van die lyn, dit kan positief of negatief wees. C verteenwoordig die y-afsnit, dit is waar die grafiek die y-as sny. Baie belangrik om te onthou dat die vergelyking altyd in standaardvorm moet wees voor iets direk van die vergelyking verkry kan word. Wanneer ŉ grafiek geteken word: •

Vergelyking in standaardvorm: = < +

•

Teken ŉ tabel en kies waardes vir x

•

Vul die waardes in die vergelyking in die plek van x om die waardes van y te kry

•

Teken (plot) die punte (x;y) op die Cartesiese vlak (Cartesian plane) en verbind die kolletjies om die reguitlyngrafiek te kry

Gradiënt: Positief

Negatief

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

Bladsy 15

GMT Bedryfswiskunde 1.6.4

Gelyktydige vergelykings

Bestudeer die handboek: Paragraaf 5.1 Onthou! Om twee veranderlikes op te los, moet daar twee vergelykings wees. Die oplossing is waar die twee grafieke mekaar sny. Paragraaf 5.1.2 toon die eliminasie-metode vir die oplos van gelyktydige vergelykings, die substitusie-metode is soos volg: = 3 + 16 2 = + 72 Vervang (1) in (2)

213 223

223 + 163 = + 72 6 + 32 = + 72 5 = 40 =8

Vervang x = 8 in (1)

= 3283 + 16 = 40

1.6.5

Kwadratiese vergelykings

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 1b, paragraaf 6.3-6.4 Die standaardvorm: = + + Wanneer die grafiek van ŉ kwadratiese vergelyking geteken word, vorm dit ŉ parabool. Indien a > 0, is dit ŉ “smiley”

Indien a < 0, is dit “sad”

C is ŉ konstante getal en dui aan waar die grafiek draai op die y-as. Wanneer a > 0 sê ons die grafiek het ŉ minimum waarde en wanneer a < 0 het die grafiek ŉ maksimum waarde.

Bladsy 16

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

GMT Bedryfswiskunde Oplos van kwadratiese vergelyking met behulp van die formule: =

â&#x2C6;&#x2019; Âą â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 4 2

Die waardes van a, b en c word uit die vergelyking = + + verkry, maar belangrik om te onthou dat die vergelyking in standaardvorm moet wees voor die waardes in die formule daarmee vervang kan word. 1.7

Die berekening van waarskynlikheid

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 6, paragraaf 2.2-2.8 Ons gaan nou verder voortbou op die konsep â&#x20AC;&#x153;waarskynlikheidâ&#x20AC;?. Dit is belangrik om soveel moontlike addisionele bronne te gebruik om die konsep te hersien. Doen ook soveel moontlike oefeninge en voorbeelde om dit beter te verstaan. â&#x20AC;&#x153;Waarskynlikheidâ&#x20AC;? verwys na die kans dat Ĺ&#x2030; gebeurtenis sal plaasvind of nie. 1.7.1

Eenvoudige waarskynlikheid

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 6, paragraaf 2.2 Formule om waarskynlikheid te bereken:

2 â&#x201E;&#x17D; 3 =

B < C B < C <

Waarskynlikheid kan as Ĺ&#x2030; %, breuk of desimaal geskryf word. Onthou dat waarskynlikheid altyd na 1 optel. 1.7.2

Venn-diagramme

Bestudeer die handboek: Paragraaf 2.3-2.4 Onderling uitsluitend kan soos volg uitgebeeld word:

2B D3 = 0

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

Bladsy 17

GMT Bedryfswiskunde 1.7.3

Eenvoudige maal of EN wet

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 6, paragraaf 2.6 Die eenvoudige vermenigvuldigingswet vir twee onafhanklike gebeure, A en B, is soos volg:

2B D3 = 2B â&#x2C6;Š D3 = 2B3 2D3 â&#x2C6;Ş â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;Š â&#x2020;&#x2019; 1.7.4

Algemene reĂŤl vir toevoeging

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 6, paragraaf 2.7 Die reĂŤl word gebruik wanneer gebeurtenisse nie onderling uitsluitend is nie:

2B - D3 = 2B â&#x2C6;Ş D3 = 2B3 + 2D3 â&#x2C6;&#x2019; 2B D3 Paragraaf 2.7.1 dui duidelik aan wat 2B3, 2D3 en 2B D3 is. 1.7.5

Algemene reĂŤl vir vermenigvuldiging

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 6, paragraaf 2.8 Die algemene reĂŤl van vermenigvuldiging vir twee onafhanklike gebeure, A en B, is soos volg:

2B D3 = 2B3 Ă&#x2014; 2D|B3 = 2D3 Ă&#x2014; 2B|D3 Afhanklike of voorwaardelike gebeurtenisse is gebeurtenisse waar die uitkoms van een gebeurtenis afhang van die ander gebeurtenis. 1.8

Die gebruik van waarskynlikheid waar risiko en onsekerheid bestaan

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 7, paragraaf 1.1-2.6 Verwagte waarde is Ĺ&#x2030; geweegde gemiddelde waarde wat gebaseer is op waarskynlikheid. Hierdie hoofstuk kyk na hoe dit in die sakewĂŞreld gebruik word om besluite te neem. 1.8.1

Verwagte waarde

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 7, paragraaf 1.1-1.4 Formule:

H = ÎŁ

Waar: ÎŁ â&#x2020;&#x2019; < Bladsy 18

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

GMT Bedryfswiskunde

â&#x2020;&#x2019; C < â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;&#x17D; C < 1.8.2

Verwagting en besluitneming

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 7, paragraaf 2.1-2.6 Waarskynlikheid en verwagte waarde is baie belangrik in Ĺ&#x2030; onderneming se besluitneming. Ĺ&#x2030; Positiewe verwagte waarde moet aanvaar word en Ĺ&#x2030; negatiewe verwagte waarde moet afgekeur word. Daar is wel beperkinge rakende verwagte waardes. Bestudeer hierdie in paragraaf 2.5. Waarskynlikheid word gebruik om risiko te bepaal wanneer besluite geneem word. Risiko en onsekerheid word in paragraaf 2.6 bespreek. Dit is belangrik dat jy waarskynlikheid en verwagte waarde goed onder die knie vir toepassing op voorbeelde in die praktyk en ook in werkopdragte en eksamens. 1.9

Samevatting

In hierdie studie-eenheid is daar gekyk na belangrik konsepte in basiese wiskunde en hoe dit gebruik word in formules, persentasies en proporsies, oplos van vergelykings en ongelykhede, grafieke en waarskynlikheid. Dit is belangrik om die konsepte, formules en berekeninge te verstaan en te kan toepas.. 1.10 Selfevaluering As hersiening van die temas behandel in hierdie studie-eenheid kan jy weer deur al die voorbeelde werk wat bespreek is. Terugvoer en die antwoorde word telkens gegee. Bestudeer ook die hoofstukopsommings (Chapter Roundup) aan die einde van die hoofstukke wat vir studie aangedui is en doen die toetse (Quick Quiz) wat aangebied word. Jy sal merk dat die antwoorde ook voorsien word. Probeer eers om die toetse te doen voordat jy na die antwoorde kyk. Dit is ook net nodig om die toetse te doen wat betrekking het op die paragrawe wat vir studie aangedui is. Die toetse verskyn op die volgende bladsye: â&#x20AC;˘

Hoofstuk 1a (bladsy 40-42)

â&#x20AC;˘

Hoofstuk 1b (bladsy 65-68)

â&#x20AC;˘

Hoofstuk 6 (bladsy 181-184)

â&#x20AC;˘

Hoofstuk 7 (bladsy 194)

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

Bladsy 19

GMT Bedryfswiskunde Jy word ook verwys na die moontlike eksamenvrae (Exam Question Bank) aan die einde van die handboek. Doen telkens net die vrae wat van toepassing is op die werk wat vir hierdie eenheid voorgeskryf is.

Bladsy 20

Studie-eenheid 1: Basiese wiskunde en waarskynlikheid

GMT Bedryfswiskunde

STUDIE-EENHEID 2: OPSOMMING EN ANALISERING VAN DATA

2.1

Studie-eenheid leeruitkomste

Kennis en begrip Na voltooiing van Studie-eenheid 2 sal jy in staat wees om jou kennis en begrip te demonstreer van die volgende: •

Tegnieke vir die opsomming van data

•

Tegnieke vir die analisering van data

Vaardighede Jy sal ook in staat wees om:

2.2

•

die verskil tussen data en inligting te verduidelik;

•

grafieke en diagramme voor te berei;

•

sentrale neiging te meet;

•

frekwensie en normaal verspreiding te doen; en

•

Pareto en die “80:20-reël” toe te pas

Voorgeskrewe handboek

BPP LEARNING MEDIA. 2012. CIMA Certificate: Fundamentals of Business Mathematics. 2nd Ed. United Kingdom: London. Vir die doeleindes van hierdie studie-eenheid moet jy die volgende afdelings bestudeer: Hoofstuk 2, paragraaf 1.1-1.2, 2 Hoofstuk 3, paragraaf 1.1-1.3, 2.1-2.3, 3.1-3.8, 4.1-6.3 Hoofstuk 4a, paragraaf 1.1-3.6 Hoofstuk 4b, paragraaf 1.1, 4.1-5.1 Hoofstuk 5, paragraaf 1.1-6.3 Hoofstuk 8, paragraaf 2.1, 2.3-2.4, 3.1-4.3, 5

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

Bladsy 21

GMT Bedryfswiskunde 2.3

Hoe kan jy jou begrip verbeter?

Jy moet seker maak dat jy die volgende terme verstaan: Sleutelwoord

Omskrywing

Data

Rou materiaal voor prosessering

Frekwensieverspreiding Word gebruik wanneer waardes van spesifieke veranderlikes meer as eenkeer voorkom Inligting

Data wat geprosesseer is

Normaalverspreiding

Is Ĺ&#x2030; waarskynlikheidsverspreiding wat van toepassing is by deurlopende veranderlikes

2.4

Inleiding

In hierdie studie-eenheid word tegnieke vir die opsomming en analisering van data behandel. Daar word eerstens na die verskil tussen data en inligting gekyk. Dit is belangrik om die eienskappe van goeie inligting te ken. Visuele voorstelling van data in grafieke, diagramme en tabelle word behandel. Basiese statistiek moet vir beide gegroepeerde en nie-gegroepeerde data gedoen kan word. Normaalverspreiding moet verduidelik en gedemonstreer kan word. Belangrik: Deurgaans in die handboek word voorbeelde en verwerkings gegee. Werk telkens deur die voorbeelde totdat jy die konsepte en verwerkings verstaan. Maak ook seker dat jy toepassings op praktiese voorbeelde kan doen. 2.5

Toepassing van tegnieke vir die opsomming van data

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 2, paragraaf 1.1-1.2, 2 Hoofstuk 3, paragraaf 1.1-1.3, 2.1-2.3, 3.1-3.8, Hoofstuk 4a, paragraaf 1.1-3.6 Hoofstuk 4b, paragraaf 1.1, 4.1-5.1 Hoofstuk 8, paragraaf 2.1, 2.3-2.4, 3.1-4.3 2.5.1

Data en inligting

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 2, Paragraaf 1.1-1.2 & 2 Hoofstuk 3, Paragraaf 1.1-1.3

Bladsy 22

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

GMT Bedryfswiskunde Data is die rou materiaal wat verwerk moet word, terwyl inligting data is wat klaar verwerk is. Daar word soms ook na inligting as verwerkte data verwys. In paragraaf 1.2 (CIMA, 2012: is ŉ baie goeie voorbeeld uiteengesit om die verskil tussen data en inligting aan te toon. Paragraaf 2 beskryf die eienskappe van goeie inligting breedvoerig. Dit is belangrik om hierdie eienskappe goed te verstaan en te kan weergee. Om data te tabuleer beteken om data in tabelle te sit. ŉ Tabel bestaan weer uit rye en kolomme waar data ingelees word en wat gebruik word om inligting oor twee veranderlikes voor te stel. Hoofstuk 3, paragraaf 1.3 gee goeie riglyne vir wanneer inligting getabuleer moet word. 2.5.2

Voorstelling van data

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 3, Paragraaf 2.1-2.3, 4.1-6.3 Om data in ŉ staafgrafiek (bar chart) of sirkelgrafiek (pie chart) voor te stel, gee dikwels ŉ beter oorsig van die data as om dit bloot in ŉ tabel te sit. Daar is twee vrae wat gevra moet word wanneer jy moet besluit oor die voorstelling van data: •

Wat is die data veronderstel om te toon?

•

Wie gaan die data gebruik?

Hierdie vrae moet telkens oorweeg word wanneer die keuse oor voorstelling gemaak moet word – sekere data vertoon beter vertoon met bepaalde voorstellings. Staafgrafieke is die mees algemene manier om data voor te stel, dit bestaan uit stawe wat data voorstel. Belangrik om die verskil tussen ŉ staafgrafiek en histogram te weet – ŉ staafgrafiek het spasies tussen die stawe, waar ŉ histogram se stawe teenmekaar is sonder enige spasies. Paragraaf 2.2.1-2.2.6 het goeie voorbeelde van die verskillende moontlikhede wanneer staafgrafieke gebruik word. ŉ Sirkelgrafiek toon data as ŉ geheel aan, die grootte van die dele kan duidelik gesien word. Dit kan in persentasies gedoen word, dan moet die totaal van al die dele optel na 100% of dit kan in grade gedoen word, dan moet die totaal van al die dele optel na 360⁰. Dit is handig om verskillende kleure vir die verskillende dele te gebruik. Paragraaf 2.3.2 toon hoe om ŉ sirkelgrafiek te teken uit die gegewe data. Histogramme (paragraaf 4) word gebruik vir die voorstelling van gegroepeerde frekwensieverspreidings en ŉ ogief (paragraaf 5) word gebruik vir kumulatiewe frekwensieverspreidings. Paragraaf 5.1 gee ŉ goeie voorbeeld van ŉ ogief. Onthou,

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

Bladsy 23

GMT Bedryfswiskunde wanneer ŉ ogief geteken word, is die punte wat op die grafiek geplot word, die kumulatiewe frekwensies. Verspreidingsdiagramme (scatter diagrams) is waar die punte op die grafiek ingeteken word en dan word daar ŉ paslyn getrek wat die kolletjies min of meer in die helfte deel, let wel die paslyn verbind nie die kolletjies nie. Deur die paslyn te trek kan uitskieters maklik raak gesien word. Voorbeeld:

Uitskieter

Paslyn/tendenslyn

2.5.3

Frekwensieverspreidings

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 3, Paragraaf 3.1-3.8 Frekwensieverspreidings word gebruik wanneer waardes van spesifieke veranderlikes meer as eenkeer voorkom. Gegroepeerde frekwensieverspreiding word gebruik wanneer daar ŉ baie groot hoeveelheid data is. Frekwensies kan in klasse gegroepeer word. Klasintervalle word gekies volgens die betrokke data wat gegroepeer word. Let wel, sodra items gegroepeer is, gaan die individuele waardes van die items verlore, want hulle val nou slegs binne ŉ interval. Paragraaf 3.6 het baie goeie riglyne vir die opstel van ŉ gegroepeerde frekwensieverspreiding. Paragraaf 3.7-3.8 beskryf kumulatiewe frekwensieverspreiding. Maak seker dat jy die onderskeie konsepte verstaan en sal kan toepas. 2.5.4

Gemiddeldes en verspreiding

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 4a, paragraaf 1.1-1.4, 2.1-2.4, 3.1-3.4 Hoofstuk 4b, paragraaf 1.1, 4.1-5.1 Bladsy 24

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

GMT Bedryfswiskunde Om die rekeningkundige gemiddeld vir ongegroepeerde data te bereken (Hoofstuk 4a, paragraaf 1.1): =

J < < K <

Om die rekeningkundige gemiddeld van gegroepeerde data te bereken (Hoofstuk 4a, paragraaf 1.4): Ě&#x2026; =

ÎŁ- n

Die ÎŁ â&#x2020;&#x2019; sigma teken beteken â&#x20AC;&#x153;som vanâ&#x20AC;? (Hoofstuk 4a, paragraaf 1.3). Maak seker dat jy die formule verstaan en sal kan verduidelik waar die inligting gevind kan word wat in die formule gebruik word. Die modale waarde (Hoofstuk 4a, paragraaf 2) is die waarde wat die meeste voorkom. Die mediaan (Hoofstuk 4a, paragraaf 3) is die middelste waarde van Ĺ&#x2030; stel data. Belangrik om te onthou, data moet eers van klein na groot gerangskik wees voordat die mediaan bepaal word. Daar is ook Ĺ&#x2030; formule vir wanneer Ĺ&#x2030; onewe aantal getalle in die data voorkom, naamlik:

+1 2 Onthou, die formule dui slegs die posisie van die mediaan aan en is nie die mediaan self nie. Die mediaan vir gegroepeerde data word deur middel van die ogief verkry. Omvang van data is die verskil tussen die grootste en kleinste waarde. Variansie 2N 3 is die gemiddeld van die gekwadreerde gemiddelde afwyking vir elke waarde in Ĺ&#x2030; verspreiding. Gee veral aandag aan Hoofstuk 4b, paragraaf 4.2 en 4.3 vir die berekening van variansie. Standaardafwyking is die vierkantswortel van variansie. Die formules wat benodig word, word in paragraaf 4.4 gegee, met voorbeelde in paragraaf 4.5. Twee verspreidings kan vergelyk word deur die gebruik van die koĂŤffisiĂŤnt van variasie. Formule: =

- <

Hoe groter die koĂŤffisiĂŤnt van variasie hoe wyer die verspreiding.

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

Bladsy 25

GMT Bedryfswiskunde 2.5.5

Normaalverspreiding

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 8, paragraaf 2.1-4.3 Dit is Ĺ&#x2030; waarskynlikheidsverspreiding wat betrekking het op deurlopende veranderlikes, byvoorbeeld tyd. Wanneer Ĺ&#x2030; normaalverspreiding geteken word, het dit Ĺ&#x2030; klokvormige kurwe. Ĺ&#x2030; Voorbeeld van hoe dit lyk is in paragraaf 2.2 (Hoofstuk 8). Die eienskappe van Ĺ&#x2030; normaalverspreiding: â&#x20AC;˘

Simmetries en klokvormig

â&#x20AC;˘

Het Ĺ&#x2030; gemiddeld 2O3

â&#x20AC;˘

Die gebied onder die kurwe se totaal is 1

â&#x20AC;˘

Die gebied links van die gemiddeld = gebied regs van die gemiddeld = 0.5

Ĺ&#x2030; Standaard normaalverspreiding het Ĺ&#x2030; gemiddeld van 0 en Ĺ&#x2030; standaardafwyking van 1. Die gebruik van normaalverspreiding word verduidelik in paragraaf 4 (Hoofstuk 8). Die formule in die normaalverspreidingstabel is soos volg:

â&#x2C6;&#x2019;O N

P â&#x2020;&#x2019; - - < â&#x2020;&#x2019; C O â&#x2020;&#x2019; < N â&#x2020;&#x2019; - In paragraaf 4.2 en 4.3 (Hoofstuk 8) is goeie voorbeelde wat jy kan doen om die gebruik van normaalverspreiding onder die knie te kry. 2.6

Toepassing van tegnieke vir data-analisering

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 8, paragraaf 5 Hoofstuk 5, paragraaf 1.1-6.3

Bladsy 26

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

GMT Bedryfswiskunde 2.6.1

Pareto verspreiding en die “80:20-reël”

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 8, paragraaf 5.1 Die Pareto-ontleding word gebruik om die beginsel dat 80% van die waarde gekonsentreerd is in 20% van die items in ŉ spesifieke populasie te verduidelik. Die Pareto-ontleding word gebruik in gevalle soos voorraadkontrole en produkanalise. Paragraaf 5.1 gee ŉ goeie voorbeeld van hoe die Pareto-analise in produksie gebruik word en dit wys ook hoe die distribusie op ŉ grafiek voorgestel kan word. 2.6.2

Indeksgetalle

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 5, paragraaf 1.1-1.4, 2.2, 4.1-4.2, 6.1-6.3 Indeks (paragraaf 1) is ŉ meting oor ŉ tydperk van die gemiddelde verandering in die waardes van ŉ groep items. ŉ Voorbeeld is die prysindeks wat die verandering in geldwaarde van ŉ groep items is en ook die hoeveelheid indeks wat die verandering in die nie-monetêre waarde van ŉ groep items is. Die waarde van ŉ basis op datum is 100. Die prysindeksgetal (paragraaf 2) word gebruik wanneer daar met die pryse van items gewerk word en die formule is:

100 ×

Q. QR

Waar: 100 → basisdatum P1 → die jaar waarvoor die prysindeksgetal bereken word P0 → basisjaar Die hoeveelheid indeksgetal word gebruik wanneer hoeveelhede met betrekking tot ŉ item gegee word en die formule is:

100 ×

S. SR

100 → basis datum Q1 → hoeveelheid indeksgetal vir die jaar wat bereken word Q0 → basis jaar Gewig (paragraaf 6) word gebruik om die belangrikheid van elke item in die indeks te toon. Geweegde gemiddelde van prysindeks word soos volg bereken:

ΣT × =

ΣT

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

× 100

Bladsy 27

GMT Bedryfswiskunde En geweegde gemiddelde van hoeveelheidsindeks word soos volg bereken:

ÎŁT Ă&#x2014; =

ÎŁT

Ă&#x2014; 100

Waar W = die gewigsfaktor (paragraaf 6.3 toon Ĺ&#x2030; goeie voorbeeld van hoe dit bereken word) Die gebruik van indekse vir die deflasie van Ĺ&#x2030; reeks is Ĺ&#x2030; baie belangrike tegniek. Die formule is soos volg:

= T W Ă&#x2014;

X W X W

Ĺ&#x2030; Volledige voorbeeld word in paragraaf 4.2 (Hoofstuk 5) gegee. 2.7

Samevatting

Hierdie studie-eenheid het die toepassing van verskillende tegnieke vir die opsomming en analisering van data onder die loep geneem. Dit is eerstens belangrik om die verskil tussen data en inligting te ken, dit sluit in die eienskappe van goeie inligting. Tegnieke wat gebruik word is: Tabulering van data, visuele voorstellings, modus, mediaan, gemiddeld, omvang en variansie. Daar is gekyk na eienskappe van Ĺ&#x2030; normaalverspreiding en die Paretoverspreiding. Maak seker dat jy die teoretiese onderbou van hierdie begrippe verstaan sodat jy in staat sal wees om dit op praktiese voorbeelde toe te pas. 2.8

Selfevaluering

As hersiening van die temas behandel in hierdie studie-eenheid kan jy weer deur al die voorbeelde werk wat bespreek is. Terugvoer en die antwoorde word telkens gegee. Bestudeer ook die hoofstukopsommings (Chapter Roundup) aan die einde van die hoofstukke wat vir studie aangedui is en doen die toetse (Quick Quiz) wat aangebied word. Jy sal merk dat die antwoorde ook voorsien word. Probeer eers om die toetse te doen voordat jy na die antwoorde kyk. Dit is ook net nodig om die toetse te doen wat betrekking het op die paragrawe wat vir studie aangedui is. Die toetse verskyn op die volgende bladsye: Hoofstuk 2, (bladsy 82-85) Hoofstuk 3, (bladsy 116-118) Hoofstuk 4a, (bladsy 130-132) Hoofstuk 4b, (bladsy 149-150) Hoofstuk 5, (bladsy 164-165)

Bladsy 28

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

GMT Bedryfswiskunde Hoofstuk 8, (bladsy 211-213) Jy word ook verwys na die moontlike eksamenvrae (Exam Question Bank) aan die einde van die handboek. Doen telkens net die vrae wat van toepassing is op die werk wat vir hierdie eenheid voorgeskryf is.

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

Bladsy 29

GMT Bedryfswiskunde

Notas

Bladsy 30

Studie-eenheid 2: Opsomming en analisering van data

GMT Bedryfswiskunde

STUDIE-EENHEID 3: VERHOUDING TUSSEN VERANDERLIKES

3.1

Studie-eenheid leeruitkomste

Kennis en begrip Na voltooiing van Studie-eenheid 3 sal jy in staat wees om jou kennis en begrip te demonstreer van die volgende: •

Berekening van korrelasiekoëffisiënt

•

Toepassing van tegnieke vir eenvoudige regressie

Vaardighede Jy sal ook in staat wees om:

3.2

•

verspreidingsgrafieke te teken;

•

korrelasiekoëffisiënt te bereken;

•

bepaaldheidskoëffisiënt tussen twee veranderlikes te bereken; en

•

regressievergelyking te bepaal.

Voorgeskrewe handboek

Bykomende handboek

Bykomende materiaal kan gevind word in: Wegner, T. 2012. Applied Business Statistics: Methods and Excel-based Applications. 3rd Ed. Cape Town: Juta. ISBN: 9780702177743 Hoofstuk 12, bl. 300-310

Studie-eenheid 3: Verhouding tussen veranderlikes

Bladsy 31

GMT Bedryfswiskunde 3.4

Hoe kan jy jou begrip verbeter?

Jy moet seker maak dat jy die volgende terme verstaan: Sleutelwoord

Omskrywing

Graad van korrelasie

Korrelasie kan positief of negatief wees.

Bepaaldheidskoëffisiënt Meet die proporsie van die totale variasie in waarde van een veranderlike wat verduidelik kan word in die waarde van ŉ ander veranderlike. Korrelasie

Wanneer die waarde van een veranderlike verband hou met die waarde van ŉ ander.

Lineêre regressie

Dit is een tegniek vir die skatting van ŉ paslyn.

analise 3.5

Inleiding

Hierdie eenheid kyk na hoe die interverhouding tussen veranderlikes in ŉ verspreidingsgrafiek beskryf en bereken word. Die eerste gedeeltes handel oor die korrelasie, wat verband hou met die assessering van die sterkte van die verhouding tussen twee veranderlikes. Dan word daar gekyk na die vergelyking van ŉ reguitlyn om verhouding tussen veranderlikes voor te stel en om dan die vergelyking te gebruik vir voorspelling. Belangrik: Deurgaans in die handboek word voorbeelde en verwerkings gegee. Werk telkens deur die voorbeelde totdat jy die konsepte en verwerkings verstaan. Maak ook seker dat jy toepassings op praktiese voorbeelde kan doen. 3.6

Bereken die korrelasiekoëffisiënt vir twee veranderlike data

Bestudeer die handboek: Hoofstuk 11, paragraaf 1.2-1.3, 2.1-2.3, 2.4-2.6, 3.1-3.3, 4.1-6.2 3.6.1

Berei ŉ verspreidingsgrafiek voor

Bestudeer handboek: Hoofstuk 11, Paragraaf 1.2-1.3 Wanneer die waarde van een veranderlike verwant is aan die waarde van ŉ ander, dan is hulle gekorreleer. Byvoorbeeld, ŉ persoon se hoogte en gewig, of die afstand van ŉ reis en tyd wat dit neem om dit af te lê. ŉ Voorbeeld van ŉ verspreidingsgrafiek kan in paragraaf 1.2 gesien word. Twee veranderlikes kan perfek gekorreleer, gedeeltelik gekorreleer of ongekorreleerd wees. Paragraaf 1.3 wys duidelik hoe die drie verskillende moontlikhede lyk wanneer dit op ŉ verspreidingsgrafiek voorgestel word. Bladsy 32

Studie-eenheid 3: Verhouding tussen veranderlikes

GMT Bedryfswiskunde Nog voorbeelde kan in paragraaf 12.2 van Wegner, 2014: 300-305 gevind word. 3.6.2

Bereken die korrelasiekoëffisiënt en bepaaldheidskoëffisiënt tussen twee veranderlikes

Bestudeer handboek: Hoofstuk 11, Paragraaf 2.1-2.6 Die graad van korrelasie tussen twee veranderlikes word gemeet deur Pearson’s korrelasiekoëffisiënt, r. Hoe nader r aan +1 of -1 is, hoe sterker is die verhouding. Pearson’s korrelasiekoëffisiënt word gebruik om te meet hoe sterk die verband tussen twee veranderlikes is. Die formule vir korrelasiekoëffisiënt word in paragraaf 2.1 gegee. Korrelasiekoëffisiënt, r moet altyd tussen -1 en +1 lê. As ŉ waarde buite die grense gekry word, is daar ŉ fout begaan. Die volgende korrelasies word in Weber gevind: •

r = +1 beteken perfekte positiewe korrelasie

Figuur 3.1: Perfekte positiewe lineêre korrelasie (Wegner, 2014: Figuur 12.11, bladsy 307) •

r = -1 beteken perfekte negatiewe korrelasie

Figuur 3.2: Perfekte negatiewe korrelasie (Wegner, 2014: Figuur 12.12, bladsy 307)

Studie-eenheid 3: Verhouding tussen veranderlikes

Bladsy 33

GMT Bedryfswiskunde •

r = 0 beteken veranderlikes is ongekorreleerd

Figuur 3.3: Geen lineêre korrelasie (Wegner, 2014: Figuur 12.17, bladsy 309) ŉ Voorbeeld van korrelasiekoëffisiënt word in paragraaf 2.3 gegee. Paragraaf 12.3 in Wegner, 2014: 305-309, gee nog verduidelikings van korrelasiekoëffisiënt. Figuur 12.10 in Wegner, 2014: 307 gee ŉ verduideliking van hoe om korrelasiekoëffisiënt te interpreteer.

Figuur 3.4: Grafiese voorstelling van interpretasie van ŉ korrelasie koëffisiënt (Wegner, 2014: Figuur 12.10, bladsy 307) Bepaaldheidskoëffisiënt, r2, meet die proporsie van die totale variasie in waarde van een veranderlike wat verduidelik kan word in die waarde van ŉ ander veranderlike. Die bepaaldheidskoëffisiënt lê tussen 0 en 1 of 0% en 100%. Die interpretasie van die r2 koëffisiënt kan soos volg gesien word:

Figuur 3.5: Interpretasie van die r2 koëffisiënt (Wegner, 2014: Figuur 12.18, bladsy 310) Spearman’s rangkorrelasiekoëffisiënt word gebruik wanneer data in terme van orde of rang gegee word, eerder as werklike waardes. Die formule word in paragraaf 3.1 gegee. Die

Bladsy 34

Studie-eenheid 3: Verhouding tussen veranderlikes

GMT Bedryfswiskunde interpretasie kan op dieselfde wyse as die gewone korrelasiekoëffisiënt gedoen word. Die waarde lê tussen -1 en +1. 3.7

Eenvoudige regressie

Bestudeer handboek: Hoofstuk 11, Paragraaf 4.1-6.2 Bestudeer hierdie afdeling en maak seker dat jy tegnieke van eenvoudige regressie kan toepas. 3.7.1

Regressie vergelyking

Die vergelyking van ŉ reguitlyn ( = < + ) word gebruik as daar ŉ lineêre verhouding tussen die twee veranderlikes is. Die vergelyking kan gebruik word by voorspelling. Daar word na twee metodes gekyk, verspreidingsgrafiekmetode en eenvoudige lineêre regressieanalise. Paragraaf 5 toon die verspreidingsgrafiekmetode en paragraaf 6 die lineêre regressie-analise. 3.8

Samevatting

Na voltooiing van die eenheid sal jy oor kennis van korrelasie beskik. Korrelasie kan positief of negatief wees. Die graad van korrelasie tussen twee veranderlikes word gemeet deur Pearson’s korrelasiekoëffisiënt, r. Jy moet ook kennis dra van Spearman se rangkorrelasiekoëffisiënt, asook hoe om ŉ verspreidingsgrafiek voor te stel. 3.9

Selfevaluering

As hersiening van die temas behandel in hierdie studie-eenheid kan jy weer deur al die voorbeelde werk wat bespreek is. Terugvoer en die antwoorde word telkens gegee. Bestudeer ook die hoofstukopsommings (Chapter Roundup) aan die einde van die hoofstukke wat vir studie aangedui is en doen die toetse (Quick Quiz) wat aangebied word. Jy sal merk dat die antwoorde ook voorsien word. Probeer eers om die toetse te doen voordat jy na die antwoorde kyk. Dit is ook net nodig om die toetse te doen wat betrekking het op die paragrawe wat vir studie aangedui is. Die toetse verskyn op die volgende bladsye: Hoofstuk 11, (bladsy 283-284) Jy word ook verwys na die moontlike eksamenvrae (Exam Question Bank) aan die einde van die handboek. Doen telkens net die vrae wat van toepassing is op die werk wat vir hierdie eenheid voorgeskryf is.

Studie-eenheid 3: Verhouding tussen veranderlikes

Bladsy 35

GMT Bedryfswiskunde

Notas

Bladsy 36

Studie-eenheid 3: Verhouding tussen veranderlikes

GMT Bedryfswiskunde

STUDIE-EENHEID 4: VOORSPELLING

4.1

Studie-eenheid leeruitkomste

Kennis en begrip Na voltooiing van Studie-eenheid 4 sal jy in staat wees om jou kennis en begrip te demonstreer van die volgende: •

Tegnieke vir voorspelling

•

Voorbereiding van voorspellings

Vaardighede Jy sal ook in staat wees om:

4.2

•

tydreeksanalise grafies te doen;

•

neigings in tydreekse raak te sien en te verduidelik;

•

seisoenale variasies te doen;

Voorgeskrewe handboek

Bykomende handboek

Bykomende materiaal kan gevind word in: Wegner, T. 2012. Applied Business Statistics: Methods and Excel-based Applications. 3rd Ed. Cape Town: Juta. ISBN: 9780702177743 Hoofstuk 14, bl. 361-363

Studie-eenheid 4: Voorspelling

Bladsy 37

GMT Bedryfswiskunde 4.4

Hoe kan jy jou begrip verbeter?

Jy moet seker maak dat jy die volgende terme verstaan: Sleutelwoord

Omskrywing

Tydreeks

Reeks syfers of waardes wat oor ŉ tydperk opgeneem word.

Tendens

Onderliggende langtermynbeweging in die waardes van data oor ŉ tydperk.

Seisoenale variasies

Dit is korttermynskommelinge in opgeneemde waardes as gevolg van verskillende omstandighede.

Sikliese variasies

Mediumtermynveranderinge wat veroorsaak word deur omstandighede.

4.5

Inleiding

In sommige situasies is daar geen onafhanklike veranderlikes van waar ŉ voorspelling van ŉ afhanklike veranderlike gemaak kan word nie. In hierdie studie-eenheid gaan daar gekyk word na die tydreeksanalise. Daar word gekyk na data van die verlede oor die betrokke veranderlike waaroor die voorspelling gemaak moet word. Daar word gekyk na patrone en daar word dan aanvaar dat die patrone in die toekoms sal herhaal. Dit maak voorspelling moontlik. Belangrik: Deurgaans in die handboek word voorbeelde en verwerkings gegee. Werk telkens deur die voorbeelde totdat jy die konsepte en verwerkings verstaan. Maak ook seker dat jy toepassings op praktiese voorbeelde kan doen. 4.6

Demonstreer tegnieke vir voorspelling en voorbereiding van voorspelling

Bestudeer handboek: Paragraaf 1.1-1.3, 2.1-2.6, 3.1-3.6, 4.1-4.3 & 5.1-5.2 4.6.1

Voorbereiding van ŉ tydreeksgrafiek

Bestudeer handboek: Hoofstuk 12, Paragraaf 1.1-1.3 Voorbeelde van tydreekse sluit in: Maandelikse verkope oor die afgelope twee jaar Sien die voorbeeld van kwartaallikse verkope hieronder:

Bladsy 38

Studie-eenheid 4: Voorspelling

GMT Bedryfswiskunde

Figuur 4.1: Lyngrafiek van kwartaallikse skoenverkope (Wegner, 2014: Figuur 14.1, bladsy 361) Totale jaarlikse kostes vir die laaste tien jaar ŉ Tydreeks het vier komponente: •

Tendens (T)

•

Seisoenale variasies (C)

•

Sikliese variasies (S)

•

Ewekansige variasies (I)

Tydreeks kan ŉ opwaartse, afwaartse of statiese tendens hê. In paragraaf 1.3 kan voorbeelde gesien word van hoe elkeen op ŉ grafiek lyk. 4.6.2

Identifiseer tendense en patrone

Bestudeer handboek: Hoofstuk 12, Paragraaf 2.1-2.6 Metodes wat gebruik word om tendense te vind: •

Tendenslyn (Trendline)

Studie-eenheid 4: Voorspelling

Bladsy 39

GMT Bedryfswiskunde

Figuur 4.2: Illustrasie van ŉ tendenslyn in ŉ tydreeks (Wegner, 2014: Figuur 14.2, bladsy 362)

•

Lineêre regressie-analise

•

Bewegende gemiddeldes

Bewegende gemiddeldes is ŉ gemiddeld van die resultate van ŉ vaste aantal periodes. ŉ Voorbeelde word gevind in paragrawe 2.3 en 2.6. Bewegende gemiddelde se periode hang af van die omstandighede en aard van die tydreeks. 4.6.3

Seisoenale variasies

Bestudeer handboek: Hoofstuk 12, Paragraaf 3.1-3.6 Dit is die verskil tussen die werklike en tendenssyfers. Dit kan geskat word deur die additiewe model (additive model) (Y = T + S + R, seisoenale variasies = Y-T) of die multiplikatiewe model (multiplicative model) (Y = T X S X R, met seisoenale variasies = Y ÷ T). Duidelike stappe word in paragraaf 3.1 gegee. ŉ Voorbeeld kom in paragraaf 3.2 voor. Let op dat variasies rondom die tendenslyn mekaar moet uitkanselleer en optel na 0. Indien nie, moet die gemiddelde seisoenale skattings aangepas word, sodat hul optel na 0. Om die seisoenale komponent te soek deur die multiplikatiewe model te gebruik waar elke werklike syfer as ŉ proporsie van die tendens uitgedruk word. Dit word ook soms die proporsionele model genoem. ŉ Voorbeeld kom in paragraaf 3.4 voor. Die multiplikatiewe model is beter om vir voorspelling te gebruik as die additiewe model wanneer die tendens oor ŉ tydperk toeneem of afneem.

Bladsy 40

Studie-eenheid 4: Voorspelling

GMT Bedryfswiskunde

Figuur 4.3: Illustrasie van seisoenale variasies in ŉ tydreeks (Wegner, 2014: Figuur 14.4, bladsy 363) 4.6.4

Voorspellings

Bestudeer handboek: Hoofstuk 12, Paragraaf 4.1-4.3 Voorspellings kan gemaak word deur die tendens te ekstrapoleer en die seisoenale variasies aan te pas. ŉ Voorbeeld kom in paragraaf 4.2 voor. Om ŉ voorspelling te maak: 1. Plot die tendenslyn 2. Ekstrapoleer die tendenslyn 3. Pas die voorspellingstendens aan Voorspelling deur lineêre regressie-analise kan in paragraaf 4.3 gevind word. 4.6.5

Beperkings van voorspellings

Bestudeer handboek: Hoofstuk 12, Paragraaf 5.1-5.2 Alle voorspellings is onderhewig aan foute. Daar is ŉ aantal faktore wat die betroubaarheid van voorspellings kan beïnvloed. Die betroubaarheid van die tydreeksanalise-voorspelling en die betroubaarheid van die regressieanalise-voorspelling kan gevind word in paragraaf 5.1-5.2. 4.7

Samevatting

Jy behoort nou tydreekse te verstaan en die teorie op voorbeelde toe te pas. Die vier komponente ter sprake is tendens, seisoenale variasies, bewegende variasies en ewekansige variasie. Maak seker dat jy die verskil verstaan en kan verduidelik en toepas. Tendense is onder die loep geneem. Daar word aanvaar dat die tendense in die toekoms sal herhaal. Dit maak voorspellings moontlik.

Studie-eenheid 4: Voorspelling

Bladsy 41

GMT Bedryfswiskunde 4.8

Selfevaluering

As hersiening van die onderwerp in hierdie studie-eenheid behandel, kan jy weer deur al die voorbeelde werk wat bespreek is. Terugvoer en die antwoorde word telkens gegee. Bestudeer ook die hoofstukopsommings (Chapter Roundup) aan die einde van die hoofstukke wat vir studie aangedui is en doen die toetse (Quick Quiz) wat aangebied word. Jy sal merk dat die antwoorde ook voorsien word. Probeer eers om die toetse te doen voordat jy na die antwoorde kyk. Dit is ook net nodig om die toetse te doen wat betrekking het op die paragrawe wat vir studie aangedui is. Die toetse verskyn op die volgende bladsye: Hoofstuk 12, (bladsy 307-308) Jy word ook verwys na die moontlike eksamenvrae (Exam Question Bank) aan die einde van die handboek. Doen telkens net die vrae wat van toepassing is op die werk wat vir hierdie eenheid voorgeskryf is.

Bladsy 42

Studie-eenheid 4: Voorspelling

GMT Bedryfswiskunde

STUDIE-EENHEID 5: FINANSIËLE WISKUNDE EN SIGBLAAIE

5.1

Studie-eenheid leeruitkomste

Kennis en begrip Na voltooiing van Studie-eenheid 5 sal jy in staat wees om jou kennis en begrip te demonstreer van die volgende: •

Huidige en toekomstige waardes van kontantvloei

•

Finansiële wiskundige tegnieke

•

Gebruik van sigblaaie vir die berekeninge en voorstelling van data

Vaardighede Jy sal ook in staat wees om:

5.2

•

enkelvoudige en saamgestelde rente te bereken;

•

huidige en toekomstige waardes te bereken;

•

leningterugbetalings te bereken;

•

funksies en gebruik van sigblaaie te verduidelik.

Voorgeskrewe handboek

BPP LEARNING MEDIA. 2012. CIMA Certificate: Fundamentals of Business Mathematics. 2nd Ed. United Kingdom: London. Vir die doeleindes van hierdie studie-eenheid moet u die volgende afdelings bestudeer: Hoofstuk 9 , paragraaf 1.1-2.2, 5.1-5.7, 6.1-6.7 Hoofstuk 10, paragraaf 1.1-2.2, 3.1-3.11, 6.1 Hoofstuk 13, paragraaf 1.1-1.2, 2.1-2.2, 3.1-3.2

Studie-eenheid 5: Finansiële wiskunde en sigblaaie

Bladsy 43

GMT Bedryfswiskunde 5.3

Hoe kan jy jou begrip verbeter?

Jy moet seker maak dat jy die volgende terme verstaan: Sleutelwoord

Omskrywing

Annuïteit

ŉ Konstante som geld wat ontvang of betaal word vir ŉ sekere aantal jare.

Enkelvoudige rente

Dit is rente wat elke jaar in gelyke bedrae verdien word.

Interne

Bepaal die rentekoers waarteen die netto huidige waarde 0 is.

opbrengskoers Perpetuïteit

Is ŉ annuïteit wat vir altyd aangaan.

(voortdurende) Saamgestelde rente

Soos wat rente verdien word, word dit by die oorspronklike belegging gevoeg.

Verdiskontering 5.4

Dit is die teenoorgestelde van saamgestelde.

Inleiding

Die studie-eenheid brei uit op die gebruik van wiskunde en kyk na die aspekte van finansiële analise wat in ondernemings gebruik word. Finansiële wiskunde hanteer probleme oor investeringsgeld of kapitaal. Indien ŉ maatskappy geld in ŉ belegging plaas, word ŉ finansiële terugkeer verwag. Die twee belangrikste tegnieke om rente te bereken is saamgestelde rente en verdiskontering. Belangrik: Deurgaans in die handboek word voorbeelde en verwerkings gegee. Werk telkens deur die voorbeelde totdat jy die konsepte en verwerkings verstaan. Maak ook seker dat jy toepassings op praktiese voorbeelde kan doen. 5.5

Huidige en toekomstige waardes van kontantvloei

Bestudeer handboek: Hoofstuk 9 & 10 5.5.1

Enkelvoudige en saamgestelde rente

Bestudeer handboek: Hoofstuk 9, paragraaf 1.1-2.2 Hierdie konsep mag vir sommige nie onbekend wees nie. Rente is die bedrag geld wat ŉ belegging oor ŉ tydperk verdien. Die formules verskyn in paragraaf 1.1 en 2.2 en word hier opgesom: Enkelvoudige rente: Y = Z2[ + \. ^3

Bladsy 44

Studie-eenheid 5: Finansiële wiskunde en sigblaaie

GMT Bedryfswiskunde Y = Z2[ + \3^

Saamgestelde rente:

In beide gevalle is: A = Eindbedrag P = Beginbedrag i = rentekoers (uitgedruk as ŉ proporsie byvoorbeeld 10% = 0,1 of

[_ [__

)

n = aantal jare Die bedrag rente verdien/betaal = A - P Voorbeelde van enkelvoudige en saamgestelde rente kom in paragraaf 1.2 en 2.2 voor. Dit is belangrik dat jy berekeninge van eindbedrag, beginbedrag, rentekoers en aantal jare kan doen. 5.5.2

Annuïteite en perpetuïteite

Bestudeer handboek: Hoofstuk 10, paragraaf 3.1-3.11 Annuïteit is ŉ konstante som geld wat ontvang of betaal word vir ŉ sekere aantal jare. Die formule is:

Z` =

[ a

2[ −

[ 2[ba3^

)

Voorbeelde verskyn in paragraaf 3.3-3.6. Annuïteittabelle: Y^^cïef\e 2g3 =

hc\i\jf kggaif lg^ g^^cïef\e Y^^cïef\emgneoa

Voorbeeld in paragraaf 3.8. Perpetuïteit is ŉ annuïteit wat vir altyd aanhou, in plaas daarvan dat dit na ŉ aantal jare gestaak word. Die huidige waarde van ŉ perpetuïteit is Z` =

[ a

, waar r die koste van

kapitaal as proporsie is. Voorbeelde kan in paragraaf 3.10-3.11 gevind word. 5.5.3

Lenings en verbande

Bestudeer handboek: Hoofstuk 9, paragraaf 5.1 – 5.7 Terugbetaling van lenings is nie onbekend aan mense nie. Kyk na die voorbeeld in paragraaf 5.2 as verduideliking. Die gebruik van ŉ tydlyn maak die berekeninge baie makliker, daar kan dan duidelik gesien word wanneer terugbetalings gemaak word. Die formule wat gebruik word, is saamgestelde rente se formule: Y = Z2[ + \3^ . Delgingsfondse (sinking funds) is die som van die gereelde besparings en leningsterugbetalings (loan repayments) is die som van die gereelde terugbetalings. Die finale waarde van ŉ lening kan gesien word as die ekwivalent aan ŉ delgingsfonds.

Studie-eenheid 5: Finansiële wiskunde en sigblaaie

Bladsy 45

GMT Bedryfswiskunde Verbandterugbetalings het verskeie opsies vir die terugbetaling van die lening. Stappe word in paragraaf 5.5 gegee van hoe ŉ verband terugbetaling benader moet word (die som van terugbetalings = finale waarde van verband). Dit is baie belangrik om die formules te ken. ŉ Voorbeeld van verbande word in paragraaf 5.7 gegee. Die finale waarde van ŉ lening/verband kan aan ŉ delgingsfonds gekoppel word. 5.5.4

Verdiskontering

Bestudeer handboek: Hoofstuk 9, paragraaf 6.1-6.7 Die konsep van huidige waarde: •

Dit is die waarde van ŉ bedrag vandag wat in die toekoms ontvang word.

•

Dit is die bedrag wat vandag geïnvesteer word om ŉ gegewe bedrag in die toekoms op te lewer.

Verdiskontering is die teenoorgestelde van saamgestelde. Die formule is: p = q ×

[ 2[ba3^

S = die som wat ontvang word na ŉ tydperk X = huidige waarde van die som r = opbrengskoers (koste van kapitaal) n = aantal tydperiodes (gewoonlik in jare) Voorbeelde verskyn in paragraaf 6.3-6.4. Huidigewaardetabelle verskyn in die bylaag op bl. 324 van die handboek. ŉ Voorbeeld verskyn in paragraaf 6.6. die tabel kan slegs gebruik word vir telgetalle tot en met 20%. 5.5.5

Aandeelhouerwaarde

Bestudeer handboek: Hoofstuk 10, paragraaf 6.1 Aandeelhouers is die eienaars van ŉ maatskappy. Die rykdom van aandeelhouers kom van dividende ontvang en die markwaarde van aandele. Aandeelhouers is nie verantwoordelik vir die dag-tot-dag bestuur van die maatskappy nie. 5.5.6

Netto huidige waarde en interne opbrengskoers

Bestudeer handboek: Hoofstuk 10, paragraaf 1.1-2.2 Dit staan bekend as die verdiskontering-kontantvloeitegniek wat gebruik word om kapitaaluitgawesprojekte te evalueer. Die netto huidige waarde bereken die huidige

Bladsy 46

Studie-eenheid 5: Finansiële wiskunde en sigblaaie

GMT Bedryfswiskunde waardes van alle items van inkomste en uitgawes wat verband hou met die belegging teen ŉ gegewe koste. As dit positief is, is die belegging aanvaarbaar en as dit negatief is, is die belegging onaanvaarbaar. Voorbeelde verskyn in paragraaf 1.1 en 1.4. Die beperkings van netto huidige waarde word in paragraaf 1.5 bespreek. Die interne opbrengskoersmetode bepaal die rentekoers waarteen die netto huidige waarde 0 is. Die formule verskyn in paragraaf 2.1 en ŉ voorbeeld verskyn in paragraaf 2.2. 5.6

Sigblaaie

Bestudeer handboek: Hoofstuk 13 5.6.1

Gebruike

Bestudeer handboek: Hoofstuk 13, Paragraaf 1.1 Sigblaaie word byvoorbeeld gebruik vir: •

Voorbereiding van bestuursrekeninge

•

Kontantvloei-analise

•

Inkomste- en koste-analise

Basiese voorbeelde verskyn in paragraaf 1.1. 5.6.2

Opsomming van Excel-funksies

Bestudeer handboek: Hoofstuk 13, Paragraaf 1.2 Die formules wat benodig word om basiese berekeninge in Excel te kan doen verskyn in paragraaf 1.2. Dit is baie belangrik om die formules in Excel te oefen totdat jy dit met gemak kan gebruik. 5.6.3

Sigbladontwerp

Bestudeer handboek: Hoofstuk 13, Paragraaf 2.1-2.2 Eienskappe van ŉ goeie sigblad: •

Sover as moontlik sonder foute

•

Maklik om te gebruik

•

Maklik om te lees en te verstaan

•

Maklik om te verander

•

Verskaf verwagte resultate

Studie-eenheid 5: Finansiële wiskunde en sigblaaie

Bladsy 47

GMT Bedryfswiskunde Reëls wat gevolg moet word om aan die bogenoemde eienskappe te voldoen, verskyn in paragraaf 2.1 Aspekte soos drie-dimensionele sigblaaie, makro’s, template en datainvoervorms word in paragraaf 2.2.1-2.2.4 bespreek. 5.6.4

Voordele en nadele

Bestudeer handboek: Hoofstuk 13, Paragraaf 3.1 – 3.2 Die opstel en gebruik van sigblaaie in Excel het sy voordele en nadele en dit is belangrik om dit te ken. Die voordele en nadele hou ten nouste verband met die eienskappe. Dit is altyd belangrik om ŉ sigblad so eenvoudig as moontlik te hou. Indien sigblaaie nie aan die eienskappe van goeie sigblaaie voldoen nie, kan dit die onderneming benadeel. 5.7

Samevatting

Finansiële wiskunde gaan oor die investering van geld of kapitaal. Die twee hoof tegnieke waarna daar gekyk is, is saamgestelde rente en verdiskontering. Die belangrikste gebruik van verdiskontering is in die evaluasie van ŉ belegging. Die twee metodes waarna daar gekyk is, is netto huidige waarde en interne opbrengskoers. Vaardighede om sigblaaie te gebruik is baie belangrik en moet geoefen word. 5.8

Selfevaluering

As hersiening van die onderwerpe in hierdie studie-eenheid behandel kan jy weer deur al die voorbeelde werk wat bespreek is. Terugvoer en die antwoorde word telkens gegee. Bestudeer ook die hoofstukopsommings (Chapter Roundup) aan die einde van die hoofstukke wat vir studie aangedui is en doen die toetse (Quick Quiz) wat aangebied word. Jy sal merk dat die antwoorde ook voorsien word. Probeer eers om die toetse te doen voordat jy na die antwoorde kyk. Dit is ook net nodig om die toetse te doen wat betrekking het op die paragrawe wat vir studie aangedui is. Die toetse verskyn op die volgende bladsye: •

Hoofstuk 9 (bladsy 240-242)

•

Hoofstuk 10 (bladsy 263-264)

•

Hoofstuk 13 (bladsy 317)

Jy word ook verwys na die moontlike eksamenvrae (Exam Question Bank) aan die einde van die handboek. Doen telkens net die vrae wat van toepassing is op die werk wat vir hierdie eenheid voorgeskryf is.

Bladsy 48

Studie-eenheid 5: Finansiële wiskunde en sigblaaie

GMT Bedryfswiskunde

WOORDELYS IN AFRIKAANS EN ENGELS Afrikaans

Engels

Aandeelhouerswaarde

Shareholder value

Afhanklike gebeurtenisse

Dependent events

Annuïteite

Annuities

Bepaaldheidskoëffisiënt

Coefficient of determination

Beperkings

Limitations

Enkelvoudige rente

Simple interest

Frekwensieverspreiding

Frequency distribution

Huidige waarde

Present value

Interne opbrengskoers

Internal rate of return

Komplementêre uitkomste

Complementary outcomes

Korrelasiekoëffisiënt

Correlation coefficient

Lening

Loan

Lineêre regressie-analise

Linear regression analysis

Magte

Powers

Mediaan

Median

Modus/modale waarde

Mode

Multiplikatiewe model

Multiplicative model

Netto huidige waarde

Net present value

Normaalverspreiding

Normal distribution

Ogief

Ogive

Omvang

Range

Onderling-uitsluitend

Mutually exclusive

Paslyn/Tendenslyn

Trend line

Proporsie

Proportion

Rekeningkundige gemiddeld

Arithmetic mean

Woordelys in Afrikaans en Engels

Bladsy 49

GMT Bedryfswiskunde

Rekeningkundige gemiddeld

Arithmetic mean

Saamgestelde rente

Compound interest

Seisoenale variasies

Seasonal variations

Sigblad

Spreadsheet

Sikliese variasies

Cyclical variations

Sirkelgrafiek

Pie chart

Staafgrafiek

Bar charts

Standaardafwyking

Standard deviation

Tendens

Trend

Tendenslyn

Trend line

Tydreeks

Time series

Variansie

Variance

Verband

Mortgage

Verdiskontering

Discounting

Verhouding

Ratio

Verspreidingsdiagram

Scatter diagram

Verspreidingsgrafiek

Scatter graph

Verwagte waarde

Expected value

Visuele voorstelling

Visual display

Voorspelling

Forecasting

Waarskynlikheid

Probability

Wortels

Roots

Bladsy 50

Woordelys in Afrikaans en Engels

Bedryfswiskunde Handboek • Wegner, T. 2012. Applied Business Statistics: Methods and Excel-based Applications. 3rd Ed. Cape Town: Juta.

Goeie begrip van die basiese wiskunde wat

menigvuldiging en optel van waarskynlikhede, asook die be-

geassosieer word met die bestuur van sakebedrywighede is noodsaaklik vir enige bestuursrekenmeester. Bedryfswiskunde vorm die grondslag van berekeninge uitvoer om die waarskynlikheid van gebeure waar

rekening van voorwaardelike waarskynlikhede word behandel. Benewens die waarskynlikheid dat ŉ bepaalde finansiële gebeurtenis kan plaasvind, is daar ook die kwessie van risiko en onsekerheid wat ondersoek moet word.

risiko en onsekerheid teenwoordig is te evalueer. Dit sluit aan by byna alle finansiële aspekte van ŉ sakeonderneming soos finansiële rekeningkunde, finansiële bestuur, beleggingsbestuur, belasting, ouditkunde en die ekonomie se invloed

Bedryfswiskunde lê berekeninge ten grondslag, waar rentekoerse en tydsverloop in ag geneem word, soos met die konsep van tydwaarde van geld. Deur die effektiewe

op die sakeonderneming. Die basiese wiskundige formules en konsepte word behandel, onder andere, die berekening van persentasies en verhoudings, die oplossing van basiese lineêre en kwadratiese vergelykings en ongelykhede, asook

voorbereiding van grafieke en tabelle in bruikbare opgesomde formate, asook in Excel-sigblaaie (spreadsheets), kan gebruikers van bedryfsinligting in ondernemings sinvolle data daaruit neem. Hierdie data vervat in grafieke en ta-

die voorbereiding van grafieke om hierdie lineêre en kwadratiese vergelykings grafies voor te stel.

belle word geanaliseer met behulp van tegnieke soos die Pareto 80:20 reël, eenvoudige regressie vergelykings en die

Die voorbereiding van vooruitskattings en die vasstelling van verwantskappe tussen veranderlikes speel ŉ integrale deel in

berekening van ŉ korrelasie koëffisiënt tussen twee veranderlikes om besluite daarop te kan baseer. Nog ŉ area van bedryfswiskunde behels die gebruik van tegnieke soos

die opstel van begrotings as finansiële beplanning en beheer in ŉ sakeonderneming. Die beginsels vir die berekening van eenvoudige waarskynlikhede wat insluit die reëls van ver-

ŉ tydsreeksmodel om berekende vooruitskatting te maak. Vooruitskattings vorm die kern van die opstel van begrotings deur die bestuursrekenmeester.