Fractales: definición y ejercicios con FractInt

¿Qué es un fractal?

Propiedades Fractales deterministas Aplicaciones reales Diagramas de bifurcación con Fractint G e o m e t r í a d e A y e r y H o y ________________________________________________F r a c t a l e s ________________________________________________A l b a G o n z á l e z J i m é n e z

¿Qué es un fractal?

Al contrario que en la geometría Euclídea, en la que estamos acostumbrados a encontrarnos objetos geométricos de dimensión entera (punto=1, línea=2, plano=3...), en los fractales tenemos

a posibilidad de definir objetos con dimensiones fraccionarias. Y

es que desde el punto de vista geométrico no existe ningún problema en asignar una dimensión no entera a un elemento.

Por ejemplo, en el siglo XIX Cantor definió una construcción recursiva (fig.1): simplemente dividiendo un segmento de longitud L en tres partes iguales al que se le elimina la central, y a cada segmento que queda aplicarle la misma operación. Y así sucesivamente. El conjunto de puntos de Cantor, o "del tercio central", tiene una dimensión fraccionaria entre la unidad del conjunto de partida (la línea de dimensión 1) y el cero del punto que en el límite de realizar esta operación infintas veces debería quedar.

También es cierto que al principio de su descubrimiento fueron tachados de monstruos

fig. 1

geométricos por matemáticos como Poincaré, en la actualidad su uso está extendido a ámbitos como la meteorología, el modelado del tráfico en redes, técnicas de compresión digitales, análisis bursátil, crecimiento de poblaciones... El nombre de fractal se lo dió Mandelbrot y significa romper, crear fragmentos irregulares.

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Propiedades.

Además, en el ejemplo de Cantor vemos la segunda propiedad de estas estructuras: la autosemejanza, es decir, la simetría de escala. En estos sistemas, cuando ampliamos una parte del mismo, este pedazo tiene la misma estructura que el conjunto total (fig. 2).

El ejemplo característico es el de el romanescu (fig.3), aunque no hay que olvidar que esta semejanza es meramente estadística y definida a una cierta esta escala. Por contra, el conjunto de Cantor es un fractal regular, o determinista, porque presenta autosemejanza a todas las escalas. fig. 2

Con estas dos ideas, ya podemos definir la idea de fractal: una forma geométrica compleja con estructuras autosemejantea a cualquier escala, aunque esta propiedad puede presentarse en distinto grado (fig. 4).

El primero en nombrarlos fue Benît Mandelbrot: se dio cuenta de que es imposible describir ciertos fenómenos y ciertas geometrías de la naturaleza utilizando únicamente las ideas de Euclides de un universo formado por rectas, puntos y planos. fig. 3

fig. 4 G e o m e t r í a d e A y e r y H o y ________________________________________________F r a c t a l e s ________________________________________________A l b a G o n z á l e z J i m é n e z

Fractales deterministas Curva de Koch La curva de Koch (fig.5), al igual que el conjunto de Cantor, se construye mediante un proceso iterativo en el que se utliza como desencadenente un segmento de longitud unidad. Lo dividimos en tres partes iguales y eliminamos el segmento central, sustituyéndolo por dos segmentos oblícuos de longitud 1/3. A esta etapa se le denomina generador de la curva. En la siguente etapa dividiremos cada segmento restante y lo reemplazaremos con la misma ley anterior.

Así, repitiendo infinitas veces, lograremos una longitud infinita: en cada etapa la longitud de la curva aumenta 4/3 la longitud de la etapa anterior. A efectos prácticos, este heche hace que sea inmedible (sería infinta aunque el segmento inicial no lo fuese).

fig. 5

Isla de Koch También llamado copo de nieve, esta estructura está formada por tres curvas de Koch rotadas formanda curva cerrada. A pesar de estar rodeado por una curva infinita (tres curvas de Koch), su área es finita y es medible. (fig.6) Fractales de Cesaro Derivan de la isla de Koch pero parten de un cuadrado. (fig.7)

fig. 6

fig. 7

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Triángulo de Sierpinski El triángulo de Sierpinski se obtiene a partir de un triánguo equilátero dividido en cuatro triángulos iguales. Cada vez, eliminamos el central, que es un hueco que no pertenece a la figura. (fig.8)

Alfombra de Sierpinski Análogo al triángulo, en este caso el generador es un cuadrado de área unidad al que se elmina el cuadrado central de lado 1/3. Al resto de los 8 cuadrados restantes se le aplica la misma ley.(fig.9) Las secciones perpendiculares son curvas de Koch.

Esponja de Menger Cada cara de un cubo es una alfombra de Sierpinski, conectando los huecos originados con las caras paralelas. fig. 8

fig. 9

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Aplicaciones reales El efecto Richarsdson El estudio de la longitud de la costa de una isla es un ejemplo paradigmático porque se entiende que fue el origen de la geometría fractal. En el artículo de Mandelbot de 1967 How long is the coast of Britaint? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension se basa en el estudio de Lewis Fry Richardson en el que recopiló datos acerca de la longitud de las fronteras, dándose cuenta de que ésta variaba dependiendo de la unidad utilizada para medir. La costa de Gran Bretaña variará enormemente dependiendo de si la unidad elegida es de 200 kim, 100 km o 50 kim (fig 10), creciendo a medida que disminuimos la unidad de medida.

En otras palabras, el valor de un perímetro crece indefinidamente a medida que aumentamos la escala. A unidaad de medida ínfima, longitud infinita. Este fenómeno se conoce como efecto Richardson.

fig. 10 G e o m e t r í a d e A y e r y H o y ________________________________________________F r a c t a l e s ________________________________________________A l b a G o n z á l e z J i m é n e z

Árboles de Feigenbaum o diagramas de bifurcación con Fractint El objetivo de este estudio es investigar las propiedades de una iteración de la bifurcación de horca(fig.11), es decir, aquella en la que un punto se dedobla en dos. Cuando esto ocurre, el punto se vuelve inestable y así aparecen dos nuevos puntos fijos estables.

Cuando este proceso se repite infinidad de veces, cuando de cada pareja de puntos salen otra pareja, ocurren cosas interesantes: se produce una cascada de duplicación de periodo(fig .12). Estas estructuras son un punto de contacto entre el caos y los fractales.

fig. 11

Con este sistema se pueden representar ecuaciones fundamentales en el estudio de fractales como es la ecuación logística, referida al estudio del crecimiento de poblaciones, desde la extinción hasta la superpoblación.

Lo más característico de estas estructuras son las regiones de caos del diagrama de bifurcación: la region caótica no está desprovista de estructura, ya que a ciertos intervalos se encuentran diversas ventantas de regularidad(fig.13),correspondientes a órbitas concretas. En cada línea de la ventana se produce otra cascada de duplicaciones de

fig. 12

periodo por bifurcaciones de horca: nos encontramos ante el fenómeno de la autosemejanza, donde vemos que una copia del diagrama de bifurcación aparece en miniatura en la ventana. Se vuelve a producir el caos al comenzar la cascada de bifurcaciones, como en un principio. Además se observa que la distancia entre dos bifurcaiones consecutivas disminuye a medida que nos acercamos a un valor crítico: aparece el caos. Existe un punto que atrae más deprisa hacia sí las trayectorias circundantes.

En el eje vertical se representa para cada punto el valor de los puntos

atractores en x. En un principio se observa que se produce rápidamente una bifurcación,

fig. 13

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pero se mantiene estable: a cada línea le corresponde un único punto fijo. Pero enseguida las duplicaciones de período nos indican que la órbitas han caído en atractores periódicos.

Cuando el valor da las bifurcaciones tiende al infinito consideramos el sistema caótico.

Cuando llegamos a los espacios vacíos o ventanas, el comportamiento vuelve a ser periódico(fig.14).

fig. 14

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Con

el

programa

Fractint

comenzamos a jugar con los parámetros. En la figura 15 vemos la

configuración

convencional,

donde se aprecia la primera ramificación,

la

cascada

de

duplicación de periodo y las grandes regularidaad.

ventanas En

la

de segunda

imagen (fig.16) aumentamos el fig. 15

rango de visión para descubrir que en los límites de las abcisas se produce una dispersión de puntos que parecen converger de nuevo en la línea generadora original.

fig. 16

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En la figura 17 experimentamos con

el

número

de

ramas

originales paralelas y cómo se superponen:

las

regularidad

se

ventanas

de

producen

en

intervalos análogos. En la figura 18 nos encontramos con una visión lejana del conjunto, confirmando una

dispersión

en

el

eje

de

ordenadas y una tendencia de fig. 17

los puntos a aglutinarse en una línea en las abcisas.

fig. 18

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En la figura 19 vemos un zoom de la primera bifurcación de horca y cómo rápidamente las iteracioes resultan

en

una

estructura

caótica. En la figura 20 se muestra una

superposición

de

varias

ramas con diferencias en sus condiciones

iniciales:

aún

diferentes,

existe

una

convergencia fig. 19

en

el

comportamiento, bifurcándose y llegando

al

comportamiento

caótico de forma homogénea. La última figura muesta una visión lejana de este fractal.

fig. 20

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fig. 21

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Bibliografía: * Programa gratuito Fractint

* GUZMÁN, Miguel; MARTÍN, Miguel Ángel; MORÁN, Manuel; REYES, Miguel.Estructuras fractales y sus aplicaciones.Barcelona. Editorial Labor, 1993

* FRANZT M, Viewpoints, Mathematical Perspective and fractal Geometry in Art, Princeton University Press, 2011.

* LUQUE B, AGEOA A, Fractales en la Red. Matap.dmae.upm.es

Los gráficos descriptivos de la definición, propiedades y fractales deterministas son de realización propia.

El resto provienen del la bibliografía antes mencionada y del programa informático FractInt. G e o m e t r í a d e A y e r y H o y ________________________________________________F r a c t a l e s ________________________________________________A l b a G o n z á l e z J i m é n e z