Tema 01 segmentos y ángulos 4to

4to

Tema: Segmentos y ĂĄngulos

Problemas Propuestos Problema 01 En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E; siendo: Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ + Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??¸ = 20 đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ˇ = . Calcule Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ˇ .

4

se

puntos Ě…Ě…Ě…Ě… đ??şđ??¸ consecutivos: G, E, O, M y T, siendo Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ?‘‚ =

tienen

los

2

Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ?‘‡ y Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ?‘€ = 3 y Ě…Ě…Ě…Ě… đ??şđ?‘‡ = 36 y “Oâ€? es punto medio de Ě…Ě…Ě…Ě…. Calcule Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. đ??şđ?‘‡ đ??¸đ?‘‚ + 2đ?‘€đ?‘‡

Problema 04 En una recta se tienen los puntos Ě…Ě…Ě…Ě…), consecutivos P, Q, R y S tal que Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘„ = 2(đ?‘…đ?‘† Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… = 2 y đ?‘ƒđ?‘„ = 2đ?‘„đ?‘…+3đ?‘…đ?‘†. Calcule đ?‘„đ?‘† Ě…Ě…Ě…Ě…. đ?‘„đ?‘… Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘„đ?‘…

̅̅̅̅ ��

Problema 05 En una recta se ubican los puntos Ě…Ě…Ě…Ě…)2 + đ?‘?(đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… ) = consecutivos A, B y C. (đ??´đ??ľ 2 2 Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… (đ??´đ??ś ) +(đ??ľđ??ś ) ; calcule đ??ľđ??ś .

Problema 06 Sobre una lĂ­nea recta se ubican los puntos colineales y consecutivos A, B y C; luego se ubican los puntos medios “xâ€? de Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ, “yâ€? de Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… y “zâ€? de đ?‘Ľđ?‘Ś Ě…Ě…Ě…. Si đ??´đ??ľ − đ??ľđ??ś = 36. Calcule đ?‘?đ??ľ.

Problema 07 En una recta se ubican los puntos Ě…Ě…Ě…Ě… )(đ?‘…đ?‘† Ě…Ě…Ě…Ě…) = consecutivos P, Q, R y S. Si (đ?‘„đ?‘… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘… đ?‘…đ?‘† Ě…Ě…Ě…Ě… − Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘˜(đ?‘…đ?‘† đ?‘…đ?‘„ ) đ?‘Ś − = 1. Calcule Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘…. Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘„

puntos siendo:

Ě…Ě…Ě…Ě…)(đ?‘„đ?‘… Ě…Ě…Ě…Ě…) Calcule (đ?‘ƒđ?‘†

Problema 02 Se tiene los puntos colineales y consecutivos Ě…Ě…Ě…Ě…)(đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… ) = 2(đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…2 − đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… 2 ) A, B y C; tales que: (đ??´đ??ľ y Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś = 6. Calcule Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś .

Problema 03 En una recta

Problema 09 En una recta se tienen los consecutivos P, Q, R y S; 1 1 1 1 Ě…Ě…Ě…Ě… )(đ?‘…đ?‘† Ě…Ě…Ě…Ě…) = đ?‘š. − Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě… + Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ś (đ?‘ƒđ?‘„ Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘„đ?‘… đ?‘…đ?‘† đ?‘ƒđ?‘„ đ?‘ƒđ?‘†

Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘…

Problema 08 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O, A, B y C. Calcule Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??´ 1 1 1 Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Si: đ?‘‚đ??ś + đ?‘‚đ??ľ = đ?‘‚đ??´ , (đ??´đ??ľ). (đ??´đ??ś ) = 289 Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…

Problema 10 En una recta se tiene los puntos consecutivos: A, B y C; siendo Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś = 10, luego se ubican los puntos medios: M, N, R y Q de Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘ đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ??ś respectivamente. Ě…Ě…Ě…Ě….

Calcule đ?‘…đ?‘„ Problema 11 En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, P y C de modo de P es el punto medio de BC. Si (đ??´đ??ľ)2 + (đ??´đ??ś)2 = 40.

Hallar (đ??´đ?‘ƒ)2 + (đ??ľđ?‘ƒ)2 Problema 12 Sobre una lĂ­nea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; sabiendo que: đ??´đ??ľ = đ??¸đ??š =

đ??ľđ??¸ .

3

1

Hallar BE, si ademĂĄs:

đ??´đ??ś + đ??ľđ??ś + đ??śđ??¸ + đ??ˇđ??š = 24.

Problema 13 Sobre una lĂ­nea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, M y C tal que M es punto medio de BC. Siendo: (đ??´đ?‘€)2 + (đ??ľđ?‘€)2 = 17. Hallar (đ??´đ??ľ)2 + (đ??´đ??ś)2 Problema 14 Sobre una lĂ­nea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y 1 3 E; tal que: AC = BD; BC = 3 DE y 2 AB + DE = 36. Halle AE.

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Tema: Segmentos y ĂĄngulos Problema 15 Sobre una lĂ­nea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Se sabe que AB = 30 y CD = 10, ademĂĄs se toman los puntos medios de AB y CD que son P y Q respectivamente. Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de PC y BQ. Problema 16 El suplemento del complemento de la medida de un ĂĄngulo, es igual al doble del complemento de la medida de dicho ĂĄngulo.

Calcular el complemento de la mitad de la medida de dicho ĂĄngulo.

Problema 21 Se tienen los ĂĄngulos consecutivos AOB, ⃗⃗⃗⃗⃗ , OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , OR ⃗⃗⃗⃗⃗ y OS ⃗⃗⃗⃗ son las BOC y COD tal que OP bisectrices de los ĂĄngulos AOB, COD, AOC y BOD respectivamente. AdemĂĄs se sabe que la mâˆ˘POQ + mâˆ˘ROS = 144°. Calcular la mâˆ˘AOD. Problema 22 En el grĂĄfico, calcular el mĂĄximo valor entero de “yâ€?.

Problema 17 La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ångulo, excede en 8° a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo ångulo. Hallar la medida de dicho ångulo.

Problema 18 Hallar el complemento de la diferencia de las medidas de dos ångulos tales que la medida del primero excede en 60° al complemento de la medida del segundo y la medida del segundo ångulo sea igual a la mitad del suplemento de la medida del primer ångulo.

Problema 19 El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ĂĄngulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ĂĄngulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ĂĄngulo.

Problema 23 Si un ĂĄngulo mide 180° es dividido en “nâ€? ĂĄngulos consecutivos y congruentes: đ?›ź1 , đ?›ź2 , đ?›ź3 , ‌ , đ?›źđ?‘› calcule la medida del ĂĄngulo que forman las bisectrices de đ?›ź5 đ?‘Ś đ?›ź8 ; sabiendo que las bisectrices đ?›ź3 đ?‘Ś đ?›źđ?‘›âˆ’2 son perpendiculares.

2

Problemas 24 Sean AOB, BOC, COD, DOE y EOF ĂĄngulos consecutivos tales que: đ?‘šâˆ˘đ??´đ?‘‚đ??š = 154° y đ?‘šâˆ˘đ??´đ?‘‚đ??ˇ = đ?‘šâˆ˘đ??ľđ?‘‚đ??¸ = đ?‘šâˆ˘đ??śđ?‘‚đ??š.

Calcule la đ?‘šâˆ˘đ??ľđ?‘‚đ??ś, si la medida del ĂĄngulo formado por ⃗⃗⃗⃗⃗ es la bisectriz del ĂĄngulo COD y el rayo đ?‘‚đ??¸ igual a 54°.

Problema 25 đ?œƒ

En el grĂĄfico, calcule (đ?‘Ľ ), cuando “xâ€? sea mĂĄximo. Siendo đ?‘Ľ = (6đ?‘Ž − đ?‘Ž2 )°.

Problema 20 Se trazan los ĂĄngulos adyacentes AOB, BOC y COD. Si la mâˆ˘AOB = mâˆ˘COD = b° y mâˆ˘AOD = a°. Calcular la medida del ĂĄngulo formado por las bisectrices de los ĂĄngulos AOC y BOD.

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