5to
Tema: Divisibilidad PolinĂłmica
Problemas Propuestos Problema 01 Encontrar un polinomio P(x) de 3° grado que sea divisible en forma separada por (x+2) y (x+1), sabiendo ademĂĄs que la suma de sus coeficientes es 24 y que su tĂŠrmino independiente es 2. A) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 3 + 10đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ľ + 2 B) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 + 10đ?‘Ľ 2 − 7đ?‘Ľ + 11 C) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ + 1 D) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 3 − 15đ?‘Ľ 2 − 9đ?‘Ľ − 15 E) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 + 11đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ + 17
A) 17
Problema 02 Encontrar un polinomio P(x) de 2° grado, que sea divisible en forma separada por (x-2) y (x+1) cuya suma de coeficientes es -6 A) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = −2đ?‘Ľ 2 − 12 C) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 2 E) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ − 6
B) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ 2 − 6 D) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = −đ?‘Ľ 2 − 1
Problema 03 Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado, sabiendo que al dividir separadamente por (x+3), (x+2) y (x+1) se obtiene el mismo residuo 8 y al dividirlo por (x+4) se obtiene como residuo 20. A) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ − 11 B) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 12 C) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = −đ?‘Ľ 3 − 12đ?‘Ľ 2 − 7 D) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = −2đ?‘Ľ 3 − 12đ?‘Ľ 2 − 22đ?‘Ľ − 4 E) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = −7đ?‘Ľ 3 + 11đ?‘Ľ 2 − 11đ?‘Ľ − 9
B) 2
C) 3
D) 4
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
Problema 06 Al dividir P(x) entre (x+1) se obtuvo como resto 2. ÂżQuĂŠ resto se obtendrĂĄ al dividir [đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)]10 entre (x+1)? A) 1048 D) 628
B) 1024 E) 256
C) 1008
Problema 07 Si los polinomios đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Žđ?‘Ľ + 6 đ?‘Ś đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + 3 Son divisibles por h(x) = 2x + c, calcular el valor de (ac-bc). A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
1
E) 8
Problema 08 ÂżCuĂĄl es la suma de los coeficientes de aquel polinomio P(x) mĂłnico de tercer grado divisible separadamente por (x+2) y (x+1) que carece de tĂŠrmino cuadrĂĄtico? A) -12
Problema 04 Un polinomio P(x) de cuarto grado, es divisible separadamente por (đ?‘Ľ 2 + 1) đ?‘Ś (đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ + 2) si se divide P(x) entre (đ?‘Ľ 3 − 1) el residuo es 6đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 8, luego el tĂŠrmino independiente de x en P(x) es: A) 1
Problema 05 Un polinomio P(x) de 3° se divide separadamente entre (x-1); (x-2) y (x+3), dando como resto común 5. Ademås, al dividirlo entre x+1 da un resto igual a 29. Calcule el tÊrmino independiente de P(x).
B) -15
C) -14
D) 8
E) -3
Problema 09 Al dividir un polinomio P(x) entre (x-5) se obtiene como resto 10 y un cociente cuya suma de coeficientes es 2. Encontrar el residuo de dividir dicho polinomio por (x-1). A) 2
B) 8
C) 10
D) 18
E) 12
E) 5
I.E. NÂş 5143 ESCUELA DE TALENTOS | TALLER DE Ă LGEBRA
Tema: Divisibilidad PolinĂłmica Problema 10 Si al dividir P(x) entre (x+1), (x+2) y (x-3) separadamente se obtuvo el mismo residuo 4. Indicar el residuo de dividir P(x) entre: (đ?‘Ľ 3 − 7đ?‘Ľ − 6)
Problema 16 El coeficiente de dividir un polinomio P(x) de tercer grado entre (2x – 1) es (đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 3) y el resto de dividirlo entre (2x + 1) es 1. Determinar el resto de dividir P(x) entre (2x – 1)
A) 12
A) -7
B) 16
C) 2
D) 4
E) 0
Problema 11 Si al dividir P(x) entre (đ?‘Ľ 2 + 1) el residuo es (x+3) indicar el residuo de dividir đ?‘ƒ2 (đ?‘Ľ) entre (đ?‘Ľ 2 + 1). A) 3x + 4 D) x + 3
B) 6x + 8 E) x2+3
C) 3x – 4
Problema 12 Un polinomio mĂłnico P(x) de tercer grado es divisible separadamente por (x-2) y (x-1) y al dividirlo por (x-3) origina un resto igual a 20. Determine su tĂŠrmino independiente. A) 7
B) 10
C) 12
D) 14
E) 20
Problema 13 Mostrar el polinomio de segundo grado P(x) tal que: P(0) = 1; que sea divisible por (x+1) y que al dividirlo entre (2x+1) el resto sea -1. A) đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 1 C) 2đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ − 1 C) 6đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 1
đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) á (đ?‘Ľ 2 − 25) B) x – 2
C) 3x
D) –x
E) x
Problema 15 Si: đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) ≥ đ?‘Ľ 7 − 5đ?‘Ľ 4 + đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? es divisible por: đ??š(đ?‘Ľ) ≥ (đ?‘Ľ 2 − 1)(đ?‘Ľ − 3) Calcular: a + b + c A) 5
B) -5
C) 4
D) -4
C) -7,5
D) -8
E) N.A.
Problema 17 Un polinomio P(x) mónico y de segundo grado al ser dividido entre x + 3 da como resultado un cierto cociente Q(x) y un resto 12. Si se divide P(x) entre el mismo cociente aumentado en 4, la división resulta ser exacta. Halle el resto de dividir P(x) entre x – 5. A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
Problema 18 Un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente por (x + 3), (x + 2) y (x+5); ademĂĄs, al ser dividido por (x + 1) arroja como resto 32. Si el tĂŠrmino independiente de P(x) es -240, calcule el resto de dividir P(x) entre (x + 4). A) 80
B) – 11
C) 70
D) 10
2
E) – 42
Problema 19 Si el polinomio: đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ đ?‘› − đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘?đ?‘Ľ − 1 es divisible por đ?‘„(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ đ?‘š + đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘šâˆ’2 + đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘šâˆ’3 + đ?‘‘ y đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; (đ?‘Ľ − 1)2 ,
B) 2đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ − 1 D) 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 1
Problema 14 Un polinomio P(x) disminuido en 5 es divisible por (x+5) y aumentado en 5 es divisible por (x-5). CuĂĄl es el residuo de dividir:
A) 0
B) -6,5
đ?‘?
Calcule el valor de đ?‘›âˆ’đ?‘›đ?‘? , đ?‘›; đ?‘š ∈ đ?‘? + . A) 1
B) – 2
C) – 1
D) 2
E) – 1/2
Problema 20 Dado đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 − 6đ?‘Ľ 2 + 11đ?‘Ľ − 6, divisible por (x – a), (x – b), (x – c), calcule el residuo de dividir: đ?‘ˇ(đ??ą) á [đ?’™ + (đ?’‚−đ?&#x;? đ?’ƒâˆ’đ?&#x;? + đ?’‚−đ?&#x;? đ?’„−đ?&#x;? + đ?’ƒâˆ’đ?&#x;? đ?’„−đ?&#x;? )] donde a, b y c son diferentes entre si. A) -24
B) 24
C) 0
D) 12
E) - 12
E) 3
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