Tema 07 análisis y demostración geométrica i 5to

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5TO

Tema: AnĂĄlisis y DemostraciĂłn GeomĂŠtrica I

Problemas Propuestos Problema 01 Ě…Ě…Ě…Ě… y un punto M, interior a ĂŠl. Dado el segmento đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…)(đ?‘€đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… ), es Demostrar que si el producto (đ??´đ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě… mĂĄximo entonces M es punto medio de đ??´đ??ľ.

Problema 06 En el siguiente cuadrilĂĄtero:

Problema 02 Demuestre la siguiente desigualdad: Ě…Ě…Ě…Ě… + đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… > đ??´đ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… + đ??ˇđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ Si đ?›źÂ° + đ?›˝Â° = 90°, demostrar que se cumple: đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘Ľ= 2

En el cuadrilĂĄtero cĂłncavo.

Problema 07 Demuestre la siguiente desigualdad:

Problema 03 Sabiendo que ABCD es un paralelogramo:

1 Donde: đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ ∆đ??´đ??ľđ??ś y debe cumplirse que: Ě…Ě…Ě…Ě… + đ?‘ƒđ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… < 2đ?‘? Ě…Ě…Ě…Ě… + đ?‘ƒđ??ś đ?‘? < đ?‘ƒđ??´ Demostrar que: đ?‘Ž+đ?‘? =đ?‘š+đ?‘›

Problema 08 Ě…Ě…Ě…Ě… = Sabiendo que ABC es un triĂĄngulo isĂłsceles (đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… ) y se muestra la siguiente figura: đ??ľđ??ś

Problema 04 Demostrar que la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es menor o igual que la mitad de la longitud de dicha hipotenusa Problema 05 En el siguiente cuadrilĂĄtero: Demostrar que:

Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ť đ??¸đ??š + Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??ş

siendo: 2đ?‘? = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘ Demostrar que: Ě…Ě…Ě…Ě… + đ??ľđ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… < 2đ?‘? đ?‘? < đ??´đ??ś

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Tema: AnĂĄlisis y DemostraciĂłn GeomĂŠtrica I Problema 09 Sabiendo que “Iâ€? es el incentro del triĂĄngulo ABC. đ??Ž

Demostrar que: đ?›ź=đ?œ” Problema 10 Ě…Ě…Ě…Ě… = Sabiendo que ABC es un triĂĄngulo isĂłsceles (đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś ) y se muestra la siguiente figura:

Problema 11 Ě…Ě…Ě…Ě… En el triĂĄngulo ABC se traza la ceviana interior đ??ľđ?‘ƒ Ě…Ě…Ě…Ě… y la mediana đ??śđ?‘„, tal que đ?‘šâˆĄđ??ľđ?‘„đ??ś = đ?‘šâˆĄđ?‘ƒđ??ľđ?‘„ y Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… ). Demuestre que đ?‘šâˆĄđ??´đ??ľđ??ś = 90°. đ??´đ?‘ƒ = 2(đ?‘ƒđ??ś Problema 12 Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… ´y la altura đ??śđ??š En el triĂĄngulo ABC, la mediana đ??ľđ??ľ son congruentes y đ?‘šâˆĄđ??śđ??ľđ??ľÂ´ = đ?‘šâˆĄđ??šđ??śđ??ľ. Demuestre que el triĂĄngulo ABC es equilĂĄtero. Problema 13 Ě…Ě…Ě…Ě… tal Se tiene el rectĂĄngulo ABCD, se ubica P en đ??ľđ??ś que la đ?‘šâˆĄđ??´đ?‘ƒđ??ˇ = 90°. En los triĂĄngulos ABP y PDC Ě…Ě…Ě…Ě… respectivamente. se trazan las alturas Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ?‘„ đ?‘Ś đ??śđ?‘… Ě…Ě…Ě…Ě… . Probar que el centro del rectĂĄngulo estĂĄ en đ?‘„đ?‘… Problema 14 Se tiene el triĂĄngulo ABC, en el cual se trazan las Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… bisectrices interiores đ??´đ??ˇ đ??ľđ??¸ . Demostrar que le Ě…Ě…Ě…Ě… + đ??ľđ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě…. Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??´đ??ľ ĂĄngulo BCA mide 60 si y solo si đ??´đ??¸ Problema 15 Dado un triĂĄngulo equilĂĄtero ABC, sea M punto del Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘€ ≠đ??ľ đ?‘Ś đ?‘€ ≠đ??ś. Se considera el lado đ??ľđ??ś

punto N tal que el triĂĄngulo BMN sea equilĂĄtero y Ě…Ě…Ě…Ě… . A y N estĂŠn en distintos semiplanos respecto de đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě…, Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Sean P, Q y R puntos medios de đ??´đ??ľ đ??ľđ?‘ y đ??śđ?‘€ respectivamente. Demostrar que le triĂĄngulo PQR es equilĂĄtero. Problema 16 Demostrar que en todo triĂĄngulo la medida de un ĂĄngulo es la mitad de la medida del ĂĄngulo cuyo vĂŠrtice es el circuncentro de dicho triĂĄngulo y los lados pasan por los vĂŠrtices no correspondientes al ĂĄngulo mencionado. Problema 17 Demostrar que en todo triĂĄngulo un ĂĄngulo interior y el ĂĄngulo cuyo vĂŠrtice es el ortocentro de dicho triĂĄngulo y sus lados pasan por los vĂŠrtices no correspondientes al ĂĄngulo interior mencionado es suplementarios. Problema 18 Un triĂĄngulo mediano, medial o complementario es aquel cuyos vĂŠrtices son los puntos medios de los lados de un triĂĄngulo dado. Si el triĂĄngulo MNL es Ě…Ě…Ě…Ě… un triĂĄngulo mediano del triĂĄngulo ABC (M en đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… ) demostrar que se cumple: y N en đ??ľđ??ś

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∆đ??´đ?‘€đ??ż ≅ ∆đ?‘€đ??ľđ?‘ ≅ ∆đ?‘€đ??żđ?‘ Problema 19 Demostrar que el baricentro de todo triĂĄngulo es baricentro de su triĂĄngulo mediano. Problema 20 Demostrar que el circuncentro de todo triĂĄngulo es ortocentro de su triĂĄngulo mediano. Problema 21 El triĂĄngulo Ăłrtico es aquel cuyos vĂŠrtices son los pies de las alturas de un triĂĄngulo. Demostrar que el ortocentro de todo triĂĄngulo acutĂĄngulo es incentro de su respectivo triĂĄngulo Ăłrtico. Problema 22 Demostrar que el ortocentro, baricentro y circuncentro, de un triĂĄngulo no equilĂĄtero, son colineales. (Recta de Euler)

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Tema: AnĂĄlisis y DemostraciĂłn GeomĂŠtrica I Problema 23 Demostrar que en todo triĂĄngulo no equilĂĄtero, la distancia del ortocentro al baricentro es el doble del circuncentro al baricentro Problema 24 Demostrar que la recta de Euler de todo triĂĄngulo es tambiĂŠn la recta de Euler de su respectivo triĂĄngulo mediano. Problema 25 Demostrar que en todo triĂĄngulo, la distancia de su ortocentro a un vĂŠrtice es igual a cuatro veces la distancia del circuncentro de su triĂĄngulo mediano al lado paralelo al lado opuesto al vĂŠrtice mencionado. Problema 26 En un triĂĄngulo ABC las bisectrices de los ĂĄngulos BAC y BCA se interceptan en el punto I. Por I se traza Ě…Ě…Ě…Ě… que intercepta a los una recta paralela al lado đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ś đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… en los puntos M y N. Demuestre que lados đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ?‘ = đ??´đ?‘€ + Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ?‘ .

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Problema 27 Ě…Ě…Ě…Ě… , A es Sea el triĂĄngulo ABC, se ubica D en el lado đ??ľđ??ś equidistante del incentro de ABD y del excentro de ABC que es la bisectriz angular de B. Demostrar que Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ˇđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… . đ??śđ??´ Problema 28 Sobre las bases de un paralelogramo ABCD, se dibujan exteriormente los triĂĄngulos equilĂĄteros ABP, BCQ, CDR y DAS. Demuestre que el cuadrilĂĄtero PQRS es un paralelogramo. Problema 29 Sean A, B y C tres puntos no colineales y E (diferente de B) un punto cualquiera que no pertenece a la Ě…Ě…Ě…Ě… . Se construyen los paralelogramos ABCD recta đ??´đ??ś y AECF. Demuestre que Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??¸ ⍽ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??š . Problema 30 Demostrar que los simĂŠtricos de un punto exterior respecto a los puntos medios de cualquier cuadrilĂĄtero son vĂŠrtices de un paralelogramo.

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