5to
Tema: Números Reales I
Problemas Propuestos Problema 01 ¿Cuál o cuáles de las proposiciones no es un axioma de los números reales? I. ⩝ a, b ∊ ℝ: a.b = b.a II. ⩝ a ∊ ℝ: a.0 = 0.a=0 III. ⩝ a ∊ ℝ: Ǝ!1∊ ℝ/a = a A) Sólo I D) Sólo III
B) Sólo II E) II ˄ III
C) I ˄ II
Problema 02 Marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: √x 2 = x; ⩝ x ∊ ℝ……………………. ( ) I. II. ⩝ x ∊ ℝ, Ǝ x-2 ∊ ℝ………………….. ( ) III. ⩝ a ˄ b ∊ ℚ’, Ǝ (a.b) ∊ ℚ’……….. ( )
Problema 06 Si: a, b, c son números reales tales que: a < 0, b > 0 ˄ c < 0, entonces indique el orden de verdad de las siguientes afirmaciones: I. ab + c < 0 II. √−a > bc III. –c2 < a2b A) VVF D) VVV
B) VFF E) FVV
C) FFF
d
A) I ˄ III D) Solo II
B) I ˄ II E) Todas
C) II ˄ III
Problema 04 Si: a < m < b, ¿cuál o cuáles de las afirmaciones son verdaderas? I. m2 – m (a+b) + ab < 0 II. √a2 − m2 ∉ ℝ III. a-1 > b-1 A) I D) Todas
B) II E) Ninguna
Problema 05 Si: a < b < 0; indicar lo correcto: A) abx > ab ⇒ x < 1 B) (a – b)x > b – a ⇒ x > -1 C) (b – a)x > a – b ⇒ x > -1 D) (a + b)x > (a + b) ⇒ x >1 E) (-a – b)x > (a + b) ⇒ x < -1
III.
C) II ˄ III
3c
< 1 − 4d
Si a > b > 0 > c, entonces 4abc + c < 0
A) VFF D) VVV
Problema 03 Si: 0 > a > b, de las proposiciones: I. a 2 > b2 II. a 3 > b3 III. b-1 > a-1
C) VFV
Problema 07 Determine la veracidad (V) o la falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Si a > 0 ˄ -1 < b < 1, entonces ab + 1 + a > 1. II. Si c > 0; d > 0 y 2d ≠ 3c, entonces 3c
A) VVV D) FFV
B) VFF E) FVV
B) FVF E) FVV
C) VFV
Problema 08 Dada las siguientes proposiciones: a−1 I. Ǝ a ∊ ℝ/ a−1=1 II. Si a ∊ ℝ, b ∊ ℝ / a2 = b2 → a = b III. Ǝ! a ∊ ℝ/ a2 + 1 = a + 1 IV. ⩝ a ∊ ℝ/ a2 + 1 =2ª Son verdaderas: A) Sólo I y II B) Sólo II y III C) sólo III y IV D) Solo IV E) Sólo I
1
Problema 09 Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. ⩝ a ∊ ℝ, a.0 = 0, es un axioma de los números reales. II. ⩝ a, b ∊ ℝ, a.b = b.a es un axioma de los reales. III. Si 0 < a y c > 0, entonces ac > 0 es un axioma en los reales. A) VVV D) FFV
B) FVF E) FVV
C) FFF
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Tema: Números Reales I Problema 10 Siendo * una operación definida en el conjunto A = {a, b, c, d}, según la siguiente tabla: * a b c d a a b c d b b b c d c c c c a d d d a d Decir el valor de verdad: I. El elemento neutro de * es a. II. La operación * es conmutativa. III. La operación * es asociativa. A) VVV D) FFV
B) VFF E) VFV
C) VVF
Problema 11 Sea el conjunto V ac 1 V = { x ∊ ℝ+/ b ; − a ; −c} Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. a 3 b 5 + c7 < 0 II. III. A) VVV D) FFF
b
√−a9 > ac3 a8 b > -( -c)6 B) VFF E) VFV
C) VVF
B) FVF E) FFF
C) VFF
Problema 13 Para la siguiente proposición: “para todo número racional r existe un número entero n tal que n ≤ r < n + 1”. Su negación es: A) Ǝ r ∊ ℚ/ ⩝ n ∊ ℤ; n ≥ r > n + 1 B) Ǝ r ∊ ℚ/ Ǝ n ∊ ℤ; n ≤ r < n + 1 C) Ǝ r ∊ ℚ/ ⩝ n ∊ ℤ; (n > r) ˅ (n + 1 ≤ r) D) Ǝ r ∊ ℚ/ ⩝ n ∊ ℤ; n < r ≤ n + 1 E) Ǝ r ∊ ℚ/ Ǝ n ∊ ℤ; (n > r) ˅ (n + 1 ≤ r)
A) VFF D) FVV
B) VVF E) FFF
C) VFV
Problema 15 Determine cuantas de las proposiciones son axiomas en el sistema de los números reales: I. ⩝ a, b ∊ ℝ; a + (b + c) = (a + b) + c II. ⩝ a ∊ ℝ: a.0=0 III. a<b˄b<c⇒a<c IV. a < b ˄ c > 0 ⇒ ac < bc V. ⩝ a, b ∊ ℝ; a ≤ b ˅ b < a A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
Problema 16 De las proposiciones siguientes: I. ⩝ a, b ∊ ℝ+: a + b ≤ 1, entonces: ab ≤ ¼ II. ⩝ a ∊ ℝ: a.0 = 0 no es un axioma de los números reales. III.
Problema 12 Sean los conjuntos a = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1,0, 5, 6}, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ⩝ x ∊ A, Ǝ y ∊ B/x + y < 3 II. Ǝ! y ∊ B, ⩝ x ∊ A: x – y > 1 III. Ǝ x ∊ A, Ǝ y ∊ B/ (x – y) ∊ A A) VFV D) FFV
Problema 14 Dado: A = {1, 2, 3, 4}; determine el valor de verdad de: I. Ǝ x ∊ A/2x – 1 = 7 II. ⩝ x ∊ A: √x > 1 III. ⩝ x ∊ A: 2x + 3 < 9
⩝ a, b ∊ ℝ+:
a+b 2
≤ √
2
a2 +b2 2
Son correctas: A) I y III D) I, II y III
B) I y II E) Sólo I
C) II y III
Problema 17 Se define la operación “*” en ℝ mediante a*b = 2a + 2b + 3, ⩝ a, b ∊ ℝ, establecer el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. (2*3)*5 = 39 II. La operación * es conmutativa. III. La operación * es asociativa. IV. La operación * tiene elemento neutro. A) VVVV D) VFFF
B) VVVF E) VFVF
C) VVFF
Problema 18 En ℝ se define la operación “*” mediante a*b = a + b + 5; ⩝ a, b ∊ ℝ, según esta operación. Determine el producto del elemento neutro de la operación * con el inverso de 3.
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Tema: Números Reales I A) 50 D) 65
B) 64 E) 70
C) 80
Problema 19 Se define la operación binaria “*” en ℝ - {0} tal que a*b = 5ab, además x-1 es el inverso de x respecto de “*”. Calcule A) 25 D) 625
1 −1 (625) .
B) 5 E) 1
C) 125
Problema 23 Si a ∊ ℝ+ y –b∊ ℝ+, indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: 1 1 I. < a b II. b(b – a) > 0 III. IV. A) VVVF D) FVVV
b3 a
− b2 < 0 a 2 < b2 B) VFVF E) VVFF
C) VVVV
Problema 20 Indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. En ℝ los elementos identidad aditiva e 1 1 identidad multiplicativa son 3a – 5 y 5b – 8 respectivamente, entonces a + b =60 II. Si a – 7 y b – 8 son elementos opuestos de la adición en ℝ, entonces a + b = 15 III. Si a – 4 y b – 3 son elementos inversos de la multiplicación en ℝ, entonces ab + 11 = 3a + 4b. A) VVV D) FFV
B) VFF E) VFV
C) FFF
3
Problema 21 Indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. ⩝ a, b, c ∊ ℝ+: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac II. ⩝ a, b, c ∊ ℝ, si a < b ˄ b < c → a < c es un axioma del sistema ℝ. III. ⩝ a ∊ ℝ+: √a ≤ a A) VVV D) FVV
B) VVF E) FFF
C) VFF
Problema 22 Indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. ⩝ a, b ∊ ℝ, si a = b entonces a-1 = b-1 II. III. IV. A) VFFF D) FVFF
a+b
(a+b)2
Ǝ a, b ∊ ℝ/ a−b = a2 −b2 ⩝ a ∊ ℝ, Ǝ x ∊ ℝ/ a0 = x si ⩝ b real y a racional Ǝ ab entonces Ǝ ba. B) FVVF E) VVFF
C) FVFV
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