Tema 15 semejanza i 5to

5TO

Tema: Semejanza

Problemas Propuestos Problema 04 Ě‚ = 90°, (đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…)(đ??ˇđ??ť Ě…Ě…Ě…Ě… ) = CDEF es cuadrado, đ?‘šđ??´đ??ź Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… 40 đ?‘Ś đ??śđ??š = 2√2. Calcule đ??ľđ??ś .

B

Problema 01 Ě…Ě…Ě…Ě… ) = 4(đ??´đ?‘„ Ě…Ě…Ě…Ě…) De la figura, Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ??ľ = 12 đ?‘Ś 3(đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… Calcular đ??´đ?‘ƒ.

C

H P

I

Îą

D

Îą

A

B

Q

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

A

Problema 02 Ě…Ě…Ě…Ě… = En el grĂĄfico, el triĂĄngulo ABC es equilĂĄtero, đ?‘ƒđ??´ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… 3 đ?‘Ś đ??śđ?‘„ = 12. Calcular đ??´đ??ś .

B

A) 6

A

Q

C B) 6√3

C) 8

D) 9

C) 8

E) 8√2

D) 12

Problema 05 Se tiene el cuadrilĂĄtero convexo ABCD, se ubica P en la Ě…Ě…Ě…Ě… tal que đ?‘šâˆ˘đ??ľđ??´đ??ś = đ?‘šâˆ˘đ??śđ??´đ??ˇ = prolongaciĂłn de đ??ˇđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘šâˆ˘đ??ľđ??śđ?‘ƒ. Si đ??´đ??ľ = đ?‘Ž đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ = đ?‘?. Calcule Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś .

B) 2√đ?‘Žđ?‘?

C)

đ?‘Ž2 đ?‘?

D) 3√đ?‘Žđ?‘?

1

E) √đ?‘Žđ?‘?

Problema 06 En el grĂĄfico, ABCD es un paralelogramo, si Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??´ = Ě…Ě…Ě…Ě… = 3. Ě…Ě…Ě…Ě…) = 2(đ?‘ đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…),đ?‘€đ?‘ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…//đ??šđ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 2(đ??¸đ?‘ đ??ľđ??ś = 8 đ?‘Ś đ??śđ??ˇ Calcule Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ?‘ .

đ?œƒ P

B) 10√2

A) a+b

đ?œƒ

F

C

A) 10

E) 10

E

E) 8√3

B

F

N

M

Problema 03 En el grĂĄfico, P y Q son puntos de tangencia. Si, Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘„đ?‘… = Ě…Ě…Ě…Ě… = 8. Calcular r. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…) đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘„ 7(đ?‘€đ?‘‡

C

E

A

Q

Îą Îą

A) 0,5

D

Q B) 1

C) 1,5

D) 2

E) 2,5

r P T A) 14/3

B) 5

R

M C) 7/3

D) 26/3

E) 21/5

I.E. NÂş 5143 ESCUELA DE TALENTOS | TALLER DE GEOMETRĂ?A

Tema: Semejanza Problema 07 En el grĂĄfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…/đ?‘€đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Calcule đ??´đ?‘€

Problema 10 En el grĂĄfico, M y N son puntos de tangencia y Ě…Ě…Ě…Ě… ) = 2(đ??śđ?‘„ Ě…Ě…Ě…Ě… ). Calculeđ??´đ?‘ Ě…Ě…Ě…Ě…/đ??śđ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě….

3(đ??´đ??ś M

D C

B

M

a

b C

A B

A A) b/a

N

B) a/b

C) a+b/a

A) 2/3

D) a+b/b

B) 3/2

C) 1/4

D) 1/3

E) 1/5

Problema 12 Si: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ?‘ = đ?‘? đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ đ?‘ƒ = đ?‘š, entonces el perĂ­metro del cuadrado que limita la regiĂłn sombreada es:

A B) 6

B) 1/2

C

F

A) 4

E) 3/5

Problema 11 En un triĂĄngulo, las longitudes de los lados estĂĄn en progresiĂłn aritmĂŠtica. Calcule la razĂłn entre el inradio y la longitud de la altura relativa al lado intermedio.

A) 2/3

E

D) 5/3

E) a/a+b

Problema 08 En el grĂĄfico, ABCD es un paralelogramo, D es punto Ě…Ě…Ě…Ě… = 5 đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… de tangencia. Si đ??ľđ??ś đ??´đ??¸ = 4. Calcule Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??š .

B

C) 5/2

Q

M

D C) 5

2

D) 7

E) 9

Problema 09 Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?‘?, đ?‘šđ?‘„đ??żđ??ľ Ě‚ = đ?‘šđ?‘†đ??ľ Ě‚ đ?‘Ś đ?‘šđ??ľđ?‘€ Ě‚ = En el grĂĄfico, đ??´đ??ľ Ě‚ Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘šđ?‘„đ?‘‡đ??ľ . Calcule đ??ľđ??ś .

N Q

R

A) 4pm/p+m D) 4pm/m+2p

C L

T

A) cr/R

B) cR/r

S

M C) c/R

B) pm/(p+m) E) pm/p+m

C) 4pm/p+2m

r

B A

P

C

D) đ?‘… 2/r+c

E) đ?‘? 2 /R+r

Problema 13 En un triĂĄngulo ABC obtuso en B, se traza la bisectriz interior Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ?‘€ y las alturas Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘ y Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ?‘„ respectivamente, si Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?‘?. Calcule la longitud de la altura đ??´đ?‘ = đ?‘Ž, đ??śđ?‘„ trazada de M en el triĂĄngulo BMC. A) a–b /a+b D) ab/2a+b

B) ab/a+b E) ab/3a+b

C) ab/2a-b

I.E. NÂş 5143 ESCUELA DE TALENTOS | TALLER DE GEOMETRĂ?A

Tema: Semejanza Problema 14 En un triĂĄngulo ABC se trazan las alturas Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ť y Ě…Ě…Ě… đ??śđ??ź. Si Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě… es: đ??´đ??ś = đ??ż y el ĂĄngulo ABC mide 60°, entonces Ě…đ??ťđ??ź A) L

B) 2L

C) 3L

3 2

E) đ??ż

D) L/2

Problema 19 Sobre los catetos Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ y Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś de un triĂĄngulo ABC se construye externamente los cuadrados ABFE y BCQP Ě…Ě…Ě…Ě… ∊ đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = {đ?‘€}, đ??´đ?‘„ Ě…Ě…Ě…Ě… ∊ đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… = {đ?‘ }. respectivamente, đ??¸đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Si đ??´đ?‘€ = 4đ?‘˘ y đ??śđ?‘ = 9đ?‘˘. Calcule đ??´đ??ľ .

A) 10u

Problema 15 En un triĂĄngulo ABC, I es el incentro y E es el excentro relativo al lado Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś . Si Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = 6đ?‘˘, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś = 10đ?‘˘ đ?‘Ś Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ź = Ě…Ě…Ě… es: 4đ?‘˘, entonces la longitud de đ??źđ??¸ A) 6u

B) 7u

C) 8u

D) 9u

E) 11u

B) 12u

B) 12u

C) 14u

D) 9u

E

M

B

P

đ?‘Žđ?‘? đ?‘?

đ?‘?

3

B) đ?‘?√đ?‘Ž

D) √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2

C) √đ?‘Žđ?‘?đ?‘?

đ?‘Ž đ?‘?

3

E) đ?‘?√

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

đ?‘?

D) a-b

E) đ?‘Ž (đ?‘Ž − đ?‘?)

đ?‘?

Problema 18 Dos circunferencias son tangentes exteriores y sus radios miden R y r (R > r). Si 1/R + 1/r =0,25; calcule la distancia desde el punto de tangencia a la tangente comĂşn exterior.

C) 7

A)

C

F

C) đ?‘Ž (2đ?‘Ž − đ?‘?)

B) √đ?‘Žđ?‘?

B) 6

O

A

A) 2

A) a-2b

A) 5

M

Problema 21 Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… ), M, N y H son ABC es un triĂĄngulo isĂłsceles (đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… puntos de đ??´đ??ľ, đ??ľđ??ś đ?‘Ś đ??´đ??ś respectivamente, donde Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…), Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = 2(đ??´đ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… , đ?‘šâˆ˘đ?‘ đ??ťđ??ś = đ?‘šâˆ˘đ?‘ đ?‘€đ??ť = đ?‘€đ??ľ đ?‘€đ?‘ = đ?‘€đ??ť Ě…Ě…Ě…Ě… . Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = 4. Hallar đ??´đ??ś 90° đ?‘Ś đ?‘ đ??ť

O. A

E) 20u

N

E) 8u

Problema 17 En el grĂĄfico, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘ƒ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ??¸ . Si Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘€ = đ?‘Ž đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ?‘€ = đ?‘?, halle Ě…Ě…Ě…Ě…. đ??ľđ??ż

D) 15u

Problema 20 En la figura: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… ; Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…, đ?‘‚đ??š Ě…Ě…Ě…Ě… //đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ś đ?‘‚đ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…// đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… . đ?‘‚đ?‘€ đ?‘‚đ?‘ = đ?‘‚đ??š đ?‘‚đ?‘ // đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Si đ??ľđ?‘ = đ?‘Ž, đ??śđ??š = đ?‘? đ?‘Ś đ??´đ?‘€ = đ?‘?. Calcule đ?‘‚đ?‘€.

B

Problema 16 En un triĂĄngulo ABC, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = 6đ?‘˘, el segmento que une A con el incentro mide 5, y el segmento que une el Ě…Ě…Ě…Ě… mide 7, calcule incentro con el excentro relativo a đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś .

A) 10u

C) 8u

D) 9

Problema 22 Por el incentro de un triĂĄngulo ABC se trazan dos rectas paralelas hacia Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś ; las cuales interceptan Ě…Ě…Ě…Ě… en los puntos M y N respectivamente. Si đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = a đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 10đ?‘?đ?‘š, đ??ľđ??ś = 14đ?‘?đ?‘š đ?‘Ś đ??´đ??ś = 12đ?‘?đ?‘š. Halle đ?‘€đ?‘ .

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 1

E) 8

I.E. NÂş 5143 ESCUELA DE TALENTOS | TALLER DE GEOMETRĂ?A

Tema: Semejanza Problema 23 En un triĂĄngulo ABC se trazan las alturas Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ?‘€ đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ť; Ě…Ě…Ě…Ě… en đ??´đ??ś se ubica el punto E y en el exterior y relativo a Ě…Ě…Ě…Ě… se ubica el punto D tal que đ??¸đ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… , đ?‘‡ ∈ Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??¸đ??ś đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ??ˇ , đ??¸đ?‘‡ ⊼ đ?‘€đ??ˇ , đ?‘šâˆ˘đ??´đ??śđ??ľ = đ?‘šâˆ˘đ?‘€đ??ˇđ??¸, đ?‘€đ?‘‡ = đ?‘‡đ??ˇ, si Ě…Ě…Ě…Ě…(en cm). Ě…Ě…Ě…Ě… = 5. Calcule đ??´đ??ť đ??¸đ?‘‡ A) 5

B) 10

C) 7

D) 9

E) 11

Problema 24 Sea una circunferencia inscrita en un trapezoide asimĂŠtrico ABCD, M ∊ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ y N ∊ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ??ˇ tal que M y N son Ě…Ě…Ě…Ě… âˆś {đ??ź}, đ??´đ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = puntos de tangencia Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ?‘ ∊ đ??´đ??ś Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě… 4đ?‘?đ?‘š, đ??źđ??ś = 10đ?‘?đ?‘š đ?‘Ś đ?‘ đ??ś = 8đ?‘?đ?‘š. Halle đ??´đ??ź (en cm).

A) 5

B) √5

C) 2

D) √3

E) √2

Problema 25 SAMY es un cuadrado de lado “mâ€?. N es un punto medio de Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘€.Calcule x en funciĂłn de “mâ€?.

S

A

4 x

N

Y A) 2m/3

M

B) m/3

C) 3m/2

D) 3m/4

E) m/2

Problema 26 đ??ľđ??ť En el grĂĄfico, GD//AC, FE//BC. Calcule đ??´đ??ť.

B

D

G

F H

S

A) 2

C

E

A B) 1

C) 3

D) 4/3

E) 2/3

I.E. NÂş 5143 ESCUELA DE TALENTOS | TALLER DE GEOMETRĂ?A