MIGUEL ÁNGEL PÉREZ SÁNCHEZ ALEJANDRINA IBARRA ÁVILA ¿Qué es un modelo didactico? * Los modelos didácticos son unos planes estructurados que pueden usarse para configurar un currículo, para diseñar materiales de enseñanza y para orientar la enseñanza en las aulas (Joyce y Weil, 1985)”. * “Modelo es una representación generalmente simplificada de un fenómeno real” “Modelo es una representación abstracta y simplificada de un cierto fenómeno real, ciertas operaciones que traducen situaciones reales; se define como elementos del modelo” Kaufman, A. 1996, p. 17). * “Por modelo se entiende un sistema concebido mentalmente o realizado de forma material, que, reflejando o reproduciendo el objeto de la investigación, es capaz de sustituirlo de modo que su estudio nos dé nueva información sobre dicho objeto” (Miller, J. 1998, p. 13). La primera, aunque un tanto lacónica, orienta en tiempo y espacio al permitirnos comprender, en un primer momento, la relación directa que se establece entre el modelo y un determinado fenómeno real. La segunda, un poco más explícita, y pone al descubierto los procesos de pensamiento útiles para la representación de dicho fenómeno real, pero queda todo su análisis en el plano teórico. Por último la tercera definición constituye la guía para la elaboración del concepto operante de modelo didáctico, al ser capaz de trascender el plano teórico. Para la elaboración del modelo didáctico que favorezca la formación de valores a través de la solución de problemas, se consideran las características fundamentales que deben poseer los modelos; ellas son: Abiertos: Capaces de interactuar con el medio, Flexibles: Capaces de adaptarse y acomodarse a diferentes situaciones dentro de un marco o estructura general, Dinámicos: Capaces de establecer diferentes relaciones potencialmente, Probabilísticos: Capaces de poder actuar con un margen de error, o de éxito aceptable que den confianza a la acción. biografia de Guy Brosseau
Guy Brousseau Un importante investigador en un dominio determinante para la educación y la formación científicas Una vida el servicio de la comprensión y la mejora de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas1 André Rouchier2 La carrera de Guy Brousseau está totalmente inmersa en la historia de la evolución de la enseñanza de las matemáticas, de estos últimos cuarenta años. Está vinculada a la emergencia de los grandes paradigmas que organizaron la investigación básica en este
campo. Vamos a dar cuenta de ello, esbozando brevemente su trayectoria académica, su contribución científica, su participación en las actividades colectivas y los cambios internacionales y finalmente las diferentes dimensiones de su influencia. Una trayectoria extraordinaria Guy Brousseau comienza su carrera como alumno de una escuela de magisterio, con el fin de hacerse maestro de escuela. Continúa siendo maestro de escuela algunos años antes de encontrarse, gracias a una comisión de servicios, con los personajes de toda índole que se embarcan, al principio de los años 60, en el movimiento general de renovación de la enseñanza de las matemáticas. Con el soporte de su administración, completa su formación universitaria antes de ser contratado como asistente en la Universidad de Burdeos-I. Es en la universidad, en el marco del IREM3 y con el apoyo permanente del profesor Juan Colmez, donde llevará a cabo lo fundamental de sus trabajos de investigación sobre la enseñanza de las matemáticas en la escolaridad obligatoria. Presenta y defiende su tesis de estado en 1986. Con apoyo de las autoridades académicas, pone en marcha el COREM4, que dirigirá del 1973 al 1998, antes de fundar el LADIST5, el laboratorio que acompaña el COREM. Entre tanto, la creación del IUFM6 le permitirá hacerse, en 1992, profesor de universidad hasta su jubilación en 1998. Se convierte entonces en profesor emérito en el IUFM de Aquitania, lo que le permite continuar la actividad científica y académica (dirección de tesis) en el marco de un nuevo laboratorio relacionado con la universidad Victor Segalen Bordeaux 2, el DAEST7. Guy Brousseau comienza a publicar en 1961 (con ocasión del encuentro CIEAEM8 del Castañar [Suiza]), continúa con un manual para el primer curso de la escuela elemental (1965) y muy pronto prosigue con sus publicaciones en el dominio científico, con una gran regularidad desde 1968 al período actual. La profunda imbricación de su trabajo personal con la formación de maestros en el marco del IREM, unido a la especificidad y originalidad de su proyecto de investigación, le llevan a publicar en revistas locales (18 Cahiers de l’IREM de Bordeaux del 1969 al 1978) textos esenciales para comprender el desarrollo del instrumento teórico fundamental que representa la Teoría de Situaciones Didácticas. Encontraremos estos textos, así como otros que han sido publicados en revistas como R.D.M.9 en una recopilación que ha sido editada en inglés en la editorial Kluwer en 1997 bajo el título: Theory of Didactical Situations in Mathematics10. Decisiones científicas profundas y originales La pasión de Guy Brousseau por la enseñanza de las matemáticas proviene de una doble fascinación, de una parte la fascinación por las matemáticas, su poder explicativo y su capacidad para formar el pensamiento, por otra parte la fascinación por la transmisión y la difusión del saber, así como por el estudio de las condiciones que lo hacen posible. A lo largo de toda su carrera científica, sabrá movilizar al servicio de esta doble pasión una energía inagotable y constante, una determinación inquebrantable, una curiosidad sin límite, un rigor extremo que lo condujeron a desarrollar y proponer la teoría más acabada y más coherente de estos treinta últimos años. Este pensamiento y este enfoque emergen, con su fuerza y originalidad, en la segunda mitad de los años 60. Brousseau efectúa entonces una elección teórica original y decisiva
que es expuesta en un texto fundador: Processus de mathématisation, texto de una conferencia impartida en las Jornadas de la APMEP11 de 1970. Este texto supone una contribución decisiva. Su actualidad y su pertinencia jamás serán desmentidas. Si tanto el alumno como el profesor son actores ineludibles de la enseñanza y del aprendizaje, el autor decide también interesarse y de forma prioritaria, por una tercera instancia, el "actor silencioso": la situación en la cual evolucionan, en la cual se despliegan la actividad del alumno y la del maestro según sus proyectos respectivos, aprender y enseñar. Esta situación está construida por uno y vivida por el otro y evoluciona por el juego de sus interacciones según reglas, generalmente tácitas, movilizadas en el marco del contrato didáctico. Es concebida como un modelo del conocimiento que hay que enseñar. Es a la vez la condición del establecimiento de una relación didáctica específica de los conocimientos en juego y el instrumento privilegiado del proceso de enseñanza-aprendizaje. Si se quiere que dicha situación permita aprender las matemáticas, no debe ser arbitraria en las modalidades de acción que le ofrece al alumno. Podemos caracterizar la irrupción de la situación como el objeto central de estudio a partir de dos puntos de vista: - el primero consiste en colocarse, en cierta manera, en una posición dual de la del experimentador que se acerca a los alumnos y les interroga, con la ayuda de pruebas adaptadas a propósito de sus concepciones sobre los objetos matemáticos que encontraron, en la enseñanza o en sus diversas experiencias de la vida diaria. El proyecto didáctico es completamente diferente. Consiste en invertir esta perspectiva y en preocuparse de los problemas y de las situaciones por ellos mismos, por la manera en la que nos informan sobre los conocimientos y el saber que ponen en juego y que ellos movilizan. Así, no se estudia ya el sujeto in abstracto sino la situación en la potencialidad que debe ofrecerle al alumno, sea en su actividad matemática o en la dimensión del estudio como sujeto de la institución didáctica. - el segundo punto de vista se apoya en la consideración, como un hecho fundamental, del análisis de la situación no didáctica, es decir la situación de utilización de las matemáticas, sea la utilización del matemático o del "simple" usuario en un universo de prácticas determinado. En efecto, conocer las matemáticas no sería ceñirse al conocimiento de teoremas o de algoritmos sino a reconocer hic et nunc sus condiciones de uso. El sentido de un saber matemático no depende de un juego de obligaciones externas vinculadas por ejemplo a la utilización de un saber determinado, exigencia que es la de toda organización didáctica. Sobre la base de este análisis, la perspectiva teórica central consiste entonces en estudiar las condiciones del establecimiento en el sistema didáctico de situaciones que involucren al alumno como lo hacen las situaciones no didácticas. Estas son las situaciones que Guy Brousseau llama situaciones adidácticas. Se trata por tanto para él, de mostrar que es posible construir situaciones adidácticas y de justificar su funcionamiento a la vez sobre el plano teórico (el grado de necesidad en relación con el conocimiento en juego) y sobre el plano de la contingencia (examinando, por la observación, sus condiciones de "viabilidad didáctica" es decir de su instalación en las restricciones de la clase de matemáticas). Guy Brousseau muestra que el éxito de esta ubicación contiene dos aspectos que estudiará con más detalle.
El primer aspecto concierne a la instalación misma, lo que lo conduce a introducir un nuevo concepto, el de devolución: si los saberes preexisten en el alumno, su comprensión exige un uso que, por muy esperado que sea por el maestro, no debería serle dictado; tal es la paradoja de la devolución: «si el maestro dice lo que quiere, no puede ya obtenerlo» (Brousseau, 1998, 73). Es la paradoja a la que inicialmente se había vinculado (desde los años 60) a través del estudio de las condiciones de su superación por la devolución al alumno de situaciones adidácticas («¿Qué estrategias de base puede desarrollar el alumno en esta situación? ¿Qué retroacciones podrá recibir? ¿Qué variables didácticas son susceptibles de mantener el sentido del conocimiento buscado? Etc.»). El profesor busca que la acción del alumno sea producida y justificada sólo por las necesidades del medio y por sus conocimientos, y no por la interpretación de los procedimientos didácticos del profesor, o por sus deseos. El segundo aspecto está estrechamente vinculado al primero ya que concierne a las condiciones que mantienen la implicación del alumno en la situación. Brousseau estudia, a partir de un caso clínico (hoy célebre en la comunidad de los investigadores en didáctica de las matemáticas), el "caso Gaël", el conjunto de las obligaciones recíprocas que cada “partenaire” de la situación didáctica impone o cree que él impone a los otros y aquellas que se le imponen o las que cree que se le imponen, a propósito del conocimiento en juego: es el concepto de contrato didáctico. Corresponde al resultado de una "negociación", a menudo implícita, de las diversas relaciones que se establecen entre el alumno, un cierto medio y un sistema educativo. Este contrato no es un verdadero contrato: No es ni explícito, ni consentido libremente ya que depende de un conocimiento necesariamente desconocido de los alumnos. Coloca al profesor y el alumno ante una autentica situación paradójica: si el maestro dice lo que quiere para que el alumno lo haga, no puede obtenerlo más que como ejecución de una orden y no por el ejercicio de sus conocimientos y de su juicio. Recíprocamente, si el alumno acepta que el maestro le enseñe las soluciones y las respuestas, no las establece por él mismo y por lo tanto, no pone en juego los conocimientos matemáticos necesarios y no puede apropiárselos (“aprehenderlos”). El aprendizaje exige pues el rechazo del contrato para hacerse cargo del problema de modo autónomo (devolución). El aprendizaje va pues a basarse, no en el buen funcionamiento del contrato, sino sobre sus rupturas, de donde se deriva la importancia de estudiar con más detalle las condiciones efectivas de sus rupturas. Por otra parte, es el sujeto en tanto que actor en la situación, el que encuentra el conocimiento, pero esto no basta para que haya aprendizaje, ya que si bien la experiencia del alumno es una condición necesaria, hace falta también que estos conocimientos en acto sean identificados como tales, etiquetados y agregados a saberes socialmente reconocidos. Guy Brousseau pone en evidencia así la necesidad de la institucionalización y abre un nuevo campo a la teorización de los fenómenos de enseñanza. La teoría confrontada a los hechos: los métodos, el COREM12 Una preocupación importante de Guy Brousseau consiste en llevar a cabo el estudio experimental de los fenómenos de enseñanza de las matemáticas, proyecto científico que consta de un esquema general basado en la interacción con los objetos estudiados, siendo estos objetos seleccionados en el marco de un paradigma teórico adaptado. Aquí, la teoría no sabría decir lo que debe ser. Modela los hechos, convoca y hace emerger los fenómenos
con el fin de analizarlos y de interpretarlos. En un artículo publicado en 1978, titulado L’observation des faits didactiques, Guy Brousseau proporciona una sólida base al método que estará en el núcleo de su trabajo. El método está construido en torno a la observación aplicada al campo de la didáctica: se trata entonces de constituir colecciones de hechos y de construirlos como fenómenos didácticos, de estudiar su reproductibilidad, su grado de generalidad, y su consistencia. El COREM, cuya finalidad había sido definida por Guy Brousseau a finales de los años 60 y que pudo ser realizado con el apoyo de los poderes públicos a partir de 1972, va a permitirle realizar este estudio. Esta estructura de investigación, que desgraciadamente fue única, pudo funcionar hasta finales de los años 90. El COREM es el producto de un acoplamiento entre una escuela primaria y una estructura que ha permitido la acogida de la investigación y la observación de situaciones de clases propuestas por los investigadores. Estas situaciones son concebidas y construidas apoyándose en la teoría de situaciones didácticas, en las cuestiones y las hipótesis propias de la investigación emprendida y bajo la supervisión de los profesores que van a garantizar la responsabilidad de la clase. La noción teórica y práctica de ingeniería didáctica pone de manifiesto el funcionamiento de un sistema que se apoya en una estrecha colaboración entre los profesores y los investigadores. Además, con el apoyo de este proyecto científico, Guy Brousseau ha contribuido al desarrollo del uso de las estadísticas en las investigaciones sobre la enseñanza de las matemáticas a la vez desde una perspectiva heurística (los análisis multidimensionales por ejemplo) y de verificación de las hipótesis teóricas (estadísticas inferenciales, estadísticas descriptivas y métodos de exploración de datos). Ha contribuido, en particular, a la creación y al uso en didáctica, del análisis implicativo (Gras y Lerman). Principales nociones desarrolladas en el campo de la didáctica - La noción fundamental es la de situación; que puede ser modelada por un juego formal. La posibilidad de aislar, los momentos de acción, los momentos de formulación, los momentos orientados hacia la validación y sus instrumentos, los momentos de institucionalización, en el marco de situaciones especialmente construidas - como “Quien dirá veinte "13 por ejemplo-, ha sido una de las características principales de los trabajos llevados a cabo durante más de treinta años sobre contenidos matemáticos diferentes. Mostraron a la vez el interés y el valor heurístico de esta teorización y pueden legitimar el éxito del proyecto científico de Guy Brousseau. - La transposición didáctica es un concepto desarrollado inicialmente por Yves Chevallard para explicar las transformaciones que sufren los objetos matemáticos cuando tienen que estar presentes en un sistema didáctico. En el paradigma de la teoría de las situaciones este concepto se hace operativo y se precisa a través de la noción de situación fundamental de un conocimiento, que constituye un instrumento privilegiado de estudio de estos fenómenos transpositivos, precisando las condiciones de conservación del sentido del saber y los conocimientos en el momento de su transposición. - El concepto de contrato didáctico, central en el análisis del funcionamiento del sistema didáctico, ha sido retomado recientemente por el propio Guy Brousseau, en una perspectiva de modelización de diferentes tipos de contratos. Otros investigadores estudiaron, en una
perspectiva diferencial, las condiciones didácticas susceptibles de explicar el por qué ciertos alumnos se revelan más sensibles que otros a implícitos movilizados en el contrato, así como los lazos que estos fenómenos de sensibilidad al contrato didáctico tienen con la problemática tradicional de las desigualdades escolares (B. Sarrazy). - El concepto de obstáculo, tomado del epistemólogo Gastón Bachelard, ha permitido realizar enfoques originales en el análisis de los errores de los alumnos. Este concepto ha sido especialmente productivo en el análisis de las dificultades del paso de los números enteros a los números decimales. - La distinción realizada entre conocimientos involucrados en la acción, producidos por la actividad del sujeto en sus relaciones con en medio y el saber identificado en las instituciones, ha permitido abrir un campo de estudio relativo al papel de la enumeración en la construcción de los números (J. Briand), y otro que concierne al tratamiento de las relaciones entre conocimientos espaciales y geometría euclidiana (R. Berthelot, M.-H. Salin). - El concepto de medio para la acción y su estructuración permiten modelar las rupturas necesarias realizadas en los cambios de referencia del sujeto en un contexto didáctico (distinción situación de aprendizaje, situación didáctica). Este concepto, introducido desde los principios de la teorización de los hechos didácticos, ha sido retomado y abordado en profundidad por C. Margolinas, en particular para analizar la acción del profesor en las clases ordinarias. - La memoria didáctica ha sido un concepto esencial que ha permitido tomar en cuenta e identificar fenómenos vinculados al tiempo didáctico, la progresión de este último, la conversión de los conocimientos en saber por la acción de la institucionalización del profesor (J. Centeno). - El lugar y el “rôle” de la institucionalización, que consiste en fijar a partir de los conocimientos elaborados en las situaciones adidácticas, los elementos que van a participar en la construcción y el reconocimiento explícito del saber y a asegurar así la coherencia entre los aprendizajes y los objetivos de enseñanza fijados por la institución. (A. Rouchier). - La noción de agrupamiento/surtido didáctico es más reciente. Permite estudiar la estructuración de los conjuntos de actividades y de ejercicios reunidos con una intención de enseñanza. (F.Genestoux). Los dominios matemáticos estudiados: Sea directamente, a través de su propio trabajo o el de sus alumnos o incluso a través de los trabajos realizados en el paradigma de estudio que ha identificado, Guy Brousseau se ha interesado por todos los dominios de las matemáticas y especialmente por los que cubren el período de la enseñanza obligatoria. - Las dificultades del aprendizaje de los algoritmos clásicos de la multiplicación y de la división, las virtudes de otros algoritmos tanto desde el punto de vista de la facilidad de aprendizaje como de la facilidad de utilización, los comienzos de su enseñanza: sentido de la operación y la construcción del algoritmo (Guy Brousseau).
- Las primeras enseñanzas del número y de la numeración. La situación fundamental del número, medio para realizar una colección equipotente a una colección dada, combinada con la utilización de las variables didácticas permite engendrar un gran número de situaciones principalmente de acción o de comunicación que permite estructurar con éxito los primeros aprendizajes. (H. El Bouazzaoui, B. Quevedo de Villegas). - La creación de un código de designación en un contexto conjuntista a nivel de la escuela maternal (J. Peres). - Las probabilidades al final de la escuela elemental: encontrar situaciones en las cuales las primeras nociones de probabilidades sean unos medios de decisión. (G. Brousseau). - Los números racionales y los números decimales: situaciones fundamentales y una progresión anual completa elaborada como consecuencia de un programa plurianual (G. Brousseau, N. Brousseau). - La necesaria diversidad de los contextos y de las situaciones en las cuales el razonamiento matemático se especifica: resolución de problemas de aritmética escolar, situación de elección múltiple, etc … (P. Gibel, P. Orus, B. Mopondi) - La identificación del espacio de los conocimientos previos no formales y su consideración efectiva en la enseñanza: el caso de la geometría (R. Berthelot, D. Fregona, M.-H. Salin), el caso de la enumeración (J. Briand), el del razonamiento (P. Orus) - La enseñanza de la sustracción y la familia de situaciones articuladas en torno al juego de la caja (G. Brousseau). - el estudio de las condiciones de la transición entre la aritmética escolar y el álgebra (D. Broin). - La noción de función y el papel de la gráfica (p. Alson, I. Bloch, E. Lacasta). - los inicios en la proporcionalidad: una situación fundamental basada en la noción de reparto equitativo (E. Comin). Una participación activa en los compromisos de una generación: El compromiso de Guy Brousseau respecto a la enseñanza de las matemáticas, de su control, del estudio de las cuestiones que plantea, no se reduce al ámbito de la investigación. A nivel nacional, desempeñó un papel extremadamente importante especialmente en la Asociación de Profesores de Matemáticas y a través de ella, participó activamente en la concepción e implantación de los IREM. Se trata de instituciones originales en el contexto institucional francés, a partir de las cuales se ha desarrollado colaboraciones múltiples al servicio de la enseñanza de las matemáticas, apoyándose en tres polos: búsqueda, innovación y formación de maestros. Participó directamente en la iniciativa de la creación de un grupo nacional de trabajo que reúne a los formadores de maestros de la escuela elemental, desde hace 30 años: la COPIRELEM14. También participó muy activamente en la creación de numerosos instrumentos de acción científica colectiva, dedicados a la
formación de jóvenes investigadores15, a los debates y a la circulación de las ideas: entre ellos, hay que citar la revista científica (RDM), la asociación de investigación (ARDM), la Escuela de verano, el Seminario Nacional de Didáctica de las matemáticas. Encontramos también estos compromisos en el plano internacional; Guy Brousseau, prolongando la labor de Caleb Gattegno, de Juan Piaget, de Willy Servais, de Zofia Krygowska, de Luciana Félix, de Hans Freudenthal, de Ephraïm Fishbein y de muchos de otros importantes investigadores, ha sido un dinamizador infatigable de la CIEAEM, de la cual fue su secretario durante varios años y a la que siguió regularmente en sus "desplazamientos estivales " de Suiza a México, de Hungría a Gran Bretaña, desde 1960 hasta el principio de los años 90. El término dinamización da cuenta, sólo parcialmente, de la diversidad y de la profundidad del trabajo que desarrolló, en el marco de una estructura que poseía unas restricciones institucionales propias, como lo era la CIEAEM a lo largo de los años 60, 70 y 80. Guy Brousseau también desempeñó un papel fundamental en el lanzamiento inicial del grupo internacional PME16 a partir de la Conferencia Internacional del ICME en 1976 en Karlsruhe. Ha sido y continúa siendo invitado regularmente a participar en obras colectivas y en manifestaciones científicas internacionales, concernientes a la enseñanza de las matemáticas. Guy Brousseau ha sido recibido Doctor Honoris Causa de la universidad de Montreal en junio de 1997. Instrumentos para la acción docente, para la formación de los maestros y para la investigación La influencia de Guy Brousseau va mucho más allá del ámbito de la investigación. Desde los años 70, por ejemplo, en el marco del INRP17 y en el de los IREM, se constituyeron numerosos equipos para elaborar productos experimentales para la enseñanza con un objetivo de generalización, a través de libros para los maestros y a través de manuales para los alumnos. Estos productos se basaban principalmente, por una parte en el marco teórico ofrecido por la teoría de situaciones didácticas y por otra parte en las numerosas proposiciones de situaciones y de problemas construidos y estudiados en el COREM. El reconocimiento del papel y del lugar de la actividad matemática propia del alumno como motor del aprendizaje, la toma en consideración de los obstáculos epistemológicos y didácticos, el apoyo brindado por las situaciones fundamentales, la atención dedicada a las formulaciones, son también conquistas que impregnan fuertemente los programas de enseñanza y las prácticas de los profesores franceses. La formación de los profesores siempre fue una preocupación de Guy Brousseau. Los conceptos que formuló, controlados por su capacidad para favorecer la comprensión de la acción didáctica, han influenciado fuertemente los programas actuales de formación de maestros de la escuela elemental. Encontramos esta influencia en el concurso de reclutamiento18. En efecto, los estudiantes que desean hacerse profesores aprenden a analizar producciones de alumnos y documentos pedagógicos apoyándose en las categorías analíticas nacidas de la teoría de las situaciones didácticas. Encontramos también esta influencia en los otros momentos de la formación, los momentos en los cuales los jóvenes profesores aprenden otros componentes de su oficio: la construcción de situaciones de enseñanza y de aprendizaje. Y para terminar, con su contribución a la puesta en marcha de la COPIRELEM de la que ha seguido sus trabajos desde su creación, Brousseau ha permitido que las matemáticas de la escuela elemental dispusieran de un instrumento único
de coordinaci贸n nacional de la formaci贸n de los maestros, vinculada a los IREM y a los IUFM.