Revista de economia

INGENIERÍA ECONÓMICA

Temas: COMBINACIÓN DE FACTORES. TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO, CAPITALIZACIÓN. VALOR PRESENTE Y COSTO CAPITALIZADO. ANÁLISIS DE COSTO ANUAL UNIFORME Y EQUIVALENTE.

Autor: Iliana Lobo.

Contenido La combinación de factores:....…………………………………………………………...1 Cálculos para series uniformes que son diferida:……………………………………….1 Tasas de interés nominal y efectivo, capitalización……………………….……………2 Tasa nominal.…………………………………..…………………………………....….2-1 Tasa de capitalización.……..……………………………………………………….........3 Cálculo de tasas de interés desconocidas………..…………………………………….3 Tasa efectiva. …………...…………………………………………………………………4 Valor presente y costo capitalizado.……………………………………………………..5 Valor presente……………………………………………………………………………..5 Costo capitalizado (cc) ………………………………...………………...……………….6 Procedimiento para calcular el cc ……………………………….................................6 Análisis de costo anual uniforme y equivalente:……………………………………......7 Aplicación del análisis del valor anual……………………………………………..........7 Calculo de recuperación de capital y de valores del va………………………………..8 Comparación de alternativa por diferentes métodos:…………………………………..9 Ejercicios de interés compuesto.………………………………………...……………..10

Ejercicios de análisis de costos uniforme y equivalente………………………………10 Ejercicios del método del valor presente.………………………………………...……11

LA COMBINACION DE FACTORES. Las series uniformes o anualidades: Constituyen una serie de pagos o flujos, de igual cuantía o valor y que se presentan de manera periódica en el tiempo. Las series uniformes se clasifican en: Vencidas y anticipadas: Según el tipo de pago, es decir, en el momento en que se presentan. Y se clasifican en diferidas y perpetuas según el comportamiento de la serie en función del tiempo, a continuación vamos a ver con una serie de ejemplos, cuando se presentan los diferentes tipos de series uniformes.

Un ejemplo de series uniformes o anualidades vencidas, lo observamos en el pago de un crédito mediante la modalidad de cuota fija, al vencimiento del periodo, en este caso, la cuota fija a pagar por el crédito, es uniforme y periódica en el tiempo, ya sea que los pagos sean mensuales, bimestrales, trimestrales... ...En cuanto a las series anticipadas, podemos tomar el mismo ejemplo del crédito, salvo que en la modalidad anticipada, los pagos se presentan al inicio de cada periodo. También observamos este tipo de serie uniforme en los contratos de arrendamiento, los cuales usualmente se pagan de manera anticipada.

Cálculos para Series Uniformes que son Diferidas.

Si una serie uniforme se inicia en un momento diferente del final del periodo 1, se dice que es una serie diferida.

Para encontrar el valor presente equivalente P se utilizan diversos métodos: Usar el factor P/F para encontrar el valor presente de cada desembolso en el año 0 y súmelos.

Usar factor F/P para determinar el valor futuro de cada desembolso en el año N (13), súmelos y luego calcule el valor presente del total, mediante P=F(P/F,i,13).

Emplear el factor F/A para encontrar la cantidad futura F=A(F/A,i,10) y luego calcular el valor presente mediante P=F(P/F,i,13) Utilizar el factor P/A para calcular el “valor presente” que estará situado en el año 3, no en el año 0 mediante el factor (P/F,i,3), valor presente se encierra entre comillas sólo aquí para representar el valor presente como está determinado por el factor P/A en el año 3 y para diferenciarlo del valor presente en el año 0).

Por lo común el último método se utiliza para calcular el valor presente de una serie uniforme que se empieza al final del periodo 1.

TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO, CAPITALIZACIÓN TASA NOMINAL. Una tasa es un coeficiente que refleja la relación entre dos magnitudes y permite expresar distintos conceptos, tales como el interés (la utilidad, el valor o la ganancia de algo). La tasa de interés, en este sentido, es un índice que se expresa en forma de porcentaje y se usa para estimar el costo de un crédito o la rentabilidad de los ahorros.

Se conoce como tasa de interés nominal o tasa nominal al interés que capitaliza más de una vez al año. Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras que suele ser fijado por las autoridades para regular los préstamos y depósitos.

La tasa nominal es igual a la tasa de interés por período multiplicada por el número de períodos. La tasa efectiva, en cambio, es el interés real que una persona paga en un crédito o cobra en un depósito.

Pese a que se encuentra enmarcada en un cierto período de tiempo, la tasa nominal contempla varios pagos de intereses en dicho plazo. Con la tasa efectiva, se calcula el rendimiento en un único pago por período.

Por ejemplo: la tasa nominal suele expresarse en base anual. Los contratos, de todas formas, pueden especificar que el interés se calculará varias veces durante el año (ya sea de manera mensual, trimestral o semestral, entre otras). El año, por lo tanto, puede dividirse en doce meses, cuatro trimestres o dos semestres. Si la tasa de interés es del 2% por trimestre, es posible hablar de una tasa nominal anual del 8% (ya que el año tiene cuatro trimestres).

Un concepto íntimamente ligado a la tasa nominal es el de rentabilidad; se trata del margen de ganancia que puede devolver una inversión. Si se tiene en cuenta el tiempo que transcurre para obtener dichos beneficios, entonces se utiliza la expresión “ganancia en el tiempo”. Veamos un ejemplo: si se adquiere una casa por $500.000 y luego de un año se la vende por $510.000, la utilidad que se habrá obtenido en 12 meses es de $10.000. Puesto en otras palabras, si en lugar de comprar el inmueble se invierten los $500.000 sabiendo que por cada $100 se recibirán $2, al cabo del mismo período podrían obtenerse los $10.000.

Tasa de Capitalización.

La tasa de interés nominal es la tasa de interés anual, es decir, la tasa que tiene una capitalización anual.

La tasa de interés efectiva es la tasa de interés que tiene una capitalización con cualquier duración, esta duración puede ser mensual, bimestral.

Semestral, etc.

Así que la capitalización viene siendo el periodo en que se generan intereses.

En capítulos anteriores se introdujeron los conceptos de tasas de interés compuesto y de interés simple, la diferencia básica entre los 2 es que el interés compuesto incluye interés sobre el interés obtenido el año anterior. En esencia, la tasa de interés nominal y la tasa de interés efectiva tienen la misma relación que el interés compuesto y el simple.

El cálculo para la tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo, al igual que el cálculo del interés simple. Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo, al calcular las tasas anuales de interés de las tasas de interés de periodo, la tasa anual se denomina tasa de interés efectiva.

Cálculo de Tasas de Interés Desconocidas

En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de recibida luego de un número especificado de años pero se desconoce la tasa de interés o tasa de retorno. Cuando hay involucrados un pago único y un recibo único, una serie de pagos o recibos, o un gradiente convencional uniforma de pagos o recibos, la tasa desconocida puede determinarse para i por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes o muchos factores, el problema debe resolverse mediante un método de ensayo y error o numérico.

Las fórmulas de pago único pueden reordenarse con facilidad y expresarse en términos de i, pero para las ecuaciones de serie uniforme y de gradientes, comúnmente es necesario resolver para el valor del factor y determinar la tasa de interés a partir de las tablas de factores de interés

TASA EFECTIVA. Lo primero que tenemos que hacer para establecer el significado de tasa efectiva es determinar el origen etimológico de las palabras que conforman el término. Así, en primer lugar, podemos exponer que tasa procede del verbo latino taxare, que puede traducirse como “fijar un precio máximo”.

La relación entre dos magnitudes se conoce como tasa y expresa la relación que existe entre una cantidad y la frecuencia de un determinado fenómeno. El interés, por otra parte, es el valor, la utilidad, el provecho o la ganancia de algo.

Estos dos conceptos nos permiten acercarnos a la noción de tasa de interés, que es el precio del dinero que se paga o se cobra para pedirlo o cederlo por un periodo determinado. La tasa de interés nominal es aquella que refleja la rentabilidad o el costo de un producto financiero de manera periódica.

La tasa efectiva, en cambio, señala la tasa a la que efectivamente está colocado el capital. Como la capitalización del interés se produce una cierta cantidad de veces al año, se obtiene un tasa efectiva mayor que la nominal. La tasa efectiva, por otra parte, incluye el pago de intereses, impuestos, comisiones y otros gastos vinculados a la operación financiera.

A la hora de poder calcular la tasa efectiva hay que tener en cuenta una serie de elementos fundamentales para ello. En concreto, hay que contar con datos tales como el número de desembolsos, el tiempo que ha pasado entre la fecha de inicio y la del desembolso, el número de pagos, el interés nominal, los cargos, las comisiones, el monto del desembolso y también el valor de la cuota. Con este último término nos referimos tanto a los intereses como a la amortización, a las comisiones y a otra serie de cargos que pudieran existir.

Si, por el contrario, lo que deseamos es llevar a cabo el cálculo de la tasa efectiva anualizada el proceso es mucho más sencillo. . La fórmula para hacerlo sería la siguiente: ie = (1+ik) k – 1.

En dicha fórmula los elementos establecidos corresponden a los siguientes conceptos: ie es la tasa efectiva anualizada; ik es la tasa de interés efectiva que se refiere al tiempo de pago de la cuota en cuestión, y finalmente la k es el número de cuotas que existen al año.

Si tenemos una tasa de interés del 2% mensual, podría decirse que la tasa nominal es del 6% por trimestre (2% mensual por tres meses). Dicha tasa, por lo tanto, no tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. La tasa efectiva, en cambio, considera también la capitalización del dinero.

La tasa nominal suele estar referenciada a un periodo de un año, aunque implica varios pagos de intereses en dicho plazo. La tasa efectiva, por su parte, sólo mide el rendimiento en el periodo en que se realiza el pago o cobro.

VALOR PRESENTE Y COSTO CAPITALIZADO.

VALOR PRESENTE. El método del valor presente de evaluación de alternativas es muy popular debido a que los gastos o los ingresos futuros se transforman en dólares equivalentes de ahora. Es decir, todos los flujos futuros de efectivo asociado con una alternativa se convierten en dólares presentes. En esta forma, es muy fácil, aún para una persona que no está familiarizada con el análisis económico, ver la ventaja económica de una alternativa sobre otra.

La comparación de alternativas con vidas iguales mediante el método del valor presente es directa. Si se utilizan ambas alternativas con capacidades idénticas para el mismo periodo de tiempo, estas reciben el nombre de alternativas de servicio igual.

Con frecuencia, los flujos de efectivo de una alternativa representan solamente desembolsos, es decir, no se estiman entradas. Por ejemplo, se podría estar interesado en identificar el proceso cuyo costo inicial, operacional y de mantenimiento equivalente es más bajo. En otras ocasiones, los flujos de efectivo incluirán entradas y desembolsos.

Las entradas, por ejemplo, podrían provenir de las ventas de un producto, de los valores de salvamento de equipo o de ahorros realizables asociados con un aspecto particular de la alternativa. Dado que la mayoría de los problemas que se considerarán involucran tanto entradas como desembolsos, estos últimos se representan como flujos negativos de efectivo y las entradas como positivos.

Por lo tanto, aunque las alternativas comprendan solamente desembolsos, o entradas y desembolsos, se aplican las siguientes guías para seleccionar una alternativa utilizando la medida de valor del valor presente: Una alternativa: Si VP >= 0, la tasa de retorno solicitada es lograda o excedida y la alternativa es financieramente viable.

Dos alternativas o más: Cuando sólo puede escogerse una alternativa (las alternativas son mutuamente excluyentes), se debe seleccionar aquella con el valor presente que sea mayor en términos numéricos, es decir, menos negativo o más positivo, indicando un VP de costos más bajos o VP más alto de un flujo de efectivo neto de entradas y desembolsos.

En lo sucesivo se utiliza el símbolo VP, en lugar de P, para indicar la cantidad del valor presente de una alternativa.

Ejemplo: Haga una comparación del valor presente de las máquinas de servicio igual para las cuales se muestran los costos a continuación, si la i = 10% anual.

Tipo A

Tipo B

Costo inicial (P) $

2500

3500

Costo anual de operación (CAO) $

900

700

Valor de salvamento (VS) $

200

350

Vida (años)

5

5

La solución queda de la siguiente manera: VPA = -2500 - 900(P/A,10%,5) + 200(P/F,10%,5) = -$5787.54 VPB = -3500 - 700(P/A,10%,5) + 350(P/F,10%,5) = -$5936.25

COSTO CAPITALIZADO (CC)

Se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida útil se considera perpetua. Puede considerarse también como el valor presente de un flujo de efectivo perpetuo, como por ejemplo: carreteras, puentes, etc. También es aplicable en proyectos que deben asegurar una producción continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados periódicamente.

La comparación entre alternativas mediante costo capitalizado es realizada con la premisa de disponer de los fondos necesarios para reponer por ejemplo un equipo, una vez cumplida su vida útil.

La ecuación para obtener el costo capitalizado se obtiene de: Dónde: P= Valor días.

A= Anualidad o serie de pagos constantes e iguales. i= tasa de interés. n= número de periodos.

Si el numerador y el denominador se dividen entre ( 1+ i) a la n, la ecuación del numerador se transforma en: A medida que n tiene a ∞ el término del numerador se convierte en 1 produciendo así: Cc=P=A/i

Procedimiento para calcular el CC 1 -Encuentre el Valor presente de todas las cantidades no recurrentes (por ejemplo: inversión inicial, pagos extraordinarios, valor de recuperación, etc.)

2 -Encuentre el valor anual uniforme (VA) de todas las cantidades recurrentes que ocurren en los años 1 a ∞ (por ejemplo: manteniendo mensual, pagos extraordinarios recurrentes, etc.) y divídalo entre la tasa de interés (se aplica la fórmula P=A/i).

3 -Se suman las cantidades obtenidas en los pasos 1 y 2.

ANÁLISIS DE COSTO ANUAL UNIFORME Y EQUIVALENTE. Aplicación del análisis del valor anual En muchos estudios de ingeniería económica, el método del VA es el más recomendable cuando se le compara con el VP, el VF y la tasa de rendimiento (siguientes dos capítulos). Ya que él VA es el valor anual uniforme equivalente de todos los ingresos y desembolsos, estimados durante el ciclo de vida del proyecto o alternativa, cualquier persona familiarizada con pagos anuales, es decir, unidades monetarias anuales, puede entender con facilidad el concepto de VA. El VA, que posee la misma interpretación económica que el valor A utilizado hasta ahora, es el equivalente de los valores VP y VF en la TMAR para n años.

Los tres valores se pueden calcular fácilmente, uno a partir del otro, por medio de la fórmula: VA=VP(A/P,i,n)=VF(A/F;i,n) Él VA debe calcularse exclusivamente para un ciclo de vida.Por lo tanto, no es necesario emplear el MCM de las vidas, como en el caso de los análisis del VP y del VF. Cuando las alternativas que se comparan tienen vidas diferentes, se establecen los siguientes supuestos en el método del VA: 1. Los servicios proporcionados son necesarios al menos durante el MCM de las alternativas de vida.

2. La alternativa elegida se repetirá para los ciclos de vida subsiguientes exactamente de la misma forma que para el primer ciclo de vida.

3. Todos los flujos de efectivo tendrán los mismos valores calculados en cada ciclo de vida.

Calculo de recuperación de capital y de valores del VA.

Una alternativa debería tener las siguientes estimaciones de flujos de efectivo: Inversión inicial P. Representa el costo inicial total de todos los activos y servicios necesarios para empezar la alternativa.

Cuando partes de estas inversiones se llevan a cabo durante varios años, su valor presente constituye una inversión inicial equivalente. Esta cantidad se denota con P. Valor de salvamento S. Es el valor terminal estimado de los activos al final de su vida útil. S tiene un valor de cero si no se anticipa ningún valor de salvamento; Ses negativo si la disposición de los activos tendrá un costo monetario. En periodos de estudio más cortos que la vida útil, S es el valor comercial estimado o valor comercial al final del periodo de estudio.

Cantidad anual A. Es la cantidad anual equivalente (costos exclusivos para alternativas de servicio; costos y entradas para alternativas de ingresos). A menudo se trata de un costo de operación anual (COA); así que la estimación es, de hecho, un valor equivalente A. El valor anual (VA) para una alternativa está conformado por dos elementos: la recuperación del capital para la inversión inicial P a una tasa de interés establecida (por lo general la TMAR) y la cantidad anual equivalente A. Las siglas RC se emplean para indicar el elemento relativo a la recuperación del capital. En forma de ecuación, se tiene que: VA= - RC - A

Comparación de alternativa por diferentes métodos.

El método del valor anual por lo común es la técnica de evaluación más sencilla de llevar a cabo cuando se especifica la TMAR. La alternativa elegida posee el menor costo anual equivalente (alternativas de servicio) o el mayor ingreso equivalente (alternativas de ingresos).Para alternativas mutuamente exclusivas, calcule él VA usando la TMAR. Una alternativa: VA 2>0, la TMAR se alcanza o se rebasa.

Dos o más alternativas: se elige el costo mínimo o el ingreso máximo reflejados en el valor VA (numéricamente más grande). Esto implica que las directrices de elección son las mismas que en el caso del método del VP, salvo que se emplea él VA. Método del fondo de la amortización de salvamento.

Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de calcular él VA. En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte primero en una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P. Dado normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial. Estos cálculos pueden estar representados por la ecuación general: VA = -P(A/P,i,n) + VS(A/F,i,n) ; naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de efectivo, éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA. Método de valor presente de salvamento.

El método del valor presente también convierte las inversiones y valores de salvamento en un VA. El valor presente de salvamento se retira del costo de inversión inicial y la diferencia resultante es analizada con el factor A/P durante la vida del activo.

La ecuación general es: VA = -P + VS(P/F,i,n)(A/P,i,n).

Los pasos para obtener él VA del activo completo son: • Calcular el valor presente del valor de salvamento mediante el factor P/F. • Combinar el valor obtenido en el paso 1 con el costo de inversión P. • Analizar la diferencia resultante durante la vida del activo utilizando el factor A/P. • Combinar cualquier valor anual uniforme con el paso 3.

• Convertir cualquier otro flujo de efectivo en un valor anual uniforme equivalente y combinar con el valor obtenido en el paso 4.

Método de recuperación del capital más intereses.

Se reconoce que se recuperara el valor de salvamento si se resta el valor de salvamento del costo de la inversión antes de multiplicar por el factor A/F. Sin embargo, el hecho de que el valor de salvamento no se recuperara’ para n años debe tenerse en cuenta al sumar el interés (VSi) perdido durante la vida útil del activo. Al no incluir este término se supone que el valor de salvamento se obtuvo en el año cero en vez del año n.

Ejercicios DE INTERES COMPUESTO. 1.-Calcular el monto obtenidos al invertir en un Tour de Lan Bs200 al 5% de interĂŠs anual durante 10 aĂąos en rĂŠgimen de capitalizaciĂłn compuesta C n i M

DATOS Bs200 10 aĂąos 5% ?

đ?‘€ = đ??ś(1 + đ?‘–)đ?‘› đ?‘€ = 200(1 + 0.05)10 đ?‘€ = 325,78

2.-Calcule el monto al que asciende el depĂłsito de un capital por un pasaje de Bs12.000 colocados al 4% mensual, con capitalizaciĂłn semanal, durante 343 dĂ­as C n i M

DATOS Bs12.000 343 dais 4% ?

đ?‘€ = đ??ś(1 + đ?‘–)đ?‘›

đ?‘€ = 12.000(1 +

0.04.12 343 52

)360 .52

� = 18.918,53 EJERCICIOS DE ANALISIS DE COSTOS UNIFORME Y EQUIVALENTE. Ejemplo 1 Una empresa de consultoría en ingeniería estudia dos modelos de SUV para sus directivos. El de la marca General Motors tendrå un costo inicial de $26 000, uno de operación de $2 000, y un valor de rescate de $12 000 despuÊs de 3 aùos. Por otra parte, el fabricado por Ford tendría un costo inicial de $29 000, uno de operación de $1 200, y un valor de reventa de $15 000 una vez transcurridos 3 aùos. Con una tasa de interÊs de 15% anual, ¿cuål modelo debe comprar la compaùía? Haga un anålisis del valor anual.

Solución: VA Gm = -26,000(A/P,15%,3) – 2000 + 12,000(A/F,15%,3) = -26,000(0.43798) – 2000 + 12,000(0.28798) = $-9932 VA Ford = -29,000(A/P,15%,3) – 1200 + 15,000(A/F,15%,3) = -29,000(0.43798) – 1200 + 15,000(0.28798) = $-9582 Compre el Ford SUV

Ejercicio 2 La máquina A tiene una vida de 3 años sin valor de rescate y suponga que el servicio que proporciona sería de solo 5años. La alternativa A implica volver a comprar la máquina y conservarla durante 2 años únicamente. ¿Cuál tendría que ser su valor de rescate después de 2 años para que su valor anual fuera el mismo con el ciclo de vida de 3 años y una tasa de interés de 10%anual?

Solución: -10,000(A/P,10%,3) – 7000 = -10,000(A/P,10%,2) – 7000 + S(A/F,10%,2) -10,000(0.40211) – 7000 = -10,000(0.57619) – 7000 + S(0.47619) S = $3656

Ejercicios del METODO DEL VALOR PRESENTE. Haga una comparación del valor presente de las máquinas de servicio igual para las cuales se muestran los costos a continuación, si la i = 10% anual.

Tipo A Tipo B Costo inicial (P) $

2500

3500

Costo anual de operación (CAO) $

900

700

Valor de salvamento (VS) $

200

350

Vida (años)

5

5

La solución queda de la siguiente manera: VPA = -2500 - 900(P/A,10%,5) + 200(P/F,10%,5) = -$5787.54 VPB = -3500 - 700(P/A,10%,5) + 350(P/F,10%,5) = -$5936.25 Una agente viajera espera comprar un auto usado este año y ha estimado la siguiente información: El costo inicial es $10,000; el valor comercial será de $500 dentro de 4 años; el mantenimiento anual y los costos de seguro son de $1,500; y el ingreso anual adicional debido a la capacidad de viaje es de $5,000. ¿Podrá la agente viajera obtener una tasa de retorno del 20% anual sobre su compra?

Solución: Calcular el VP de la inversión con i = 20% VP = -10000 + 500(P/F,20%,4) - 1500(P/A,20%,4) + 5000(P/A,20%,4) = -$698.40 No obtendrá una tasa de retorno del 20% porque VP es menor que cero.