Temas: Fuerza electromotriz inducida. Circuitos de corriente alterna. Ecuaciรณn de maxwell.
Autor: Iliana Lobo.
Contenido La fuerza electromotriz (fem):...………………………………………………………….1 La ley de lenz:……………………………………………………………………………..1 Propiedades magnéticas de los materiales:……………………………………………2 Diamagnéticas:………………………………………………………………………….2-1 Paramagnéticos:………………………………………………………………………...2-2 Ferromagnéticos:………………………………………………………………………..2-3 Circuitos de corriente alterna:……………………………………………………………3 Corriente alterna:………………………………………………………………………….3 Los receptores en corriente alterna (c.a.) se pueden comportar de 3 formas diferentes:…………………………………………………………………………………..3 Consideraciones previas:…………………………………………………………………4 Los diferentes circuitos en corriente alterna:…………………………………………...5 Valores significativos de una señal sinusoidal:………………………………………...6 Ecuaciones de maxwell:……………………………………………………………….....7 Ley de gauss:………………………………………………………………………………7 Ley de ampere:…………………………………………………………………………….8 Ley de faraday-lenz:………………………………………………………………………8 Ejercicios de fuerza electromotriz inducida:……………………………………………9 Ejercicios de circuitos de corriente alterna:…………………………………………...10 Ejercicios de ecuación de maxwell:……...…………………………………………….11
LA FUERZA ELECTROMOTRIZ (FEM) Se denomina fuerza electromotriz (FEM) a la energía proveniente de cualquier fuente, medio o dispositivo que suministre corriente eléctrica. Para ello se necesita la existencia de una diferencia de potencial entre dos puntos o polos (uno negativo y el otro positivo) de dicha fuente, que sea capaz de bombear o impulsar las cargas eléctricas a través de un circuito cerrado.
LA LEY DE LENZ. Determinó que la fem ℰ inducida en una bobina que depende de la rapidez de cambio de la cantidad de líneas de campo magnético que pasa por todas las vueltas. Donde △Φ es el cambio de flujo que pasa por una espira, N es el número de vueltas del alambre. Y △t es el tiempo. La fuerza electromotriz (fem) las unidades son los voltios.
ℰ = -N dΦ / dt LEY DE LENZ. Regla de la mano derecha "Cuando el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección del campo inducido, los demás dedos apuntan en dirección de la corriente inducida”. A : Circuito electrico abierto (sin carga o resistencia).Por tanto, no se establece la circulación de la corriente eléctrica desde la fuente de FEM (la batería en este caso). B: Circuito eléctrico cerrado (con una carga o resistencia acoplada, a través de la cual se establece la circulación de un flujo de corriente eléctrica desde el polo negativo hacia el polo positivo de la fuente de FEM o batería. Imagen de fuerza electromotriz.
Si el pulgar, el índice y el dedo medio de la mano derecha se colocan perpendicularmente entre sí como para formar tres ejes de coordenadas en el espacio, con el dedo pulgar apuntando en el sentido del movimiento del conductor con relación al campo magnético y el dedo índice en dirección a las líneas de fuerza magnéticas, entonces el dedo medio señalará el sentido de la fem inducida. La fem inducida en un transformador es proporcional a 3 factores: Flujo, frecuencia y número de espiras. La ecuación de la fem suponiendo onda sinusoidal y unidades electromagnéticas [cgs] E= (4.44)( f)(N)( Omax X10-8 ) =[voltios] Donde f = frecuencia en ciclos por seg. N= num. de espiras Omax= valor máximo de flujo [maxwells]
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LOS MATERIALES.
No todos los materiales se comportan de igual manera frente a los campos magnéticos. Un clavo de hierro es atraído por un imán, pero un trozo de madera no experimenta ninguna fuerza en las proximidades de ese mismo imán. El comportamiento de los materiales frente a los campos magnéticos depende de la estructura interna del material. El movimiento de los electrones que forman un material hace que se induzcan pequemos campos magnéticos. En función de cómo se orienten estos pequeños campos magnéticos en presencia de un campo magnético externo los materiales presentan estas propiedades: DIAMAGNÉTICAS.
Esta propiedad magnética consiste en que parte de los pequeños campos magnéticos inducidos por el movimiento de rotación de los electrones del propio material, en presencia de un campo magnético externo, se orientan de forma opuesta este. Como consecuencia, un material diamagnético tiende a desplazarse a la zona donde el campo magnético externo es más débil. Todos los materiales presentan la propiedad del diamagnetismo, lo que sucede es que este efecto es tan débil que queda oculto por otros efectos como. PARAMAGNÉTICOS.
Esta propiedad magnética consiste en que parte de los pequeños campos magnéticos inducidos por el movimiento de rotación de los electrones del propio material, en presencia de un campo magnético externo se alinean en la misma dirección que este. Como consecuencia, el campo magnético en el interior se hace más intenso, y el material tiende a desplazarse al lugar donde el campo magnético externo es más intenso. FERROMAGNÉTICOS.
En los materiales ferromagnéticos, las fuerzas entre los átomos próximos, hace que se creen pequeñas regiones, llamadas dominios, en las que el campo magnético originado por el movimiento de rotación de los electrones está alineado en la misma dirección. En ausencia de campo magnético externo, lo dominios están orientados al azar, pero al aplicar un campo magnético externo, estos dominios se alinean en la dirección del campo aplicado, haciendo que este se intensifique en el interior del material de forma considerable. Parte de estos dominios conservan la orientación incluso una vez que el campo magnético externo desaparece, hecho que explica el fenómeno de la imanación. Los materiales ferromagnéticos (hierro y aleaciones férreas) tienen mucha aplicación en las máquinas eléctricas.
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA.
Corriente alterna.
Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de alternating current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y el sentido varían cíclicamente. La forma de oscilación de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la oscilación senoidal con la que se consigue una transmisión más eficiente de la energía, a tal punto que al hablar de corriente alterna se sobrentiende que se refiere a la corriente alterna senoidal. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de oscilación periódicas, tales como la triangular o la cuadrada. Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las industrias. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. En estos usos, el fin más importante suele ser la transmisión y recuperación de la información codificada (o modulada) sobre la señal de la CA.
Los receptores en corriente alterna (c.a.) se pueden comportar de 3 formas diferentes.
Receptores Resistivos puros. Solo tienen resistencia pura. Se llaman receptores R. Receptores Inductivos puros. Solo tienen un componente inductivo puro (bobina). Se llaman L. Receptores Capacitivos puros. Solo tienen un componente capacitivo (condensadores). Se llaman C. En realidad no hay ningún receptor R, L o C puro, ya que por ejemplo un motor eléctrico tiene un bobinado con componente L, pero también esta bobina, por ser un cable, tiene una parte resistiva, por lo tanto será un receptor RL o incluso si tiene una parte capacitiva será receptor RLC. Para analizar estos receptores en circuitos, es mejor hacerlo de forma separada con su componente R, L y C por separado. Así tenemos 3 tipos de circuitos, dependiendo el receptor. Circuitos R, solo resistencia. Circuitos L, solo bobina. Circuito C, solo condensador. Aunque como ya vimos los circuitos reales serian RL, RC o RLC. Vamos a estudiar cómo serían estos 3 circuitos por separado y luego veremos cómo serían los circuitos RL, RC y RLC.
Lo primero que hay que tener en cuenta es que en la corriente alterna las ondas de las tensiones y las intensidades son ondas senoidales y están desfasadas, es decir cuando empieza la onda de la tensión, la onda de la intensidad empieza más tarde (excepto en los resistivos).
Si vemos la gráfica la onda de la tensión está adelantada 30º respecto a la onda de la intensidad. Esto es lo que hace a los circuitos en alterna diferentes a los de corriente continua (c.c.). Es por esto que las tensiones, intensidades, etc. deben de tratarse como vectores, en lugar de números enteros. Este ángulo de desfase se llama ρ (fi) y el cose ρ se conoce como factor de potencia (más adelante lo veremos). Las potencias en alternar son 3 diferentes. Potencia Activa Pa = V x I cose ρ ; esta es la única que da trabajo útil, la realmente transformada. Se mide en Vatios (w). Es la tensión eficaz por la intensidad eficaz por el coseno del ángulo que forman. Potencia Reactiva S = V x I seno ρ ; esta es como si fuera una potencia perdida, cuanto menor sea mejor. Se mide en voltio amperios reactivos (VAR) Potencia Aparente Q = V x I ; se mide en voltio amperios (VA). En todos los circuito la tensión o intensidad en un punto determinado en el tiempo (tensión instantánea intensidad instantánea) es: v = Vo x cose ρ = Vo x cose wt i = Io x sen ρ = Vo x sen wt Siendo w la velocidad angular y Vo e Io la tensión máxima e Intensidad máxima (valores en la cresta de la onda); v e i valores instantáneas de la tensión y de la intensidad y t es el tiempo concreto en el que queremos medir el valor de la v o la i. w = 2∏f ( 2 por pi por frecuencia de la onda); w se mide en radianes/segundo (ra/se); w es la velocidad de la onda, pero como es senoidal, es velocidad angular. También se puede llamar frecuencia angular. Los valores eficaces de la tensión y de la intensidad son los más utilizados, y son los que se cogen como referencia normalmente, son valores fijos que son una media de todos los valores que puede tener la onda. Por ejemplo la tensión en las viviendas se dice que es de 220V, pero ya sabemos que esta tensión al ser alterna será variable, pero los 220V sería la tensión eficaz
Valor eficaz es el valor que debería tener en corriente continua para que produjera el mismo efecto sobre un receptor en corriente alterna. Exactamente el valor eficaz de la I = Io partido por la raiz cuadrada de 2 La tensión eficaz es V = I/Z ; intensidad eficaz partido por la impedancia
Los diferentes circuitos en corriente alterna.
CIRCUITOS R. Solo están compuesto con elementos resistivos puros. En este caso la V y la I (tensión e intensidad) están en fase, por lo que se tratan igual que en corriente continua. Esto en c.a. solo pasa en circuitos puramente resistivos. En receptores resistivos puros la impedancia es R. La potencia será P = V x I. ( el cos 0º = 1), solo hay potencia activa y se llama igualmente P CIRCUITOS L. Son los circuitos que solo tienen componente inductivo (bobinas puras). En este caso la V y la I están desfasadas 90º positivos. En estos circuitos en lugar de R tenemos Xl, impedancia inductiva. L será la inductancia y se mide en henrios, al multiplicarla por w (frecuencia angular) nos dará la impedancia inductiva. La Xl es algo así como la resistencia de la parte inductiva. El valor de la tensión en cualquier momento sería: v = Vo x sen wt ; donde Vo es el valor inicial de la tensión, w frecuencia angular y t el tiempo. Igualmente la intensidad: i = Io x seno (wt - 90º) Recuerda que la I está retrasada 90º. Los valores eficaces son I = V/wL e I V/Xl siendo Xl = w x L.
CIRCUITOS C. Este tipo de circuitos son los que solo tienen componentes capacitivos (condensadores puros). En este caso la V y la I están desfasadas 90º negativos (la V está retrasada en lugar de adelantada con respecto a la I). El valor de la tensión en cualquier momento sería: v = Vo x sen wt ; donde Vo es el valor inicial de la tensión, w frecuencia angular y t el tiempo. Igualmente la intensidad:
Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor mínimo es -1, una señal sinusoidal que oscila entre +A0 y A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2×A0.
Pico o cresta: Valor máximo, de signo positivo (+), que toma la oscilación sinusoidal del espectro electromagnético, cada medio ciclo, a partir del punto “0”. Ese valor aumenta
Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abscisas partido por su período. El valor medio se puede interpretar como el componente de continua de la oscilación sinusoidal. El área se considera positiva si está por encima del eje de abscisas y negativa si está por debajo. Mediante el cálculo integral se puede demostrar que su expresión es
o disminuye a medida que la amplitud “A” de la propia oscilación crece o decrece positivamente por encima del valor "0".
Valor eficaz (A): El valor eficaz se define como el valor de una corriente (o tensión) continúa que produce los mismos efectos calóricos que su equivalente de alterna. Es decir que para determinada corriente alterna, su valor eficaz (Ief) será la corriente continua que produzca la misma disipación de potencia (P) en una resistencia(R). Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período:
Este valor se conoce como valor cuadrático medio), y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático medio de una función. En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia, ya que casi todas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que por rapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.). Matemáticamente se demuestra que par una corriente alterna sinusoidal el valor eficaz viene dado por la expresión:
El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por una carga. El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por una carga. Así, si una tensión de alterna, desarrolla una cierta potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de continua de Vrms desarrollará la misma potencia P en la misma carga, por lo tanto Vrms x I = VCA x I (véase Potencia en corriente alterna)
Ecuaciones de Maxwell.
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.
Ley de Gauss La ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que relaciona el campo eléctrico con sus fuentes, las cargas
La ley de Gauss nos permite calcular de una forma simple el módulo del campo eléctrico, cuando conocemos la distribución de cargas con simetría esférica o cilíndrica tal como veremos en esta página.
Ley de Faraday-Lenz.
Ley de Ampere. Relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica. La ley de Ampere explica que la circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno cerrado es igual a la corriente que recorre en ese contorno. El campo magnético es un campo angular con forma circular, cuyas líneas encierran la corriente. La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra la corriente. El campo magnético disminuye inversamente con la distancia al conductor.
La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético Expresión de la ley de Faraday:5
La ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente ley de Faraday) establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde.
Donde:
Es el campo eléctrico, Es el elemento infinitesimal del contorno C, Es la densidad de campo magnético y Es una superficie arbitraria, cuyo borde es C. Las direcciones del contorno C y de están dadas por la regla de la mano derecha.
Ejercicios de fuerza electromotriz inducida. 1.)Una bobina plana está compuesta de 1 000 espiras rectangulares arrolladas sobre un cuadro móvil. El área media de las diferentes espiras es de 20/ π, cm². Se le hace girar al conjunto a una velocidad de 3 000 r.p.m. en un campo magnético uniforme de intensidad B = 0,5 T. Calcular: a) la f.e.m. máxima inducida en la bobina. b) la expresión de la f.e.m. instantánea. Resolución a) El valor máximo de La Fuerza Electromotriz Alterna Inducida viene dada por la ecuación: εmax= N * B * S * ω Adaptaremos los datos al S.I: N = 1000 espiras S = 20/πcm2 * 1 m2/10000 cm2= 20*10-4/ πm2 ω= 3000 r. p.m = 3000 revoluciones/minuto * 2π rad / 1 revolución * 1 min / 60 s = 100 πrad/s B = 0,5 T Llevando los datos a la ecuación: εmax= N * B * S * ω εmax= 1000 * 0,5 T * 20*10-4/ π m2 * 100πrad/s = 106*10-4= 100 V b) La f.e.m. instantánea como función del tiempo resulta ser: ε = εmax * sen ωt = 100 V * sen (100 π t)
2.)Una bobina gira dentro de un campo magnético de 0,5 T a razón de 400 r.p.m. La bobina está constituida por 100 espiras de 15 cm2 de área cada una de ellas. ¿Cuál es la Fuerza Electromotriz Alterna Inducida? Resolución Recordemos que: ε= N * B * S * ω * sen ωt Adaptación de datos: B = 0,5 T ω = 400 rpm = 400 ciclos/min * 2πrad / 1 ciclo *1 min / 60 s = 13,33 πrad/s S = 15 cm2 * 1 m2/ 10000 cm2= 15*10-4m2 N = 100 espiras
Llevaremos los datos a la ecuación: ε = N * B * S * ω * sen ωt ε = 100 * 0,5 T * 15*10-4m2 * 13,33 π rad/s * sen 13,33 π t= = 9997,5*10-4sen 13,33 πt ≈ 10000*10-4sen 13,33 πt = sen 13,33 π t
EJERCICIOS DE Circuitos de corriente alterna. Ejemplo 1 ¿Cuál ha de ser la frecuencia de una corriente alterna para que una autoinducción, cuyo coeficiente es de 8 henrios, presente una reactancia de 6000 Ω?¿Y para que un condensador de 5 μF presente la misma reactancia? Resolución La impedancia viene expresada por la ecuación: Z = XL = L * ω como: ω=2*π*σ XL= L * 2 * π * σ ; 6000 Ω =8 H * 2 * 3,14 * σ H = Henrios σ = 6000 Ω / 50,24 H =119,42 Hz En el caso del condensador: Z = Xc = 1 / C * ω Xc = 1 / (C * 2 * π * σ) Xc * C * 2 * π * σ = 1 σ = 1 / Xc * C * 2 * π Xc = 6000 Ω C = 5 μF*10-6 F / 1 μF = 5*10-6 F σ= 1 / (6000 Ω * 5*10-6 F . 2 . 3,14) =5,26 HZ ( 1/s) Ejercicio 2 Determinar la reactancia capacitiva de una corriente alterna cuya frecuencia es de 75 r.p.m. El circuito está integrado por un generador de corriente alterna y un Condensador de 20 μF. Resolución σ = 75 r.p.m = 75 ciclos/min * 1 min /60 s = 1,25 ciclos /s = 1,25 (1/s) = 1,15 Hz 20 μF*10-6 F / 1 μF = 20*10-6 F Xc = 1 / C * ω Xc = 1 / C * 2πσ Xc= 1 / 20*10-6 F * 2 * 3,14 * 1,15 1/s = 0,007 * 106=7*10 a la 3Ω
Ejercicios de ecuación de maxwell. Ley de Faraday. Una bobina consta de 200 vueltas de alambre y tiene una resistencia total de 2 Ω. Cada vuelta es un cuadrado de 18 cm de lado y se activa un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la bobina. Si el campo cambia linealmente de 0 a 0,5 tesla en 0,8 seg. Cuál es la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras está cambiando el campo? El área de una vuelta de la bobina es: Lado = 18 cm = 0,18 m A = 0,18m * 0,18m = 0,0324 m2
El flujo magnético a través de la bobina en t = 0 es cero, puesto que B = 0 en dicho momento. Φ2= 0 En t = 0,8 seg. El flujo Φ1= 0,5 T * 0,0324 m2 Φ1= 0,0162 T m2
magnético a través de una vuelta de la bobina es:
Φ1= B * A
Por tanto, la magnitud de la fem inducida es: ΔΦB= Φ 1– Φ2= 0,0162 T m – 0 = 0,0162 T m2 B
N = 200 vueltas. Δt = 0,8 seg ε = N * Δ φ B /Δt ε = N * Δ φ B /Δt ε = 200 * 0,0162Tm 2 / 0,8 Seg = 3,24Tm 2 /0,8 Seg = 4,05 voltios
La ley de gauss. Un conductor con una carga neta de 12μC presenta una cavidad como se ilustra en la figura. Dentro de la cavidad se encuentra una caja puesto q = − 3μC.Calcular la carga q1 en la superficie interior del conductor, y la carga q2 en la superficie exterior.
SOLUCIÓN: En la figura se ha dibujado una superficie gaussiana dentro del conductor, la cual encierra las cargas q1 y − q. Como dentro del conductor el campo eléctrico es cero, al aplicar la ley de Gauss con esta superficie resulta que,
∫
ε0 E * Ds = q1 + (-q)= 0, y q1 = q 3μc Como, por hipótesis, q 1 + q 2 = 12 μc Se tiene que q 2= 12 μc – 3 μc =9 μc Ley de Ampere. Un cable coaxial largo consta de dos conductores concéntricos con las dimensiones mostradas en la figura. Sobre estos conductores circulan corrientes iguales y opuestas, distribuidas de manera uniforme. Halle la magnitud del campo magnético B y su dirección en las regiones (a) 0<r<a; (b) a<r<b; (c) 0<r<c; (d) r>c Solución: Aplicando la Ley de Ampere ∮vector B * vector dl = μ0 I encerrada a) Para 0<r<a al dibujar la circunferencia de radio r menor que el radio del cable interno a: no se tiene la corriente i total encerrada, es un i´ Entonces teniendo en cuenta la densidad de corriente: J = I / A como la distribución de corriente es uniforme: J = i / A = i´ / A´ Despejo i´ = i A´/A = i π r a la dos Simplificando r Reemplazando en Ley de Ampere y teniendo en cuenta que el vector campo magnético y el vector dl forma un ángulo de 0°: B2 π r = μ0 i * r a la 2 / a ala dos 1. Despejo la magnitud del campo magnético: B =μ0 i r / 2 π a ala dos 1. Notemos que el campo magnético dentro del primer conductor es proporcional al radio r variable, es decir es lineal. (b) Ahora determínenos el campo magnético en magnitud para a<r<b En este caso se tiene la corriente completa i encerrada en esta región entonces: B2 π r = μ0 i Despejo la magnitud del campo magnético: B =μ0 i r / 2 π r 2.
Se concluye que cuando r = a los resultados 1 Y 2. Coinciden esto indica que la función es continua. Dirección de campo magnético: Horario (c) En la región b<r<c: En esta región la corriente encerrada corresponde a la total del conductor de radio a y parte de la del conductor exterior, al aplica la ley de ampere tendremos para la corriente encerrada: i encerrada = i – i´ = i – i π ( r al 2 – b al 2) / π ( cal 2 – b al 2) Finalmente reemplazando en Ley de Ampere: B2μr = μ0 (i – i * π ( r al 2 – b al 2) / π ( c al 2 – b al 2) Despejo B. B = μ0 (i – i * π ( r al 2 – b al 2) / π ( c al 2 – b al 2) // 2 π r 3. En este resultado se observa que si r = b solo queda la corriente del conductor interno, y si r = c el campo magnético se anula, que era lo esperado de acuerdo a la simetríadel problema. (d) Para r<c la corriente encerrada es igual a cero lo que implica que el campo magnético es nulo por fuera del cable coaxial. Intente un gráfico de la respuesta,esto es campo magnético contra distancia