Ejercicios complementarios Tema 4 y 5 p

Ejercicios complementarios Tema 4 y 5.

1. Considera la siguiente gráfica correspondiente a una función:

a ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Y su recorrido? b ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c ¿En qué intervalos crece y en cuáles decrece? a Dominio de definición: 5,  ; Recorrido: [0,  b (-3,3) y 0, 0. c Es creciente en los intervalos 5, 3 y 0, .

Es decreciente en el intervalo 3, 0.

2. Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a b c d e

Dom f   5, 6 Crece en los intervalos (5, 3) y 0, 6; decrece en el intervalo 3, 0.

Es continua en su dominio.

Corta al eje X en los puntos 5, 0, 1, 0 y 4, 0.

Tiene un mínimo en 0, 2 y un máximo en 3, 3

3. La función f(x  x  3x está definida en el intervalo [2, 2]. Represéntala.

Hacemos una tabla de valores teniendo en cuenta el intervalo en el que está definida: 3

x

2

1

0

1

2

y

2

2

0

2

2

4. Observa esta función dada gráficamente y calcula su T.V.M. en los intervalos [2, 0] y [2, 4]. Dibuja en cada caso el segmento del cuál estás hallando la pendiente.

La T.V.M. de una función f  x  en el intervalo a, b es

T.V.M. de f en  2, 0 

T.V.M. de f en 2, 4 

f  0   f  2  0   2 

f  4   f  2 42





f  b   f a  ba

.

0  2 2   1 2 2

2   2  2



4 2 2

5. La función A(r  4r2 expresa la superficie de la esfera en función del radio.

Completa la siguiente tabla de valores: r

1

2

3

4

A(r

¿Cuál es el dominio de la función? ¿Es continua o discontinua? ¿A cuánto tiende la superficie de la esfera cuando el radio crece? r

1

2

3

4

A(r

4

16

36

64

Dom A(r)  0,  Ar es una función continua en todo su dominio.

Observando la tabla de valores se deduce que cuanto más grande es r mayor es la superficie, tiende pues a infinito.

6. Determina el domino de las siguientes funciones: a) y  b) y 

5x  1 3x 3  5x 2  2x 6

2x  3 a Buscamos los valores de x que anulen el denominador: x 0 3 2 2 3 x  5 x  2x  0  x  3 x  5 x  2   0 3x 2  5x  2  0





x

5  25  24 5  49 5  7   6 6 6

12 2 6

2 1  6 3 1 Los valores que anulan el denominador son x   , x  0 y x  2, y no pertenecen, pues, al 3 1  dominio  Dom f    , 0, 2 3  6 b y  2x  3 

Buscamos los valores de x que hagan 2x  3 > 0 ; la igualdad 2x  3  0 no nos interesa por estar 2x  3 en el denominador.

3 3  2x  3  0  2x  3  x   Dom f   ,   2 2  7. Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:

x

4

3

1

1

3

5

y

a Indica el dominio y el recorrido de la función. b ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c Indica los intervalos donde la función crece, decrece o es constante.

Completamos la tabla: x

4

3

1

1

3

5

y

8

5

2

2

0

0

a Dominio de definición: 4, 5 ; Recorrido: [4, 8] b Sí tiene máximo y mínimo:  El máximo está en el punto 4, 4.  El mínimo está en el punto 2, 4. c Es creciente en el intervalo 2, 4.

Es decreciente en los intervalos 4, 2, 1, 2 y 4, 5.

Es constante en el intervalo 2, 1.

8. Halla la T.V.M. de la función y  x3  6x2  9x  4 en los intervalos [3, 2] y [1, 0]. f  b   f a  La T.V.M. de una función f  x  en el intervalo a, b  es . ba f  2  f  3  24 2 T.V.M. de f en  3,  2     2 2   3  2  3 1 T.V.M. de f en  1, 0 

f  0   f  1 0   1



40 4 1

9. Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Dí cuál es su periodo y calcula los valores de la función en los puntos de abscisas x  3, x  7, x  24 y x  28.

Es una función periódica de periodo 7. Lo que ocurre en el intervalo [0, 7] se repite reiteradamente. f(3  3 f(7  0 f(24  f(3  3 pues 24  7 · 3  3 (cada siete unidades se repite). f(28  f(0  0 pues 28  7 · 4  0 10. Desde una grúa de 25 m se deja caer una pelota. La siguiente tabla recoge la distancia recorrida por la pelota en distintos tiempos: TIEMPO s

0

2

4

6

DISTANCIA m

0

1

40

9

a Haz una gráfica de esta función. ¿Observas alguna regularidad en la tabla? Intenta encontrar una fórmula que se ajuste a esta tabla. b Calcula cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo. c ¿Qué altura debería tener la grúa para que el balón tarde 12 segundos en llegar al suelo? a

Buscamos la fórmula que mejor se ajuste a la tabla de valores; para ello, basta observar que: 1 1    22  Distancia recorrida en 2 segundos.

4 1 4    42  Distancia recorrida en 4 segundos.

4 1 9    62  Distancia recorrida en 6 segundos.

4 1 Por tanto, la distancia recorrida en x segundos será  x 2 .

4 1 Luego la fórmula buscada es y   x 2 .

4 b La pelota llegará al suelo cuando recorra los 25 m de altura, esto es, buscamos x para que y   25: 1 25   x 2  x 2  100  x  10 4 La pelota tardará 10 segundos en llegar al suelo. c Buscamos y para que x  12 segundos: 1 1 y    122   144  36 4 4 La pelota se tendría que dejar caer desde una grúa de 36 m de altura.

11. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(5, 1). ¿Cuál es la ordenada en el origen?

1   3  4 Empezamos hallando su pendiente: m   1 5 1 4 Ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y cuya pendiente es m  1  y  3 + x  1   yx4 La ordenada en el origen es n  4.

12. Representa gráficamente la siguiente función: si x  1 2  y  2x  4 si 1  x  1 6 si x  1 

 Obtenemos una tabla de valores para la recta y  2x + 4 definida para 1 < x  1: x

0

1

y

4

6

 Los otros dos tramos son funciones constantes: y  2 definida para x  1; y  6 definida para x > 1.

13.Halla la expresión analítica de la función representada:

 Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas observando que hay dos que son constantes:  Si x < 2, la recta es y  3.  Si x  2, la recta es y  1.  Si 2  x  2, la recta pasa por los puntos (1, 2) y (0, 1): 1  1  y  1   x  y   x  1 1  La expresión analítica de la función es: m

si x  2 3  y   x  1 si 2  x  2 1 si x  2 

13. Un electricista cobra 20 € por el desplazamiento y 15 € por cada hora de trabajo. a Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente. b Busca la expresión analítica que has representado. a Llamamos: x  nº de horas de trabajo y  coste (€ Por 1 hora de trabajo el coste será 20  15  35 €.

Por 2 horas de trabajo el coste será 20  15 · 2  20  30  50 €.

Y así sucesivamente.

x

0

1

2

3

4

y

20

35

50

65

80

b La expresión analítica será de la forma y  mx  n.

Por cada hora de trabajo cobra 15 €  m  15 Si no llegara a trabajar nada (x  0, el electricista cobraría 20 € por desplazamiento   n  20 La expresión buscada es y  15x  20.

14. Representa la siguiente parábola: y  2x2  x  3  Calculamos su vértice:

x

1 4



y

2 1 25  3   16 4 8

 1 25   V , 8  4

 Puntos de corte con los ejes:  Con eje Y



x0



y  3

 Con eje X



y0



2x2  x  3  0 



x



1  1  24 1  25 1  5   4 4 4

0, 3

3 2 1

3  Los puntos de corte con el eje X son:  , 0  y  1, 0  2   Puntos próximos al vértice: x

1

2

1 2

y

2

3

3

15. Relaciona cada gráfica con una de las siguientes expresiones: a y   x2  2x  3 b y  x  1

2

c y  3x  1 2

d y  2  x2

a  III b  I c  II d  IV 16. Resuelve gráfica y analíticamente el sistema siguiente:  y  x 2  2x  3  y  1  x Resolución analítica

Despejamos y de cada ecuación e igualamos:

x 2  2x  3  1  x



x 2  3x  4  0

Si x   4



y145

Si x  1



y0

Las soluciones son: x   4, y  5 x  1,

y0



x

3  9  16 3  5  2 2

4 1

Resolución gráfica  Representamos la parábola y  x2  2x  3:  Vértice: x

b 2   1  2a 2

y  1  2  3  4



V  1,  4 

 Cortes con los ejes: Eje Y



x0



y  3

Eje X



y 0



x  2x  3  0 2



0, 3



2  4  12 2  4 x  2 2

1 3

1, 0 y 3, 0  Valores en torno al vértice: x

–2

2

–4

y

–3

5

5

 Representamos la recta y  1  x: x

1

0

y

0

1

Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en 4, 5 y 1, 0.

17. Representa las siguientes funciones: a y 

1 2 x 3

b y  3 x  1  3

a Dominio de definición:

Calculamos algunos puntos próximos a x  3: x

2

2,5

2,9

3,1

3,5

4

y

1

0

8

 12

4

3

Otros puntos interesantes: –97

x

–47

–1,99 –1,98

y

–7

13

103

–1,9

–2,1

–2,01

Los valores de y están muy próximos a 2 cuando x crece o decrece mucho asíntotas son las rectas x  3 e y  2.

1  b) Dominio de definición:  ,    3   Hacemos una tabla de valores: x

1 3

5 3

10 3

17 3

26 3

3x  1

0

4

9

16

25

3x  1

0

2

3

4

5



Las

18. Halla los valores de k y a para que la gráfica de y  kax pase por los puntos (– 1, 6)  3 y  2,  . Indica razonadamente si la función obtenida es creciente o decreciente sin  4 representarla.  3 y  ka x pasa por los puntos  1, 6  y  2,  :  4 3 6  ka 1  ka2 3 1 1    4  a3   a3   a 3 1 2  6 24 8 2 ka  ka  4  6k

1 1  k  6a  k  6   k 3 a 2 x

1  1 La función es y  3   , función decreciente por ser a   1.

2  2 19. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: y   x  3   4 y    2  x Representamos cada una de las funciones.

y   x 3

 Es una función radical.

Dominio de definición: [3,  Tabla de valores: x

3

2

1

6

13

 x3

0

1

2

3

4

4  2  Es una función de proporcionalidad inversa. x  0 Dominio de definición: Y

Tabla de valores:

x

100 50

10

2

1

0,5

0,5

1

2

10

y

2,04 2,08

2,4

4

6

10

6

2

0

1,6

50

100

1,92 1,96

Los valores de y son muy próximos a 2 cuando x se hace muy grande o muy pequeña. Las asíntotas son las rectas x  0, y  2.

En la gráfica se observa que el sistema tiene una solución: x  1, y  2.