La semejanza y sus aplicaciones

Ejercicios resueltos. Tema 6.

1. Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.

Calculamos la longitud, L; de la arista en la maqueta: 70 m  7000 cm longitud



L  Longitud real  escala 

7000  70 cm 100

Luego: Área de la planta  70 · 70  4 900 cm2  0,49 m2 2. Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

Hacemos una representación del problema llamando x a la altura del árbol:

Los dos triángulos rectángulos que se obtienen son semejantes (sus ángulos son iguales), Luego:

x 7,5  1,52 3,2



x  3,56

Por tanto, la altura del árbol es de 3,56 m.

3. Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa?

(NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90).

Hacemos una representación del problema:

 Aplicando el teorema del cateto, calculamos x e y: x 2  6,1 2,5  x 2  15,25  x  3,91km y 2  6,1 3,6  y 2  21,96  y  4,69 km

El barco se encuentra a 3,91 km de un muelle y a 4,69 km del otro.  Calculamos la distancia del barco a la playa, aplicando el teorema de la altura: h2  2,5 · 3,6



h2  9



h  3 km

La distancia del barco a al playa es de 3 km 4. Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm. b El triángulo ABD es semejante al triángulo ABC.

c Dos antenas verticales y paralelas forman con sus sombras dos triángulos que están en posición de Tales se suponen antenas de distintas alturas.

Solución: a FALSO. Los lados no son proporcionales: 7,5 12,5 16,8   3 5 7 b VERDADERO. Colocamos los dos triángulos rectángulos por separado:

34,56 14,4   2,4 14,4 6 Son semejantes porque tienen un ángulo igual el de 90 y los lados de ese ángulo son proporcionales. c VERDADERO. Hagamos un dibujo que represente la situación:

Se forman dos triángulos rectángulos, con un ángulo común  y los lados opuestos a éste ángulo son paralelos. Por tanto, están en posición de Tales.

5. En una esfera se inscribe un cono de altura 6 cm y volumen 157 cm3. Calcula el volumen de la esfera.

VCONO 

1 2 r  h 3

 157 

1 2 r  6  157  2r 2 3



r2 

157 2



r  5 cm

El triángulo ABC es rectángulo por estar inscrito en una semicircunferencia.

Aplicando el teorema de la altura obtenemos R  radio de la esfera: r 2  h  2R  h  

R



25  6   2R  6 



25  12R  36

61  5,1 cm 12

Volumen de la esfera: V 

4 4 R 3    5,13  555,6 cm3 3 3



61  12R



6. Una constructora está vendiendo un bloque de pisos usando una maqueta hecha a escala 1:150. a Se deja una parcela rectangular para actividades deportivas, cuyas dimensiones en la maqueta son 25 cm  52 cm. ¿Qué dimensiones tendrá en la realidad?

3 b La piscina contendrá 405 m de agua. ¿Qué volumen tiene en la maqueta? a Dimensiones de la parcela rectangular en la realidad: 25 cm · 150  3 750 cm  37,5 m 52 cm · 150  7 800 cm  78 m b VPISCINA REAL  VPISCINA MAQUETA · 1503  405 m3  VPISCINA MAQUETA · 1503 

 VPISCINA MAQUETA 

405000000 cm3  120 cm3 1503

7. Un molde para cocinar tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 16 cm y 12 cm y su altura es de 6 cm. Halla el volumen del molde.

Ampliamos el tronco hasta completar una pirámide.

Aplicamos la semejanza a los dos triángulos: el pequeño de catetos x y 6 y el grande de catetos x  6 y 8. x x6  6 8



8 x  6 x  36



2x  36



x  18 cm

El volumen del tronco de pirámide es la diferencia de volúmenes de las dos pirámides VTRONCO 

1 1  162   6  18    122  18  2048  864  1184 cm3 3 3

8. Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas.

Observa la figura y responde:

a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo? b ¿Qué distancia separa ambas casas?

Necesitamos calcular x e y:  Para calcular x lo más rápido es calcular el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el teorema del cateto: 7,5  4,5 · z  56,25  4,5 · z  z  12,5 km 2

Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km.  Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto:

y2  x  z



y 2  12,5  4,5   12,5



y 2  8  12,5



y 2  100



y  10 km

Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km.

9. Razona las siguientes afirmaciones, indicando si son ciertas o no. a Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. b Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.

c Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y B’C’ = 12 cm son semejantes. a FALSO. Tendrían el ángulo recto igual, pero necesitaríamos que los catetos fueran proporcionales entre ambos triángulos, o bien que uno de los ángulos agudos coincidiera en los dos triángulos.

b FALSO. Tienen un ángulo en común, pero los lados opuestos a este ángulo no son paralelos.

c

9 12   1,5 6 8

VERDADERO. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman esos lados es igual.

10. a Calcula la superficie terrestre que se verá desde 750 km de altura.

Recuerda que el radio de la tierra es R  6 366 km. b ¿A qué altura se ha de ascender para ver exactamente el 15% de su superficie? a

R  6 366 km d  750 km Llamamos h a la altura del casquete esférico cuya área queremos calcular.

El triángulo rectángulo sombreado es semejante al grande: R R h  R d R 



6366 6366  h  7116 6366

63662  7116  6366  h 



 7116 h  4774500



h  670,95 km

ACASQUETE  2Rh  2 · 6 366 · 670,95  26 837 166,46 km2 b En este caso tenemos que calcular d : AESFERA  4R  4 · 6 366  509 264 182,6 km 2

2

2

15% AESFERA  ACASQUETE  15% de 509 264 182,6  76 389 627,39 km2 Calculamos h :

ACASQUETE  2Rh  76 389 627,39  2 · 6 366 · h  h  1 909,8 km Aplicamos nuevamente la semejanza de triángulos: R R h  R d R 



6366 6366  1909,8  6366  d 6366

6366 4 456,2  6366  d 6366





63662  4 456,2  6366  d 



d  2728,3 km

Se ha de ascender 2 728, 3 km para ver exactamente el 15% de la superficie terrestre.

11. En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?

En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales.

7,5 cm  153 km  15 300 000 cm Escala 

Distancia mapa 7,5 1   Distancia real 15300000 2040000

La escala es 1:2 040 000.

Si en el mapa hay dos poblaciones que distan 12,25 cm, la distancia real será: 12,25 · 2 040 000  24 990 000 cm  249,9 km 12. Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña.

Hacemos una representación del problema:

En la figura tenemos dos triángulos semejantes.

Luego:

x 138  1,5 2,3



x

1,5  138  90 2,3

La altura de la montaña será: x  1,82  90  1,82  91,82 m 13. El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de A. Calcula la longitud del circuito sabiendo que AC  5 km y la distancia de B al albergue. es de 2,4 km.

El objetivo es calcular AB y BC.  Empezamos por calcular x aplicando el teorema de la altura: 2,4  x · 5  x  5,76  5x  x 2



2



x  5x  5,76  0 2

5  25  23,04 5  1,96 5  1,4 x   2 2 2



3,2 1,8

Si x  3,2  5  x  5  3,2  1,8 Si x  1,8  5  x  5  1,8  3,2 Tenemos pues, según el dibujo, que x  1,8 km y 5  x  3,2 km.  Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto: y 2  1,8  5  y 2  9  y  3km z 2  3,2  5  z 2  16  z  4km

La longitud del circuito será 3  4  5  12 km.

14. Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones: a En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de semejanza. b ABC es semejante a CDE.

c En dos triángulos isósceles, el ángulo que forman sus dos lados iguales coincide (70), pero los triángulos no son semejantes. a VERDADERO. Dibujamos dos triángulos y trazamos la misma altura en ambos:

ABC y ABC son semejantes



A  A.

ABD y ABD serán semejantes por tener dos ángulos iguales, que son A y D  90.

Luego, sus lados han de ser proporcionales. Así:

BD BD



AB AB

 razón de semejanza

Luego la razón entre dos alturas correspondientes será igual a la razón de semejanza. b FALSO. Sus lados no son proporcionales.

15 10 9   3 2 2

A simple vista se ve que uno es isósceles y otro no. c FALSO. En ambos triángulos los ángulos van a coincidir.

    180  70     110   





110  55 2

En ambos triángulos, los ángulos son de 70, 55 y 55.

15. El lado de un rombo mide 29 cm y una de las diagonales BD  40 cm. Por un punto P de la otra diagonal se traza una paralela a BD que corta en M y N a los lados AD y AB. Calcula el área y el perímetro del pentágono MDCBN sabiendo que PM  4 cm.

Calculamos el área del rombo; se necesita, por tanto, conocer la longitud de la otra diagonal AC.

2

2

292  202  OA

 OA  292  202

El área del rombo es: AR 

 OA  441  21 cm



AC  42 cm

BD  AC 40  42   840 cm2 2 2

Calculamos el área del triángulo MNA : Por la semejanza de los triángulos APN y AOB se obtiene AP : OA OB

PA



PN



21 PA  20 4



PA 

21 4  4,2 cm 20

El área del triángulo MNA es :

A

MN  PA 8  4,2   16,8 cm2 2 2

El área del pentágono MDCBN es: AP  AR  A  840  16,8  823,2 cm

2

Para calcular el perímetro del pentágono necesitamos hallar la longitud de NB  MD : AB OA



AN PA



29 AN  21 4,2



AN 

29  4,2  5,8 cm 21

Luego NB  AB  AN  29  5,8  23,2 cm Perímetro del pentágono: P  MN  NB  BC  CD  DM  8  23,2  29  29  23,2  112,4 cm

16. Calcula el área que ocupará un hexágono regular de 80 cm de lado, en un plano de escala 1:50.

Calculamos el área del hexágono regular de 80 cm de lado:

x



apotema

x  80  402  4800  69,28 cm 2

Área 

Perímetro  apotema 80  6  69,28   16627,2 cm2 2 2

Área del hexágono de 80 cm de lado  Área del hexágono en el plano · 502   16 627,2 cm2  Área del hexágono en el plano · 502  16627,2 cm2  Área del hexágono en el plano   6,65 cm2 2500

17. Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B, C, rectángulo en B. Se sabe que AC  35,36 m y la altura sobre AC es 15,6 cm..

Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m.

El objetivo es calcular x e y; calculamos previamente a y b, usando el teorema de la altura: 15,62  a  b  2 2 2   15,6  a   35,36  a   243,36  35,36a  a  a  35,36a  243,36  0  b  35,36  a  

35,36  276,8896 35,36  16,64 a  2 2

26

 b  9,36

9,36  b  26

Observando el dibujo, tomamos a  9,36 m y b  26 m.

Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto: x 2  a  35,36  x 2  9,36  35,36  x 2  330,9696 y 2  b  35,36  y 2  26  35,36  y 2  919,36

Luego, x  18,19 m e y  30,32 m.

La cantidad de cable que se necesita coincidirá con el perímetro del triángulo: 18,19  30,32  35,36  83,87 m Y su coste será 83,87 · 0,3  25,16 € 18. En el triángulo rectángulo ABC conocemos BC  24 cm y AH  1,96 cm.

Halla el área y el perímetro del triángulo.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular HC : 2

BC  AC  HC



242  1,96  x   x



x 2  1,96 x  576  0 23,04

1,96  1,962  4  576 1,96  48,04 x  2 2





25 NO VALE

Aplicamos el teorema de la altura para calcular BH : 2

BH  1,96  x 



2

BH  1,96  23,04



2

BH  45,1584



BH  45,1584  6,72 cm

Nuevamente, aplicando el teorema del cateto obtenemos AB : 2

AB  AC  AH



AB  1,96  23,04   1,96  25  1,96  49 2



AB  49  7 cm

Por tanto: Área  ABC  

AC  BH 25  6,72   84 cm2 2 2

Perímetro  ABC   AB  BC  CA  7  24  25  56 cm

19. Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm  6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro 9 rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de .

4

Área del rectángulo conocido  3  6  18 cm2    Área del rectángulo que nos piden  x  



x 9  18 4



x

18  9  40,5 cm2 4

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Por tanto: 9 3 Razón de semejanza   4 2 Luego las dimensiones del rectángulo que nos piden son:

3

3 9   4,5 cm 2 2

6

3 18   9 cm 2 2

20. Halla el volumen de un tronco de cono sabiendo que su altura es de 10 cm y los radios de sus bases miden 6 cm y 21 cm.

Ampliamos el tronco hasta completar un cono.

Aplicamos la semejanza a los dos triángulos uno de catetos x y 6 y otro de catetos x  10 y 21. x x  10  6 21



21x  6 x  60

 15 x  60



x  4 cm

El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de los dos conos VTRONCO 

1 1 1   212  10  4     62  4    6174  144   6314,60 cm3 3 3 3

21. Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente.

Necesitamos calcular el valor de x, y, z.  Calculamos x aplicando el teorema de la altura: 22  x · 2,5  4  x · 2,5  x  1,6 cm  Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto: y 2  1,6  1,6  2,5   y 2  1,6  4,1  y 2  6,56 z 2  2,5  1,6  2,5   z 2  2,5  4,1  z 2  10,25

Luego, y  2,56 cm y z  3,2 cm.

Por tanto: Perímetro  2,56  3,2  4,1  9,86 cm

Área 

4,1 2  4,1 cm2 2

22.

Calcula el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABC sabiendo que AB  12 cm y HC  12,8 cm.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular AH : 2

AB  AC  AH  x

 122   x  12,8   x



12,8  163,84  576 12,8  27,2  2 2

x 2  12,8 x  144  0



7,2 20 NO VALE

Luego AH  7,2 cm.

De nuevo, aplicando el teorema del cateto, obtenemos BC : BC  AC  HC   7,2  12,8   12,8  20  12,8  256 2



BC  16 cm

Aplicamos el teorema de la altura para calcular BH : 2

BH  AH  HC  7,2  12,8  92,16



BH  9,6 cm

Por tanto: Área ABC 

AC  BH 20  9,6   96 cm2 2 2

Perímetro ABC  AB  BC  CA  12  16  20  48 cm

23. Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

La longitud de un puente será x  10,2; la del otro, y  6,5; por tanto, el objetivo está en calcular el valor de x e y.

Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:

Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos: 15,9 10,2 10,6  10,2   x  6,8 m 10,6 x 15,9 15,9 y  10,6 6,5

 y

15,9  6,5  9,75 m 10,6

Las longitudes de los puentes son: 6,8  10,2  17 m y 9,75  6,5  16,25 m.