Ejercicios resueltos probabilidad 1.Metemos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una al azar y observamos el número que tiene. Consideramos los sucesos: A "obtener un número menor que 5" y B "obtener un número mayor que 2". a Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A B y A B. b Calcula las siguientes probabilidades: P A; P B; P A'; P B'; P A B; P A B Solución: a) A 1, 2, 3, 4; B 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; A' 5, 6, 7, 8, 9, 10; B ' 1, 2; A B 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 E; A B 3, 4 b) P A
4 8 6 0,4; P B 0,8; P A ' 0,6 10 10 10
2 2 0,2; P A B 1; P A B 0,2 10 10 2.Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. La miramos, la devolvemos al montón y extraemos otra. Halla la probabilidad de que: P B '
a A "Las dos cartas sean de oros" b B "La primera carta sea de oros y la segunda sea un rey" Solución: Como son sucesos independientes: a) P A P 1ª oros P 2ª oros b) P B P 1ª oros P 2ª rey
10 10 1 1 1 0,0625 40 40 4 4 16
10 4 1 1 1 0,025 40 40 4 10 40
3.En una urna tenemos 12 bolas rojas, 10 blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de que: a Las dos bolas sean blancas. b La primera sea roja y la segunda, blanca. Solución: Hacemos un diagrama en árbol: Sacar dos bolas a la vez es equivalente a sacar una y, sin devolverla a la urna, sacar la otra.
1ª bola
2ª bola R
R 12
10
11 R 10 B 8N
29
30
B RyB N R
12 R
10
30
B
10 B 8N
8
12 R 9B 8N
9
29
B ByB
30
N R
N
12 R 10 B 7N
B N
a) P B y B
10 9 1 9 3 0,103 30 29 3 29 29
b) P R y B
12 10 2 10 4 0,138 30 29 5 29 29
4.En una clase de 25 alumnos de 4º ESO hay 15 chicas y 10 chicos. Aprueban el área de matemáticas 20 de ellos; de entre los cuales, hay 8 chicos. a Haz con los datos una tabla de contingencia. b Si elegimos un alumno al azar, calcula las siguientes probabilidades: P [chica], P [aprueba], P [chica que aprueba], P [aprueba/chica]
Solución: a APRUEBAN NO APRUEBAN
b) P chica
15 3 0,6 25 5
CHICOS
CHICAS
8 2 10
12 3 15
20 5 25
20 4 0,8 25 5 12 P chica que aprueba 0,48 25 12 4 P aprueba/chica 0,8 15 5 5. Lanzamos dos dados y sumamos los resultados obtenidos. Calcula la probabilidad de que la suma sea: P aprueba
a 7 b Menor que 5. c Mayor que 10. Solución: Hacemos una tabla para ver los posibles resultados:
a) P 7
6 1 0,167 36 6
b) P 5
6 1 0,028 36 36
c) P 10
3 1 0,083 36 12
6. Se lanza cuatro veces una moneda perfectamente regular y sale cruz las cuatro veces. Indica razonadamente cuál de las siguientes frases te parece más correcta: a En el próximo lanzamiento es más probable que salga cruz. b En el próximo lanzamiento es más probable que salga cara. c La próxima vez es igualmente probable cara que cruz. Solución: Dado que la moneda es perfectamente regular en cada lanzamiento puede aparecer cara o
cruz con la misma probabilidad P C P X
1 2
Por tanto, la opción más correcta es la c. 7. En una urna tenemos 100 bolas numeradas del 1 al 100. Se extrae una bola al azar y se anota su número, x. Calcula las siguientes probabilidades: a x es divisible por 3 y par. b x es impar y múltiplo de 5. Solución: a Hay 33 bolas múltiplos de 3, de las cuales son pares 16. 16 4 P x divisible por 3 y par 0,16 100 25 b Hay 50 bolas impares de las cuales 10 son múltiplos de 5. 10 1 P x impar y múltiplo de 5 0,1 100 10 8. En el siguiente diagrama, E representa el espacio muestral, A representa un suceso, y B, otro suceso:
a Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A B y A B. b Calcula las siguientes probabilidades: P A; P B; P A'; P B'; P A B; P A B Solución: a) A 2, 3, 4; B 4, 5, 6, 9; A' 1, 5, 6, 7, 8, 9; B ' 1, 2, 3, 7, 8; A B 2, 3, 4, 5, 6, 9; A B 4 b) P A
3 1 4 6 2 ; P B ; P A ' 9 3 9 9 3
P B '
5 6 2 1 ; P A B ; P A B 9 9 3 9
9. En una bolsa tenemos 5 bolas negras y 9 blancas. Extraemos una bola al azar, miramos su color, la devolvemos a la bolsa y volvemos a sacar otra bola. Halla la probabilidad de que: a La dos bolas sean negras. b La primera bola sea blanca y la segunda negra. Solución: Hacemos un diagrama en árbol: 1ª bola
2ª bola
9
9
14
5
14
N
14
9
5
B
14
B
ByN
B
14
N 5
NyN
N 14
a) P N y N
5 5 25 0,13 14 14 196
b) P B y N
9 5 45 0,23 14 14 196
10. Introducimos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos tres bolas, una detrás de otra sin devolverlas a la bolsa. Calcula la probabilidad de obtener tres números impares.
Solución: Hacemos un diagrama en árbol: 1ª bola
2ª bola
3ª bola Par Impar
Par Par
Par Impar
5 Pares 5 Impares
Impar Par
Par 1
2
Impar
5P
Impar
4I
5P 4
9
Impar
Par
3I 3
P 3 impares
1 4 3 1 0,083 2 9 8 12
Impar 3 impares 8
11. A un congreso de nuevas tecnologías asisten 1 000 personas repartidas así:
HABLAN INGLÉS NO HABLAN INGLÉS
HOMBRE
MUJER
515 95
310 80
Llamamos H hombre, M mujer, I habla ingles, NO I no habla ingles. a Calcula las siguientes probabilidades: P [H], P [M], P [I], P [NO I] b Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: M y I ; NO I/H ; H/NO I
Solución: 515 95 610 0,61 1000 1000 310 80 390 P M 0,39 1000 1000 515 310 825 P I 0,825 1000 1000 95 80 175 P NO I 0,175 1000 1000
a) P H
b) M y I Mujer que habla inglés
P M y I
310 0,31 1000
NO I/H No habla inglés sabiendo que es hombre
P NO I/H
95 0,156 610
95 0,543 175 12. En el lanzamiento de un dado de cuatro caras, hemos obtenido las siguientes probabilidades: H/NO I
Hombre sabiendo que no habla inglés
Nº OBTENIDO PROBABILIDAD
1
2
3
P H/NO I
4
0,15 0,32 0,28
a ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4? b ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 4? c ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar? Solución: a Tenemos en cuenta que la suma de las probabilidades de todos los casos es igual a 1; es decir:
P 1 + P 2 + P 3 + P 4 1 Sustituyendo cada probabilidad por su valor, tenemos que: 0,15 0,32 0,28 P 4 1 P 4 1 0,15 0,32 0,28 = 0,25 b) P no 4 1 P 4 0,75 c) P impar P 1 P 3 0,15 0,28 0,43 13. Lanzamos dos dados y anotamos la diferencia de los números obtenidos. a ¿Cuál es el espacio muestral? b A cada uno de los sucesos elementales, ¿podemos aplicarles directamente la ley de Laplace?
Solución:
a) E 0, 1, 2, 3, 4, 5 b) Los sucesos elementales 0, 1, 2, 3, 4 y 5, no son equiprobables, por tanto no se puede aplicar directamente la Ley de Laplace:
Obtener diferencia 5 2 veces 6 5 y 5 6 Obtener diferencia 0 6 veces 1 1 , 2 2 , 3 3 , 4 4 , 5 5 , 6 6 14. Tenemos tres fichas diferentes: la primera entera de color azul; la segunda azul por una cara y roja por la otra y la tercera es blanca por una cara y roja por la otra. Las tiramos al aire. ¿Qué es más probable, que las tres sean de colores diferentes o que dos de ellas sean del mismo color?
Solución: Hacemos un diagrama de árbol: 1ª Ficha
2ª Ficha A
3ª Ficha B
R
B
R
A R
Suceso
P 3 colores diferentes P A, R, B
(A, A, B) (A, A, R) (A, R, B) (A, R, R)
1 4
P dos de ellas del mismo color P A, A, B P A, A, R P A, R, R
1 1 1 3 4 4 4 4
Luego es más probable que dos de las fichas sean del mismo color. 15. Lanzamos un dado tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener: a A "Tres cincos" b B "El mismo número las tres veces"
Solución: Como son sucesos independientes: a) P A P 5 P 5 P 5
1 1 1 1 0,0046 6 6 6 216
b) P B P tres unos P tres doses P tres treses P tres cuatros P tres cincos 3
3
3
3
3
3
3
2
1 1 1 1 1 1 1 1 P tres seises 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 0,028 36 16. Si sacamos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, calcula la probabilidad de obtener:
a Dos ases. b Dos cartas del mismo palo. Solución: a) P dos ases P as en la 1ª y as en la 2ª P as en la 1ª P as en la 2ª habiendo sacado as en la 1ª
4 3 1 1 40 39 10 13
1 0,0077 130
b) P mismo palo P dos oros P dos copas P dos espadas P dos bastos 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 1 3 4 4 40 39 40 39 40 39 40 39 40 39 4 13 3 0,23 13
17. En un centro deportivo hay matriculados 500 alumnos repartidos así: HOMBRE PRACTICA GOLF
MUJER
256
NO PRACTICA GOLF
149
194 500
a Completa la tabla. b) Llamamos H hombre, M mujer, G practica golf, NO G no practica golf. Calcula las siguientes probabilidades: P [H], P [M], P [G], P [NO G] c Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: H y G ; M/G ; G/M Solución:
a) HOMBRE
MUJER
256 95 351
50 99 149
PRACTICA GOLF NO PRACTICA GOLF
306 194 500
351 0,702 500 149 P M 0,298 500 306 P G 0,612 500 194 P NO G 0,388 500
b) P H
256 0,512 500 50 M/G mujer sabiendo que juega al golf P M/G 0,163 306 50 G/M practica el golf sabiendo que es mujer P G/M 0,336 149
c) H y G hombre que juega al golf
P H y G
18. Tomamos una ficha del dominó al azar. Halla las probabilidades siguientes: a Que la ficha sea el cinco doble 5 5. b Que la suma de puntos sea 7. c Obtener un doble. Solución: Las fichas del dominó son 28. a) P 5 5
1 0,036 28
b La suma de puntos es 7 en las siguientes fichas: 6 1;
5 2;
43
Por tanto: P suma 7
c P doble
3 0,107 28
7 0,25 28
19. ¿Qué relación hay entre las probabilidades de los sucesos A y B?
A: Obtener de la urna 1 dos bolas azules en dos extracciones sin devolver la bola a la urna. B: Obtener de la urna 2 dos bolas rojas en dos extracciones sin devolver la bola a la urna. Solución: 3 2 1 4 3 2 2 1 1 P B P 1ª roja P 2ª roja /1ª roja 5 4 10 P A P 1ª azul P 2ª azul /1ª azul
Por tanto: P A 1 1 1 1 P B P A 10 5 2 5 5 Es decir, la probabilidad del suceso B es la quinta parte de la probabilidad del suceso A.
20. Tenemos una urna con 6 bolas rojas y 8 verdes. Sacamos una bola al azar, observamos el color y la volvemos a introducir en la urna. Sacamos una segunda bola y observamos su color. Calcula la probabilidad de obtener: a Dos bolas rojas. b Dos bolas de distinto color. Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
1ª bola 6
6
14
2ª bola 14
R 8
V RyV 14
6
8
14
R RyR
14
R VyR
V 8
V 14
a) P R y R
6 6 3 3 9 0,18 14 14 7 7 49
b) P R y V P V y R
6 8 8 6 3 4 4 3 12 24 2 0,49 14 14 14 14 7 7 7 7 49 49
20. Introducimos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos tres bolas, una detrás de otra sin devolverlas a la bolsa. Calcula la probabilidad de obtener tres números impares.
Solución: Hacemos un diagrama en árbol: 1ª bola
2ª bola
3ª bola Par Impar
Par Par
Par Impar
5 Pares 5 Impares
Impar Par
Par 1
Impar
2
5P
Impar
4I
5P 4
9
Impar
Par
3I 3
Impar 3 impares 8
1 4 3 1 0,083 2 9 8 12 21. En un club deportivo hay apuntados 30 chicos y 30 chicas. La mitad de los chicos y la tercera parte de las chicas juegan al tenis. P 3 impares
a Completa la siguiente tabla: JUEGAN TENIS CHICOS CHICAS
15 10
NO JUEGAN TENIS
30 30 60
b Ayudándote de la tabla anterior, describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades referidas al elegir al azar una persona: chico ; no juega tenis ; chico que no juega tenis ; chico/no juega tenis Solución: a
JUEGAN TENIS
NO JUEGAN TENIS
15 10 25
15 20 35
CHICOS CHICAS
30 30 60
b Chico nº total de chicos que hay en el club deportivo 30 30 1 P chico 0,5 60 2 No juega al tenis se refieren al grupo de personas que no juegan al tenis 35 35 7 P no juega tenis 0,58 60 12 Chico que no juega al tenis que sea chico y no juegue al tenis 15 15 1 P chico que no juega tenis 0,25 60 4 Chico/no juega al tenis de los que no juega al tenis 35 cuántos son chicos 15. 15 3 P chico/no juega tenis 0,43 35 7
22. Lanzamos dos dados y anotamos la mayor de las puntuaciones obtenidas. Calcula la probabilidad de que esta sea: a 4 b 2 c 6 Solución: Hacemos una tabla en la que se reflejen los posibles resultados:
2º dado
1er dado
a) P 4
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
2
3
4
5
6
3
3
3
3
4
5
6
4
4
4
4
4
5
6
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
7 0,194 36
b) P 2
3 1 0,083 36 12
c) P 6
11 0,306 36
23. Busca 5 sucesos distintos en la experiencia “lanzar una moneda 3 veces y anotar el número de caras”. ¿Cuál es un suceso imposible?
Solución: Por ejemplo se pueden dar los siguientes sucesos:
A no obtener ninguna cara X, X, X B obtener tres caras C, C, C C obtener al menos dos caras C, C, X , C, X , C , X , C, C , C, C, C D obtener una cara X , X , C , X , C, X , C, X , X E obtener dos caras C, C, X ,C, X , C , X , C, C
Un suceso imposible sería “obtener cuatro caras”. 24. En una urna tenemos 100 bolas numeradas del 1 al 100. Se extrae una bola al azar y se anota su número, x. Calcula las siguientes probabilidades: a x es divisible por 3 y par. b x es impar y múltiplo de 5. Solución: a Hay 33 bolas múltiplos de 3, de las cuales son pares 16. 16 4 P x divisible por 3 y par 0,16 100 25 b Hay 50 bolas impares de las cuales 10 son múltiplos de 5. 10 1 P x impar y múltiplo de 5 0,1 100 10