probabilidad

Ejercicios resueltos probabilidad 1.Metemos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una al azar y observamos el número que tiene.

Consideramos los sucesos: A  "obtener un número menor que 5" y B  "obtener un número mayor que 2". a Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A  B y A  B. b Calcula las siguientes probabilidades: P A; P B; P A'; P B'; P A  B; P A  B Solución: a) A  1, 2, 3, 4; B  3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; A'  5, 6, 7, 8, 9, 10; B '  1, 2; A  B  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  E; A  B  3, 4 b) P  A 

4 8 6  0,4; P B    0,8; P  A '   0,6 10 10 10

2 2  0,2; P  A  B   1; P  A  B    0,2 10 10 2.Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. La miramos, la devolvemos al montón y extraemos otra. Halla la probabilidad de que: P B ' 

a A  "Las dos cartas sean de oros" b B  "La primera carta sea de oros y la segunda sea un rey" Solución: Como son sucesos independientes: a) P  A  P 1ª oros  P 2ª oros  b) P B   P 1ª oros  P 2ª rey  

10 10 1 1 1      0,0625 40 40 4 4 16

10 4 1 1 1      0,025 40 40 4 10 40

3.En una urna tenemos 12 bolas rojas, 10 blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de que: a Las dos bolas sean blancas. b La primera sea roja y la segunda, blanca.

Solución: Hacemos un diagrama en árbol: Sacar dos bolas a la vez es equivalente a sacar una y, sin devolverla a la urna, sacar la otra.

1ª bola

2ª bola R

R 12

10

11 R 10 B 8N

29

30

B  RyB N R

12 R

10

30

B

10 B 8N

8

12 R 9B 8N

9

29

B  ByB

30

N R

N

12 R 10 B 7N

B N

a) P B y B 

10 9 1 9 3      0,103 30 29 3 29 29

b) P R y B 

12 10 2 10 4      0,138 30 29 5 29 29

4.En una clase de 25 alumnos de 4º ESO hay 15 chicas y 10 chicos. Aprueban el área de matemáticas 20 de ellos; de entre los cuales, hay 8 chicos. a Haz con los datos una tabla de contingencia. b Si elegimos un alumno al azar, calcula las siguientes probabilidades: P [chica], P [aprueba], P [chica que aprueba], P [aprueba/chica]

Solución: a APRUEBAN NO APRUEBAN

b) P chica 

15 3   0,6 25 5

CHICOS

CHICAS

8 2 10

12 3 15

20 5 25

20 4   0,8 25 5 12 P chica que aprueba   0,48 25 12 4 P aprueba/chica    0,8 15 5 5. Lanzamos dos dados y sumamos los resultados obtenidos. Calcula la probabilidad de que la suma sea: P aprueba 

a 7 b Menor que 5. c Mayor que 10.

Solución: Hacemos una tabla para ver los posibles resultados:

a) P 7 

6 1   0,167 36 6

b) P  5 

6 1   0,028 36 36

c) P   10 

3 1   0,083 36 12

6. Se lanza cuatro veces una moneda perfectamente regular y sale cruz las cuatro veces.

Indica razonadamente cuál de las siguientes frases te parece más correcta: a En el próximo lanzamiento es más probable que salga cruz. b En el próximo lanzamiento es más probable que salga cara. c La próxima vez es igualmente probable cara que cruz.

Solución: Dado que la moneda es perfectamente regular en cada lanzamiento puede aparecer cara o

cruz con la misma probabilidad  P C   P  X  

1 2

Por tanto, la opción más correcta es la c.

7. En una urna tenemos 100 bolas numeradas del 1 al 100. Se extrae una bola al azar y se anota su número, x. Calcula las siguientes probabilidades: a x es divisible por 3 y par. b x es impar y múltiplo de 5.

Solución: a Hay 33 bolas múltiplos de 3, de las cuales son pares 16.

16 4 P  x divisible por 3 y par     0,16 100 25 b Hay 50 bolas impares de las cuales 10 son múltiplos de 5.

10 1 P  x impar y múltiplo de 5    0,1 100 10 8. En el siguiente diagrama, E representa el espacio muestral, A representa un suceso, y B, otro suceso:

a Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A  B y A  B. b Calcula las siguientes probabilidades: P A; P B; P A'; P B'; P A  B; P A  B Solución: a) A  2, 3, 4; B  4, 5, 6, 9; A'  1, 5, 6, 7, 8, 9; B '  1, 2, 3, 7, 8; A  B  2, 3, 4, 5, 6, 9; A  B  4 b) P  A 

3 1 4 6 2  ; P B   ; P  A '    9 3 9 9 3

P B ' 

5 6 2 1 ; P  A  B   ; P  A  B  9 9 3 9

9. En una bolsa tenemos 5 bolas negras y 9 blancas. Extraemos una bola al azar, miramos su color, la devolvemos a la bolsa y volvemos a sacar otra bola. Halla la probabilidad de que: a La dos bolas sean negras. b La primera bola sea blanca y la segunda negra.

Solución: Hacemos un diagrama en árbol: 1ª bola

2ª bola

9

9

14

5

14

N

14

9

5

B

14

B

 ByN

B

14

N 5

 NyN

N 14

a) P N y N 

5 5 25    0,13 14 14 196

b) P B y N 

9 5 45    0,23 14 14 196

10. Introducimos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos tres bolas, una detrás de otra sin devolverlas a la bolsa. Calcula la probabilidad de obtener tres números impares.

Solución: Hacemos un diagrama en árbol: 1ª bola

2ª bola

3ª bola Par Impar

Par Par

Par Impar

5 Pares 5 Impares

Impar Par

Par 1

2

Impar

5P

Impar

4I

5P 4

9

Impar

Par

3I 3

P 3 impares 

1 4 3 1     0,083 2 9 8 12

Impar  3 impares 8

11. A un congreso de nuevas tecnologías asisten 1 000 personas repartidas así:

HABLAN INGLÉS NO HABLAN INGLÉS

HOMBRE

MUJER

515 95

310 80

Llamamos H  hombre, M  mujer, I  habla ingles, NO I  no habla ingles. a Calcula las siguientes probabilidades: P [H], P [M], P [I], P [NO I] b Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: M y I ; NO I/H ; H/NO I

Solución: 515  95 610   0,61 1000 1000 310  80 390 P M    0,39 1000 1000 515  310 825 P I    0,825 1000 1000 95  80 175 P NO I    0,175 1000 1000

a) P H 

b) M y I  Mujer que habla inglés



P M y I 

310  0,31 1000

NO I/H  No habla inglés sabiendo que es hombre



P NO I/H 

95  0,156 610

95  0,543 175 12. En el lanzamiento de un dado de cuatro caras, hemos obtenido las siguientes probabilidades: H/NO I

 Hombre sabiendo que no habla inglés

Nº OBTENIDO PROBABILIDAD

1

2

3



P H/NO I 

4

0,15 0,32 0,28

a ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4? b ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 4? c ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

Solución: a Tenemos en cuenta que la suma de las probabilidades de todos los casos es igual a 1; es decir:

P 1 + P 2 + P 3 + P 4  1 Sustituyendo cada probabilidad por su valor, tenemos que: 0,15  0,32  0,28  P 4  1  P 4  1  0,15  0,32  0,28 = 0,25 b) P no 4  1  P 4  0,75 c) P impar  P 1  P 3  0,15  0,28  0,43 13. Lanzamos dos dados y anotamos la diferencia de los números obtenidos. a ¿Cuál es el espacio muestral? b A cada uno de los sucesos elementales, ¿podemos aplicarles directamente la ley de Laplace?

Solución:

a) E  0, 1, 2, 3, 4, 5 b) Los sucesos elementales 0, 1, 2, 3, 4 y 5, no son equiprobables, por tanto no se puede aplicar directamente la Ley de Laplace:

 Obtener diferencia 5  2 veces 6  5 y 5  6  Obtener diferencia 0  6 veces 1  1 , 2  2 , 3  3 , 4  4 , 5  5 , 6  6 14. Tenemos tres fichas diferentes: la primera entera de color azul; la segunda azul por una cara y roja por la otra y la tercera es blanca por una cara y roja por la otra. Las tiramos al aire. ¿Qué es más probable, que las tres sean de colores diferentes o que dos de ellas sean del mismo color?

Solución: Hacemos un diagrama de árbol: 1ª Ficha

2ª Ficha A

3ª Ficha B



R



B



R



A R

Suceso

P 3 colores diferentes  P  A, R, B  

(A, A, B) (A, A, R) (A, R, B) (A, R, R)

1 4

P dos de ellas del mismo color   P  A, A, B   P  A, A, R   P  A, R, R  

1 1 1 3    4 4 4 4

Luego es más probable que dos de las fichas sean del mismo color.

15. Lanzamos un dado tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener: a A  "Tres cincos" b B  "El mismo número las tres veces"

Solución: Como son sucesos independientes: a) P  A  P 5  P 5  P 5 

1 1 1 1     0,0046 6 6 6 216

b) P B  P  tres unos  P  tres doses  P  tres treses  P  tres cuatros  P  tres cincos  3

3

3

3

3

3

3

2

 1  1  1  1  1  1  1  1  P  tres seises                    6        6 6 6 6 6 6 6               6 1   0,028 36 16. Si sacamos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, calcula la probabilidad de obtener:

a Dos ases. b Dos cartas del mismo palo.

Solución: a) P dos ases  P as en la 1ª y as en la 2ª    P as en la 1ª   P as en la 2ª habiendo sacado as en la 1ª   

4 3 1 1     40 39 10 13

1  0,0077 130

b) P mismo palo  P dos oros  P dos copas  P dos espadas  P dos bastos  10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 1 3         4   4   40 39 40 39 40 39 40 39 40 39 4 13 3   0,23 13 

17. En un centro deportivo hay matriculados 500 alumnos repartidos así: HOMBRE PRACTICA GOLF

MUJER

256

NO PRACTICA GOLF

149

194 500

a Completa la tabla. b) Llamamos H  hombre, M  mujer, G  practica golf, NO G  no practica golf.

Calcula las siguientes probabilidades: P [H], P [M], P [G], P [NO G] c Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: H y G ; M/G ; G/M Solución:

a) HOMBRE

MUJER

256 95 351

50 99 149

PRACTICA GOLF NO PRACTICA GOLF

306 194 500

351  0,702 500 149 P M   0,298 500 306 P G   0,612 500 194 P NO G   0,388 500

b) P H 

256  0,512 500 50 M/G  mujer sabiendo que juega al golf  P M/G   0,163 306 50 G/M  practica el golf sabiendo que es mujer  P G/M   0,336 149

c) H y G  hombre que juega al golf



P H y G 

18. Tomamos una ficha del dominó al azar. Halla las probabilidades siguientes: a Que la ficha sea el cinco doble 5  5. b Que la suma de puntos sea 7. c Obtener un doble.

Solución: Las fichas del dominó son 28. a) P 5  5 

1  0,036 28

b La suma de puntos es 7 en las siguientes fichas: 6  1;

5  2;

43

Por tanto: P suma 7 

c P  doble 

3  0,107 28

7  0,25 28

19. ¿Qué relación hay entre las probabilidades de los sucesos A y B?

A: Obtener de la urna 1 dos bolas azules en dos extracciones sin devolver la bola a la urna.

B: Obtener de la urna 2 dos bolas rojas en dos extracciones sin devolver la bola a la urna.

Solución: 3 2 1   4 3 2 2 1 1 P B   P 1ª roja  P  2ª roja /1ª roja    5 4 10 P  A  P 1ª azul  P  2ª azul /1ª azul 

Por tanto: P  A 1 1 1 1 P B       P  A  10 5 2 5 5 Es decir, la probabilidad del suceso B es la quinta parte de la probabilidad del suceso A.

20. Tenemos una urna con 6 bolas rojas y 8 verdes. Sacamos una bola al azar, observamos el color y la volvemos a introducir en la urna. Sacamos una segunda bola y observamos su color. Calcula la probabilidad de obtener: a Dos bolas rojas. b Dos bolas de distinto color.

Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

1ª bola 6

6

14

2ª bola 14

R 8

V  RyV 14

6

8

14

R  RyR

14

R  VyR

V 8

V 14

a) P R y R 

6 6 3 3 9      0,18 14 14 7 7 49

b) P R y V   P  V y R 

6 8 8 6 3 4 4 3 12 24         2   0,49 14 14 14 14 7 7 7 7 49 49

20. Introducimos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos tres bolas, una detrás de otra sin devolverlas a la bolsa. Calcula la probabilidad de obtener tres números impares.

Solución: Hacemos un diagrama en árbol: 1ª bola

2ª bola

3ª bola Par Impar

Par Par

Par Impar

5 Pares 5 Impares

Impar Par

Par 1

Impar

2

5P

Impar

4I

5P 4

9

Impar

Par

3I 3

Impar  3 impares 8

1 4 3 1     0,083 2 9 8 12 21. En un club deportivo hay apuntados 30 chicos y 30 chicas. La mitad de los chicos y la tercera parte de las chicas juegan al tenis.

P 3 impares 

a Completa la siguiente tabla: JUEGAN TENIS CHICOS CHICAS

15 10

NO JUEGAN TENIS

30 30 60

b Ayudándote de la tabla anterior, describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades referidas al elegir al azar una persona: chico ; no juega tenis ; chico que no juega tenis ; chico/no juega tenis Solución: a

JUEGAN TENIS

NO JUEGAN TENIS

15 10 25

15 20 35

CHICOS CHICAS

30 30 60

b Chico  nº total de chicos que hay en el club deportivo  30 30 1 P chico    0,5 60 2 No juega al tenis  se refieren al grupo de personas que no juegan al tenis  35 35 7 P no juega tenis    0,58 60 12 Chico que no juega al tenis  que sea chico y no juegue al tenis  15 15 1 P chico que no juega tenis    0,25 60 4 Chico/no juega al tenis  de los que no juega al tenis 35 cuántos son chicos 15.

15 3 P chico/no juega tenis    0,43 35 7

22. Lanzamos dos dados y anotamos la mayor de las puntuaciones obtenidas. Calcula la probabilidad de que esta sea: a 4 b 2 c 6 Solución: Hacemos una tabla en la que se reflejen los posibles resultados:

2º dado

1er dado

a) P  4 

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

2

3

4

5

6

3

3

3

3

4

5

6

4

4

4

4

4

5

6

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

7  0,194 36

b) P  2 

3 1   0,083 36 12

c) P 6 

11  0,306 36

23. Busca 5 sucesos distintos en la experiencia “lanzar una moneda 3 veces y anotar el número de caras”. ¿Cuál es un suceso imposible?

Solución: Por ejemplo se pueden dar los siguientes sucesos:

A  no obtener ninguna cara   X, X, X  B  obtener tres caras  C, C, C  C  obtener al menos dos caras  C, C, X  , C, X , C ,  X , C, C , C, C, C  D  obtener una cara   X , X , C  , X , C, X  , C, X , X  E  obtener dos caras  C, C, X  ,C, X , C  ,  X , C, C 

Un suceso imposible sería “obtener cuatro caras”.

24. En una urna tenemos 100 bolas numeradas del 1 al 100. Se extrae una bola al azar y se anota su número, x. Calcula las siguientes probabilidades: a x es divisible por 3 y par. b x es impar y múltiplo de 5.

Solución: a Hay 33 bolas múltiplos de 3, de las cuales son pares 16.

16 4 P  x divisible por 3 y par     0,16 100 25 b Hay 50 bolas impares de las cuales 10 son múltiplos de 5.

10 1 P  x impar y múltiplo de 5    0,1 100 10