Ejercicios resueltos 1. Halla el punto medio del segmento de extremos A2, 5 y B6, 2. Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: 2 6 5 2 3 M , 4, 2 2 2
2. Averigua las coordenadas del simétrico, A, del punto A2, 3 respecto del punto H3, 9. Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es H. Por tanto: 2 x 3 2 3 y 9 2
x 8 y 21
A 8, 21
3. Halla la distancia entre los puntos A10, 15 y B0, 9. dist A, B
0 10
2
9 15 102 242 100 576 676 26 2
u
4. a Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, 2 y radio 5. b) Indica el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
x 4
a) La ecuación es:
2
x 2 y 2 5. 2
y 2 5. 2
Desarrollando y simplificando:
x 4
2
y 2 25 2
x 2 8 x 16 y 2 4y 4 25
x 2 y 2 8 x 4y 5 0
b El centro es 0, 2 y el radio 5. 5. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos 0, 2 y 1, 5. b Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por 4, 0 y tiene pendiente 2. c Halla el punto de intersección de las rectas r y s. 5 2 5 2 3 a) Pendiente 3 1 0 1 1 Ecuación: y 2 3 x 0 y 2 3x 3x y 2 0 b y 0 2 x 4) y 2x 8 c Es la solución del sistema siguiente: 3 x y 2 0 3 x 2x 8 2 0 3 x 2x 8 2 0 5 x 10 y 2x 8 x2 y 4 Punto: (2, 4) 6. a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1. b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x y 1 que pasa por el punto 0, 1. a y 1 b Pendiente de 3x y 1 y 3x 1 m 3 1 1 Pendiente de la perpendicular m 3
Ecuación: y 1
1 x 3
3y 3 x
x 3y 3 0
7. ¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto?
a) x 2 y 2 25 x 2 y 2 9 b) x 0 2 2 x y 25 x2 y 2 9 2 2 c) x y 9 x 2 y 2 25 x0
c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios 3 y 5, respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre 3 y 5, esto es x2 y 2 9 x 2 y 2 25 x0
8. Las rectas r : 3x y 4 0, s: 3x 4y 11 0 y t: 3x 2y 1 0 forman un triángulo ABC. Calcula los vértices y el ortocentro del triángulo. Calculamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: 3x y 4 0 3 x 4y 11 0
3x y 4 0 3 x 4 y 11 0 3y 15 0
3x 5 4 0
3x 9
y 5
x 3
Luego A3, 5. 3x y 4 0 3 x 2y 1 0
3 x y 4 0 3 x 2y 1 0 3y 3 0
3x 1 4 0
3x 3
x 1
y 1
Por tanto B1, 1. 3 x 4 y 11 0 3 x 2y 1 0
3 x 4 y 11 0
3 x 2y 1 0 6y 12 0
3x 8 11 0 3x 3 Luego C1, 2.
y 2
x 1
Para calcular el ortocentro del triángulo hallamos las ecuaciones de dos alturas y resolvemos el sistema formado por ellas: Altura h1 que parte de A es perpendicular a BC 3 2 Pendiente de BC : m1 pendiente de h1 : m1 2 3 2 Ecuación de h1 : y 5 x 3 3y 15 2x 6 3y 2x 9 0 3 Altura h2 que parte de B es perpendicular a AC 3 3 4 Pendiente de AC : m2 pendiente de h2 : m2 4 4 3 4 Ecuación de h2 : y 1 x 1 3y 3 4 x 4 3y 4 x 1 0 3 Resolvemos el sistema: 3y 2x 9 0 3y 4 x 1 0
3y 2x 9 0 3y 4 x 1 0
6x 8 0 19 0 3 4 19 El ortocentro es , . 3 9 3y
8 9 0 3
3y
y
x
8 4 6 3
19 9
9. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P2, 4 y Q1, 6). Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: 2 1 4 6 3 M , , 5 2 2 2
10. Halla el simétrico, A, del punto A8, 2 respecto de P1, 0. Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es P. Por tanto: 8 x 1 2 2 y 0 2
x 10 y 2
A 10, 2
11. Averigua la distancia que hay entre los puntos M8, 5 y N1, 7.
dist M, N
1 8
2
7 5 92 122 81 144 225 15 2
12. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C2, 5 y que pasa por el punto P6, 2. El radio de la circunferencia buscada es la distancia de C a P : CP
6 2 2 5 2
2
4
2
3 16 9 25 5 2
La ecuación de la circunferencia es: x 22 y 52 52 Desarrollando y simplificando: x 4x + 4 y 10y 25 25 x y 4x 10y 4 0 2
2
2
2
13. a Obtén la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 5, 3 y 4, 3. b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por 0, 0 y tiene pendiente 1. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. 3 3 6 2 a Pendiente 4 5 9 3 2 Ecuación: y 3 x 5 3y 9 2x 10 2x 3y 1 0 3 b Ecuación: y x c Es la solución del sistema siguiente: 2x 3y 1 0 y x
2x 3 x 1 0
x 1
x 1
y 1
Punto: 1, 1
14. 1 x 3. 2 b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x y 3. a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: 1 1 y x 3 m 2 2
a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a y
Ecuación: y 1
1 x 2 2
b Pendiente de 2x y 3
Pendiente de la perpendicular
Ecuación: y 2
1 x 2
2y 2 x 2
y 2x 3
2y x
m 2
1 1 1 m 2 2
2y 4 x
x 2y 4 0
y
x 2
15. Halla el valor de k para que los puntos A1, 1, B0, 3 y C2,k estén alineados. Para que los puntos estén alineados se debe cumplir:
2 k 1 1 1
k 1 2
k 1
Si k 1, el punto C 2, 1 está alineado con los otros dos. 16. Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto:
Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA. AB es la recta que pasa por A( 4, 0) y tiene pendiente m
3 . 2
3 x 4 2y 3 x 12 0 2 Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo 1, 2, y lo sustituimos en la ecuación anterior: 2 · 2 3 · 1 12 11 < 0. Por tanto, el semiplano buscado es 3x 2y 12 0. La ecuación será: y
BC es paralela al eje X y pasa por 0, 3 y 3 El semiplano buscado es y 3. 3 CD es la recta que pasa por D(4, 0) y tiene pendiente m . 2 3 La ecuación será: y x 4 2y 3 x 12 3 x 2y 12 0 2
Sustituimos el punto 1, 2 3 · 1 2 · 2 12 5 < 0 El semiplano buscado es 3x 2y 12 0. DA es el eje X y 0. El semiplano será y 0. El recinto, pues, es la solución del sistema:
3 x 2y 12 0 3 x 2y 12 0 0 y 3
17. Dado el segmento de extremos P4, 3 y Q2, 5, halla las coordenadas de su punto medio. Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: 4 2 3 5 M , 3, 4 2 2
18. Halla las coordenadas del punto, P , simétrico de P1, 7 respecto de Q1, 5 Llamamos x, y a las coordenadas de P. El punto medio del segmento de extremos P y P es Q. Por tanto: 1 x 1 2 7 y 5 2
x 3 y 17
P 3, 17
19. Halla la distancia entre los puntos P2, 9 y Q8, 1. dist P, Q
8 2
2
1 9 62 82 36 64 100 10 2
20. a Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4. b) Di cuáles son el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
x 3
a) La ecuación es:
2
x 3
2
y 5 9. 2
y 4 4 2
Desarrollando y simplificando:
x 3
2
y 4 16 2
x 2 6 x 9 y 2 8y 16 16
x 2 y 2 6 x 8y 9 0
b El centro está en el punto 3, 5, y el radio es 9. a Halla la ecuación de la recta, r , que pasa por los puntos 3, 2 y (5, 3). 21. b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por 1, 7 y tiene pendiente 3. c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. 32 1 a Pendiente 53 2 1 Ecuación: y 2 x 3 2y 4 x 3 x 2y 1 0 2
b y 7 3x 1
y 7 3x 3
3x y 4 0
c Es la solución del sistema siguiente: x 2y 1 0 3x y 4 0
x 2y 1 3 2y 1 y 4 0
6y 3 y 4 0 7y 7
y 1 x 1
Punto: (1, 1)
22. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por el punto 3, 1 y es paralela a y 2x 5. b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y 3x 1 que pasa por el punto 0, 0. a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y 2x 5
m2
Ecuación de r : y 1 2 x 3 b y 3x 1
y 1 2x 6
y 2x 7
m 3
Pendiente de la perpendicular Ecuación: y
1 1 1 m 3 3
1 x 3
23. Dada la recta ax by 0, indica qué relación debe haber entre a y b para que el punto P2, 6 pertenezca a la recta. El punto P2, 6 pertenecerá a la recta ax by 0 si se cumple: a · 2 b · 6 0 2a 6b 0 a 3b 0 a 3b Luego, P2, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b. 24. Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax 3y 2 0 y s: bx 9y 5 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1, 2. a 2 a Pendiente de r : ax 2 3y y x mr 3 3 3 b 5 b Pendiente de s: bx 5 9y y x ms 9 9 9 Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir: a b mr ms 3a b b 3a 3 9 Calculamos a sabiendo que P1, 2 pertenece a la recta r : a·13·220 a620 a4 Por tanto, a 4 y b 3 · 4 12. 25. Averigua las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A2, 7 y B3, 4. Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: 2 3 7 4 1 3 M , , 2 2 2 2
26. Halla el simétrico, P , del punto P2, 4 respecto de Q6, 3. Llamamos x, y a las coordenadas de P. El punto medio del segmento de extremos P y P es Q. Por tanto:
2 x 6 2 4 y 3 2
x 10 y 10
P 10, 10
27. Obtén la distancia entre los puntos P5, 7 y Q7, 23. dist P, Q
7 5
2
23 7 122 162 144 256 400 20 2
28. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C3, 1 y que pasa por P(5, 1. El radio de la circunferencia es la distancia de C a P : CP
5 3
2
1 1 22 2 8 2
2
La ecuación de la circunferencia es:
x 3
2
y 1 2
8
2
Desarrollando y simplificando: x2 6x 9 y2 2y 1 8 x2 y2 6x 2y 2 0 29.
a Halla la ecuación de la recta, r , que se pasa por
1, 3
y tiene pendiente igual a 1.
b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por los puntos 1, 0 y 1, 4. c Obtén el punto de intersección de las rectas r y s. a Ecuación: y 3 1 x 1 y 3 x 1 y x 2 b Pendiente
40 4 2 1 1 2
Ecuación: y 0 2x 1
y 2x 2
2x y 2 0
c Es la solución del sistema siguiente: y x2 2x y 2 0
2x x 2 2 0
3x 0
x0
y 2
Punto: 0, 2
30. Dados los puntos A 2, 1, B 3, 4 y la recta t : 5x y 3 0, halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes: r : pasa por A y es paralela a la recta t . s : pasa por B y es perpendicular a la recta t . Pendiente de la recta t : 5x y + 3 0 y 5x 3 m 5 5 por ser paralela a t. 1 Ecuación: y 1 5 x 2 y 1 5 x 10
Recta r : m
Recta s : m
1 1 1 m 5 5
5 x y 11 0
Ecuación: y 4
31.
1 x 3 5
5y 20 x 3
¿Cuál de las rectas r : y 3 5 x 1 ,
s: y
2 x 5
x 5y 23 0
y t:
x 1 1 y es paralela a la 5 2
recta 2 x 5 y 4 0? Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
Pendiente de r m 5 2 Pendiente de s m 5 Pendiente de t : x 1 1 y 2 2 x 1 1 y y 1 x 1 5 2 5 5 2 2 2 3 2 y x 1 y x m 5 5 5 5 5 2 La pendiente de 2x 5y 4 0 es m . Luego s es la recta paralela a 2x 5y 4 0. 5 31. Representa gráficamente el siguiente recinto: x 2 y 2 16 yx0 0 x 3
x2 y2 16 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de dicha circunferencia. y x 0 y x bisectriz del 1er y 3er cuadrante. Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y x > 0 tomamos, por ejemplo, el punto 3, 1 y lo sustituimos en y x 1 3 2 < 0. Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto 3, 1 es el que corresponde a la inecuación y x > 0. x 0, x 3 son rectas paralelas al eje Y. La representación gráfica correspondiente será:
Ejercicio nº 1.Halla el punto medio del segmento de extremos A1, 4 y B6, 8). Solución:
Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: 1 6 4 8 7 M , , 6 2 2 2
32. Dado el punto A6, 1, halla las coordenadas de su simétrico, A, respecto del punto P3, 4. Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es P. Por tanto: 6 x 3 2 1 y 4 2
x 0 y 9
A 0, 9
33. Obtén la distancia entre los puntos A2, 3 y B3, 9. dist A, B
3 2
2
9 3 52 122 25 144 169 13 2
34. a Obtén la ecuación de la circunferencia de centro 1, 5 y radio 3. b) Averigua el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
x 1
a) La ecuación es:
x 1
2
y 2 16.
y 5 3.
2
2
Desarrollando y simplificando:
x 1
2
y 5 9 2
x 2 2x 1 y 2 10y 25 9
x 2 y 2 2x 10y 17 0
b El centro es 1, 0, y el radio, 16. 35. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 2 y 2, 1. b Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por 1, 3 y tiene pendiente 2. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. 1 2 3 a Su pendiente es m 3. 2 1 1 Ecuación: y 2 3x 1 b y 3 2x 1
y 2 3x 3
y 3 2x 2
y 3x 5
y 2x 5
c El punto de corte es la solución de este sistema: y 3 x 5 y 2x 5
3 x 5 2x 5
5 x 10
x2
y 1
Punto: 2, 1
36. a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x 3y 4 0, que pasa por 1, 2. b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y 1 0 que pasa por 3, 2. a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente: 2x 3y 4 0
y
2x 4 2 4 x 3 3 3
m
2 3
Ecuación de r : y 2
2 x 1 3
3y 6 2x 2
2x 3y 8 0
b La recta y 1 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación será x 3. 37. Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a x2 y 32 9 0 es la ecuación de una circunferencia. b) La recta de ecuación ax c 0 es una recta paralela al eje Y
a, c .
c Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m1 m2 0. a d) La pendiente de una recta perpendicular a r : ax by c 0 es . b a FALSO. La ecuación de una circunferencia de centro Ca, b y radio r es: x a y b r 2
2
2
En este caso: x 02 y 32 9, pero r2 no puede ser negativo; luego la ecuación dada no es la ecuación de una circunferencia. b VERDADERO. ax c 0
x
c a
constante
c recta paralela al eje Y que pasa por , 0 a
c VERDADERO. Por ser paralelas las rectas m1 m2 m1 m2 0 d FALSO. La pendiente de r es m a r es m
1 b . m a
a b
a c y b x b
la pendiente de la recta perpendicular
38. En el triángulo de vértices A(1, 1, B3, 2 y C1, 4 halla: a La ecuación de la altura h1 que parte de B. b La ecuación de la altura h2 que parte de C. c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas.
a La altura h1 es perpendicular al lado AC. 5 5 Pendiente de AC m1 2 2
Pendiente de h1 m1
2 5
2 La recta h1 pasa por B y su pendiente es ; luego su ecuación es: 5 2 y 2 x 3 5y 10 2x 6 5y 2x 4 0 5
b La altura h2 es perpendicular al lado AB. 1 Pendiente de AB m2 4 Pendiente de h2 m2 4 La recta h2 pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es: y 4 4x 1 y 4 4x 4 y 4x 0 c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h1 y h2 : 4 2 5 4 x 2 x 4 0 20 x 2 x 4 0 22 x 4 x 5y 2x 4 0 22 11 y 4x y 4x 0
y 4x 4
2 8 11 11
2 8 El ortocentro es el punto , . 11 11 39. Dado el segmento de extremos P4, 3 y Q2, 5, halla las coordenadas de su punto medio. Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:
4 2 3 5 M , 3, 4 2 2
40.Halla el simétrico, P , del punto P2, 4 respecto de Q6, 3. Llamamos x, y a las coordenadas de P. El punto medio del segmento de extremos P y P es Q. Por tanto: 2 x 6 2 4 y 3 2
x 10 y 10
P 10, 10
41. Obtén la distancia entre los puntos A2, 3 y B3, 9. dist A, B
3 2
2
9 3 52 122 25 144 169 13 2
42. a Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4. b) Di cuáles son el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
a) La ecuación es:
x 3
2
y 4 4 2
x 3
2
y 5 9. 2
Desarrollando y simplificando:
x 3
2
y 4 16 2
x 2 6 x 9 y 2 8y 16 16
x 2 y 2 6 x 8y 9 0
b El centro está en el punto 3, 5, y el radio es 9. 43. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 2 y 2, 1. b Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por 1, 3 y tiene pendiente 2. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. 1 2 3 a Su pendiente es m 3. 2 1 1 Ecuación: y 2 3x 1 b y 3 2x 1
y 2 3x 3
y 3 2x 2
y 3x 5
y 2x 5
c El punto de corte es la solución de este sistema: y 3 x 5 y 2x 5
3 x 5 2x 5
5 x 10
x2
y 1
Punto: 2, 1
a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a y
44.
1 x 3. 2
b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x y 3. a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y
1 x 3 2
Ecuación: y 1
m
1 2
1 x 2 2
b Pendiente de 2x y 3
Pendiente de la perpendicular
Ecuación: y 2
45.
1 x 2
2y 2 x 2
y 2x 3
2y x
y
x 2
m 2
1 1 1 m 2 2
2y 4 x
¿Cuál de las rectas r : y 3 5 x 1 ,
x 2y 4 0
s: y
2 x 5
y t:
recta 2 x 5 y 4 0? Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
Pendiente de r m 5 2 Pendiente de s m 5 Pendiente de t : x 1 1 y 2 2 x 1 1 y y 1 x 1 5 2 5 5 2 2 2 3 2 y x 1 y x m 5 5 5 5 5
x 1 1 y es paralela a la 5 2
La pendiente de 2x 5y 4 0 es m
2 . Luego s es la recta paralela a 2x 5y 4 0. 5
46. Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax 3y 2 0 y s: bx 9y 5 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1, 2. a 2 a Pendiente de r : ax 2 3y y x mr 3 3 3 b 5 b Pendiente de s: bx 5 9y y x ms 9 9 9 Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir: a b mr ms 3a b b 3a 3 9 Calculamos a sabiendo que P1, 2 pertenece a la recta r : a·13·220 a620 a4 Por tanto, a 4 y b 3 · 4 12.