Geometría

Ejercicios resueltos 1. Halla el punto medio del segmento de extremos A2, 5 y B6, 2.

Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:  2  6 5   2    3  M   ,    4,  2  2   2

2. Averigua las coordenadas del simétrico, A, del punto A2, 3 respecto del punto H3, 9.

Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es H. Por tanto: 2  x    3  2  3  y  9   2



x  8   y   21

A  8,  21



3. Halla la distancia entre los puntos A10, 15 y B0, 9. dist  A, B  

0  10

2

  9  15   102  242  100  576  676  26 2

u

4. a Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, 2 y radio 5. b) Indica el centro y el radio de la circunferencia de ecuación

 x  4

a) La ecuación es:

2

x 2   y  2   5.

2

  y  2  5.

2

Desarrollando y simplificando:

 x  4

2

  y  2  25 2



x 2  8 x  16  y 2  4y  4  25



x 2  y 2  8 x  4y  5  0

b El centro es 0, 2 y el radio 5.

5. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos 0, 2 y 1, 5. b Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por 4, 0 y tiene pendiente 2. c Halla el punto de intersección de las rectas r y s. 5   2 5  2 3 a) Pendiente    3 1  0 1 1 Ecuación: y  2  3 x  0  y  2  3x  3x  y  2  0 b y  0  2 x  4)  y  2x  8 c Es la solución del sistema siguiente: 3 x  y  2  0  3 x   2x  8   2  0  3 x  2x  8  2  0  5 x  10   y  2x  8   x2  y 4 Punto: (2, 4) 6. a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1. b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x  y  1 que pasa por el punto 0, 1. a y  1 b Pendiente de 3x  y  1  y  3x  1  m  3 1 1 Pendiente de la perpendicular   m 3

Ecuación: y  1 

1 x 3



3y  3  x



x  3y  3  0

7. ¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto?

a) x 2  y 2  25   x 2  y 2  9   b) x  0  2 2 x  y  25   x2  y 2  9  2 2 c) x  y  9   x 2  y 2  25   x0 

c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios 3 y 5, respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre 3 y 5, esto es x2  y 2  9   x 2  y 2  25   x0 

8. Las rectas r : 3x  y  4  0, s: 3x  4y  11  0 y t: 3x  2y  1  0 forman un triángulo ABC. Calcula los vértices y el ortocentro del triángulo.

Calculamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: 3x  y  4  0   3 x  4y  11  0 



3x  y  4  0 3 x  4 y  11  0 3y  15  0

3x  5  4  0

 3x  9





y 5

x 3

Luego A3, 5.

3x  y  4  0   3 x  2y  1  0 



3 x  y  4  0 3 x  2y  1  0 3y  3  0

3x  1  4  0

 3x  3



x 1



y  1

Por tanto B1, 1.

3 x  4 y  11  0   3 x  2y  1  0 

3 x  4 y  11  0



3 x  2y  1  0 6y  12  0

3x  8  11  0  3x  3 Luego C1, 2.





y 2

x  1

Para calcular el ortocentro del triángulo hallamos las ecuaciones de dos alturas y resolvemos el sistema formado por ellas:  Altura h1 que parte de A  es perpendicular a BC 3 2 Pendiente de BC : m1    pendiente de h1 : m1  2 3 2 Ecuación de h1 : y  5   x  3   3y  15  2x  6  3y  2x  9  0 3  Altura h2 que parte de B  es perpendicular a AC 3 3 4 Pendiente de AC : m2    pendiente de h2 : m2   4 4 3 4 Ecuación de h2 : y  1   x  1  3y  3  4 x  4  3y  4 x  1  0 3 Resolvemos el sistema: 3y  2x  9  0   3y  4 x  1  0 



3y  2x  9  0 3y  4 x  1  0

6x  8  0 19 0 3  4 19  El ortocentro es   , .  3 9  3y 

8 9  0 3



3y 



 y

x

8 4  6 3

19 9

9. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P2, 4 y Q1, 6).

Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:  2  1 4   6    3  M   ,    ,  5  2   2  2

10. Halla el simétrico, A, del punto A8, 2 respecto de P1, 0.

Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es P. Por tanto: 8  x   1  2  2  y   0  2



x   10   y  2 



A  10, 2 

11. Averigua la distancia que hay entre los puntos M8, 5 y N1, 7.

dist  M, N  

 1  8

2

  7   5    92  122  81  144  225  15 2

12. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C2, 5 y que pasa por el punto P6, 2.

El radio de la circunferencia buscada es la distancia de C a P : CP 

 6   2   2  5 2

2



 4 

2

  3   16  9  25  5 2

La ecuación de la circunferencia es: x  22  y  52  52 Desarrollando y simplificando: x  4x + 4  y  10y  25  25  x  y  4x  10y  4  0 2

2

2

2

13. a Obtén la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 5, 3 y 4, 3. b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por 0, 0 y tiene pendiente 1. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores.

3   3  6 2 a Pendiente    4  5 9 3 2 Ecuación: y  3   x  5   3y  9  2x  10  2x  3y  1  0 3 b Ecuación: y  x c Es la solución del sistema siguiente: 2x  3y  1  0   y  x 



2x  3 x  1  0



x 1 

x  1 

y 1

Punto:  1, 1

14.

1 x  3.

2 b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x  y  3. a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: 1 1 y  x 3  m  2 2

a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a y 

Ecuación: y  1 

1  x  2 2

b Pendiente de 2x  y  3





Pendiente de la perpendicular 

Ecuación: y  2 

1 x 2



2y  2  x  2

y  2x  3





2y  x

m  2

1 1 1   m 2 2

2y  4  x



x  2y  4  0



y

x 2

15. Halla el valor de k para que los puntos A1, 1, B0, 3 y C2,k estén alineados.

Para que los puntos estén alineados se debe cumplir:

2 k  1   1 1

k  1  2



k  1

Si k  1, el punto C 2, 1 está alineado con los otros dos.

16. Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto:

Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA.  AB es la recta que pasa por A( 4, 0) y tiene pendiente m 

3 .

2

3  x  4   2y  3 x  12  0 2 Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo 1, 2, y lo sustituimos en la ecuación anterior: 2 · 2  3 · 1  12  11 < 0. Por tanto, el semiplano buscado es 3x  2y  12  0.

La ecuación será: y 

 BC es paralela al eje X y pasa por 0, 3  y  3 El semiplano buscado es y  3.

3  CD es la recta que pasa por D(4, 0) y tiene pendiente m   .

2 3 La ecuación será: y   x  4   2y  3 x  12  3 x  2y  12  0 2

Sustituimos el punto 1, 2  3 · 1  2 · 2  12   5 < 0 El semiplano buscado es 3x  2y  12  0.  DA es el eje X  y  0. El semiplano será y  0.

El recinto, pues, es la solución del sistema:

3 x  2y  12  0  3 x  2y  12  0 0  y  3 

17. Dado el segmento de extremos P4, 3 y Q2, 5, halla las coordenadas de su punto medio.

Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:  4  2 3   5   M   ,    3,  4  2  2 

18. Halla las coordenadas del punto, P , simétrico de P1, 7 respecto de Q1, 5 Llamamos x, y a las coordenadas de P. El punto medio del segmento de extremos P y P es Q. Por tanto: 1 x   1   2  7  y   5  2



x   3   y   17 

P   3, 17 



19. Halla la distancia entre los puntos P2, 9 y Q8, 1. dist  P, Q  

 8  2

2

 1  9   62  82  36  64  100  10 2

20. a Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4. b) Di cuáles son el centro y el radio de la circunferencia de ecuación

 x  3

a) La ecuación es:

2

 x  3

2

  y  5   9.

2

  y  4  4 2

Desarrollando y simplificando:

 x  3

2

  y  4   16 2



x 2  6 x  9  y 2  8y  16  16



x 2  y 2  6 x  8y  9  0

b El centro está en el punto 3, 5, y el radio es 9. a Halla la ecuación de la recta, r , que pasa por los puntos  3, 2 y (5, 3).

21. b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por 1, 7 y tiene pendiente 3. c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.

32 1 a Pendiente   53 2 1 Ecuación: y  2   x  3   2y  4  x  3  x  2y  1  0 2

b y  7  3x  1



y  7  3x  3



3x  y  4  0

c Es la solución del sistema siguiente: x  2y  1  0   3x  y  4  0

 x  2y  1  3  2y  1  y  4  0



6y  3  y  4  0  7y  7



 y 1  x 1

Punto: (1, 1)

22. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por el punto 3, 1 y es paralela a y  2x  5. b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y  3x  1 que pasa por el punto 0, 0. a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y  2x  5



m2

Ecuación de r : y  1  2 x  3 b y  3x  1





y  1  2x  6

y  2x  7

m  3

Pendiente de la perpendicular  Ecuación: y 



1 1 1   m 3 3

1 x 3

23. Dada la recta ax  by  0, indica qué relación debe haber entre a y b para que el punto P2, 6 pertenezca a la recta.

El punto P2, 6 pertenecerá a la recta ax  by  0 si se cumple: a · 2  b · 6  0  2a  6b  0  a  3b  0  a  3b Luego, P2, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b.

24. Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax  3y  2  0 y s: bx  9y  5  0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1, 2. a 2 a Pendiente de r : ax  2  3y  y  x   mr  3 3 3 b 5 b Pendiente de s: bx  5  9y  y   x   ms   9 9 9 Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir: a b mr  ms    3a  b  b  3a 3 9 Calculamos a sabiendo que P1, 2 pertenece a la recta r : a·13·220  a620  a4 Por tanto, a  4 y b  3 · 4  12.

25. Averigua las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A2, 7 y B3, 4.

Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:  2  3 7   4    1 3  M   ,    ,  2  2   2 2

26. Halla el simétrico, P , del punto P2, 4 respecto de Q6, 3.

Llamamos x, y a las coordenadas de P. El punto medio del segmento de extremos P y P es Q. Por tanto:

2  x  6  2   4  y  3  2



x   10   y   10 

P  10, 10 



27. Obtén la distancia entre los puntos P5, 7 y Q7, 23. dist  P, Q  

 7  5

2

  23  7   122  162  144  256  400  20 2

28. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C3, 1 y que pasa por P(5, 1.

El radio de la circunferencia es la distancia de C a P : CP 

5  3

2

  1  1  22   2  8 2

2

La ecuación de la circunferencia es:

 x  3

2

  y  1  2

 8

2

Desarrollando y simplificando: x2  6x  9  y2  2y  1  8  x2  y2  6x  2y  2  0 29.

a Halla la ecuación de la recta, r , que se pasa por

1, 3

y tiene pendiente igual a 1.

b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por los puntos 1, 0 y 1, 4. c Obtén el punto de intersección de las rectas r y s. a Ecuación: y  3  1  x  1  y  3  x  1  y  x  2 b Pendiente 

40 4   2 1  1 2

Ecuación: y  0  2x  1



y  2x  2



2x  y  2  0

c Es la solución del sistema siguiente: y  x2   2x  y  2  0



2x  x  2  2  0



3x  0



x0



y 2

Punto:  0, 2 

30. Dados los puntos A 2, 1, B 3, 4 y la recta t : 5x  y  3  0, halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes: r : pasa por A y es paralela a la recta t . s : pasa por B y es perpendicular a la recta t .

Pendiente de la recta t : 5x  y + 3  0  y  5x  3  m  5 5 por ser paralela a t.

1 Ecuación: y  1  5  x  2   y  1  5 x  10

 Recta r : m 

 Recta s : m 

1 1 1   m 5 5



5 x  y  11  0

Ecuación: y  4 

31.

1  x  3 5

 5y  20  x  3

¿Cuál de las rectas r : y  3  5  x  1 ,

s: y 



2 x 5

x  5y  23  0

y t:

x  1 1 y  es paralela a la 5 2

recta 2 x  5 y  4  0?

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Pendiente de r  m  5 2 Pendiente de s  m  5 Pendiente de t : x  1 1 y 2 2    x  1  1  y  y  1   x  1  5 2 5 5 2 2 2 3 2  y   x  1  y  x  m 5 5 5 5 5 2 La pendiente de 2x  5y  4  0 es m  . Luego s es la recta paralela a 2x  5y  4  0.

5 31. Representa gráficamente el siguiente recinto: x 2  y 2  16   yx0   0 x 3 

x2  y2  16 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de dicha circunferencia. y  x  0  y  x bisectriz del 1er y 3er cuadrante.

Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y  x > 0 tomamos, por ejemplo, el punto 3, 1 y lo sustituimos en y  x  1  3   2 < 0.

Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto 3, 1 es el que corresponde a la inecuación y  x > 0. x  0, x  3 son rectas paralelas al eje Y. La representación gráfica correspondiente será:

Ejercicio nº 1.Halla el punto medio del segmento de extremos A1, 4 y B6, 8).

Solución:

Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:  1  6 4   8    7  M   ,    ,  6  2   2  2

32. Dado el punto A6, 1, halla las coordenadas de su simétrico, A, respecto del punto P3, 4.

Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es P. Por tanto: 6  x  3  2  1  y   4  2



x  0  y   9



A  0, 9 

33. Obtén la distancia entre los puntos A2, 3 y B3, 9. dist  A, B  

 3  2

2

  9   3    52  122  25  144  169  13 2

34. a Obtén la ecuación de la circunferencia de centro 1, 5 y radio 3. b) Averigua el centro y el radio de la circunferencia de ecuación

 x  1

a) La ecuación es:

 x  1

2

 y 2  16.

  y  5   3.

2

2

Desarrollando y simplificando:

 x  1

2

  y  5  9 2



x 2  2x  1  y 2  10y  25  9



x 2  y 2  2x  10y  17  0

b El centro es 1, 0, y el radio, 16.

35. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 2 y 2, 1. b Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por 1, 3 y tiene pendiente 2. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. 1  2 3 a Su pendiente es m    3.

2 1 1 Ecuación: y  2  3x  1 b y  3  2x  1





y  2  3x  3

y  3  2x  2





y  3x  5

y  2x  5

c El punto de corte es la solución de este sistema: y  3 x  5   y  2x  5 



 3 x  5  2x  5



 5 x  10



x2



y  1

Punto:  2,  1

36. a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x  3y  4  0, que pasa por 1, 2. b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y  1  0 que pasa por 3, 2. a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente: 2x  3y  4  0



y

2x  4 2 4  x 3 3 3



m

2 3

Ecuación de r : y  2

2  x  1 3



3y  6  2x  2



2x  3y  8  0

b La recta y  1  0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación será x  3.

37. Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a x2  y  32  9  0 es la ecuación de una circunferencia. b) La recta de ecuación ax  c  0 es una recta paralela al eje Y

 a, c   .

c Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m1  m2  0. a d) La pendiente de una recta perpendicular a r : ax  by  c  0 es . b a FALSO. La ecuación de una circunferencia de centro Ca, b y radio r es: x  a  y  b  r 2

2

2

En este caso: x  02  y  32   9, pero r2 no puede ser negativo; luego la ecuación dada no es la ecuación de una circunferencia. b VERDADERO. ax  c  0



x

c a

constante

 c   recta paralela al eje Y que pasa por   , 0   a 

c VERDADERO. Por ser paralelas las rectas  m1  m2  m1  m2  0 d FALSO. La pendiente de r es m  a r es m 

1 b  . m a

a b

a c  y  b x  b   



la pendiente de la recta perpendicular

38. En el triángulo de vértices A(1, 1, B3, 2 y C1, 4 halla: a La ecuación de la altura h1 que parte de B. b La ecuación de la altura h2 que parte de C. c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas.

a La altura h1 es perpendicular al lado AC. 5 5 Pendiente de AC  m1   2 2

Pendiente de h1  m1  

2 5

2 La recta h1 pasa por B y su pendiente es  ; luego su ecuación es: 5 2 y  2   x  3   5y  10  2x  6  5y  2x  4  0 5

b La altura h2 es perpendicular al lado AB. 1 Pendiente de AB  m2  4 Pendiente de h2  m2  4 La recta h2 pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es: y  4  4x  1  y  4  4x  4  y  4x  0 c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h1 y h2 : 4 2  5   4 x   2 x  4  0  20 x  2 x  4  0  22 x  4  x   5y  2x  4  0   22 11    y  4x y  4x  0 

y  4x  4 

2 8  11 11

2 8 El ortocentro es el punto  , .  11 11 39. Dado el segmento de extremos P4, 3 y Q2, 5, halla las coordenadas de su punto medio.

Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:

 4  2 3   5   M   ,    3,  4  2  2 

40.Halla el simétrico, P , del punto P2, 4 respecto de Q6, 3.

Llamamos x, y a las coordenadas de P. El punto medio del segmento de extremos P y P es Q. Por tanto: 2  x  6  2  4  y   3  2



x   10   y   10 



P  10, 10 

41. Obtén la distancia entre los puntos A2, 3 y B3, 9. dist  A, B  

 3  2

2

  9   3    52  122  25  144  169  13 2

42. a Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4. b) Di cuáles son el centro y el radio de la circunferencia de ecuación

a) La ecuación es:

 x  3

2

  y  4  4 2

 x  3

2

  y  5   9.

2

Desarrollando y simplificando:

 x  3

2

  y  4   16 2



x 2  6 x  9  y 2  8y  16  16



x 2  y 2  6 x  8y  9  0

b El centro está en el punto 3, 5, y el radio es 9.

43. a Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 2 y 2, 1. b Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por 1, 3 y tiene pendiente 2. c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. 1  2 3 a Su pendiente es m    3.

2 1 1 Ecuación: y  2  3x  1 b y  3  2x  1





y  2  3x  3

y  3  2x  2





y  3x  5

y  2x  5

c El punto de corte es la solución de este sistema: y  3 x  5   y  2x  5 



 3 x  5  2x  5



 5 x  10



x2



y  1

Punto:  2,  1

a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a y 

44.

1 x  3.

2

b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x  y  3. a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y

1 x 3 2



Ecuación: y  1 

m

1 2

1  x  2 2

b Pendiente de 2x  y  3





Pendiente de la perpendicular 

Ecuación: y  2 

45.

1 x 2



2y  2  x  2

y  2x  3





2y  x



y

x 2

m  2

1 1 1   m 2 2

2y  4  x

¿Cuál de las rectas r : y  3  5  x  1 ,



x  2y  4  0

s: y 

2 x 5

y t:

recta 2 x  5 y  4  0?

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Pendiente de r  m  5 2 Pendiente de s  m  5 Pendiente de t : x  1 1 y 2 2    x  1  1  y  y  1   x  1 5 2 5 5 2 2 2 3 2  y   x  1  y  x  m 5 5 5 5 5



x  1 1 y  es paralela a la 5 2

La pendiente de 2x  5y  4  0 es m 

2 . Luego s es la recta paralela a 2x  5y  4  0.

5

46. Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax  3y  2  0 y s: bx  9y  5  0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1, 2. a 2 a Pendiente de r : ax  2  3y  y  x   mr  3 3 3 b 5 b Pendiente de s: bx  5  9y  y   x   ms   9 9 9 Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir: a b mr  ms    3a  b  b  3a 3 9 Calculamos a sabiendo que P1, 2 pertenece a la recta r : a·13·220  a620  a4 Por tanto, a  4 y b  3 · 4  12.