ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA INDUSTRIAL N° 3 CICLO ESCOLAR 2019 – 2020 ACTIVIDADES PARA CONTINGENCIA POR COVID-19 TERCERA PARTE DEL 04 AL 15 DE MAYO TERCER TRIMESTRE DE MATEMATICAS III I.A. ANA CECILIA GONZÁLEZ HERNÁNDEZ NOMBRE DEL ALUMNO_________________________________________________________ GRUPO_________ COPIA EN TU LIBRETA DE APUNTES TODOS LOS TEXTOS, DEFINICIONES (TEORIA), DIBUJOS, PROBLEMAS RESUELTOS Y RESUELVE LOS PROBLEMAS QUE SE TE PIDEN. AL FINAL DEBERAS TENER TRANSCRITO Y CORRECTAMENTE CONTESTADO ESTE DOCUMENTO EN TU LIBRETA YA QUE AHÍ SE PONDRA EL PORCENTAJE CORRESPONDIENTE QUE OBTENGAS. NOTA: NO PUEDES FOTOCOPIAR, RECORTAR NI PEGAR ESTE DOCUMENTO EN TU LIBRETA; TIENE QUE ESTAR CON TU PUÑO Y LETRA PARA SER VALIDO. ESTAS ACTIVIDADES SE SUMARAN A LAS PASADAS PARA HACER EL TOTAL DEL 15% DEL ENCUADRE QUE SE MENCIONO EN LAS ACTIVIDADES ANTERIORES; SIEMPRE Y CUANDO ESTEN CORRECTAMENTE CONTESTADAS Y REALIZADAS BAJO LAS INSTRUCCIONES CORRESPONDIENTES ES QUE TENDRAN DICHO VALOR. ACORDE A COMO SE VALLAN PRESENTANDO LAS CIRCUNSTANCIAS EL ENCUADRE PUEDE SUFRIR CAMBIOS MAS ADELANTE, LOS CUALES SERAN AVISADOS. LAS ACTIVIDADES ANTERIORES YA TERMINADAS SE TENDRAN QUE MANDAR DESDE EL CORREO DE TU TUTOR AL SIGUIENTE CORREO DENTRO DE LAS FECHAS CORRESPONDIENTES A TU GRUPO; SI SE MANDAN FUERA DE LA FECHA TENDRAN UN VALOR MENOR. SE MANDARAN FOTOS DE LA LIBRETA DONDE SE PASARON TODAS LAS ACTIVIDADES Y DE LOS EJERCICIOS QUE SE TENIAN QUE CONTESTAR EN PRESENTACION DE POWER POINT YA QUE ASI ES MAS FACIL MANDARLAS; LAS FOTOS DE LA PRESENTACION DEBERAN DE SER CLARAS Y LEGIBLES, RECUERDA QUE TENDRE QUE PODER LEER Y ENTENDER LO QUE ESTA EN ELLAS. EL ASUNTO DEL CORREO DEBE SER EL SIGUIENTE LLENADO CON TUS DATOS: NOMBRE DEL ALUMNO, NUMERO DE LISTA, GRUPO, ACTIVIDADES SEGUNDA PARTE (ESTO NO LO CAMBIES). CORREO: ana_bolita@hotmail.com FECHA DE ENTREGA DE SEGUNDA PARTE DE ACTIVIDADES (si ya las entregaste has caso omiso de estas fechas): Grupo G: 06 y 07 de mayo. Grupo I: 08 y 09 de mayo. Grupo J: 11 y 12 de mayo.
TEMA 7 ANÁLISIS DE LAS RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS AGUDOS Y LOS COCIENTES ENTRE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. Las llamadas funciones trigonométricas datan de la época de la antigua Babilonia. Los principios de esta rama de las matemáticas fueron desarrollados en su mayoría por estudiosos de la India, antigua Grecia y musulmanes. Surgen al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados dependen únicamente del valor de los ángulos del triángulo. Un triángulo rectángulo es cualquiera que contenga un ángulo recto (90°), dos ángulos agudos y en el cual se cumple el teorema de Pitágoras (el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos). Los nombres de los lados de un triángulo rectángulo son los siguientes: Hipotenusa: lado opuesto (el de enfrente) al ángulo recto. Cateto opuesto (a): lado opuesto al ángulo que se quiere establecer. Cateto adyacente (b): lado adyacente (el de junto) al ángulo que se busca establecer.
Si θ es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, se definen las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente, cotangente y cosecante) para dicho triángulo. Razones trigonométricas: es la razón (división) existente entre los lados de un triángulo rectángulo y son 6. 1.- Seno:
2.- Coseno: 3.- Tangente: 4.- Cotangente: 5.- Secante: 6.- Cosecante: Mediante estas funciones podemos encontrar el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo, así como sus lados utilizando los valores que nos arroje el problema, esto de la siguiente forma: EJEMPLOS RESUELTOS: 1.- Tenemos un triángulo con los siguientes datos:
A partir de nuestro conocimiento de que los ángulos internos de un triángulo rectángulo dan en total 180° hacemos lo siguiente: 180° - 58° - 90°= 32° el cual es el valor del ángulo faltante
Trabajaremos con el ángulo de 58° (θ) ya que a partir de este se nombró el CO (cateto opuesto) y CA (cateto adyacente), que son el cateto más cercano al ángulo (CA) y el más lejano (CO). Si se trabaja con el ángulo de 32° entonces tendríamos que cambiar el orden de los catetos. Encuentra el valor de la hipotenusa y del cateto adyacente.
Vaciamos los datos que conocemos: CO= 12 mt θ = 58° h= ?
De las siguientes formulas analizamos de acuerdo a los datos que tenemos cual nos sirve para localizar el valor de la hipotenusa.
Sustituimos los datos en la fórmula que escogimos: Sen 58° = 12 mt h Hacemos el despeje de h: (h)(Sen 58°) = 12 mt
h = 14.15 mt
este es el valor de la hipotenusa
h = 12 mt Sen 58° h = 12 mt 0.8480 El ultimo cateto que es el adyacente en este caso, lo podemos localizar ya sea con el teorema de Pitágoras o como el anterior, por medio de las funciones trigonométricas. Vaciamos datos: θ = 58° CO = 12 mt CA= ? De las siguientes formulas analizamos de acuerdo a los datos que tenemos cual nos sirve para localizar el valor del cateto adyacente.
Sustituimos los datos en la fórmula que escogimos: Tan 58° = 12 mt CA
Hacemos el despeje de CA:
(CA)(Tan 58°) = 12 mt CA = 7.5 mt
CA = 12 mt Tan 58°
este es el valor del cateto adyacente.
CA = 12 mt 1.6 También podemos localizar el valor de cateto adyacente usando el valor de la hipotenusa: Vaciamos datos: θ = 58° h = 14.15 mt CA= ? De las siguientes formulas analizamos de acuerdo a los datos que tenemos cual nos sirve para localizar el valor del cateto adyacente.
Sustituimos los datos en la fórmula que escogimos: Cos 58° = CA 14.15 m Hacemos el despeje de CA: (14.15 mt)(Cos 58°) = CA CA = (14.15 mt)(0.5299) CA = 7.49 mt
este es el valor del cateto adyacente.
Ejemplo 2. El ángulo con el que se va a trabajar será el de 32° y a partir de ahí se nombran los catetos.
180° - 32° - 90° = 58° este es el ángulo faltante. Cos 32° = 7 cm h
Hacemos el despeje de h:
(h)(Cos 32°) = 7 cm h = 7 cm Cos 32°
h = 8.2547 cm
este es el valor de la hipotenusa
h = 7 cm 0.8480
Ahora utilizamos la fórmula de la tangente para localizar el cateto opuesto Tan 32° = CO 7 cm Hacemos el despeje de CO: (7 cm)(Tan 32°) = CO
CA = 4.3736 cm
este es el valor del cateto opuesto.
CO = (7 cm)( 0.6248)
EJEMPLOS PARA RESOLVER: NOTA: TOMAR 4 DIGITOS DESPUES DEL PUNTO PARA LOS RESULTADOS. 1.- Un árbol proyecta una sombre de 12 mt de largo cuando el ángulo de inclinación del sol es de 31°. Calcula la altura del árbol.
2.- Desde un faro situado a 44 mt sobre el nivel del mar, el ángulo de la luz del faro hacia el barco es de 55.3 °. ¿A qué distancia del faro se encuentra el barco?
TEMA 8
PENDIENTE DE LA RECTA Se llama pendiente de recta a la inclinación de la misma con respecto al eje de las abscisas (X) y se denota con una letra (m), también se le puede definir como: La tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas
La fórmula para determinar el valor de la PENDIENTE DE LA RECTA que pasa por dos puntos es:
TIPOS DE PENDIENTES EN EL PLANO CARTESIANO (De izquierda a derecha)
Solo las dos primeras cumplen para la obtención resultados de pendiente de la recta, ya que necesitamos que no sea una recta horizontal y tampoco vertical. Otra regla que tendremos que tomar en cuenta es que cuando una recta sube su pendiente será positiva y si la recta baja su pendiente será negativa. EJERCICIOS RESUELTOS X 1 Y1 X2 Y2 1.- Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (-4, -6), B (3,2). De lo anterior determinamos que: Y2= 2 Y1= -6 y sustituimos esos valores en la fórmula: X2= 3 X1= -4
Estos son nuestros puntos A y B en el plano cartesiano.
Ahora recordemos el resultado que obtuvimos de nuestra fĂłrmula
lo cual nos indica que nuestro nuevo
punto lo trazaremos avanzando del punto A 8 tantos hacia arriba; hacia arriba por que el resultado es positivo.
Y despuĂŠs de colocar el punto, si avanzamos 7 puntos a la derecha nos daremos cuenta que encontramos el punto B. Se avanza hacia la derecha debido a que el 7 es positivo. El resultado final en el plano cartesiano de la pendiente de nuestra recta es este:
El valor de la pendiente de esta recta es
que representado en el plano cartesiano queda de la siguiente
manera: Estos son nuestros puntos C y D en el plano cartesiano.
Ahora recordemos el resultado que obtuvimos de nuestra fĂłrmula nuevo
lo cual nos indica que nuestro
punto lo trazaremos avanzando del punto C 10 tantos hacia abajo; hacia arriba por que el resultado es negativo (-10).
Avanzamos 10 tramos hacĂa abajo
Y después de colocar el punto, si avanzamos 5 puntos a la derecha nos daremos cuenta que encontramos el punto D. Se avanza hacia la derecha debido a que el 5 es positivo. El resultado final en el plano cartesiano de la pendiente de nuestra recta es este:
EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Encuentra la pendiente de la recta que pasa por las coordenadas A (1,2), B (6,6). 2.- Determina la pendiente de la recta resultante de las coordenadas P (-4,5), Q (2,-1).
TEMA 9 ANGULO DE LA PENDIENTE Se denomina ángulo de inclinación de una recta al ángulo comprendido entre dicha recta y el eje de las “X” (eje de las ordenadas), midiendo dicho ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj (del eje de las “X” hacia la izquierda). La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es lo que se llama tangente inversa y se expresa de la siguiente forma:
Donde: m= pendiente de la recta tan α= tangente del ángulo EJERCICIOS RESUELTOS. Con lo anterior determinaremos el ángulo de la pendiente de la recta de los ejercicios resueltos 1 y 2 del tema anterior:
Y lo representamos en el plano cartesiano de la siguiente forma; en el plano del ejercicio que hicimos colocamos el ángulo que acabamos de obtener:
Y lo representamos de la siguiente forma; en el plano cartesiano del ejercicio que hicimos colocamos el ángulo que acabamos de obtener:
NOTA: EN ESTE CASO YA QUE EL ÁNGULO ES NEGATIVO (-63.43°) SE MIDE EN EL SENTIDO DE LAS MANECILLAS DEL RELOJ.
EJERCICIOS PARA RESOLVER. Determina el ángulo para el ejercicio 1 y 2 que resolviste en el tema anterior y muestra cómo se vería en el plano cartesiano.
TEMA 10 ECUACION DE LA RECTA
Existen tres formas para expresar la ecuación de la recta: EXPLÍCITA, GENERAL Y CANÓNICA O SEGMENTARIA. FORMA EXPLICITA: (Punto Pendiente) Y= mx + b Donde: m = pendiente (inclinación de la recta) b= lugar en donde la pendiente se cruza (punto de corte) con el eje de las “y” (abscisas) X, Y= variables que determinan los puntos de la recta Para poder utilizar esta fórmula debemos de conocer la pendiente de la recta (m). FORMA GENERAL: AX + BY + C = 0 Donde: A, B, C son números enteros A es mayor que 0 X, Y= Variables que determinan los puntos de la recta. Siempre debe estar igualada a 0 FORMA CANÓNICA:
X Y + ≐1 a b
Donde: a y b= puntos en donde la pendiente cruza con los ejes “X” y “Y” respectivamente. Siempre debe de estar igualada a 1
EJEMPLOS RESUELTOS FORMA EXPLICITA O PUNTO PENDIENTE Y=mX+b 1.- Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos M (5,4) Y N (3,2) X1, Y1 X2, Y2 PASO 1 Calcular la Pendiente (m). m=
y 2− y 1 2−4 = x 2−x 1 3−5
¿
−2 =1 −2
m= 1 PASO 2 Para obtener la ordenada al origen (b) se toma cualquiera de las ordenadas M o N, en este caso tomaremos N (3,2), donde X1= 3 y Y1 = 2. La fórmula es: Y-Y1 = m (X-X1) Donde: X,Y = Variantes X1,Y1 = Ordenadas
m = Pendiente PASO 3 Sustituimos en la fórmula: Y-Y1 = m (X-X1) Y-2 = 1 (X-3) Y-2 = X-3 Y = X-3+2 Y = X-1 y está seria nuestra ecuación de la recta de la forma Y= mx+b 2.- Encontrar la ecuación ordinaria y general de la recta que pasa por el punto A (1,1) y su pendiente es m = 3 PASO 1 Como en este caso ya nos dan el valor de la pendiente nos vamos directo a sustituir en la formula Y-Y 1 = m (X-X1) Y-1 = 3(X-1) Y-1 = 3X-3 Y = 3X-3+1 Y = 3X-2
Esta sería la ecuación ORDINARIA O EXPLICITA Y= mx+b
PASO 2 Si hacemos un despeje, obtenemos la ecuación de la forma general. Y-3X+2=0 Esta sería la ecuación en la FORMA GENERAL Ax+By+C=0
3.- Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,-4) y tiene como pendiente m =
−2 5
PASO 1 Al igual que en el caso anterior como conocemos el valor de la pendiente procedemos directo a la sustitución en la fórmula Y-Y1 = m (X-X1) Y-(-4) =
−2 (X −3) 5
Y+ 4 =
−2 6 X+ 5 5
Y=
−2 6 X+ −4 5 5
Y=
−2 6−20 X+ 5 5
Y=
−2 14 X− 5 5
Esta sería la ecuación de la FORMA Y = mx + b
EJERCICIOS PARA RESOLVER a) Calcular la pendiente de la recta que pasa por cada uno de los siguientes puntos, así como el ángulo de inclinación de las mismas. Deberás de obtener 6 resultados en total. 1.- A (1,2) y B (6,6) 2.- C (2,3) y D (6,7) 3.- E (-2,4) y F (3,-6)
b) Hallar la ecuación ordinaria (explicita) y general de la recta que pasa por cada uno de los puntos. Deberás de obtener 8 resultados en total. 1. - A (1,2) y B (6,6)
2.- A (4,3) y B (0,0) 3.- P (5,4) con pendiente m = - 4 4.- Q (-3,4) con pendiente m =
−1 2