MEDIDA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN EL CÁLCULO DE FIGURAS COMPUESTAS, INCLUYENDO ÁREAS LATERALES Y TOTALES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES
CÁLCULO DE ÁREAS EN FIGURAS COMPUESTAS cuadrado
¿Qué
400 m triángulo
340 semicírculo
(314) 2
=--—= 170 rn2
= 157 rn2
170
157 727
El área del terreno es de 727 m2
1. Calcula el área de las siguientes figuras compuestas:
26
a)
b)
CÁLCULO DE ÁREAS EN FIGURAS COMPUESTA
27
d)
c)
4.5 mm mm
km 2 km 6 km
mm
2. Calcula el รกrea sombreada de Ias figuras compuestas: b)
28
CÁLCULO DE ÁREAS LATERALES Y TOTALES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES ÁREA LATERAL Y TOTAL DEL CUBO:
Sitrazamos las cuatro caras laterales del cubo en un plano,
Este desarrollo constituye la superfi lateral del cubo. A = bh = (10) (2.5) = 25 cm
Al = 25 cm2
Área lateral:
A - a2 = (2.5) 2 =2.5 x 2.5 = 6.25 crn2 Para obtener el área total aumentamos2
2A = 6.25 x 2 = 12.5 cm el área de las bases: Área total: ÁREA LATERAL de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales. 1.
At = 25 + 12.5 = 37.5 cm 2
ÁREA TOTAL de un prisma es la suma del área lateral más las áreas de la bases.
Calcula el área lateral total de los si uientes rismas.
29
b) 9.1 m
a)
30
ÁREA LATERAL Y TOTAL DE LA PIRÁMIDE Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.
cm
16 x 2.8 44.8 Para obtener el área total aumentamos= 22.4 cm el Área total:
ÁREA LATERAL de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.
2
área de la base. At = 42.4 + 22.4 = 64.8 cn-P
ÁREA TOTAL de un pirámide es la suma del área lateral más el área de la base
1. Calcula el área lateral y total de los siguientes prismas.
31
b)
a)
6.7 cm 8.7
4.1 cm
5.6 m
32
MEDIDA JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA CALCULAR EL VOLUMEN DE CUBOS, PRISMAS Y PIRÁMIDES.
VOLUMEN DE CUBOS Y PRISMAS 3
CUBOS
pRlSMAS
B=3x3 9 cm2
3
=
9 x 3 = 27 cm3
Para ancho
3x3x3= 27
(5) (2) (1 .8)
E
2
=9m
LO
V=9x
lado x lado
2 cm
3
(10) (1 .8) 2
B = 9 mg
27 cm3 lado x 3 cm
a
18
o
45 m3
45 rn3
V=1 obtener el volumen multiplicamos: largo por Para obtener el base por altura.volumen multiplicamos: área de la por altura.
1 . Calcula el volumen de cubos y prismas en los siguientes problemas. a) Una cisterna tiene forma de un prisma, la base es un cuadro cuyo lado mide 1.5 m y la altura es de 2.4 m ¿cuál es el volumen de la cisterna?. Si un metro cúbico es igual a 1 000 litros, ¿cuántos litros de agua contiene la cisterna cuando está llena?
2.4 m
1.5 m
54
b) Si un depósito para granos tiene forma de un cubo y una de sus aristas mide 3.40 m, ¿cuál es el volumen del depósito para granos ?
3.40 m
VOLUMEN DE CUBOS Y PRISMAS c)Cierto material químico se guarda en un depósito en forma de prisma pentagonal. Si uno de los lados de la base mide 5.3 m, la apotema 3.5 m y la altura 8.4 m ¿cuál es el volumen del depósito?
8.4 m
5.3 m d) Una recámara tiene forma de un cubo, ¿cuál es el volumen de la recámara si una de sus aristas mide 4.25 m? 4.25 m
55
e) Un depósito de semillas tiene forma de prisma hexagonal,. Si la apotema mide 2.1 m, uno de los lados de la base mide 2.5 m y la altura del prisma 4.6 m ¿cuál es el volumen del depósito de semillas?
4.6 m
2.5 m f) Se construye una gran cisterna para el agua de cierta comunidad con forma de un cubo, si una de sus aristas es de 17.5 m ¿cuál es el volumen de la cisterna comunitaria?
VOLUMEN DE PIRÁMIDES base
:
El volumen de una pirámide es un tercio del producto de de la base por la altura de la pirámide. Volumen :
m (1 .5) (1 .3) Bh _ (4.875) (2.2)
10.725 v = 3.575 rn3
1.5 m 1. Resuelve los siguientes problemas.
56
a) Cierto refresco tiene su envase de cartón en forma de pirámide triangular. La base del envase mide 8 y la altura 7 cm. Si la altura de la pirámide es de 6 cm ¿cuál es el volumen del envase?
8 cm
b) Una "casa" para acampar tiene la forma de una pirámide hexagonal, un lado de la base mid m, la apotema 2.9 m y la altura de la pirámide 5.8 m ¿Cuál es su volumen?
4.7 m
c) Un frasco de loción en forma de pirámide pentagonal mide 3 cm por lado, la apotema 2.1 cm y la alt
7.3 cm ¿cuál es el
volumen de loción cuando está lleno el frasco? 3 cm
57
VOLUMEN DE PIRÁMIDES d) Un depósito de granos tiene forma de pirámide cuadrangular, el lado de la base mide 6.3 dm y la altura de la pirámide 10.5 dm, ¿cuál es el volumen de la pirámide?
6.3 dm e) Una cabaña ecológica tiene forma de pirámide triangular el lado de la base mide 7.8 m la altura de la base 5.6 m. Si la altura de la pirámide es de 6.2 m ¿cuál es el volumen de la cabaña ecológica?
7.8 f) Un invernadero tiene forma de pirámide pentagonal , mide 12 m por lado, la apotema mide 10 m y la altura 5.6 m, ¿cuál es el volumen del invernadero?
12 m
58
g) Un restaurante moderno tiene forma de pirámide hexagonal, un lado de la base mide 6.3 m, la apotema
4.2 m y la altura de la
pirámide 5.8 m, ¿cuánto mide el volumen?
6.3 m
VOLUMEN DE CUBOS, PRISMAS Y PIRÁMIDES CÁLCULO DE CUALQUIER TÉRMINO IMPLICADO EN LAS FÓRMULAS a) Se quiere construir un cubo cuyo volumen sea 125 crn3 , uniendo 6 caras cuadradas. ¿Cuánto debe medir un lado de la cara? Despeje:Sustitución
Resultado:
5 cm Porque:
5x5x5= 125 b) Si el volumen de un prisma pentagonal mide 226.32 m 3 y la altura 12.3 m ¿cuánto mide la superficie de la base? 3 m Despeje:Sustitución: Operación: Resultado:
12.3 m
12.3m
18.4 h
226.32 m 49 2
g
12x3
1033 h
00 0 h
59
B=
rn2
c) Si el volumen de una pirámide cuadrangular mide 205.84 dm3 y la superficie de la base 51.46 dm2 ¿cuánto mide la altura? 205.84 dm3 Despeje: Sustitución: Operación: Resultado: 51.46 dm
2
51.46 dm
2
3 3 (205,84) drn3 12 51x46 h = 12 dm 617.52 drn3 51.46 drn2
102 92
h = 12 dm d) ¿Cuánto debe medir un lado de una cara de un cubo si se desea que el volumen sea 343 m 3 ?
343 La raíz cúbica de un número menor que 1 000 se busca entre los nueve primeros números naturales, aquel cuyo cubo sea igual o más se acerque al número dado, será la raíz cúbica del número dado.
CÁLCULO DE CUALQUIER TÉRMINO IMPLICADO EN LAS FÓRMULAS
e) Si el volumen de un prisma cuadrangular es de 119.04 dm 3 y la altura mide 9.3 dm, ¿cuánto mide la superficie de la base?
9.3 dm
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f) Sabiendo que el volumen de una pirámide hexagonal es de 604.8 cm 3 y el área de la base 144 cm 2 ¿cuánto mide la altura de la pirámide? 3
2 B= 144 cm g) Si el volumen de un prisma hexagonal es de 793.8 m g y el área de la base mide 52.92 m 2 , ¿cuál es la altura del prisma?
793.8 r-n3 h) Sabiendo que el volumen de una pirámide pentagonal es de 632.4 cm 3 y que la altura mide 15.3 cm, ¿cuánto mide la superficie de la base? V = 632.4 crn 3
CÁLCULO DE CUALQUIER TÉRMINO IMPLICADO EN LAS FÓRMULAS
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i) En este caso el sólido geométrico está compuesto por un prisma y un cubo. Primero calculamos el volumen del cubo: V = 20 m x 20 m x 20 m V = 400 m2 x 20 m V = 8 000 m3
Luego calculamos el volumen
del prisma:
V =20 m x 40 m x 50 m V = 800
m
x 50 m V = 40 000 mg Obtenemos el volumen del sólido geométrico: V = 8000 mg + 40 000 mg V = 48 000 m3
j) ¿ Cuánto mide el volumen del siguiente sólido, formado por dos prismas ?
2.4 m
k) ¿ Cuál es el volumen del siguientes sólido
3.5 dm
62