Unidad 1

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CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 1: Teorema Fundamental del Cálculo

JULIO 2016

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Contenido 1.1.

Medición aproximada de figuras amorfas. ..........................................................................3

1.2.

Notación sumatoria. .............................................................................................................4

1.3.

Suma de Riemann.................................................................................................................5

1.4.

Definición de integral definida. ............................................................................................7

1.5.

Teorema de Existencia. ........................................................................................................8

1.6.

Propiedades de la integral definida. .....................................................................................9

1.7.

Función Primitiva. ............................................................................................................. 10

1.8.

Teorema Fundamental del cálculo .................................................................................... 11

1.9.

Calculo de integrales indefinidas ...................................................................................... 13

1.10.

Integrales impropias. ..................................................................................................... 14

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1.1. Medición aproximada de figuras amorfas.

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo.

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhaución de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.

Las figuras amorfas se caracterizan por tener una forma definida, pero es muy difícil obtener su área, aun queriendo utilizar las fórmulas de otras figuras. Es posible calcular el área de estas figuras considerando la suma del área de una cantidad finita de rectángulos contenidos en ella.

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1.2. NotaciĂłn sumatoria.

La integral definida se define como el lĂ­mite de una cierta clase de adiciĂłn o suma.

Por lo tanto resulta Ăştil, introducir una notaciĂłn especial que permita escribir una suma o sumatoria de constantes, tal como: 1 + 2 + 3 + â‹Ż + đ?‘›, 22 + 42 + 62 + â‹Ż + (2đ?‘›)2 , đ?‘Ś 1 1 1 1 + + + â‹Ż+ 3 4 5 2đ?‘› − 1

de manera concisa.

Sea ak un nĂşmero real, que depende de un entero k. Se denota la suma o sumatoria đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› Por el sĂ­mbolo đ?‘›

∑ đ?‘Žđ?‘˜ đ?‘˜=1

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1.3. Suma de Riemann.

Si se tiene una funciĂłn y=f(x), es posible formular el concepto de integral definida mediante los cinco pasos siguientes: 1. AdmĂ­tase que f estĂĄ definida en un intervalo cerrado [a,b].

2. DivĂ­dase el intervalo [a,b] en n sub intervalos [xk-1, xk] de amplitud â&#x2C6;&#x2020;xk = xk â&#x20AC;&#x201C; xk-1. DenĂłtese por P la particiĂłn: đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;Ľ0 < đ?&#x2018;Ľ1 < đ?&#x2018;Ľ2 < â&#x2039;Ż < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; =

đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;Ľ1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?

3. Sea â&#x20AC;&#x2013;đ?&#x2018;&#x192;â&#x20AC;&#x2013; la amplitud del subintervalo mĂĄs largo. Al nĂşmero llama norma de la particiĂłn P. 4. EscĂłjase un nĂşmero xk en cada sub intervalo.

5. EstablĂŠzcase la sumatoria:

â&#x20AC;&#x2013;đ?&#x2018;&#x192;â&#x20AC;&#x2013; se le

đ?&#x2018;&#x203A;

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; )â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;=1

Las sumatorias de la forma anterior, para las distintas particiones de [a,b], se conocen como sumatorias (o sumas) de Riemann, en honor del famoso matemĂĄtico alemĂĄn Georg Fiedrich Bernhard Riemann (1826-1866).

Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante al de los cinco pasos que definen el ĂĄrea bajo una grĂĄfica, existen ciertas diferencias importantes.

ObsĂŠrvese que una suma de Riemann no requiere que f sea continua ni no negativa en el intervalo [a,b]. AsĂ­ que no necesariamente representa una aproximaciĂłn al ĂĄrea bajo una grĂĄfica. TĂŠngase presente que â&#x20AC;&#x153;ĂĄrea bajo una grĂĄficaâ&#x20AC;? se refiere al ĂĄrea comprendida entre la grĂĄfica de una funciĂłn no negativa y el eje x. Si f < 0 en [a,b], una sumatoria de Riemann podrĂ­a contener tĂŠrminos f(xk)â&#x2C6;&#x2020;xk, en donde 5

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f(xk) < 0. En este caso, los productos f(xk)∆xk son números que son los negativos de las áreas de rectángulos trazados por debajo del eje x.

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1.4. Definición de integral definida.

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se denota

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.

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1.5. Teorema de Existencia.

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El valor f (c) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo.

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1.6. Propiedades de la integral definida.

Dada f(x) una funciĂłn continua y positiva en el intervalo [a ,b]. Entonces se tiene:

i. ii.

Si

Si f(x) es integrable en el intervalo [a,b] y c [a,b] entonces

f

y

g

son

dos

funciones

integrables

en

[a,b]

entonces

Ăł bien, Sean f y g funciones integrables en [a,b]. Entonces, đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

(i)

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ), en donde k es cualquier constante.

(ii)

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; [đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) Âą đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)]đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ Âą â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

(iii)

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ, nĂşmero en [a,b].

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

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en donde c es cualquier

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1.7. Función Primitiva.

Se dice que una función F es la primitiva o una anti-derivada de una función f si F’(x) = f(x) en algún intervalo.

Una anti-derivada de f(x) = 2x es F(x)= x2, puesto que F’(x) = 2x.

Siempre hay una anti-derivada de una función. En el caso del ejemplo anterior, si F1(x) = x2-1 y F2 (x) = x2 + 10, son también anti-derivadas de f(x) = 2x, puesto que F1‘(x) = F2‘(x) =f(x). En efecto, si F es una anti-derivada de una función f, entonces G(x) = F(x) + C también lo es para cualquier constante C. Entonces, F(x) + C representa un conjunto de funciones del cual cada miembro tiene una derivada igual a f(x). Cualquier anti-derivada de f debe ser de la forma G(x) = F (x) + C; esto es, dos anti-derivadas de la misma función pueden diferir cuando mucho en una constante.

Por consiguiente, F(x) + C es la anti-derivada más general de f(x).

Si G’(x) = F’(x) para todo x en algún intervalo [a,b], entonces, G(x) = F (x) + C para todo x en el intervalo.

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1.8.

Teorema Fundamental del cĂĄlculo

En este teorema se verĂĄ que el concepto de una anti-derivada de una funciĂłn continua proporciona el puente entre el CĂĄlculo diferencial y el CĂĄlculo integral.

SupĂłngase que f es continua y que f(t) â&#x2030;Ľ 0 para todo t en cierto intervalo [a, b].

De esta manera, la integral đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17D;

existe y representa el ĂĄrea bajo la grĂĄfica de f en el intervalo. Ahora bien, si x es cualquier nĂşmero en [a,b], entonces la funciĂłn đ?&#x2018;Ľ

đ??´(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17D;

da el ĂĄrea bajo la grĂĄfica en el intervalo [a,x]. VeĂĄse la siguiente figura. Si â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ > 0, entonces đ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ

đ??´(đ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;Ť

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x17D;

y

y = f(t)

y

y = f(t)

a

b

t

A(x)

a

b

t

x

(a)

(b) 11

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es el ĂĄrea indicada en la figura (a), mientras que la diferencia đ??´(đ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ??´(đ?&#x2018;Ľ) es el ĂĄrea mostrada en la Figura (b).

Sea f continua en [a, b] y sea x cualquier nĂşmero en el intervalo. Si G(x) es la funciĂłn definida por: đ?&#x2018;?

đ??ş(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17D;

entonces Gâ&#x20AC;&#x2122;(x)= f(x).

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1.9. Calculo de integrales indefinidas Muchos de los problemas concretos estudiados por los mĂĄs grandes matemĂĄticos se resuelven automĂĄticamente con esta fĂłrmula que establece sencillamente que la integral definida de la funciĂłn f(x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia se acostumbra escribir asĂ­: đ??š(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D; = đ??š(đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2019; đ??š(đ?&#x2018;&#x17D;) 3

Por ejemplo, utilizando la fĂłrmula de Newton-Leibniz puede calcularse â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ que determina el ĂĄrea de la regiĂłn limitada por la curva con ecuaciĂłn y = x2 y las rectas con ecuaciones y = 0, x = 3 y x = 0, de la siguiente manera:

3

3

đ?&#x2018;Ľ3 27 â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = | | = â&#x2C6;&#x2019; 0 = 9đ?&#x2018;˘2 3 0 3 0 2

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1.10. Integrales impropias.

Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

puede interpretarse como:

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

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no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral.

Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda.

El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

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