Unidad 4

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 4: Series.

JULIO 2016

1

Contenido 4.1 Definición de Serie ............................................................................................................... 3 4.1.1 Infinita. ....................................................................................................................................3 4.1.2

Infinitas.............................................................................................................................4

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba De la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). ..................................................................................................................6 4.3 Series de potencias. ...................................................................................................................8 4.4 Radio de convergencia. .............................................................................................................9 Distancia a la singularidad ........................................................................................................ 11 Radio de convergencia infinito ................................................................................................. 11 4.5

Series de Taylor................................................................................................................. 12

SERIES DE MACLAURIN (TAYLOR ALREDEDOR DE 0) NOTABLES ............................... 14 4.6

Representación de funciones mediante la serie de Taylor................................................. 17

4.7

Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. ............................ 19

2

4.1 Definición de Serie En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación: El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.

Termino de una sucesión: S: N→R Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera, para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

4.1.1 Infinita.

Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

3

4.1.2 Infinitas.

Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de límite en el que se consideran sucesiones.

Suponga que asociada a la sucesión U1, U2, U3,…, Un,…

Se tiene una “suma infinita” denotada por U1+ U2 + U3 +…+ Un+…

Pero ¿Qué es lo que significa esta expresión? Esto es, ¿Qué debe entenderse por la “suma” de n número infinito de términos, y en qué circunstancias dicha suma existe?

Teorema

Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa este procedimiento en forma indefinida, el número de pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede considerarse como la suma infinita 1+ ½ + ¼ + 1/8+ 1/16 +…+ (1)/(2˄(N-1)) Como se inició con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuición nos indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.

A partir de la sucesión U1, U1, U3,…, Un,…

Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un): S1=U1 S2=U1+U2 4

S3=U1+U2+U3 S4=U1+U2´+U3+U …

Sn=U1+U2+U3+U4+…+Un L a sucesión (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesión (Sn) es una secesión de sumas parciales llamada serie infinita.

Definición de serie infinita Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+Un Entonces ( Sn) es una secesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita Para un ejemplo preciso relacionado con el tema se sugiere el siguiente video instructivo:

5

4.2

Serie numérica y convergencia Prueba De la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

*La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente * Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

*Una serie telescópica es la suma donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

* Una serie hipergeometrica es una serie de la forma

Que cumple que

=

Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto 6

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe el Criterio de D'Alembert establece que:  si L < 1, la serie converge.

 si L > 1, entonces la serie diverge.  si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la ‘suma infinita’ tiene sentido: La serie converge si lo hace su sucesión de sumas parciales; otra cosa distinta es que converja su término general.

De la definición y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un numero finito de términos al principio de una serie, no se altera su carácter de convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque las nuevas sumas parciales diferirán de la inicial solo en un constante. Por eso, cuando estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n en que empezamos a sumar; incluso escribiremos solo “sigma” (no olvidando que son infinitos términos).

Algunos tipos de series * Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

7

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a: Criterio de Raabe En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie como la mostrada tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Convergencia Una serie alternada an converge absolutamente si

absoluta

4.3 Series de potencias.

Las series finitas que se han estudiado hasta este momento han consistido solo de términos constantes. Ahora se trata un tipo importante de series de términos variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como una 8

generalización de una función polinómica. En las secciones restantes de este capítulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular valores de funciones tales como sean x, ln x y (x)˄1/2, las cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritméticas conocidas y empleadas para determinar valores de funciones racionales.

Definición de una serie de potencias: Una serie de potencias en x-a es una serie de la forma Co+C1(x-c)+C2(x-c)˄2+…+Cn(x-c)˄n+…

Si la serie de potencias expuesta anteriormente es convergente para x= x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales [x]<[x1] Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Teorema SI la serie de potencias expuesta con anterioridad es divergente para x=x2, entonces es divergente para todos los valores de x para los que [x]>[x2] *Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias x-a 1. Aplique el criterio de la razón (o en ocasiones el criterio de la raíz) para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen absolutamente para todos los valores de x.

2.- Si R>0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo (a-R, a+R) y diverge para [x-a]>R. Verifique la convergencia en los dos extremos del intervalo (a-R,a+R), por supuesto, ninguna conclusión acerca de la convergencia en los extremos puede inferirse del criterio de la razón o del criterio de la raíz.

4.4 Radio de convergencia.

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma 9

Con Viene dado por la expresión:

Definición Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma, con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi abierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = Ejemplos Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

.

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

.

10

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

.

Distancia a la singularidad El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3tiene la forma:

.

Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador. La serie Radio de convergencia infinito Por ejemplo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho

.

Y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.

11

4.5

Series de Taylor.

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele 12

utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera más compacta como

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno. series de Taylor en el siglo XVIII.

13

SERIES DE MACLAURIN (TAYLOR ALREDEDOR DE 0) NOTABLES

La función coseno.

Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

Las dos imágenes de arriba puestas juntas.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

14

Serie geométrica

Teorema del binomio

para Y cualquier

complejo

Funciones trigonométricas

Donde Bs son el Número de Bernoulli.

15

16

4.6

RepresentaciĂłn de funciones mediante la serie de Taylor.

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3,5, 7, 9, 11 y 13

La funciĂłn exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 tĂŠrminos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

17

La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).

Puedes observar el comportamiento de aproximación usando algún polinomio de taylor por y = sin x.

El valor en x = π en cada función se despliegan al lado derecho.

18

4.7

Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:

O en forma compacta

Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:

Donde y entre y :

, pertenecen a los números reales,

a los enteros y

es un número real

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

19

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Caso de varias variables El teorema de Taylor anterior puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α. El resto satisface la desigualdad:

Para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores.

20