Unidad 2

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CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 2: Integral Indefinida y métodos de integración

JULIO 2016

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Contenido 2.1

Definición de integral indefinida. .........................................................................................3

Integral indefinida ................................................................................................................................3 2.2

Propiedades de integrales definidas .....................................................................................4

2.3

Integrales indefinidas. ..........................................................................................................8

2.3.1 Directas. ............................................................................................................................... 10 2.3.2 Con cambio de variable. ....................................................................................................... 11 2.3.4

Trigonométricas. ........................................................................................................... 13

2.3.5

Por sustitución trigonométrica....................................................................................... 16

Ejemplo # 1 ........................................................................................................................................ 17 2.3.6

Por fracciones parciales. ................................................................................................ 20

Caso I (Factores Lineales Distintos) ................................................................................................... 21 Ejemplo Caso I ............................................................................................................................ 21 Caso II (Factores Lineales Repetidos) ................................................................................................ 21 Ejemplo caso II ........................................................................................................................... 21 Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles) ...................................................................................... 22 Ejemplo Caso III ......................................................................................................................... 22 Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido).............................................................................. 22 Ejemplo Caso IV ......................................................................................................................... 22 Caso V (Fracción Impropia) ............................................................................................................... 22 Ejemplo Caso V .......................................................................................................................... 23

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2.1

Definición de integral indefinida.

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti-derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

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2.2

Propiedades de integrales definidas

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx Linealidad de la integral indefinida La primitiva es lineal, es decir:  Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.  Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G. La linealidad se puede expresar como sigue:

La primitiva de una función impar es siempre par En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

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La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0 En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

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Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color). En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:

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El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x. El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

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2.3

Integrales indefinidas.

INTEGRALES INDEFINIDAS

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Ejemplo:

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2.3.1 Directas. Una función F(x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x)=f(x), decimos que F(x) es la primitiva o integral indefinida de f(x). La integral indefinida de una función dada no es única; por ejemplo: x2, x2+5, x2-4, son las primitivas o integrales indefinidas de f(x)=2x, ya que � (� 2 ) ��

đ?‘‘

= đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Ľ 2 + 5) =

đ?‘‘(đ?‘Ľ 2 −4) đ?‘‘đ?‘Ľ

= 2đ?‘Ľ.

Todas las primitivas de f(x)=2x estĂĄn representadas por la expresiĂłn x2+C, en la que C es una constante cualquiera y se denomina constante de integraciĂłn. La primitiva o integral indefinida de la funciĂłn f(x) se representa por medio del sĂ­mbolo âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ. Por ejemplo: âˆŤ 2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 + đ??ś. Formulas fundamentales de integraciĂłn. Algunas de las expresiones que figuran a continuaciĂłn se deducen de forma inmediata de las fĂłrmulas de derivaciĂłn vistas en capĂ­tulos anteriores. La fĂłrmula 25 se puede comprobar teniendo en cuenta que đ?‘‘ 1 1 đ?‘˘ { đ?‘˘âˆšđ?‘Ž2 − đ?‘˘2 + đ?‘Ž2 đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘ đ?‘’đ?‘› + đ??ś} = √đ?‘Ž2 − đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘˘ 2 2 đ?‘Ž En algunas fĂłrmulas aparece el signo de valor absoluto. Por ejemplo, escribimos âˆŤ

đ?‘‘đ?‘˘ = ln|đ?‘˘| + đ??ś đ?‘˘

En lugar de âˆŤ âˆŤ

đ?‘‘đ?‘˘ = ln đ?‘˘ + đ??ś, đ?‘˘

�>0

đ?‘‘đ?‘˘ = ln(−đ?‘˘) + đ??ś , đ?‘˘

�<0

y âˆŤ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘” đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ = ln|sec đ?‘˘| + đ??ś En lugar de âˆŤ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘” đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ = ln sec đ?‘˘ + đ??ś Siendo u tal que sec u ≼ 1 âˆŤ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘” đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ = ln(− sec đ?‘˘) + đ??ś Siendo u tal que sec u ≼ -1

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2.3.2 Con cambio de variable. El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. Pasos para integrar por sustitución

1º

Se

Se

2º

hace

el

despeja

Si

3º

la

cambio

u

integral

Se

de

variable

y

resultante

vuelve

y

dx,

se

diferencia

sutituyendo

es

más

a

sencilla,

la

Ejemplo:

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en

los

en

dos

la

procedemos

variable

términos:

integral:

a

integrar:

inical:

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2.3.4 Trigonométricas. En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al cálculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara más aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

o (En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar 

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

La identidad

permite convertir de una parte a otra entre

potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos: 1. Cuando n es impar

Cuando identidad

, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la para poder expresar los factores restantes en

términos del coseno:

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Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo , . Como en la expresión no tenemos un multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión

que ya podemos sustituir:

2. Cuando m es impar

Cuando emplear del

al hacer

, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y para poder expresar los factores restantes en términos :

y

tendríamos

3. Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez identidades de la mitad de ángulo

y

, podemos aplicar las -y-

Algunas veces nos será útil utilizar la identidad 14

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Sería igual a:

Para evaluar  Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

se puede separar un factor una

expresión

identidad

y convertir la potencia restante (par) de la secante en

relacionada

con

la

tangente

por

medio

de

la

.

O bien, puesto que: , se puede separar un factor potencia restante (par) de tangente a secante.

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y convertir la

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2.3.5 Por sustitución trigonométrica. Cuando calculamos áreas de un círculo o una elipse encontraremos integrales que tengan la forma de:

Nota Generalmente se traza el dibujo de un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo, colocando un que vamos a interpretar como uno de los ángulos de este triángulo. Para evaluar la integral se colocan los datos recibidos en ella en los catetos/hipotenusa correspondientes, y es allí en donde utilizamos las sustituciones trigonométricas, por medio de las identidades trigonométricas para expresar de la manera que mejor convenga , , , etc. Es parecido a utilizar el método de Sustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades trigonométricas. Sustitución #1

despejar la x de la siguiente manera:

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Sustitución #2

despejamos X de tal manera que y

Sustitución # 3

despejamos X y nos quedaría de la siguiente manera y por lo tanto

entonces :

Ejemplo # 1

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Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:

Despejamos

luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la siguiente manera:

Luego tenemos:

Despejamos

nos queda asi:

Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:

En esta parte se eliminan

Como el

y

y nos queda:

es una constante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad

trigonométrica

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La integral de Ya por ultimo sacamos

de nuestro triangulo y el resultado final es:

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2.3.6 Por fracciones parciales. Un polinomio en x es una función de la forma a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, en donde los coeficientes son constantes a0=0 y n es un número entero positivo cualquiera, incluido el cero. Si dos polinomios del mismo grado toman iguales valores numéricos para todos los valores de la variable, los coeficientes de los términos de igual grado de ésta en ambos polinomios, son iguales. Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar, al menos teóricamente, como producto de factores reales lineales de la forma ax+b, y de factores cuadráticos reales irreducibles, de la forma ax2+bx+c. Una función F(x)=f(x)/g(x) en la que f(x) y g(x) son polinomios, recibe el nombre de fracción parcial. Si el grado de f(x) es menor al de g(x), F(x) recibe el nombre de función propia; en caso contrario, F(x) se denomina impropia. Toda fracción real impropia se puede expresar como una suma de un polinomio y una fracción propia. Por ejemplo, x3 = x x2+1

x . x2+1

Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores son de la forma (ax+b)n y (ax2 + bx + c)n, siendo n un número entero y positivo. Atendiendo a la naturaleza de los factores del denominador, se pueden considerar cuatro casos. CASO I. FACTORES LINEALES DISTINTOS A cada factor lineal ax+b, del denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma: A . ax+b CASO II. FACTORES LINEALES IGUALES A cada factor lineal ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma: A1 . ax+b 20

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Caso I (Factores Lineales Distintos) En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos. y son constantes, proponer:

Encontrar

Ejemplo Caso I Sea Primero factorizamos el denominador nos quedaría Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

Caso II (Factores Lineales Repetidos) Suponga que el primer factor lineal factorización de

se repite

veces; es decir,

aparece en la

. Por lo tanto en lugar del término simple

en (1), se usaría

Ejemplo caso II Si tenemos

en el denominador lineales 

Para

Para

,

podemos ver que tenemos que tenemos los factores y

y

usamos el caso I entonces escribimos

usamos el caso II entonces escribimos

Ahora juntamos las fracciones anteriores y no quedas,

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Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles) Si

tiene un factor de la forma

expresar

, donde

(esto nos dice que no se puede

como la multiplicación de dos factores lineales pues la solución de la cuadrática

es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para tendrá un término de la forma

Ejemplo Caso III Sea

podemos notar que

es una cuadrática irreducible ya que su solución

es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma

y para el factor

escribimos las fracciones

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresión en fracciones parciales para

Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido) Si

tiene un factor de la forma

fracción parcial

, donde

, luego en lugar de la única

, escribimos la suma

Ejemplo Caso IV Sea

usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda

Caso V (Fracción Impropia) Si de

es una fracción impropia (es decir, el grado de ) entonces dividir

Donde el grado de

por

para obtener:

es menor que el grado de

22

es mayor o igual que el

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Ejemplo Caso V Sea es

podemos notar que el grado del numerador y es mayor que el grado del denominador

que es

por lo que la fracción es un

fracción impropia entonces hacemos división larga,

Entonces podemos escribir

donde en la fracción

el grado del numerador es menor que el grado del denominar entonces

ya podemos aplicar los métodos antes mencionados.

Ejemplos Descomponer en fracciones parciales:

los valores se toman de la igualdad.

Resolver Reescribiendo:

=

Entonces:

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Donde:

. Luego:

y

Para la segunda integral de la derecha, hacer

Obteniendo:

Siendo:

=

=

Resolver Nos damos cuenta que el grado del numerador es mayor que el denominador, entonces primero haremos una división larga.

Lo que tenemos que hacer ahora es factorizar el denominador

tanto como sea posible.

Ahora debemos expresar la función racional propia como una suma de fracciones parciales de la forma

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Un teorema del algebra nos garantiza que siempre es posible hacer esto y tenemos cuatro casos básicos: Caso 1: El denominador

es un producto de factores lineales distintos.

Lo que significa que podemos escribir:

en donde no hay factor que se repita. En este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes

tales que:

Resolver Ya que el grado del numerador es menor que el del denominador no necesitamos dividir. Factorizamos el denominador como:

El denominador tiene tres factores lineales distintos y la descomposición en fracciones parciales es:

Para encontrar los valores de A, B y C, multiplicamos ambos lados de esta ecuación por

Los polinomios de esta ecuación son idénticos, de modo que sus coeficientes han de ser iguales. El coeficiente de

, en el lado derecho, es

y debe ser igual al coeficiente de

25

en

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el lado izquierdo, que es 1. De igual forma los coeficientes de x son iguales y los términos constantes también. Con esto llegamos al siguiente sistema de ecuaciones en

Al resolver el sistema obtenemos

Al integrar el término intermedio hemos recurrido a la sustitución mental

Resolver Como el denominador ya está factorizado, ahora descompondremos en fracciones:

Bueno ahora tendremos que multiplicar a cada fracción por:

Y nos quedaría de esta forma:

Después de multiplicar cada fracción el resultado sería:

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ahora encontramos polinomios que parezcan tener las mismas características:

el valor de A sería:

Ahora multiplicamos por 3 la primera ecuación para poder eliminar la variable B:

Ahora escogemos una ecuación y despejamos para B:

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Como ya tenemos los 3 valores de A,B y C sustituimos en la fracción parcial:

La respuesta correcta quedaría de la forma siguiente:

Ejemplo # 6 Caso 1 Todos los factores del denominador son distintos.

Factorizamos el denominador A cada factor lineal

que esté una sola vez en el denominador de una fracción racional

propia, le corresponde una sola fracción.

Simple de la forma

donde A es una constante cuyo valor habrá que calcular.

En el ejemplo descomponemos la fracción en tres fracciones cuyos numeradores serán A, B, C. Observa que el grado del denominador es tres y es el mismo número de constantes por determinar.

Factorizamos el denominador

Reducimos a una sola fracción, aplicamos el mcm. que en este caso es : mcm =

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Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto

Para calcular los valores de las constantes A, B y C obtenemos las raices de x(x - 2)(x + 1) que son:

Evaluando las raíces en

Para

Para

Para

Sustituimos los valores obtenido de A, B, y C

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Integramos

Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda

Otro procedimiento para resolver la integral antes citada

Factorizamos el denominador

Reducimos a una sola fracción, aplicamos el mcm. que en este caso es : mcm =

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto

Efectuando las operaciones del segundo miembro dela igualdad y agrupando los diferentes de

y del termino independiente, queda

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Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x. A continuación establecemos un sistema de ecuaciones.

(1) (2)

Sustituimos en (1) y (2)

Multiplicando B - 2C = 4 por -1

(3)

Calculamos B en (3)

Sustituimos los valores de A, B y C

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Integramos

Por la propiedad de los logaritmos, el resultado queda

Ejemplo # 7 Caso 2 Algunos de los factores lineales del denominador se repiten.

Factorizamos el denominador

=

El factor repetido es

, se escribe la fraccion con el denominador

y todas las

potencias inferiores, en este caso con denominador

Reducimos a una sola fracción, aplicando el mcm mcm = (x + 1(x -1 )^2

=

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entones los numeradores

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también deben ser iguales, por lo tanto

Efectuando las operaciones el segundo miembro de la igualdad y agrupando los coeficientes de x^2, x y del termino independiente queda

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a continuación establecemos un sistema de ecuaciones (1) (2) (3)

con (2) y (3), multiplicando (3) por -1

(4)

Ejemplo # 8 Caso 3 todos los factores cuadráticos (irreducibles del denominador son distintos) Por cada factor de la forma

, que es un polinomio cuadrático que resulte de

la factorización Q(x), queda un sumando del tipo

. Si además resultan

factores lineales repetidos, o no, se resuelven como los casos 1 y 2

factorizamos el denominador =

=

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reducimos a una sola fracción, aplicando el mcm que en este caso es: mcm = = Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores , también deben ser iguales, por lo tanto

Al efectuar las operaciones del segundo miembro de a igualdad y agrupar los coeficientes de del termino independiente queda

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a continuación establecemos un sistema de ecuaciones (1) (2) (3) (4) En (1)

Sustituimos en (2),(3) y(4) (2) (3) (4)

(2) (3) (4) Con (3) y (4) multiplicando (4) por -1 (3) (4)

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y

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Sustituimos en (2)

Ejemplo # 9

Esto es igual a Multiplicamos todo por Llegamos a esta expresión Tenemos que encontrar A y B 1ra) A + B = 0 2da) -A + 4B = 1 Por la 1ra expresion 3ra) A = -B Sustituimos en la 2da expresión 4ta) B = Sustituimos en la 1ra expresión A= Sustituimos en la integral

Ejemplo #10

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Despejamos el término B en la primera ecuación y nos quedaría así:

Luego despejamos el término en la segunda ecuación y nos quedara así:

Después de un poco de algebra y despejar el término A la respuesta será:

Sustituyendo en

el valor de A nos quedará que:

Ahora integramos las dos fracciones que teníamos al principio:

Después de integrar y de sustituir los valores de A y B nos quedara así la respuesta:

36

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