Unidad 2 by angel

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA Educación Superior en Modalidad a Distancia para Ingeniería Industrial (Tec Tepeaca)

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 3: Aplicaciones de la integral

JULIO 2016

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Contenido 3.1

Áreas. ...................................................................................................................................3

3.1.1

Área bajo la gráfica de una función..................................................................................5

3.1.2

Área entre las gráficas de funciones. ................................................................................7

3.2 Longitud de curvas. ...................................................................................................................9 3.3 Calculo de volúmenes de solidos de revolución. ................................................................... 13 3.4

Calculo de centroides. ....................................................................................................... 17

3.5

Otras Aplicaciones. ........................................................................................................... 24

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3.1

Áreas.

Si f es una función que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b], entonces la integral definida :

no representa el área bajo la gráfica de f sobre el intervalo. El valor de:

Puede interpretarse como el área neta con signo entre la gráfica de f y el eje x sobre el intervalo [a,b]. Suponga que la función y = f(x) es continua sobre el intervalo [a,b] y que f (x) <0 sobre [a,c) y que f (x) >/ 0 sobre [c,b]. El área total es el área de la región acotada por las gráficas de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=para encontrar el área se emplea el valor absoluto de la función y= | f(x) |, que no es negativa para toda en x en [a,b]. Ejemplo:

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3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se necesitaba considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.

La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de la Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875–1941).

La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero… ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general, ¿cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de “área bajo la curva” tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental. Ejemplo:

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3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] . Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral. Ejemplo de Aplicación 1:

La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente:

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Ejemplo De Aplicacion 2:

La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente:

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3.2 Longitud de curvas. Determinar la longitud de una línea recta es una tarea relativamente fácil, pero si tenemos que determinar la longitud de una curva entonces necesitamos la ayuda de la integración. Es conocida por nombres como integral de línea, integral curvilínea, integral de caminos o integral de contorno. Aquí el propósito de la integración es la evaluación de una función determinada a lo largo de la curva de la función. Ambos, campos escalares o campos vectoriales se pueden integrar de esta manera. La integración completa produciría la suma del valor de cada campo en cada punto que se encuentre sobre la curva de la función dada, lo cual es ponderado por el valor de cualquier función. Esta suele ser una función escalar. Considere una función continua, sea y = f(x) tal que la función y su derivada son continuas en un intervalo cerrado [p, q]. Para la estimación de la longitud del arco de dicha función, considere la pequeña parte ds de la curva correspondiente.

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Por el Teorema de Pitágoras, obtenemos ds2 = dy2 + dx2 Llevando dx2 al otro lado ds2 / dx2 = 1 + dy2 / dx2 ds2 / dx2 = 1 + (dy / dx) 2

ds / dx =

ds =

Ahora tomando la anti-derivada de la ecuación anterior, obtenemos

Puede existir el caso, cuando la curva es definida en su forma paramétrica, es decir, x = x (t) y y = y (t). La fórmula integral correspondiente para la solución de tales formas es la siguiente:

El tercer caso es cuando la ecuación de la función se describe en forma polar, esto es, r = f ( ), en ese caso, la longitud del arco se puede encontrar por:

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Existe otra manera de despejar las fórmulas correspondientes para el cálculo de la longitud del arco. De acuerdo con esta, suponga que longitud del arco de la función f(x) será determinado.

Para encontrar la longitud del arco (denotado como S) en medio de los puntos b y a, una serie de triángulo rectángulo se construye de manera que la hipotenusa del triángulo cubra el arco correspondiente cuya longitud será determinada. Para simplificar, la base del triángulo se considera Δx tal que existe una y correspondiente para cada Δx. Ahora según el teorema de Pitágoras, obtenemos

Longitud de la Hipotenusa = La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado de S. Esto es,

Ahora, cuando el radicando es multiplicado por, obtenemos

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Por tanto, la S puede ser modificada

Mientras menor sea el valor de Δx, más precisa será la aproximación. Tenemos S, cuando el límite de Δxse mueve hacia 0.Esto es,

Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuación de la curva se da como x = cos (a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π. Diferenciando x e y, obtenemos dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a) Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados (dx / da)2 + (dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1 Por tanto, S = 1 da S = 2π.

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3.3 Calculo de volúmenes de solidos de revolución.

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3.4

Calculo de centroides.

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3.5

Otras Aplicaciones.

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