OBJETIVOS •
Aprender a construir triángulos, recordando su clasificación y propiedades fundamentales.
•
Aprender a construir cuadriláteros, recordando su clasificación, características y propiedad fundamental.
•
Saber hacer construcciones con la precisión que requieren los trazados, utilizando la escuadra, el cartabón y el compás.
•
Iniciarse en el fabuloso mundo de las estructuras modulares, sus diseños y posibilidades decorativas con redes triangulares y cuadradas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN - Valorar la diferenciación clara de las características básicas de triángulos y cuadriláteros. - Estimar el reconocimiento de la importancia que tiene el triángulo, como figura geométrica en el ámbito científico, tecnológico y decorativo. - Apreciar las posibilidades creativas que en el recubrimiento del plano muestran tanto el triángulo equilátero como las formas cuadradas. - Valorar la creatividad e imaginación en la invención de estructuras modulares con redes triangulares y con mallas cuadradas.
1
TRIÁNGULOS
C LAS I F I CAC IÓN
Son figuras planas limitadas por tres rectas que se cortan dos a dos. También puede definirse como polígonos de tres lados. r
s
D E N O M I NAC IÓN
Y
D E LOS
T R IÁN G U LOS
SEGÚN SUS LADOS C
C
C
C
C Ángulo interior
Ángulo exterior
a=b=c b
a
a=b=c
b
a
a=b=c
b
a
b
a
t B A
A
c
B A
B
c
Los puntos donde se cortan las rectas se llaman vértices y los segmentos que los unen, lados.
A
B
c
A
B
c
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Los tres lados iguales.
Sólo dos lados iguales.
Todos los lados desiguales.
- Los vértices se designan por letras mayúsculas. En las figuras adjuntas: A, B y C . SEGÚN SUS ÁNGULOS
- Los lados se pueden nombrar de dos formas: como segmentos de extremos los vértices o con la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto. Así: a = BC ; b = AC ; c = AB .
94
C
C A = 90º
- Los ángulos se nombran con la misma letra que su vértice, sobre la que se antepone el símbolo que indica ángulo. Así: A; B; C.
b
- En todo polígono, y como tal en el triángulo, se pueden considerar los ángulos interiores (formados en su interior entre dos lados adyacentes) y los ángulos exteriores (como aquéllos formados por un lado cualquiera y la prolongación de un lado adyacente). La suma de los ángulos interior y exterior de un mismo vértice es 180°.
a
A
b
B
c
b
a
B
c
A
B
c
Oblicuángulos Obtusángulo
Acutángulo
Tiene un ángulo obtuso.
Sus tres ángulos son agudos.
P RO P I E DAD E S F U N DAM E NTAL E S
Como consecuencia de esta propiedad: - Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto o un ángulo obtuso.
A
Uno de los ángulos es recto. Los lados que lo forman se llaman catetos y su opuesto hipotenusa.
suma de los ángulos interiores de un triángu1 «La lo vale 180°». Esto es: A + B + C = 180°.
A > 90º
a
Rectángulo
Propiedades fundamentales
C
A < 90º B < 90º C < 90º
1
2
C
C
3
C
- En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios (suman 90°). - El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. lado siempre debe ser menor que la suma 2 «Un de los otros dos (a < b + c ), y mayor que su dife-
b
a
A
b
B
c
A
a
c
b
a
A
B
B
c
rencia ( a > b - c )» . un triángulo, a mayor lado se opone, siem3 «En pre, mayor ángulo». La geometría como soporte del proceso creativo
A+
B+
C = 180º
a<b+c ; a>b-c
A>
B>
C
a>b>c
C O N STR U CC IÓN TRAZADO DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO EL LADO DATO
DE
TRAZADO DE UN TRIÁNGULO DADOS LOS TRES LADOS DATOS
lado
T R IÁN G U LOS TRAZADO DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES DADA LA BASE Y LA ALTURA
a
a
DATOS
b c
TRAZADO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADO UN CATETO Y LA HIPOTENUSA c
DATOS
h
a
C C
C C
b
h
a
a
A
lado
B
• Se dibuja un segmento AB = lado.
A
c
B
• Se toma como base AB = c. • Con centro en el vértice A se traza un
trazan arcos de radio AB que se cortan en el punto C.
arco de radio el lado b, y con centro en el vértice B otro arco de radio a.
• La unión del vértice A con B y C defi-
• La intersección de ambos arcos de-
termina el tercer vértice C.
D IVI S I O N E S I NTE R NAS
M
B
• Se dibuja AB = a y se traza su media-
• Con centro en los vértices A y B se
ne el triángulo equilátero.
A
DEL
triz, obteniendo el punto medio M.
A
c
B
• Se dibuja el segmento AB = c, y se tra-
za una perpendicular por el extremo A.
• A partir de M y sobre la mediatriz,
• Con centro en B y radio a se traza un
se tranporta la magnitud h correspondiente a la altura, obteniendo el tercer vértice C.
arco que corta a la perpendicular anterior en C. Uniendo A, B y C, se obtiene el triángulo rectángulo.
T R IÁN G U LO E Q U I LÁTE RO
Triángulos y cuadriláteros
95
2
CUADRILÁTEROS
C L AS I F I C AC I Ó N
Y
D E N O M I N AC I Ó N
D E LO S
C U A D R I L Á T E R O S C O N V E XO S
PA R A L E LO G R A M O S Cuadriláteros que tienen los lados opuestos paralelos dos a dos. D
C
D
C
D
C
d
b O
D
C
d1
d1
d2
d
d2
En definitiva, los cuadriláteros son figuras poligonales cerradas compuestas por cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales.
b
h
Son figuras planas limitadas por cuatro rectas que se cortan dos a dos, determinando unos segmentos que son los lados del cuadrilátero. Los puntos donde concurren los lados contiguos se llaman vértices. En los cuadriláteros aparece la diagonal, segmento que une dos vértices no consecutivos.
O
O
O
D c A
Cuadrado
l
A a
B
Los vértices se nombran consecutivamente con letras mayúsculas (A, B, C, D) y los lados con minúsculas (a, b, c, d ) de manera que del vértice A parta el lado a, del B el lado b, etc.
a
A
Rombo
• Lados iguales dos a dos. • Ángulos de 90°. • Diagonales ( d ) iguales y no perpendiculares.
B
Romboide
• Lados iguales. • Ángulos opuestos iguales. • Diagonales (d1 y d2 ) desiguales y perpendiculares.
• Lados iguales dos a dos. • Ángulos opuestos iguales. • Diagonales ( d1 y d2 ) desiguales y no perpendiculares.
Cuadriláteros con sólo dos lados opuestos paralelos (bases), siendo su altura la distancia entre ambos. b
D
h 1
c
c
d2
d
C
b
D
C
B
D
D
B
TRAPECIOS
Los cuadriláteros, como cualquier polígono de más de tres lados, pueden ser de dos tipos: 96
A
Rectángulo
• Lados iguales. • Ángulos de 90°. • Diagonales (d) iguales y perpendiculares.
b
B
C
b
D
d
C
d
c
2
1
ona
a
A
d
diag
B
h
C d
C >180°
r A
A
Convexo
Cóncavo
B •
•
Convexos: aquellos cuyas diagonales quedan dentro de la superficie poligonal; es decir, cuando el polígono queda situado en un mismo semiplano respecto a las rectas que definen sus lados. Sus ángulos interiores son menores de 180°.
a
A
r
B
B
A
a
B
Rectángulo
Isósceles
Escaleno
• Lados no paralelos iguales. • Ángulos iguales dos a dos. • Diagonales (d) iguales formando cualquier ángulo.
• Lados no paralelos desiguales. • Ángulos desiguales. • Diagonales (d1 y d2 ) desiguales formando cualquier ángulo.
TRAPEZOI DES Nombre que toma todo cuadrilátero que no tiene los lados opuestos paralelos. D D
Trapezoide
C
A
C Deltoide Se trata de un trapezoide singular: sus lados son iguales dos a dos, y dos de sus ángulos opuestos rectos (90°). Sus diagonales son distintas y perpendiculares.
A
En general, tanto sus lados como sus ángulos son todos diferentes. Además, sus diagonales son distintas y, en general, pueden formar cualquier ángulo.
Propiedad fundamental
La geometría como soporte del proceso creativo
a
• Lados no paralelos desiguales. • Ángulos: dos de 90°. • Diagonales (d1 y d2 ) desiguales y no perpendiculares.
Cóncavos: aquellos que no poseen las propiedades o características anteriores. Dentro de este tipo de polígonos se consideran como tales los cuadriláteros cuyos lados se entrecruzan, tomando el nombre de cuadriláteros entrelazados o cruzados.
«La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de los ángulos de los dos triángulos interiores que lo componen». Esto es: 2 x 180° = 360°.
A
B B
C O N STR U CC IÓN TRAZADO DE UN CUADRADO A PARTIR DE SU DIAGONAL
DATO
C UAD R I LÁTE ROS
DE
TRAZADO DE UN RECTÁNGULO DADOS SUS DOS LADOS DESIGUALES DATOS
d
TRAZADO DE UN ROMBO DADAS SUS DIAGONALES DATOS
a
TRAZADO DE UN TRAPECIO ISÓSCELES DADA SU BASE, LA DIAGONAL Y LA ALTURA DATOS
d1
a
d2
b
d h
D D
C
D
D
b
d2 / 2
A
O
A
C
A
B • Se dibuja el segmento diagonal AC = d y se traza la mediatriz, determinando su punto medio O centro del cuadrado. • Con centro en O y radio d/2 se traza una circunferencia que corta a la mediatriz en B y D. La unión de ambos puntos con A y C dibujan el cuadrado.
a
B
O
B
C
h
C
r
d
A
a
• Se dibuja AB = a y por sus extremos
• Se dibuja el segmento diagonal
• Se comienza por dibujar el seg-
se trazan perpendiculares, sobre las que se transportan la magnitud del lado b, obteniendo los otros dos vértices C y D del rectángulo.
AC = d1 y, a continuación, se traza la mediatriz para definir el centro O del paralelogramo.
mento AB y una recta paralela r distante una altura h.
• El segmento CD, paralelo a AB,
termina por dibujar el rectángulo ABCD buscado.
D IVI S I O N E S I NTE R NAS
• Con centro en O y radio d2 /2 se
determinan los otros dos vértices B y D que, unidos con A y C, dibujan el rombo buscado.
DEL
B
• Con centro en A y B se trazan dos
arcos de radio la diagonal d, que corta a la recta r en los puntos C y D, vértices que unidos con A y B definen el trapecio isósceles.
C UAD R AD O
Triángulos y cuadriláteros
97
3
REDES MODULARES BÁSICAS
La subdivisión de un triángulo equilátero o un cuadrado en partes iguales, mediante el trazado de rectas equidistantes entre sí y paralelas a sus lados, nos ofrece el ejemplo más simple y elemental de estructura o red modular, esto es, de estructura o malla formada por submódulos de la figura de partida: el triángulo equilátero y el cuadrado. Todo submúltiplo así obtenido es un módulo, término que en la acepción moderna sirve para indicar una forma (elemento base) o conjunto unitario de piezas que se repiten en una construcción de cualquier tipo, haciéndola más fácil, regular y cómoda.
La red de líneas que subdividen regularmente la superficie modular toma el nombre de parrilla o retícula de referencia siendo, por tanto, ambos conceptos términos sinónimos.
R ED M ODULAR
DE
T R IÁN G U LOS E Q U I LÁTE ROS
= =
60° 60°
60°
60°
60°
=
60°
= =
=
=
=
R ED M ODULAR
DE
Módulos en la red triangular equilátera y algunas organizaciones compositivas.
C UADRADOS
= =
90°
90°
=
90°
90°
=
=
=
Red básica triangular equilátera
98
En esta estructura la parrilla resulta ser tridireccional y la red sugiere inmediatamente la posibilidad de determinar varios módulos (rombos, trapecios isósceles y hexágonos regulares) derivados del módulo base (el triángulo equilátero).
=
=
Algunas modulaciones con base en la red cuadrada.
Las posibilidades creativas son enormes. Tan sólo debes dejar libre tu mente e ir investigando con la agrupación de formas modulares como las descritas, a modo de teselas.
Red básica cuadrada Una vez conseguida la red modular con el interlineado deseado, estamos en disposición de realizar infinidad de composiciones: se parte de diseñar un módulo que podemos repetir hasta cubrir la red. Las formas modulares obtenidas pueden decorarse de diferentes maneras, consiguiendo, de este modo, sensaciones plásticas diferentes, incluso cambiando únicamente los colores. También puedes conseguir efectos utilizando solamente blanco y negro.
Composición modular sobre una red cuadrada.
Lacería sobre una base triangular equilátera.
VOCABULARIO • Lacería
Conjunto de líneas o tallos que se entrecruzan y forman lazos de trazado geométrico. Es típica de la decoración islámica y mudéjar.
• Módulo
Elemento que pertenece a un conjunto en forma repetida.
La geometría como soporte del proceso creativo
• Mosaico
Técnica para revestir paredes, pavimentos y bóvedas que se caracteriza por su durabilidad y resistencia. Se realiza acoplando sobre un fondo de cemento fresco fragmentos de piedra, vidrio, cerámica, etc., en forma de pequeños azulejos multicolores llamados «teselas».
19
TRIÁNGULOS: CONSTRUCCIÓN Y POSIBILIDADES CREATIVAS los tres lados de magnitudes: a = 56 mm. ; b = 74 mm. ;
c = 95 mm.
2. Trazar un triángulo rectángulo conocidos dos lados: a (hipotenusa) = 108 mm.
1
y
c = 98 mm.
3. Construye un triángulo equilátero de lado AB. A continuación, recuerda los ejemplos que se muestran en la lámina y en el apartado de la teoría «Divisiones internas del triángulo equilátero», donde se analizan diversas posibilidades mediante trazados lineales. ¡Obsérvalos e intenta crear tu propio diseño!
3
TRIÁNGULO ESCALENO
Triángulos y cuadriláteros
1. Construye un triángulo escaleno del que se conocen
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
DIVISIONES INTERNAS DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO: POSIBILIDADES CREATIVAS
a
1 b
2
c
3
C
A
2
a
b
C
B
c
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
a c
C
a
b
A
c
B
A
B
VERIFICACIÓN 1. ¿Cómo ¿Cómo se senombran nombranlos losvértices vértices dede un un triángulo? triángulo? ¿Y los ¿Ylados? los lados?
C
2. ¿Cuáles - Los vértices son las de tresunpropiedades triángulo se fundamentales designan a través dede losletras triángulos? mayúsculas: A, B, C. Los lados del triángulo se pueden nombrar de dos formas segmentos 3. ¿Cómo pueden ser los triángulos en función de sus lados? ¿Ydiferentes: en funcióncomo de sus ángulos? de extremos los vértices o con la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto: a = BC; b = AC; c = AB. 2. ¿Cuáles son las tres propiedades fundamentales de los triángulos? 1ª. La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º. 2ª. Un lado siempre debe ser menor que la suma de los otros dos: a < (b + c) ; y mayor que su diferencia: a > (b – c). 3ª. En un triángulo, a mayor lado se opone siempre mayor ángulo.
b
a
3. ¿Cómo pueden ser los triángulos en función de sus lados? ¿Y en función de sus ángulos? •
En función de sus lados un triángulo puede ser: - Equilátero: tiene todos sus lados iguales. - Isósceles: posee dos lados iguales. - Escaleno: tiene todos sus lados desiguales.
•
En función de sus ángulos un triángulo puede ser: - Rectángulo: cuenta con un ángulo de 90º. - Acutángulo: todos sus ángulos son menores de 90º. - Obtusángulo: tiene un ángulo mayor de 90º. Los triángulos acutángulos y obtusángulos se engloban bajo el nombre de oblicuángulos.
100
A
c
B
1. Construye un cuadrado de lado AB = 72 mm. A conti-
3. La ilustración muestra un mosaico decorativo realizado
nuación, realiza el sencillo diseño que muestra el modelo adjunto y coloréalo a tu gusto.
con base en una estructura cuadrada. Te proponemos que lo reproduzcas, en el cuadrado inferior, previa representación de la malla cuadrada. Además, si lo deseas, puedes añadir nuevas subdivisiones que muestren otras posibilidades creativas.
2. Construye un rectángulo de lado mayor AB = 88 mm. y diagonal d = 102 mm.
1
3
DISEÑO DE UN MÓDULO CUADRADO
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
Triángulos y cuadriláteros
20
CUADRILÁTEROS: CONSTRUCCIÓN Y POSIBILIDADES CREATIVAS
MOSAICO
1 2 3
Modelo
A
2
B
RECTÁNGULO
a d
D
C
d
A
a
B
VERIFICACIÓN D
1. ¿Cuál ¿Cuál es eslalapropiedad propiedadfundamental fundamental de de los los cuadriláteros? cuadriláteros? La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a lamuestran suma dealos 2. Indica el nombre de cada uno de los paralelogramos que se la ángulos los dos interiores que lo componen; esto es: derecha de y señala la triángulos relación entre sus diagonales. 2 x 180ºes=cóncavo? 360º. 3. ¿Cuándo se dice que un cuadrilátero
C
Cuadrado Diagonales iguales y perpendiculares.
d
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
O
............................................................................................................................................................
2. Indica el nombre de cada uno de los paralelogramos que se muestran a la derecha y señala la relación entre sus diagonales.
A
3. ¿Cuándo se dice que un cuadrilátero es cóncavo? Un cuadrilátero es cóncavo cuando cuenta con algún ángulo interior mayor de 180º. O, dicho de otro modo, cuando una recta que lo atraviese pueda cortarlo en más de dos puntos.
B
D
C
Rectángulo Diagonales iguales y no perpendiculares.
............................................................................................................................................................
d b
............................................................................................................................................................
O
............................................................................................................................................................
a
A
B
D
C
h
d2
O
d1
Rombo Diagonales desiguales y perpendiculares.
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
A
B
102
D
C d2
b
O
d1
Romboide Diagonales desiguales y no perpendiculares.
...........................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
A
a
B
1. Dada la base modular triangular, emplea tu imaginación
2. Al igual que en el caso anterior, debes combinar las pie-
para crear dos composiciones modulares diferentes, utilizando los ejemplos que te mostramos, combinando uno, dos o tres de ellos.
zas mostradas para crear dos composiciones modulares distintas, en este caso de base cuadrada. Tanto en este ejercicio como en el anterior debes colorear el resultado buscando la máxima expresividad.
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
Triángulos y cuadriláteros
21
DISEÑOS SOBRE REDES TRIANGULARES Y CUADRADAS
FORMAS MODULARES EN LA RED TRIANGULAR
1 1 2 3
FORMAS MODULARES EN LA RED CUADRADA
2