Oggi, 17 Luglio 2010, festeggio il Compleanno insieme a …
Terence Tao, il “Mozart della matematica” di Maria Intagliata
Terry! Oggi Terence Tao compie trentacinque anni. Sapere quanti anni compio io oggi, non è importante. Terence Tao, questo grande matematico moderno, insignito della medaglia Fields, il prestigioso riconoscimento equivalente al premio Nobel, è nato ad Adelaide, in Australia, il 17 luglio del 1975, ma, come facilmente tradiscono i suoi lineamenti, è figlio di immigrati di Hong Hong. Il padre, Dr. Billy Tao, medico cinese, la madre Grace Tao, laureata in Matematica e Fisica, nata ad Hong Hong, si erano incontrati all’ Università, dove avevano studiato entrambi prima di emigrare in Australia nel 1972. Terence ha due fratelli più giovani: Trevor e Nigel; è felicemente sposato ed avendo trascorso metà della sua vita negli Stati Uniti e l’altra metà in Australia, ha una doppia cittadinanza. Perché ho deciso di scrivere questo articolo proprio su di lui? Perché è un giovane scienziato di grande talento e perché può rappresentare un esempio carismatico di determinazione e un grande modello da emulare per i nostri ragazzi, generalmente vicinissimi alle tecnologie più avanzate , ma spesso così distratti e lontani dal mondo della Scienza e dalla problematica della ricerca: eppure, in assenza di questa, la loro http://lanostramatematica.splinder.com
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tanto venerata Hi-tech non avrebbe ragione di esistere. E proprio ai progressi nella ricerca è affidato il loro futuro e sappiamo quanto importante sia il pensiero scientifico, in particolare quello matematico, in ogni campo della ricerca scientifica. Ha detto lo stesso Barack Obama: "Solo un Paese che investe nella ricerca scientifica e nei propri giovani può avere un futuro". Terry, dal 1999, è professore di Matematica a UCLA, la più grande Università della California, che conta 38.000 studenti per anno con un piano di offerta formativa variegato: dal College di Lettere e Scienze a 11 Scuole professionali specializzate in decine di discipline varie. Diversamente da quanto accade purtroppo da noi, l’UCLA figura tra le prime cinque Università e Scuole Superiori a livello nazionale per un totale di spesa per la ricerca-sviluppo, pari a più di 820 milioni di dollari all'anno, distribuiti in sovvenzioni governative. E nelle nostre Università, invece, si fanno i tagli proprio nel campo dell’istruzione e della ricerca! Per ogni $ investito dallo Stato nella UCLA, l'Università produce quasi 9 dollari in attività economiche, determinando in un anno una crescita economica di 6 miliardi di dollari. L’UCLA ha al suo attivo più di 27.000 docenti e personale, più di 350.000 studenti iscritti ed annovera cinque destinatari del Premio Nobel. È in questo ambiente che lavora Terence Tao. Aveva venti anni quando conseguì il dottorato di ricerca all' Università di Princeton e fu allora che entrò a far parte della Facoltà dell'UCLA , dove venne promosso a professore ordinario a soli 24 anni. Del resto Tao, come egli stesso ha rivelato in un’intervista, ha cominciato ad amare la Matematica fin da piccolo, ad essere già affascinato dai numeri a soli tre anni, vedendo nella loro manipolazione una sorta di gioco divertente. Già a sette anni sapeva far di conto molto bene e a nove era molto bravo in calcoli, addirittura di livello superiore. All’età di undici anni partecipava a concorsi internazionali e a tredici vinceva la medaglia d’oro alle Olimpiadi Internazionali della Matematica. Davvero un bambino prodigio! http://lanostramatematica.splinder.com
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Nella foto a fianco Tao a sedici anni
Si tratta della foto di copertina della prima edizione del suo libro Solving mathematical problems: a personal perspective (http://www.math.ucla.edu/~tao)
La prefazione ad un suo libro dal titolo Solving mathematical problems si apre con una citazione del grande filosofo greco Proclo, il quale sulla Matematica si esprime in questi termini: “Ecco cosa è in grado di fare la Matematica: ti riporta alla mente le forme invisibili dello spirito; dà vita alle sue stesse scoperte; rende sveglia la mente; purifica l’intelletto; porta alla luce le nostre idee intrinseche; abolisce l’oblio e l’ignoranza che ci appartengono dalla nascita…” La Matematica presenta molti aspetti e il nostro approccio e la valutazione di essa cambiano col tempo e con l’esperienza. Alla scuola primaria Tao era portato verso questa disciplina dall’astratta bellezza della manipolazione formale di semplici regole, la cui applicazione meccanica consentiva però di conseguire risultati di una certa importanza. Da studente di Scuola Superiore, impegnato in competizioni di Matematica, egli considerava quest’ultima un vero e proprio sport, i cui esercizi di allenamento consistevano nel prendere in considerazione enigmi matematici, ingegnosamente costruiti, e nel cercare e nello svelare i loro “trucchi” risolutivi. Da laureando Tao fu subito soggiogato dalle ricche, profonde, affascinanti teorie e strutture che oggi http://lanostramatematica.splinder.com
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costituiscono il nucleo centrale della Matematica moderna. Come laureato si rese conto del prezzo che richiede il poter essere titolare di un progetto di ricerca e della soddisfazione, unica, che deriva dall’elaborazione di una tesi originale che risolva una questione precedente, rimasta aperta o insoluta. Si pensi alla determinazione di Andrew Wiles, anch’egli della Princeton University, che a dieci anni sognava di essere il solutore di un enigma che ha tormentato per secoli matematici di alto livello. Dopo tanti anni riesce, enormemente appagato, a coronare il suo sogno, fornendo la tanto agognata dimostrazione di un teorema così semplice ed elegante, eppure impenetrabile: l’ultimo teorema di Fermat. All’ inizio della sua carriera, in qualità di professore ricercatore di Matematica, Tao cominciò a vedere l’intuizione e la motivazione che stanno dietro le teorie e i problemi della Matematica moderna; fu felice di scoprire che quasi sempre risultati molto complessi e profondi sono spesso basati su principi piuttosto semplici e comunemente intuibili. Solo da adulto, dunque, Tao cominciò a realizzare che la matematica non è solo una manipolazione di simboli, ma ha cose molto importanti da svelare sul mondo che ci circonda; questa consapevolezza successivamente gliel’ha fatto apprezzare ancora di più, sebbene ad un livello differente. Egli, però, ammette di amare la regina delle Scienze principalmente perché è divertente. Inoltre è utile nella risoluzione di problemi del mondo reale così come le favole, le storie e gli aneddoti nella comprensione della realtà da parte dei più giovani. Dal 2003 Tao è pure alla guida di una equipe di professori alla Facoltà di Scienze matematiche dell’Università nazionale australiana di Camberra. Terry ha ricevuto numerosi premi e riconoscimenti, tra cui il Premio Salem nel 2000, il Bochner Prize nel 2002, la Medaglia Fields e Sastra Ramanujan Prize nel 2006, la MacArthur Fellowship e Ostrowski Prize nel 2007 e il Premio Waterman nel 2008. Ma io sono convinta che ne riceverà ancora, poiché ci sono attualmente molte terre vergini nel mondo matematico e Tao ha tutti i numeri per ricercarle ed esplorarle. http://lanostramatematica.splinder.com
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Come egli stesso ha osservato, ci sono ancora da scoprire molti aspetti della Matematica, ma chi come lui ha la possibilità di fare esperienza in molti dei suoi campi avverte il tentativo di vedere questa straordinaria scienza come un tutt’uno e strettamente connessa alle altre scienze e discipline. A tal proposito egli ha dichiarato di essere particolarmente felice quando gli si presenta l’opportunità di lavorare su un progetto che ingloba parecchi e diversi campi dell’universo matematico. La collaborazione, lo scambio sono molto importanti per lui: così come gli è concesso di apprendere conoscenze su altri campi, allo stesso modo egli dà ai colleghi la possibilità di conoscere quanto ha appreso nei propri. Questo gli permette di allargare gli orizzonti e non esclusivamente nel senso del tecnicismo matematico, ma anche nel significato più profondo di uno scambio di differenti tesi e filosofie di ricerca. Oggi è molto importante, ai fini dello sviluppo del pensiero matematico e il conseguente progresso nella ricerca scientifica, la divulgazione della Matematica a tutti i livelli: questo modesto lavoro ne rappresenta un pallido tentativo. Anche Tao è convinto di tale importanza. Qualcuno potrebbe obiettare che questo sforzo è pesante, considerata la “reputazione” della matematica nell’opinione comune. C’è gente, anche colta, di grande prestigio in altri campi del sapere, che va sbandierando ai quattro venti la propria ignoranza in campo matematico, a volte anche con un certo compiacimento, come se fosse una cosa di cui vantarsi o essere orgogliosi! Mi sovviene, a tal proposito, un passo di un discorso di Alessandro Padoa, fatto a Pinerolo addirittura il 28 marzo 1908, eppure così attuale: “Mentre affermo, come ora faccio, che nessuna scienza mi sembra più utile, più bella e più facile della Matematica, quei tali (quelli che ostentano disprezzo per la matematica) forse commentano argutamente questi tre aggettivi, così: Utile? E quale professore non ritiene utile più di ogni altra la dottrina che egli insegna? Bella? Bello è quel che piace e, se la matematica piace a lei, non piace a noi. Facile? Questo poi rasenta la canzonatura!...”.
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Necessitava allora ed occorre ancora oggi, per dirla con Proclo, una diffusa “purificazione dell’intelletto”, che sgombri il campo da certi pregiudizi che sicuramente non giovano allo sviluppo della Scienza più antica e più bella del mondo. Anche Tao concorda sull’ importanza della divulgazione, osservando che è vero che oggi la Matematica è più specialistica che nel passato, ma egli ha la convinzione che non esiste nessun campo della Matematica così tecnico e complicato da risultare inaccessibile, soprattutto quando ci si lavora su e si ha l’aiuto di un esperto nel campo che dia delle buone spiegazioni. A tal proposito un simile sostegno, come egli stesso ha dichiarato, a lui è venuto da un professore in pensione, che gli ha mostrato cos’è realmente la Matematica e come deve insegnarla un bravo docente. Anche se spesso i rigorosi e macchinosi procedimenti matematici sono molto complicati, i concetti e gli obiettivi perseguiti sono invece, il più delle volte, elementari, eleganti e naturali come certe famose congetture e teoremi dal fascino misterioso, velato da tanta semplicità. Certo, per Tao, poi, è piuttosto facile! Cosa volete che sia per uno come lui, che viene considerato il "Mozart" della Matematica! Questa scaturisce dalla sua mente in apparenza senza sforzo, come ha detto John Garnett, Preside della facoltà di Matematica di UCLA. Matematici del calibro di Terry possono nascere solo una volta in una generazione. Per via del suo eccezionale talento è probabilmente il miglior matematico a livello mondiale, in questo momento. Terry è in grado di dipanare una situazione matematica piuttosto complicata, riducendola a qualcosa di molto semplice. Ha le caratteristiche dei grandi matematici del passato, come Newton, Cartesio…, tanto per fare qualche nome, perché i suoi interessi non sono confinati ad un sola area della Matematica, ma riguardano campi anche abbastanza diversi: così egli passa, con un’agilità ed una facilità impressionanti, dalla Geometria Algebrica alla Combinatoria, alla Teoria dei Numeri, alla Teoria Ergodica
e
all’Analisi Armonica. È sorprendente, poi, come egli, ancora così giovane, sia riuscito, in diverse aree della Matematica, a risolvere problemi importanti che per molto tempo hanno messo in difficoltà tanti altri suoi illustri colleghi. Aspirazione dei http://lanostramatematica.splinder.com
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migliori studenti del mondo, della teoria dei numeri, è quella di poter studiare con Terry, perché è trainante e carismatico. Laureandi della Romania, della Cina e degli Stati Uniti sono andati a UCLA per avere la possibilità di lavorare con lui. Tony Chan, decano della Divisione di Scienze Fisiche di UCLA, ha detto di lui : "È un vero magnete che attira i migliori studenti così come John Wooden, allenatore di pallacanestro, attrae i giocatori di basket in circolazione.” . Ma quali sono i meriti di questo scienziato così straordinario? Che cosa ha fatto per conquistarsi delle onorificenze così prestigiose? Ha fatto ed ha dato tanto e continua a farlo! E la motivazione per cui a Tao è stata assegnata la medaglia Fields è: per i suoi contributi alle Equazioni alle derivate parziali, all’ Analisi armonica, alla Combinatoria e alla Teoria dei numeri. Ha ricevuto il premio per un variegato corpus di lavori, mettendo in luce, tra le altre cose, le proprietà dei numeri primi. Pur essendo, all’età di trentuno anni, il più giovane dei vincitori, ha una varietà di dimostrazioni a suo nome ed ha pubblicato più di ottanta lavori. Grande peso nell’assegnazione della medaglia ha avuto, inoltre, il lavoro portato a termine da Tao assieme a Ben Green ed esposto nell’articolo The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions" (2004-2005), con l’enunciato dell’ omonimo teorema , detto appunto Teorema di Green-Tao:
per ogni n ≥ 1 naturale, esistono infinite progressioni aritmetiche di lunghezza n costituite da numeri primi. Si tratta di un risultato di grande valenza, soprattutto per i procedimenti applicati che sono estendibili anche ad altri moderni campi di ricerca. Il teorema di Tao riguarda dunque le progressioni aritmetiche, che bene o male conosciamo tutti. Com’è noto, n numeri sono in progressione aritmetica, se si mantiene costante la differenza d tra un termine qualsiasi, a partire dal secondo, e quello che lo precede: an – an-1 = d
per ogni n ≥ 2 appartenente a N , essendo d la ragione ed n la
lunghezza, ovvero il numero dei termini della progressione. http://lanostramatematica.splinder.com
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Ne segue che ogni termine della progressione si ottiene da quello che lo precede aggiungendo tale ragione. Se consideriamo, ad esempio a1=5 , d=3 e la lunghezza n = 8, otteniamo la sequenza 5 , 8, 11, 14 , 17, 20, 23, 26 formata da numeri primi e non, in questo esempio primi alternati a non primi, ma non è sempre così, infatti se cambiamo il valore della ragione: a1=5 , d = 4 e la lunghezza n = 8, otteniamo la sequenza 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 In questa sequenza, invece 13 e 17, ad esempio, sono primi e sono consecutivi. Proviamo ora con a1=47 , d = 210 e la lunghezza n =7
(sottolineo la presenza della cifra 7 in tutti e
tre i dati, essendo 7 anche divisore di 210) , 47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307
otteniamo la sequenza
(*)
fatta tutta di numeri primi che terminano con la cifra 7. Sarà questo un numero magico dell’aritmetica? Sarà una coincidenza che il 7 figura proprio tre volte nella data di nascita di Tao: 17 / 7/ 75 e una volta nel numero degli anni che compie:
35 = 7 *5 , essendo 7 un suo divisore? E se fosse nato alle 7 o alle 17? Chissà?! Certo una tale casualità sarebbe davvero particolare. D’altra parte questo numero ha degli importanti privilegi in matematica e non solo: è un numero primo, è un primo euclideo, un primo di Marsenne. un numero felice, un numero fortunato…, per non parlare della sua presenza in tutte le altre scienze e discipline, pure nelle fiabe: i sette nani! Davvero un numero nobile! Peccato che nella smorfia sia solo…il vaso da notte! La ricerca di sequenze di numeri primi come la (*) ha sempre affascinato i matematici. Questo pare sia dovuto al fatto che le applicazioni che derivano dai concetti base di numero intero e divisibilità sono sorprendentemente diverse e potenti, come ad esempio quelle relative alla crittografia. Il concetto di divisibilità, difatti, porta naturalmente a quello di numeri primi, che è insito nella particolare http://lanostramatematica.splinder.com
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natura della fattorizzazione ed inoltre in uno dei gioielli della matematica dell’ultima parte del secolo scorso, ovvero il teorema dei numeri primi:
assegnato un numero naturale
n , il numero di primi minori di n,
calcolato con una buona approssimazione, è dato dal rapporto
.
A questo risultato si è pervenuti , naturalmente, grazie allo sviluppo della Matematica nell’ arco di tre secoli, attraverso l’apporto di matematici di grande levatura come Gauss e Riemann. Alla dimostrazione hanno concorso conoscenze talmente trasversali ai diversi ambiti della matematica, dai numeri complessi alle più avanzate tecniche analitiche relative alle operazioni su di essi, da indurre a formulare l’ Ipotesi di Riemann, altro celebre problema, passato alla Storia. Green e Tao si sono occupati proprio delle problematiche dei numeri primi e in particolare di progressioni aritmetiche caratterizzate dall’avere delle singolari sequenze, come la precedente (*). Il problema che si sono posti Ben e Terence riguarda proprio sequenze di questo tipo. Si sono chiesti: esistono progressioni aritmetiche di primi di qualsiasi lunghezza? Ovvero, data una lunghezza n ≥ 1, esistono d appartenente a N e a1 numero primo tali che:
a1,
a1+ d,
a1 + 2d, ……., a1 + (n − 1)d
siano tutti primi?
Esiste cioè una progressione aritmetica di primi di lunghezza arbitraria? Solo pochissimi anni fa, nel 2005, Ben Green e Terence Tao hanno dimostrato il loro teorema. L’anno dopo, nel 2006, Tao, in collaborazione con Tamar Ziegler, ha generalizzato il risultato alle progressioni polinomiali, mostrando che il teorema di Green-Tao ne è un caso particolare.
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Teorema di Green-Tao: per ogni n ≼ 1 naturale, esistono infinite progressioni aritmetiche di lunghezza n costituite da numeri primi.
Green e Tao‌.probabilmente durante una pausa di lavoro ( math.nju.edu.cn)
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Si badi però che questo teorema dimostra solo l’ esistenza di queste progressioni, ma non dice come queste si ottengono. Si è trovato che esistono ben 96 sequenze costituite ciascuna di sette numeri primi, di ragione 210 e che iniziano ciascuna con uno dei seguenti 96 numeri primi ( ciascuno inferiore a 2.000.000), riportati nella seguente tabella
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179
199
409
619
829
881
1091
1453
3499
3709
3919
10529
10627
10837
10859
11069
11279
14423
20771
22697
30097
30307
31583
31793
32363
41669
75703
93261
95747
120661
120737
120871
120947
129287
140603
153319
153529
182537
182747
205187
217351
269713
422129
456349
471089
471299
487391
487601
504607
519919
564973
565183
565393
586291
590813
635309
724099
733847
825991
826201
844087
857453
865591
867409
934253
980431
1010747
1010957
1022891
1253849
1277761
1280623
1280833
1288607
1288817
1289027
1290161
1299079
1302281
1302491
1302701
1308077
1395209
1395419
1395463
1398763
1420091
1470659
1548947
1603471
1839697
1870619
1952413
1982599
1982809
Tabella 1 da U. Cerruti Matematici premiati all'ICM di Madrid 2006
Dall’ esame di questa tabella possiamo notare che i quattro numeri, scritti in rosso, della prima riga costituiscono una progressione aritmetica, il cui primo termine è un numero primo, il 199, la ragione d è 210 e la lunghezza 3 (se si esclude 829). Poiché, però, 829, a sua volta, fa parte dei 96 primi della tabella, esso, in quanto tale, risulterà il primo elemento di una progressione aritmetica di primi di lunghezza 7 e ragione http://lanostramatematica.splinder.com
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210. In totale allora, partendo dal 199 avremo una sequenza di 10 primi in progressione aritmetica di ragione 210, la seguente: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 i cui termini, evidentemente, terminano tutti per 9. Abbiamo trovato una progressione di lunghezza 10, mentre se ne possono trovare di più lunghe, anche se non è per nulla semplice. Il 24 luglio del 2004 ne è stata trovata una di lunghezza n = 23, con il primo elemento a1= 56211383760397 e la ragione d = 44546738095860. Quella che l’aveva preceduta aveva lunghezza n = 22 e a1 = 11410337850553 e la ragione d = 4609098694200. Nel 2007, Jaroslaw Wroblewski ha trovato il primo caso di 24 primi in progressione aritmetica. Infine nel 2010 Benoãt Perichon, francese, ha raggiunto il record della progressione aritmetica di primi con una lunghezza n =26; eccoli: 43142746595714191 48425980631694091 53709214667673991 58992448703653891 64275682739633791 69558916775613691 74842150811593591 80125384847573491 85408618883553391 90691852919533291 95975086955513191 101258320991493091 106541555027472991 111824789063452891 117108023099432791 122391257135412691
127674491171392591 132957725207372491 138240959243352391 143524193279332291 148807427315312191 154090661351292091 159373895387271991 164657129423251891 169940363459231791 175223597495211691
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Molto ancora si potrebbe dire su questi risultati e in generale sulle progressioni di numeri primi. Già in passato se ne sono interessati Lagrange e Cantor e più tardi nel 1939 van der Corput e successivamente Antal Balog, alla fine degli anni 80. La dimostrazione del teorema di Green-Tao è in realtà un’estensione della dimostrazione della seguente vecchia congettura di Paul Erdős e Paul Turan, attribuita ad un matematico ungherese, di cui porta il nome, conosciuta appunto come il Teorema di Endre Szemeredi: Ogni insieme di naturali con densità superiore positiva contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe (caso particolare di progressioni di lunghezza 3). Tao con i suoi importantissimi studi ha spianato la strada ad altri matematici e non solo nell’ambito della teoria dei numeri primi. A chi gli ha chiesto a cosa si dedicherà nel prossimo futuro, egli ha risposto che è difficile da dire, visto che cinque anni fa non avrebbe nemmeno immaginato di poter fare ciò di cui si sta occupando adesso. In realtà Tao con le sue potenzialità punta a traguardi prestigiosi nell’ambito delle equazioni non lineari alle derivate parziali e dei sistemi integrabili. Personalmente, di Terence Tao apprezzo molto il modo di lavorare. Basandosi sulla saggezza, tutta orientale, della cultura delle sue origini: “Il percorso di mille miglia inizia con un passo”(Lao Tzu), egli ha tracciato le linee guida di questo suo metodo, che dovrebbe essere una sorta di vademecum per chi si approccia alla risoluzione di situazioni problematiche, anche elementari. Per Tao la Matematica, essendo astratta, non ha costrizioni fisiche, dunque in essa si può sempre ripartire da zero, cercare nuove vie da seguire, o ritornare, all’istante, sui propri passi; inoltre si può trovare la soluzione anche facendo percorsi differenti. Non sempre ci sono tutte queste possibilità in altri tipi di soluzioni di problemi, come ad esempio, dice Tao: “tornare a casa se ci siamo perduti”. Ci sono diverse strategie e prospettive per risolvere un problema correttamente, ma non esiste una “via regia” che si possa giudicare la migliore in assoluto.
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Tao descrive le fasi da lui individuate nella strategia risolutiva di un problema, che qui di seguito riassumo brevemente: 1)Capire il tipo di problema da risolvere Questa fase è molto importante perché serve ad individuare il metodo d’ approccio di base . I problemi del tipo “Dimostrare che…” , “Determinare il...” partono dai dati assegnati e l’obiettivo è dedurre una proprietà o trovare il valore di una o più incognite del problema. 2) Scegliere bene le notazioni, in modo tale che esse esprimano correttamente i dati del problema. Ad esempio: se il problema consiste nel trovare i lati di un triangolo, sapendo che essi sono in progressione aritmetica, invece di indicarli con a, b, c, detta d la ragione, noi possiamo indicare i tre lati, partendo dal minore, con a, a+d, a+2d; ma è ancora più utile sfruttare la simmetria e indicarli con b-d, b, b+d. 3) Associare per iscritto alle notazioni scelte i valori assegnati e le relazioni che intercorrono tra loro ( o perché assegnate o per proprietà e teoremi a cui i dati ubbidiscono) In questa fase è buona regola evidenziare ciò che appare indispensabile o più utile alla risoluzione del problema e trascurare il superfluo e l’opinabile. È bene aiutarsi anche con un disegno o un diagramma, su cui riportare i dati e scrivere chiaramente, usando le notazioni scelte, le relazioni intercorrenti, ovvero le formule che li legano; rappresentare con equazioni e disequazioni eventuali vincoli assegnati alle variabili del problema. 4) Modificare leggermente il problema Ci sono molti modi di variare un problema in un altro più facile da affrontare, ad esempio: -considerare un caso particolare del problema come il caso limite o degenere; -risolvere una versione semplificata del problema; http://lanostramatematica.splinder.com
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-formulare una congettura che potrebbe implicare il problema e cercare di provare questa, per prima; -derivare una conseguenza del problema e provarla per prima; -riformulare il problema ( prendere in considerazione il suo contrario, provarlo per assurdo, oppure cercarne una sostituzione). -esaminare i risultati di problemi simili; - generalizzare il problema. Questa fase è utile, come spiega Tao, quando ancora non si sa come cominciare a risolvere un problema, perché, risolverlo in un caso più semplice, a volte rivela il procedimento da seguire per quello principale assegnato. 5) Modificare il problema in modo significativo In questo tipo più “aggressivo” di strategia vengono apportate al problema modifiche del tipo:sostituzione dei dati con l’obiettivo, cercando di confutare un’affermazione piuttosto che provarla. 6) Provare i risultati del problema. 7) Semplificare, sfruttare i dati che si hanno a disposizione e raggiungere obiettivi tattici. Questi 7 (ancora il nostro numero!) passi, elencati da Tao nel suo libro Solving mathematical problems: a personal perspective, da lui scritto a soli sedici anni, sono secondo me, didatticamente molto utili. Essi,opportunamente adattati, andrebbero illustrati in modo rigoroso agli alunni delle Medie Inferiori e Superiori, convincendoli a seguirli, come fossero una sorta di “comandamenti”, quando si affronta la soluzione di una situazione problematica. Se si coltiva tale abitudine, è molto probabile che nel tempo seguire tali passi diventi quasi naturale, come succede di solito ad un docente di Matematica, come Tao, abbastanza allenato. Grazie Terry, anche per questi ultimi preziosi consigli! Ti auguro Buon Compleanno… in cifre ( quelle della sequenza (*) ) ! http://lanostramatematica.splinder.com
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4
7
Caro Terence, 2
5
7
in bella schiera 4
6
7
otto interi dispari 6
7
7
numeri gemelli, amicali 8
8
7
augurano favolosi teoremi 1 0
9
7
e ‌ ingegnosi assiomi 1
3
0
7
a Tao ‌ geniale (Maria Intagliata)
Auguri, Terry! http://lanostramatematica.splinder.com
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