Un giochino matematico… a quattro livelli!
di
Maria Intagliata
Oggi i matematici hanno acquisito maggiore percezione della matematica come un unicum, in cui le linee di demarcazione delle varie aree della Scienza per antonomasia sono ormai impercettibili e lo diventano sempre di più col continuo progresso nell’ambito del pensiero matematico. Già Cartesio, Russell e tra i moderni il compianto Arnol’d, tanto per fare qualche nome, hanno sottolineato questo aspetto e Terence Tao, uno tra i più giovani matematici viventi, ha osservato che vi è, in ambito matematico, una sintesi sempre più emozionante tra geometrico, analitico, topologico, problemi di dinamica e metodi algebrici. In piccolo, ma molto piccolo, questo modestissimo lavoro vuol dare un’ idea di come argomenti diversi, appartenenti ad aree variegate della matematica, ma anche a livelli differenti nell’apprendimento scolastico, in realtà si possono collegare tra loro dando l’idea di una visione unitaria e più armonica di questa straordinaria disciplina. A proposito del numero 26 , dell’ ultima edizione del Carnevale matematico, nel post di Annarita Ruberto per i Piccoli della Scuola Primaria, riguardo a tale numero, viene osservata questa proprietà: Se consideriamo - la differenza tra la maggiore delle due cifre (dello stesso numero 26) e la minore, si ottiene: 6 – 2 = 4 = 22 - la somma delle due stesse cifre, si ottiene: 6 + 2 = 8 = 23 si trovano due potenze consecutive di uguale base. Vediamo di indagare su come potrebbe reagire a tale osservazione un alunno per ciascuno dei quattro livelli scolastici seguenti. http://lanostramatematica.splinder.com |
1
Primo Livello. Certo, agli occhi di un bambino, che conosce solo i rudimenti dell’ Aritmetica, il fatto di trovare due potenze consecutive con la stessa base è almeno curioso e teoricamente dovrebbe portarlo a vedere che succede con gli altri numeretti che lui conosce.
Molto probabilmente il piccolo scriverà: 1
2 3
4
5
6
7 8 9….
e proverà con le prime due cifre 1 2 2–1=1 2+1=3
e penserà : niente da fare!.
Prenderà quindi 1 3 3 – 1 = 2 = 21 3 + 1 = 4 = 22
O.K ! e tutto contento passerà a considerare 2 3
3–2=1 3+2=5
nulla da fare! Penserà ancora una volta.
Esaurite le combinazioni C3,2 = 3 delle prime tre cifre ( e qui fa capolino il calcolo combinatorio, ma il bambino non lo sa), si cimenterà con 1 4 e così via, finché troverà 3 6 : 6 – 3 = 3 = 31 http://lanostramatematica.splinder.com |
2
6 + 3 = 9 = 32
O.K ! Continuerà tutto contento, ma non troverà altre coppie.
Secondo Livello
Immaginiamo ora che la stessa ricerca venga effettuata da un bambino più grandicello, un ragazzino di Scuola Media, che conosca le potenze e le proprietà relative. Egli riproverà con la coppia 1 2 2 – 1 = 1 = 30 2 + 1 = 3 = 31 O. K. la coppia 1 2 verifica la proprietà , cosa che non aveva potuto notare il bambino più piccolo, e la stessa cosa troverà per delle coppie di cifre consecutive , come ad esempio 2 3: 3 – 2 = 1 = 50 3 + 2 = 5 = 51 dopodiché non troverà più altre coppie oltre a quelle già trovate dal primo bambino.
http://lanostramatematica.splinder.com |
3
Terzo Livello
Se lo stesso problema viene posto, invece, ad un ragazzo delle Superiori, ad esempio del secondo anno del Liceo Scientifico, in cui si studia l’Algebra molto intensamente, esso viene così formalizzato: Trovare due cifre distinte, diverse da zero, tali che la loro differenza e la loro somma siano rispettivamente due potenze consecutive di uguale base, cifra maggiore di 1. Evidentemente le capacità di astrazione del ragazzo sono diverse da quelle dei due ragazzini precedenti ed egli sarà portato a formalizzare e a modellizzare e quindi scriverà: Siano x e y due cifre ≠ 0 , evidentemente con x e y positivi, con x > y, restringendo di conseguenza la ricerca dall’insieme R, in cui è abituato ad operare, ad un sottoinsieme di N , ovvero, trattandosi di coppie, in un sottoinsieme di N * N . La coppia x y ( non metto le parentesi perché l’insieme delle due cifre viene considerato un solo numero) dovrà verificare il seguente sistema delle due equazioni: x – y = zn x + y = zn+1 che, addizionate membro a membro danno 2x = zn+1 + zn →
(1)
e sottratte membro a membro danno zn+1 – zn →
(2) ; http://lanostramatematica.splinder.com |
4
dividendo la (1) per la (2) si ottiene (0)
=
con z >1 e y ≠ 0
Allora il ragazzo, che si è posto come obiettivo quello di risolvere il sistema, comincerà ad assegnare a z diversi valori . E precisamente:
z=2
per egli trova
=
(3)
dunque la prima coppia è
1 3 . Ha ritrovato il numero 13, ma allora
dovrà ritrovare il 26. Il giovane studente prova con le frazioni equivalenti a quella trovata e precisamente: moltiplicando numeratore e denominatore della (3) per 2
=
ritrova
2 6,
mentre moltiplicando per 3 numeratore e denominatore trova
=
, ma la coppia 3
6 e 12
9 non soddisfa la proprietà, essendo
non sono potenze,
se invece il ragazzo moltiplica per 4 numeratore e denominatore della (3) ottiene
=
, ma il numeratore ha già due cifre e quindi non interessa.
La stessa cosa si ha moltiplicando per 6, per 7 ecc.
z=3
Ora prova per La (0) diventa
= =
→ =
(4)
http://lanostramatematica.splinder.com |
5
2–1=1= 2+1=3= Allora la coppia
si ottengono due potenze consecutive. 1 2 verifica la proprietà; il ragazzo cerca quindi altre coppie:
moltiplica per 2 il numeratore e il denominatore della frazione (4), trova
=
, ma
4–2=2 4 + 2 = 6 niente da fare! Non sono potenze. Allora moltiplica numeratore e denominatore della (4) per 3 ed ottiene
=
, ma questa volta
6–3= 6 + 3 = 9 = dunque trova la coppia precedentemente dai due bambini!
3
6 , anche questa già trovata
Il ragazzo non demorde e moltiplica numeratore e denominatore della (4) per trovando
=
4,
, ma
8–4=4 8 + 4 = 12 nulla da fare! Non sono potenze. Moltiplica ancora numeratore e denominatore della (4) per 5 ed ottiene
=
ma il numeratore ha due cifre ed egli ne sta cercando una sola…,nulla da
fare! Ora prova per
z=4
e dalla (0) ottiene
http://lanostramatematica.splinder.com |
6
=
(5) . Si ha
5–3=2= 5+3=8= ma non sono potenze consecutive. Le prime frazioni equivalenti alla (5) avranno evidentemente almeno il numeratore di due cifre.
z=5
Prova ancora per e dalla (0) trova
=
→
=
=
(6)
con
3–2=1= 3+2=5=
. Bene! Sono due potenze consecutive . Ha trovato la coppia
2 3
Le prime frazioni equivalenti hanno almeno il numeratore di due cifre e quindi non interessano.
z=6
Prova ancora per e dalla (0) trova
=
(7)
,
ma è
7–5=2 7 + 5 = 12
non sono potenze .
z=7
Prova ancora per e dalla (0) trova
=
=
→
=
(8) , ma questa volta
4–3=1= 4+3=7=
solo la coppia 3 4 http://lanostramatematica.splinder.com |
7
Le frazioni equivalenti alla (7) danno almeno il numeratore di due cifre e quindi nulla da fare. La prima frazione che soddisfa la condizione si ottiene evidentemente moltiplicando numeratore e denominatore della (7) per 7 , ma si ottengono numeri di due cifre.
z=8
Prova ancora per e dalla (0) trova
=
(9)
ma
9–7=2= 9 + 7 = 16 =
non sono potenze consecutive.
z=9
Prova infine per e dalla (0) trova
=
=
→
=
(10) , ma è
5–4=1= 5+4=9=
non sono consecutive.
Chiaramente, se non si fissa l’ordine delle cifre, ogni coppia trovata ha gli elementi permutabili!
http://lanostramatematica.splinder.com |
8
Che faticata! Povero ragazzo!
Lo studente pazientemente riassume i risultati nella tabella seguente
Coppie Trovate
Z
3
1 2 1 3
4
nessuna coppia
5
2 3
6
nessuna coppia
2
3 6 2 6
3 6 2 6
3
7
3 4
8
nessuna coppia
9
nessuna coppia
1 2 1 3
2
4 3
Fine
http://lanostramatematica.splinder.com |
9
Quarto Livello Come affronterà il problema uno studente del triennio, ad esempio del quinto anno di un Istituto Tecnico Commerciale? Intanto è auspicabile che modellizzi il problema come ha fatto il ragazzo prima di lui, ma scritte le due equazioni x – y = zn x + y = zn+1 , molto probabilmente non sarà indotto a risolvere il loro sistema. La presenza di questa z lo indurrà piuttosto a pensare in termini di funzioni di due variabili z = f(x,y) e, considerando che la somma e la differenza dei due numeri sono rispettivamente uguali a due potenze consecutive di base z, allora il loro quoziente è proprio z . Difatti dividendo la seconda delle due precedenti equazioni per la prima, si ottiene Z
=
, una bella funzione di due variabili di sua conoscenza !
(C’è da dire che tale funzione si ottiene anche manipolando opportunamente la precedente equazione
=
(0)
con z >1 e y ≠ 0 , moltiplicando
in croce si ha x (z – 1) = y (z + 1) → xz – x = yz + y → xz – yz = x + y →
z(x – y) = x + y → z =
)
Anche questa funzione verrà considerata, date le ipotesi del problema, in un sottoinsieme S ma di , formato solo da coppie di interi assoluti distinti e positivi. Tali coppie dunque fanno parte del campo di esistenza della funzione , la cui quota z è in questo caso la base della potenza. Se questa base è z =2 , per la funzione vuol dire cercare i punti della superficie, da essa rappresentata, che hanno tutti quota 2, ovvero i punti che appartengono alla linea di livello, proiezione ortogonale nel piano xy della sezione ottenuta secando la superficie con il piano z =2 . Il ragazzo proverà dunque a dare a z i valori in rosso della tabella precedente. http://lanostramatematica.splinder.com |
10
Per z = 2 otterrà 2 =
→ e considerando il campo di esistenza
→ 2(x – y) = x + y → 2x – 2y = x + y
→ x = 3y →
=
x≠y,
,che è la (3) del
terzo livello, da cui si ottengono le coppie cercate con le analoghe precedenti considerazioni. Così per z = 3 si ottiene la (4); per z = 5 si ottiene la (6); per z = 7 si ottiene la (8) e le relative coppie cercate. Lo studente effettuerà poi la rappresentazione grafica della funzione in Derive 6: Da questo si evince chiaramente la discontinuità nella retta x= y e z=0, il che vuol dire che le coppie cercate devono avere gli elementi disuguali.
È evidente che quanto è stato scritto dovrebbe rispecchiare il pensiero dei quattro “malcapitati” studenti.
http://lanostramatematica.splinder.com |
11