1-----
kjk
ДМ, ' '
ч>-ш
\'V щ ■ 1
Л \
/\
И здаётся Московским Центром непрерывного м атем атического образования № 3 | м арт 2020
ВЫШЕЛ 15-й ВЫПУСК
ВЫПУСК, 1 5
РАНТИК
АЛЬМАНАХА «КВАНТИК» В него вош ли м атери алы ж ур н ал а «К ВА Н ТИ К » за первое п ол угоди е 2 0 1 9 года К упить этот и предыдущ ие альм анахи можно в магазине «Математическая книга» (адрес: г. Москва, Больш ой В ласьевский пер., д. 11), в интернет-м агазинах kvantik.ru, biblio.mccme.ru и других м агазинах. Подробнее - на наш ем сайте kvantik.com /buy
\ !Ь \!\|!\\1 If ! !Ю1)(1!Ш ! !!)!!!)!\
УСЛУГИ
г. Москва, м. Лубянка, м. Китай-город ул. Мясницкая, д. 6/3, стр. 1
8 (4 9 5 )7 8 1 -1 9 -0 0
www.kvantik.com 0 kvantik@mccme.ru
ОЪО ВСЁМ НА СВЕТЕ.
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАРАЧИ И ГОЛОВОЛОМКИ. ЧУРЕСА ЛИНГВИСТИКИ И МНОГОЕ РРУГОЕ.
АССОРТИМЕНТ
I И нтернет-м агазин w w w .bgshop.ru I Кафе 1 Клубны е (дисконтны е) карты и акц и и I П одарочны е карты П редварительны е зак а зы н а кн и ги Встречи с авторами
Мы предлагаем большой выбор товаров и услуг
ИНТЕРЕСНЫЕ РАССКАЗЫ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СКАЗКИ,
SЧ и тательски е клубы по интересам И ндивидуальное обслуж ивание П одарочная у п аковка 1 Доставка книг из-за рубежа В ы ставки-продаж и
I К ниги I А удиокниги I А н ти квари ат и предметы коллекц и он и рован и я I Ф ильм ы , м узы ка, игры , софт I К анц елярски е и оф исные товары I Цветы I Сувениры
пн - пт 9:00 - 22:00 сб - вс 10:00 - 21:00 без перерыва на обед
Шinstagram.com/kvantik12 kvantik12.livejournal.com П facebook.com/kvantik12
Журнал «Квантик» № 3, март 2020 г. Издаётся с января 2012 года Выходит 1 раз в месяц Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-44928 от 04 мая 2011 г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). Главный редактор: С. А. Дориченко Редакция: В. Г. Асташкина, Е.Н. Козакова, Е.А. Котко, РВ. Крутовский, И. А. Маховая, Г. А. Мерзон, А. Ю. Перепечко, М.В. Прасолов Художественный редактор и главный художник: Yustas Вёрстка: РК. Шагеева, И.Х. Гумерова Обложка: художник Алексей Вайнер
Учредитель и издатель: Частное образовательное учреждение дополнитель ного профессионального образования «Московский Центр непрерывного математического образования» Адрес редакции и издателя: 119002, г. Москва, Большой Власьевский пер., д. 11 Тел.: (499) 795-11-05, e-mail: kvantik@mccme.ru, сайт: www.kvantik.com Подписка на журнал в отделениях связи Почты России: ■ Каталог «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать» (индексы 84252 и 80478) ■ Объединённый каталог «Пресса России» (индексы 11346 и 11348) Онлайн-подписка на сайте агентства «Роспечать» press.rosp.ru
В vk.com/kvantik12 □ twitter.com/kvantik_journal Q ok.ru/kvantik12 По вопросам оптовых и розничных продаж обращаться по телефону (495) 745-80-31 и e-mail: biblio@mccme.ru Формат 84x108/16 Тираж: 5000 экз. Подписано в печать: 06.02.2020 Отпечатано в типографии ООО «ТДДС-Столица-8» Тел.: (495)363-48-84 http://capitalpress.ru Заказ № 1022 Цена свободная ISSN 2227-7986
® mi
■ ОГЛЯНИСЬ ВОКРУГ Синестезия. В. В инниченко
2
Парадокс «последней ручки». А .А ла ева
ТТ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СЮРПРИЗЫ Чему равна сумма углов? Л .Е м ельянов
Б
Я ОПЫТЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ Простая скрепка мож ет удивить. А.Ковалъдж и
ТБ
■ ИГРЫ И ГОЛОВОЛОМКИ Кубик для начинающих. В .К расноухов
19
■ ВЕЛИКИЕ УМЫ
Д ж озе Ф Пр истли: свобода, равенство, флогистон! М . М олчанова
20
ОЛИМПИАДЫ L X X X V I С анкт-петербургская олимпиада
и загадочные буквы. В. К лепцы н, Г. М ерзон
IV с. обложки
оглянись вокруг Вера Винниченко
( ^ J N E C T £ 4 fH Русский художник Василий Кандинский обладал удивительной способностью видеть звуки. Услышав на концерте музыку австрийского композитора Ар нольда Шёнберга, он вернулся домой и под впечат лением всего за два дня написал картину «Импрес сия III». Позже в своём дневнике он так описывал рождение зрительных образов: «Скрипки, басы, духо вые инструменты воплощали в моём восприятии всю силу предвечернего часа, мысленно я видел все мои краски, они стояли у меня перед глазами. Бешеные, почти безумные линии рисовались передо мной».
Рис. 1. Василий Кандинский. Импрессия III. 1911 год
Похожие причуды были обнаружены у многих зна менитых людей. Композитор Людвиг ван Бетховен называл тональность ре-мажор «оранжевой». Япон ская пианистка Хироми Уэхара никогда не говорила музыкальными терминами, она объясняла своим уче никам цветами: «Играй красный» —когда нужно сы грать ярко, «Играй синий» - когда надо было показать грусть. Ф изик Ричард Фейнман видел свои формулы в цвете. Патрисия Линн Даффи, написавшая книгу о синестезии, в детстве сказала отцу: «Я поняла - что бы сделать "R", мне нужно сначала написать "Р", а за тем нарисовать линию вниз от петли. Меня так удиви ло, что я могу превратить жёлтую букву в оранжевую,
2
просто добавив чёрточку». Знаменитый парфюмер Фредерик Маль всегда ощ ущ ал цвет создаваемого аромата. Парфюмеры такж е часто описывают арома ты через звук («он пронзительно звучит»), геометрию («у него округлая форма»), вкус («сладкий аромат»), текстуру («м ягкий аромат»). Эти странности нужно было назвать каким-то на учным словом, чтобы не стыдно было их изучать. По этому учёные предлож или серьёзный термин - сине ст езия (от древнегреческого син- «вместе» и эстезис «ощущение»): это феномен, при котором активация одной воспринимающ ей системы (например, слухо вой) ведёт к отклику другой воспринимающ ей систе мы (например, зрительной). Учёные предположили, что мозг гениев работает как-то по-особенному, уста навливает связи между неож иданными событиями и явлениям и. Стали активно изучать феномен сине стезии. Оказалось, этот феномен встречается не толь ко у гениев. Согласно последним исследованиям британского психолога Д ж ейми Уорда, около 4% взрослых людей являю тся синест ет икам и. Самая распространённая синестезия - графемно-цветовая (когда у людей бук вы вызываю т цветовые ощ ущ ения, например, буква А - красная, Б - серая и т.д.). Т акж е довольно часто встречаются синестезии, когда люди видят в цве те дни недели, цифры, времена года. Более редкие формы синестезии - когда буквы или слова вы зы ва ют вкусовые или тактильны е ощ ущ ения. Например, один синестетик ощ ущ ает вкус хлеба, смоченного в томатном супе, когда слыш ит слово «это». К ак отличить синестетика от фантазёра? Самый распространённый метод - учёные просят испытуе мых поставить в соответствие буквам (дням недели) цвета, а сами засекают, к ак много времени требует ся человеку. Синестетикам требуется всего пара се кунд. Люди без синестезии отказываю тся вы полнять задание или делают это долго. Кроме того, учёные повторяют эксперимент через неделю, месяц, год. Взрослые синестетики выбирают те ж е самые цвета,
оглянись вокруг
3
оглянись вокруг взрослые без синестезии каж ды й раз выбирают раз ные цвета. Вычислить ребёнка-синестетика не так просто. В 2013 году учёные вы яснили, что у шести летних синестетиков постоянные цвета имеют толь ко 35% букв. И только к 11 годам соответствие букв и цветов становится устойчивым. Одна из гипотез состоит в том, что синестезия это ассоциация (от лат. associare - «соединять»). Н а тан Витхофт и его коллеги обнаружили, что синестетики, рождённые в 1970-1985 годах, чащ е всего выбирают вполне определённые цвета букв. Эти цве та соответствовали набору детских магнитных буко вок фирмы «Фишер-Прайс», впервые выпущ енных в 1966 году. Иначе говоря, в детстве, когда ощ ущ ения были особенно яркие, испытуемые играли с цветны ми буквами-магнитиками. И когда они стали взрос лыми, всякий раз, к ак только испытуемые видели букву, её цвет невольно воспроизводился в их памяти.
Рис. 2. Эксперимент Н атана Витхофта. Слева - набор буковок «Фишер-Прайс», справа - цветовые ассоциации 400 синестети ков, рождённых в 1 9 7 0 -1 9 8 5 гг. Фото: PLOS One
4
Не в обиду доктору Витхофту, принцип ассо циации сформулировал ещё Аристотель, ж ивш ий в 3 8 4 -3 2 2 годах до и. э. Аристотель полагал, что если ощ ущ ения А ж В совпали по времени, то впослед ствии одно будет непроизвольно вы зы вать в пам я ти другое. Так что вряд ли Аристотель удивился бы, встретив синестетика. Д ля чего нуж на синестезия? Некоторые иссле дователи полагают, что она может облегчать распоз навание похож их символов. Например, стоит такая задача: к ак можно быстрее отыскать двойки среди пятёрок. Синестетик справляется с задачей быстрее. 55 5 5 ц
Л5
5
оглянись вокруг
5
5 5 5 5 5 А / 55 5 5 5 5 555 5 * 5 2 5
3
5V
а а а = S S5 5
Рис. 3. Тест на вы явление синестезии. Фото: Edhubbard (en.w ikipedia.org)
Доктор Нейр и доктор Бранг предположили, что синестезия существует в скрытом виде у всех людей. В 2019 году они спровоцировали синестетические переж ивания у несинестетиков с помощью простой процедуры. Они заставили своих испытуемых сидеть в кромешной темноте и подавали звуки через разные промеж утки времени. Если испытуемый при этом ощ ущ ал какой-то свет, он должен был наж им ать на кнопку. У 24% испытуемых звуки в темноте вы зы вали ощущение вспыш ек света, появление серо-голу бых вкраплений, исчезающего белого цвета и т.п. Автор настоящ ей статьи долгое время счита ла, что все люди на Земле являю тся синестетиками. В детстве мы сильно поссорились с братом, потому что он утверж дал, будто буква «А» синяя, хотя мне было очевидно, что она красная. У мамы буква «А» была тоже красная, а папа авторитетно заявил, что буква «А» цвета не имеет, но пахнет персиком.
5
ЧЕМУ РАВНА
СУММА Лев Емельянов Просто мне нужно объяс нить... Но не просто объ яснить, а чтобы ещё ста ло понятно! Е. Гришковец «Одновременно»
УГЛОВ?
Разговор покупателя с продавцом в магазине «Ткани». - Здравствуйте! Я шью дома и сама делаю вы кройки. Д ля этого использую угольник с различ ными углами. Мне нуж ны чащ е всего 90, 60 и 45 градусов, но они у меня в разны х угольниках. Приходится перекладывать. Нет ли у вас угольни ка, в котором были бы именно эти углы? - Вы знаете, среди тех, что я виж у, нет, но вы заходите, такие долж ны на днях привезти. - Большое спасибо, обязательно зайду. Д ля математического уха разговор вы глядит ко мично. То, что сумма углов треугольника равна 180°, знают даж е ш кольники, не очень увлечённые м а тематикой. А что такое 180° и почему именно 180? Ясно, скаж ет умный ш кольник, это половина от 360, то есть полного оборота. Невозможно точно сказать, почему окружность была разбита на 360 одинаковых частей и когда это произошло. То ли это персы придумали, у которых год длился 360 дней, то ли вавилоняне, которым удобно было делить окружность на 6 равных частей с помощью равностороннего треугольника. Б ы ла, правда, попы тка ввести более логичную, с точки зрения современных представлений о счёте, ш калу для угловых мер. Она делила окружность на 400 равных частей - градов. В этой ш кале величина прямого угла равнялась 100 градам. Однако ш кала эта не приж илась. Трудно одним ж еланием изменить пятитысячелетню ю историю цивилизации. Да впро чем, к ак ая разница, в чём мерить, хоть в попугаях, главное - понять, что угол - это некоторая доля от полного оборота. Почему ж е сумма углов любого треугольника равна в точности половине полного оборота? Д авай те представим себе, что у нас есть три прожектора. К аж ды й освещает внутренность некоторого угла до бесконечности (ж ить мы будем временно в двумер ном мире). Если мы, стоя в одной точке, включим
6
три прож ектора (зелёный, розовый и ж ёлты й на ри сунке), сумма «световых углов» которых равна 180°, и направим их без налож ений освещаемой площ ади, то осветим ровно половину нашего двумерного про странства.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник и в верш инах его поставим трёх помощ ников (Али, Бен и Сирил по буквам верш ин, но можно попросить Анну, Варвару и Светлану), доверив им по прож ек тору. К аж ды й помощ ник должен осветить внутрен ность треугольника лучами света, которые выходят из верш ины и продолжаю тся до бесконечности. Та ким образом, каж ды й прожектор будет освещать внутренность своего угла и не будет освещать вну тренность такого ж е угла, вертикального выбранно му. При этом к аж дая точка плоскости либо попадёт внутрь освещённого угла, либо не будет освещена, по пав в вертикальны й угол к углу треугольника. Точки ж е самого треугольника будут освещены триж ды. Те перь давайте посмотрим на наш у частично освещён ную плоскость с большой высоты (мы-то, к ак люди трёхмерные, имеем на это право). Если закры ть глаза на небольшой участок перекры тия внутри треуголь ника, то нетрудно понять, что мы осветили «ровно» половину плоскости. Из чего и можно заклю чить, что сумма углов произвольного треугольника равна 180°!
Если наше маленькое жульничество внутри тре угольника режет глаз, да вайте отойдём далеко-дале ко от плоскости и забудем, что где-то стоят наш и по мощ ники. Нарисуем окруж ность огромного радиуса с центром где-то внутри треугольника. К акая часть окружности освещена? Ровно (почти) половина. И чем больше радиус нашей окружности, тем меньше будут отличаться освещён ная и тёмная части окружности. Ведь каж дой свет лой дуге будет в пару поставлена такая ж е тёмная. Не будем останавливаться на сумме углов тре угольника, а попробуем развить эту идею. Самое есте ственное продолжение - четырёхугольник. Нетрудно понять, что четыре помощника, выполняя аналогич ное задание, осветят всю плоскость, что значит: сумма углов четырёхугольника равна 360°. Стоп! Давайте не торопиться, отойдём подальше. Что мы видим? Ужас! Некоторые точки плоскости вообще не освещены. Всё пропало? Не будем паниковать преждевременно. Про должим наш и прямые до бесконечности. На рисунке серым цветом закраш ена неосвещённая часть плоско сти. Посмотрим внимательно на вертикальный с ней угол. Он освещён, конечно, но освещён дважды! А зна чит, и здесь всё сходится. Так и должно быть, ведь че тырёхугольник можно просто разрезать на два треу гольника. Думаем дальше.
Нарисуем пятиконечную звёздочку (не обязатель но правильную). Теперь позовём пять фонарщ иков, поставим их в верш инах «лучиков» наш ей звёздоч
ки, и пусть каж ды й освещает внутренность того угла, в котором стоит. Соответственно, вертикальны й угол освещён не будет. Что мы видим? К артина почти та кая ж е, к ак у треугольника. Половина плоскости светлая, половина тёмная, а значит, сумма углов пя тиконечной звезды равна 180°! При этом мы нигде не пользовались какими-то особенностями формы этой звёздочки. Более того, а где мы считали количество углов? Давайте вним а тельно посмотрим на 7-конечную звезду. А потом на 2021-конечную (нарисовать непросто, а предста вить можно). Что изменится для суммы? Да ниче го - половина светлого, половина тёмного. Правда, для большого числа углов нужно «правильно» рисо вать звёздочку. Например, для семиугольной кон струкции можно привести два примера. Подсчитайте самостоятельно сумму для «более тупоугольной» звёздочки.
Теперь давайте немного развернём наш их фонар щиков и дадим им задание осветить один из своих внешних углов. Д ля начала позовём четверых, по ставим их в вершинах выпуклого четырёхугольника.
Нетрудно понять, что они осветят всё, кроме самого четырёхугольника. Удаляясь от них, мы поймём, что сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
Такж е при достаточном удалении мы забудем о количестве помощ ников, а когда вспомним, пой мём, что это совершенно неважно. Сколько бы их ни было, плоскость будет освещена полностью и без перекрытий. Из этого следует чрезвычайно важ ны й и удивительный вывод: сумма внешних углов выпу клого многоугольника равна 360°! Продолжая применять этот метод, можно полу чить и другие формулы для суммы углов. То есть если внимательно посмотреть на количество перекрытий, можно вывести формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. Но даже без вывода становится по нятно, почему сумма внутренних углов зависит от их количества, а сумма внеш них нет. Попробуйте раз вить эту идею на случай невыпуклых многоугольни ков. Можно, немного поломав голову, найти сумму внутренних углов, а вот для суммы внеш них надо сначала понять: что такое внеш ний угол невыпуклого многоугольника? Успехов в вашем исследовании! P .S. А угольник 45°, 60° и 90°, оказы вается, су ществует! Это специальный портновский угольник треугольник, в котором сделаны треугольные ды р ки с другими углами. И речь в магазине «Ткани», оказы вается, совсем не ш ла о сумме углов т реугольника.
f f О-s p Я - - 3 0 t o
«ПОСЛЕДНЕЙ РУЧКИ» Да уж , восьмой класс - это вам не седьмой! Н а дом теперь Маше задавали очень много. Да и в школе на уроках писанины не убавилось. Всё время чтото пиш еш ь. У Маши даж е мозоль на среднем паль це появилась. Да что там - мозоль! Расход ручек вы рос! И это ещё повезло, если в ручке закончился гель. Чащ е ручка банально теряется, ломается. Иногда ручку просит соседка по парте Таня. Она, безусловно, хорош ая подруга, но обладает уникальной способно стью регулярно забывать ручки дома. И она ещё ни разу ни одну из них не вернула. Это не беда - Маша даёт ей свою ручку, а из пенала берёт новую. Ведь она не только любознательная, но и запасливая. М аша подсчитала, что в среднем ручка служ ит семь дней, а поскольку в первой четверти 40 учеб ных дней, то на четверть ей нужно примерно шесть ручек. К началу учебного года у неё было к ак раз шесть ручек - целая упаковка. И всё бы хорошо, но вот уже первый день второй четверти, а на кан и ку лах М аша была так занята, что забыла купить руч ки. А тут к ак раз сочинение на тему «Как я провела осенние каникулы ». Страшно подумать, что случит ся, если закончится та самая ш естая ручка. Но ручка вы держ ала. М аша облегчённо вздохнула и поклялась страшной клятвой, что по дороге из ш колы зайдёт за новой пачкой ручек. Но, ясное дело, не заш ла, по тому что... ну мало ли почему. И на следующий день ручка снова не кончилась, но М аша уж е не на ш утку волновалась и ругала себя уж асны ми словами за раз гильдяйство. Невозможно представить, что Маше придётся просить у кого-то ручку. Это ей-то, Маше, которая славится пунктуальностью и нескончаемым запасом ручек. Ей, Маше, которая всегда готова снис ходительно выдать ручку в вечное пользование всем растяпам, неуж ели ей самой придётся попрош айни чать, к ак Тане? Этот позор М аша не переж ила бы. И надо ж такому случиться, что и во вторник Маша не смогла зайти в магазин (мало ли почему). А в сре ду контрольная по геометрии на повторение, а руч ка может подвести в любой момент. М аша боялась
11 *
= а
О ГЛ ЯН ИСЬ ’
к г ж
р у г
дыш ать и пы талась изъясн яться лаконично. От этого строчка, которая в нормальных условиях выглядела бы так: «Следовательно, данные прямоугольные тре угольники равны по катету и гипотенузе», приобрела удивительный вид: «С-но, д-е пр. тр-ки = по к. и г.». Ручка вы держ ала. Она потом писала ещё весь урок русского, где учительница вдруг вздумала устроить внезапный диктант. По дороге домой Маша, наконец, купила десяток ручек и вздохнула с облег чением, но задумалась: «Интересно, а сколько ещё продержится героическая ручка? Тане я не дам её ни за что!». Ручка прослуж ила ещё целый четверг и по ловину пятницы . Только на предпоследнем уроке это была история - Маше приш лось взять новую. Вот это да! 10 дней напряж ённейш ей работы. «Суперруч ка», - уваж ительно подумала Маша и выбросила её в мусорную корзину у выхода из кабинета. В начале третьей четверти повторилась примерно та ж е история: ручки, которой Маша начала писать ещё в декабре, хватило на дольше, чем обычно. Как-то вечером, когда Маша делала уроки, раз дался звонок в дверь. На пороге стоял смущ ённый со сед Иван Петрович. - Э-э-э... Добрый вечер, Маша. Мне очень неудоб но, но не найдётся ли у тебя запасной ручки? А то моя кончилась. Совсем внезапно. Я завтра отдам. Маша была польщена до глубины душ и. Конеч но, она подарила Ивану Петровичу самую лучшую ручку. Ещё она спросила, не нуж на ли ему случайно линейка или транспортир, и, разумеется, не удерж а лась и рассказала историю о суперручках. - Ого, да ты теперь настоящ ий эксперт по ручкам! И, каж ется, столкнулась с очередным парадоксом те ории вероятностей! - приш ёл к заключению Иван П е трович, который хорошо понимал проблему, потому что работал математиком в университете. А когда ра ботаешь математиком в университете, особенно чётко понимаеш ь, к ак быстро заканчиваю тся ручки. - Да к ак ж е так! Я постоянно нахож у новые пара доксы, похоже, это уж е традиция. Что за математи ческая загадка на этот раз? - Твой способ вы числения среднего времени службы ручки абсолютно верный, он годится для
всех ручек. Но вот для последней ручки он не годит ся. То есть и для последней тоже годится. Но для последней ручки, если четверть уж е кончилась, не годится. Хотя эта ручка ничем не отличается от предыдущ их. Правда, не совсем. Всё ж е отличается: те ручки кончились раньш е, чем кончилась четверть, а эта - позже. И у неё средний срок службы немного больше, чем у предыдущ их. М аша опасливо попятилась: - Иван Петрович, родненький, вы в здравом уме и твёрдой пам яти утверждаете, что если четверть не кончилась, то у ручки один средний срок службы, а если кончилась, то другой? То есть ручка знает, что четверть кончилась, и поэтому она... - Именно это я и хочу сказать, мой юный друг, кроме того, что ручка знает, что четверть кончилась. Хотя, если бы она не кончилась, то, наверно, ручка не кончилась бы раньш е, чем она кончилась. Но она не кончилась раньш е, чем кончилась четверть, а по этому кончилась позже! - Профессор, но это ж е бред! - Это каж ущ ийся бред. Иными словами - па радокс, а именно - Inspection Paradox. Подсчитав среднее время службы ручек, ты примерно знаешь, когда кончится ручка. И тут кончается не ручка, а четверть. При этом оказывается, что ожидаемое вре мя работы ручки зависит от того, кончилась четверть или нет, пока ты пиш еш ь этой ручкой. Эта зависи мость приводит к тому, что ожидаемый срок службы этой ручки несколько больше, чем у остальных ручек. - Что-то не очень понятно, к ак ожидаемый срок службы последней ручки зависит от конца четверти. - Приведу простой пример. Предположим, у нас есть монета, которую мы подбрасываем до тех пор, пока не выпадет орёл. Математическое ожидание чис ла орлов при каждом отдельном броске равняется 0,5. Но наш эксперимент закончится, только когда вы па дет орёл, поэтому математическое ожидание числа ор лов при последнем броске всегда равно 1, а не 0,5. - Ясное дело. Ведь мы бросаем, пока не вы па дет орёл. Значит, в последний раз обязательно будет орёл, или наоборот - к ак выпал орёл, значит, это был последний бросок.
аглянись s i вокруг
- А теперь представь себе игральный кубик. В среднем на нём выпадает 3,5 очка при каждом бро ске. Будем бросать этот кубик до тех пор, пока сумма очков, выпавш их при всех бросках, не достигнет... э... скаж ем, 100. Вот сумма стала 100 или больше, всё уже не бросаем. Скаж и, на каком броске более вероят но, что сумма преодолеет 100? На броске, когда вы па ла единица, или на броске, когда вы пала шестёрка? - Чем больше выпало, тем сильнее увеличивается сумма, тем более вероятно, что она перескочит 100. - Совершенно верно. Значит, более вероятно, что сумма 100 наступит при броске, давшем 6 или 5 оч ков, чем при броске, когда выпало 1 или 2 очка. По этому математическое ожидание числа очков при по следнем броске больше, чем 3,5. Кубиков игральны х у меня под рукой нет. Давай проведём этот эксперимент на компьютере. Нам по надобится ГСЧ - генератор случайны х чисел. Н а деюсь, ты не забыла, что это такое1. Пусть ГСЧ даёт случайные числа от 1 до 6, мы будем их складывать до тех пор, пока их сумма не станет равна 100 или больше. Повторим это много раз. Профессор был мастером на все руки. Он не толь ко превосходно знал математику, но и умел про граммировать. Иван Петрович вклю чил компью тер и быстро написал программу, которая «бросает» игральны й кубик до тех пор, пока сумма очков не окаж ется 100 или больше. Причём делает это много раз. М аша с волнением наж ала «Запуск» и даже уди вилась, когда программа выдала диаграмму распре деления вероятностей последних слагаем ы х.2
1 Подробнее о генераторе случайных чисел (ГСЧ) см. статью «Пара докс двух конвертов» (см. «Квантик» № 8 за 2016 год). 2 Вы можете запустить эту программу по адресу k v a n .tk /lastp en
14
— Посмотри, насколько чаще при последнем бро ске выпадает пятёрка или ш естёрка, чем единица или двойка, - довольным тоном сказал Иван Петрович, любуясь диаграммой. - Знаеш ь, какое у нас среднее? - Да уж точно не три с половиной. - А среднее у нас... Вот: примерно 4,28! Маша, об рати внимание: если бы мы просто бросали играль ный кубик 100 или 200 раз, то парадокс себя бы не проявил. Важно, что условие остановки - достигну тая сумма. - Классно, Иван Петрович. Просто слов нет, какой это классный парадокс. Но ручки-то здесь причём? - И с ручками примерно то ж е самое. Что более вероятно: что четверть кончится на ручке, которая мало пиш ет, или что на той, которая долго пишет? - Долгопиш ущая ручка пишет долго, малопиш у щ ая — мало. Поэтому более вероятно, что конец чет верти придётся на срок службы долгопишущей ручки. - Вот-вот, именно так. Поэтому ручки, на кото рые приш ёлся конец четверти, пиш ут в среднем доль ше, чем те, которые были в начале четверти. - Да уж . Необычный парадокс... Зато теперь я могу не волноваться, если я забыла вовремя купить ручки, по крайней мере ещё пару дней... - облегчён но вздохнула М аша, которая всегда найдёт повод для волнения. - Кстати, к ак вы там его назвали, этот па радокс? Ин... инт... инп-что? - По-английски его называют Inspection Paradox. - А почему? При чём тут инспекция? - Впервые на него обратили внимание ам ерикан ские военные, когда занимались обслуживанием, то есть инспекцией радиолокационных станций. До ис течения заявленного срока службы локатор ремон тируют, а как срок вышел - заменяю т при первой же поломке. Вот и выяснилось, что очень часто послед нюю поломку приходится ж дать дольше, чем преды дущие. Инспектор ж дёт-ж дёт, а всё никак. - Ага, как и я ж дала-ждала, пока ручка кончится. А по-русски как называется? Давайте назовём его «Па радокс конца четверти». Или лучше «Парадокс послед ней ручки». Или... Завтра расскажу обо всём Тане. А про себя Маша подумала, может всё-таки удастся её перевоспитать, чтобы она не забывала ручки?
О ГЛЯН И СЬ
вокруг
□ ПЙ1ТЫ и ЭКСПЕРИМЕНТЫ
А лександр Ковальджи Памяти Кирилла Ковальджи, поэта, писателя и журналиста
м о ж е т удивить Дело было 1975 году, мой отец тогда увлекался маленькими исследованиями в домаш них условиях. Понятно, что и таинственная магнитная сила была предметом его внимания. На столе леж ала магнитная скрепочница - кольцевой магнит, покрытый пласти ком. Если насыпать на неё много скрепок, то из них можно буквально лепить красивые фигуры. Однажды отец обнаружил удивительный эффект: если на скрепочнице леж ат две скрепки, касаясь друг друга, то, поднимая одну из них, мы оторвём от маг нита вторую. А как только мы уведём скрепки по дальше от магнита, они распадаются - перестают магнититься. Иначе говоря, скрепки сами по себе не магниты, но в магнитном поле они приобретают маг нитную силу, которая больше, чем у самого магнита. Оказалось, что больш ая скрепка даже отрывает от магнита ж елезный ш арик диаметром 1 см. Объяснить этот эффект непросто - нужно знать свойства м ягких и твёрдых магнитных материалов; это хорош ая тема для отдельной статьи. Здесь играет роль и то, что ш а рик не касается магнита, а леж ит на пластике. Следующий опыт был ещё удивительнее. Отец по лож ил на скрепочницу ш арик диаметром 2 см - тогда больш ая скрепка уже не могла оторвать его от магни та, - а затем подвесил скрепку на нитку и смотрел, к ак она качается, описывая вокруг ш арика разные траектории: то эллипсы, то параболы - к ак планета вокруг Солнца. И тут произошло неожиданное: скреп ка коснулась ш арика, а когда отец потянул за нить, скрепка начала быстро вращ аться, к ак вентилятор. В это время я учился на третьем курсе мехмата МГУ и взялся за объяснение эффекта. Поначалу воз никло ощ ущ ение, что изобретён вечный двигатель (перпетуум мобиле). Ведь ниточку можно держать не в руках, а прикрепить к подш ипнику на потолке и с помощью пруж ины создать необходимое натяж ение нити - тогда при вращ ении скрепки нить не будет за кручиваться, и вращ ение никогда не остановится! В какой-то момент я экспериментировал с неболь шим ш ариком, который скрепка оторвала от м агни та, и тут оказалось, что скрепка вместе с ш ариком
f 5
i i
вращ ается в воздухе. Тогда у меня и проблеснула идея, что дело в подвешенном грузе, а не в магнитной силе. Я привязал грузик к нитке, приподнял, и он начал вращ аться так ж е, к ак в магнитном поле! Это была половина реш ения, теперь нужно было объяс нить, почему не получится перпетуум мобиле, если нитку подвесить к потолку через подш ипник. Следующие эксперименты показали, что чем длин нее нить и чем она тоньше, тем сильнее и дольше длит ся вращение скрепки, а на леске или проволоке скреп ка вообще не вращ ается. Стало ясно, что дело в нити, её особенностях, а не только в подвешенном грузе. При изготовлении нить скручивают, и при натяж ении она раскручивается, причём работает как пруж ина если перестать её натягивать, она снова скручивается. После этого возник эксперимент с мокрым ч ай ным пакетиком, который всегда вращ ается в одну и ту ж е сторону.1 Самое удивительное, что каж ды й день миллионы людей вынимают пакетик с чаем, но никто не замечает эту удивительную особенность. Здесь уже нет таинственной магнитной силы, поэто му разгадать причину легче, однако вокруг вихрей, воронок и т.п. есть тоже немало мистических сужде ний. Ответы про пакетик и скрепку бывают такие: 1. Зем ля вращ ается, поэтому и пакетик вращ ает ся. Вероятно, в другом полуш арии он будет вращ ать ся в другую сторону. Как опровергнуть такое «объяс нение»? (Земля делает один оборот в сутки, а пакетик делает несколько оборотов в секунду.) 2. Вероятно, этот эффект такого ж е рода, к ак за кручивание воронки в ванной, она всегда закручива ется в одну сторону. (Это расхожее заблуждение, я проверял разные ванны и раковины , вращ ение быва ет в разные сторон ы .)2 3. Известно, что в магнитном поле в рамке (скреп ке) возникает ток, и получается моторчик. (Скрепка не рамка, она не замкнута, поэтому тока в ней нет.) 4. Один ф изик заявил: «Когда мы тянем за нитку, то скрепка немного удлиняется, электроны_сдвигаются, и получается ток». (Электроны сдвин^уд^с^дудр'С м . задачу «Чайный пакетик» в «Квантика» I'TJSC ! 2См. такж е статью В. Сурдина «Воронка Ко >иолисаi - f e i ; j № 5 и № 6 за 2019 год. ИМ. А А . Д ел Ь Б № 1
Аптекарский пер., _______Д- 8/2, стр. 1'
опыты и
Э К С 1П Е Р И М Е Н Т Ы
чуть, причём на противоположных сторонах скрепки в одну и ту ж е сторону, поэтому кругового тока быть не может.) 5. Интересно, что моя 85-летняя бабуш ка, окон чивш ая всего четыре класса церковно-приходской ш колы , сразу поняла, что дело в закрученности нит ки, и это понятно, ведь она постоянно что-то ш ила. Если будете показы вать этот опыт со скрепкой знакомым, то можете отчаявш имся наблюдателям подсказать: «Если вместо нитки взять тонкую леску или проволоку, то вращ ения не будет». Вообще, в любой задаче, если кто-то не может её решить, важ ен принцип минимальной подсказки: например, опровергнуть из общих соображений не правильны й ответ, но при этом дать возможность ещё подумать. Ведь понять самому куда приятней и по лезней, чем узнать готовый ответ. Такое свойство скрученных верёвок знают авто мобилисты - если буксировочный трос будет кручё ным канатом, то при натяж ении он вывернет крю к, за который его прицепили. Об этом знают альпинисты - если страховочная верёвка будет кручёной, то при срыве она будет вер теть альпиниста, к ак ту скрепку на ш арике. Поэтому и водители, и альпинисты берут плетёные верёвки или тесьму. Если ж е есть только кручёная верёвка, то её надо слож ить вдвое. К аж ды й ребёнок знает, что конфету в обычном фантике нужно потянуть в разные стороны, и она сама собой раскрутится. Проделайте опыт, который до революции любили дети: возьмите большую пуговицу, пропустите через две дырочки кручёную бечёвку, завяж ите в кольцо и равномерно натягивайте в разные стороны и отпу скайте. В какой-то момент пуговица начнёт бешено вращ аться. Н азывалась такая игруш ка жужжалка3. Ещё на ярм арках продают деревянного человечка или сказочного героя на турнике, висящ его на скру ченной леске, который выделывает разные фигуры, если слегка наж им ать на ниж ние концы турника. 3См. книгу: А.С. Дмитриев. «Как понять сложные законы ф изики. 100 простых и увлекательны х опытов для детей и их родителей», гл. 85 (fis.w ik ireading.ru/3814).
18
И гры т т т т т Владимир Красноухов
для
начинающих
Так просто назвала свою разработ ку Ирина Новичкова, изобретатель из Москвы, автор многих интересных ме ханических головоломок. Посмотрим, просто ли будет её решить... Состоит головоломка из вось ми игровых элементов. П ять из них (тип А) - обычные кубики. Ещё три элемента (тип Б) склеены из полови нок кубиков.
Задача 1 (для разминки). Собери те из трёх элементов типа Б связную симметричную фигуру. Нам не ж алко привести примеры таких фигур, пото му что их ещё остаётся более 40, с раз личны ми видами симметрии.
Поищите наиболее интересные та кие фигуры (некоторые из них сразу рассыпаются, поэтому разреш ается поддерживать фигуру пальцами). Задача 2. Используя три элемента типа Б, соберите одновременно три ку бика. Задача 3. Сложите из всех восьми элементов куб. Ж елаем успехов! 10
Х удож ник Алексей Вайнер
Ку Ьик
ВЕЛИКИЕ УМЫ
Джозеф Пристли (Joseph Priestley) 1 3 .0 3 .1 7 3 3 - 6 .0 2 .1 8 0 4 ,
художник Эллен Ш арплз
ДЖОЗЕФ ПРИСТЛИ С казка Ю рия Олеши «Три толстяка» начинается так: «Время волшебников прошло. По всей вероят ности, их никогда и не было на самом деле». Но зато, говорится дальш е, были очень знающие люди, кото рых принимали за волшебников. Например, доктор Гаспар Арнери, который изучил около ста наук и точно знал, к ак взлететь с земли до звёзд, к ак пой мать лису за хвост и даж е к ак из кам ня сделать пар. Сейчас доктора Гаспара, который успешно зан и мался самыми разными науками, назвали бы учёным-энциклопедистом. Их время действительно про шло: современная наука требует слиш ком глубокого погруж ения в любую область, на много областей од ного человека уже не хватит. А вот в былые времена такие люди были - и в эпоху Возрождения, и позже, даж е в X V III-X IX веках. Например, Джозеф П рист ли - английский хим ик, ф изик, лингвист, педагог, политолог, философ и богослов. * * *
Дом в Йоркшире (Англия), где родился Пристли
20
Пристли прож ил весьма необычную ж изнь. Он родился в бедной многодетной семье, в детстве ж ил попеременно у разны х родственников, но по раж ал всех своими способностями - и его отправи ли учиться, чтобы он сделался свящ енником. Но его отнош ения с религией были непростыми: ещё в юности он стал диссентером («несогласным»), то есть человеком, чьи взгляды отклонялись от официального вероисповедания. Это свободо мыслие закры вало для него двери многих учеб ных заведений и некоторые карьерные пути. По преданию, именно оно оказалось причиной того, что позднее П ристли не взяли астрономом в экспедицию капитана Кука по ю жным морям (в 1772 -1 7 7 5 годах). С другой стороны, оставшись в А нглии, П ристли в эти годы совершил многие свои откры тия —так что, может, оно и к лучш ему. Но мы забегаем вперёд. Закончив духовную академию в Дэвентри, П рист ли зарабатывал на ж изнь преподаванием, лекциям и
СВОБОДА, РАВЕНСТВО, ФЛОГИСТОН! и проповедями - что, учиты вая его заикание, было непросто, но простых путей он никогда не искал. По лучил сан свящ енника. Ж енился. Организовав ш ко лу в городке под названием Нантвич, в 1761 году для своих учеников написал учебник «Основы англий ской грамматики» - доступная и остроумная книга имела огромный успех и помогла его последующей преподавательской карьере. Следует отметить, что, кроме своего родного английского, он знал ф ранцуз ский, немецкий, итальянский, латы нь, древнегрече ский, древнееврейский и ещё несколько языков... Однако потом его интересы стали смещ аться в сто рону ф изики и особенно химии. Сперва лабораторная работа была для него чем-то вроде хобби, но это хоб би увлекало его всё больше. Он познакомился с мно гими учёными (вклю чая Бендж амина Ф ранклина, который в ту пору ж ил в Лондоне и вдохновил П рист ли на 700-страничную книгу по истории учения об электричестве) и вскоре стал уваж аемым эксперимен татором. Особенно продуктивной стала его деятель ность в поместье лорда Ш елбурна, покровителя наук: с 1773 года Пристли занимался его библиотекой и об разованием детей, а взамен получил возможность ста вить опыты в отличной лаборатории и путеш ество вать с Шелбурном по Европе. КАК ИЗ КАМНЯ СДЕЛАТЬ ПАР Химические достиж ения Пристли в основном к а сались газов. В те времена эта отрасль химии назы валась пневм ат ической, а газы часто назы вали воздухами: в конце концов, всё равно никто толком не знал, из чего состоит воздух. Прежде всего Пристли начал изучать углекислы й газ - ранее откры тый «воздух», который вы деляется при горении и брожении. И сразу изобрёл одну ш ту ковину, которую мы теперь покупаем в магазинах: газированную воду, то есть воду, насыщ енную угле кислым газом. Получив её и попробовав, Пристли отметил, что пить её «до странности приятно». Кто бы спорил. Вскоре газировку уж е пили сотни людей.
ВЕЛИКИЕ УМЫ
Бендж ам ин Ф ранклин, портрет кисти Ж .Дюплесси
В компании «Швепс» Пристли назы вали «отцом нашей промыш ленности». Фото: Reedy (en.w ikipedia.org)
ВЕЛИКИЕ УМЫ
Приборы Пристли для исследования газов
или ж ж ёная ртуть. Фото: M aterialscientist (en.w ikipedia.org)
22
ДЖОЗЕФ ПРИСТЛИ (Другое популярное изобретение, которое часто при писывают ему, - каучуковы й ластик. На самом деле такие ластики впервые стал производить английский инженер Эдуард Нэрн, но Пристли прилож ил руку, к ак сейчас сказали бы, к пиар-продвижению нового товара.) Одно только перечисление дальнейш их откры тий Пристли в химии газов занимает целый абзац. Пристли впервые выделил «кислый воздух» - хлороводород (формула НС1), который при растворении в воде даёт соляную кислоту. Он первым изучил сер нистый газ S 0 2 - тот самый газ с запахом горелых спичек, который является одним из главны х «от ветственных» за кислотные дожди, но незаменим в химической промышленности. Он откры л оксиды азота - бесцветный газ N 0 и бурый N 0 2, а такж е «ве селящ ий газ» N 20 , который спустя 70 лет стал по пулярны м средством обезболивания. Он, возможно, первым в чистом виде получил аммиак N H 3 - вещ е ство, которое в XX веке стало основой производства удобрений. Но главным его открытием был кислород. Тот самый, которым мы ды ш им .1 Знамениты й опыт 1774 года, принёсш ий П рист ли бессмертие, был несложен - и посейчас кислород иногда так получают в демонстрационных опытах. В ту пору химикам уж е был известен оранж евый по рошок —соединение ртути, которое сейчас называют оксидом рт ут и , а тогда называли жжёной рт ут ью . Пристли полож ил этот порошок под стеклянны й кол пак, взял большую линзу, сфокусировал на порошке световые лучи, чтобы нагреть, - и получил какой-то необычный «воздух». У ченикам старш их классов знакомо уравнение этого процесса, вот оно: 2 HgO = 2 Hg + 0 2 Г Здесь Hg - ртуть, а 0 2 - кислород, который вы деляет ся в виде газа. 1 Судя по всему, ш ведский хим ик и фармацевт Карл Ш ееле полу чил кислород раньш е П ристли, но опубликовал свои результаты позже. С ним не раз случалось подобное: недаром знаменитый фантаст и попу ляризатор науки А йзек Азимов назы вал его «невезучим Ш ееле».
СВОБОДА, РАВЕНСТВО, ФЛОГИСТОН! Опробовав новый «воздух» и на м ы ш ах, и на себе («пока что только две мыши и я имели удовольствие им ды ш ать»), Пристли наш ёл, что он в 5 - 6 раз лучше поддерживает горение и ды хание, чем обычный воздух. Оценка довольно точная: ведь обычный воз дух состоит из кислорода к ак раз на 1/5 часть. Интересно, что тремя годами раньше Пристли подобрался к кислороду, к ак говорится, с другого бока. И этот опыт такж е вошёл во все учебники. Если све чу поместить в закры ты й сосуд, она бы стро перестаёт гореть - воздух «портит ся» (как мы сейчас знаем, это связано с превращением кислорода в углекислы й газ). Этот воздух непригоден и для ды хания, мыш ь в нём по гибает. Но если в тот ж е сосуд поместить зелёное рас тение, то оно не просто не погибает, но исправляет «испорченный» воздух - свеча горит, мыш ь остаётся в живых! Ф актически Пристли откры л процесс фото синтеза, в ходе которого зелёные растения преобразу ют углекислый газ в кислород. Правда, он не понял, что растениям для этого нужен ещё и свет - ясность чуть позже внёс голландец Ян Ингенгауз. Но с открытием Пристли была связана ещё одна удивительная история. Открыв кислород, он наотрез отказы вался называть его кислородом! И вот почему. ФЛОГИСТОН И ЛАВУАЗЬЕ С XVII века среди химиков была популярна тео рия флогистона. Полная н атяж ек - но, к ак всякую господствующую теорию, её было очень трудно отвер гнуть. В печи сгорели дрова, образовалась неболь ш ая кучка золы. Что произошло? Учёные муж и рассуждали так: топливо изначально содержало золу — и что-то ещё, что потом улетучилось в про цессе горения. Назовём это «что-то» флогистоном,
ВЕЛИКИЕ УМЫ
Фотосинтез. Источник: Alexey Shipunov (libretexts.org)
1
Лавуазье с женой. Портрет кисти Ж .-Л . Давида
23
■
ВЕЛИКИЕ УМЫ .ГГГ//’ .'//WA'A/.M\> , /fi/i/ittt/ S A tr /m t/tt и -
//■//Л'/ . / /
I ' /
. '//> , . | /
Доктор Флогистон, карикатура на Пристли
Дом Пристли в Пенсильвании. Фото: R uhrfisch (W ikim edia)
ДЖОЗЕФ ПРИСТЛИ от греческого фХоуютод («флогистос») — горючий. Деревья поглотили флогистон из воздуха, поэтому они горючи. А почему в замкнутом пространстве го рение в конце концов прекращ ается? Да потому, что в воздухе накапливается слиш ком много флогистона, больше этот воздух уже не принимает. Потом, правда, появились неудобные факты. Когда активны й металл, такой к ак магний, сгорает на воздухе, его масса увеличивается! Ну что же - зна чит, флогистон такая хитрая ш тука, что его масса... отрицательна. Не бывает? Но других-то объяснений нет. И в конце концов другое объяснение представил современник П ристли, великий ф ранцузский химик Л авуазье. Нет никакого таинственного флогисто на. Но зато есть его противоположность - тот самый удивительный газ, откры ты й Пристли. Когда металл или, например, фосфор горит на воздухе, то соединя ется с этим газом, который Лавуазье назвал кисло родом (oxygene). Вот почему продукт горения весит больше, чем исходное вещество: теперь он содержит ещё и кислород!2 Опыты Л авуазье были настолько точными и убе дительными, что постепенно он переубедил всех скептиков... кроме самого Пристли. Нет, говорил П ристли, не существует никакого кислорода, это просто «воздух, лиш ённы й флогистона», который замечательно поддерживает горение, потому что на сыщ ается недостающим флогистоном. Упрямый англичанин до конца остался верен устаревшей те ории, хотя с течением времени даж е самые убеж дённые поклонники флогистона признали правоту Лавуазье. Позже знаменитый естествоиспытатель Ж орж Кювье назвал Пристли «отцом современной химии, который так и не признал свою дочь». Ладно, дочь всё равно ему благодарна. 2 Кстати, а к ак вы думаете: если так, то почему масса дров, угля или свечи при горении уменьш ается?
СВОБОДА, РАВЕНСТВО, ФЛОГИСТОН! ИЗГНАННИК Насколько Пристли был консервативен в своих взглядах на флогистон, настолько он был радика лен в том, что касалось общественно-политического устройства. Он нападал на официальные церкви того времени, назы вая их «старыми строениями из ош и бок и суеверия, которые можно поджечь даж е одной искрой, чтобы вызвать мгновенный взрыв» (чувствуе те химическую подготовку автора?). Он поддерживал американских борцов за независимость от А нглии, и, что стало последней каплей для британского обще ства, восторженно принял французскую революцию, начавшуюся в 1789 году. И тут уж е стало неваж ным, что Пристли - ува ж аемый учёный, просветитель, член всех мы сли мых академий. В Бирмингеме, где он ж ил тогда, над его головой сгущ ались тучи, и в конце концов всё вылилось в погром. В 1791 году толпа, которую почти открыто поддерживали местные власти, раз несла и подожгла дом Пристли. Имущество, би блиотека, рукописи и лабораторные приборы были уничтожены. Пристли с семьёй пришлось бежать в Лондон. И хотя друзья поддерживали его, становилось ясно, что надо уезж ать в более дружественную страну. Та кой страной оказались Соединенные Ш таты А мерики. Здесь он уже мало занимался наукой - больше ре лигией и политикой. Годы в изгнании не стали для него счастливыми: болели и умирали близкие, П рист ли оказался замеш анным в неприятны х скандалах, не было контактов с европейскими коллегами. В по следние годы и сам Пристли тяж ело болел. Он умер в 1804 году и был похоронен в Нортумберленде, штат П енсильвания. Мы здесь не рассказали о многом. О социальных идеях Пристли - а некоторые из них актуальны по сей день. О его ф изических опытах. О книгах по исто рии. Но если вам интересно - ищ ите, узнавайте, ч и тайте! Пристли поступил бы именно так.
ВЕЛИКИЕ УМЫ
Погром дома Пристли
П ам ятник Пристли в Лидсе (Англия). Фото: Tim Green (flickr.com )
щш
LX X X V I
-п е т е р б у р г с к О Л И М П И А Д А ПО М А Т Е М А Т И К Е с а н к т
а я
!
Санкт-Петербургская олимпиада по математике проводится для ш кольников с 6 по 11 класс, пригла ш аются все желаю щ ие. Первый (письменный) тур очередной олимпиады прошёл 16 ноября 2019 года. Мы приводим несколько задач этого тура для 6, 7 и 8 классов, попробуйте с ними справиться. В 6 и 7 клас сах предлагалось по 4 задачи, а в 8 классе - 5, на ре шение отводилось 3 часа. И збран н ы е за д а ч и Iтура 1 (6 класс). Таблица 2 X 3 заполнена различными натуральными числами, одно из них - число 217. Воз-fCTlo ле к аж Д°й строки и каждого столбца написана сумма чисел в этой строке или столбце - всего 5 чисел. П ри ведите пример таблицы, для которой никакие два из этих пяти чисел в сумме не делятся на 3. К онст ант ин Кохасъ 2 ( 6 - 7 классы). Больш ой клетча тый прямоугольник периметра 522 D разрезан по клеточкам на несколько прямоугольников, к ак показано на схеме (пропорции фигур искажены). При этом части А , В , С и D являю т ся квадратами, причём квадраты А и С состоят всего из одной клетки. Найдите стороны большого прямо угольника. Не забудьте обосновать ответ. Ольга Бадажкова 3 (6 класс). Вдоль кругового шоссе живут 100 ш кольников. Кроме того, вдоль шоссе стоит не сколько ш кол. Утром 1-го сентября автобус ездил кругами по шоссе, и каж ды й ш кольник доехал на нём до ближ айш ей по ходу движ ения ш колы. Вече ром все дети вернулись домой. Утром 2-го сентября
LXXXVI
С А Н К Т - П Е Т Е Р Б у1 1
с
КАЯ
О Л И М П И А Д А ПО М А Т Е М А Т И К Е автобус снова ездил кругами, но в противоположном направлении. К аж ды й из 10 внимательных ш коль ников вышел, как только автобус довёз его до ш колы, где он был вчера, а остальные 90 ш кольников опять выш ли у ближ айш их по ходу движ ения ш кол. (Дома и ш колы находятся в разных точках шоссе, автобус останавливается прямо в этих точках.) За эти два утра внимательные ш кольники проехали в сумме 1000 км, а остальные —более 4500 км. Д окаж ите, что можно разделить шоссе пополам так, что все ш колы будут на одной половине. Ольга И ванова 4 (6 класс). В детском саду 200 детей. Выходя на прогулку, они перепутали ш апки. Н а улице они реш или поиграть в игру: каж ды й ребёнок обманыва ет тех, на ком надета чуж ая ш апка, и говорит прав ду тем, у кого ш апка своя. После этого несколько раз кто-то из детей подходил к кому-то из остальных, произносил «У меня чуж ая шапка!» и менялся с ним ш апками. Какое наибольшее число раз это могло про исходить? Андрей Солынин 5 (8 класс). На окружности поставлено 100 крас ных, 101 синяя и 102 зелёные точки, причём никакие две точки одинакового цвета не стоят рядом. Д окаж и те, что найдётся синяя точка, у которой оба соседа зе лёные. Сергей Берлов 6 (8 класс). Клетчатый прямоугольник 99 X 100 (99 строк, 100 столбцов) разбит на полоски 1 X 3 та ким образом, что в каж дом столбце содержится ровно к вертикальных полосок. Чему может быть равно k ? Фёдор Петров
*НИКСергей 2У
HrfM flttUW г------
магнитный кфнструктфр
Х удож ник Евгений Паненко
Здравствуй, Квантик! У меня есть магнитный конструк тор из палочек-магнитов и металли ческих ш ариков. Недавно я играл с ним и сделал следующее. Я взял не сколько сцепленных друг с другом па лочек и примагнитил к ним ш арик. Потом взял ещё одну палочку и стал постепенно приближ ать её к ш арику со стороны, противоположной палоч кам, держащ им ш арик. Оказалось, что если поднести эту палочку к ш а рику на расстояние 1 - 3 сантиметра,
28
то она будет отталкиваться от ш ари ка. А если поднести её очень близко к ш арику, то палочка к нему притянет ся. Ты не знаеш ь, почему так происхо дит? Вова П рж иялковский, ученик 3 класса Предлагаем наш им читателям по вторить опыт Вовы и подумать над его вопросом. Ответ не очень простой, мы постараемся обсудить его в одном из следующих номеров ж урнала.
И НАШ
К О Н К У Р С , V ту р («Квантик»№ 1, 2020)
скобке получается 1 + ^ -* (3 ) = 5, и так далее: в каж дой следующей скобке сумма увеличива ется на 2 за счёт умножения на дробь и прибав
21. Барон М ю нхгаузен огородил свои в л а дения забором в форме ш ест иугольника. Он утверждает, что каждый внут ренний угол этого ш ест иугольника либо меньше 10°, либо больше 350°. Может л и барон быть прав? Ответ: да, см. пример на рисунке.
22. Вася написал на лист ке 10 цифр (среди них могут быть равны е) т ак, чтобы сумма лю бы х т рёх написанны х цифр не превосходи ла 14. К акова наибольш ая возмож ная сумма всех 10 цифр? ( П риведит е пример и докажите, что большую сумму получит ь нельзя.) Ответ: 42. Рассмотрим три наибольшие цифры. Хотя бы одна из них не больше 4 (ина че их сумма не меньше 15). Но тогда и каж д ая из остальных семи цифр не больше 4. А общая сумма не превосходит 14 + 7-4 = 42. В качестве примера можно взять 5 ,5 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 . 23. Ё ло ч ку на рисунке слева разрежьте на че тыре части и сло жите из н и х две одинаковые ёлоч ки, как на р и сун ке справа. Ответ: одну ёлочку отрезаем сверху, вторую вырезаем из ниж ней части (см. примеры).
ления 1. В итоге получаем • (99) = 100. 25. К ва н т и к и Н оут ик по очереди закраш и вают клет к и на доске 8 У-8, по одной клет ке за ход, начинает К вант ик. П ервый ход можно сделать куда угодно. Каждый следующий ход должен быть т аким , что новая клет ка гра ничит по стороне ровно с одной закраш енной клет кой. Кто не может сделать ход, проиграл. Кто может обеспечить себе победу? Ответ: Квантик. Пусть Квантик сделает первый ход в угловую клетку, а дальш е делает ходы, симметричные ходам Ноутика относи тельно диагонали, выходящ ей из этого угла. После первого хода К вантика картинка облада ет таким свойством: она симметрична относи тельно диагонали, и каж д ая клетка диагонали граничит с чётным количеством закраш енных клеток. Это значит, что Ноутик не сможет пой ти на диагональ и К вантик сможет ответить ему симметричным ходом, сохранив свойство. Тогда у К вантика и дальш е всегда будет ход. ■ КОРОЛЬ ЛАТИНСКОГО КВАДРАТА (« Квантик »№ 2, 2020)
Прав всё-таки Коля. Есть ещё два маршрута, порождающ их латинские квадраты:
(первый из них, кстати сказать, центрально симметричный). Вот соответствующие запол нения клеток числами:
24. В ы числит е сумму 100 99
+
1 0 0 -9 8 99-97
+
100 - 9 8 - 9 6 9 9 - 97-95
+ - +
100 • 98 • 96 • . . . • 4 • 2 99 • 9 7 - 9 5 • . . . • 3 • 1
2
2
9 10 11
4
8
1 12 2 0
7
5 13 21
19
5
7
6
8
9
1
4 13 12 10
2
3 14 15 11
6 14 25 18 2 2
24 22 20 16 18
15 16 17 24 23
23 2 5 21 19 17
А вот и сами латинские квадраты: *
Ответ: 100. Перепишем сумму в таком виде: Ж ’ (1 + §7*(1 + —• (1 + Т * (1 + г)-"))- В скобке, которая внутри всех остальных, сумма равна 1 + у = 3. В предпоследней по вложенности
3
3
2
4
0
1
0
1
2
3
4
4
3
1
2
0
1
4
3
2
0
2
0
3
1
4
2
3
4
0
1
1
4
0
3
2
4
2
0
1
3
0
1
2
4
3
3
0
1
4
2
29
Других маршрутов (кроме трёх приведён ных) не сущ ест вует - проверено с помощью компьютера (хотя сами марш руты были найде ны без компьютера!). Интересен вопрос о существовании м арш рутов с аналогичными свойствами для досок иных размеров - п X п. Д ля чётных п имеет ся довольно простой алгоритм, позволяющий получить по крайней мере одно решение. Н а чав с левой верхней клетки, король движ ется сначала вправо «до упора», потом вниз - тоже «до упора», а затем обходит оставшиеся поля «змейкой» снизу вверх - то влево, то вправо. Ему не требуется даже делать диагональных ходов! На рисунке ниж е приведён пример для классической ш ахматной доски 8 x 8 . Для нечётных п всё намного сложней. Ко нечно, для доски 3 X 3 найти нужны й путь ко роля труда не составляет. Д ля п = 5 ответ тоже известен (см. выше). Было такж е обнаруже но несколько маршрутов короля и для п = 7. Дальнейшее - во мраке. Д ля компьютера даже квадрат 7X 7 оказался неподъёмным, не говоря уже о больших значениях.
И ИМЯ
З В Е Р Я («Квантик»№ 2, 2020)
• Н аверняка вы знаете больше названий, чем мы. Но можно вспомнить такие: летучая и мор ская лисицы; бычок (рыба), овцебык, лягуш кабык; луговая собачка (грызун), летучая собака, целое семейство рыб «собачковые». • Гепард. • Стрекоза, скорее всего, называется так по действию стрекать (сравните: (за)дать стре кача) или стрекотать (из-за ш урш ания кры льев). А вот козослон (таинственное средневе ковое животное), козявка и даже козерог (как реальный горный козёл, так и мифический персонаж) происходят от козы. • Б уйвол уж е в древнерусском язы ке вы зы вал ассоциации с волом, но на самом деле слово имеет латинское происхождение и состоит из одного корня. М ормыш — сейчас так назы ва ют мелких рачков, а в XVIII в. мдрмышем зва ли и головастиков, но к мыш ам это слово отно шения не имеет.
■ АЛЕКСАНДР II, ГУМИЛЁВ, МАРКОВ («Квантик»№ 2, 2020)
Придумана история о Гумилёве. Надпись на клинке про героя Первой мировой войны могла появиться только после Второй мировой вой ны. История о М аркове написана по мотивам вос поминания Б. А. Кушнера «Учитель» (К столе тию А. А. М аркова, Мл.) в сборнике «Из исто рии кибернетики» (Новосибирск: Гео, 2006). ■ ВОДА, ЧАЙНИКИ И НЕМНОГО ФИЗИКИ («Квантик»№ 2, 2020)
Два чайника. Одинаково. Хотя у мы ш ки, идущей первой, чайник больше, диаметр дна у чайников один и тот ж е и концы носиков рас положены на одинаковой высоте («лиш няя» вода будет сразу вы текать из носика). При ж е лании первая м ы ш ка могла бы налить больше воды, наклонив чайник сильнее - так, чтобы конец носика был на уровне верхнего отверстия чайника. Два разных чайника. Правый - у него боль ше площадь соприкосновения с плитой. Два одинаковых чайника. Ч айник Ани вскипит быстрее: в Борином чайнике надо бу дет не только вскипятить всю имеющуюся хо лодную воду, но и довести до кипения подли тую горячую. Подумайте, изменится ли ответ, если подлить в Борин чайник кипяток. Чайный пакетик. Н итка пакетика закруче на при изготовлении, так что немного вращ ать ся будет даж е сухой пакетик. Но пакетик лёг кий, и нить не может раскрутиться полностью. После намокания пакетик становится тяж елее, нить натягивается и раскручивается дальше. См. такж е статью «Простая скрепка может удивить» автора задачи про чайны й пакетик в этом номере ж урнала. ■ В О З Д У Ш Н Ы Й З М Е Й («Квантик»№ 2,2020)
■■■■Л
НИ 'Т я м е
■ КУБИК Д Л Я НАЧИНАЮ Щ ИХ
■ LX XXV I САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. И збранные задачи I тура. 1. Хотя примеров таких таблиц 1 0 0 много, находить их подбором - дело 0 1 0 трудоёмкое. Но задача станет совсем 110 несложной, если следить не за са мими числами, а за их остатками при делении на 3. В таблице справа расставлены две едини цы и четыре нуля, суммы по строкам и столб цам равны 0, 1, 1, 1, 1. Н икакие два из этих чисел в сумме не делятся на 3. Теперь, чтобы получить требуемый пример, остается расста вить в таблице произвольные раз 6 личны е натуральные числа с у к а 2 1 7 3 1 12 9 занными остатками (число 217 дает остаток 1). 2. Ответ: 129 и 132. Пусть стороны квадра c D тов В и D равны b u d соответственно. Легко A f видеть, что вертикаль в ная сторона исходного b 1 1 d прямоугольника равна Ь + d - l (поскольку сторона квадратика А рав на 1), а горизонтальная равна b + d + 2 (см. ри сунок). Поэтому периметр равен 2(2b+2d + 1) = = 4b + Ad + 2. Тогда 4f> + Ad + 2 = 522, то есть b + d= 520/4 = 130. Отсюда и следует ответ. 3. Заметим, что каж ды й внимательный ш кольник в сумме за два утра проедет весь круг. Поэтому длина круга равна 1000 :1 0 = 100 км. С другой стороны, найдётся невнимательный ш к о л ь н и к а , который в сумме за два утра прое хал более 4 5 0 0 :9 0 = 50 км. Это значит, что сум ма расстояний от дома А до ближ айш их к нему с обеих сторон ш кол больше половины длины круга. Иными словами, расстояние меж ду эти ми двумя ш колами по другой дуге (не содержа щей дома А) меньше половины круга, причём все остальные ш колы находятся именно на этой дуге. Это и требовалось доказать.
4. Ответ: 198 раз. Пусть ш к о л ь н и к а говорит ш кольнику В фразу «У меня чуж ая ш апка». Если у него в самом деле чуж ая ш апка, то он го ворит правду, и значит, на ш кольнике В надета его собственная ш апка. После обмена ш апками у обоих будут чуж ие ш апки: у А будет ш апка В, а у В тоже будет чуж ая ш апка, так как свою он только что отдал А. Совершенно аналогично, если на А надета его ш апка, то он обманывает В, и поэтому на В надета чуж ая ш апка. И тогда после замены оба получат чуж ие ш апки. Таким образом, в каждом обмене участвует один ребёнок в чуж ой ш апке и один ребёнок в своей ш апке, и в результате обмена коли чество детей в чуж их ш апках увеличивается ровно на 1. Если вначале все дети были в своих ш апках, то ни одного обмена произойти не мог ло. Нетрудно понять, что невозможен случай, когда у всех детей своя ш апка, а у одного ребён ка чуж ая. Если ж е в самом начале было не ме нее 2 детей в чуж их ш апках, то увеличиваться это число сможет не более 198 раз. Пример сразу следует из проведённого ана лиза. Пусть вначале было ровно двое детей в чу ж их ш апках (они надели ш апки друг друга). Тогда ребенок в чужой ш апке может 198 раз обращаться к детям в своих ш апках, меняться с ними ш апкам и, увеличивая число неправиль но одетых детей. Через 198 обменов все окаж ут ся в чуж их ш апках и процесс прекратится. 5. Рассмотрим лиш ь зелёные и красные точ ки. П оскольку зелёных точек больше, между каким и-то двумя зелёными нет красной. Но тогда между ними на окружности стоит одна синяя точка. Она-то и удовлетворяет условию. 6. Ответ: fe = 33, то есть все полоски должны быть вертикальными. Покрасим клетки 1-го, 4-го, 7-го, ..., 100-го столбца в красный цвет, а клетки 2-го, 5-го, 8-го, ..., 98-го столбца - в си ний цвет. Красных столбцов на 1 больше, чем синих, а красных клеток на 99 больше, чем си них. Поскольку в каждом столбце находится ровно k вертикальных полосок, красных верти кальны х полосок ровно на к больше, чем синих, и красных клеток в них занято на 3k больше, чем синих. А в каждой горизонтальной полоске поровну красных и синих клеток (по одной). Поэтому общее количество красных клеток на 3k больше общего количества синих. Таким об разом, 99 = 3fe, k = 33.
31
Приглаш аем всех попробовать свои силы в нашем
заочном математическом конкурсе. Высылайте реш ения задач VII тура, с которыми справитесь, не позднее 5 апре ля в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция: k v an .tk /m atk o n k u rs), либо электронной почтой по адресу matkonkurs@ kvantik.com, либо обычной по чтой по адресу 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укаж ите город, ш колу и класс, в котором вы учитесь, а такж е обратный почтовый адрес. В конкурсе такж е могут участвовать команды: в этом случае присылается одна работа со списком участников. Итоги среди команд подводятся отдельно. Задачи конкурса печатаются в каж дом номере, а такж е публикую тся на сайте www.kvantik.com. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы ж урнала «Квантик» и призы. Ж елаем успеха!
V II Т У Р 31. Мимо пассаж ира «Ласточки», едущей с постоянной скоростью, встреч ный «Сапсан» пронёсся за 3 секунды, а попутный «Сапсан» - за 7 секунд. Д ли ны и скорости «Сапсанов» были одина ковы. За сколько секунд этот пассажир проедет мимо такого ж е, но стоящего «Сапсана»?
Странно ты как-т о задачу реш ил 32. На стороне ВС квадрата ABCD во внешнюю часть построен равносто ронний треугольник ВМ С. Отрезки АС и M D пересекаются в точке О. До каж ите, что ОА = ОМ. А
В
32
33. Три разбойника украли пять алмазов (возможно, разного веса) и реш или разделить их между собой поровну по весу, не распили- Л вая на куски. Они отмерили треть, но осталь ные алмазы нельзя было разделить на две равные части. Д окаж ите, что разбойникам не удастся поделить алмазы , даж е если они смо г у т отмерить треть по-другому.
Рис. 1
Рис. 2
35. В гирлянде п лампочек и п кнопок с номерами. По инструкции, 1-ю кнопку надо соединить с одной лампочкой, 2-ю - с двумя, 3-ю - с тремя, и т. д., но с к ак и ми именно лампочками соединяется к аж дая кнопка, решает пользователь. Сначала все лампочки погаш ены. Н аж атие на любую кнопку меняет состояние всех соединённых с ней лампочек на противоположное (горящие лампочки гас нут, не горящ ие - заж игаю тся). Коля уверен, что можно так соединить кноп М о ж н о э м у задачу к а к -т о п о -д р у г о м у р е ш а т ь ? Т р и часа у ж е ки с лампочками, чтобы, наж ав нужные с э ти м и л а м п о ч к а м и с т о ю ! кнопки, можно было получить любую ком бинацию горящ их и не горящ их лампочек. Петя ж е считает, что любую такую комбина цию можно получить, к ак ни соединяй л ам почки и кнопки -л и ш ь бы по инструкции. а) При к аки х п прав Коля? б) При к аки х п прав Петя?
О 98001
Художник Н иколай Крутиков
А можно В а ш ф л а ж о к ? У н ас для р еш ен и я задач и н е хван лаен л
34. Какое наибольшее количество ф лаж ков, изображённых на рисунке 1, можно раз местить в квадрате а) 8 X8 ; б) 14 х 14? Ф ла ж ок должен располагаться по линиям сетки. Н икакие два ф лаж ка не должны иметь ни одной общей точки. В качестве примера на рисунке 2 показано, к ак в квадрате 3 X 3 можно разместить три ф лаж ка.
/
j [ / * Х /т н \ w \
\
(
w \
ISSN
2227-7986
20003
1 !
zzzn /
i f
'^ jL
U
\ у о Wmd
П еред вами - фрагмент переписанной в XVII веке книги М акси ма Грека (1 4 7 0 -1 5 5 6 ). У знаёте, что это? Современный аналог вы видели много раз. Расш иф руйте запись целиком . В некото рых м естах (например, тут: <V(V 51 и тут: 5 - а . Of) вы зам е тите странные отличия от современного варианта - попробуйте догадаться, в чём тут дело. Авторы Виктор Клепцын, Григорий Мерзон ’оссииская национальная библиотека, отдел рукописен