Математическое знание в трактате Абхидхармакоша by Антон Шевченко

Г. Г. Хмуркин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕ В ТРАКТАТЕ «АБХИДХАРМАКОША» Задачи настоящей работы: а) дать перечень математических идей, наличествующих в сочинении Васубандху «Абхидхармакоша» (IV–V вв. н. э.); b) в отдельных случаях проанализировать соответствующие места санскритского оригинала и дать уточняющие исправления к изданному русскому переводу2; и c) сопоста-

вить математический материал «Абхидхармакоши» с наработанным в Индии к середине I тыс. н. э., а в отдельных случаях указать параллели в буддийских литературных памятниках. Элементы математического знания в Индии прослеживаются уже в культуре Мохенджо-Даро и Хараппы (XXV–XVIII вв. до н. э.). Хотя мы не располагаем соответствующими математическими текстами, но можем – с той или иной степенью уверенности – делать выводы, опираясь исключительно на косвенные свидетельства – археологические находки тех или иных артефактов. По-видимому, там использовалась десятичная система счисления, широкое распространение имели разнообразные единицы веса и длины. В строительстве носители этой культуры должны были решать задачи построения прямого угла, квадрата, окружности, куба, деления отрезка на равные части, вычисления площадей и объемов, хотя мы не знаем, как это делалось. Из относительно содержательных (математически) текстов, составление которых относится к периоду до IV в. н. э., выделим три: 1) сборники «Шульба-сутр» (середина I тыс. до н. э.), примыкающие к ведам. Они значительное внимание уделяют правилам построения алтарей. Здесь, в частности, мы находим древнейшую общую формулировку теоремы Пифагора, точные и приближенные правила построения равновеликих фигур, решение полных и неполных квадратных уравнений; 2) «Ануйогадвара-сутру» (III–V вв. н. э.) – энциклопедию джайнизма, в которой, помимо прочего, содержится материал по комбинаторике, излагается система «счетных», «несчетных» и «бесконечных» чисел; 3) возможно, так называемую «Бахшалийскую рукопись» – арифметический трактат, создание которого, по одной из версий (наиболее «удревняющей» текст), датируется примерно III–IV вв. н. э. Частично достижения древних индийцев могут быть вычленены из текстов нематематического содержания. Здесь налицо использование понятий четного и нечетного числа, простейших арифметических операций, разнообразных способов непозиционного (словесного) обозначения больших чисел, в основании которых лежит число 10. От V в. н. э. и далее вплоть до настоящего времени до нас дошло большое количество индийских сочинений как собственно математического, так и смешанного – отчасти астрономического или астрологического – характера. Причем уже самые ранние из них – такие, например, как «Арьябхатия» знаменитого ученого Арьябхаты (476 – после 498) – демонстрируют владение самым широким тематическим спектром, что свидетельствует о значительном прогрессе анонимной математической традиции предшествовавшей эпохи. Укажем несколько особенностей древней и ранне-средневековой индийской математики: 1) алгоритмический, предписательный характер древней математики (черта, присущая вообще всей математической науке древнего Востока);

2 Васубандху. Абхидхармакоша. Т. I: Разд. I и II / Пер. с санскр., введ., комм. и реконстр. системы Е. П. Островской, В. И. Рудого. М, 1998; Васубандху. Абхидхармакоша. Т. II: Разд. III и IV / Пер. с санскр., введ., комм. и реконстр. системы Е. П. Островской, В. И. Рудого. М.,

2001; Васубандху. Энциклопедия буддийской канонической философии (Абхидхармакоша). Разд. V и VI / Сост., перев., комм., исслед. Е. П. Островской, В. И. Рудого. СПб, 2006.

300

301

2) до определенного момента (но не позже XII в. н. э.) – отсутствие доказательств; 3) наличие определенного «излюбленного круга» разрабатывавшихся тем, как-то: единицы измерения, системы нумераций, арифметика, возведение в степени и извлечение корней, арифметическая и геометрическая прогрессии, комбинаторика (в связи с теорией санскритского стихосложения), линейные уравнения с одной неизвестной, системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени, суммирование числовых рядов, площади и объемы простейших геометрических фигур и тел, теория подобия, теория календаря, сферическая геометрия и тригонометрия (прежде всего в связи с астрономическими запросами). Очерченный круг вопросов нашел частичное отражение в фундаментальном трактате выдающегося индийского философа IV–V вв. н. э. Васубандху «Абхидхармакоша». Сочинение считается одной из доктринально-теоретических вершин хинаяны и абхидхармистской философии – традиции собственно философского жанра буддийской литературы, развивавшегося вокруг «Абхидхармапитаки», третьего корпуса буддийских канонических текстов. Практически сразу сделавшийся неотъемлемым компонентом буддийской университетской учености, труд Васубандху на много веков стал одним из определяющих факторов в становлении мировоззрения буддийских мыслителей в Индии, а затем в Тибете, Китае, Японии. Ниже мы предлагаем краткое изложение выделенных нами математических идей трактата. Единицы длины: атом, мельчайшая частица, металлическая пылинка, водяная пылинка, кончик волоса зайца, кончик волоса овцы, кончик волоса коровы, пылинка в воздухе, видимая в солнечном луче, ликша, юка, ява, фаланга пальца (последовательно в порядке 7-кратного увеличения), палец (=3 фаланги пальца), локоть (hasta) (=24 пальца), лук (=4 локтя), кроша (=500 луков), йоджана (=4 кроши или 8 крош), лакх (=100 000 йоджан) Помимо названных выше, Васубандху упоминает пядь (vitasti) и локоть (vyāma), однако не связывает их с другими единицами своей системы. Словарь Моньера-Вильямса дает для этих терминов следующие переводы: vitasti – единица длины, определяемая либо как «длинная пядь», т. е. расстояние между расставленными большим пальцем и мизинцем, либо как расстояние между запястьем и кончиками пальцев. vyāma – единица длины, соответствующая длине двух вытянутых рук; или «морская сажень» (=6 футов). Основной единицей, упоминаемой в трактате, является йоджана (yojana) – древнеиндийская мера длины, составляющая, по разным источникам, от 1,5 до 19 км. В этой связи интересно отметить, что получаемые, согласно данным Васубандху, размеры атома ( 6, 6 ⋅10−13 − 1,5 ⋅10−11 м), весьма близко подходят

к современным – величинам порядка 10 −10 м.

302

Единицы времени: момент, мгновение (=120 моментов), лава (=60 мгновений), мухурта (=30 лава), сутки (=30 мухурта), лунный месяц (=29,5 суток), месяц (=30 суток), год (=12 месяцев). Кроме того, Васубандху приводит классификацию космических циклов – кальп, хотя и не связывает их с введенными микроединицами: 1) малая, или промежуточная, кальпа, 2) кальпа созидания (=20 малых кальп), 3) кальпа, в течение которой мир пребывает в сотворенном состоянии (=20 малых кальп), 4) кальпа разрушения (=20 малых кальп), 5) кальпа, в течение которой мир пребывает в разрушенном состоянии (=20 малых кальп), 6) великая кальпа (=80 малых кальп), 7) неисчислимая кальпа (соответствует числу 1059; единицы не указаны). Из единиц массы / объема упомянуты только: ваха (vāha) – как поясняют Е. П. Островская и В. И. Рудой, единица массы, имевшая широкое хождение в Магадхе и Косале; согласно же МоньеруВильямсу, мера объема. кхарика (khārīka) – Моньер-Вильямс переводит как «засеянный khāri зерна», указывая, что khāri, или khāra, представляет собою меру сыпучих тел, обычно соответствующую 3 бушелям (т. е. примерно 110 литрам). Трехмерная геометрия буддийского психокосма описывается в III разделе сочинения. Хотя в тексте и содержится упоминание различных размеров и расстояний, все же он не дает информации о каких-либо известных Васубандху математических закономерностях; единственное исключение – правило подсчета длины окружности (см. ниже). На акаше покоится «круг ветра» – цилиндр высотой 1,6 млн. йоджан и «по окружности неизмеримый». Над ним расположен еще один цилиндр диаметром d = 1,2034 млн. йоджан и высотой 1,12 млн. йоджан, разбитый (плоскостью, параллельной основанию) на два цилиндра: нижний – «круг воды» – высотой 0,8 млн. йоджан, и верхний – «круг золота», или «золотая земля», – высотой 0,32 млн. йоджан. В центре верхнего основания «золотой земли» расположена гора Меру, имеющая форму призмы высоты h0, в основании которой лежит ромб со стороной а. Меру окружают семь последовательных концентрических колец горных цепей шириной L1, L2, …, L7 и высотой h1, h2, …, h7 (считая от центра), между которыми плещутся семь «внутренних морей». Первое – омывающее Меру – море представляет собою круг, из которого вырезан ромб со стороной а; остальные шесть морей – суть концентрические кольца. В русском переводе указана последовательность l1, l2, …, l7 ширин этих морей (считая от центра), хотя строго говоря, о ширине первого моря говорить нельзя. В действительности, как мы доказываем ниже, l1 представляет собою диаметр внешнего берега первого «внутреннего моря». За седьмой горной цепью следует «Внешний великий океан», опять же имеющий форму кольца, шириной lвнеш. Завершает комплекс наружная горная цепь шириной Lнаруж.

303

Как было отмечено, Меру имеет форму призмы, в основании которой лежит ромб со стороной а. В этой связи указывается величина 80 000 йоджан, которая, по мнению Васубандху, представляет собою либо периметр основания горы (и тогда а = 20 000 йоджан), либо длину а стороны ромба. Простое рассуждение показывает невозможность – если только не слишком отрывать символику буддийского психокосма от реалий физического мира – последней альтернативы. Действительно, проведем в произвольном ромбе со стороной а диагонали, обозначим их длины через d1 и d2. Применяя к одному из образовавшихся прямоугольных треугольников неравенство треугольника, получим соотношение a < d1 + d 2 , которое, оче2 2 видно, противоречило бы предположению, что обе диагонали d1 , d 2 ≤ a . Таким образом, по крайней мере, одна из диагоналей ромба строго больше его стороны. В следующем разделе мы покажем, что величина l1 = 80 000 йоджан есть диаметр внешнего берега моря, омывающего Меру. Значит, диагонали ромба, лежащего в основании горы, заведомо не должны превосходить l1 = 80 000 йоджан, что, ввиду полученного соотношения на стороны и диагонали ромба, с необходимостью исключает случай а = 80 000 йоджан. Длина окружности. Несколько фрагментов указывают на то, что автору было известно правило подсчета длины окружности l = π d (d – диаметр окружности), в которой принималось π ≈ 3 . Так, при подсчете «охвата» (одинаковых в диаметре) кругов воды и золота Васубандху прямо указывает на то, что они в три раза больше диаметра (III. 47–48); в другом месте приводится длина берега круглого континента Годания и его диаметр, причем первое значение в 3 раза превосходит второе (III. 55). В одном из фрагментов (III. 51–52) содержится выкладка, на первый взгляд нарушающая эту закономерность. Следуя русскому переводу, l1 – ширина некоего условного морского «кольца», расположенного между Меру и первой горной грядой Югандхарой. Если через RМЕРУ обозначить радиус (опять же условный) горы, то вычисление Васубандху, по сути, сводится к ошибочной подстановке в формулу l = π d вместо диаметра d = 2 ⋅ ( RМЕРУ + l1 ) величины l1. На наш взгляд, указанное несоответствие вызвано неточностью русского перевода. Соответствующее место санскритского текста: sumeruyugandharāntara§ prathamā śītā || aśītiryojanasahasrāхi vaipulyena, т. е. «Между Сумеру и Югандхарой – первая “прохладная”, 80 тысяч йоджан шириной». Словарь Моньера-Вильямса для слова vaipulya предлагает значения largeness (большие размеры, объемность), spaciousness (вместительность, емкость), breadth (ширина), thickness (толщина). Таким образом, противоречие легко снимается, если считать, что 80 000 йоджан – не ширина морского «кольца» (условно), опоясывающего Меру, а диаметр окружности, являющейся внешней границей этого моря. Заметим, что соотношение l ≈ 3d было известно за много столетий до Васубандху, например, авторам «Шульба-сутр». Фактически, в таких источниках

принимается значение π ≈ 3 . Однако «Шульба-сутры» дают и другие, чуть более точные приближения π, к примеру: π ≈ 18 ⋅ (3 − 2 2) = 3, 088... 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ − ⋅⎜ − ⎟ = 3, 088... 8 8 ⋅ 29 8 ⋅ 29 ⎝ 6 6 ⋅ 8 ⎠ ⎥⎦

⎣

Ко времени жизни Васубандху восходит анонимный астрономический трактат «Сурья-сиддханта», в котором мы находим π ≈ 3,06 и 3,08, а уже в 499 г. н. э. упоминавшийся выше Арьябхата знал приближение π ≈ 62832 = 3,1416 , 20000 дающее ошибку лишь в 4-ом знаке после запятой. Таким образом, сведения, извлеченные из текста «Абхидхармакоши», в данном случае не несут на себе печать какой-либо новизны. Прогрессии. Приступающие к изучению письменной традиции буддизма всегда обращают внимание на характерную особенность этих текстов – числовой схематизм. Многие доктринальные положения, этические установки, регламентирующие жизнь последователя Будды, информация, относящаяся к йогической практике, и пр. «уложены» в весьма стройные цепочки (так называемые матрики), в основании которых лежат числа или последовательности чисел. В подобных текстах особую роль играют числовые последовательности, богатые символическим содержанием, – как правило, это ряды, составленные из чисел, кратных 3 и 4, представляющим собою количественные показатели высших ценностей Учения, образы динамической и статической целостности мира1. Среди множества числовых последовательностей, встречающихся в «Абхидхармакоше», выдающееся место занимают прогрессии. Таблица 1 Некоторые арифметические прогрессии из «Абхидхармакоши» Первый член

304

⎡

π ≈ 4 ⋅ ⎢1 − +

Разность

Кол-во членов

0,25

20 000

75 000

1000

Что обозначают Рост (в крошах) обитателей чувственного мира в различных божественных местопребываниях Продолжительность (в кальпах) жизни обитателей мира не-форм Количество будд, которым выказывает свое почтение Бхагаван в 1-й, 2-й и 3-й неисчислимых кальпах Количество актуализирующихся состояний сознания при различных типах практики смешения состояний сознания

Елизаренкова Т. Я., Топоров В. Н. Язык пали. М, 2003 (2-е изд.). С. 179. 305

Таблица 2 Некоторые геометрические прогрессии из «Абхидхармакоши» Первый член

Знаменатель

Кол-во членов

h0 = 80 000

0, 5

L1 = 40 000

0,5

l1 = 80 000

0,5

125

Что обозначают Высота (в йоджанах) Меру (h0) и окружающих ее горных цепей (h1, h2 и т.д.) Ширина (в йоджанах) горных цепей Диаметр (в йоджанах) внешнего берега моря между меру и первой горной цепью (l1) и ширины морей между горными цепями (l2, l3 и т. д.) Рост (в йоджанах) богов начиная с класса Безоблачных

Счет на абаке. Одним из центральных понятий буддизма является дхарма – чрезвычайно трудный для понимания термин, которым обозначается (в первом приближении) «неделимый элемент нашего психофизического опыта, или элементарное психофизическое состояние»1. В (V. 25–26) упоминаются четыре так называемые теории реального существования всех дхарм, из которых посредством критического анализа Васубандху как «лучшую» отбирает третью – отстаиваемую Бхадантой Васумитрой. Пересказ взглядов этого мыслителя – согласно которому «…дхарма, функционирующая в разных временных модусах, обретая то или иное состояние, обозначается то тем, то другим [названием] вследствие изменения состояния, но не субстанционального изменения» – содержит любопытное сравнение со счетной доской: «Это подобно тому, как шарик (костяшка) [абакуса], передвинутый в позицию единиц, называется единицей, в позицию сотен – сотней, в позицию тысяч – тысячью». Как замечает Д. С. Руегг, цитируемый Бхаданта Васумитра с некоторой долей вероятности может быть отождествлен с выдающимся современником царя Канишки (II в. н. э.). В этом случае цитата, приводимая Васубандху, представляет собою одно из наиболее ранних из дошедших до нас упоминаний позиционной системы счисления2. Названия для больших степеней числа 10 встречаются у индийцев в самые отдаленные времена. «В те дни, когда у греков не было обозначений для чисел выше мириада (104), а у римлян – выше милле (103), – отмечают Б. Датта и А. Н. Сингх, – древние индийцы свободно оперировали не менее чем восемнадцатью наименованиями»3. Весьма любопытен в этом отношении пассаж (III.

Торчинов Е. А. Введение в буддизм. СПб, 2005. С. 45. Ruegg D. S. Mathematical and Linguistic Models in Indian Thought: The Case of Zero and śūnyatā // Wiener Zeitschrift für die Kunde Südasiens (1978). 22. P. 173. 3 Datta B., Singh A. N. History of Hindu Mathematics. Bombay, etc. 1962. P. 9. Утверждение, справедливое лишь до определенной степени, ибо тот же Архимед в III в. до н. э. владел способом обозначения сколь угодно больших натуральных чисел (см. его «Псаммит»), существенно отличавшимся, правда, от индийских систем, устанавливающих для каждой (или с определен2

306

94), в котором Васубандху пытается раскрыть смысл термина «неисчислимый» (asa§khya). В переводе Е. П. Островской и В. И. Рудого интересующее нас место выглядит следующим образом: « – Единица сама по себе – первая позиция; десять раз по единице – вторая позиция; десять раз по десять – сто, или третья позиция; десять раз по сто – тысяча, или четвертая позиция; десять раз по тысяче – десять тысяч, или прабхеда; десять раз по прабхеде – один лакша, или сто тысяч; десять раз по лакше – атилакша, или один миллион; десять раз по атилакше – коти, или десять миллионов, и т. д., [кончая десятью в шестидесятой степени, или неисчислимым]. Восемь чисел из середины [списка] были забыты. Кальпы, соответствующие числу, полученному в шестидесятой позиции, называются неисчислимыми». Перечисление возрастающих степеней десяти, как видим, заканчивается фразой «и т. д.». В санскритском же тексте вместо этой фразы и дальнейшего комментария в квадратных скобках стоит длинный список наименований (с сохранением модели «десять раз по X – [дает] Y»): madhya, ayuta, mahāyuta, niyuta, mahāniyuta, prayuta, mahāprayuta, kaпkara, mahākaпkara, visvara, mahāvisvara, akщobhya, mahākщobhya, vivāha, mahāvivāha, utsaпga, mahotsaпga, vāhana, mahāvāhana, tiсibha, mahātiсibha, hetu, mahāhetu, karabha, mahākarabha, indra, mahendra, samāpta, mahāsamāpta, gati, mahāgati, nimbaraja, mahānimbaraja, mudrā, mahāmudrā, bala, mahābala, sa§jñā, mahāsa§jñā, vibhūta, mahāvibhūta, balākщa, mahābalākщa, asa§khya. Замечание 1. Считая единицу первой в списке наименований, несложно видеть, что mahābalākщa имеет порядковый номер 51. С учетом того, что в перечне, по заявлению Васубандху, отсутствуют 8 чисел, получаем, что в «полной» версии должно быть 51 + 8 = 59 чисел (без учета последнего, соответствующего asa§khya – «неисчислимому»). Таким образом, asa§khya должно быть 60-м по счету и, следовательно, отвечать числу 1059, а не 1060, как утверждают Е. П. Островская и В. И. Рудой. Этот же вывод напрашивается и при чтении наличествующего перевода. Действительно, «число в n-ой позиции» / «n-ая позиция» для Васубандху – суть 10n−1 , и поскольку «неисчислимыми» называются «кальпы, соответствующие числу, полученному в шестидесятой позиции», то неисчислимой кальпе индийский философ сопоставляет именно 1059, – число, требующее для своей записи в точности 60 десятичных разрядов, которые как раз и подразумеваются, по-видимому, под словом sthāna (санскр. «позиция, расположение и пр.»). Замечание 2. Сравнение номенклатуры «Абхидхармакоши» со списками других памятников обнаруживает высокую степень сходства терминологии Васубандху с ранней махаянской сутрой «Лалитавистара» (не позже III в. н. э.). В этой сутре математик Арджуна вопрошает Будду, может ли тот считать далее числá koсi (107) в сотенной шкале, т. е. образуя каждое последующее наименованым шагом) степени числа 10 отдельное название. См.: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: В 3 т. / Под ред. А. П. Юшкевича. Т. I. М., 1970. С. 128. 307

ние для степени десяти с показателем, на 2 большим, чем у предыдущего. В ответ Арджуне даются санскритские названия для чисел 10n при n = 9, 11, 13, …, 53. Приводим пары похожих названий в «Лалитавистаре» (в скобках – соответствующее число) / в «Абхидхармакоше» (в скобках – порядковый номер наименования): koсi (107) / kauсi (№ 8), ayuta (109) / ayuta (№ 10), niyuta (1011) / niyuta (№ 12), ka#kara (1013) / kaпkara (№ 16), vivara (1015) / visvara (№ 18), kщobhya (1017) / akщobhya (№ 20), vivāha (1019) / vivāha (№ 22), utsaпga (1021) / utsaпga (№ 24), tiсilambha (1027) / tiсibha (№ 28), hetuhila (1031) / hetu (№ 30), karahu (1033) / karabha (№ 32), hetvindriya (1035) / indra (№ 34), samāptalambha (1037) / samāpta (№ 36), gaхanāgati (1039) / gati (№ 38), mudrā-bala (1043) / mudrā (№ 42), sarva-bala (1045) / bala (№ 44), visa#j$ā-gati (1047) / sa#j$ā (№ 46), vibhâta#gamā (1051) / vibhūta (№ 48). Наблюдения: 1) обращение к словарному запасу языка в поисках нового термина в обоих списках происходит для каждой второй степени десятки; 2) списки похожих названий идут в текстах почти параллельно и лишь изредка «нарушаются» дополнительными, несовпадающими терминами; 3) длины списков практически одинаковы: «Лалитавистара» останавливается на 1053, «Абхидхармакоша» же – если твердо следовать предлагаемой буддийским автором процедуре получения степеней – формально заканчивает числом 1051 («десять раз по махабалакше»); 4) Васубандху указывает на неполноту приводимого списка – так, он словно пересказывает устоявшуюся терминологию, не «дотягивающую» до 1059. Напрашивается вывод: в определенных буддийских кругах – к которым примыкали как Васубандху, так и автор(ы) сутры – имела хождение традиция словесного обозначения чисел, которая неизбежно, от текста к тексту, в той или иной степени могла трансформироваться. Если это так, то «забытые» восемь членов, скорее всего, должны располагаться в конце списка – между vibhūta и asa§khya. Комбинаторика. Как и большинство буддийских текстов, отражающих доктринально-теоретическую составляющую Учения, «Абхидхармакоша» преследует, в частности, классификационные задачи. В отдельных случаях такие классификации влекут за собою обращение к простейшим комбинаторным закономерностям. Примером такого рода может служить выдержка (VI. 63), в которой подсчитывается количество типов «тех, кто следует путем веры». В ней Васубандху недвусмысленно высказывается о наличии общего комбинаторного приема для подсчета групп в подобного рода моделях. Надо полагать, вычисления производились в соответствии со следующим правилом: «Пусть X – некоторое множество, элементы которого бывают n1 типов, каждый из этих типов в свою очередь подразделяется на n2 подтипов, а каждый из этих n2 подтипов – на n3 подподтипов и т. д.,

«под») разбивается на nk групп. Тогда количество различных групп в множестве

X равно n1 ⋅ n2 ⋅ n3 ⋅K ⋅ n k −1 ». *** Итак, настоящая работа в первом приближении дает представление об уровне математической культуры одного из наиболее ярких представителей буддийской интеллектуальной элиты индийского раннего Средневековья – Васубандху (IV–V вв. н. э.). Можно с уверенностью утверждать, что математический материал, задействованный в «Абхидхармакоше», является вполне традиционным для середины I тыс. н. э. и в целом не привносит в наши знания об индийской математике той эпохи никаких существенно новых фактов. В дополнение к имеющимся комментариям к русскому переводу первых шести разделов сочинения нами, во-первых, сделаны выводы о знакомстве буддийского мыслителя с приближенной формулой для длины окружности (этот факт позволил нам уточнить имеющийся русский перевод трактата); во-вторых, указана связь между системами словесного обозначения степеней числа 10 в «Абхидхармакоше» и в ранней махаянской сутре «Лалитавистара» (анализ санскритского текста в этой части трактата выявил неточность русского перевода); в-третьих, рассмотрен один из фрагментов сочинения, свидетельствующих о владении Васубандху простейшими комбинаторными правилами.

заканчивая тем, что каждый из nk −1 под-под-…-подтипов ( (k − 2) раза приставка

308

309