Ma520 p1 gabarito

Solução da primeira prova de MA520 - Primeiro semestre de 2012 1.

(a) [10 pontos] Defina geometria (de incidência) e enuncie o postulado das paralelas. (b) [10 pontos] Defina círculo, ângulo e arco de círculo.

2. Considere a geometria discreta G = (P, R), com pontos P = {A, B, C, D} e cujas retas são todos os subconjuntos com dois pontos. (a) [15 pontos] Verifique que G satisfaz os três postulados de incidência.

(b) [5 pontos] Verifique que G satisfaz o postulado das paralelas.

3. [20 pontos] Demonstre o Teorema de Pasch: se uma reta intercepta um lado do triângulo e não intercepta nenhum de seus vértices, então ela intercepta também um dos outros dois lados.

4. Considere as seguintes definições de interior de um ângulo: (i)

‘ int A OB =

S

A0 ∈[OA) B0 ∈[OB)

[A0 B0 ]

e

(ii)

‘ int A OB =

S

[OC).

C∈[AB]

(a) [5 pontos] Faça uma figura ilustrando cada definição. (b) [15 pontos] Mostre que (i) e (ii) são equivalentes.

Dica: defina conjuntos Xi e Xii a priori distintos para cada uma e mostre que Xi = Xii .

5. Seja K um corpo. (a) [5 pontos] Supondo que K é ordenado, mostre que o quadrado x2 de qualquer elemento x , 0 é positivo. (b) [5 pontos] Nas condições do item (a), prove que o elemento neutro da multiplicação 1 é positivo. (c) [5 pontos] Conclua que, se (−1) = x2 para algum x ∈ K, então K não pode ser ordenado. (d) [5 pontos] Dê um exemplo de corpo não ordenado.

6. Seja G uma geometria ordenada que satisfaz o Postulado da régua. (a) Defina a relação de ordem A _ B _ C para pontos de um círculo em G. (b) Mostre que esta definição satisfaz os dois primeiros axiomas de ordem (unicidade da ordem e existência de pontos “dentro e fora” de um arco).

1.

(a) Uma geometria (de incidência) é um par G = (P, R) em que P é um conjunto, cujos elementos são denominados pontos, e R é uma família de subconjuntos de P, denominados retas, satisfazendo os seguintes axiomas: (I1) Dados A, B ∈ P, A , B, existe ` ∈ R tal que A, B ∈ `.

(I2) Dada ` ∈ R, existem no mínimo dois pontos A , B tais que A, B ∈ `.

(I3) Existem no mínimo 3 pontos distintos não-colineares (não contidos em uma mesma reta).

Ademais, pode-se acrescentar o axioma das paralelas a uma geometria de incidência: (P) Dados ` ∈ R e A , `, existe uma única reta `0 tal que A ∈ `0 e ` ∩ `0 = ∅.

(b) Na vigência do postulado da régua, tem-se: Circulo: Dados um ponto O e r ∈ R, o círculo de centro O e raio r é o conjunto: CO,r = {A ∈ P | m[OA] = r} . ‘ é o par de semi-retas com origem em O: Ângulo: Sejam A, B, O pontos distintos; então o ângulo AOB ‘ = ([OA), [OB)) .

AOB Arco de circulo: Dados A, B ∈ CO,r , o arco de círculo determinado por A e B é o conjunto: [

‘ ‘ = ˆ A0 B0 . com int AOB AB = CO,r ∩ int AOB A0 ∈[OA) B0 ∈[OB)

2. Verificamos os postulados da questão 1(a) para R = {{A, B}, {A, C}, . . . , {C, D}}: (a) (I1) Pontos distintos P1 , P2 ∈ P definem unicamente a reta {P1 , P2 } ∈ R. (I2) Toda reta ` ∈ R é da forma ` = {P1 , P2 }, com P1 , P2 ∈ P distintos, logo P1 , P2 ∈ `.

(I3) Válido por vacuidade, pois não há retas com 3 pontos. (b) (P) Dada a reta ` = {P1 , P2 }, o seu conjunto complementar P \ ` = {P3 , P4 } = `0 ∈ R é também uma reta e, por definição do complemento, ` ∩ `0 = ∅, isto é ` k `0 . Dado um ponto P < `, necessariamente P = P3 ou P = P4 , ou seja P ∈ `0 .

3. Sejam ABC um triângulo e r ∈ R tal que A, B, C < r e r ∩ [AB] , ∅. Então A e B estarão em semiplanos ΠA e ΠB (resp.) opostos em relação a r. Como C < r, o terceiro axioma de ordem (O3) garante que C pertence a ΠA ou a ΠB . Suponhamos (s.p.d.g.) que C ∈ ΠB ; então A e C estão em semiplanos opostos, logo o segmento [AC] intercepta a fronteira e [AC] ∩ r , ∅. Analogamente, se C ∈ ΠA , obtemos [AC] ∩ r , ∅.

1

4. Definindo X1 =

S

A0 ∈[OA) 0

S

[A0 B0 ] e X2 =

[OC), vamos mostrar que X1 = X2 .

C∈[AB]

B ∈[OB)

(⊂) Seja P ∈ X1 um ponto arbitrário, tal que P ∈ [A0 B0 ] para fixos A0 ∈ [OA) e B0 ∈ [OB). Devemos mostrar que P ∈ X2 , ou seja, que existe um ponto C ∈ [AB] tal que P ∈ [OC). Denotando ` = (OP), tem-se por hipótese que A0 e B0 estão em semi-planos distintos com respeito a `, pois A0 − P − B0 ; chamemos estes semi-planos resp. ΠA0 e ΠB0 .

Afirmo que A ∈ ΠA0 : como A, A0 ∈ [OA), o primeiro axioma de ordem (O1) implica que só pode ocorrer O − A − A0

ou O − A0 − A.

Em ambos os casos, [AA0 ] = O = [OA) ∩ `, logo A ∈ ΠA0 .

Analogamente, B ∈ ΠB0 . Como ΠA0 , ΠB0 , tem-se que ` separa A e B; seja então C = [AB] ∩ `.

(⊃) Seja agora P ∈ [OC) ⊂ X2 , para algum ponto C ∈ [AB]; devemos mostrar que P ∈ X1 , ou seja, que existem A0 ∈ [OA) e B0 ∈ [OB) tais que P ∈ [A0 B0 ].

Seja `0 a (única) paralela a (AB) pelo ponto P, garantida pelo postulado (P). Como o paralelismo é uma relação de equivalência, `0 também intercepta as retas (OA) e (OB); sejam então A0 = `0 ∩ (OA)

e

B0 = `0 ∩ (OB).

Por fim, verificamos que A0 ∈ [OA) e B0 ∈ [OB) considerando a reta `00 paralela a ` (e `0 ) pelo vértice O. Como `0 k `00 , temos que A0 , B0 , P ∈ `0 estão no mesmo semi-plano relativamente a `00 , que por sua vez é o mesmo semi-plano de A, B, C ∈ (AB). Isto conclui a prova.

5. Relembre os axiomas de ordem total: (OT1) a > b e c ≥ d ⇒ a + c ≥ b + d.

(OT2) a > b e c ≥ 0 ⇒ a.c ≥ b.c.

(a) Vamos precisar dos seguintes resultados preliminares: Lema 1. x < 0 ⇒ −x > 0.

Demonstração. Aplicando (OT1) e a propriedade do inverso aditivo, temos: x < 0 = x + (−x)

⇒

⇒

(−x) + x < (−x) + x + (−x) 0 < 0 + (−x) = −x.

Lema 2. (−1)2 = 1.

Demonstração. Aplicando (OT2) e a distributividade, para algum a , 0, temos: ⇒ ⇒

(−1)2 .a + (−a) = (−1).(−a) + (−1).a = (−1)((−a) + a) = (−1).0 = 0 (−1)2 .a = a (−1)2 = 1.

Aplicando (OT2), se valer x > 0 então x2 = x.x > 0. Por outro lado, se x < 0, então, pelo Lema 1, tem-se −x > 0, logo (−x)2 > 0. Entretanto, por comutatividade e o Lema 2, tem-se (−x)2 = (−x).(−x) = (−1)2 .x2 = x2 e portanto também nesse caso x2 > 0. (b) Por definição do elemento neutro, 1 = 1.1 = 12 e o item (a) implica que 1 > 0. (c) Do item (b) temos que 1 > 0, donde (−1) < 0 pelo Lema 1. Se (−1) = x2 for o quadrado de algum x ∈ K, então x2 < 0 e estaremos em violação de (a). Portanto, tal não pode ocorrer em um corpo ordenado. (d) O corpo C dos complexos admite um elemento i ∈ C tal que i2 = −1, logo, pelo item (c), o corpo C não é ordenado.

6.

(a) Dados A, B, C pontos de um círculo C, definimos A _ C _ B ⇔ C ∈ ˆ AB

[cf. questão 1(b)].

(b) Seja O o centro do círculo e r o raio; a partir da definição de interior de um ângulo (vide questão 4, definição (ii)), ‘ Pelo postulado da régua, temos que a cada ponto C tal que A − C − B corresponde uma semi-reta [OC) ⊂ int AOB. 0 0 0 existe um ponto C ∈ [OC) tal que m[OC ] = r, logo C ∈ CO,r . Inversamente, se começarmos com A _ C 0 _ B, a semi-reta [OC) corta o intervalo [AB] em um único ponto C. Assim, temos uma correspondência biunívoca: A _ C0 _ B ⇔

A − C − B.

A _ B _ D0

A − B − D.

AB e D ∈ (AB) “fora” de [AB], obtemos: Analogamente, considerando pontos D0 ∈ CO,r “fora” de ˆ ⇔

Assim, os axiomas de ordem (O1) e (O2) para segmentos induzem as propriedades análogas para arcos.

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