Ma520 p2 gabarito

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P

2a prova de Geometria Plana — MA-520 16 de maio de 2012 Turma:

NOME:

RA:

.

Responda a cinco das quest˜ oes abaixo e marque aquela que excluir com × no quadro acima.

Toda solu¸ca˜o deve ser justificada.

1. (a) [10 pontos] Enuncie os casos de congruˆencia LAL e ALA. (b) [10 pontos] Enuncie as propriedades de “transporte de segmentos” e “transporte de ˆ angulos” da geometria plana.

2. [20 pontos] Prove que a congruˆencia LLL implica LAL. 3. [20 pontos] Enuncie e demonstre o teorema do ˆ angulo externo.

4. (a) [10 pontos] Mostre que a soma das medidas de quaisquer dois ˆ angulos de um triˆ angulo ´e inferior a 180o . (b) [10 pontos] Mostre que se `1 ⊥ r e `2 ⊥ r, ent˜ao `1 k `2 .

5. Seja P um ponto interior do triˆ angulo ABC; (a) [8 pontos] Mostre que [CP ) ∩ [AB] 6= ∅. ˆ (b) [12 pontos] Mostre que B Pˆ C > B AC. \ NB.: Vocˆe pode assumir, sem demonstrar, que int ABC ⊂ int ACB. 6. Considere uma reta ` e pontos A, B ∈ / `; (a) [15 pontos] Construa P0 ∈ ` que minimize o comprimento do “caminho passando por `”: k

:

` P

→ 7 →

R k(P ) = AP + P B.

(b) [5 pontos] Proponha um contra-exemplo (ou seja, um arranjo de pontos A, B, P0 e P ), mos\ ao ´e necessariamente m´ aximo para P ∈ `. trando que o aˆngulo AP 0 B do item (a) n˜ NB.: Em outras palavras, a solu¸c˜ ao do Problema de Heron n˜ ao ´e necessariamente solu¸c˜ ao do Problema do Cinema.

Nota¸ c˜ ao : • [AB] ´e o segmento fechado determinado por A e B, e AB = m[AB] ´e a medida de [AB].

• [AB) ´e a semi-reta por B com origem em A; o mesmo que SAB .

1. (a) Dados dois triˆ angulos ABC e DEF . Dizemos que eles s˜ao congruentes pelo caso LAL se eles possuem dois lados e o aˆngulo compreendido entre esses lados ambos congruntes.

Ainda nos referindo aos triˆ angulos acima, dizemos que eles s˜ao congruentes pelo caso ALA, se eles possuem um lado congruente e possuem tamb´em congruentes os dois angulos internos formados por este lado. (b) Dado um segmento qualquer [AB]. O transporte do segmento [AB] consiste na constru¸c˜ao de uma semirreta [OX), e em tal, construir um ponto P , tal que OP = AB. ˆ Dado um aˆngulo qualquer ABC. O transporte de tal ˆ angulo se d´ a ao construirmos duas ˆ . semirretas, [OX) e [OY ), tal que mAˆbB = mX OY ˆ e AC = DF . No mesmo 2. Considere os triˆ angulos ABC e DEF tais que AB = DE, Aˆ ∼ D semiplano determinado por [DE] onde se encontra F , determine G tal que DF = DG e que BC = EG. Basta usar interse¸ca˜o de arcos. Pelo caso LLL, sabemos que 4ABC ∼ 4DEG. Dai ˆ ˆ logo E DG ˆ = D. ˆ Ent˜ Aˆ = E DG,e por hip´ otese temos ainda que Aˆ = D, ao F e G devem ser o mesmo ponto por unicidade da medida de ˆ angulo. Logo os triˆ angulos s˜ ao congruentes. ˆ 3. Teorema do Angulo Externo: Um ˆ angulo externo de um triˆ angulo ´e maior que qualquer dos seus ˆangulos internos n˜ ao adjacentes.

Seja ABC um triˆ angulo qualquer.

ˆ \ > Aˆ e que ACD \ > B. Seja D um ponto tal que C est´ a entre B e D; vamos mostrar que ACD Seja E o ponto m´edio de [AC] e seja F o ponto da semirreta oposta a [EB) tal que EF = EB. \.

Temos que 4BEA ∼ 4F EC por LAL (verifique). Portanto Aˆ ∼ ECF ˆ Disso, e verificando que o ponto F ´e ponto interior do ˆangulo ACD, usando tamb´em o postulado ˆ ˆ e F CD, ˆ ˆ \ > B. da adi¸c˜ ao de aˆngulos aplicados aos aˆngulos ACD, ACF obtemos ACD ˆ \ Analogamente vˆe-se que ACD > B. 4. (a) Observe a figura a seguir.

ˆ No entanto cˆ + Cˆ = 180. Adicionando-se Pelo teorema do aˆngulo externo sabemos que ˆb < C.

cˆ na primeira equa¸c˜ao temos:

ˆb + cˆ < Cˆ + cˆ = 180

Assim ˆb + cˆ < 180. Analogamente vemos que ˆa + cˆ < 180 e que a ˆ + ˆb < 180. (b) Suponha que `1 n˜ ao seja comum, digamos P .

T paralela aT`2 . Logo elas possuem um ponto em ˆ = 90 e R ˆ = 90. Logo Considere tamb´em `1 r = R e `2 r = Q. Dai temos o 4P QR onde Q a soma dos dois ˆ angulos internos ´e exatamente igual a 180. Absurdo pois viola o resultado do item (a) acima.

5. Observe a figura:

(a) Veja Teorema de Crossbar. \> (b) Seja E = [BP ) ∩ [AC]. Usando o teorema do ˆ angulo externo no 4ABE sabemos que CEB \ \ BAC. Novamente utilizando o teorema do ˆ angulo externo no 4CEP sabemos que CP B > \. Das duas conclus˜ CEP oes tiramos facilmente o resultado.

T 6. (a) Considere primeiramente A e B em lados opostos em rela¸c˜ ao a `. Assim P0 = [AB] `.

Suponha agora que os pontos se encontram em lados c˜ao a `. Considere r a T opostos em rela¸ 0 ∈ r tal que OA = OA0 . reta passando por A e perpendicular a `.

Seja O = r `.

Cansidere A T Afirmamos que P0 = [A0 B] `. Tal afirma¸c˜ao se baseia no seguinte: pelo caso LAL, sabemos que 4AOP0 ∼ 4A0 OP0 , assim AP0 = A0 P0 (*). Como d(A, B) = AP0 + P0 B podemos analisar a distancia AP0 com auxilio de A0 . Suponha que P0 n˜ ao seja como descrito acima.

Suponha que seja um outro ponto P ∈ ` qualquer. Dai temos o 4A0 P B. Pela desigualdade triangular sabemos que A0 P + P B > A0 B. Por (*), AP + P B > A0 B, ou seja, a distancia que encontramos n˜ ao ´e a m´ınima.