Introducción a las Matemáticas

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS (PARTE – I)

2010 ANTONIO ROS MORENO

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

“Cuando puedes medir aquello de lo que hablas, y expresarlo con números, sabes algo acerca de ello; pero cuando no lo puedes medir, cuando no lo puedes expresar con números, tu conocimiento es pobre e insatisfactorio: puede ser el principio del conocimiento, pero apenas has avanzado en tus pensamientos a la etapa de ciencia.” William Thomson Kelvin (1824-1907) Matemático y físico escocés.

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INDICE: 1.- CONJUNTOS 1.1.- Generalidades 1.2.- Noción de conjunto 1.3.- Operaciones con conjuntos 2.- CORRESPONDENCIAS 2.1.- Noción de correspondencia 2.2.- Correspondencia inversa 2.3.- Clasificación de las correspondencias 2.4.- Aplicaciones 2.5.- Relaciones binarias 2.6.- Relación de equivalencia 2.7.- Relación de orden 3.- ESTRUTURAS ALGEBRAICAS 3.1.- Generalidades 3.2.- Operaciones 3.3.- Leyes de composición 3.4.- Concepto de estructura algebraica 4.- NÚMERO NATURAL 4.1.- Concepto de número natural 4.2.- Estructura del conjunto de los números naturales 4.3.- Sistemas de numeración 5.- NÚMERO ENTERO 5.1.- Generalidades 5.2.- Operaciones N → N 5.3.- Pares ordenados y números enteros 5.4.- Estructura del conjunto de los números enteros 5.5.- Inmersión del conjunto N en el conjunto Z 5.6.- Divisibilidad 6.- NÚMERO RACIONAL 6.1.- Generalidades 6.2.- Concepto de número racional 2

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6.3.- Estructura del conjunto Q 6.4.- Inmersión del conjunto Z en el conjunto Q 6.5.- Números decimales 6.6.- Fracciones generatrices 7.- RADICACIÓN 7.1.- Generalidades 7.2.- Potencias de exponente racional 7.3.- Operaciones con radicales 7.4.- Racionalización 7.5.- Simplificación de radicales 7.6.- Cálculo de la raíz cuadrada de un número 8.- NÚMERO REAL 8.1.- Generalidades 8.2.- Concepto de número real 8.3.- Estructura del conjunto de los números reales 8.4.- Inversión del conjunto Q de los números racionales en el conjunto R de los números reales 9.- LOGARITMIZACIÓN 9.1.- Generalidades 9.2.- Propiedades de los logaritmos 9.3.- Logaritmos decimales 9.4.- Antilogaritmo 9.5.- Cologaritmo 9.6.- Logaritmos neperianos 9.7.- Cálculo logarítmico 9.8.- Ecuaciones logarítmicas 9.9.- Ecuaciones exponenciales 10.- PROGRESIONES 10.1.- Progresiones aritméticas 10.2.- Progresiones geométricas 10.3.- Progresiones ilimitadas 10.4.- Problemas de aplicación

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1. CONJUNTOS 1.1. Generalidades Conjunto: •

concepto primario

•

no puede definirse

•

base de las Matemáticas: -

construcción de los números estudiar las estructuras algebraicas

1.2. Noción de conjunto Un conjunto es una colección de objetos bien determinados y diferenciados.

1.2.1. Nomenclatura Nombrar a los conjuntos: -

Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto. {Lunes, martes, miércoles, jueves, sábado, domingo}

-

Por compresión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. {Días de la semana} ó {x/x es un día de la semana}

Pertenencia de un elemento a un conjunto: -

Pertenece ∈ No pertenece ∉

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1.2.2. Conjunto vacio Se denomina asĂ­ al conjunto que no tiene ningĂşn elemento. {} Ăł Ă˜

1.2.3. Conjunto unitario Es el conjunto que tiene un solo elemento.

1.2.4. Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todo elemento del primero es un elemento del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

1.2.5. Conjuntos disjuntos Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningĂşn elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

1.2.6. InclusiĂłn de conjuntos Se dice que un conjunto M estĂĄ incluido o contenido en otro conjunto A si todo elemento del conjunto M pertenece al conjunto A. đ?‘€âŠ‚đ??´ M es subconjunto de A, Ăł bien: M es una parte de A. No inclusiĂłn đ??ľâŠ„đ??´ B no estĂĄ incluido en A. TambiĂŠn suelen emplearse las expresiones: đ??´ ⊃ đ?‘€ y đ??´ ⊅ đ??ľ (A contiene a M y A no contiene a B)

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Propiedades: 1.- Reflexiva: Todo conjunto estĂĄ incluido en sĂ­ mismo. ∀đ??´â‡’đ??´âŠ‚đ??´ 2.- AntisimĂŠtrica: Dados dos conjuntos diferentes A y B, si A estĂĄ incluido en B, B no puede estar incluido en A. đ?‘†đ?‘– đ??´ ≠đ??ľ đ?‘Ś đ??´ ⊂ đ??ľ ⇒ đ??ľ ⊄ đ??´ 3.- Transitiva: Si un conjunto A estĂĄ incluido en otro conjunto B y a su vez B estĂĄ incluido en C, A estĂĄ incluido en C. đ?‘†đ?‘– đ??´ ⊂ đ??ľ đ?‘Ś đ??ľ ⊂ đ??ś ⇒ đ??´ ⊂ đ??ś

1.2.7. Conjunto de las partes de un conjunto Se llama asĂ­ al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado, y se representa por Ď (A). đ??´ = đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?

∅, đ?‘€ = đ?‘Ž , đ?‘ = đ?‘? , đ?‘ƒ = đ?‘? , đ?‘„ = đ?‘Ž, đ?‘? , đ?‘… = đ?‘Ž, đ?‘? , đ?‘† = đ?‘?, đ?‘? , đ??´ = đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?

đ?œŒ đ??´ = ∅, đ?‘€, đ?‘ , đ?‘ƒ, đ?‘„, đ?‘…, đ?‘†, đ??´

1.2.8. RepresentaciĂłn de conjuntos 1.- Diagrama lineal: Se sitĂşa sobre una recta un punto por cada elemento del conjunto.

(A) a

b

c

d

e

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2.- Diagrama de Venn: Se sitĂşan dentro de una lĂ­nea cerrada los signos representativos de los elementos del conjunto. (A)

a b c d e

1.3. Operaciones con conjuntos 1.3.1. UniĂłn de conjuntos Se llama uniĂłn de dos conjuntos A y B, y se representa por A âˆŞ B, al nuevo conjunto que tiene por elementos a todos los elementos de A y de B. Si tienen algĂşn elemento en comĂşn A y b, dicho elemento entrarĂĄ a formar parte del conjunto uniĂłn una sola vez, al contrario que en el concepto clĂĄsico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estĂŠn en el total de los conjuntos.

1.3.1.1. Propiedades de la uniĂłn de conjuntos 1.- Propiedad idempotente: ∀đ??´â‡’đ??´âˆŞđ??´=đ??´ 2.- Propiedad conmutativa: đ??´âˆŞđ??ľ =đ??ľâˆŞđ??´ 3.- Propiedad asociativa: đ??´âˆŞđ??ľ âˆŞđ??ś =đ??´âˆŞ đ??ľâˆŞđ??ś =đ??´âˆŞđ??ľâˆŞđ??ś

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1.3.2. IntersecciĂłn de conjuntos Se llama intersecciĂłn de los conjuntos A y B, y se representa A ∊ B, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y B. Si A y B son conjuntos disjuntos, su intersecciĂłn es el conjunto vacio (no tiene elementos).

1.3.2.1. Propiedades de la intersecciĂłn Iguales que las de la uniĂłn: 1.- Propiedad idempotente: ∀đ??´â‡’đ??´âˆŠđ??´=đ??´ 2.- Propiedad conmutativa: đ??´âˆŠđ??ľ =đ??ľâˆŠđ??´ 3.- Propiedad asociativa: đ??´âˆŠđ??ľ ∊đ??ś =đ??´âˆŠ đ??ľâˆŠđ??ś =đ??´âˆŠđ??ľâˆŠđ??ś

1.3.2.2. Propiedades comunes a la uniĂłn y a la intersecciĂłn 1.- Ley de absorciĂłn: đ??´ ∊ (đ??´ âˆŞ đ??ľ) = đ??´ 2.- Ley distributiva: - De la uniĂłn respecto de la intersecciĂłn: đ??´ ∊ đ??ľ âˆŞ đ??ś = đ??´ âˆŞ đ??ś ∊ (đ??ľ âˆŞ đ??ś) - De la intersecciĂłn respecto de la uniĂłn: đ??´ âˆŞ đ??ľ ∊ đ??ś = đ??´ ∊ đ??ś âˆŞ (đ??ľ ∊ đ??ś) Estas dos leyes nos indican que ambas operaciones, âˆŞ y ∊, tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogĂ­a.

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1.3.3. Diferencia de conjuntos Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por A – B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B. La diferencia de conjuntos no es conmutativa, ni asociativa.

1.3.3.1. Complementario de un conjunto con respecto a otro Si A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por A , al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. C

1.3.4. Producto cartesiano de dos conjuntos Se llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), tales que a ∈ A y b ∈ B. “Pares ordenadosâ€?, serĂĄn diferentes: (a, b) y (b, a), lo cual indica que dicho producto cartesiano no tiene la propiedad conmutativa.

1.3.4.1. Propiedades del producto cartesiano 1.-

đ??´Ă—∅=∅

2.- Propiedad distributiva respecto de la uniĂłn: đ??´ Ă— đ??ľ âˆŞ đ??ś = đ??´ Ă— đ??ľ âˆŞ (đ??´ Ă— đ??ś) 3.- Propiedad distributiva respecto de la intersecciĂłn: đ??´ Ă— đ??ľ ∊ đ??ś = đ??´ Ă— đ??ľ ∊ (đ??´ Ă— đ??ś)

1.3.4.2. Observación Si A es un conjunto finito que contiene m elementos y B tambiÊn finito, contiene n elementos, el producto cartesiano A x B contiene m ¡ n pares ordenados de elementos

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1.3.4.3. Representación gráfica del producto cartesiano

AxB 3

(3, a)

(3, b)

(3, c)

(3, d)

(3, e)

A 2

(2, a)

(2, b)

(2, c)

(2, d)

(2, e)

1

(1, a)

(1, b)

(1, c)

(1, d)

(1, e)

a

b

c

d

e

B

2. CORRESPONDENCIAS 2.1. Noción de correspondencia Dados dos conjuntos A y B, se entiende por correspondencia entre ambos al subconjunto de su producto cartesiano.

"f"

A

B

a 1 b 2 c ORIGEN

𝐶=

IMANGEN

𝑎, 1 , 𝑎, 2 , 𝑏, 2 𝐴

𝑓

𝐵

Correspondencia (f) entre A y B mediante una relación (R). 10

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- A es el conjunto origen o conjunto inicial (sus elementos son los elementos originales o variables). - B es el conjunto imagen o conjunto final (sus elementos son los elementos homĂłlogos, imĂĄgenes o constantes). đ?‘“ đ?‘Ž = 1,2

đ?‘“ đ?‘? = 2,

siendo f(a) y f(b), respectivamente, el conjunto imagen de a y de b. Otra forma de definir una correspondencia es como asociaciĂłn de elementos del conjunto A con otros elementos del conjunto B. đ?‘Ž → 1, đ?‘Ž → 2, đ?‘? → 2

2.2. Correspondencia inversa Se llama correspondencia inversa de una correspondencia dada f, representada por “đ?‘“ â€?, a la que estĂĄ formada por los pares que tienen los mismos elementos que la primera, pero en sentido contrario. −1

đ??śÂ´ =

1, đ?‘Ž , 2, đ?‘Ž , 2, đ?‘?

Se trata, pues, de un subconjunto del producto B x A.

2.3. ClasificaciĂłn de las correspondencias 1.- Correspondencia unĂ­voca: - Del conjunto origen puede salir una flecha o ninguna flecha (de los elementos). - Al conjunto imagen puede llegar: ninguna, una o varias flechas (a los elementos). 2.- Correspondencia biunĂ­voca: - Conjunto origen sale una flecha o ninguna (elementos) - Conjunto imagen llega una flecha o ninguna (elementos) đ?‘“ đ?‘Ś đ?‘“ −1 son unĂ­vocas

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3.- Correspondencia multívoca: - Del conjunto origen pueden salir: ninguna, una o varias flechas (elementos), pero por lo menos de un elemento de este conjunto debe salir más de una.

2.4. Aplicaciones Son un caso particular de las correspondencias unívocas. Se llama aplicación a toda correspondencia tal que todos y cada uno de los elementos del conjunto origen tiene una y solamente una imagen. - Toda aplicación es una correspondencia unívoca. - Toda correspondencia unívoca no es una aplicación.

2.4.1. Clases de aplicaciones Vamos a fijarnos en el número de flechas que llegan a cada elemento del conjunto imagen. 1.- Aplicación inyectiva: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe a lo más una flecha, es decir, a los elementos del conjunto imagen llega o una flecha o ninguna. 𝑁º 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐. 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 < 𝑁º 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐. 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 2.- Aplicación suprayectiva o sobreyectiva: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe por lo menos una flecha, es decir, a los elementos del conjunto imagen llega o una flecha o varias. 𝑁º 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐. 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 > 𝑁º 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐. 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 3.- Aplicación biyectiva o biyección: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe una y solamente una flecha. Es una aplicación inyectiva y suprayectiva a la vez. 𝑁º 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐. 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 = 𝑁º 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐. 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛

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2.4.2. Relación recíproca de una aplicación Dada una aplicación entre A y B, al hacer su correspondencia recíproca lo que hacemos es, en el mismo diagrama, cambiar el sentido de las flechas. Ahora B es el conjunto origen y A el conjunto imagen.

2.4.3. Composición de aplicaciones

"f"

A

"g"

1 m

a 2

n

b 3

p

c 4

q

d 5

B

C

Se llama aplicación f seguida de g, o bien composición de las aplicaciones f y g, a la aplicación resultante del primer conjunto A en el último conjunto C.

2.5. Relaciones binarias Se llama así a toda correspondencia de un conjunto en sí mismo. Se representan: 1.- Como subconjunto del producto cartesiano A x A. 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑅=

𝑎, 𝑎 , 𝑎, 𝑏 , 𝑏, 𝑐 , 𝑐, 𝑐 , (𝑑, 𝑒)

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2.- Poniendo los distintos pares que la determinan, sin parĂŠntesis y con los tĂŠrminos separados mediante la letra R. đ?‘Ž đ?‘… đ?‘Ž, đ?‘Ž đ?‘… đ?‘?, đ?‘? đ?‘… đ?‘?, đ?‘? đ?‘… đ?‘?, đ?‘‘ đ?‘… đ?‘’ 3.- Mediante el diagrama de Venn.

A

BUCLE a a

b

c e

R

d

4.- Mediante un diagrama cartesiano.

e

d

(d, e)

Ac

(c, c)

R b

(b, c)

a

(a, a)

a

(a, b)

b

c

d

e

A

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2.5.1. Propiedades que puede tener una relaciĂłn binaria 1.- Propiedad reflexiva: Se dice que una relaciĂłn binaria posee la propiedad reflexiva o idĂŠntica cuando todos sus elementos poseen bucle. En el diagrama cartesiano esto equivaldrĂ­a a que todos los puntos de la diagonal principal estĂĄn ocupados.

A m n

q p

R

q

p

A n

R m

m

n

p

q

A

2.- Propiedad antirreflexiva: Una relaciĂłn tiene la propiedad antirreflexiva cuando ninguno de sus elementos poseen bucle, es decir, ninguno de sus elementos estĂĄn relacionados consigo mismo. Puede ser que no tenga ni la propiedad reflexiva ni la antirreflexiva. 3.- Propiedad simĂŠtrica: Una relaciĂłn tiene la propiedad simĂŠtrica cuando si una flecha sale de un primer elemento a un segundo, va siempre otra flecha del segundo al primero. đ?‘Žđ?‘…đ?‘? ⇒đ?‘?đ?‘…đ?‘Ž

a

b

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4.- Propiedad antisimétrica: Una relación es antisimétrica si su grafo no contiene nunca simultáneamente una flecha que vaya de un primer elemento a un segundo, y una flecha que vaya del segundo elemento al primero, lo que equivale a decir que si un elemento está relacionado con un segundo, en ningún caso está relacionado el segundo elemento con el primero. 5.- Propiedad transitiva: Existe la propiedad transitiva cuando para tres cualquiera de sus elementos se verifica que: si el primero está relacionado con el segundo y éste con el tercero, el primero ha de estar relacionado con el tercero.

a

b

c

2.6. Relación de equivalencia Dada una relación cualquiera, se dice que es una relación de equivalencia cuando tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Al aplicar a un conjunto una relación de equivalencia se efectúa una partición o clasificación de dicho conjunto y a cada uno de dichos subconjuntos independientes se le denomina clase de equivalencia.

2.7. Relación de orden Dada una relación cualquiera, se dice que es relación de orden si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Tipos: 1.- De orden total: Es una relación de orden tal, que para cada pareja de elementos del conjunto se verifica que, o bien el primero está relacionado con el segundo, o el segundo está relacionado con el primero. 2.- De orden parcial: Es una relación de orden tal, que existe algún par de elementos del conjunto que ni el primero está relacionado con el segundo, ni el segundo lo está con el primero.

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3.- De orden estricto: Es la relaciĂłn que tiene las propiedades antirreflexiva, antisimĂŠtrica y transitiva (caso especial).

3. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 3.1. Generalidades Hemos considerado hasta ahora a los conjuntos como simples agrupaciones de elementos, sin tener en cuenta si dichos elementos estån dispuestos de alguna forma determinada que dote al conjunto de una cierta organización interna; dicha organización interna es lo que conocemos con el nombre de estructura. Las estructuras en general (no sólo las algebraicas, de las que vamos a ocuparnos aquí) se originan en el conjunto por un tipo particular de relación, o mejor aún, por las correspondencias que esas relaciones definen: las llamadas operaciones. En matemåtica moderna, se habla de tres tipos de estructuras: algebraica, de orden y topológica. • En la estructura algebraica, la relación establecida entre los elementos del conjunto tiene caråcter operatorio. • En la estructura de orden, la relación establecida entre los elementos del conjunto tiende a ordenar, de algún modo, el conjunto. • En la estructura topológica, la relación establecida entre los elementos del conjunto se refiere a los conceptos de frontera, continuidad, contorno, límite, etc. Ayuda al mejor conocimiento del espacio.

3.2. Operaciones Dados tres conjuntos (A, B y C), se llama operaciĂłn a toda aplicaciĂłn que hace corresponder a una pareja de elementos (a, b), a ∈ A y b ∈ B, un elemento del tercer conjunto C. Signos de operaciĂłn: ⊤, ⊼, O. đ?‘ŽâŠ¤đ?‘? →đ?‘?

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3.3. Leyes de composiciĂłn Son dos tipos particulares de operaciones que dan lugar a estructuras algebraicas en los conjuntos. 1.- Ley de composiciĂłn interna es toda aplicaciĂłn: đ??´âŠ¤đ??´â†’đ??´ 2.- Ley de composiciĂłn externa en un conjunto A con operadores de B es toda aplicaciĂłn: đ??´âŠ¤đ??ľ →đ??´

3.3.1. Propiedades de las leyes de composiciĂłn interna 1.- Permutabilidad: Se dice que dos elementos son permutables si se verifica que: đ?‘ŽâŠ¤đ?‘? =đ?‘?⊤đ?‘Ž Se verificarĂĄ siempre que definamos una ley de composiciĂłn interna que posea la propiedad conmutativa. 2.- Elemento neutro: En un conjunto A, para el que se ha definido una ley de composiciĂłn interna ⊤, se dice que “eâ€? es el elemento neutro con respecto a esta ley, cuando se verifica que cualquier elemento del conjunto A operado con e da como resultado el mismo elemento de A. đ?‘ŽâŠ¤đ?‘’ =đ?‘Ž 3.- Elemento simĂŠtrico: Se dice que un elemento đ?‘Ž de un conjunto A tiene por elemento simĂŠtrico o complementario a otro elemento “aâ€? del mismo conjunto, cuando definida en el mismo una ley de composiciĂłn interna ⊼ se verifica que: đ?‘Ž ⊼ đ?‘Ž = đ?‘Ž ⊼ đ?‘Ž = đ?‘’ (đ?‘’ = đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘›đ?‘’đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ) Si un elemento admite simĂŠtrico se denomina “simetizableâ€?. 4.- Propiedad asociativa: Una ley de composiciĂłn interna ⊤ es asociativa, cuando para todas las ternas de elementos a, b y c de un conjunto A se verifica que: đ?‘Ž ⊤ đ?‘? ⊤ đ?‘? = đ?‘Ž ⊤ (đ?‘? ⊤ đ?‘?) 18

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5.- Propiedad distributiva: Dado un conjunto A en el que se han definido dos operaciones internas ⊤ y ⊼, se dice que la ley de composiciĂłn ⊤ es distributiva respecto a la ley de composiciĂłn ⊼ por la derecha y sĂłlo por la derecha, cuando para una terna de elementos a, b y c del conjunto A se verifica: đ?‘Ž ⊤ đ?‘? ⊼ đ?‘? = (đ?‘Ž ⊤ đ?‘?) ⊼ (đ?‘Ž ⊤ đ?‘?) SerĂĄ distributiva por la izquierda si se verifica: đ?‘? ⊼ đ?‘? ⊤ đ?‘Ž = (đ?‘? ⊤ đ?‘Ž) ⊼ (đ?‘? ⊤ đ?‘Ž)

3.4. Concepto de estructura algebraica Dado un conjunto A, se dice que se le ha dado una estructura algebraica, cuando se le ha provisto de una o varias leyes de composiciĂłn que gozan de unas determinadas propiedades.

3.4.1. Tipos de estructuras algebraicas

A) Grupoide

Una sola ley

B) Semigrupo

C) Grupo

Interviene sĂłlo leyes de composiciĂłn interna

D) Semianillo

E) Anillo

Estructuras Algebraicas

Dos leyes

Interviene alguna ley de composiciĂłn externa

F) Semicuerpo

I) MĂłdulo

G) Cuerpo

J) Espacio vectorial

H) RetĂ­culo

K) Algebra

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3.4.1.1. Estructuras con una operaciĂłn

GRUPOIDE - Conjunto

+ P. Conmutativa

GRUPOIDE ABELIANO O CONMUTATIVO

- OperaciĂłn interna

SEMIGRUPO SEMIGRUPO ABELIANO

- Conjunto - OperaciĂłn interna

-------------------------GRUPOIDE

+ P. Conmutativa

Ă“ CONMUTATIVO

+

- Propiedad Asociativa

+ Elemento neutro

SEMIGRUPO ABELIANO CON ELEMENTO NEUTRO

SEMIGRUPO CON ELEMENTO NEUTRO

GRUPO - Conjunto

- OperaciĂłn interna - P. asociativa - Elemento neutro

+ P. Conmutativa

GRUPO ABELIANO

-------------------------SEMIGRUPO CON ELEMENTO NEUTRO + - Elemento simĂŠtrico

La estructura de grupo estĂĄ considerada como una de las mĂĄs importantes de las matemĂĄticas y se debe a que, en todo grupo, se puede definir una operaciĂłn inversa a la que lo estructuraba como tal grupo. G es grupo respecto a la operaciĂłn ⊼, definimos ⊼ đ?‘Ž ⊼ đ?‘? = đ?‘Ž ⊼ đ?‘? đ?‘Ž đ?‘Ś đ?‘? ∈ đ??ş đ?‘Ś đ?‘? đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘ đ?‘–đ?‘šĂŠđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘? đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘œđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› ⊼ 20

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3.4.1.2. Estructuras con dos operaciones

⊤

2ª Operación - Conjunto - Composición interna - P. Asociativa

* No definida en algunos libros (Semigrupo abeliano)

⊥

a

⊤ ⊥ ⊤ ⊥ DISTRIBUTIVA (b c) = (a b) (a c)

1ª Operación - Conjunto - Composición interna - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro - Elemento simétrico ⊥ a

⊥

ANILLO SEMIGRUPO

⊥

GRUPO ABELIANO

SEMIGRUPO CONMUTATIVO (con elemento neutro*)

1ª Operación - Conjunto - Composición interna - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro*

SEMIGRUPO

⊤ SEMIANILLO

2ª Operación - Conjunto - Composición interna - P. Asociativa

⊤ ⊥ ⊤ ⊥ DISTRIBUTIVA (b c) = (a b) (a c)

SEMIANILLO ABELIANO

ANILLO ABELIANO

Semianillo cuya segunda operación cumple la propiedad conmutativa.

Anillo cuya segunda operación cumple la propiedad conmutativa.

SEMIANILLO CON E. NEUTRO

ANILLO CON ELEMENTO NEUTRO

Semianillo cuya segunda operación posee elemento neutro y cumple la propiedad conmutativa.

Anillo cuya segunda operación posee elemento neutro y cumple la propiedad conmutativa.

1ª SEMIANILLO

SEMIGRUPO ABELIANO

ANILLO

GRUPO ABELIANO

2ª P. DISTRIBUTIVA 2ª respecto 1ª

SEMIGRUPO

P. DISTRIBUTIVA 2ª respecto 1ª

SEMIGRUPO

1ª

⊥ a

⊤

⊤ ⊥ ⊤ ⊥ DISTRIBUTIVA (b c) = (a b) (a c)

⊥

CUERPO

1ª Operación 2ª Operación - Conjunto - Conjunto - Composición interna - Composición interna - P. Asociativa - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro - Elemento neutro - Elemento simétrico - Elemento simétrico ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ DISTRIBUTIVA a (b c) = (a b) (a c) GRUPO

⊥

2ª Operación - Conjunto - Composición interna - P. Asociativa - Elemento neutro - Elemento simétrico

GRUPO ABELIANO

GRUPO

SEMIGRUPO ABELIANO

⊤ SEMICUERPO 1ª Operación - Conjunto - Composición interna - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro

2ª

CUERPO ABELIANO Cuerpo cuya segunda operación cumple la propiedad conmutativa.

1ª SEMICUERPO

SEMIGRUPO ABELIANO

2ª P. DISTRIBUTIVA 2ª respecto 1ª

1ª CUERPO

GRUPO ABELIANO

GRUPO

2ª P. DISTRIBUTIVA 2ª respecto 1ª

GRUPO

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RETĂ?CULO: Un conjunto A en el que se definen dos operaciones internas que cumplen las siguientes condiciones: -

Propiedad idempotente para ambas operaciones. Ambas operaciones sean conmutativas. Ambas operaciones sean asociativas. Ley de absorción de cada una de ellas por la otra. Distributiva: • una operación con respecto de la otra: distributiva • para cada operación respecto de la otra: doblemente distributiva

Retículo con elemento universal (u): � ⊤ � = � � � ⊼ � = � Retículo con elemento ínfimo (i): � ⊤ � = � � � ⊼ � = � Retículo complementario: -

elemento universal (u) elemento ínfimo (i) para cada x hay x' que verifica: � ⊤ �´ = � � � ⊼ �´ = �

3.4.1.3. Estructuras con ley de composiciĂłn externa 1.- MĂ“DULO: Si M es un grupo abeliano y A es un anillo con elemento neutro, se dice que M es un mĂłdulo con A como dominio de operadores, cuando se tiene definida una ley de composiciĂłn externa de A sobre M que verifica las siguientes condiciones: 1Âş. − đ?‘Ž ∙ đ?‘Ľ + đ?‘Ś = đ?‘Ž ∙ đ?‘Ľ + đ?‘Ž ∙ đ?‘Ś 2Âş. − đ?‘Ž ∙ đ?‘? ∙ đ?‘Ľ = (đ?‘Ž ∙ đ?‘?) ∙ đ?‘Ľ 3Âş. − đ?‘Ž + đ?‘? ∙ đ?‘Ľ = đ?‘Ž ∙ đ?‘Ľ + đ?‘? ∙ đ?‘Ľ 4Âş. − 1 ∙ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ

siendo a y b elementos del anillo A, 1 su elemento neutro y x, e, y, elementos de M. Suele expresarse tambiĂŠn diciendo que M es un A-mĂłdulo.

22

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

2.- ESPACIO VECTORIAL: Es un caso particular de los módulos en el que el dominio de operadores es un cuerpo en lugar de un anillo. Los elementos del espacio vectorial se denominan “vectores”. 3.- ALGEBRA: Se da este nombre a todo conjunto A en el que hay definidas dos operaciones internas (suma y producto) con respecto a las cuales constituye un anillo, y una ley de composición externa tal que con ella y una de las operaciones internas tiene estructura de espacio vectorial.

4. NÚMERO NATURAL 4.1. Concepto de número natural Puede definirse como la clase de todos los conjuntos coordinables entre sí, es decir, el número de elementos que poseen todos los conjuntos que son coordinables entre sí es un número natural. El conjunto de los números naturales se designa con la letra N, y puede escribirse por compresión: N = {números naturales} o por extensión: N = {1, 2, 3, 4,…} 189 ∈ N, 34 ∈ N, 2/3 ∉ N, 0,007 ∉ N.

4.2. Estructura del conjunto de los número natural Previamente tendremos que definir las operaciones que pueden realizarse dentro de este conjunto.

1.- Suma de números naturales Dados dos números naturales a y b definidos por los conjuntos disjuntos A y B, se llama suma de a y b, y se escribe a + b, al número natural que define el conjunto A ∪ B. 23

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Propiedades: a.- Ley de composiciĂłn interna o propiedad uniforme de la suma: đ?‘Ž+đ?‘? =đ?‘?

đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ?‘

b.- Propiedad conmutativa: đ?‘Ž+đ?‘? =đ?‘?+đ?‘Ž đ??´âˆŞB=đ??ľâˆŞđ??´ c.- Propiedad asociativa: đ?‘Ž+ đ?‘?+đ?‘? = đ?‘Ž+đ?‘? +đ?‘? =đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? đ??´âˆŞ BâˆŞC = đ??´âˆŞB âˆŞC=AâˆŞBâˆŞC c.- Tiene elemento neutro: đ?‘Ž+0=đ?‘Ž El conjunto N de los nĂşmeros naturales para la operaciĂłn de sumar es un semigrupo conmutativo y con elemento neutro.

2.- Producto de nĂşmeros naturales Dados dos nĂşmeros naturales a y b, representantes de los conjuntos A y B, se llama producto de a y b, que se representa a ∙ b, al representante de la clase de conjuntos A x B (producto cartesiano). Propiedades: a.- Es una ley de composiciĂłn interna. b.- Posee la propiedad conmutativa. c.- Posee la propiedad asociativa. d.- Tiene elemento neutro, que es el nĂşmero natural 1. El conjunto N de los nĂşmeros naturales para la operaciĂłn de multiplicar es un semigrupo conmutativo con elemento neutro. AdemĂĄs: đ?‘Ž ∙ đ?‘? + đ?‘? = đ?‘Ž ∙ đ?‘? + đ?‘Ž ∙ đ?‘? 24

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

(N, +, ∙) SEMIANILLO CONMUTATIVO CON ELEMENTO NEUTRO

3.- Potencia de nĂşmeros naturales Dados dos nĂşmeros naturales m y n, se llama potencia de base m y exponente n, y se escribe: mn a lo siguiente: (m ∙ m ∙ m âˆ™â€Ś)n, es decir, el producto de n factores iguales a m. Propiedades: a.- đ?‘šđ?‘Ž ∙ đ?‘šđ?‘? = đ?‘šđ?‘Ž+đ?‘? đ?‘šđ?‘Ž ∙ đ?‘šđ?‘? = (đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ ‌ )đ?‘Ž ∙ (đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ ‌ )đ?‘? = đ?‘šđ?‘Ž+đ?‘?

b.-

đ?‘šđ?‘Ž đ?‘šđ?‘?

= đ?‘šđ?‘Žâˆ’đ?‘? đ?‘šđ?‘Ž (đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ ‌ )đ?‘Ž = = đ?‘šđ?‘Žâˆ’đ?‘? đ?‘šđ?‘? (đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ đ?‘š ∙ ‌ )đ?‘? đ?‘Ž>đ?‘?

c.- đ?‘š0 = 1 đ?‘šđ?‘› = đ?‘šđ?‘›âˆ’đ?‘› = đ?‘š0 = 1 đ?‘šđ?‘› d.- (đ?‘šđ?‘? )đ?‘› = (đ?‘šđ?‘? ∙ đ?‘šđ?‘? ∙ đ?‘šđ?‘? ∙ ‌ )đ?‘› = đ?‘š

đ?‘?+đ?‘?+đ?‘?‌ đ?‘›

= đ?‘šđ?‘?∙đ?‘›

4.3. Sistemas de numeraciĂłn Los sistemas de numeraciĂłn son un conjunto de reglas que permiten representar todos los nĂşmeros mediante un nĂşmero limitado de signos. El sistema de numeraciĂłn mĂĄs utilizado en la actualidad es el de base 10, cuyas cifras son las arĂĄbigas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y en el cual, por ejemplo, el nĂşmero 25

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.237 representa un número que tiene siete unidades de primer orden, tres de segundo orden, dos de tercero y una de cuarto. Para explicar mejor un sistema de numeración cualquiera en una base m, vamos a hacerlo mediante un caso concreto, como puede ser el sistema de numeración en base 3: “n” número natural representante del conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, p} vamos a agruparlo en subconjuntos, disjuntos entre sí, de tres elementos (base del sistema): {a, b, c} {d, e, f} {g, h, i} {j, k, l}

{m, p}

{m, p} número de unidades de primer orden Ahora, esas unidades de segundo orden (conjunto de tres elementos) los volvemos a asociar de tres en tres, obteniendo: {{a, b, c} {d, e, f} {g, h, i}}

{j, k, l}

{j, k, l} Una unidad de segundo orden {{a, b, c} {d, e, f} {g, h, i}} Una unidad de tercer orden n = 112 En general, “si m es la base de numeración, cada m elementos forman una unidad de orden inmediato superior”. Otro sistema muy usado en la actualidad es el de base 2, llamado sistema binario, que utiliza solamente las cifras 0 y 1. “a” representa al conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}

en base 5: {a, b, c, d, e} {f, g, h, i, j}{k, l, m} = 23,

26

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

en base 4: {a, b, c, d} {e, f, g, h} {i, j, k, l} {m} = 31,

en base 2:

{a, b} {c, d} {e, f} {g, h} {i, j} {k, l} {m} = 1101 3Âş

3Âş

3Âş

1Âş

4Âş

en base 10: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} {k, l, m} = 13

Pasar de una base a otra: - De base 10 a una base m. 136 10) a base 5:

136 36 1

5 27 2

5 5 0

5 1

13610) = 10215)

- De base m a una base 10. đ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘‘đ?‘š ) = đ?‘‘ + đ?‘? ∙ đ?‘š + đ?‘? ∙ đ?‘š2 + đ?‘Ž ∙ đ?‘š3 2346) = 4 + 3 ∙ 6 + 2 ∙ 62 = 9410)

Si el sistema de numeración es en una base mayor que 10, se emplean las cifras aråbigas, siendo las restantes cifras las primeras letras del alfabeto griego. Así, por ejemplo, en la base 13 las cifras utilizadas serían: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ι, β, γ.

27

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

22 10) a base 13 22 9

23 10) a base 13

13 1

23 10

13 1

22 10) = 19 13)

23 10) = 1α 13)

19 10) a base 10

1α 13) a base 10

9 + 1 ∙ 13 = 2210)

10 (α) + 1 ∙ 13 = 2310)

El número 123.431 en cualquier base se leerá: ciento veintitrés mil cuatrocientos treinta y uno.

4.3.1. Operar en distinta base a 10 En base 2:

Suma 0 0 1

0 1

+

Multiplicación 1 1 10

1101 1001 10110

1 0 1

1101 x 11 1101 1101 100111

Cociente 10110 00010

0 1

0 0 0

101 100

Comprobación 101 ∙ 100 = 10100 10100 + 10 = 10110

28

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

En base 4:

Suma

0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 10

Producto 2 2 3 10 11

3 3 10 11 12

0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 10 12

3 0 3 12 21

Cociente 23010 110 0021 030 00

12 1312

x

1312 12 3230 1312 23010

4.3.2. Sistemas de numeración romano Símbolos: Principales: I X C M 1 10 100 1.000 Secundarios: V L D 5 50 500 Reglas: 1.- Si una letra se escribe a la derecha de otra de igual o mayor valor, se suman los valores de ambas: VI = 5 + 1 = 6 2.- Si una letra se escribe a la izquierda de otra de mayor valor, se restan los valores de ambas: IV = 5 - 1 = 4 3.- Ninguna letra puede escribirse más de tres veces a la derecha de otra de mayor valor ni más de una a su izquierda. 4.- Las letras secundarias no pueden repetirse ni colocarse a la izquierda de otras de mayor valor.

29

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

5.- La letra I sólo se puede escribir delante de V y X. La X sólo delante de L y C, y la C, sólo delante de D y M. 6.- Una raya horizontal colocada sobre una letra o grupo de letras multiplica al número que afecta por 1.000; dos rayas, por un millón, etc. CII = 102 = 102.000

5. NÚMERO ENTERO 5.1. Generalidades En los números naturales nos encontramos con el problema de hallar la diferencia entre dos números cuando el sustraendo es menor que el minuendo. Al introducir el campo de los números enteros, el problema quedará resuelto dando entrada a los llamados números negativos.

5.2. Operadores N → N (Máquina)

Entrada] ─ Operador ─ [Salida

N] ─ Operador ─ [N Establece una aplicación N en N

Pares = (salida, entrada) (3, 0), (4, 1), (5, 2)… (0, 3), (1, 4), (2, 5)…

se han obtenido con el operador ─ +3 ─ se han obtenido con un nuevo operador opuesto al anterior ─ −3 ─

30

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

5.3. Pares ordenados y número enteros (3, 0), (4, 1), (5, 2)…

representa a ─ +3 ─

(0, 3), (1, 4), (2, 5)…

representa a ─ −3 ─

El conjunto de números con signo … −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5… se llama “conjunto de números enteros” y se representa por Z. (−) números negativos (+) números positivos el 0 no lleva signo. Se llama valor absoluto de un número entero, al número natural que resulta cuando se borra el signo del número entero.

│−3│ significa valor absoluto de −3; │−3│=│+3│ y │−5│=│+5│

5.4. Estructura del conjunto de los números enteros 5.4.1. Suma de números enteros Dados dos números enteros (a, b) y (x, y), llamamos suma de ambos al número entero (a + x, b + y) 4,2 + 3, 0 = 4 + 3, 2 + 0 = (7, 2) ó escrito de la otra manera: +2 + +3 (SUMANDOS)

=

+5 (SUMA)

Reglas: 1.- Si los dos números son de igual signo, sumamos los valores absolutos y ponemos al resultado el signo que llevaban los números sumados. +7 + +3 = (+10) 31

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

−2 + −4 = (−6) 2.- Si los dos nĂşmeros son de distinto signo, restamos los valores absolutos y ponemos delante el signo del nĂşmero que tiene mayor valor absoluto. −8 + +3 = (−5) +12 + −3 = (+9) Para sumar varios sumandos, se halla por separado la suma de los valores positivos y la suma de los nĂşmeros negativos, se obtienen dos resultados parciales que se suman aplicando las reglas anteriores. A los nĂşmeros que tienen igual valor absoluto, pero distinto signo, se les llama “nĂşmeros opuestosâ€?, y, como es lĂłgico, su suma es igual a 0. Propiedades: 1.- OperaciĂłn interna đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘? =đ?‘? 2.- Propiedad asociativa đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = đ?‘Ž + (đ?‘? + đ?‘?) 3.- Propiedad conmutativa đ?‘Ž+đ?‘? =đ?‘?+đ?‘Ž 4.- Posee elemento neutro (0) đ?‘Ž+0=đ?‘Ž 5.- Posee elemento simĂŠtrico Todo nĂşmero tiene su opuesto en Z “El conjunto Z con la operaciĂłn de la suma forma grupo abelianoâ€? (Z, +) es grupo abeliano

32

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

5.4.1.1. Sumas indicadas A menudo aparecen expresiones de sumas entre parĂŠntesis; en este caso, para hacer desaparecer dicho parĂŠntesis hemos de emplear la siguiente regla: el signo mĂĄs delante de un parĂŠntesis significa escribir el mismo nĂşmero, mientras que el signo menos significa cambiar los signos. Cuando delante de un parĂŠntesis no figura ningĂşn signo se entiende que estĂĄ el signo “mĂĄsâ€?. − +7 − 8 − 5 + +3 − 7 − 8 = −7 + 8 + 5 + 3 − 7 − 8 = −22 + 16 = −6

5.4.1.2. Diferencias de nĂşmeros enteros La expresiĂłn restar un nĂşmero entero no es mĂĄs que un modo corriente de decir sumar el opuesto de un nĂşmero entero. +3 − (−7) (+10) = +3 + +7 = đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘œ (đ?‘ đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘œ) (đ?‘‘đ?‘–đ?‘“đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž) Es un caso particular de la suma.

5.4.2. Producto de nĂşmeros enteros Por analogĂ­a del conjunto Z con el conjunto N: Como

5 · 6 = 30

tambiĂŠn +5 ∙ (+6) = +30 (đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘‘đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œ) đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ (đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;)

Regla de los signos: Si dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo, y si tienen signo contrario, el producto es negativo.

+ + − −

· · · ·

− + + −

= = = =

− + − +

(+2) (+2) (−2) (−2)

· · · ·

(−4) (+4) (+4) (−4)

= = = =

(−8) (+8) (−8) (+8) 33

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Propiedades: -

Ley de composiciĂłn interna Propiedad conmutativa đ?‘Žâˆ™đ?‘? =đ?‘?∙đ?‘Ž

-

Propiedad asociativa đ?‘Ž ∙ đ?‘? ∙ đ?‘? = đ?‘Ž ∙ (đ?‘? ∙ đ?‘?)

-

Posee elemento neutro (1, 0) = 1 đ?‘Žâˆ™1=đ?‘Ž

El conjunto Z de los números enteros para la operación de multiplicar tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento neutro, es decir: (Z, ·) es semigrupo abeliano con elemento neutro. Si consideramos ahora (Z, +, ·), veremos que ademås las operaciones de suma y multiplicación se encuentran ligadas mediante la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, con lo que (Z, +, ·) tiene estructura de anillo conmutativo con elemento neutro.

5.4.2.1. Producto de sumas indicadas Se multiplica cada uno de los nĂşmeros del primer parĂŠntesis por cada nĂşmero del segundo, respetando la regla de los signos. −2 + 3 − 1 ∙ +4 − 3 = -2 ∙ +4 + +3 ∙ +4 + -1 ∙ +4 + -2 ∙ -3 + +3 ∙ -3 + -1 ∙ -3 = −8 + 12 − 4 + 6 − 9 + 3 = −21 + 21 = 0

5.4.3. Cociente de nĂşmeros enteros a = dividendo đ?‘Ž = đ?‘? ∙ đ?‘? b = divisor c = cociente đ?‘Ž

đ?‘? = đ?‘?; đ?‘Ž = đ?‘? ∙ đ?‘?; đ?‘Ž = đ?‘? ∙ đ?‘?

34

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Existen divisiones inexactas: a = dividendo b = divisor c = cociente r = resto đ?‘Ž = đ?‘?∙đ?‘? +đ?‘&#x; No tiene ley de composiciĂłn interna. Signos: -

Cociente positivo cuando a y b tienen el mismo signo.

-

Cociente negativo cuando a y b tienen signos distintos.

+ + − −

· · · ·

+ − − +

= = = =

+ − + −

(+12) (+12) (−12) (−12)

· · · ·

(+4) (−4) (−4) (+4)

= = = =

(+3) (−3) (+3) (−3)

Cuando existe a/b = c, se dice que a es mĂşltiplo de b, siendo esta relaciĂłn “ser mĂşltiplo deâ€? una relaciĂłn de orden parcial: -

Reflexiva: todo nĂşmero es mĂşltiplo de sĂ­ mismo.

-

AntisimĂŠtrica: Si un nĂşmero es mĂşltiplo de otro, el segundo no puede ser mĂşltiplo del primero.

-

Transitiva: Si un primer nĂşmero es mĂşltiplo de un segundo, y este segundo lo es de un tercero, el primero serĂĄ mĂşltiplo del tercero.

-

Como ademĂĄs no todas las parejas de nĂşmeros enteros estĂĄn relacionadas mediante dicha relaciĂłn, es “de orden parcialâ€?

NĂşmeros enteros que son mĂşltiplos de +2 = nĂşmeros enteros pares. Restantes = nĂşmeros enteros impares.

35

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

5.4.4. PotenciaciĂłn de nĂşmeros enteros Es anĂĄloga a la dada para nĂşmeros naturales. Signos: -

Base positiva (+) (+2)3 = +8 (+5)4 = +625

-

Base negativa y exponente par (+) (−2)4 = +16 (−3)6 = +729

-

Base negativa y exponente impar (−) (−3)5 = −243 (−4)3 = −64

Casos particulares: 03 = 0 ; 06 = 0 14 = 1 ; 17 = 1 71 = 7 ; 91 = 9 0

0

357 = 1 ; 4 = 1

đ?‘Žđ?‘› =đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›âˆ’đ?‘›

= đ?‘Ž0 = 1

Potencias de exponente negativo: 73 âˆś 75 = 1 72 = 73−5 = 7−2 7−2 = 1

72

36

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Potencia de un producto: (2 Ă— 4 Ă— 5)3 = 23 Ă— 43 Ă— 53 (đ?‘Ž ∙ đ?‘?)đ?‘š = đ?‘Žđ?‘š ∙ đ?‘? đ?‘š

Producto de potencias de distintas bases e igual exponente: đ?‘Žđ?‘š ∙ đ?‘? đ?‘š ∙ đ?‘? đ?‘š = (đ?‘Ž ∙ đ?‘? ∙ đ?‘?)đ?‘š

Potencia de un cociente: (đ?‘Ž: đ?‘?)đ?‘š = đ?‘Žđ?‘š : đ?‘? đ?‘š

DivisiĂłn de potencias de distintas bases e igual exponente: đ?‘Žđ?‘š : đ?‘? đ?‘š = (đ?‘Ž: đ?‘?)đ?‘š

Producto de potencias de la misma base: đ?‘Žđ?‘? ∙ đ?‘Žđ?‘ž ∙ đ?‘Žđ?‘&#x; = đ?‘Žđ?‘?+đ?‘ž+đ?‘&#x;

Cociente de potencias de la misma base: đ?‘Žđ?‘š : đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘š −đ?‘›

Potencia de una potencia: (đ?‘Žđ?‘š )đ?‘› = đ?‘Žđ?‘š ∙đ?‘›

5.5. InmersiĂłn del conjunto N en el conjunto Z Los nĂşmeros enteros no negativos, es decir, los positivos y el 0, cuyo conjunto representaremos por Z+, se comportan de forma totalmente anĂĄloga a como lo hacen los nĂşmeros naturales. Podemos establecer una correspondencia f: đ?‘ → đ?‘? +, đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ ∀ đ?‘Ž ∈ đ?‘ đ?‘’đ?‘ : đ?‘“ đ?‘Ž = +đ?‘Ž, đ?‘ đ?‘– đ?‘Ž ≠0, đ?‘“ 0 = 0 37

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Esta correspondencia es una aplicación biyectiva, con lo cual Z+ y N se comportan exactamente igual y pueden considerarse como idénticos; pudiendo considerar entonces a N como un subconjunto de Z.

5.6. Divisibilidad Su estudio sirve también para N, ya que es un subconjunto de Z. - Si un número a es múltiplo de otro número b, se dice que b es divisor de a. - Todo número admite como divisores a él mismo, a su opuesto, a +1 y a −1. Si un número entero admite solamente estos divisores se dice que es primo; si admite alguno más se dice que es compuesto. Los números primos negativos son los opuestos de los positivos. Para averiguar si un número dado es o no primo se sigue la siguiente regla: “Se le divide sucesivamente por todos los divisores primos a partir de 2 hasta llegar a un cociente igual o menor que el divisor primo empleado.

157 17 1

2 78

157 07 1

3 52

157 07 2

5 31

157 17 3

7 22

157 47 3

11 14

157 27 1

13 12

Es primo

si alguna de las divisiones fuese exacta, el número no es primo. - Todo número compuesto puede descomponerse en un producto de factores primos de modo único.

720 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 2 3 3 5

720 = 24 x 32 x 5

1.000 500 250 125 25 5 1

2 2 2 5 5 5

1.000 = 23 x 53

38

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

- Los criterios mĂĄs importantes de divisibilidad son: 1. 2. 3. 4.

Un nĂşmero es divisible por 2 si termina en cero o cifra par. Un nĂşmero es divisible por 3 y 9 si lo es la suma de los valores de sus cifras. Un nĂşmero es divisible por 5 si termina en 0 Ăł en 5. Un nĂşmero es divisible por 11 si sumados los valores de las cifras que ocupan lugar par por un lado y los de las cifras de lugar impar por otro, y hallada la diferencia de ambos resultados, se obtiene un mĂşltiplo de 11. 54.276 6 + 2 + 5 − 7 + 4 = 2 đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘šĂşđ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ 11

5.

6. 7.

Un nĂşmero es divisible por 4 y por 25 si lo es, respectivamente, el nĂşmero formado por sus dos Ăşltimas cifras, o sean ceros estas dos Ăşltimas cifras. Un nĂşmero es divisible por 8 y por 125 si lo es el nĂşmero formado por sus tres Ăşltimas cifras, o sean ceros estas tres cifras. Un nĂşmero es divisible por 7 cuando restando sucesivamente de sus decenas el duplo de sus unidades, se obtiene como residuo cero o un mĂşltiplo de 7.

18.724 −8 1.864 −8 178 − 16 1

1 no es mĂşltiplo de 7, el 18.724 no es divisible por 7.

La condiciĂłn necesaria y suficiente para que un nĂşmero sea divisible por otro es que el primero contenga todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores. Para hallar todos los divisores de un nĂşmero se realiza lo siguiente: 900 450 225 75 25 5 1

2 2 3 3 5 5

900 = 22 x 32 x 52

39

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Escribir en líneas horizontales las diversas potencias de los factores primos, empezando por la unidad. 1, 2, 22 A

2

Primera fila

1, 3, 3

Segunda fila

1, 5, 52

Tercera fila

Multiplicamos todos los números de la primera fila por cada uno de los nº de la segunda; obteniendo B. 1, 2, 22 B

3 x 1, 3 x 2, 3 x 22 32 x 1, 32 x 2, 32 x 22

Multiplicamos todos los productos del cuadro B por los números de la tercera fila. 1, 2, 22 2

3 x 1, 3 x 2, 3 x 2

32 x 1, 32 x 2, 32 x 22 5 x 1, 5 x 2, 5 x 22 C

5 x 3 x 1, 5 x 3 x 2, 5 x 3 x 22 5 x 32 x 1, 5 x 32 x 2, 5 x 32 x 22 52 x 1, 52 x 2, 52 x 22 52 x 3 x 1, 52 x 3 x 2, 52 x 3 x 22 52 x 32 x 1, 52 x 32 x 2, 52 x 32 x 22

C nos da los divisores = 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 25, 50, 100, 75, 150, 300, 225, 450, 900.

5.6.1. M.C.D y M.C.M - Máximo común divisor de varios números (m.c.d.) Es el mayor número que los divide a todos, es decir, es el mayor de los divisores comunes de ambos números. La regla para hallar el m.c.d. de varios números es la siguiente: se descomponen todos los números en factores primos y se halla el producto de los factores comunes a todos ellos con sus menores exponentes. 40

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

36 18 9 3 1

2 2 3 3

60 30 15 5 1

36 = 22 x 32

2 2 3 5

72 36 18 9 3 1

60 = 22 x 3 x 5

2 2 2 3 3

72 = 23 x 32

đ?‘š. đ?‘?. đ?‘‘ 36, 60, 72 = 22 ∙ 3 = 12

- MĂ­nimo comĂşn mĂşltiplo de varios nĂşmeros (m.c.m.) Es el menor de los mĂşltiplos comunes a esos nĂşmeros. La regla para hallar el m.c.m. de varios nĂşmeros es la siguiente: se descomponen todos ellos en sus factores primos y se busca el producto de los factores comunes y los no comunes afectados con sus mayores exponentes. 80 40 20 10 5 1

2 2 2 2 5

120 60 30 15 5 1

80 = 24 x 5

2 2 2 3 5

200 100 50 25 5 1

120 = 23 x 3 x 5

2 2 2 5 5

200 = 23 x 52

đ?‘š. đ?‘?. đ?‘š 80, 120, 200 = 24 ∙ 52 ∙ 3 = 1.200

- El producto del m.c.m. y el m.c.d. de dos nĂşmeros es igual al producto de dichos nĂşmeros en valor absoluto (esta regla sĂłlo se verifica para el caso de dos nĂşmeros). đ??´ Ă— đ??ľ = đ?‘š. đ?‘?. đ?‘š. đ??´, đ??ľ Ă— đ?‘š. đ?‘?. đ?‘‘. (đ??´, đ??ľ) đ?‘š. đ?‘?. đ?‘š. đ??´, đ??ľ =

đ??´Ă—đ??ľ đ?‘š. đ?‘?. đ?‘‘. (đ??´, đ??ľ)

đ?‘š. đ?‘?. đ?‘‘. đ??´, đ??ľ =

đ??´Ă—đ??ľ đ?‘š. đ?‘?. đ?‘š. (đ??´, đ??ľ)

41

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

6. NĂšMERO RACIONAL 6.1. Generalidades En el campo de los nĂşmeros enteros no es posible: -

dividir en el caso de que el dividendo no sea mĂşltiplo del divisor.

-

lo que queremos medir no contiene un nĂşmero exacto de veces el patrĂłn de medida que estamos utilizando.

Estas razones obligan a ampliar el campo de los nĂşmeros introduciendo los llamados nĂşmeros racionales o fraccionarios.

6.2. Concepto de nĂşmero racional Una fracciĂłn es un operador de la forma: (multiplicar por a y dividir por b), a y b ∈ Z; a y b ≠0. đ?‘Ž (đ?‘›đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;) đ?‘? (đ?‘‘đ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;) leer denominadores: 2 medios 3 tercios 4 cuartos 5 quintos 6 sextos 7 sĂŠptimos 8 octavos 9 novenos 10 dĂŠcimos 11 onceavos . . . . 40 cuarentavos 3

40 âˆś đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘Łđ?‘œđ?‘ 42

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

18 ∙ 18 ∙

2 36 = = 12 3 3

6 108 = = 12 9 9

operadores equivalentes, luego las fracciones 2/3 y 6/9 son también equivalentes. Para hallar una fracción equivalente a otra basta con multiplicar o dividir su numerador y su denominador por el mismo número. De esta forma siempre podemos: - simplificar una fracción (otra equivalente de términos más pequeños) - amplificar una fracción (otra equivalente de términos mayores) si una fracción no admite simplificación se dice que es irreducible. La equivalencia de fracciones es relación de equivalencia: -

reflexiva

-

simétrica

-

transitiva

Por tanto, en el conjunto F de las fracciones puede hacerse una partición. El conjunto de todas las fracciones equivalentes entre sí forman una clase. Pues bien, cada una de estas clases es un número racional Clases: -

infinitos elementos (fracciones)

-

cada fracción es un representante de dicho nº racional (clase)

-

generalmente la fracción irreducible es el representante canónico de dicha clase (nº racional)

El conjunto de todos los números racionales se designa con el símbolo Q.

43

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

6.3. Estructura del conjunto Q Estudiaremos las distintas operaciones:

6.3.1. Suma de nĂşmeros racionales Para sumar varios nĂşmeros racionales elegimos de cada uno de ellos un representante que tenga el mismo denominador, y entonces se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. 2 3 5 + + ; đ?‘š. đ?‘?. đ?‘š đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ 5 8 4

55 1

82 42 22 1

42 22 1

5=5

8=2

3

2

4=2

m.c.m = 23 x 5 = 40

Buscamos los representantes de cada una de esas clases cuyo denominador sea 40, para lo cual dividimos 40 entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador: 2 3 5 16 15 50 81 + + = + + = 5 8 4 40 40 40 40

Propiedades: -

Es operaciĂłn interna Posee propiedad conmutativa Posee propiedad asociativa Posee elemento neutro que es el nĂşmero racional 0 = 0 1

-

Todo elemento {a/b} posee elemento simĂŠtrico {- a/b}

44

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

El conjunto Q para la operaciĂłn de sumar tiene estructura de grupo abeliano.

6.3.2. Diferencia de nĂşmeros racionales AnĂĄlogamente a los nĂşmeros enteros, la diferencia se puede considerar como un caso particular de la suma, ya que restar un nĂşmero racional es lo mismo que sumar el opuesto.

6.3.3. Producto de nĂşmeros racionales đ?‘Ž đ?‘? ∙ đ?‘? đ?‘‘ = đ?‘Žâˆ™đ?‘? đ?‘?∙đ?‘‘ Propiedades: -

Es una ley de composiciĂłn interna Posee la propiedad conmutativa Posee la propiedad asociativa Posee elemento neutro {1/1} Todo nĂşmero racional, excepto el 0, tiene elemento inverso, siendo el inverso de {a/b} el nĂşmero {b/a} đ?‘Ž đ?‘? ∙ đ?‘? đ?‘Ž =1 1

Por tanto, el conjunto Q* = Q – {0} con respecto a la multiplicaciĂłn es un grupo conmutativo. Como ademĂĄs se verifica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma {Q, +, ∙}, tiene estructura de cuerpo conmutativo.

6.3.4. Cociente de nĂşmeros racionales Dados dos nĂşmeros racionales m y n, llamados, respectivamente, dividendo y divisor, se dice que p es el cociente de ambos si se verifica: đ?‘š =đ?‘›âˆ™đ?‘? luego encontrar el cociente es lo mismo que efectuar la divisiĂłn. El cociente existe siempre en Q*, pues se observa que es: đ?‘Ž đ?‘? : đ?‘? đ?‘‘ = đ?‘Ž đ?‘? ∙ đ?‘‘ đ?‘?

45

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

que existe siempre, por ser la multiplicaciĂłn una operaciĂłn interna y existir el inverso de todo elemento distinto de 0.

6.3.5. PotenciaciĂłn de base de un nĂşmero racional y exponente un nĂşmero entero Exponente positivo đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘›

=

đ?‘Ž đ?‘? ∙ đ?‘Ž đ?‘? â‹Ż

đ?‘›

teniendo en cuenta los casos particulares: đ?‘Ž đ?‘?

1

= đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ś đ?‘Ž đ?‘?

0

=1

Exponente negativo: đ?‘Ž đ?‘?

−đ?‘›

= đ?‘? đ?‘Ž

đ?‘›

=

đ?‘? đ?‘Ž ∙ đ?‘? đ?‘Ž â‹Ż

đ?‘›

es lo mismo que su inverso elevado al mismo exponente, pero positivo.

6.4. InmersiĂłn del conjunto Z en el conjunto Q AnĂĄlogamente al razonamiento empleado al incluir al conjunto N como subconjunto de Z, comprobaremos que los conjuntos Z y Q1 (nĂşmeros racionales con denominador 1) son idĂŠnticos, es decir, se comportan exactamente igual, pudiĂŠndose considerar Z como subconjunto de Q en virtud de esta identificaciĂłn. Extiende Z a otro conjunto mĂĄs amplio, el conjunto de los nĂşmeros racionales Q, en el que las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn) son internas.

6.5. NĂşmeros decimales Para hallar el valor de una fracciĂłn, es decir, para convertir ĂŠsta en nĂşmero decimal, se aĂąaden ceros al numerador, y al efectuar la divisiĂłn entre el denominador, en el momento de bajar el primer cero aĂąadido, se pone una coma en el cociente, con lo que obtenemos una representaciĂłn decimal aproximada de orden n del nĂşmero dado.

46

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

- existe n, para el cual la división es exacta

número decimal exacto

- no existe n, para el cual la división es exacta

Periodicos (número de - Decimal periódico puro (primera cifras decimales que se cifra decimal empieza el periodo) repiten periódicamente - Decimal periódico mixto (el {"periodo"}) periodo empieza más allá de la primera cifra, y las cifras que se quedan delante del periodo se llaman "cifras no periódicas" )

Operaciones: -

Sumar o restar decimales

+

-

2367,54 45,013 2412,553

6897,457 − 324,12 6573,337

Multiplicar decimales 3546,78 ∙ 0,3 = 1064,034

-

Dividir decimales 84,6 ∶ 2,15

8460,0 2010 0750 105

215 39,3

6.6. Fracciones generatrices Se llama fracción generatriz de una expresión decimal a una fracción cualquiera representante del número racional del que es representación la expresión decimal dada. Reglas: -

Si el decimal es exacto, se escribe el número que resulta de quitar la coma al decimal, partido de la unidad seguida de tantos ceros como cifras hay después de la coma.

47

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

25,4 → -

Si el número es periódico puro, la fracción tiene por numerador la parte entera seguida del primer período (sin coma) menos la parte entera, y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo. 32, 45 →

-

254 10

3245 − 32 3213 = 99 99

Si el número es periódico mixto, el numerador estå formado por la parte entera seguida de la parte no periódica y del primer período menos la parte entera seguida de la parte no periódica, y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como tiene la parte no periódica. 33,456 →

33456 − 334 33122 = 990 990

El arco se coloca encima de las cifras correspondientes al periodo: 32, 45 = 32,454545 â‹Ż

7. RADICACIĂ“N 7.1. Generalidades Se define como raĂ­z enĂŠsima de un nĂşmero N, al nĂşmero x que elevado a la enĂŠsima potencia da N. Se representa asĂ­: đ?‘›

đ?‘ = đ?‘Ľ ⇒ đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘

donde n es el Ă­ndice, N el radicando y x la raĂ­z. Si n = 2, no es necesario escribir el 2 y se llama raĂ­z cuadrada. Dos radicales son semejantes cuando despuĂŠs de simplificados tienen el mismo Ă­ndice y el mismo radicando.

48

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

7.2. Potencias de exponente racional đ?‘Ž

đ?‘€đ?‘? =

đ?‘?

��

de donde 1

đ?‘ đ?‘› =

đ?‘›

đ?‘

7.3. Operaciones con radicales 7.3.1. Suma de radicales Se escriben unos a continuaciĂłn de otros con su propio signo, luego se reducen los radicales semejantes, si los hay. 3

3

3

8+ 4− 5+ 8−2 5=

3

8+ 8 + − 5−2 5 + 4

3

=2 8−3 5+ 4

7.3.2. MultiplicaciĂłn de radicales Para que puedan multiplicarse es preciso que tengan el mismo Ă­ndice, y en este caso se deja el Ă­ndice comĂşn y se multiplican los radicandos 3

3

5∙ 4=

3

20

Si los radicales no tienen Ă­ndice comĂşn se reducen a ĂŠste como veremos a continuaciĂłn.

7.3.3. ReducciĂłn de radicales a Ă­ndice comĂşn Se buscan el mĂ­nimo comĂşn mĂşltiplo de todos los Ă­ndices, y ĂŠste se deja como Ă­ndice comĂşn; cada radicando se eleva al cociente de dividir dicho m.c.m. por el Ă­ndice que tuviese al principio. 3

4

5∙ 4∙ 7 đ?‘š. đ?‘?. đ?‘š. 2, 3, 4 = 12 12

56 ∙

12

44 ∙

12

73 =

12

56 ∙ 44 ∙ 73 49

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

7.3.4. DivisiĂłn de radicales Han de tener tambiĂŠn el mismo Ă­ndice dividendo y divisor. Para dividirlos, se deja el mismo Ă­ndice y se dividen los radicandos đ?‘› đ?‘›

9

đ?‘›

=

3

9 3=

đ?‘›

3

7.3.5. Potencia enĂŠsima de un radical Para elevar un radical a un exponente se deja el mismo Ă­ndice y se eleva el radicando a dicho exponente đ?‘›

đ??´

đ?‘š

=

đ?‘›

đ??´đ?‘š

7.3.6. RaĂ­z enĂŠsima de un radical Se deja el mismo radicando y se pone como Ă­ndice el producto de los Ă­ndices đ?‘› đ?‘š

đ?‘› ∙đ?‘š

đ?‘ =

đ?‘

7.4. RacionalizaciĂłn Se llama asĂ­ a la operaciĂłn mediante la cual se consigue que desaparezcan las raĂ­ces del denominador sin que varĂ­e el cociente. -

Primer caso. Si el denominador es un monomio; en este caso se multiplican numerador y denominador por la expresiĂłn conveniente, teniendo en cuenta que si el radicando estĂĄ elevado al mismo valor que el Ă­ndice desaparece la raĂ­z 3đ?‘Ž − đ?‘? 3

3

3đ?‘Ž − đ?‘? ∙ 72 3

3

7 ∙ 72

3

=

7

3

3đ?‘Ž 72 − đ?‘? 72 3

7 ∙ 72

3

=

3

3đ?‘Ž 72 − đ?‘? 72 3

73

3

3

3đ?‘Ž 72 − đ?‘? 72 = 7

50

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

-

Segundo caso. Si el denominador es un binomio de radicales cuadrĂĄticos (de Ă­ndice 2). En este caso se emplea la siguiente regla: se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del denominador đ?‘Ľ đ?‘Ž+ đ?‘? el binomio conjugado del denominador es đ?‘Ž − đ?‘? đ?‘Ľ

đ?‘Ž+ đ?‘?

=

đ?‘Ľ

đ?‘Žâˆ’ đ?‘?

đ?‘Ž+ đ?‘?

đ?‘Žâˆ’ đ?‘?

đ?‘Ľ đ?‘Žâˆ’đ?‘Ľ đ?‘?

=

đ?‘Ž

2

−

đ?‘?

2

=

đ?‘Ľ đ?‘Žâˆ’đ?‘Ľ đ?‘? đ?‘Žâˆ’đ?‘?

7.5. SimplificaciĂłn de radicales Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente de expresiĂłn mĂĄs sencilla. Propiedades: 1. 2.

Un radical no varĂ­a su valor si se multiplican o dividen el Ă­ndice y el exponente por el mismo nĂşmero. Para sacar un factor fuera de un radical se divide el exponente entre el Ă­ndice y el factor sale fuera del radical con un exponente igual al cociente de la divisiĂłn, quedando el resto de la misma (si lo hay) como exponente del mismo factor dentro del radical. 5

312 = 32 ∙

5

32

ya que: 12 = 5 ∙ 2 + 2 3.

4. 5.

Inversamente, para introducir un factor dentro de un radical bastarĂĄ multiplicar su exponente por el Ă­ndice de la raĂ­z. Se utiliza cuando se pueden hacer radicales semejantes y de esta manera sumarlos. ReducciĂłn de radicales a Ă­ndice comĂşn (visto). A veces, para hacer una operaciĂłn con radicales, nos interesa poner a ĂŠstos en forma de potencia.

Ejemplos: 3

3

đ?‘š4 ∙ đ?‘›3 ∙ đ?‘? 6 ∙ đ?‘? = đ?‘š ∙ đ?‘› ∙ đ?‘? 2 ∙ đ?‘š ∙ đ?‘?

51

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

2∙ 2∙

3

đ?‘Ž2 +

3

đ?‘Ž5 + 3 ∙

6

3

đ?‘? 6 ∙ đ?‘Ž4 3∙

2∙

3

đ?‘Ž2 + đ?‘Ž ∙

3

đ?‘Ž2 + 3 ∙ đ?‘? ∙

3

6

3

đ?‘Ž2 = 2 ∙

đ?‘Ž5 = đ?‘Ž ∙

đ?‘? 6 ∙ đ?‘Ž4 = 3 ∙ đ?‘? ∙

6

3

3

đ?‘Ž2

đ?‘Ž2

đ?‘Ž4 = 3 ∙ đ?‘? ∙

đ?‘Ž2 = 2 + đ?‘Ž + 3 ∙ đ?‘? ∙

3

3

đ?‘Ž2

đ?‘Ž2

7.6. CĂĄlculo de la raĂ­z cuadrada de un nĂşmero 1ÂŞ.- Se divide el nĂşmero propuesto en grupos de a dos cifras, a partir de la derecha; el grupo de la izquierda podrĂĄ resultar con una sola cifra. 2ÂŞ.- Se extrae la raĂ­z cuadrada del grupo de la izquierda, y asĂ­ se obtiene la primera cifra de la raĂ­z. Se eleva ĂŠsta al cuadrado y se resta del primer grupo de la izquierda. 3ÂŞ.- A la derecha del resto obtenido se baja el grupo siguiente del radicando, se separa con una coma la Ăşltima cifra de la derecha, y la cifra de la izquierda se divide por el duplo de la parte de la raĂ­z hallada. El cociente calculado se escribe a la derecha del duplo de la raĂ­z y el nĂşmero asĂ­ formado se multiplica por el mismo cociente calculado. Si el producto se puede restar de todo el primer resto, la cifra calculada como cociente es buena y serĂĄ la segunda cifra de la raĂ­z, escribiĂŠndose a la derecha de la primera. 4ÂŞ.- A la derecha del segundo resto obtenido se escribe el grupo siguiente del radicando. Se separa con una coma la primera cifra de la derecha y el grupo que queda a la izquierda se divide por el duplo de la raĂ­z hallada, continuando como se ha dicho antes hasta bajar el Ăşltimo grupo del radicando. 104976 10, 49, 76 comenzando por la derecha y hallamos la raĂ­z cuadrada por defecto del 1 grupo de la izquierda er

52

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

5,428

5,4280 -4 142 -129 1380 - 924 456

2,3 43 ∙ 3 = 129

2 x 2 = 4;

462 ∙ 2 = 924

23 x 2 = 46; 138 : 46 = 3 463 ∙ 3 = 1389 > 1380

14 : 4 = 3

8. NĂšMERO REAL 8.1. Generalidades En la operaciĂłn de radicaciĂłn existen dos dificultades que no se pueden solucionar en el campo de los nĂşmeros racionales, son las siguientes: -

Si tratamos de hallar una raĂ­z enĂŠsima, donde n sea un nĂşmero par, de un nĂşmero negativo, esto no es posible puesto que no existe ningĂşn nĂşmero que elevado a exponente par dĂŠ como resultado un nĂşmero negativo.

-

Aun en el caso de que el radicando sea positivo, puede ocurrir que no tenga raĂ­z enĂŠsima dentro del campo de los nĂşmeros racionales. AsĂ­, por ejemplo, si tratamos de hallar la raĂ­z cuadrada de 3, vemos que por muchas cifras decimales que saquemos nunca llegaremos a un resto cero, ni a tener un periodo.

El segundo problema se soluciona introduciendo el nuevo campo de los nĂşmeros reales, el cual comprende a todos los nĂşmeros racionales y ademĂĄs a aquellos que hemos citado Ăşltimamente llamados irracionales đ?‘™đ?‘Ž 2, 3, 5, đ?œ‹, đ?‘’ . El primer problema se solucionarĂĄ despuĂŠs con la introducciĂłn de los nĂşmeros complejos.

8.2. Concepto de nĂşmero real Vamos a utilizar el mĂŠtodo de las sucesiones monĂłtonas convergentes. 53

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Una sucesión numÊrica es una aplicación cuyo conjunto original es el conjunto de los números naturales. Cuando el conjunto final es el conjunto de los números racionales, la sucesión se llama de números racionales. Para las sucesiones se emplea la siguiente notación para representar el valor de la función u correspondiente a valor n de la variable: un en lugar de u(n) como se hace para otras funciones. Los valores que toma la función se llaman tÊrminos de la sucesión, llamåndose a un tÊrmino enÊsimo de la sucesión. Una sucesión a1, a2,‌ an que verifica que: �1 ≤ �2 ≤ ⋯ ≤ �� se llama sucesión monótona creciente. Si la sucesión �1′ , �2′ ⋯ ��′ , verifica que: �1′ ≼ �2′ ≼ ⋯ ≼ ��′ se llama monótona decreciente. Se define como par de sucesiones monótonas convergentes al conjunto formado por dos sucesiones (�� ) y (��′ ) tales que: -

Una de ellas es monĂłtona creciente. Otra es monĂłtona decreciente. đ?‘Žđ?‘– < đ?‘Žđ?‘–′ para todo valor de i. La diferencia đ?‘Žđ?‘–′ − đ?‘Žđ?‘– llega a ser un valor absoluto menor que cualquier nĂşmero ∊ > 0, desde un valor de i en adelante.

Se llama número real a todo par de sucesiones monótonas convergentes. Número real [(0,0)] a: 0≤0≤0≤0≤⋯ 0≼0≼0≼0≼⋯ Todo número real mayor que el [(0,0)] se llama positivo y los menores que el [(0,0)] se llaman negativos.

54

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

El valor absoluto de un nĂşmero positivo es ĂŠl mismo, y el valor absoluto de un nĂşmero negativo es su opuesto.

8.3. Estructura del conjunto de los números reales 8.3.1. Suma de números reales �� , ��′

+ đ?‘?đ?‘– , đ?‘?đ?‘–′

=

đ?‘Žđ?‘– + đ?‘?đ?‘– , đ?‘Žđ?‘–′ + đ?‘?đ?‘–′

Propiedades: -

Es una ley de composiciĂłn interna. Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa. Posee elemento neutro [(0,0)] Todo nĂşmero real đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘–′ tiene su simĂŠtrico, que es el −đ?‘Žđ?‘– , −đ?‘Žđ?‘–′ , es decir, su opuesto; ambos sumados dan como resultado el elemento neutro.

El conjunto R respecto a la suma tiene estructura de grupo abeliano.

8.3.2. Diferencia de nĂşmeros reales Para restar dos nĂşmeros reales basta con sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Es por tanto, un caso particular de la suma.

8.3.3. Multiplicación de números reales �� , ��′

∙ đ?‘?đ?‘– , đ?‘?đ?‘–′

=

đ?‘Žđ?‘– ∙ đ?‘?đ?‘– , đ?‘Žđ?‘–′ ∙ đ?‘?đ?‘–′

1 ≤ 1,2 ≤ 1,24 ≤ ⋯ 2 ≼ 1,3 ≼ 1,25 ≼ ⋯ 2 ≤ 2,0 ≤ 2,01 ≤ ⋯ 3 ≼ 2,1 ≼ 2,02 ≼ ⋯

55

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Producto: 2 ≤ 2,4 ≤ 2,4924 ≤ ⋯ 6 ≼ 2,73 ≼ 2,5250 ≼ ⋯ Propiedades: -

Ley de composición interna. Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa. 1≤1≤1≤1≤⋯ Elemento neutro [(1,1)] 1≼1≼1≼1≼⋯ Todo número real �� , ��′ tiene como simÊtrico a su inverso 1

đ?‘Žđ?‘– ,

1

��′

El conjunto R* = R – {0}, tiene estructura de grupo conmutativo. Como ademĂĄs se verifica la propiedad distributiva de la multiplicaciĂłn respecto de la suma, (R, +, ∙) tiene estructura de cuerpo. Es el cuerpo de los nĂşmeros reales.

8.3.4. DivisiĂłn de nĂşmeros reales đ??´=đ??ľâˆ™đ??ś

A = dividendo B = divisor ≠0 C = cociente

Basta multiplicar el primero por el inverso del segundo. Luego la divisiĂłn a efectos de estructura es un caso particular de la multiplicaciĂłn.

8.4. Inmersión del conjunto Q de los números racionales en el conjunto R de los números reales Si consideramos el subconjunto R1 del conjunto de los números reales R, formado por los elementos de la forma �, � y �� , ��′ , siempre que el número �� , ��′ se pueda escribir en forma de fracción, comprobamos que se trata de un subconjunto de R, es decir, un cuerpo con las mismas operaciones que R. R1 es idÊntico a Q de los números racionales y ambos se comportan igual, pudiÊndose considerar por tanto a Q como un subconjunto de R. Todos los números reales que no son racionales se llaman irracionales. 56

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

9. LOGARITMIZACIĂ“N 9.1. Generalidades LogaritmizaciĂłn es la operaciĂłn inversa a la potenciaciĂłn. Se llama logaritmo en base b de un nĂşmero N al exponente a que hay que elevar dicha base para obtener el nĂşmero N. log đ?‘? đ?‘ = đ?‘Ľ ⇒ đ?‘? đ?‘Ľ = đ?‘ ;

đ?‘? >0đ?‘Ś ≠1

9.2. Propiedades de los logaritmos 1.- El logaritmo de la base es la unidad. log đ?‘? đ?‘? = 1 ⇒ đ?‘?1 = đ?‘? 2.- En cualquier caso, el logaritmo de 1 es 0. log đ?‘? 1 = 0 ⇒ đ?‘? 0 = đ?‘? 3.- Si la base es mayor que 1, al aumentar el nĂşmero aumenta su logaritmo. Tienen logaritmo positivo los nĂşmeros mayores que 1 y logaritmo negativo los menores que 1. 4.- Si la base es menor que 1, al aumentar el nĂşmero disminuye el logaritmo, y en este caso tienen logaritmo positivo los nĂşmeros menores que 1 y negativo los mayores que 1. 5.- Los nĂşmeros negativos no tienen logaritmo real, ya que hemos dicho que la base ha de ser positiva y distinta de 1, y cualquier nĂşmero positivo elevado a cualquier exponente (positivo o negativo) da como resultado un nĂşmero positivo. 6.- El logaritmo de 0 en cualquier base es (- ∞) 7.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log đ?‘? đ?‘ ∙ đ?‘€ = log đ?‘? đ?‘ + log đ?‘? đ?‘€

57

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

8.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. log đ?‘?

đ?‘ = log đ?‘? đ?‘ − log đ?‘? đ?‘€ đ?‘€

9.- El logaritmo de la potencia de un nĂşmero es igual al exponente por el logaritmo de la base. log đ?‘? đ?‘ đ?‘› = đ?‘› log đ?‘? đ?‘ 10.- El logaritmo de la raĂ­z enĂŠsima de un nĂşmero M es igual al logaritmo de dicho nĂşmero M dividido por el Ă­ndice n de la raĂ­z. log đ?‘?

đ?‘›

1

đ?‘€ = log đ?‘? đ?‘€đ?‘› =

log đ?‘? đ?‘€ đ?‘›

Ejemplo: 3

34 ∙ 15 3 log = log 34 ∙ 15 − log 128 ∙ 540 40 128 ∙ 5 3 = log 34 + log 15 − log 128 + log 540 1 = 4 ∙ log 3 + ∙ log 15 − log 128 − 40 ∙ log 5 3

9.3. Logaritmos decimales Los logaritmos decimales, o de base 10, son los mĂĄs utilizados y reciben tambiĂŠn el nombre de logaritmo de Briggs. Se escriben “logâ€? sin indicar la base. log 10 = 1 log 100 = 2 log 0,1 = −1 log 0,01 = −2 Logaritmos enteros las potencias de 10; lo tendrĂĄn positivo y el valor serĂĄ el nĂşmero de ceros que sigue a la unidad. Los decimales de la forma 0,1 - 0,01 - 0,001‌, los tendrĂĄn negativos y con un valor igual al nĂşmero total de ceros incluyendo el que estĂĄ delante de la coma. 58

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Los logaritmos de todos los demĂĄs nĂşmeros no serĂĄn enteros, sino que estarĂĄn formados por una parte entera llamada caracterĂ­stica y una parte decimal llamada mantisa.

9.3.1. CĂĄlculo de la caracterĂ­stica A).- Si el nĂşmero es mayor que la unidad, la caracterĂ­stica es un nĂşmero entero positivo y cuyo valor es el nĂşmero de cifras que haya antes de la coma disminuido en una unidad. B).- Si el nĂşmero es menor que la unidad, la caracterĂ­stica es un nĂşmero negativo cuyo valor absoluto es igual al lugar que ocupa la primera cifra significativa despuĂŠs de la coma.

9.3.2. CĂĄlculo de la mantisa Lo primero que tendremos en cuenta es que el valor de la mantisa es independiente de la posiciĂłn de la coma. đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘€ đ?‘Ś đ?‘€ ∙ 10 (đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ) đ?‘?đ?‘–đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘ đ?‘–đ?‘”đ?‘›đ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ś đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘Ž đ?‘’đ?‘› đ?‘‘đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘™đ?‘˘đ?‘”đ?‘Žđ?‘&#x;. đ?‘›

log đ?‘€ = đ?‘Ľ

âˆś

log đ?‘€ ∙ 10đ?‘› = log đ?‘€ + log 10đ?‘› = đ?‘Ľ + đ?‘›

y como n es un nĂşmero entero, dichos logaritmos sĂłlo se diferenciarĂĄn en la caracterĂ­stica, pero no en la mantisa. Se ha convenido que la mantisa es siempre positiva independientemente del signo de la caracterĂ­sticas, para lo cual, si la caracterĂ­stica es negativa, el signo “menosâ€? se le coloca encima indicando asĂ­ que sĂłlo ella es negativa, pero no la mantisa. Para buscar la mantisa suprimimos la coma y los ceros del final y a continuaciĂłn miraremos en una tabla de logaritmos. Para buscar la mantisa, miraremos dĂłnde se cruza la fila encabezada por el nĂşmero formado por las dos primeras cifras y la columna encabezada por la tercera cifra; al nĂşmero encontrado en dicho cruce le sumaremos el que estĂĄ situado en la misma fila, pero en la columna de la derecha del todo, que va encabezada por la cuarta cifra. Si el nĂşmero tiene mĂĄs de cuatro cifras significativas cometemos algo de error, pero podemos acudir al mĂŠtodo de interpolaciĂłn. 59

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

log 4328 CaracterĂ­stica: 4 − 1 = 3 Mantisa: fila 43 y columna

2 = 6355

fila derecha y columna 8 =

8

6355 + 8 = 6363 log 4328 = 3,6363

9.3.2.1. MĂŠtodo de interpolaciĂłn log 354,78 CaracterĂ­stica: 3 − 1 = 2 Mantisa: Se halla la mantisa de los nĂşmeros 354,70 ⇒ 5499 y 354,80 ⇒ 5500 354,80 − 354,70 = 0,10 5500 − 5499 = 1 354,78 − 354,70 = 0,08 la variaciĂłn de la mantisa es proporcional a la variaciĂłn en el nĂşmero: 0,08 đ?‘Ľ = ; đ?‘Ľ = 0,8 0,10 1 El valor obtenido se lo sumamos a la mantisa encontrada para 354,70, y obtenemos la mantisa del nĂşmero que nos interesa: 5499 + 0,8 = 54998 log 354,78 = 2,54998 60

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

TABLA DE LOGARITMOS DECIMALES Partes proporcionales

Nº 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

0 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 0

1 0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 1

2 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 2

3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 3

4 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 4

5 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 5

6 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955 7042 7126 7210 7292 7372 6

7 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964 7050 7135 7218 7300 7380 7

8 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972 7059 7143 7226 7308 7388 8

9 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396 9

1 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 8 8 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 12 11 10 10 9 8 8 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3

4 17 15 14 13 12 11 11 10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 4

5 21 19 17 16 15 14 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 5

6 25 23 21 19 18 17 16 15 14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 6

7 29 26 24 23 21 20 18 17 16 16 15 14 14 13 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 7

8 33 30 28 26 24 22 21 20 19 18 17 16 15 15 14 14 13 13 12 12 11 11 11 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 6 8

9 37 34 31 29 27 25 24 22 21 20 19 18 17 17 16 15 15 15 14 13 13 12 12 12 11 11 11 10 10 10 10 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 7 7 7 9

Tabla 1

61

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

TABLA DE LOGARITMOS DECIMALES Partes proporcionales

Nº 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

0 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 0

1 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 1

2 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 2

3 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 3

4 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 4

5 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 5

6 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 6

7 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 7

8 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 8

9 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3

4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5

6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6

7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7

8 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 8

9 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9

Tabla 2

62

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

9.4. Antilogaritmo Se llama antilogaritmo al nĂşmero que corresponde a un logaritmo dado. antilog 3 = 1.000 log 1.000 = 3

antilog 3,5497 La caracterĂ­stica es 3, lo cual indica que el nĂşmero que buscamos tiene cuatro cifras enteras. La mantisa es 5497 y en la tabla tenemos el 5490 y la diferencia entre ambos es 7.

đ??źđ?‘›đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘œ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ąđ?‘šđ?‘œ

đ??żđ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘–đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ 35 đ?‘™đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘?đ?‘–đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Ž 4 đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘?đ?‘–đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Ž 6

antilog 3,5497 = 3546 log 3546 = 3,5497

9.5. Cologaritmo Se llama cologaritmo de un nĂşmero N al logaritmo de su recĂ­proco 1/N. colog đ?‘ = log 1/đ?‘ = log 1 − log đ?‘ = 0 − log đ?‘ = − log đ?‘ log đ?‘€/đ?‘ = log đ?‘€ + colog đ?‘ Para calcular el cologaritmo se aplica la siguiente regla: Se suma una unidad positiva a la caracterĂ­stica del logaritmo y luego se cambia de signo: las cifras decimales de la mantisa se restan de 9, excepto la Ăşltima cifra significativa, que se resta de 10. colog 45,78 log 45,78 = 1,6607

CaracterĂ­stica: 1 + 1 = 2 ⇒ (−2)

63

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Mantisa:

999 − 660 339

10 −7 3

⇒

3393

colog 45,78 = 2 , 3393

9.6. Logaritmos neperianos Los logaritmos neperianos son los que tienen como base el nĂşmero “eâ€?. Suelen escribirse mediante la letra L o bien ln. đ?‘’ â‹? 2,72 đ??żđ?‘ = log đ?‘’ đ?‘ = đ?‘Ľ ⇒ đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘’ = 10đ?‘Ś log đ?‘ = đ?‘Ś ⇒ 10đ?‘Ś = đ?‘ Si tomamos logaritmos en los dos miembros de la Ăşltima igualdad: log đ?‘’ đ?‘Ľ = log 10đ?‘Ś ; đ?‘Ľ ∙ log đ?‘’ = đ?‘Ś ∙ log 10 ; đ?‘Ľ ∙ log 2,72 = đ?‘Ś ∙ 1 buscamos en la tabla el log 2,72 log 2,72 = 0,4346 luego: đ??żđ?‘ = đ?‘Ľ =

đ?‘Ś log đ?‘ = 0,4346 0,4346

đ??żđ?‘ = 2,3 ∙ log đ?‘ (2,3 es el inverso de 0,4346)

Para cualquier base: log đ?‘? đ?‘ = đ?‘Ľ =

đ?‘Ś đ??Ľđ??¨đ?? đ?‘ľ = log đ?‘? đ??Ľđ??¨đ?? đ?’ƒ

64

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

9.7. CĂĄlculo logarĂ­tmico 1).đ?‘Ľ=

457 4

4 ∙ 37

log đ?‘Ľ = log

457 4

4 ∙ 37

1 log đ?‘Ľ = 7 ∙ log 45 − log 4 + ∙ log 37 4 1 log đ?‘Ľ = 7 ∙ 1,6532 − 0,6021 − ∙ 1,5682 = 11,5724 − 0,9941 = 10,5783 4 đ?‘Ľ = antilog 10,5783 = 3787 ∙ 107 2).đ?‘Ľ = 45,3 ∙ log đ?‘Ľ = log 45,3 ∙

3

3

0,362

1 1 0,362 = log 45,3 + ∙ log 0,362 = 1,6561 + ∙ 1 , 5587 3 3

Problema dividir entre 3 caracterĂ­stica negativa y mantisa positiva. 1 1 ∙ 1, 5587 = ∙ −3 + 2,5587 = −1 + 0,8529 = 1, 8529 3 3 Ăł 1, 5587 = −0,4413 (log đ?‘ = − colog đ?‘ ), 1 ∙ −0,4413 = −0,1471 3 y buscamos su cologaritmo, con lo que tenemos de nuevo el logaritmo: −0,1471 = 1, 8529 log đ?‘Ľ = 1,6561 + 1, 8529 = 1,5090 đ?‘Ľ = antilog 1,5090 = 32,28

65

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Cuando se realiza el cĂĄlculo con logaritmos, siempre que interese, puede pasarse de la forma de caracterĂ­stica negativa y mantisa positiva a la de caracterĂ­stica y mantisa negativas o viceversa, aplicando la regla de cĂĄlculo de cologaritmo.

9.8. Ecuaciones logarĂ­tmicas Son aquellas en que la incĂłgnita aparece bajo la operaciĂłn del logaritmo. a).- Dejarla en la forma: log 1đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘šđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œ = log 2Âş đ?‘šđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œ b).- Tomar antilogaritmos correspondientes y pasarnos a los nĂşmeros: 1đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘šđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œ = 2Âş đ?‘šđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œ Ejemplo1.log 16 − đ?‘Ľ 2 =2 log 3đ?‘Ľ − 4 log 16 − đ?‘Ľ 2 = 2 ∙ log 3đ?‘Ľ − 4 log 16 − đ?‘Ľ 2 = log 3đ?‘Ľ − 4 16 − đ?‘Ľ 2 = 3đ?‘Ľ − 4 10đ?‘Ľ 2 − 24đ?‘Ľ = 0

2

2

đ?‘Ľ1 = 0 đ?‘Ľ2 = 2,4

Ejemplo 2.log đ?‘Ľ + 3 ∙ log đ?‘Ś = 5 đ?‘Ľ2 log = 3 đ?‘Ś los antilogaritmos de 5 y 3 son respectivamente 105 y 103. log đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś 3 = log 105 đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś 3 = 105 đ?‘Ľ = 100 2 2 log đ?‘Ľ đ?‘Ś = log 103 đ?‘Ľ đ?‘Ś = 103 đ?‘Ś = 10

66

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

9.9. Ecuaciones exponenciales Se llama asĂ­ a aquellas ecuaciones en las que la incĂłgnita figura como exponente. Ejemplo 1.3đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ+1 + 3đ?‘Ľ+2 = 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ+1 + 2đ?‘Ľ+2 en una suma no podemos tomar logaritmos. đ?‘€đ?‘Ž+đ?‘? = đ?‘€đ?‘Ž ∙ đ?‘€đ?‘? 3 đ?‘Ľ + 3 ∙ 3 đ?‘Ľ + 32 ∙ 3 đ?‘Ľ = 2 đ?‘Ľ + 2 ∙ 2 đ?‘Ľ + 22 ∙ 2 đ?‘Ľ 3đ?‘Ľ 1 + 3 + 9 = 2đ?‘Ľ 1 + 2 + 4 log 13 ∙ 3đ?‘Ľ = log 7 ∙ 2đ?‘Ľ log 13 + đ?‘Ľ ∙ log 3 = log 7 + đ?‘Ľ ∙ log 2 1,1139 + 0,4771 ∙ đ?‘Ľ = 0,8451 + 0,3010 ∙ đ?‘Ľ 0,2688 = −0,1761 ∙ đ?‘Ľ đ?‘Ľ=−

0,2688 = −1,5 0,1761

Ejemplo 2.42đ?‘Ľ − 8 ∙ 4đ?‘Ľ + 12 = 0 Hacer un cambio en la variable 4đ?‘Ľ đ?‘™đ?‘œ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘š đ?‘š2 − 8 ∙ đ?‘š + 12 = 0 đ?‘š=

8 Âą 64 − 48 8 Âą 4 đ?‘š1 = 6 = đ?‘š2 = 2 2 2

Vamos a calcular los valores de x đ?‘š = 4đ?‘Ľ = 6 đ?‘Ľ ∙ log 4 = log 6 67

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

đ?‘Ľ=

log 6 0,7782 = = 1,29 log 4 0,6021 đ?‘š = 4đ?‘Ľ = 2 đ?‘Ľ ∙ log 4 = log 2

đ?‘Ľ=

log 2 0,3010 = = 0,5 log 4 0,6021

10. PROGRESIONES Una progresiĂłn es una sucesiĂłn en la que los tĂŠrminos se obtienen por aplicaciĂłn sucesiva de una misma ley.

10.1.

Progresiones aritmĂŠticas

Se llama progresiĂłn aritmĂŠtica a una sucesiĂłn de nĂşmeros tales que cada uno se obtiene del anterior sumĂĄndole una constante llamada “diferenciaâ€? o (impropiamente) razĂłn de la progresiĂłn. 2, 5, 8, 11â‹Ż đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ąđ?‘šĂŠđ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§Ăłđ?‘› 3 Las progresiones aritmĂŠticas pueden ser crecientes (con razĂłn positiva) y decrecientes (razĂłn negativa). Cada uno de los nĂşmeros de una progresiĂłn se llama tĂŠrmino, llamĂĄndose extremos a los tĂŠrminos primero y Ăşltimo, y medios a los demĂĄs. Las progresiones que no tienen Ăşltimo tĂŠrmino se llaman ilimitadas. CĂĄlculo del tĂŠrmino enĂŠsimo: đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Ž1 + đ?‘› − 1 ∙ đ?‘‘ an = tĂŠrmino enĂŠsimo a1 = primer tĂŠrmino n = nĂşmero de tĂŠrminos d = razĂłn 68

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Suma de los n primeros tÊrminos: �=

1 đ?‘Ž + đ?‘Žđ?‘› ∙ đ?‘› 2 1

InterpolaciĂłn: Se llama interpolar m medios diferenciales entre dos nĂşmeros dados a y b, a la formaciĂłn de una progresiĂłn aritmĂŠtica de m + 2, tĂŠrminos cuyos extremos sean a y b. El problema se resume en encontrar la razĂłn de la progresiĂłn: đ?‘? =đ?‘Ž+ đ?‘š+2−1 ∙đ?‘‘ de donde: đ?‘‘=

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘š+1

đ?‘Ž, đ?‘Ž + đ?‘‘, đ?‘Ž + đ?‘‘ + đ?‘‘, â‹Ż đ?‘?

10.2.

Progresiones geomĂŠtricas

Se llama progresiĂłn geomĂŠtrica a una sucesiĂłn de nĂşmeros tales que cada uno se obtiene del anterior multiplicĂĄndolo por una constante, llamada razĂłn de la progresiĂłn. Si r > 1, la progresiĂłn es creciente, y si r < 1, es decreciente. 1, 2, 4, 8, 16â‹Ż (đ?‘&#x; = 2) 9, 3, 1,

1 â‹Ż (đ?‘&#x; = 1 3) 3

En el caso de que r < 0 (negativa), los tĂŠrminos se van alternando, y uno es positivo y otro es negativo. En este caso, la progresiĂłn se llama “alternanteâ€? 2, −4, 8, −16â‹Ż (đ?‘&#x; = −2) CĂĄlculo del tĂŠrmino enĂŠsimo: đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Ž1 ∙ đ?‘&#x; đ?‘›âˆ’1

69

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Suma de los n primeros tÊrminos: �� =

đ?‘Ž1 đ?‘&#x; đ?‘› − 1 đ?‘&#x;−1

Producto de los n primeros tĂŠrminos: đ?‘ƒ=

đ?‘Ž1 ∙ đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›

InterpolaciĂłn: Interpolar m “medios geomĂŠtricosâ€? entre los nĂşmeros dados a y b es formar una progresiĂłn geomĂŠtrica de m + 2, tĂŠrminos cuyos extremos sean a y b. đ?‘? = đ?‘Ž ∙ đ?‘&#x; đ?‘š +2−1 đ?‘&#x;=

đ?‘š +1

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘Ž, đ?‘Ž ∙ đ?‘&#x;, đ?‘Ž ∙ đ?‘&#x; ∙ đ?‘&#x;, â‹Ż đ?‘?

10.3.

Progresiones ilimitadas

Son aquellas en que n = ∞ Veremos cuatro casos: A) Progresiones aritmĂŠticas ilimitadas decrecientes. Su tĂŠrmino enĂŠsimo serĂĄ −∞, y la suma de todos sus tĂŠrminos tambiĂŠn serĂĄ −∞. B) Progresiones aritmĂŠticas ilimitadas crecientes. Tanto su tĂŠrmino enĂŠsimo como su suma tenderĂĄn a ∞. C) Progresiones geomĂŠtricas ilimitadas crecientes (r > 1). Tanto el tĂŠrmino enĂŠsimo como la suma tienden a ∞. D) Progresiones geomĂŠtricas ilimitadas decrecientes (r < 1). đ?‘Ž1 đ?‘&#x; đ?‘› − 1 đ?‘†đ?‘› = đ?‘&#x;−1 đ?‘†đ?‘› = đ?‘†đ?‘› =

đ?‘Ž1 − đ?‘Ž1 ∙ đ?‘&#x; đ?‘› 1−đ?‘&#x;

đ?‘Ž1 đ?‘Ž1 ∙ đ?‘&#x; đ?‘› − 1−đ?‘&#x; 1−đ?‘&#x; 70

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

Puesto que n crece ilimitadamente, rn → 0, con lo que el segundo tÊrmino de la suma tiende tambiÊn a 0 y queda para la expresión de la suma: �� =

10.4.

đ?‘Ž1 1−đ?‘&#x;

Problemas de aplicaciĂłn

1).- Colocar 50 piedras en línea recta y que disten del sitio en que se encuentran reunidas 5 metros, 10 metros, 15 metros, etc. ¿Cuål es la distancia que debe recorrerse para colocar las piedras, llevåndose una sola cada vez? d=5 a1 = 5 n = 50 Se trata de una progresión aritmÊtica y lo que pide el problema es el doble de la suma de todos los tÊrminos (ir y volver). �=

1 đ?‘Ž + đ?‘Žđ?‘› ∙ đ?‘› 2 1

đ?‘Ž50 = đ?‘Ž1 + 50 − 1 ∙ đ?‘‘ đ?‘Ž50 = 5 + 49 ∙ 5 = 250 đ?‘†=

1 1 5 + 250 ∙ 50 = ∙ 255 ∙ 50; 2 2 2đ?‘† = 255 ∙ 50 = 12750

Se han de recorrer 12750 metros en total. 2).- Tres nĂşmeros estĂĄn en progresiĂłn geomĂŠtrica. El segundo es 16 unidades mayor que el primero, y el tercero 48 unidades mayor que el segundo. Hallar estos nĂşmeros. Los nĂşmeros son: a, a + 16, a + 16 + 48. CondiciĂłn para que sea progresiĂłn geomĂŠtrica: “el cociente entre el segundo tĂŠrmino y el primero ha de ser igual al cociente entre el tercero y el segundoâ€?

71

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

đ?‘Ž + 16 đ?‘Ž + 64 = đ?‘Ž đ?‘Ž + 16 đ?‘Ž + 16

2

= đ?‘Ž2 + 64đ?‘Ž

đ?‘Ž2 + 256 + 32đ?‘Ž = đ?‘Ž2 + 64đ?‘Ž đ?‘Ž=

256 =8 32

Los números son 8, 24, 72 y r = 3 3).- Hallar la fracción generatriz del número 2,282828‌ 2 + 0,28 + 0,0028 + 0,000028 ‌ Prescindiendo de la parte entera (2), el resto es la suma de los tÊrminos de una progresión geomÊtrica ilimitada decreciente, cuya r = 0,01 y su primer tÊrmino 0,28. �=

0,28 0,28 28 = = 1 − 0,01 0,99 99

le aùadimos de nuevo la parte entera que habíamos dejado: 2,282828 ‌ = 2 +

28 226 = 99 99

Aplicando las reglas para calcular fracciones generatrices, el resultado es el mismo. 4).- Inscribe en un cuadrado de lado 2 metros un cĂ­rculo, en ĂŠste un cuadrado, en ĂŠste un cĂ­rculo y asĂ­ de nuevo e indefinidamente. Hallar el lĂ­mite de la suma de las ĂĄreas de todos los cuadrados.

l1 = 2 (lado del primer cuadrado) r1 = 1 (radio del primer cĂ­rculo)

La diagonal del segundo cuadrado es el diĂĄmetro del primer cĂ­rculo y, por tanto, el lado del primer cuadrado. Esto irĂĄ sucediendo en todos los casos, luego: đ?‘™12 = 2 ∙ đ?‘™22 , đ?‘™22 = 2 ∙ đ?‘™32 , ‌ 72

INTRODUCCIĂ“N A LAS MATEMĂ TICAS

de donde: 1 1 �2 = �1 ; �3 = �2 ‌ 2 2 hemos escrito esto teniendo en cuenta que el årea de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado. Por tanto, las åreas de todos esos cuadrados forman una progresión geomÊtrica decreciente de r = 1/2, y su suma es: �=

đ?‘Ž1 đ?‘†1 = 1−đ?‘&#x; 1−1

= 2

4 = 8 đ?‘š2 1 2

73

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS (PARTE – II)

2010 ANTONIO ROS MORENO

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

“Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida.” John Von Neumann (1903-1957) Matemático húngaro-estadounidense.

1

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

INDICE: 1.- TRIGONOMETRÍA 1.1.- Generalidades 1.2.- Definiciones y signos de las razones trigonométricas 1.3.- Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo 1.4.- Reducción de las razones al primer cuadrante 1.5.- Tablas trigonométricas 1.6.- Relaciones trigonométricas más importantes 1.7.- Ecuaciones y sistemas trigonométricos 1.8.- Resolución de triángulos rectángulos 1.9.- Resolución de triángulos oblicuángulos 1.10.- Fórmulas del área de un triángulo 2.- NÚMERO COMPLEJO 2.1.- Números imaginarios 2.2.- Concepto de número complejo 2.3.- Representación vectorial de los números complejos 2.4.- Formas de escribir un número complejo 2.5.- Estructura del conjunto C de los números complejos 2.6.- Potencias y raíces de los números complejos 3.- COMBINATORIA 3.1.- Generalidades 3.2.- Variaciones 3.3.- Permutaciones 3.4.- Combinaciones 3.5.- Números combinatorios 4.- POTENCIA DE UN BINOMIO 4.1.- Potencia n-sima de un binomio (Binomio de Newton) 4.2.- Relaciones entre los coeficientes binómicos 4.3.- Triángulo de Tartaglia 5.- POLINOMIOS 5.1.- Generalidades 5.2.- Adición de polinomios 5.3.- Multiplicación de polinomios 5.4.- Potenciación de polinomios. Fórmulas notables 2

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

5.5.- División de polinomios 5.6.- División de un polinomio por x-a. Regla de Ruffini 5.7.- Teorema del resto 6.- NOCIONES GENERALES SOBRE MATRICES Y DETERMINANTES 6.1.- Matrices 6.2.- Determinantes 7.- ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1.- Ecuaciones 7.2.- Sistemas de ecuaciones 8.- SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS 8.1.- Proyección ortogonal sobre un eje 8.2.- Coordenadas cartesianas de un punto en un plano 8.3.- Representación de funciones de una variable 8.4.- Cambio de ejes de coordenadas 8.5.- Coordenadas polares 9.- EL PLANO VECTORIAL 9.1.- Estudio de la recta vectorial 9.2.- Estudio del plano vectorial 10.- EL PLANO AFÍN 10.1.- Generalidades 10.2.- Ecuación de la recta en el plano afín 10.3.- Incidencia, paralelismo y alineación 11.- EL PLANO MÉTRICO 11.1.- Generalidades 11.2.- Producto escalar de dos vectores 11.3.- Perpendicularidad y ecuación normal de la recta 11.4.- Distancias 11.5.- Fórmulas de interés

3

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1. TRIGONOMETRÍA 1.1. Generalidades Es la ciencia que estudia todos los elementos de un triángulo. Dado un ángulo cualquiera -

:

OA lado origen (eje positivo de abscisas – valor cero de ángulos). OB lado extremo. Todo ángulo tendrá dos valores, uno positivo (sentido contrario agujas reloj) y uno negativo (sentido agujas reloj). Unidades de medida de ángulos: - Grado sexagesimal (la circunferencia tiene 360º). - Grado centesimal (la circunferencia tiene 400º). - Radián (la circunferencia tiene 2π

B

O

70o A

0o

-290o

1.2. Definiciones y signos de las razones trigonométricas Sea una circunferencia de radio r y centro O y en ella un arco cualquiera AM, cuyo origen A coincide con el semieje positivo de abscisas y cuyo extremo M tiene por coordenadas x, y. si llamamos α a su ángulo central correspondiente, las razones trigonométricas de dicho ángulo α o de dicho arco AM (tres fundamentales y tres inversas) vienen definidas así: -

Seno: relación entre ordenada y radio;

-

Coseno: relación entre abscisa y radio;

-

Tangente: relación entre ordenada y abscisa;

4

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

-

Cotangente: relación entre abscisa y ordenada;

-

Secante: relación entre radio y abscisa;

-

Cosecante: relación entre radio y ordenada;

M( x,y) r

y α

O

A

x

En trigonometría, suele utilizarse la llamada circunferencia gonio métrica, que tiene un radio unidad, y los signos que tienen las distintas razones en los distintos cuadrantes puede observarse en la figura siguiente:

+

+

-

+

-

+

-

-

-

+

+

-

SENO COSECANTE

COSENO SECANTE

TANGENTE COTANGENTE

1.3. Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo

1ª) trigonometría).

(es la que se conoce como relación fundamental de la

2ª) 5

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3ª) 4ª) 5ª) 6ª) 7ª)

1.4. Reducción de las razones al primer cuadrante 1. Razones de ángulos suplementarios

180 - α y' x'

y α x

2. Razones de ángulos que difieren en 180o

6

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

180 + α y x'

α x

y'

3. Razones de ángulos complementarios

y'

90 - α

α x'

y

x

4. Razones de ángulos que difieren en 90o

7

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

90 + α y'

α x'

y

x

5. Razones de ángulos que suman 360o(opuestos)

360 - α y α -α

x y'

1.5. Tablas trigonométricas Como hemos visto, las razones trigonométricas de cualquier ángulo pueden reducirse a las de un ángulo agudo positivo. De esta manera, las tablas trigonométricas sólo necesitan darnos los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 0o a 90º. Para buscar los valores de las razones trigonométricas, si el ángulo está a la izquierda (de 0o a 45º), las razones son las correspondientes a la indicación de arriba, y

8

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

si el ángulo está a la derecha (de 45o a 90º), los valores son los correspondientes a la indicación de abajo.

Tabla de sen, cos, tg, cotg, sec y cosec ángulo

sen

cos

tg

cotg

sec

cosec

o

0,000

1,000

0,000

∞

1,000

∞

90o

o

0,017

1,000

0,017

57,290

1,000

57,299

89

o

0,035

0,999

0,035

28,636

1,001

28,654

88o

o

3

0,052

0,999

0,052

19,081

1,001

19,107

87o

4o

0,070

0,998

0,070

14,301

1,002

14,336

86o

o

0,087

0,996

0,087

11,430

1,004

11,474

85o

o

0,105

0,995

0,105

9,514

1,006

9,567

84o

o

0,122

0,993

0,123

8,144

1,008

8,206

83o

o

0,139

0,990

0,141

7,115

1,010

7,185

82o

o

0 1 2

5 6 7 8

o

o

0,156

0,988

0,158

6,314

1,012

6,392

81

10

o

0,174

0,985

0,176

5,671

1,015

5,759

80o

11

o

0,191

0,982

0,194

5,145

1,019

5,241

79o

12

o

0,208

0,978

0,213

4,705

1,022

4,810

78o

13o

0,225

0,974

0,231

4,331

1,026

4,445

77o

14

o

0,242

0,970

0,249

4,011

1,031

4,134

76

15

o

0,259

0,966

0,268

3,732

1,035

3,864

75o

16

o

0,276

0,961

0,287

3,487

1,040

3,628

74o

17

o

0,292

0,956

0,306

3,271

1,046

3,420

73o

18o

0,309

0,951

0,325

3,078

1,051

3,236

72o

19

o

0,326

0,946

0,344

2,904

1,058

3,072

71

20

o

0,342

0,940

0,364

2,747

1,064

2,924

70o

21

o

0,358

0,934

0,384

2,605

1,071

2,790

69o

22

o

0,375

0,927

0,404

2,475

1,079

2,669

68o

23o

0,391

0,921

0,424

2,356

1,086

2,559

67o

24

o

0,407

0,914

0,445

2,246

1,095

2,459

66o

25

o

0,423

0,906

0,466

2,145

1,103

2,366

65o

26

o

0,438

0,899

0,488

2,050

1,113

2,281

64o

27

o

0,454

0,891

0,510

1,963

1,122

2,203

63

28o

0,469

0,883

0,532

1,881

1,133

2,130

62o

29

o

0,485

0,875

0,554

1,804

1,143

2,063

61

o

30

o

0,500

0,866

0,577

1,732

1,155

2,000

60

o

31

o

0,515

0,857

0,601

1,664

1,167

1,942

59o

32

o

0,530

0,848

0,625

1,600

1,179

1,887

58

33o

0,545

0,839

0,649

1,540

1,192

1,836

57o

34

o

0,559

0,829

0,675

1,483

1,206

1,788

56o

35

o

0,574

0,819

0,700

1,428

1,221

1,743

55o

36

o

0,588

0,809

0,727

1,376

1,236

1,701

54

o

37

o

0,602

0,799

0,754

1,327

1,252

1,662

53

o

38

o

0,616

0,788

0,781

1,280

1,269

1,624

52o

39

o

0,629

0,777

0,810

1,235

1,287

1,589

51

40

o

0,643

0,766

0,839

1,192

1,305

1,556

50o

41

o

0,656

0,755

0,869

1,150

1,325

1,524

49

42o

0,669

0,743

0,900

1,111

1,346

1,494

48o

43

o

0,682

0,731

0,933

1,072

1,367

1,466

47

44

o

0,695

0,719

0,966

1,036

1,390

1,440

46o

45

o

0,707

0,707

1,000

1,000

1,414

1,414

cos

sen

cotg

tg

cosec

sec

45 ángulo

9

o

o

o

o

o

o

o

o

9

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.6. Relaciones trigonométricas más importantes 1. Seno, coseno y tangente de la suma de dos ángulos.

2. Seno, coseno y tangente de la diferencia de dos ángulos.

3. Razones del ángulo doble.

4. Razones del ángulo mitad.

5. Transformación en producto de la suma y diferencia de senos, cosenos y tangentes.

10

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.7. Ecuaciones y sistemas trigonométricos En ellas, la incógnita está bajo la forma de una función trigonométrica. Para su resolución no existe un método general; sin embargo, vamos a exponer unas cuantas indicaciones que son las que suelen seguirse en la mayoría de los casos y el orden en que deben hacerse: 1ª.- Si las funciones que intervienen no son de ángulos sencillos, es decir, son de suma o diferencia de dos ángulos, de ángulo doble, ángulo mitad, etc., se reducen a las de ángulos sencillos utilizando las relaciones expuestas en el apartado anterior. 2ª.- Si intervienen varias funciones, se reducen a la misma, con lo cual nos quedamos con una sola incógnita y podemos resolver la ecuación correspondiente. 3ª.- Una vez hallados los valores correspondientes a la función hemos de buscar los correspondientes a los ángulos, teniendo en cuenta que en la mayoría de los casos para un mismo valor de una función pueden existir varias soluciones. Al expresar las soluciones de la ecuación, siempre lo haremos en la forma: , ya que todos los ángulos que se diferencian en un número entero de circunferencias tienen iguales todas sus razones trigonométricas. Ejemplo:

11

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

En resumen, las soluciones de la ecuación son:

1.8. Resolución de triángulos rectángulos Por resolver un triángulo se entiende encontrar todos sus elementos (lados y ángulos) a partir del conocimiento de alguno de ellos. En el triángulo rectángulo: -

Un ángulo es de 90o La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180o En este caso se puede aplicar el teorema de Pitágoras

De las definiciones de las razones trigonométricas se deducen las siguientes conclusiones: 1ª.- Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto a dicho cateto o por el coseno del ángulo adyacente a dicho cateto. 2ª.- Un cateto es igual al producto del otro cateto por la tangente del ángulo opuesto al primero o por la cotangente del ángulo adyacente al primero.

C a

b o

A = 90

B

Con estas reglas es suficiente para resolver cualquier caso de triángulos rectángulos conocido sólo dos de los elementos. 12

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.9. Resolución de triángulos oblicuángulos Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto (90º) ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados. Para su estudio necesitamos conocer una serie de relaciones en los triángulos: a.- Teorema del seno: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

b.- Teorema del coseno: El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo comprendido.

c.- Teorema de la tangente: En todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos es a la tangente de la semidiferencia de los mismos.

d.- Fórmulas de Brigss. Son las siguientes:

13

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

siendo p el semiperímetro del triángulo. Los casos de resolución de triángulos oblicuángulos que pueden presentarse son los siguientes: 1er.- Dado un lado y dos ángulos: Puesto que el tercer ángulo lo calculamos restando la suma de los dos conocidos de 180º, este caso se resuelve empleando el teorema del seno. 2º.- Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: Calcularemos primero el ángulo opuesto al otro lado conocido, mediante el teorema del seno, y ya el ángulo y el lado que faltan se pueden calcular por cualquier método (lo más fácil es volver a utilizar el teorema del seno). 3er.- Dados dos lados y el ángulo comprendido: En este caso hay que empezar por buscar el tercer lado, para lo cual podemos utilizar el teorema del coseno. A continuación aplicamos dos veces el teorema del seno para buscar los otros ángulos. Este caso se puede resolver también por el teorema de la tangente, pero el procedimiento es más complicado. 4º.- Conocidos los tres lados: En este caso se puede buscar uno cualquiera de los ángulos utilizando el teorema del coseno o bien las fórmulas de Brigss y a continuación puede emplearse el teorema del seno.

1.10.

Fórmulas del área de un triángulo

Según los datos de que dispongamos, y teniendo en cuenta la fórmula general para el área de un triángulo, que es:

existen muchas otras formas para expresar dicha área que vamos a exponer aquí. a.- Dados un lado, b, y la altura sobre dicho lado:

b.- Dados un lado, b, y dos ángulos A y C:

14

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

c.- Dados los lados y el radio de la circunferencia circunscrita:

d.- Dados el perímetro y el radio de la circunferencia inscrita:

e.- Dados los tres lados:

Esta última es la llamada fórmula de Heron.

2. NÚMERO COMPLEJO 2.1. Números imaginarios Dentro del campo de los números reales es imposible calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Este y otros muchos problemas se van a solucionar con la introducción de los llamados números imaginarios, que son un caso particular de los números complejos. Se ha convenido en llamar “unidad imaginaria” al número representa por la letra i.

, y se le

2.2. Concepto de número complejo Número complejo es un par de números reales (a, b) dados en un orden determinado; entendiendo que a es la parte real y b la parte imaginaria. “forma binómica”

Cuando

el número se llama “imaginario puro”

15

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Dos números complejos son iguales si son respectivamente sus partes real e imaginaria. Dos números complejos son conjugados si tienen igual la parte real y la parte imaginaria es igual en valor absoluto pero con distinto signo.

Dos números complejos son opuestos si son opuestas sus dos componentes.

2.3. Representación vectorial de los números complejos Se llama “afijo” de un número complejo al punto del plano por el que viene representado. Puesto que un número complejo está formado por dos partes, una real y otra imaginaria, su afijo estará representado por un punto del plano tal que su distancia al eje vertical corresponda al número de unidades reales y su distancia al eje horizontal corresponda al número de unidades imaginarias.

M (AFIJO)

R

b

α O a

En la figura está representado el número complejo

. 16

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Como vemos en ella, el número complejo está representado por un vector cuyo origen coincide con el de coordenadas (el punto O) y cuyo extremo es el afijo del complejo (el punto M).

2.4. Formas de escribir un número complejo Existen 4 formas: 1ª.- Como par: a, b. 2ª.- Forma binómica: a + bi. 3ª.- Forma polar: Rα R = longitud del vector (módulo del complejo) α = ángulo que forma el vector con el eje horizontal 4ª.- Forma trigonométrica: R (cos α + i sen α) Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

dado un número complejo en cualquiera de las cuatro formas citadas puede ponerse en todas las demás.

2.5. Estructura de conjunto C de los números complejos 2.5.1. Adición de números complejos Para sumar dos complejos escritos en forma binómica se escribe como parte real la suma de las partes reales de los sumandos y, como parte imaginaria, la suma de las partes imaginarias de los sumandos. Propiedades: 1.- Es una operación interna. 2.- Tiene la propiedad conmutativa. 17

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.- Tiene la propiedad asociativa. 4.- Posee elemento neutro que es el número complejo 5.- Posee elemento simétrico que es el opuesto. Por tanto, el conjunto C de los números complejos tiene estructura de grupo aditivo conmutativo.

2.5.2. Interpretación geométrica de la adición de complejos Dados dos números complejos (a + bi) y (a´ + b´i), cuyos vectores representativos son OA y OA´, su suma, es decir, el número complejo [(a + a´) + (b + b´)i] está representado por el vector OM, que es la diagonal del paralelogramo que forman los dos vectores dados y sus paralelos.

M

A' A

S

n

b' b a

O

a'

P

Q

R

m

Podemos comprobar que se verifica que: OP = QR y MS = A´P (los dos triángulos rayados son iguales). Luego: OR = OQ + QR = OQ + OP; m = a´ + a. Además: MR = MS + SR = A´P + SR; n = b´ + b. 18

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Si se trata de sumar tres o más sumandos (vectores) se van poniendo unos a continuación de otros, y el vector suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último.

V1

+

+

V2

+

V3

V2

V4

V3

V1

V4 R

2.5.3. Multiplicación de números complejos La multiplicación puede realizarse en forma binómica y también en forma factorial (o trigonométrica). El producto de dos complejos es otro complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos de los factores.

La multiplicación en forma binómica se hace como polinomios de primer grado.

al hacer el producto hemos tenido en cuenta que se nos transforma en .

, con lo que el factor

Las propiedades de esta operación son: 1.- Es una operación interna. 2.- Tiene la propiedad conmutativa. 3.- Tiene la propiedad asociativa. 4.- Posee elemento neutro que es el número complejo

.

19

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

5.- Posee elemento simétrico, ya que para que éste exista tiene que haber, dado un número complejo , otro número complejo , de forma que el producto de ambos sea el elemento neutro.

Por estas cinco propiedades del conjunto C de los números complejos tiene estructura de grupo multiplicativo conmutativo. Como además la multiplicación de números complejos es distributiva respecto a la suma de los mismos, y la suma es también conmutativa, el conjunto C de los números complejos es un cuerpo conmutativo.

2.5.4. División de números complejos Para dividir en forma polar o en forma factorial, se dividen los módulos y se restan los argumentos. Para dividir en forma binómica, como hay que hacer desaparecer el factor i del divisor, se multiplican ambos términos por el conjugado del divisor.

El cociente es el número complejo:

2.6. Potencia y raíces de los números complejos 2.6.1. Potencia enésima de un complejo Puesto que la potencia enésima equivale a un producto de n factores iguales, para elevar un número complejo a un exponente n, si está en forma polar o factorial se eleva el módulo al exponente y el argumento se multiplica por dicho exponente. 20

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Si se quiere hacer en la forma binómica se aplica la regla de Newton para la potencia enésima de un binomio.

2.6.2. Raíces de los números complejos Se hace en forma polar o en forma factorial, es decir, utilizando módulos y argumentos. Supongamos que

tendremos entonces:

y para que esto se verifique, es preciso que se cumplan las igualdades:

de donde se deduce que:

Observamos que, al tomar K los valores naturales desde 1 hasta n – 1, el ángulo toma valores diferentes. Por tanto, todo número complejo tiene n raíces enésimas distintas, cuyo módulo es igual a la raíz enésima del módulo del radicando, y cuyos argumentos son:

3. COMBINATORIA 3.1. Generalidades El cálculo combinatorio tiene como fin el estudio de las propiedades de los diversos grupos que pueden formarse, según una ley dada, con un número finito de elementos de cualquier naturaleza, proponiéndose hallar una regla que permita formar todos estos grupos y su número. 21

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Los tres grupos más importantes son: variaciones, permutaciones y combinaciones.

3.2. Variaciones Dados m elementos distintos, se llaman variaciones n-arias de m, o bien, variaciones de m elementos tomados de n en n, a los diferentes grupos que pueden formarse con esos m elementos, de forma que cada uno de los grupos tenga n elementos distintos y que cada dos grupos difiera, o bien en la naturaleza de algún elemento, o bien en el orden de colocación de los mismos. Se representa así: . Ley de formación: Dados m elementos a, b, c…l, m, n, p. -

Variaciones monarias:

-

Variaciones binarias:

-

Variaciones ternarias:

22

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

En general, para formar las variaciones n-arias agregamos a la derecha de cada una de las (n-1) arias, uno a uno, los m-(n-1) elementos que no entran en ella. Su número: Teníamos:

En general:

Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en un banco que tiene sólo cuatro plazas ocho personas? Se trata de un caso de variaciones de ocho elementos tomados de cuatro en cuatro. Por tanto,

Se pueden sentar de 1.680 formas distintas. También observamos que se puede aplicar para el cálculo de ese número de variaciones de m tomados de n en n la siguiente regla: “Es igual a un producto de n factores, el primero de los cuales es m y los demás van disminuyéndose en una unidad”.

3.2.1. Variaciones con repetición Se llaman variaciones con repetición tomados de n en n, a los diferentes grupos que con ellos pueden formarse, de tal modo que en cada grupo entren n elementos, pudiendo alguno repetirse una o varias veces y considerando dos grupos distintos si se diferencian en algún elementos o en el orden en que están calculados. El número de variaciones con repetición de orden, que se pueden formar con m elementos, se indica con el símbolo: El número de variaciones con repetición de m elementos, tomados de n en n, es igual a una potencia de base m y exponente n:

23

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.3. Permutaciones Se llaman permutaciones de m elementos distintos, y se representan por Pm, a los distintos grupos que pueden formarse, entrando en cada uno de ellos los m elementos dados, difiriendo únicamente en el orden de sucesión de los mismos. Se trata de un caso particular de las variaciones, ya que son

.

Por tanto, el número de las permutaciones de m elementos será:

Es decir, el número de permutaciones de m elementos es el producto de los m primeros números naturales, el cual recibe el nombre de “factorial de m” y se escribe: m!

Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse los jugadores de un equipo de fútbol, admitiendo que un defensa y un extremo siempre juegan en la misma posición?

Se trata de buscar el número de permutaciones de nueve jugadores:

3.3.1. Permutaciones con repetición Dado un conjunto M con m elementos, entre los cuales hay un cierto número a de elementos de una clase, otro número b de elementos de otra clase y un tercer número c de elementos de otra clase, y así sucesivamente, se llaman permutaciones con repetición a las diferentes formas en que se pueden ordenar esos m elementos. Una ordenación se distingue de otra por el lugar que ocupan dos elementos distintos En general, si entre los m elementos que figuran en una permutación, un elemento aparece repetido a veces, otro b veces, otro c veces, el número de permutaciones con repetición se expresa así:

24

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.4. Combinaciones Se llaman combinaciones n-arias de m elementos distintos a los diferentes grupos que se pueden formar, figurando n de éstos en cada uno, de modo que cada dos grupos se diferencien al menos en la naturaleza de uno de los elementos. En las variaciones, los grupos se diferenciaban o en la naturaleza o en el orden de los elementos, en las permutaciones, sólo en el orden, y aquí, sólo en la naturaleza. Por tanto, se puede deducir fácilmente que si tenemos las combinaciones de m elementos tomadas n a n y las permutamos entre sí todas ellas (variamos el orden de todas las formas posibles), lo que obtenemos son precisamente las variaciones de esos m elementos tomados de n en n. Luego:

Hay otra expresión más utilizada que se obtiene a partir de ésta, multiplicando el numerador y el denominador por , con lo que:

y puesto que lo que tenemos en el numerador es m!:

Ejemplo: ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité de cuatro miembros de un grupo de 12 personas, si uno de los miembros ha de estar incluido en todos los grupos? Se trata de buscar el número de combinaciones de 11 personas de tres en tres.

25

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.4.1. Combinaciones con repetición Llamamos combinaciones con repetición de m elementos distintos tomados de n en n a todos los conjuntos de n elementos tomados entre los m dados permitiendo repetir elementos. La fórmula para calcular el número de posibles combinaciones con repetición de m elementos distintos tomados de n en n es:

3.5. Números combinatorios La expresión

se lee como “m sobre n” y se representa por que recibe el nombre de número combinatorio llamándose en él a “m” numerador y a “n” orden. Propiedades de los números combinatorios. 1.- Dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes complementarios son iguales, entendiendo por órdenes complementarios a los que suman el mismo valor que el numerador:

2.- El numerador combinatorio combinatorios

y

es igual a la suma de los números

, es decir:

Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes: -

Cualquier número sobre 0 es igual a 1.

26

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

-

Todo número sobre sí mismo es igual a 1.

-

Un número sobre 1 es siempre igual al número.

4. POTENCIA DE UN BINOMIO 4.1. Potencia n-sima de un binomio (Binomio de Newton) Se trata de buscar una regla general para elevar un binomio a cualquier exponente. Tenemos, por tanto:

Si queremos buscar la cuarta potencia:

Para ver si todos estos desarrollos siguen alguna regla general, vamos a poner sus coeficientes como números combinatorios.

27

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Como vemos, van siguiendo la siguiente regla general:

De donde se desprenden las siguientes conclusiones: 1.- El desarrollo es un polinomio ordenado, homogéneo y completo en a y b, de grado igual al exponente del polinomio. 2.- Los coeficientes de los términos del desarrollo o “coeficientes binómicos” son números combinatorios, cuyo numerador es igual al exponente n y cuyos órdenes crecen desde 0 hasta n. 3.- El número de términos del desarrollo es igual a n + 1. 4.- La parte literal (lo que no es coeficiente) de los términos del desarrollo está formada por el primero de los monomios elevado a un exponente que es la diferencia entre el numerador y el orden del número combinatorio que lleva por coeficiente, y por el segundo monomio elevado a un exponente igual al orden de dicho número combinatorio. Por tanto, si queremos hallar un término general que ocupe el lugar m + 1 del desarrollo sin necesidad de hacerlo todo él, podemos aplicar la siguiente fórmula:

Ejemplo: En el desarrollo de 13 del mismo.

, escribir el término que ocupa el lugar

4.2. Relaciones entre los coeficientes binómicos Son las siguientes: 1.- Los coeficientes de dos términos equidistantes de los extremos son iguales.

28

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Esto se debe a que dichos coeficientes son números combinatorios de igual numerador y órdenes complementarios y por tanto son iguales. De acuerdo con esto, basta calcular la mitad de los coeficientes. 2.- Cada coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término y dividiéndole por el exponente de b en el término que se calcula.

4.3. Triángulo de Tartaglia Al estudiar los números combinatorios vimos una propiedad de éstos que decía: la suma de dos números combinatorios de igual numerador y órdenes consecutivos es igual a otro número combinatorio de numerador una unidad más y el orden del mayor.

Esto nos permite el cálculo rápido de los números combinatorios de base m conocidos los de base m - 1 y, por tanto, los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio con exponente m, conocido el de desarrollo de la misma potencia con exponente m - 1.

m= 1 m= 2 m= 3 m= 4 m= 5

1 1 1 1 1

2 3

4 5

1 1 3 6

10

1 4

10

1 5

1

En este triángulo aritmético o de Tartaglia están representados los coeficientes de los desarrollos de las potencias de un binomio con exponentes sucesivos 1, 2, 3, 4, 5…, y como vemos, una vez escritas las oblicuas 1, 1, 1,… y según la propiedad antes enunciada, cada elemento es la suma de los dos que lleva encima. En él apreciamos también la igualdad de los coeficientes equidistantes de los extremos. Problema de aplicación. El tercero y el cuarto término del desarrollo de son iguales a 90 y 270. Halla x e y.

29

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Dividiendo miembro a miembro:

valor que sustituido en una de las ecuaciones y resuelta ésta da como soluciones:

5. POLINOMIOS 5.1. Generalidades Dado el conjunto Q de los números racionales, consideremos otro elemento al que llamaremos indeterminada y designaremos por x. En dicho conjunto podemos efectuar ciertas operaciones y considerar nuevos elementos, los cuales se obtienen efectuando en el conjunto formado por Q ∪ x las operaciones que se definen en Q extendidas a x. estos nuevos elementos así obtenidos se llaman polinomios en x sobre el conjunto Q de los números racionales. Queda construido el conjunto Q(x) de polinomios con una indeterminada, al considerar el conjunto Q ∪ x y ciertas operaciones.

Análogamente, si consideramos el conjunto Q ∪ {x, y}, donde x, y son indeterminadas y admitimos todas las operaciones y propiedades de las operaciones definidas en el conjunto Q de los números racionales, tendremos el conjunto Q(x, y) de los polinomios con dos indeterminadas sobre Q.

En un polinomio, cada término queda separado por los signos de sumar o restar.

30

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Si el polinomio tiene un solo término se llama monomio; si tiene dos términos se llama binomio; si tres, trinomio, y si tiene más de tres se llama polinomio (en general). Dado un polinomio cualquiera, se llaman coeficientes a los números racionales de cada uno de sus términos, llamándose “término independiente” al que no lleva parte literal, es decir, al coeficiente de x0. Dado un monomio, se llama grado del mismo a la suma de los exponentes de sus indeterminadas. Por “grado” de un polinomio se entiende el de su término de mayor grado.

El grado del primer término es 5, el del segundo, 4; el del tercero, 2; el del cuarto, 1, y el del quinto, 0. Por tanto, el grado del polinomio es 5 (el del mayor término). Un polinomio A(x), en el que los exponentes de la indeterminada x van creciendo o decreciendo, se llama, respectivamente, polinomio ordenado respecto de las potencias crecientes o decrecientes de x. Un polinomio P de grado n se llama “completo” si todos los coeficientes desde el de grado 0 hasta el de grado n son distintos de cero. Ejemplos: Dados los polinomios (completo, pero no ordenado) (ordenado, pero incompleto) (ordenado y completo)

5.2. Adición de polinomios Para sumar polinomios se disponen como una adición de números, uno debajo de otro, haciendo corresponder verticalmente los términos semejantes.

A(x) = B(x) =

3 + 7x - 5x2 + 8x3 + 5x4 4 + 7x + 8x2 + 5x3 - 5x4

A(x) + B(x) = 7 + 14x + 3x2 + 13x3

31

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

El grado del polinomio suma es igual o menor que el mayor de los grados de los sumandos. Propiedades: 1.- Es una operación interna (el resultado es otro polinomio). 2.- Posee la propiedad conmutativa. 3.- Posee la propiedad asociativa. 4.- Posee elemento neutro. Este es el llamado “polinomio nulo” o polinomio cuyos coeficientes son todos cero. 5.- Posee elemento simétrico, que es el opuesto o polinomio que tiene los mismos coeficientes pero cambiados de signo. Por tanto, el conjunto Q(x) de polinomios tiene estructura de grupo aditivo conmutativo.

5.3. Multiplicación de polinomios - Para multiplicar un número racional por un polinomio basta multiplicar dicho número por cada uno de los coeficientes. - El producto de dos monomios

y

es el monomio

.

- Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio dado por el monomio, siendo el grado del polinomio producto igual a la suma de los grados del polinomio y del monomio factores. - Finalmente, para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los del otro y se reducen después términos semejantes.

32

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores. Propiedades: 1.- Es una operación interna. 2.- Posee la propiedad conmutativa. 3.- Posee la propiedad asociativa. 4.- Tiene elemento neutro que es el polinomio unidad o polinomio con términos independiente uno y los demás coeficientes igual a cero. Por tanto, el conjunto Q(x) de polinomios tiene estructura de semigrupo conmutativo y con elemento neutro para la operación de multiplicar. Además se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Por tanto, el conjunto Q(x) para las operaciones de sumar y multiplicar tiene estructura de anillo conmutativo y con elemento neutro.

5.4. Potenciación de polinomios. Fórmulas notables El concepto establecido de potencia se extiende al conjunto Q(x) de los polinomios en la indeterminada x sobre Q. Por tanto: es una potencia en la que la base es el polinomio y el exponente es 3 y que, por tanto, equivale a: . 1.- Cuadrado de un binomio. El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer monomio, más dos veces el producto de los dos monomios, más el cuadrado del segundo monomio.

2.- Cuadrado de un polinomio. El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de sus términos y el doble producto de cada uno de ellos por cada uno de los términos que le siguen.

33

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.- Cubo de un binomio. El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

4.- Producto de una suma por una diferencia. El producto de la suma por la diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.

5.5. División de polinomios - Para dividir dos monomios parte literal

yb

se pone como coeficiente

y como

.

- Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio y se suman los cocientes parciales.

- Por último, dados dos polinomios A(x) y B(x), la división entera entre A y B consiste en hallar dos polinomios C y R que cumplan:

y que: . Los polinomios A(x), B(x), C(x) y R(x) reciben, respectivamente, los nombres de polinomios dividendo, divisor, cociente y resto. Para dividir dos polinomios: 1.- Se ordenan los dos polinomios según las potencias decrecientes de la indeterminada x. 2.- Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente. 3.- Se multiplica este primer término del cociente por todo el divisor, y este resultado se resta del dividendo. Se obtiene así el primer resto parcial.

34

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

4.- Se toma este resto como nuevo dividendo y se continúan las operaciones como se indica en los apartados 2.o y 3.o hasta obtener un resto de menor grado que el divisor.

(dividendo) ─ 6x3 + 4x2 + 10x + 8 2x2 + x ─ 4 (divisor) 3 2 ─ 3x + 7/2 (cociente) 6x + 3x ─ 12x 2 7x ─ 2x + 8 ─ 7x2 ─ 7/2x + 14

─ 11/2x + 22

(resto)

5.6. División de un polinomio por x-a. Regla de Ruffini Vamos a dividir un polinomio por la expresión propiedades.

y a deducir una serie de

Producto de x - 4 por 4x2 cambiado de signo.

- 4x3 + 16x2

Producto de x - 4 por 9x

9x2

+ 8x + 9

9x2

+ 36x

cambiado de signo. Producto de x - 4 por 44 cambiado de signo.

4x3 + (-7)x2 + 8x + 9

─

x - 4 4x2 + 9x + 44 (Cociente)

44x + 9 ─ 44x + 176 R = 185 35

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Observamos las propiedades siguientes: - El cociente es un polinomio en x, de grado menor en una unidad que el polinomio dividendo. - El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo:

- Cada uno de los restantes coeficientes del cociente es igual al que ocupa el mismo lugar en el dividendo más el anterior del cociente multiplicado por 4:

- El resto es igual al mismo coeficiente del dividendo más el último coeficiente del cociente multiplicado por 4:

En general, para la división:

- El cociente es un polinomio en x, de grado menor en una unidad que el polinomio dividendo. - (Primer coeficiente del dividendo)

(primer coeficiente del cociente)

- Cada coeficiente del cociente es igual al que ocupa el mismo lugar en el dividendo más el anterior del cociente multiplicado por a:

- El resto es igual al último coeficiente del dividendo más el último coeficiente del cociente multiplicado por a:

Estas observaciones generalizadas para un polinomio dividendo de cualquier grado constituye la llamada regla de Ruffini. Para realizar este tipo de divisiones, en la práctica suele utilizarse el siguiente esquema, que se conoce como método de Ruffini: 36

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Coeficientes del dividendo

4

-7

8

9

+ a =4 Suma:

+ 4∙4 9

4

+ 44 ∙ 4 185

9∙4 44

Coeficientes del cociente

Resto

ó

Coeficientes del dividendo

4

-7

8

9

4

4∙4 9

9∙4 44

44 ∙ 4 185

4)

Coeficientes del cociente

Resto

Como sabemos que el cociente es de grado una unidad menor que el dividendo:

5.7. Teorema del resto En el ejemplo anterior, si sustituimos en el polinomio dividendo la x por 4 (en general por a) obtenemos:

Es decir, el resto de la división de un polinomio en x por el binomio valor que toma el polinomio para .

es el

Aplicaciones. Este teorema tiene múltiples aplicaciones, siendo una de las más importantes la descomposición en factores de un polinomio. En efecto, dado un polinomio A(x), si su división por es exacta, lo cual quiere decir que dicho polinomio es divisible por , podemos escribir:

Consideremos ahora el polinomio C(x), si éste es divisible por el nuevo cociente, tenemos: .

y es C´(x) 37

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Y así sucesivamente hasta tener descompuesto el polinomio A(x) en la forma:

Por tanto, en la práctica, cuando queremos descomponer un polinomio en factores, se colocan sus coeficientes según el esquema de Ruffini y se tantean las soluciones enteras que dan resto cero.

6. NOCIONES GENERALES DETERMINANTES

SOBRE

MATRICES

Y

6.1. Matrices Se llama matriz a un conjunto de números llamados elementos o términos de la matriz, distribuidos en filas o columnas, de forma que todas las filas tengan el mismo número de elementos, y lo mismo ocurra con las columnas. Los elementos de una matriz se representan por una letra minúscula afectada por dos subíndices que indican, el primero la fila y el segundo la columna a que pertenece el elemento. Por ejemplo, el elemento aij está situado en la fila i y en la columna j. Una matriz que tiene m filas n columnas se dice que es una matriz m x n. Si m = n, es decir, una matriz n x n se llama matriz cuadrada, las demás se llaman rectangulares.

Es una matriz rectangular 2 x 4 (2 filas y cuatro columnas).

Se llama matriz traspuesta de una dada a la que resulta de tomar sus filas por columnas y viceversa. En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de elementos situados sobre la línea que va del vértice superior de la izquierda al inferior de la derecha, y “diagonal secundaria” al conjunto de elementos que van desde el vértice superior de la derecha al inferior de la izquierda.

38

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

6.1.1. Adición de matrices de las mismas dimensiones Se llama suma de dos matrices A y B de las mismas dimensiones a la matriz cuyo término

Ejemplo:

-

-

-

-

Propiedades: 1.- Es una operación interna. 2.- Posee la propiedad conmutativa. 3.- Posee la propiedad asociativa. 4.- Tiene elemento neutro que es la matriz neutra o matriz cero, de la forma:

En general, existe matriz neutra de dimensión m x n. 5.- Dada una matriz cualquiera A, existe su opuesta (-A), tal que sumada con la primera da como resultado la matriz neutra. La matriz (-A) está formada por los mismos elementos que A, pero con distinto signo. Por tanto, las matrices de dimensión m x n forman un grupo aditivo conmutativo.

6.1.2. Producto de una matriz por un número El producto de una matriz A por un número n es la matriz n ∙ A, cuyos términos se obtienen multiplicando por n todos los términos de la matriz A.

39

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Ejemplo:

-

-

6.1.3. Producto de matrices Dada una matriz fila

de

y una matriz columna

definimos el producto A ∙ B como el número real:

Dadas ahora dos matrices , de la matriz se llama matriz producto y se denota con es igual a:

,

respectivamente, , cuyo elemento

es decir, el elemento es el producto de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B. El orden de la matriz producto C es m x p. Por tanto, si A es una matriz m x n y B es una matriz r x s -

existe A ∙ B si n = r

-

existe B ∙ A si m = s

Está claro que esta última operación no es interna ni externa, salvo que . En este último caso, las tres operaciones definidas antes dotan a de estructura de álgebra no conmutativa.

6.1.4. Transposición de una matriz Dada una matriz A de orden m x n la operación transposición convierte la matriz dada en otra de orden n x m que designamos por At y se llama «matriz transpuesta de

40

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

A», tal que tiene como fila la primera columna de A, por segunda fila la segunda columna etc. Con símbolos:

Evidentemente se cumple siempre (At)t = A. Desde luego, de la definición de transposición se deduce que para que una matriz sea igual a su transpuesta es necesario que sea cuadrada.

6.2. Determinantes Se llama término del determinante de una matriz cuadrada de orden n al producto de n elementos de la matriz, tomados de modo que entre uno solo de cada fila y uno solo de cada columna. Se llama determinante de una matriz cuadrada a la suma algebraica de todos los términos de dicho determinante.

En esta suma algebraica hay que tener muy en cuenta el signo que acompaña a cada uno de los términos determinante. El método general para desarrollar un determinante consiste en tomar los elementos de una fila o columna cualquiera y multiplicar cada uno de ellos por el determinante de un orden menos, que resulta de eliminar la fila y columna correspondientes a dicho elemento; después, se suman todos esos productos. Cada elemento va precedido del signo que le corresponda según el siguiente esquema general:

+ ─ + ─ + ∙ ∙ ∙

─ + ─ + ─ ∙ ∙ ∙

+ ─ + ─ + ∙ ∙ ∙

─ + ─ + ─ ∙ ∙ ∙

+ ─ + ─ + ∙ ∙ ∙

─ + ─ + ─ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

41

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Ejemplo: Hallar el determinante de la matriz cuadrada:

(La matriz se representa entre paréntesis; el determinante, entre barras).

Como caso particular existe un procedimiento para desarrollar los determinantes de orden 2 y los de orden 3. Los de segundo orden se desarrollan así:

Los de tercero así:

El primero de los términos es la diagonal principal, el segundo y tercero son las paralelas a dicha diagonal (los tres escritos con signo más), los restantes términos que vienen escritos con signo menos son la diagonal secundaria y las paralelas a ella. Esto puede apreciarse en la siguiente figura, en la que hemos representado con una línea de color los lugares correspondientes a los productos positivos y con una línea negra los correspondientes a los negativos.

+

─ 42

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Esta es la denominada regla de Sarrus. Vamos a aplicarla para terminar de desarrollar el anterior ejemplo:

Cuando se vaya a desarrollar un determinante de orden n por el procedimiento de los elementos de una fila o columna, debemos tener en cuenta que nos conviene considerar la fila o columna con más ceros, pues esos términos, al ir multiplicados por cero, se anulan. Se llama rango o característica de una matriz al orden del determinante que lo tiene mayor, de entre los que se pueden formar distintos de cero con filas y columnas de dicha matriz.

A continuación, determinantes:

citaremos

algunas

propiedades

interesantes

de

los

1.- El determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales.

2.- Si todos los elementos de una fila (columna) contienen un factor común, éste puede sacarse fuera del determinante. Es decir:

43

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.- Si en un determinante se permutan entre sí dos filas o dos columnas, su valor no varía, pero su signo cambia. Como corolarios inmediatos de las propiedades se tienen: a.- Un determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo. b.- En un determinante, si a una fila (columna) se le añade una combinación lineal de las otras filas (columnas) el valor del determinante no varía. c.- Si un determinante tiene una fila (columna) cuyos elementos son todos iguales a cero, es igual a cero. Las propiedades y corolarios que acabamos de señalar tienen gran interés práctico, bien porque nos permiten calcular el valor de un determinante, bien porque sirven para reducir los elementos lo que facilita el desarrollo posterior.

7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1. Ecuaciones Ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. Resolver la ecuación es ver para qué valores de las letras es cierta la igualdad. Se denominan “miembros” de la ecuación a cada una de las expresiones que se encuentran a ambos lados del signo igual, llamándose al que está a la izquierda “primer miembro” y “segundo miembro” al que está a la derecha. En cada miembro se denominan términos las expresiones que están separadas por los signos + ó -, si no están dentro del paréntesis. Siempre que para la resolución de la ecuación interese, puede cambiarse un término de un miembro a otro, teniendo en cuenta la siguiente regla: “todo término puede cambiarse de miembro cambiándole el signo”.

7.1.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación de primer grado es aquella cuyo término de mayor grado es de grado 1. Suelen conocerse con el nombre de ecuaciones lineales.

44

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

El método general de resolución consiste en reducirlas a la forma: , de la cual puede despejarse la incógnita de la forma: , pudiéndose presentar varios casos: 1.- Si 2.- Si imposible.

, la ecuación tiene una sola solución. , la ecuación no tiene solución, puesto que

es

3.- Si , cualquier número es solución de la ecuación, puesto que todo número multiplicado por cero da cero. La ecuación se dice que es indeterminada. Se trata en realidad de una identidad en lugar de una ecuación. 4.- Que

, entonces:

.

Para reducir una ecuación cualquiera a la forma canónica siguientes pasos:

se dan los

a.- Se quitan los paréntesis, si los hay. b.- Si hay denominadores se quitan éstos, para lo cual se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores y se multiplica cada término por el cociente de dividir dicho mínimo común múltiplo entre el denominador que tuviese. c.- Se pasan a un miembro todos los términos que lleven la incógnita, y al otro todos los que no la lleven. d.- Operación de todos los términos semejantes para que a ambos lados de la ecuación quede una única cantidad y se consiga una expresión de la forma , donde a sea el resultado de operar todos los coeficientes ligados a la incógnita y b el resultado de operar las cantidades conocidas.

de donde se obtiene, al despejar por medio de dividir toda la ecuación por 3, que su raíz o solución es: 45

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

7.1.2. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Son aquellas en que, después de quitados paréntesis, denominadores y reducidos términos semejantes, quedan de la forma:

es decir, es aquélla cuyo término de mayor grado es de segundo grado. Cuando son nulos los coeficientes b ó c, entonces a las formas obtenidas se las llama ecuaciones incompletas. Para su resolución se demuestra la siguiente regla:

Por lo que, en general, estas ecuaciones tienen dos soluciones. Se llama discriminante de la ecuación a la expresión de la raíz, y según el carácter de éste podrán ocurrir tres cosas: 1.- Si el discriminante es mayor que cero, es decir: dos soluciones reales y distintas. 2.- Si el discriminante es igual a cero, solución o solución doble.

, que está debajo

, la ecuación tiene

, la ecuación tiene una sola

3.- Si el discriminante es menor que cero, es decir: tiene soluciones reales, sino imaginarias.

, la ecuación no

46

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

7.1.3. Ecuaciones bicuadradas Son las que una vez reducidas quedan en la forma:

El método de resolución es el mismo que para las ecuaciones de segundo grado, haciendo previamente el cambio: , con lo que la ecuación queda de la forma:

Una vez resuelta la ecuación de segundo grado que ha resultado, lo que obtenemos es el valor de m; por tanto, hemos de hacer de nuevo el cambio para obtener los valores de x, que son los que interesan. De esta forma, una ecuación bicuadrada tendrá en general cuatro soluciones distintas.

Las cuatro soluciones de x son

7.1.4. Ecuaciones con una incógnita de cualquier grado Para las demás tipos de ecuaciones con una sola incógnita que no correspondan a los tres casos anteriores, no existe ninguna regla general, pero pueden encontrarse sus soluciones enteras, si las tienen, aplicando la regla de Ruffini que hemos visto en el tema correspondiente a los polinomios y según la cual para un polinomio Pn (x), entero en x, sea divisible por el binomio , es condición necesaria y suficiente que “a” sea un valor de x para que se anule Pn (x), o lo que es lo mismo, que “a” sea solución de la ecuación:

47

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Esto nos permite llegar a la siguiente conclusión: Para buscar las soluciones enteras de una ecuación se divide el polinomio Pn (x) entre y, cuando esta división sea exacta, es decir R = 0, “a” es solución de la ecuación. Por otro lado, existen otras dos reglas: - Una ecuación algebraica de grado n tiene n raíces, que pueden ser iguales o distintas, reales o imaginarias. - Las soluciones de dicha ecuación han de ser divisores del término independiente. Con todo esto podemos buscar las soluciones enteras de cualquier ecuación utilizando el razonamiento que seguiremos en el siguiente ejemplo:

Puesto que el término independiente es 6, las soluciones enteras que tenga la ecuación han de ser divisores de 6; por tanto, pueden ser 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. Probemos la primera de ellas por la regla de Ruffini:

1

-5

4

6

1

1 -4

-4 0

0 6

1

R=6≠0

De la misma forma probaremos las demás, hasta encontrar una que nos da resto cero:

1

-5

4

6

1

3 -2

-6 -2

-6 0

3

por

Una solución de la ecuación es es:

R=0

. El cociente de la división de la ecuación

luego si lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta, podemos encontrar las dos soluciones que nos faltan. 48

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Por tanto las tres soluciones de la ecuación son:

.

7.1.5. Ecuaciones con varias incógnitas Cuando una ecuación tiene varias incógnitas, basta despejar una en función de las demás y dar valores a ésta obteniéndose valores para la despejada.

Dando valores a “y” se obtienen los correspondientes valores de “x”.

7.2. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que tienen que verificarse a la vez. Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar la solución o soluciones que verifican todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. Para que un sistema de ecuaciones pueda resolverse es condición necesaria que tenga el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Si es así, y las ecuaciones son lineales, los métodos generales de resolución son los siguientes: 1.- Método de sustitución. Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir ese valor en las otras ecuaciones, con lo que el sistema queda reducido a una ecuación y una incógnita menos. Si repetimos esto las veces que sea necesario podemos quedarnos con una sola ecuación, que una vez resuelta nos dará el valor de una de las incógnitas, después, por sucesivas sustituciones, obtendremos el valor de todas las demás.

49

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Despejamos x en la primera ecuación: de x en las otras dos ecuaciones:

, y sustituimos ese valor

De nuevo sustituimos y en la segunda de estas ecuaciones: sustituimos en la primera:

, y

Sustituimos el valor de z en:

Ponemos estos dos valores en la expresión en que despejamos la x:

Luego, las soluciones del sistema son:

2.- Método de reducción. Consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por un número, de forma que después, al sumar o restar ambas ecuaciones, desaparezca una de las incógnitas.

Sumando las dos primeras ecuaciones como están:

50

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Multiplicamos la segunda por 2 y se la sumamos a la tercera:

Como

;

Estos dos valores puestos en cualquiera de las ecuaciones nos dan para y el valor 2. Por tanto, .

3.- Método de igualación. Consiste en despejar una incógnita en todas las ecuaciones y después igualar los valores obtenidos.

Despejamos x en las tres ecuaciones:

igualamos cada dos de los resultados:

En estas dos ecuaciones, despejamos de nuevo otra incógnita, por ejemplo la z, e igualamos los resultados:

Conocido este valor, ya podemos obtener los otros dos por cualquiera de los procedimientos.

4.- Método de resolución por la regla de Cramer. Dado un sistema de la forma:

51

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Consideremos el siguiente determinante:

Si dicho determinante, es decir, el determinante formado por los coeficientes de todas las incógnitas, es distinto de cero, entonces todas las soluciones vienen dadas por un cociente entre dos determinantes que son: el denominador que es D, y el numerador, que es el que resulta de sustituir en D la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita despejada por una columna formada por los términos independientes Ci.

Despejamos cada una de las incógnitas de la forma expuesta:

52

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

8. SISTEMAS DE COORDENADAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS

EN

EL

PLANO

Y

8.1. Proyección ortogonal sobre un eje Se entiende por proyección ortogonal de un punto (M) sobre una recta (AA´) al pie de la perpendicular (M´) bajada desde el punto a la recta.

M

A

A´ M´

La proyección de un segmento rectilíneo (PQ) sobre una recta (AA´) se hace proyectando los dos extremos del segmento sobre dicha recta (P´Q´).

P Q

A

A´ P´

Q´

En la figura podemos apreciar que:

Luego, la proyección de un segmento sobre un eje es igual al producto de la longitud del segmento por el coseno del ángulo formado por las direcciones positivas del segmento y del eje sobre el que se proyecta. 53

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Si lo que se quiere proyectar es un contorno poligonal, la suma de las proyecciones de sus lados es igual a la proyección del segmento que tiene por origen y extremo el origen y extremo del contorno. De aquí se deduce que la proyección de una línea poligonal cerrada sea nula.

8.2. Coordenadas cartesianas de un punto en un plano Un punto queda representado en el plano por un par de números que se llaman “coordenadas del punto”; los distintos métodos de representación que se emplean reciben el nombre de “sistemas de coordenadas”, siendo los más importantes el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares y el de coordenadas polares. En el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares se toman en el plano dos rectas XX´ e YY´, perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas, que se cortan en un punto O llamado origen. Se llama abscisa de un punto cualquiera P, y se representa por x, a la distancia desde P al eje YY´, tomada con signo positivo si queda situada a la derecha de dicho eje YY´ y con signo negativo si queda situada a la izquierda de dicho eje. Se llama ordenada de un punto P, representada por y, a la distancia desde P al eje XX´, tomada con signo positivo si queda por encima de dicho eje XX´ y con signo negativo si queda por debajo. Al par de valores (x, y) se les llama “coordenadas cartesianas del punto P”.

Y

x

P(5, 6)

y

X X´

O

Y´

54

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

8.3. Representación de funciones de una variable Si es una función de una variable, a cada valor de x le corresponderá un valor para y; pues bien, tomando cada uno de estos pares de valores xy como coordenadas cartesianas de un punto, para cada valor de la variable independiente tendremos un punto del plano, y el conjunto de todos los puntos así obtenidos será la representación gráfica de dicha función. Según el tipo de función que representemos obtendremos una recta o una curva con características distintas.

La Tabla de valores se realiza dando valores arbitrarios, positivos y negativos, a la variable independiente y obteniendo de esta forma los correspondientes a la función: x 1 2 0 -1 -2

y 5 7 3 1 -1

x 1 2 0 -1 -2

y 4 4 6 10 16

A continuación, representamos todos los pares de valores y unimos todos los puntos, obteniendo así las líneas cuyas ecuaciones son las funciones dadas. En la misma apreciamos que la primera de ellas es una recta y la segunda una parábola, ya que, en efecto, la ecuación de una recta es una función lineal y la de una parábola es una ecuación de segundo grado.

-3 -2

55

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

8.4. Cambio de ejes de coordenadas En la resolución de algunos problemas geométricos es muchas veces conveniente el cambiar la posición de los ejes de coordenadas con respecto a la figura sobre la que se opera. En este caso es preciso solucionar el siguiente problema: dadas las coordenadas de un punto P en el sistema de coordenadas primitivo, encontrar las coordenadas del mismo punto en el nuevo sistema. Los casos que se suelen presentar son los siguientes: A) Traslación de ejes. En este caso, los nuevos ejes son paralelos a los primitivos y dirigidos en el mismo sentido. Llamaremos xo e yo a las coordenadas del nuevo origen de coordenadas O´ respecto de los ejes primitivos, x e y; las coordenadas de P respecto a dichos ejes primitivos y x´ e y´ a las coordenadas del mismo punto P respecto a los nuevos ejes.

Y

Y´ R´

R

P x´ x y´

N

y xo

T´

O´

X´ yo

O

M

T

X

La simple observación de la figura nos hace deducir las siguientes relaciones:

B) Rotación de ejes. En este caso, el origen no varía de posición y los nuevos ejes ocupan la misma posición que ocuparían los primeros si se les hiciese girar un ángulo = .

56

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Y Y´ x

N

P

x´

y´ α

N´ y

X´

Q α

M´

α O

M

R

X

De la figura anterior podemos deducir las siguientes relaciones:

Por tanto:

Además:

Tenemos, pues:

que son las relaciones existentes entre las coordenadas respecto a los ejes primitivos y respecto a los nuevos.

C) Caso general. Utilizando los dos procedimientos anteriores ya puede efectuarse cualquier cambio de ejes, ya que siempre podremos pasar de unos ejes a otros cualesquiera mediante una traslación y luego un giro, de forma que mediante la

57

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

traslación hagamos coincidir los dos orígenes, y una vez conseguido esto podemos hacer el giro que sea necesario.

8.5. Coordenadas polares Dados en un plano un punto O llamado origen o polo, y una recta OX llamada eje polar, se puede representar un punto cualquiera del plano por su distancia al origen, que representaremos por r, y por la medida del ángulo que forma la recta OP con el eje polar, que representaremos por α. Los valores r y α reciben el nombre de “coordenadas polares” del punto P.

Y

P

r

α O

y

x A

X

Dadas las coordenadas polares de un punto P, para calcular las coordenadas cartesianas del mismo en un sistema de ejes formados por el eje polar y una perpendicular OY a dicho eje trazada por el polo, tendremos en cuenta las siguientes relaciones que podemos observar en la figura:

o bien:

58

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

9. EL PLANO VECTORIAL 9.1. Estudio de la recta vectorial Una recta se puede considerar recorrida en dos sentidos que se dicen inversos entre sí, diciéndose que dicha recta está orientada si se fija uno de esos sentidos como positivo, quedando el otro como negativo. A un segmento cualquiera dotado de un sentido determinado se le llama vector, y para determinarlo basta dar los extremos de dicho segmento en un determinado orden; al primer extremo se le llama origen del vector, y al segundo, extremo. El vector cuyo origen es el punto A, y cuyo extremo es el punto B, suele representarse de la forma:

.

Si en una recta consideramos un origen O y una unidad u, cada punto queda representado por un número real que se denomina abscisa de dicho punto. Se llama módulo de un vector a la longitud del segmento correspondiente a dicho vector; el módulo de un vector

se representa por

y es igual:

siendo a y b las abscisas del origen y del extremo de dicho vector (los barrotes indican valores absolutos). La medida , considerada con su signo correspondiente, es decir, no es valor absoluto, se le llama medida algebraica del vector. Dos vectores que tienen la misma medida algebraica, es decir, que tienen el mismo módulo y el mismo sentido, se dice que son equipolentes, siendo la relación de equipolencia de los vectores una relación de equivalencia por poseer las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Como siempre que se establece una relación de equivalencia, podemos hacer una partición en el conjunto de todos los vectores de la recta, siendo cada una de las clases correspondientes el llamado vector libre de la recta. Para que un vector libre sea igual a otro, es condición necesaria y suficiente que un vector de uno sea equivalente a un vector de otro. Un vector libre tiene el módulo, el sentido y la medida algebraica de uno cualquiera de sus representantes. A la medida algebraica de un vector libre suele representar de cualquiera de las dos formas siguientes:

se la

59

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

La suma de dos vectores libres de la recta es el vector libre de ella cuya medida algebraica es la suma de las medidas algebraicas de los dos sumandos. Esta suma goza de las propiedades siguientes: 1.- Es operación interna. 2.- Tiene la propiedad conmutativa. 3.- Tiene la propiedad asociativa. 4.- Posee elemento neutro (el llamado vector nulo cuya medida algebraica es cero). 5.- Todos los elementos tienen su simétrico (el vector opuesto de uno dado, es decir, el vector que tiene el mismo módulo y sentido contrario). Por tanto, el conjunto de los vectores libres de la recta tiene estructura de grupo aditivo conmutativo. El producto de un vector libre por un número real es el vector libre cuya medida algebraica es el número real multiplicado por la medida algebraica del vector libre dado. Esto se puede expresar de la forma:

De esta forma, si consideramos a la medida algebraica de como unidad (siendo u la unidad de los números reales), todo vector libre dado puede considerarse como el producto de un número real por un vector unidad:

9.2. Estudio del plano vectorial Un vector en el plano es un vector de una cualquiera de las rectas del plano. Para representar los vectores del plano se emplea la misma notación que para representar los vectores de una recta. En los vectores del plano, además del módulo, interesan los conceptos de dirección y sentido. Dados los vectores en el plano, si las rectas que los contienen coinciden o son paralelas, dichos vectores tienen la misma dirección. Si dos vectores tienen la misma dirección, se dice que tienen el mismo sentido si miran hacia el mismo lado.

60

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Si dos vectores del plano poseen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, se dice que dichos vectores son equipolentes, siendo, de la misma forma que los vectores de la recta, dicha relación de equipolencia una relación de equivalencia, y quedando, por tanto, el conjunto de los vectores del plano partido en distintas clases de equivalencia cada una de las cuales es un vector libre del plano. El módulo, la dirección y el sentido de un vector libre del plano son, respectivamente, el módulo, la dirección y el sentido de uno cualquiera de los vectores que lo forman. Tomemos un sistema de referencia en el plano, es decir, un punto O, llamado origen de coordenadas, y los vectores libres y , a los que llamamos “vectores unitarios”, y de los que está

y

son los representantes respectivos; a la recta en que

la llamamos eje de las x y a la recta en que está

, eje de las y.

Tenemos, por tanto, un sistema de referencia, que representamos de la forma , y en el que, dado un vector cualquiera

, si lo proyectamos

paralelamente a los ejes y sobre ellos, obtenemos dos vectores: y , que representaremos por y respectivamente, y que son las llamadas componentes del vector. A las medidas algebraicas de dichas componentes, es decir, x e y, se les conoce como coordenadas del vector, y existe una correspondencia entre cada vector y sus coordenadas, que es una aplicación biyectiva. Dichas coordenadas están relacionadas con las coordenadas de los puntos A y B, es decir, de los extremos del vector de la siguiente forma:

siendo

las coordenadas del origen A y

las del extremo B. 61

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Para sumar dos vectores libres , de coordenadas , se toma un representante

de

y

y un representante

de

, de coordenadas , cuyo origen

es el extremo del primero, y el vector suma es el vector , representante de los vectores , cuyo origen es el origen del primero, y cuyo extremo es el extremo del segundo. En la siguiente figura, observamos que las coordenadas del vector representante de son precisamente la suma de las coordenadas del vector y las del vector , es decir, .

El producto de un vector libre por un número real , es el vector libre , que tiene por medida algebraica el producto de por la medida algebraica del vector . Si las coordenadas de

son

, las coordenadas de

son

.

Teniendo en cuenta todo lo expuesto anteriormente, podemos establecer la siguiente conclusión: un vector libre del plano , cuyas componentes y tengan por medidas algebraicas respectivas x e y, puede descomponerse de la siguiente forma:

(

y

son los vectores unitarios correspondientes). En efecto, en la primera figura del apartado se comprueba que:

que es un representante de de la suma de vectores:

y

es un representante de

, ya

, y por lo dicho acerca

62

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Por otro lado, y según lo expuesto acerca del producto de un número real por un vector:

por tanto, queda demostrada la relación anterior que es básica en el estudio de vectores en el plano.

9.2.1. Punto de división de un vector en una razón dada Dados dos puntos P1 de coordenadas (x1, y1) y P2 de coordenadas (x2, y2), supongamos que se quiere hallar el punto P de coordenadas (x, y) situado en la recta que pasa por P1 y P2, y tal que la razón simple (PP1P2) sea igual a un número real λ dado, es decir: PP1/PP2 = λ. Se demuestra que el punto P buscado tiene las siguientes coordenadas:

9.2.2. Punto medio de un vector Como consecuencia de lo dicho en el apartado anterior, pueden hallarse las coordenadas del punto medio de un vector de extremo A y B, teniendo en cuenta que la razón simple ha de ser , ya que las dos mitades han de tener la medida algebraica de igual valor absoluto pero distinto signo. Sustituyendo este valor en las fórmulas anteriores, tenemos para las coordenadas x e y del punto medio del vector de coordenadas A (x1, y1) y B :

En general, el problema de buscar las coordenadas de un punto cualquiera de división de un vector, consistirá en saber el valor de λ, y aplicar después las fórmulas anteriores.

63

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

10. EL PLANO AFÍN 10.1.

Generalidades

Sea O un punto del plano al que llamaremos origen. Dado un vector libre cualquiera , elegimos su representante , que tiene su origen en el punto O, y hacemos corresponder a cada vector libre el punto P extremo de dicho representante, con lo que tenemos una correspondencia entre los vectores libres del plano y los puntos de dicho plano, siendo las componentes del vector P.

las coordenadas de dicho punto

El plano, considerado como conjunto de puntos y prescindiendo de las nociones de medida de ángulos y de distancias, se le denomina plano afín.

10.2.

Ecuaciones de la recta en el plano afín

1.- Ecuación vectorial de la recta. Si en la expresión vectorial:

se le dan a t todos los valores reales, siendo y dos vectores dados, y se obtiene un conjunto de vectores , al que corresponde un conjunto de puntos del plano que denominamos con el nombre de “recta”. Si a los puntos del plano correspondientes a los vectores , ’, ”, etc., los representamos por P, P’, P”, etc., en la figura siguiente veremos:

Para un valor valor

,

, el vector

es igual a , y le corresponde el punto P; para un

, y le corresponde el punto P’; para un valor

,

, 64

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

y le corresponde el punto P”, etc., obteniéndose la recta formada por los puntos del plano P, P’, P”… El vector define la dirección de la recta, por lo que se le llama vector director de la misma. 2.- Ecuaciones paramétricas de la recta. Si son las componentes de un vector dado , las del vector y las del vector , las componentes del vector serán ; si tenemos en cuenta la ecuación vectorial de la recta, las componentes del vector serán:

Estas dos ecuaciones anteriores o ecuaciones paramétricas de la recta nos dan las coordenadas de un punto cualquiera en función de un parámetro t. 3.- Ecuación continua de la recta. Partiendo de las ecuaciones paramétricas anteriores y eliminando el parámetro t de ellas, se obtiene:

En ella, los valores

y

reciben el nombre de “parámetros directores de la

recta” 4.- Ecuación general de la recta. Quitando denominadores en la ecuación anterior, obtenemos:

en la cual, y llamando a

,

y

, queda de la forma:

o ecuación general de la recta en la cual A, B y C son número conocidos, mientras que x, y son las variables. 5.- Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente. La ecuación continua de la recta puede escribirse también:

A

se le representa con la letra m, y es la pendiente de la recta; de esta forma

tenemos otra ecuación de la recta en función de dicha pendiente, y de las coordenadas

65

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

de un punto, que más generalmente se suelen escribir como en lugar de , quedando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente así:

6.- Forma explícita de la ecuación de la recta. Para ésta, se parte de la forma punto-pendiente, pero considerando el punto en el eje de ordenadas, es decir, un punto cuya abscisa es 0 y su ordenada, llamada ordenada en el origen, la representamos por b; en esta forma, la ecuación queda:

7.- Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si una recta pasa por dos puntos P1 de coordenadas y P2 de coordenadas , su pendiente viene dada por la expresión:

por lo que la ecuación de dicha recta quedará de la forma:

8.- Ecuación canónica de la recta. Si la recta dada corta al eje de abscisas en el punto y al eje de ordenadas en el punto , sustituyendo en la forma anterior y haciendo operaciones, se obtiene:

Llamándose, respectivamente, a los segmentos a y b, abscisa en el origen y ordenada en el origen.

10.3.

Incidencia, paralelismo y alineación

A).- Incidencia. Por definición, un punto está en una recta si sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha recta. Se dice también que dicho punto es incidente con la recta. Dado un punto cualquiera y la ecuación de una recta, para saber si dicho punto es o no incidente con dicha recta, sustituimos las coordenadas del punto en lugar de las variables x e y de la recta; si lo que obtenemos es una identidad, dicho punto es incidente con la recta, y si no es identidad, el punto no está en la recta. 66

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Dado un punto de una recta y una de sus coordenadas, para conocer la otra basta sustituir en la ecuación de la recta la coordenada conocida y despejar la otra. B).- Intersección de dos rectas. Los puntos de intersección de dos líneas son puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones de ambas y son los únicos puntos que satisfacen dicha condición. Por tanto, para hallar los puntos de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas, pudiéndose presentar tres casos diferentes: 1. Que el sistema tenga solución, lo que quiere decir que las rectas tienen un solo punto común o bien que dichas rectas son secantes. 2. Que el sistema no tenga solución, lo que quiere decir que las rectas no se cortan, es decir, son paralelas. 3. Que el sistema tenga infinitas soluciones, entonces las rectas son coincidentes. En el segundo caso se demuestra que para que ocurra, los coeficientes de las incógnitas han de ser proporcionales, pero no los términos independientes. Esto quiere decir que, dadas dos rectas en su forma general:

y

la condición de paralelismo de las mismas se indica mediante:

Sin embargo, para que dos rectas sean coincidentes, tanto los coeficientes de las incógnitas como los términos independientes han de ser proporcionales, o sea:

C).- Ecuación de la paralela a una recta desde un punto dado. Dada una recta cualquiera: , si queremos buscar una paralela a ella desde un punto dado, como sabemos que los coeficientes de sus incógnitas han de ser proporcionales, elegimos las constantes de proporcionalidad más sencilla, es decir, el valor 1, con lo que tenemos:

para la ecuación de la recta buscada. 67

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Nos falta conocer , pero sabemos que la recta ha de pasar por el punto dado P , por lo que dichas coordenadas e han de satisfacer la ecuación de la recta:

de donde podemos despejar operando nos da para ella:

, que sustituido en la recta buscada y

11. EL PLANO MÉTRICO 11.1.

Generalidades

Vamos a estudiar ahora la comparación de longitud de distinta dirección y la medida de los ángulos que forman dichas rectas. En resumen, estudiaremos las nociones métricas más sencillas como son: longitud, distancia y perpendicularidad.

11.2.

Producto escalar de dos vectores

Dados dos vectores y , se llama producto escalar de los mismos a un número igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Se representa: , y es:

(obsérvese que se trata de un número y no de un vector).

Propiedades. Son las siguientes: 1.- Posee la propiedad conmutativa, ya que los cosenos de ángulos opuestos son iguales, y entonces:

2.- Posee la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, es decir:

68

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.- Para multiplicar un número real por un producto escalar se multiplica a uno sólo de los factores:

4.- Si uno de los vectores es nulo, el producto escalar es nulo, y lo mismo si los dos vectores son perpendiculares, ya que en este caso: 5.- El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo, ya que el .

11.2.1. Expresión analítica del producto escalar de dos vectores Sean:

donde son las coordenadas del vector , vectores unitarios perpendiculares entre sí.

las del vector

y

,

los

Haciendo el producto y teniendo en cuenta que:

nos queda para el producto escalar la expresión:

en función de sus coordenadas. Como consecuencia, se obtiene que el módulo de un vector libre es:

11.3.

Perpendicularidad y ecuación normal de la recta

Se demuestra la siguiente expresión para el coseno del ángulo que forman dos rectas de ecuaciones:

69

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Puesto que la condición necesaria para que dos rectas sean perpendiculares es que formen un ángulo de 90º, tenemos, por tanto:

es la condición de perpendicularidad, que suele expresarse así:

y tomando 1 como constante de proporcionalidad, se obtiene que la perpendicular a una recta tiene por ecuación:

teniéndose que determinar

mediante otra condición.

Si lo que se quiere es la ecuación de la perpendicular a la recta dada desde un punto determinado de coordenadas , dichas coordenadas han de satisfacer a la perpendicular buscada por ser puntos de ella, luego sustituyéndolas en lugar de las variables x e y, y despejando , tenemos:

que sustituido en la ecuación buscada y operando después queda:

para la ecuación de la perpendicular a la recta .

desde el punto P

Dada una recta r, cuya ecuación vectorial es: , si es un vector perpendicular a dicha recta se verifica: , y como el vector tiene la misma dirección que el vector , también se verifica: , es decir:

que es la ecuación normal de la recta, que se demuestra que es, en función de los coeficientes A, B, C, la siguiente:

70

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

11.4.

Distancias

1.- Distancia entre dos puntos. Se llama distancia entre dos puntos P y P’ de coordenadas respectivas

y

al módulo del vector

, es decir:

2.- Distancia de un punto a una recta. Dada una recta r, de ecuación , y un punto P de coordenadas se demuestra que la distancia del punto a la recta es igual al primer miembro de la ecuación de la recta en que se han reemplazado las coordenadas generales por las del punto, dividida por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes, es decir:

donde el signo se elige siempre de forma que la distancia sea positiva.

3.- Distancia entre dos rectas. Para hallar la distancia entre dos rectas se elige un punto cualquiera de una de ellas y se halla la distancia de dicho punto a la otra recta.

11.5.

Fórmulas de interés

1.- Ecuación de la bisectriz del ángulo de dos rectas. Si las rectas son: y , dicha ecuación es:

2.- Ecuación de la mediatriz de un segmento. Si son los extremos de dicho segmento los puntos y , la ecuación de la mediatriz es:

71

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.- Fórmula del área de un triángulo. Si los vértices del triángulo son los puntos , yC :

o bien:

72

ANTONIO ROS MORENO

CURRICULUM VITAE

Nombre: Fecha de nacimiento: Dirección:

Antonio Ros Moreno 05 de mayo de 1961 C/ Cartagena (Murcia) Telf.: E-mail: rosegea@ono.com

TITULACIÓN: 

Ingeniero Técnico de Minas; Especialidad en Mineralurgia y Metalurgia.

Técnico Superior en Prevención de Riesgos Laborales (Seguridad).

Estudios de Administración y Dirección de Empresas.

EXPERIENCIA PROFESIONAL: 

Actual: Búsqueda de trabajo, desarrollo de Patente de Invención Núm. 201231557 otorgada por la Oficina Española de Patentes y Marcas, redacción y publicación de manuales técnicos, asesoramiento y promoción de proyectos.

2003–2010 (Cierre Empresa): Jefe de Producción Hidrometalúrgica y Control de Procesos en Española del Zinc, S.A.

1987–2003: Jefe de Producción y Mantenimiento Hidrometalúrgico en Española del Zinc, S.A.

1984–1987: Jefe de Turno de Lixiviación en Española del Zinc, S.A.

ACTIVIDADES: Jefe de Producción Hidrometalúrgica y Control de Procesos en empresa metalúrgica-química con un equipo humano de unas 300 personas (180 bajo mi responsabilidad directa), incluyendo las siguientes funciones: - Gestión de los recursos asignados a fabricación según las directrices marcadas, asegurando la optimización de las materias primas, de los recursos humanos, de los equipos y, así, de los niveles de calidad requeridos. - Planificación integral de todas las operaciones productivas en coordinación con otros departamentos afectados, implementación, seguimiento y control de los procedimientos de fabricación y las productividades asociadas. - Participación en el diseño e implementación de la Mejora Continua. - Implementación de la política de personal (selección, formación, etc.) de acuerdo a las directrices de la Dirección de Operaciones.

EXPERIENCIA EN PROCESOS PRODUCTIVOS: Los principales procesos industriales en los que he trabajado en su planificación, gestión y control son: (1).- Calcinación de mineral en Horno de Fluidificación (260 t/día). (2).Producción de vapor en Caldera de 42 bar. (12 t/h). (3).- Producción de ácido sulfúrico (254,4 t/día). (4).- Tratamiento de aguas residuales (1.000 m3/día). (5).- Lixiviación y purificación de calcinas (1.500 m3/día). (6).- Extracción con solventes orgánicos de metales (20.000 t/año). (7).- Electrolisis de sulfatos (50.000 t/año). (8).- Fusión en Hornos de inducción y moldeo de aleaciones (50.000 t/año). Destacando el conocimiento de la dinámica y cálculo de los principales parámetros de los distintos procesos: (a).- Operaciones físicas unitarias (sedimentación, flotación, filtración, centrifugación, evaporación, adsorción, aireación, etc.). (b).Procesos químicos unitarios (neutralización, precipitación, coagulación y floculación, oxidación-reducción, procesos electroquímicos, extracción con disolventes, intercambio iónico, desinfección, etc.). (c).- Procesos biológicos unitarios (tratamientos aerobios, anaerobios y anóxicos). (d).- Incineración de residuos y su problemática medioambiental. (e).- Vertido y almacenamiento controlado de residuos (especialmente como jarofix). (f).- Auditorias de residuos (propósito y ventajas, alcance, elementos esenciales, metodología y gestión). EXPERIENCIA EN MANTENIMIENTO Y PROGRAMACIÓN DE PARADAS: (1).- Planificación y coordinación de las labores de mantenimiento mecánico, eléctrico e instrumentación (tanto preventivo, predictivo, correctivo como legal), dirigiendo y coordinando el equipo de profesionales a mi cargo, responsabilizándome también de la gestión del almacén y de los servicios generales de la planta. (2).- Implementación del Plan de Mantenimiento basado en RCM y TPM. (3).- Implantación GMAO y conocimiento de SAP (integrado sistema ERP). (4).- Auditorías Técnicas y de Gestión de Mantenimiento. (5).- Organización, planificación y optimización de paradas mensuales, cuatrimestrales y anuales. Matizando la utilización de las siguientes técnicas específicas de mantenimiento: (a).- Análisis de Fiabilidad de Equipos. (b).- Alineación de Ejes. (c).- Equilibrado de Rotores. (d).- Diagnóstico de Fallos en Equipos. (e).- Mecanismos de Desgaste y Técnicas de Protección. (f).- Análisis de Averías. (g).- Técnicas de Mantenimiento Predictivo. (h).- Análisis de la degradación y contaminación del aceite. (i).- Análisis de Vibraciones. (j).- Planificación de tareas.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Dirección de Obras: - Instalaciones de extracción con disolventes y lavado de la jarosita. - Caldera auxiliar de proceso. - Instalaciones de Filtros Banda. - Depuradora de aguas residuales. - Instalaciones de tratamiento de cementos de cobre. - Depósitos de tratamiento de fangos residuales y tanques de mezcla para ácido. Calidad y Seguridad: - Colaboración en la implantación de las Normas de Calidad 9002/94 y 9001/2000. - Participación en desarrollo e implantación Plan de Prevención de Riesgos Laborales. - Realización de Auditorías Internas de Calidad. - Investigación de accidentes. I+D+i: - Investigación y desarrollo del proceso “Excinox” para tratamiento de materias secundarías de zinc por extracción (Patente de Invención Núm. 201231557). Participación en investigación y desarrollo del proceso “Recox” para tratamiento de óxidos de zinc. - Investigación, desarrollo e implantación nuevo tratamiento del cemento de cobre. - Participación en investigación, desarrollo y puesta en marcha del proceso “Excinres”. - Investigación de métodos múltiples en la cementación y diversos tipos de reactivos. - Investigación del proceso “LAF” para obtención de plomo y jarosita. - Pruebas de filtración y depuración de líquidos residuales. - Investigación y desarrollo procesos de tratamiento de Ulexita boliviana. Docente: - Profesor en Cursos de Operador de Planta Química y Mantenimiento en Instalaciones Industriales. - Publicación de varios artículos con certificado ISSN (http://www.mailxmail.com/autor-antonio-ros-moreno-2). Otras actividades: - Desarrollo de programas para el Control de Procesos. Participación redacción Estudio de Impacto Territorial (Modificación nº 130 PGC). FORMACCIÓN ADICIONAL: - Inglés a nivel de traducción. - Conocimientos de Ofimática. - Curso de Mantenimiento. - Logística Aplicada. - Cursos ISO 9000/2000, Auditorías Internas de Calidad, Plan de emergencia Interior y Riesgos Laborales en Minería. - Cursos de Ingeniería Medio Ambiental e Hidrometalurgia. - Curso de Operación de Calderas.

Atte. Antonio Ros Moreno

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