1.4
COORDENADAS ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS
La manera usual de representar un punto en el piano V # es mediante las coordenadas rectangulares aBß Cb. Sin embargo, como ya seguramente lo aprendió el lector en cálculo elemental, las coordenadas polares en el piano pueden ser muy útiles. Como se muestra en la figura 1.4.1, las coordenadas a<ß )b están relacionadas con aBß C b mediante las fórmulas B œ < -9= )
y
C œ < =/8 ),
donde usualmente tomamos < ! y ! Ÿ ) #1.
Figura 1.4.1
Las coordenadas polares de aBß Cb son a<ß )b.
A los lectores no familiarizados con las coordenadas polares se les recomienda estudiar las secciones respectivas en su libro de cálculo. Ahora vamos a exponer dos maneras de representar puntos en el espacio, además de las coordenadas cartesianas rectangulares aBß Cß D b. Estos sistemas coordenados alternativos son particularmente adecuados para ciertos tipos de problemas, como por ejemplo, la evaluación de integrales (ver la sección 6.3). DEFINICIÓN (ver la figura 1.4.2). Las coordenadas cilíndricas a<ß )ß D b de un punto aBß Cß D b están definidas por B œ < -9= ) (1)
y
C œ < =/8 ),
DœD
Figura 1.4.2 Representación de un punto aBß Cß D b en términos de sus coordenadas cilíndricas <ß ) C DÞ o, explícitamente, < œ ÈB# C# ß
D œ Dß
>+8" ÐCÎBÑ si B ! y C ! ) œ 1 >+8" ÐCÎBÑ si B ! #1 >+8" ÐCÎBÑ si B ! y C !
donde >+8" ÐCÎBÑ está entre 1Î# y 1Î#. Si B œ !, entonces ) œ 1Î# para C ! y $1Î# para C !. Si B œ C œ !, ) no está definido. En otras palabras, para cada punto aBß Cß D b representamos la primera y segunda coordenadas en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera. La fórmula (1) muestra que, dados a<ß )ß D b, la terna aBß Cß D b está completamente determinada y, viceversa, si restringimos ) al intervalo Ò!ß #1Ñ (a veces es conveniente la extensión Ð 1ß 1]) y requerimos que < !. Para ver por qué usamos el término "coordenadas cilíndricas", nótese que si ! Ÿ ) #1ß _ D _ y < œ + es una constante positiva, entonces el lugar geométrico de estos puntos es un cilindro de radio + (ver la figura 1.4.3).
Figura 1.4.3 un cilindroÞ
La grafica de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas satisfacen < œ + es
EJEMPLO 1 (a) Hallar las coordenadas de a'ß 'ß )b y localizar el punto. (b) Si un punto tiene coordenadas cilíndricas a)ß #1Î$ß $b, ¿cuáles son sus coordenadas cartesianas? Localizarlo. < œ È ' # ' # œ 'È # y " " È ) œ tan a'Î'b œ tan a"b œ 1Î%. Así, las coordenadas cilíndricas son Š' #ß 1Î%ß )‹. SOLUCIÓN
Para
la
parte
(a),
tenemos
Éste es el punto T de la figura 1.4.4. Para la parte (b), tenemos B œ < -9= ) œ ) -9= #$1 œ y C œ < =/8 ) œ ) =/8 #$1 œ )
) #
È$ #
œ % œ %È $.
Así, las coordenadas cartesianas son Š %ß %È$ß $‹. Éste es el punto U de la figura.
Figure 1.4.4
Ejemplos de conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas.
Las coordenadas cilíndricas no son las únicas generalizaciones posibles de las coordenadas polares a tres dimensiones. Recuerden que en dos dimensiones la magnitud del vector B3 C4 (esto es,ÈB# C# ) es la < en el sistema de coordenadas polares. Para las coordenadas cilíndricas, la longitud del vector B3 C4 D5 , a saber, 3 œ ÈB# C# D #
no es una de las coordenadas del sistema (usamos sólo la magnitud < œ ÈB# C# , el ángulo ) y la "altura" D .) Ahora modificaremos esto introduciendo el sistema de coordenadas esféricas, que usa a 3 como coordenada. Las coordenadas esféricas suelen ser útiles para resolver problemas donde hay simetría esférica (simetría alrededor de un punto), mientras que las coordenadas cilíndricas se pueden aplicar donde haya simetría cilíndrica (simetría alrededor de una recta). Dado un punto aBß Cß D b − V $ , sea 3 œ ÈB# C# D #
y representemos B y C mediante coordenadas polares en el piano BC: B œ < -9= )ß (2)
C œ < =/8 )
donde < œ ÈB# C# y ) está dada por la formula (1). La coordenada D está dada por
D œ 3 -9= 9ß donde 9 es el ángulo (entre ! y 1, inclusive) que forma el radio vector v œ B3 C4 D5 con el eje D , en el plano que contiene al vector v y al eje D (ver la figura 1.4.5). Usando el producto punto podemos expresar 9 como sigue: -9= 9 œ
v†k mv m ß
i.e.,
9 œ Š mvv†km ‹Þ
Figura 1.4.5 Cordenadas esféricas a3ß )ß 9b; la gráfica de los puntos que satisfacen 3 œ + es una esfera. Tomamos como coordenadas las cantidades 3ß )ß 9. Como < œ 3 =/8 9 podemos usar la fórmula (2) para expresar B, C y D en términos de coordenadas esféricas 3ß )ß 9. DEFINICIÓN
Las coordenadas esféricas de aBß Cß D b se definen como sigue:
B œ 3 =/8 9 -9= )ß
C œ 3 =/8 9 =/8 )ß
D œ œ 3 -9= 9
(3) donde 3 !ß
! Ÿ ) #1 ß ! Ÿ 9 1 .
Nótese que las coordenadas esféricas ) y 9 se parecen a las coordenadas geográficas de longitud y latitud si consideramos al eje de la Tierra como el eje D . Sin embargo, hay diferencias: la longitud geográfica es l)l y se llama longitud este u oeste, dependiendo
de si ) es positivo o negativo; la latitud geográfica es l1Î# 9l y se llama latitud norte o sur, dependiendo de si 1Î# 9 es positivo o negativo. Nótese que en coordenadas esféricas la ecuación de la esfera de radio + con centro en el origen toma la forma particularmente sencilla 3 œ +.
EJEMPLO 2 (a) Hallar las coordenadas esféricas de a"ß "ß "b y localizarlo. (b) Hallar las coordenadas cartesianas de a$ß 1Î'ß 1Î%b y localizarlo. (c) Sea un punto con coordenadas cartesianas a#ß $ß 'b. Hallar sus coordenadas esféricas y localizarlo. (d) Sea un punto con coordenadas esféricas a"ß 1Î#ß 1Î%b. Hallar sus coordenadas cartesianas y localizarlo.
SOLUCIÓN (a)
3 œ ÈB# C# D # œ É"# a "b# "# œ È$ß ‰ œ 1% ß ) œ tan" ˆ BC ‰ œ tan" ˆ " "
9 œ -9=" Š D3 ‹ œ -9=" Š È"$ ‹ ¸ !Þ*&& ¸ &%Þ(%°Þ Ver la figura 1.4.6(a).
Figura 1.4.6 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas del punto a"ß "ß "b y (b) las coordenadas cartesianas de a$ß 1Î'ß 1Î%b. (b)
B œ 3 =/8 9 -9= ) œ $ =/8 ˆ 1% ‰ -9= ˆ 1' ‰ œ $Š È"# ‹
È$ #
œ
C œ 3 =/8 9 =/8 ) œ $ =/8 ˆ 1% ‰ =/8 ˆ 1' ‰ œ $Š È"# ‹ˆ "# ‰ œ
$È $ #È # ß
$ ß #È #
D œ œ 3 -9= 9 œ $ -9= ˆ 1% ‰ œ
$ #È #
œ
$È # # Þ
Ver la figura 1.4.6(b). (c)
3 œ ÈB# C# D # œ É## a $b# '# œ È%* œ (ß ‰ ¸ !Þ*)$ ¸ &'Þ$"°ß ) œ tan" ˆ BC ‰ œ tan" ˆ $ # 9 œ -9=" Š D3 ‹ œ -9=" ˆ (' ‰ ¸ !Þ&%" ¸ $"Þ!°Þ
Ver la figura 1.4.7(a). (d)
B œ 3 =/8 9 -9= ) œ " =/8 ˆ 1% ‰ -9= ˆ #1 ‰ œ Š C œ 3 =/8 9 =/8 ) œ " =/8 ˆ 1% ‰ =/8 ˆ #1 ‰ œ D œ œ 3 -9= 9 œ " -9= ˆ 1% ‰ œ
È# # Þ
È# # ‹ † ! œ !ß È# Š # ‹a "b œ
È# # ß
Ver la figura 1.4.7(b).
Figura 1.4.7 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas de a#ß $ß 'b y (b) las coordenadas cartesianas de a"ß 1Î#ß 1Î%b. EJEMPLO 3 Expresar (a) la superficie BD œ " y (b) la superficie B# C# D # œ " en coordenadas esféricas. SOLUCIÓN De la fórmula (3), B œ 3 =/8 9 -9= ), D œ œ 3 -9= 9, y, por lo tanto, la superficie (a) está formada por todos los a3ß )ß 9b tales que 3# =/8 9 -9= ) -9= 9 œ ",
i.e.,
3# =/8 #9 -9= ) œ #.
Para la parte (b) podemos escribir B# C# D # œ B# C# D # #D # œ 3# #3# -9=# 9ß
de manera que la superficie es 3# a" # -9=# 9b œ ", o bien 3# -9= a#9b œ ".
Figura 1.4.8 Vectores ortonormales e< ß e) y eD asociados con las coordenadas cilíndricas. El vector e< es paralelo a la recta denominada r.
Figura 1.4.9 esféricas.
Vectores ortonormales e3 ß e) y e9 asociados con las coordenadas
Hay vectores unitarios asociados con las coordenadas cilíndricas y esféricas, que son la contraparte de 3, 4 y 5 para las coordenadas rectangulares. Se muestran en las figuras 1.4.8 y 1.4.9. Por ejemplo, e< , es el vector unitario paralelo al piano BC, en dirección radial, de manera que e< œ a-9= )b3 a=/8 )b4. De manera análoga, en coordenadas esféricas e9 es el vector unitario tangente a la curva parametrizada por la variable 9, manteniendo fijas las variables 3 y ). Usaremos estos vectores unitarios más
adelante, cuando en cálculos vectoriales se utilicen coordenadas cilíndricas y esféricas (ver la sección 3.5).